Phân tích phi tuyến tĩnh và động lực học của tấm chữ nhật FGM trên nền đàn hồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM HỒNG CÔNG

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ ĐỘNG LỰC HỌC
CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM HỒNG CÔNG

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ ĐỘNG LỰC HỌC
CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
Chuyên ngành: Cơ Kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC

HÀ NỘI – 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi là Phạm Hồng Công, hiện đang là nghiên cứu sinh khoa Cơ học Kỹ
thuật và Tự động hóa, trường Đại học Công nghệ - ĐHQGHN.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Hà Nội, ngày tháng

năm 2018

Tác giả

Phạm Hồng Công

i


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn,
GS. TSKH. Nguyễn Đình Đức đã luôn theo sát và tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể các thầy cô giáo khoa Cơ học Kỹ
thuật và Tự động hóa và thầy cô trong trường ĐH Công nghệ - ĐHQGHN đã luôn
quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian tác
giả học tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc, đồng nghiệp tại Trung tâm
Tin học và Tính toán, Viện HLKHCNVN đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện và
động viên trong thời gian tác giả học tập và thực thiện luận án.
Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo và các nhà khoa học trong seminar Cơ
học Vật rắn Biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận án.

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người thân
trong gia đình đã thông cảm, động viên và chia sẻ những khó khăn với tác giả trong
suốt thời gian làm luận án.
Tác giả

Phạm Hồng Công

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan ...................................................................................................... i
Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii
Mục lục ............................................................................................................. iii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt ............................................................... v
Danh mục các bảng ......................................................................................... vii
Danh mục các hình vẽ .................................................................................... viii
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .........................................4
1.1. Vật liệu có cơ tính biến đổi FGM ........................................................................4
1.2. Phân loại và tiêu chuẩn ổn định tĩnh ....................................................................8
1.3. Tình hình nghiên cứu đã được công bố về tấm và vỏ FGM ................................ 9
1.3.1. Phân tích phi tuyến của tấm và vỏ FGM không có gân gia cường ...................9
1.3.2. Phân tích phi tuyến của tấm và vỏ FGM có gân gia cường ............................ 14
1.4. Những kết quả đã đạt được trong nước và quốc tế ............................................17
1.5. Những nội dung tồn tại cần được nghiên cứu ....................................................17
CHƢƠNG 2. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM MỎNG FGM SỬ
DỤNG LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN ............................................................................18
2.1. Đặt vấn đề ..........................................................................................................18
2.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi ...................20

2.2.1. Mô hình tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi ...........................................20
2.2.2. Các phương trình cơ bản .............................................................................21
2.2.3. Phương pháp giải ........................................................................................27
2.2.4. Kết quả tính toán số và thảo luận................................................................ 32
2.3. Phân tích động lực học của tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi .......................39
2.3.1. Mô hình tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi .............................................39
2.3.2. Các phương trình cơ bản .............................................................................40
2.3.3. Phương pháp giải ........................................................................................43
2.3.4. Kết quả tính toán số và thảo luận................................................................ 45
2.4. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 51

iii


CHƢƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM DÀY ES - FGM SỬ
DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC NHẤT .................................53
3.1. Đặt vấn đề ..........................................................................................................53
3.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi ......................54
3.2.1. Tấm dày ES-FGM và các phương trình cơ bản ..........................................54
3.2.2. Phương pháp giải ........................................................................................59
3.2.3. Kết quả tính toán số và thảo luận................................................................ 63
3.3. Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi ...........71
3.3.1. Tấm dày ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi ...............................................71
3.3.2. Các phương trình cơ bản .............................................................................72
3.3.3. Phương pháp giải ........................................................................................77
3.3.4. Kết quả tính toán số và thảo luận................................................................ 82
3.4. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 90
CHƢƠNG 4. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM DÀY ES-FGM SỬ
DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC BA .......................................91
4.1. Đặt vấn đề ..........................................................................................................91

4.2. Phân tích phi tuyến tĩnh của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi ......................92
4.2.1. Tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi và các phương trình cơ bản ...............92
4.2.2. Phương pháp giải ........................................................................................96
4.2.3. Kết quả tính toán số và thảo luận..............................................................100
4.3. Phân tích động lực học của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi ......................106
4.3.1. Các phương trình cơ bản ...........................................................................106
4.3.2. Phương pháp giải ......................................................................................108
4.3.3. Kết quả tính toán số và thảo luận..............................................................110
4.4. Kết luận chương 4 ............................................................................................114
KẾT LUẬN ............................................................................................................116
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN .....................................................................................................118
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................120
PHỤ LỤC ...............................................................................................................136

iv


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
CPT

Lý thuyết tấm cổ điển.

ES-FGM

Eccentrically Stiffener - Functionally Graded Material
Vật liệu có cơ tính biến đổi có gân gia cường lệch tâm.

ES-FGM áp điện

Vật liệu có cơ tính biến đổi một mặt được gia cường bằng hệ
thống các gân, một mặt được gắn một lớp áp điện.

FGM

Functionally Graded Material – Vật liệu có cơ tính biến đổi.

FSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.

S-FGM

Vật liệu FGM đối xứng phân bố theo quy luật hàm Sigmoid.

T-D

Tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ.

T-ID

Tính chất vật liệu không phụ thuộc vào nhiệt độ.

TSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba.

Em , Ec

Mô đun đàn hồi tương ứng của kim loại và ceramic.

m , c

Hệ số giãn nở nhiệt tương ứng của kim loại và ceramic.

m , c

Mật độ khối lượng tương ứng của kim loại và ceramic.

