chuyên đề bài tập 3 định luật newton

Phần I : Cơ sở lý thuyết
Ba định luật Newton và định luật vạn vật hấp dẫn là cơ sở của cơ học cổ điển. Về thực
chất các định luật newton là những tiên đề, là những khẳng định tổng quát nhất, không thể
chứng minh được, không thể suy ra được từ những khẳng định khác. Khi thừa nhận những
tiên đề này, người ta đã xây dựng được cơ học cổ điển với những định luật áp dụng đúng
được trong thực tiễn, không những trên Trái đất mà còn cả trong miềm vũ trụ lân cận Trái
đất nữa.
I. Định luật Newton thứ nhất (định luật quán tính):
1. Khái niệm chuyển động quán tính :
- Nhà triết học cổ đại Aristotle (384 – 322 TCN) quan niệm : muốn cho một vật duy trì
được vận tốc không đổi thì phải có vật khác tác dụng lên nó. Từ thời cổ đại, người ta tưởng
rằng lực tác dụng làm vật chuyển động và khi lực ngừng tác dụng thì vật đứng lại.
- Galile (người Italia) nghi ngờ quan niệm trên và đã làm thí nghiệm để kiểm tra :
+ Ông dùng hai máng nghiêng rất trơn và nhẵn, bố trí như hình vẽ 1a rồi thả một hòn bi
cho lăn xuống trên máng nghiêng 1, ông nhận thấy hòn bi lăn ngược lên máng nghiêng 2
đến độ cao gần bằng độ cao ban đầu.
+ Khi giảm bớt góc nghiêng α của máng 2, ông thấy hòn bi lăn trên máng 2 được một
đoạn dài hơn (hình 1b).
+Ông suy đoán nếu máng 2 rất nhẵn và nằm ngang (α = 0) thì hòn bi sẽ lăn với vận tốc
không đổi mãi mãi ( hình 2).
Thí nghiệm này cho thấy : Nếu ta có thể loại trừ được các tác dụng cơ học lên một vật
thì vật sẽ chuyển động thẳng đều với vận tốc
v

vốn có của nó.
2. Định luật I Newton :
1
1
v
r
Hình 2

1
2
Hình 1a
α
1
2
Hình 1b
α
a. Phát biểu :
- Cách 1 : Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực
có hợp lực bằng không thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
- Cách 2 : Nếu hợp lực tác dụng lên một vật bằng không thì có thể tìm được các hệ quy
chiếu trong đó vật này không có gia tốc.
b.Ý nghĩa của định luật I Newton :
- Đứng yên và chuyển động thẳng đều cũng là một trạng thái cơ học như nhau. Trạng
thái chuyển động với vận tốc không đổi, đứng yên là chuyển động với vận tốc không đổi
bằng không
- Định luật nêu lên một tính chất quan trọng của mọi vật : mỗi vật đều có xu hướng bảo
toàn vận tốc của mình. Tính chất đó gọi là quán tính :
Quán tính là tính chất của các vật giữ nguyên không đổi trạng thái chuyển động của
mình khi không có lực ngoài tác dụng lên chúng hoặc khi các lực ngoài tác dụng lên chúng
cân bằng lẫn nhau.
⇒
Với ý nghĩa này định luật I Newton gọi là định luật quán tính và chuyển động thẳng
đều được gọi là chuyển động theo quán tính. Đại lượng đo mức quán tính của vật là khối
lượng quán tính, đo bằng kg.
- Lực không phải là nguyên nhân gây ra chuyển động hay duy trì chuyển động mà chỉ là
nguyên nhân gây ra sự thay đổi vận tốc
v