E0 ,  0

Mô đun đàn hồi và hệ số giãn nở nhiệt của gân.

Gsx , Gsy

Mô đun trượt của gân theo hướng x và y của tấm.

z

Hệ số Poisson của vật liệu FGM, là hàm của tọa độ z.

N

Hệ số tỷ lệ thể tích của tấm.

N1

Hệ số tỷ lệ thể tích của hệ số Poisson.

a, b, h

Chiều dài, rộng và dày của tấm.

u, v, w

Các thành phần chuyển vị theo phương x, y và z.

 x , y

Các góc xoay của pháp tuyến với mặt giữa lần lượt đối với các
trục y và x .

m, n

Số nửa sóng theo hướng x và y của tấm.

W

Biên độ của độ võng.

W

Biên độ của độ võng không có thứ nguyên.

v


s1, s2

Khoảng cách giữa các gân tương ứng theo phương x và y .

z1, z2

Khoảng cách từ mặt giữa của gân đến mặt giữa của tấm tương
ứng theo phương x và y .

d1, h1 và d2 , h2

Chiều rộng và chiều dày của gân tương ứng theo phương x và y .

m n

Tần số dao động tự do tuyến tính của tấm.

 fd

Tần số dao động cơ bản của tấm.

K1, K 2

Hệ số nền Winkler và Pasternak không có thứ nguyên.

2 

Toán tử Laplace, 2 






x

   
y

q0  t 

Áp lực ngoài biến đổi điều hòa theo thời gian.

p, 

Tương ứng là biên độ và tần số của áp lực ngoài.

N x , N y , N xy

Các thành phần lực giãn, lực nén và lực tiếp.

M x , My , M xy

Các thành phần mô men.

Px , Py , Pxy

Các thành phần mô men bậc cao.

Qx , Qy , Qxy

Các thành phần lực cắt.

Rx , Ry , Rxy

Các thành phần lực cắt bậc cao.

Fx , Fy

Lực nén dọc trục lên tấm theo phương x và y .

vi


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1.

Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của silicon nitride và thép không gỉ .............34

Bảng 2.2.

Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi và tỷ lệ a / h đến tần số dao
động cơ bản của tấm S-FGM trong hai trường hợp mô hình phân bố
vật liệu I và II ........................................................................................46

Bảng 2.3.

Ảnh hưởng của tỷ lệ a / b và hệ số tỷ lệ thể tích đến tần số dao
động tự do tuyến tính của tấm S-FGM (mô hình I: ceramic – kim
loại – ceramic) .......................................................................................48

Bảng 3.1.

So sánh ứng xử tới hạn nhiệt cho tấm dày S-FGM .............................. 64

Bảng 3.2.

Ứng xử tới hạn do tải nén và nhiệt độ của tấm dày FGM trong hai
trường hợp T-ID và T-D ........................................................................65

Bảng 3.3.

So sánh tần số dao động cơ bản không thứ nguyên.................................83

Bảng 3.4.

So sánh tần số dao động cơ bản của tấm FGM áp điện ở mặt phía trên .....83

Bảng 3.5.

Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi và mode vồng lên tần số dao
động tự do tuyến tính của tấm dày ES-FGM.........................................84

Bảng 3.6.

Tần số dao động cơ bản của tấm ES-FGM áp điện ............................... 84

Bảng 4.1.

So sánh giá trị tải nén của tấm FGM không có gân gia cường ...........101

Bảng 4.2.

So sánh giá trị tải nhiệt cho tấm FGM không có gân gia cường .........101

Bảng 4.3.

So sánh tần số dao động cơ bản không thứ nguyên cho tấm

Al / Al2O3 ...........................................................................................110
Bảng 4.4.

Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên giá trị tần số dao động tự do
tuyến tính của tấm dày ES-FGM. ........................................................111

Bảng 4.5. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi, gân gia cường và mode vồng đến
tần số tần số dao động tự do tuyến tính của tấm dày ES-FGM. ..........111

vii


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1.

Mô hình kết cấu tấm làm từ vật liệu P-FGM. .........................................5

Hình 1.2.

Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic qua chiều dày thành kết cấu của vật
liệu P-FGM. ............................................................................................. 5

Hình 1.3.

Mô hình kết cấu tấm làm từ vật liệu S-FGM. .........................................6

Hình 1.4.

Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic qua chiều dày thành kết cấu của vật
liệu S-FGM. ............................................................................................. 6

Hình 1.5.

Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo. .......................8

Hình 2.1.

Mô hình nền đàn hồi Pasternak. ............................................................ 19

Hình 2.2.

Hình dáng và tọa độ của tấm mỏng ES-FGM trên nền đàn hồi. ...........20

Hình 2.3.

Hình dáng của gân gia cường. ..................................................................20

Hình 2.4.

So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm FGM không
có gân gia cường với nghiên cứu. ............................................................ 33

Hình 2.5.

So sánh đường cong độ võng–tải nén sau tới hạn của tấm FGM
không có gân gia cường với nghiên cứu. ..............................................33

Hình 2.6.

So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm FGM có gân
gia cường với nghiên cứu. .......................................................................33

Hình 2.7.

So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm mỏng
ES-FGM và tấm FGM không có gân gia cường (1, 2: Tấm ESFGM; 3, 4: Tấm FGM không có gân gia cường). .................................35

Hình 2.8.

Ảnh hưởng của hệ số Poisson lên đường cong độ võng – nhiệt độ
sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. .....................................................35

Hình 2.9.

Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. .......................................................36

Hình 2.10. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM (tính chất T-D). .......................36
Hình 2.11. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng đều lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ..................................................36
Hình 2.12. Ảnh hưởng của tải nén lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn
của tấm mỏng ES-FGM (tính chất T-D). ..................................................36

viii


Hình 2.13. Ảnh hưởng của điều kiện biên (FM và IM) lên đường cong độ võng
– tải nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ......................................37
Hình 2.14. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ................................................37
Hình 2.15. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ..............................................38
Hình 2.16. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm mỏng ES-FGM. ...................................................38
Hình 2.17. Tấm S-FGM trên nền đàn hồi (Mô hình I). ...........................................39
Hình 2.18. Tấm S-FGM trên nền đàn hồi (Mô hình II)...........................................39
Hình 2.19. So sánh đường cong thời gian - độ võng của tấm mỏng S-FGM
trong hai trường hợp: Mô hình I và mô hình II. ....................................47
Hình 2.20. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa
của tấm S-FGM. ....................................................................................48
Hình 2.21. Đường cong thời gian – độ võng của tấm mỏng S-FGM với các
biên độ tải trọng khác nhau. ..................................................................48
Hình 2.22. Quan hệ độ võng – vận tốc của tấm S-FGM. ........................................49
Hình 2.23. Đường cong thời gian – độ võng của tấm S-FGM với các giá trị khác
nhau của hệ số tỷ lệ thể tích N . ............................................................... 49
Hình 2.24. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. .................................................................49
Hình 2.25. Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. .................................................................49
Hình 2.26. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ a / b lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. .................................................................50
Hình 2.27. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ a / h lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm mỏng S-FGM. .................................................................50

Hình 3.1.

So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm đồng nhất.....63

Hình 3.2.

So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày
FGM không gân. ....................................................................................64

Hình 3.3.

Ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm dày FGM................................................................ 66

ix


Hình 3.4.

Ảnh hưởng của gân gia cường lên đường cong độ võng – nhiệt độ
sau tới hạn của tấm dày FGM................................................................ 66

Hình 3.5.

Ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất hiệu dụng lên
đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ...........67

Hình 3.6.

Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng – tải

nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ..................................................67

Hình 3.7.

Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong độ võng – nhiệt
độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM.....................................................67

Hình 3.8.

Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – tải nén sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. .................................................................68

Hình 3.9.

Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ...................................................................68

Hình 3.10.

Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ............................................................. 69

Hình 3.11. Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên đường cong độ võng –
nhiệt độ của tấm ES-FGM. ....................................................................69
Hình 3.12. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên đường cong độ võng – tải nén sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. .................................................................69
Hình 3.13. Ảnh hưởng của của lực nén Fx lên đường cong độ võng – nhiệt độ
sau tới hạn của tấm dày ES-FGM với tính chất vật liệu T-ID và TD. ..69
Hình 3.14. Ảnh hưởng của tỉ số a / b lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ............................................................... 70

Hình 3.15. Ảnh hưởng của điều kiện biên (FM và IM) lên đường cong độ võng
– tải nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ..........................................70
Hình 3.16. Mô hình tấm ES-FGM áp điện trên nền đàn hồi. ..................................71
Hình 3.17. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm ES-FGM áp điện ............................................................. 85
Hình 3.18. Ảnh hưởng của hệ số nền Winkler tới đường cong thời gian – độ
võng của tấm ES-FGM áp điện. ............................................................ 85
Hình 3.19. Ảnh hưởng của hệ số Pasternak tới đường cong thời gian – độ võng
của tấm ES-FGM áp điện. .....................................................................85

x


Hình 3.20. Ảnh hưởng của W0 tới đường cong thời gian – độ võng của tấm
ES-FGM áp điện. ...................................................................................86
Hình 3.21. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ T tới đường cong thời gian – độ
võng của tấm ES-FGM áp điện. ............................................................ 86
Hình 3.22. Ảnh hưởng của gân gia cường tới đường cong thời gian – độ võng
của tấm FGM áp điện. ...........................................................................87
Hình 3.23. Ảnh hưởng của điện áp đặt vào lên đường cong thời gian – độ võng
của tấm ES-FGM áp điện. .....................................................................87
Hình 3.24. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa. ..........87
Hình 3.25. Ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa. .....87
Hình 3.26. So sánh đường cong thời gian – độ võng trong hai trường hợp sử
dụng phương trình (3.41) và phương trình (3.48). ................................ 88
Hình 3.27. Ảnh hưởng của tải trọng bên ngoài đến quan hệ tần số - biên độ
trong trường hợp chịu tải trọng động. ...................................................89
Hình 3.28. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới quan hệ tần số - biên độ của tấm
ES-FGM áp điện dao động tự do. .......................................................... 89
Hình 4.1.

So sánh đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày FGM
không có gân gia cường.........................................................................100

Hình 4.2.

So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm FGM
không gân gia cường. ..........................................................................100

Hình 4.3.

So sánh đường cong độ võng – nhiệt độ sau vồng của tấm đẳng
hướng chịu nhiệt độ tăng đều. .............................................................101

Hình 4.4.

Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích N lên đường cong độ võng –
nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM..........................................102

Hình 4.5.

Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích N lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ...................................................102

Hình 4.6.

Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – tải nén sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ...............................................................103

Hình 4.7.

Ảnh hưởng của hệ số nền đàn hồi lên đường cong độ võng – nhiệt độ sau
tới hạn của tấm dày ES-FGM. ................................................................103

Hình 4.8.

Ảnh hưởng của yếu tố không không hoàn hảo về hình dáng lên
đường cong độ võng – tải nén sau tới hạn của tấm dày ES-FGM.......104

xi


Hình 4.9.