.
- Nhờ sự đúng đắn của định luật I Newton người ta mới phát hiện ra lực ma sát tác dụng
lên một vật chuyển động.
3. Hệ quy chiếu quán tính :
- Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó vật cô lập không có gia tốc hay là
hệ quy chiếu trong đó định luật thứ nhất của Newton được nghiệm đúng.
Cụ thể hơn : hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một vật không chịu tác
dụng của ngoại lực sẽ giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều
- Các ví dụ về lực quán tính
+ Hệ quy chiếu được Newton chọn để nghiệm lại định luật quán tính là hệ quy chiếu lấy
gốc là tâm Mặt trời, có 3 trục tọa độ đi qua 3 ngôi sao bất động trên bầu trời. Hệ quy chiếu
này được gọi là hệ quy chiếu Copecnic, thường sử dụng khi nghiên cứu chuyển động các
vì sao trong thiên văn học, vũ trụ học.
+Hệ quy chiếu gắn với tâm Trái đất thường dùng ngiên cứu chuyển động các vệ tinh, các
con tàu vũ trụ.
2
+Để nghiên cứu chuyển động của các vật trên mặt đất người ta dùng hệ quy chiếu gắn với
một điểm cố định trên mặt đất (hệ quy chiếư phòng thí nghiệm).
4.Hệ quy chiếu phi quán tính:
- Là hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc so với hệ phi quán tính. Là hệ quy chiếu trong đó
các định luật Newton không nghiệm đúng.Hệ quy chiếu phi quán tính đơn giản nhất là hệ
chuyển động thẳng có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính và hệ quy chiếu chuyển động
quay đều
- Việc xây dựng các định luật cơ học trong hệ quy chiếu rất phức tạp nó liên quan đến khái
niệm không thời gian. Ta cũng có thể xây dựng được các định luật với điều kiện đưa vào
một khái niệm mới về lực, đó là lực quán tính.
- Trong thực tế hầu như không có một hệ quy chiếu nào gắn với các vật thể là hệ quy chiếu
quán tính hoàn toàn cả, do mọi vật thể đều chuyển động có gia tốc với nhau. Hệ quy chiếu
gắn với Trái đất không phải hệ quy chiếu quán tính thực sự. Ví dụ Mặt trời dang chuyển
động quanh tâm thiên hà và chịu tác dụng của gia tốc hướng tâm là 3.10

-10
m/s, Trái đất
chuyển động quanh tâm mặt trời và chịu tác dụng một gia tốc hướng tâm (về phía Mặt trời)
bằng 0,006m/s
2
. Trái đất cũng đang tự quay và mọi điểm trên trái đất cũng chịu một gia tốc
hướng tâm (về phía tâm trái đất) bằng 0,034m/s
2
. Tuy nhiên có thể coi các hệ quy chiếu là
quán tính nếucác lực quán tính rất nhỏ so với các lực khác .
5. Lực quán tính :
a. Định nghĩa : Một hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc
a
r
so với hệ quy chiếu quán tính,
các hiện tượng cơ học xảy ra giống như là mỗi vật có khối lượng m chịu thêm tác dụng của
một lực bằng
ma
−
r
lực này gọi là lực quán tính
qt
F ma=
r
r
b. Phân loại lực quán tính :
+ Lực quán tính li tâm
+Lực quán tính kéo theo
+ Lực quán tính coriolis
- Các đặc điểm :

+ giống lực thông thường ở chỗ nó cũng gây ra biến dạng hoặc gây ra gia tốc cho vật, sinh
công và đo được bằng lực kế.
+ Khác lực thông thường ở chỗ lực quán tính được gây ra bởi tính chất của hệ quy chiếu
phi quán tính, không phải do tương tác giữa các vật nên nó không có phản lực
- Như vậy lực quán tính không thể quy về lực thông thường (vốn là các lực không bao giờ
biến mất đưới phép biến đổi hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu mà lực quán tính biến mất là hệ
3
quy chiếu quán tính.Về nguyên tắc việc đưa vào khái niệm lực quán tính là không nhất
thiết. Việc sử dụng lực quán tính cho khả năng giải trực tiếp một số bài toán đối với hệ quy
chiếu phi quán tính đơn giản hơn so với cách giải đối với hệ quy chiếu quán tính.
c. Lực quán tính li tâm:
- xuất hiện trong các hệ quy chiếu phi quán tính quay tròn đều với vận tốc góc
ω
r
so với hệ
quy chiếu quán tính.
- Biểu thức :
q ht q ht
F F F ma= − ⇔ = −
r r r
r
Trong đó :
q
F
r
là lực quán tính li tâm, m là khối lượng
của vật,
ht
a
r