Ảnh hưởng của yếu tố không hoàn hảo về hình dáng ban đầu lên
đường cong độ võng – nhiệt độ sau tới hạn của tấm dày ES-FGM. ...104

Hình 4.10. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên đường cong độ võng – tải nén
sau tới hạn của tấm ES-FGM. .............................................................104
Hình 4.11.

Ảnh hưởng của điều kiện biên (FM và IM) lên đường cong độ võng – tải
nén sau tới hạn của tấm ES-FGM. ...........................................................104

Hình 4.12. Ảnh hưởng của tỷ lệ a / b lên sự ổn định của tấm dày ES-FGM. .....105
Hình 4.13. Ảnh hưởng của gân gia cường tới đường cong thời gian – độ võng
của tấm dày FGM. ...............................................................................112
Hình 4.14. Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích tới đường cong thời gian – độ
võng của tấm dày ES-FGM. ................................................................112
Hình 4.15. Ảnh hưởng của tỷ lệ a / b tới đường cong thời gian – độ võng của

tấm dày ES-FGM. ................................................................................113
Hình 4.16. Ảnh hưởng của tỷ lệ a / h tới đường cong thời gian – độ võng của
tấm dày ES-FGM. ................................................................................113
Hình 4.17. Ảnh hưởng của hệ số mô hình nền Winkler lên đường cong thời
gian – độ võng của tấm dày ES-FGM. ................................................113
Hình 4.18.

Ảnh hưởng của hệ số mô hình nền Pasternak lên đường cong thời gian – độ
võng của tấm dày ES-FGM. .....................................................................113

Hình 4.19. Đáp ứng động học của tấm dày ES-FGM với các giá trị khác nhau
của biên độ tải trọng. ...........................................................................114
Hình 4.20. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong thời gian – độ võng của
tấm dày ES-FGM. ................................................................................114

xii


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến đổi hay còn gọi là vật liệu chức năng (Functionally
Graded Material-FGM) có tính chất cơ lý biến đổi trơn và liên tục từ mặt này đến
mặt kia nên các kết cấu FGM tránh được sự tập trung ứng suất trên bề mặt tiếp xúc
giữa các lớp, tránh được sự bong tách và rạn nứt trong kết cấu. Nhờ những tính chất
ưu việt trên so với composite và vật liệu truyền thống, các kết cấu FGM được ứng
dụng ngày càng nhiều trong công nghiệp hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân
và các lĩnh vực làm việc trong môi trường nhiệt độ cao hoặc chịu tải trọng phức tạp.
Trong thực tiễn để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố
bằng gân gia cường hay sử dụng vật liệu áp điện trong các cảm biến, thiết bị dẫn
động để điều khiển các ứng xử cơ học.

Hiện nay, các nghiên cứu về ổn định tĩnh phi tuyến và động lực học của các
kết cấu tấm FGM, tấm FGM có gân gia cường (ES-FGM), FGM áp điện đã thu hút
được sự quan tâm của các nhà khoa học trong nước và quốc tế. Mặc dù vậy, các
nghiên cứu mới chỉ sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và chưa xét đến tính chất vật liệu
của cả gân và tấm FGM phụ thuộc vào nhiệt độ. Trong trường hợp tấm dày thì cần
phải sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất hoặc bậc ba hay kết cấu làm việc
trong môi trường nhiệt độ cao cần phải kể đến tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt
độ. Đây vẫn là vấn đề mở, đặc biệt là sử dụng phương pháp giải tích và phương
pháp hàm ứng suất đi phân tích động lực học của kết cấu tấm ES-FGM và tấm ESFGM áp điện hay sử dụng lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc ba cho các kết cấu tấm
ES-FGM trong đó có xét đến tính chất vật liệu của cả gân và tấm FGM đều phụ
thuộc vào nhiệt độ.
Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết đã nêu ở trên, tác giả đã chọn đề tài
“Phân tích phi tuyến tĩnh và động lực học của tấm chữ nhật FGM trên nền đàn
hồi” làm nội dung nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
i. Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bằng cách tiếp

1


cận giải tích để tìm lực tới hạn và đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn của
tấm mỏng ES-FGM và tấm dày ES-FGM.
ii. Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải bằng cách tiếp
cận giải tích để tìm các đáp ứng động lực học như tần số dao động cơ bản, quan hệ
tần số - biên độ và đường cong phi tuyến thời gian – độ võng của tấm mỏng SFGM, tấm dày ES-FGM và tấm dày ES- FGM áp điện.
iii. Lập trình khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào như tính
chất vật liệu, gân gia cường, nền đàn hồi, các tham số hình học, các loại tải trọng,
tính không hoàn hảo, điều kiện biên và tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (TD) đến sự ổn định phi tuyến tĩnh và động lực học của các tấm FGM.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận án
Luận án tập trung nghiên cứu đối tượng tấm chữ nhật mỏng và dày có cơ tính

biến đổi FGM có và không có gân gia cường, có gắn lớp áp điện, trong đó gân gia
cường là thuần nhất, đặt trực giao, mau và thiết diện gân là hình chữ nhật.
Phạm vi nghiên cứu của luận án là phân tích ổn định phi tuyến tĩnh và động
lực học của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến đổi FGM trên nền đàn hồi.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đối với bài toán tĩnh, luận án sử dụng phương pháp giải tích và tiêu chuẩn
ổn định kiểu rẽ nhánh. Đối với bài toán động lực học, phương pháp sử dụng là
giải tích kết hợp với phương pháp số Runge-Kutta bậc 4. Trong luận án sử dụng
là thuyết thuyết tấm cổ điển, biến dạng trượt bậc nhất và biến dạng trượt bậc ba,
phương pháp hàm ứng suất, phương pháp Galerkin và phương pháp san đều tác
dụng gân của Leckhnitsky và công thức gân mới tổng quát để thiết lập các
phương trình chủ đạo.
5. Bố cục của luận án
Luận án gồm: Phần mở đầu, bốn chương, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.
Phần mở đầu: Trình bày tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu, mục tiêu, đối
tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu của luận án.
Chƣơng 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Chương này trình bày các khái niệm, tính chất, tiêu chuẩn ổn định tĩnh và