là gia tốc hướng tâm,
ht
F
r
là lực hướng tâm.
- Từ biểu thức suy ra đặc điểm của lực quán tính li tâm
+ Điẻm đặt tại vật m trong hệ quy chiếu phi quán tính
chuyển động quay.
+ Cùng phương ngược chiều với lực hướng tâm
+ Độ lớn bằng lực hướng tâm :
2
2
q ht ht
v
F F ma m m R
R
ω
= = = =
Trong đó
ω
là vận tốc góc của hệ quy chiếu chuyển động quay (rad/s)
R là khoảng cách từ vật m đến trục quay.
- Hiện tượng li tâm được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật như máy quay li tâm máy đo vận
tốc …
d. Lực coriolis :
- Hiệu ứng Coriolis:
Hiệu ứng Coriolis là hiệu ứng xảy ra trong các hệ qui chiếu quay so với các hệ quy
chiếu quán tính, được đặt theo tên của Gaspard-Gustave de Coriolis-nhà toán học, vật lý
học người Pháp đã mô tả nó năm 1835 thông qua lý thuyết thủy triều của Pierre-Simon
Laplace. Nó được thể hiện qua hiện tượng lệch quĩ đạo của những vật chuyển động trong

hệ qui chiếu này. Sự lệch quĩ đạo do một loại lực quán tính gây ra, gọi là lực Coriolis.
- Biểu thức của lực coiriolis :
[ ]
2 .
c
F m v
ω
=
r
r
r
Trong đó
c
F
r
là lực coriolis, m là khối lượng của vật,
ω
r
là véc tơ vận tốc góc của hệ
quy chiếu phi quán tính chuyển động quay,
'v
r
là vận tốc của vật đối với hệ quy chiếu
quay.
- Ví dụ về lực Coriolis:
4
x
z
ω
r

P
r
N
r
q
F
r
y
o
Hình 3
Nếu một vật chuyển động dọc theo đường bán kính theo chiều rời xa trục quay của
hệ qui chiếu thì sẽ chịu tác động của một lực theo phương vuông góc với bán kính và theo
chiều ngược với chiều quay của hệ. Còn nếu vật chuyển động về phía trục quay thì lực sẽ
tác động vào vật theo chiều quay của hệ qui chiếu.
Điều này nghĩa là nếu vật được thả lăn tự do theo phương của bán kính, theo chiều
ra phía ngoài, thì nó sẽ quành về ngược chiều quay của hệ qui chiếu. Còn nếu như vật được
thả lăn tự do về phía trục thì sẽ ngược lại.
Phương của lực quán tính li tâm thì cùng phương với r nên lực quán tính li tâm
không làm cho vật bị lệch quỹ đạo, lực Coriolis có phương vuông góc với mặt phẳng tạo
bởi w và v' nên làm cho vật bị lệch hướng quỹ đạo, quả bóng không đứng yên so với người
quan sát đứng trên bàn quay mà chuyển động theo một quỹ đạo là một đường cong, viên bi
không lăn ra theo đường bán kính mà bị lệch thành đường cong ngược theo chiều quay của
đĩa, vật rơi có hiện tượng lệch về phía đông do Trái Đất quay từ Tây sang Đông.
e. Lực quán tính kéo theo:
- Xuất hiện trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng co gia tốc
0
a
r
so với hệ quy chiếu quán
tính.

Biểu thức
0
F Ma= −
r
r
II. Định luật II Newton :
1.Phát biểu :
- Cách 1 : Gia tốc mà một vật thu được dưới tác dụnh của một lực tỷ lệ thuận với lực và tỷ
lệ nghịch với khối lượng của vật. Phương và chiều của gia tốc trùng với phương và chiều
của lực tác dụng.
Biểu thức :
m
F
ka


=
K là hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào các đơn vị sử dụng, trong hệ SI :
k = 1 và
m
F
a


=
- Cách 2 (dạng tổng quát) : độ biến thiên dộng lượng của vật theo thời gian bằng lực tác
dụng vào vật và có cùng hướng với lực.
Biểu thức :
( v)dP d m
F

dt dt
= =
r
r
r
Nếu m = constant thì :
( )d mv dv
F m ma
dt dt
= = =
r r
r
r
F ma=
r
r
là phương trình động lực học dùng để định nghĩa chính xác lực
5
2. Chú ý :
- Vật chịu đồng thời tác dụng của các lực
1 2
, ,....,
n
F F F
r r r
thì :
1 2
1
....
n

n
i
i
F F F ma
F F ma
=
+ + + =
⇔ = =
∑
r r r
r
r r
r
F
r
được gọi là hợp lực của các lực tác dụng lên vật.
- Định luật II Newton được nghiệm đúng trong những hệ quy chiếu quán tính
- Cách phát biểu 1 chỉ áp dụng được trong trường hợp khối lượng của vật là không đổi.
+ Về mặt toán học ta có thể coi định luật Newton thứ nhất là trường hợp riên của
định luật Newton thứ hai, đó là khi không có lực tác dụng lên vật thì vật không được gia
tốc:
0 0 onsF a v c t= ⇒ = ⇒ =
r
r r
+ Về mặt vật lý học, định luật I và định luật II Newton có ý nghĩa khác nhau :
+)Định luật I nói rằng quán tính là bản chất của vật chất, các ngoại lực tác dụng vào
một vật chỉ làm thay đổi chuyển động quán tính sẵn có chứ không làm nảy sinh chuyển
động đó.
+) Định luật thứ hai nói rõ lực ngoài làm cho chuyển động của một vật thay đổi như
thế nào (về mặt định lượng)

+) Định luật I chỉ rõ trạng thái của vật còn định luật II không chỉ rõ trạng thái của
vật. nếu
0 0F a∑ = ⇒ =
r
r
chỉ cho thấy trạng thái cân bằng của lực chứ không nói rõ được
chất điểm đang đứng yên hay chuyển động
+) Định luật I bình đẳng cho mọi vật khi
0F =
r
mọi vật đều có mức quán tính như
nhau còn định luật II nói vật có khối lượng lớn thì có mức quán tính lớn, vật có khối lượng
nhỏ thì có mức quán tính nhỏ.
+ Định luật II giúp ta hiểu rõ bản chất của các khái niệm
+) Khái niệm lực :
Ta dùng khái niệm lực để đặc trưng cho tác dụng của vật này lên vật khác. Khi vật A tác
dụng lên vật B một lực. nó làm cho vận tốc của B thay đổi hoặc làm cho B bién dạng. Lực
là một đại lượng véc tơ. Véctơ được biểu diễn bằng một mũi tên
• Gốc của mũi tên là điểm đặt của lực
• Phương chiều của mũi tên là phương chiều của lực
• Độ dài của mũi tên biểu thị độ lớn của lực (theo một tỷ xích nhất định)
• Điểm đặt là vị trí mà lực đặt lên vật
6
• Phương và chiều là phương và chiều của gia tốc mà lực gây ra cho vật
• Độ lớn F = ma
• Đơn vị : Newton, kí hiệu N, 1N = 1kgm/s
2
trong hệ SI ).
+) Khối lượng : Không những có ý nghĩa chỉ lượng vật chất chứa trong vật mà còn đặc
trưng cho mức quán tính của một vật.