2


tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới đối với bài toán ổn định
phi tuyến tĩnh và động lực học của tấm và vỏ FGM. Từ đó, phân tích các vấn đề đã
được nghiên cứu, những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Đề xuất mục tiêu, nội dung
và phương pháp nghiên cứu của luận án.
Chƣơng 2: Phân tích phi tuyến của tấm mỏng FGM sử dụng lý thuyết cổ điển
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết của bài toán ổn định phi tuyến
tĩnh của tấm mỏng ES-FGM không hoàn hảo sử dụng lý thuyết tấm cổ điển, hệ số
Poisson là hàm của tọa độ z trong đó xét đến tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt

độ (T-D) và bài toán động lực học của tấm mỏng S-FGM trên nền đàn hồi. Phương
pháp giải và các kết quả lập trình tính toán số được trình bày. Các kết quả tính toán
số được so sánh với kết quả của các công trình khác để khẳng định độ tin cậy của
phương pháp.
Chƣơng 3: Phân tích phi tuyến của tấm dày ES-FGM sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết của bài toán ổn định phi tuyến
tĩnh của tấm dày ES-FGM và bài toán động lực học của tấm dày ES-FGM áp điện,
trong đó tính chất vật liệu T-D và sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất.
Phương pháp giải và các kết quả lập trình tính toán số được trình bày. Các kết quả
tính toán số được so sánh với kết quả của các công trình khác để khẳng định độ tin
cậy của phương pháp.
Chƣơng 4: Phân tích phi tuyến của tấm dày ES-FGM sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba
Chương này trình bày mô hình, các giả thiết của bài toán ổn định phi tuyến
tĩnh và động lực học của tấm dày ES-FGM trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt
độ sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba. Phương pháp giải và các kết quả lập
trình tính toán số được trình bày. Các kết quả tính toán số được so sánh với kết quả
của các công trình khác để khẳng định độ tin cậy của phương pháp.
Kết luận: Trình bày những kết quả mới của luận án, một số nhận xét và kiến nghị.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

3


CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu có cơ tính biến đổi FGM
Là một trong những vấn đề được quan tâm nghiên cứu hiện nay, vật liệu chức

năng, hay còn được gọi là vật liệu có cơ tính biến đổi với tên quốc tế là Functionally
Graded Material (FGM) đã được phát triển và đặt tên bởi một nhóm các nhà khoa học
vật liệu ở Viện Sendai của Nhật Bản vào năm 1984 [79]. Bằng cách phân bố tỷ lệ thể
tích của hai loại vật liệu thành phần kim loại và ceramic biến thiên một cách trơn và
liên tục theo bề dày, vật liệu này đã tận dụng được các ưu điểm của cả hai vật liệu cấu
thành. Do có mô đun đàn hồi E cao cùng với hệ số truyền nhiệt K và hệ số giãn nở
nhiệt  rất thấp nên thành phần ceramic làm cho vật liệu có cơ tính biến đổi có độ
cứng cao và khả năng kháng nhiệt rất tốt. Trong khi đó thành phần kim loại làm cho vật
liệu có cơ tính biến đổi trở nên mềm dẻo hơn, bền hơn và khắc phục sự rạn nứt có thể
xảy ra do tính dòn của vật liệu ceramic khi chịu nhiệt.
Vật liệu FGM thường được tạo nên từ hai loại vật liệu thành phần là ceramic
và kim loại với tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần được lựa chọn một cách hợp lý,
biến đổi liên tục theo bề dày của kết cấu. Do vậy đã tạo nên loại vật liệu có độ cứng
cao, khả năng chịu nhiệt tốt, dẻo dai khi chịu lực và duy trì được tính toàn vẹn về
cấu trúc.
Một số kết cấu FGM hiện nay được sử dụng là tổ hợp của các loại vật liệu sau
- Silicon nitride/ Stainless stell  Si3 N4 / SUS 304
- Zirconia/ Titanium alloy  Z r O2 / Ti  6 Al  4V 
- Zirconia/ Stainless steel  Z r O2 / SUS 304 
- Alumina/ Aluminum  Al2O3 / Al 
Có hai cách tiếp cận mô hình vật liệu FGM. Cách thứ nhất, sắp xếp từng lớp
theo tỷ lệ thể tích của ceramic và kim loại, khi đó vật liệu FGM được cấu thành từ
nhiều lớp rất mỏng và trong mỗi lớp này tỷ lệ thể tích của các vật liệu là không thay
đổi. Cách thứ hai, thay đổi liên tục tỷ lệ thể tích của ceramic hoặc kim loại theo bề
dày thành kết cấu h theo một hàm lũy thừa của biến theo chiều dày z , cách sắp xếp
này rất phổ biến hiện nay. Theo cách tiếp cận thứ hai này, có thể chia vật liệu có cơ

4

tính biến đổi FGM thành 3 loại: vật liệu FGM thông thường (P-FGM), vật liệu
FGM đối xứng phân bố theo quy luật hàm Sigmoid (S-FGM) và vật liệu FGM phân
bố theo quy luật hàm siêu việt (E-FGM).
Vật liệu P-FGM
Đối với vật liệu FGM trong đó các thành phần ceramic và kim loại phân bố
tuyến tính qua chiều dày thành kết cấu với một bề mặt giàu ceramic và một bề mặt
giàu kim loại người ta còn có thể gọi là vật liệu P-FGM, hay để cho ngắn gọn có thể
chỉ gọi đơn giản là vật liệu FGM (hình 1.1).