Giả sử m
1
và m
2
cùng chịu tác dụng của lực
F
r
thì :
1 2
1 2
,
F F
a a
m m
= =
r r
r r
1 2 1 2
m m a a≠ ⇒ ≠
r r
và
1 2
2 1
a m
a m
=
Vậy khối lượng khác nhau có mức quán tính khác nhau
+) So sánh khối lượng quán tính và khối lương hấp dẫn :
• Đại lượng vật lý khối lượng (m) có mặt cả trong hai định luật cơ bản và độc lập với
nhau :định luật II Newton và định luật vạn vật hấp dẫn. Từ hai định luật này ta có

thể xác định khối lượng của vật theo hai cách khác nhau.
• Từ định luật II Newton F ma=
r
r
ta xác định khối lượng m của vật theo gia tốc a mà
vật thu được khi chịu tác dụng của lực F và khối lượng xác định như vậy gọi là khối
lượng quán tính (
qt
m
).
qt
F
m
a
=
• Mặt khác từ định luật vạn vật hấp dẫn ta cũng có thể xác định khối lượng của vật
qua lực hấp dẫn của trái đất chẳng hạn.Khối lượng xác định theo cách này đặc trưng
cho khả năng hấp dẫn của vật nên được gọi là khối lượng hấp dẫn m
hd
.
2
hd
FR
m
MG
=
,trong đó:R và M là bán kính và khối lượng của Trái đất.
• Như vậy sự phát triển của khoa học làm xuất hiện khái niệm khối lượng : khối
lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn. Một câu hỏi được đặt ra là khối lượng quán
tính và khối lượng hấp dẫn có khác nhau không?

• Tất cả những thí nghiệm tiến hành để trả lời câu hỏi đó đều cùng đi tới một kết luận
: không thể phân biệt được hai khối lượng quán tính và hấp dẫn. Khối lượng của bất
kỳ của vật nào được xác định theo hai cách trên đều thu được kết quả như nhau. Vật
lý học cổ điển không giải thích được sự trùng lặp kỳ lạ đó vì theo quan điểm cổ
điển thì thuộc tính “quán tính” và thuộc tính “hấp dẫn” không có liên hệ gì với
7
nhau. Thực ra sự trùng hợp đó phản ánh mối quan hệ giữa lực hấp dẫn và lực quán
tính trên quan điểm ấy Einstein đã xây dựng thuyết tương đối rộng cho phép giải
thích được nhiều hiện tượng mà vật lý cổ điển tỏ ra bất lực
+ Định luật II Newton cho phép đưa ra một nguyên tắc xác định khối lượng mà
không cần dùng cân.
III. Định luật III Newton (định luật về tương tác ):
1. Nhận xét :
Ta vẫn biết nam châm hút sắt. Trong thí nghiệm ở hình 4 dưới đây, lực nào đã là
cho nam châm dịch chuyển lại gần thanh sắt? Đó chính là lực hút của sắt tác dụng vào nam
châm.
Vậy, nếu vật A tác dụng lên vật B thì vật B cũng tác dụng lên vật A. Đó là sự tác dụng
tương hỗ ( hay tương tác) giữa các vật. Trong tự nhiên luôn luôn tồn tại những tác dụng
tương hỗ
8
A
B
A tác dụng lên B
B tác dụng lên A
Tương tác
Sắt non Nam châm
Hình 4
Hình 5
2. Phát biểu:
- Cách 1: Tác dụng bao giờ cũng bằng và ngược chiều với phản tác dụng, nói cách

khác tương tác giữa hai vật với nhau thì bằng nhau và hướng ngược chiều nhau.
- Cách 2 : Khi vật A tác dụng lên vật B một lực
AB
F
r
thì vật B cũng tác dụng trở lại
vật A một lực
BA
F
r
. Hai lực này là hai lực trực đối:
AB BA
F F=
r r
3. Chú ý :
Lực và phản lực :
- Hai lực
AB
F
r
và
BA
F
r
có điểm đặt trên hai vật khác nhau, là những lực trực đối.
- Sự phân biệt lực và phản lực là một quy ước. Trong hai lực
AB
F
r
và

BA
F
r
, ta gọi một
lực là lực tác dụng thì lực kia là phản lực.
- Vì lực và phản lực đặt trên hai vật khác nhau nên chúng không có hợp lực, và
không cân bằng nhau được.
- Lực tác dụng thuộc loại gì (hấp dẫn, đàn hồi, ma sát…) thì phản lực cũng thuộc
loại đó.
- Định luật III Newton không chỉ đúng cho vật tương tác tiếp xúc mà còn đúng với
những vật tương tác từ xa ( tương tác hấp dẫn, tương tác tĩnh điện, tương tác từ).
- Định luật III Newton áp dụng được với cả những lực đứng yên và những lực
chuyển động. Những lực tuân theo định luật III Newton được gọi là lực Newton.
Tuy nhiên, trong một số trường hợp lực và phản lực không tuân theo định luật
Newton thứ III. VD: Lực tương tác giữa một điện tích chuyển động và một từ cực hoặc
giữa hai địên tích chuyển động là những lực không cùng chung một giá, không nằm trên
đường thảng nối liền hai điện tích hoặc điện tích với từ cực.
- Nói chung, trong trường hợp tương tác từ xa, định luật III Newton chỉ được
nghiệm đúng khi trạng thái là tương đối ổn định (không thay đổi) hoặc khi khoảng cách
giữa hai vật là nhỏ để có thể bỏ qua được thời gian truyền tương tác.
9
m
A
m
B
A
B
Hình 6
AB
F

r
BA
F
r
- Định luật III Newton cũng cho phép đo khối lượng bằng tương tác. Nhưng
phương pháp này thường chỉ dùng khi phải xác định khối lượng của những vật có khối
lượng vô cùng lớn hay vô cùng bé.
IV. Lực ma sát
1. Khái niệm và phân loại lực ma sát
a. Khái niệm : Khi một vật chuyển động ở mặt tiếp xúc giữa nó và vật khác ,hoặc giữa
nó và mội trường lỏng bao quanh nó xuất hiện những lực ngăn cản chuyển động gọi là lực
ma sát.
b. Phân loại :
- Lực nội ma sát (Lực nhớt) : Lực ma sát giữa vật rắn chuyển động và môi trường xung
quanh (tác dụng trong chất lỏng và chất khí)
- Lực ma sát khô : Lực ma sát giữa hai vật rắn tiếp xúc với nhau.Có 3 loại lực ma sát
khô:
+Lực ma sát nghỉ
+Lực ma sát trượt
+ Lực ma sát lăn
2. Ma sát nghỉ :
a. Sự xuất hiện của lực ma sát nghỉ :Lực ma sát nghỉ xuất hiện trên một hệ vật khác dù
chịu một lực tiếp tuyến tác dụng.
b. Các đặc điểm của lực ma sát nghỉ:
- Lực ma sát nghỉ cùng phương và ngược chiều với lực tiếp tuyến.
- Độ lớn biến đổi theo lực tiếp tuyến sao cho luôn cân bằng với lực này :
+ Tăng dần lực tiếp tuyến thì lực ma sát nghỉ cũng tăng dần, vật chưa chuyển động.
+ Khi lực tiếp tuyến đạt tới một giá trị tới hạn F
0
, lực ma sát nghỉ cũng đạt tới giá trị tới