Hình 1.1. Mô hình kết cấu tấm làm từ vật

Hình 1.2. Sự biến đổi của tỷ lệ

liệu P-FGM.

ceramic qua chiều dày thành kết
cấu của vật liệu P-FGM.

Trong một đơn vị thể tích kết cấu chứa tỉ phần thể tích ceramic Vc và tỉ phần
thể tích kim loại Vm , tức là: Vc  Vm  1 , tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu
được giả thiết biến đổi theo chiều dày thành kết cấu h theo một hàm lũy thừa của
biến chiều dày z (quy luật hàm mũ) như sau [11, 76-77, 89, 120]
N

h
h
 2z  h 
Vc ( z )  
 ,  z  ,
2

2
 2h 
Vm (z)  1  Vc ( z ).

(1.1)

trong đó N là một số không âm gọi là chỉ số tỷ lệ thể tích (volume fraction index),
chỉ số dưới m và c tương ứng chỉ thành phần kim loại và ceramic, h là bề dày của
kết cấu. Theo quy luật phân bố vật liệu (1.1) khi N  0 tấm thuần nhất là ceramic,
khi tăng N tỷ lệ ceramic trong tấm FGM giảm (hình 1.2).

5


Vật liệu S-FGM
Đối với vật liệu S-FGM hay còn gọi là vật liệu FGM đối xứng phân bố theo
quy luật hàm Sigmoid (hình 1.3). Kết cấu được bao bọc bởi các mặt ngoài giàu
ceramic và mặt giữa giàu kim loại, tấm hai lớp đối xứng tạo thành từ vật liệu FGM
là một ví dụ như thế.

Hình 1.3. Mô hình kết cấu tấm làm từ vật

Hình 1.4. Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic

liệu S-FGM.

qua chiều dày thành kết cấu của vật liệu
S-FGM.

Tỷ lệ thể tích của các thành phần kim loại và ceramic, Vm và Vc được giả

thiết biến đổi theo quy luật hàm lũy thừa của biến chiều dày z (quy luật hàm
Sigmoid, sử dụng quy luật hàm mũ cho 2 miền) như sau [11, 35-37]

 2 z  h  N

 , h/2 z 0
 h 
Vm ( z )  
, Vc ( z )  1  Vm ( z ),
N
  2 z  h 
 h  , 0 z h/2



(1.2)

trong đó N là chỉ số tỷ lệ thể tích, là một số không âm và có thể được chọn để xác
định phân bố vật liệu tối ưu trong một ứng dụng cụ thể của tấm. Theo quy luật phân
bố vật liệu (1.2) khi N  0 tấm thuần nhất kim loại, khi N  1 các thành phần vật
liệu ceramic và kim loại trong tấm phân bố tuyến tính qua chiều dày, và khi N tăng
tỷ lệ ceramic trong tấm FGM tăng (hình 1.4).

6


Vật liệu E-FGM
Trong vật liệu loại E-FGM thì mô đun đàn hồi của loại vật liệu chức năng
này được giả thiết tuân theo quy luật hàm siêu việt (hàm e mũ)
B z h/ 2 

E  z   Ae 
,

(1.3)

với

A  Et , B 

1  Eb 
ln 
,
h  Et 

(1.4)

Et là Mô đun đàn hồi của tấm ở mặt trên  z  h / 2 .
Eb là Mô đun đàn hồi của tấm ở mặt dưới  z  h / 2 .
Vật liệu composite FGM như vậy được gọi là vật liệu E-FGM.
Nếu tính chất của vật liệu độc lập với nhiệt độ (T-ID): tính chất hiệu
dụng Peff của vật liệu FGM được xác định theo quy tắc hỗn hợp sau [11]

Peff  z   PrcVc  z   PrmVm  z  ,

(1.5)

trong đó Pr là ký hiệu một tính chất cụ thể của vật liệu như mô đun đàn hồi E ,
mật độ khối lượng  , hệ số giãn nở nhiệt  , hệ số truyền nhiệt K ,…
Nếu tính chất của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D): tính chất hiệu
dụng Peff của vật liệu FGM được xác định theo quy tắc hỗn hợp sau

Peff  z, T   Prc T  Vc  z   Prm T  Vm  z  ,

(1.6)

trong đó Pr phụ thuộc vào nhiệt độ theo một hàm phi tuyến được xác định như sau
[89]





2
3
Pr  P0 P1T 1  1  PT
1  P2T  P3T ,

(1.7)

trong đó P0 , P1, P1, P2 , P3 là các hệ số phụ thuộc nhiệt độ T  T0  T  (đơn vị
K ) được xác định thông qua thí nghiệm của các vật liệu thành phần và là duy nhất

đối với mỗi vật liệu cụ thể và T là biến thiên nhiệt độ của môi trường chứa kết
cấu so với giá trị ban đầu mà ở đó kết cấu không có biến dạng nhiệt. Các tính chất
vật liệu thường được tính toán ở điều kiện nhiệt độ phòng T0  300K .
Để chế tạo vật liệu FGM có nhiều phương pháp khác nhau: Phun phủ nhiệt

7

(Thermal spray); Luyện kim bột – biến dạng tạo hình; Lắng đọng hóa học (Chemical
vapor deposition, CVD); Lắng đọng vật lý (Phisical vapor deposition), Tổng hợp nhiệt
độ cao (Self-propagating high temperature synthesis); Thiêu kết (Difusion treatments),
lắng đọng (Sedimentation). Tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của vật liệu, điều kiện công
nghệ có để lựa chọn công nghệ chế tạo vật liệu FGM phù hợp. Luận án không đi sâu
vào vấn đề này, các phương pháp này được trình bày trong công trình [88].
Vật liệu FGM được sử dụng khá rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau do
tính ưu việt mà nó mang lại, có thể kể đến một số lĩnh vực FGM được ứng dụng
như: Hàng không vũ trụ; Y học; Quốc phòng; Năng lượng; Quang điện tử [7, 8, 11].
1.2. Phân loại và tiêu chuẩn ổn định tĩnh
Ổn định tĩnh của kết cấu chịu biến dạng được hiểu là khả năng duy trì được
trạng thái cân bằng ban đầu của kết cấu khi nó chịu tác động ngoài, còn khi khả
năng đó mất đi thì ta nói rằng kết cấu đó không ổn định (trạng thái mất ổn định).
Trạng thái tới hạn là ranh giới giữa trạng thái ổn định và trạng thái mất ổn định. Tải
trọng ứng với trạng thái tới hạn gọi là lực tới hạn, tức là giá trị bé nhất của lực ngoài
để kết cấu bị mất ổn định [1, 2].
Xuất phát từ hai quan niệm khác nhau về trạng thái tới hạn của Euler và
Poincarre, có thể chia thành hai loại mất ổn định là mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh
và mất ổn định theo kiểu cực trị [2, 10].

Hình 1.5. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo.

8


Trong luận án chỉ xét đến ổn định theo kiểu rẽ nhánh (hình 1.5), là trường
hợp tải tới hạn đạt được tại điểm rẽ nhánh. Các đặc trưng của kiểu mất ổn định dạng
này gọi là mất ổn định loại 1 là:
+ Dạng cân bằng có khả năng rẽ nhánh
+ Phát sinh dạng cân bằng mới khác cân bằng ban đầu về tính chất

+ Trước trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định, sau
trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định
Nghiên cứu ổn định dựa trên tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh được hiểu là: Trạng
thái cân bằng ban đầu của vật thể đàn hồi được gọi là ổn định nếu dưới tác dụng của
lực đã cho và điều kiện biên đã biết không tồn tại trạng thái cân bằng lân cận nào
khác với trạng thái cân bằng ban đầu. Còn nếu có ít nhất một trạng thái cân bằng lân
cận khác với trạng thái cân bằng ban đầu thì trạng thái cân bằng ban đầu là không
ổn định. Giá trị lực nhỏ nhất để tồn tại trạng thái cân bằng lân cận gọi là lực tới hạn.
1.3. Tình hình nghiên cứu đã đƣợc công bố về tấm và vỏ FGM
1.3.1. Phân tích phi tuyến của tấm và vỏ FGM không có gân gia cường
Trong những năm gần đây có rất nhiều nhóm tác giả trên thế giới và trong
nước nghiên cứu về ổn định phi tuyến tĩnh và phân tích động lực học của tấm và vỏ
FGM không có gân gia cường.
Đầu tiên có thể kể đến nhóm tác giả Hui Shen Shen và các cộng sự. Tác giả
Shen và các cộng sự đã nghiên cứu về ứng xử của các tấm, vỏ trụ tròn và panel trụ
FGM trong giai đoạn sau tới hạn [101-109, 112 – 115, 151, 152]. Trong các nghiên
cứu này các tác giả đã sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận theo tham số bé kết
hợp với phương pháp lặp để xác định các tải tới hạn và các đường cong liên hệ độ
võng - tải trọng phi tuyến khi các tải vượt quá giá trị tới hạn. Nhiều ảnh hưởng phức
tạp của các yếu tố như tính phi tuyến hình học, biến dạng trượt bậc cao, các tính
chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ [104, 108, 109, 113], tương tác cơ - nhiệt, có gắn
thêm lớp vật liệu áp điện [103, 105, 109, 112], nền đàn hồi [115] và tính không
hoàn hảo về hình dáng của tấm, vỏ lên ứng xử của tấm và vỏ FGM được xem xét.
Hơn nữa, họ cũng đã đề xuất lý thuyết lớp biên (boundary layer theory) trong bài

9


toán ổn định của vỏ trụ [110, 111], tức là kể đến ảnh hưởng của biến dạng phi tuyến
trong giai đoạn trước tới hạn ở hai đầu vỏ, và áp dụng lý thuyết này kết hợp với các

lý thuyết biến dạng trượt bậc cao để dự đoán chính xác hơn ứng xử ổn định phi
tuyến của các vỏ và panel trụ khi chúng chịu các tải nén dọc trục, áp lực ngoài hoặc
tải kết hợp đồng thời có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường. Trong [99,
100], Hui Shen Shen đã nghiên cứu ứng xử sau tới hạn trong trường hợp chịu tải
nhiệt và tải xoắn của vỏ trụ, panel trụ nano composite trên nền đàn hồi.
Phân tích động lực học kết cấu FGM cũng được nhóm của tác giả Hui Shen
Shen nghiên cứu, có thể kể đến một số nghiên cứu sau: Shen [116], Shen và Wang H.
[117], tác giả Shen và các cộng sự [118] đã khảo sát dao động phi tuyến của vỏ trụ, tấm
và panel trụ, vỏ hai độ cong FGM bao quanh (trên) nền đàn hồi. Tác giả Xia và Shen
[147 – 149] khảo sát dao động mất ổn định của tấm đẳng hướng với lớp phủ hai mặt là
FGM [147], và tấm FGM lai cấu thành bởi hai lớp FGM và hai lớp áp điện ở hai mặt
ngoài hoặc giữa kết cấu [148] và tấm FGM áp điện [149]. Trong Huang và Shen [67]
và Xia và Shen [150] đã nghiên cứu dao động và đáp ứng động lực của tấm FGM áp
điện trong môi trường nhiệt độ. Trong đó tấm FGM được gắn 2 lớp áp điện ở mặt trên
và mặt dưới, tính chất vật liệu xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ. Dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc cao, tính phi tuyến hình học von Karman và hiệu ứng nhiệt áp điện, sử
dụng phương pháp Galerkin để giải, sau một số phép biến đổi phức tạp thu được
phương trình vi phân chuyển động cấp hai của tấm. Kết quả chỉ ra ảnh hưởng của sự
thay đổi nhiệt độ, điện áp, sự phân bố vật liệu đến dao động phi tuyến của tấm FGM áp
điện [67] và ảnh hưởng của điện áp đến tần số dao động riêng của tấm [150]. Gần đây
tác giả Shen và Wang [119] đã nghiên cứu dao động và trạng thái tới hạn nhiệt của tấm
composite nano trên nền đàn hồi.
Có thể kể đến một số nghiên cứu của nhóm tác giả Huaiwei Huang và Qiang
Han, nhóm tác giả tập trung vào nghiên cứu kết cấu vỏ trụ FGM. Có thể kể đến một
số nghiên cứu về ổn định tĩnh của nhóm Huang và Han [68 – 74]. Trong các nghiên
cứu này nhóm tác giả đã sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học
Von karman và sử dụng dạng nghiệm một hoặc ba số hạng và sử dụng phương pháp
hàm ứng suất, phương pháp Galerkin, có sử dụng phần mềm Abaqus, xem xét các

10

loại tải cơ, nhiệt, áp suất, tải xoắn và có kể đến tính chất vật liệu phụ thuộc vào
nhiệt độ. Sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth để nghiên cứu ổn định động phi tuyến
cho vỏ trụ FGM cũng được chỉ ra trong tài liệu [75].
Nghiên cứu về vỏ trụ, nón và nón cụt FGM được nhóm tác giả Sofiyev và
các cộng sự quan tâm nghiên cứu. Tác giả Sofiyev và Schnack [130], Sofiyev [131,
132], nghiên cứu ổn định tĩnh của vỏ trụ; vỏ nón [133, 134]; vỏ nón cụt [122 – 124,
121, 135, 136]. Trong các nghiên cứu trên nhóm tác giả sử dụng tải nén, tải xoắn và
áp suất trong đó có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ, các kết cấu bao quanh bởi nền
đàn hồi và có kể đến tính không hoàn hảo về hình dáng ban đầu. Gần đây một số
nghiên cứu của tác giả Sofiyev và các cộng sự về vỏ nón cụt sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất kết hợp với phương pháp Galerkin [125-129]: Nghiên cứu ổn
định tĩnh của vỏ nón cụt FGM tựa tự do dưới tác dụng của tải nén dọc trục không có
nền đàn hồi [125] và có nền đàn hồi [126], trong [127] tác giả Sofiyev đã phân tích
ổn định nhiệt đàn hồi của vỏ nón cụt FGM tựa đơn sử dụng lý thuyết biến dạng
trượt bậc nhất và lý thuyết vỏ Donnell dưới tác dụng của nhiệt độ phân bố đều và
tuyến tính qua chiều dày của vỏ. Nghiên cứu sự mất ổn định nhiệt đàn hồi của vỏ
nón cụt FGM bởi sự tăng nhiệt độ phi tuyến qua chiều dày của vỏ dựa trên lý thuyết
biến dạng trượt bậc nhất [128] và nghiên cứu sự ảnh hưởng của lớp phủ FGM nên
kết cấu vỏ nón cụt đến dao động tự do của vỏ, sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc
nhất để thiết lập các phương trình cơ bản của vỏ [129].
Các tác giả Javaheri và Eslami [76-78] và Shariat và Javaheri [92] đã
nghiên cứu ổn định của các tấm chữ nhật FGM chịu tải cơ và tải nhiệt dựa trên lý
thuyết tấm cổ điển [76, 78] và lý thuyết biến dạng trượt bậc cao [65, 77, 92]. Họ đã
sử dụng phương pháp hàm năng lượng và tìm được lời giải giải tích về tải tới hạn.
Tác giả Samsam và Eslami [93, 94] đã nghiên cứu trạng thái tới hạn của tấm FGM
chịu tải nén và tải nhiệt, trong nghiên cứu có xét đến tính không hoàn hảo về hình
dáng của tấm, sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và kết quả được so sánh trong trường
hợp tấm phẳng và tấm không phẳng. Tác giả Najafizadeh và Eslami [83] và Shariat

và Eslami [95] đã nghiên cứu sự ổn định nhiệt đàn hồi của tấm tròn có cơ tính biến

11