hạn F
0.
+ Tiếp tục tăng lực tiếp tuyến lớn hơn F
0
, lực ma sát nghỉ không tăng nữa mà vật bắt đầu
chuyển động. Thực nghiệm chứng tỏ F
0
tỷ lệ với áp lực ép vuông góc lên mặt tiếp xúc :
0 n
F N
µ
=
Trong đó :
n
µ
là hệ số ma sát nghỉ, phụ thuộc vào bản chất vật liệu và trạng thái bề mặt
tiếp xúc của các vật.
1
n
µ
<
(thường được xác định bằng thực nghiệm).
N : áp lực vuông góc.
3. Lực ma sát trượt:
10
a. Sự xuất hiện của lực ma sát trượt: Là lực xuất hiện khi hai vật tiếp xúc nhau và trượt
đối với nhau, nó có xu hướng ngăn cản sự trượt đó.
b. Các đặcđiểm của lực ma sát trượt:
- Phụ thuộc vận tốc tương đối giữa hai vật : Lực ma sát trượt tác dụng lên một vật luôn
cùng phương và ngược chiều với vận tốc tương đối của vật ấy với vật kia. Lực ma sát trượt

có xu hướng cản trở sự chuyển động tương đối đó.
VD1: Hình 7
+ B tác dụng lên A một lực
v
mst AB
F ↑↓
r
r
( vận tốc của A đối với B)
+ A tác dụng lên B một lực
' v
mst BA
F ↑↓
r
r
( vận tốc của B đối với A).
VD2: Xét hình trụ đang quay rơi xuống mặt đất.
mst
F
r
làm giảm chuyển động quay, đồng thời gây ra gia tốc
chuyển động tịnh tiến của khối tâm C,
ω
giảm và
v
C
tăng
đến một lúc nào đó
v
C

R
ω
=
thì hiện tượng trượt không
còn mà lăn không trượt, không có ma sát trượt.
- Độ lớn của lực ma sát trượt : Nếu vận tốc chuyển
động tương đối giữa hai vật không lớn lắm thì có thể coi lực ma sát trượt không đổi và
bằng lực ma sát nghỉ cực đại:
mst t
F N
µ
=
Trong đó : +
t
µ
là hệ số ma sát trượt, hầu như không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc
mà phụ thuộc vào tính chất của mặt tiếp xúc ( nhẵn hay không, vật liệu tạo nên mặt tiêps
xúc….).
Thông thường
t n
µ µ
<
, trong một số trường hợp, hệ số ma sát nghỉ xấp xỉ bằng hệ số ma
sát trượt:
t n
µ µ
≈
, cũng có trường hợp chúng chênh nhau đáng kể
+ N là áp lực vuông góc.
Sau đây là bảng giá trị hệ số ma sát của một số vật liệu ( giá trị gần đúng):

11
v
BA
r
v
AB
r
'
mst
F
r
mst
F
r
A
B
Hình 7
'
mst
F
r
mst
F
r
/ 'A A
V
r
ω
r
C

A
A'
Hình 8
Vật liệu Hệ số ma sát nghỉ Hệ số ma sát trượt
Thép trên thép 0,74 0,57
Gỗ trên gỗ 0,4 0,2
Nhôm trên thép 0,61 0,47
Cao su trên bê tông khô 0,9 0,7
Thủy tinh trên thủy tinh 0,9 0,4
Nước đá trên nước đá 0,1 0,03
Teflon trên teflon
(
*
)
0,04 0,04
(*) Loại polime chịu nhiệt để phủ chảo chống dính.
4. Lực ma sát lăn :
a. Sự xuất hiện lực ma sát lăn : Khi một vật lăn trên mặt một vật khác, lực ma sát lăn
xuất hiện ở chỗ tiếp xúc giữa hai vật và có tác dụng cản trở sự lăn đó.
b. Các đặc điểm của lực ma sát lăn:
Lực ma sát lăn cũng tỷ lệ với áp lực N giống như ma sát trượt và ma sát nghỉ,
nhưng hệ số ma sát lăn nhỏ hơn hệ số ma sát trượt hàng chục lần.
msl l
F N
µ
=
Trong đó
l
µ
là hệ số ma sát lăn và

l t n
µ µ µ
< <
5. Lực nội ma sát ( lực nhớt ) và tốc độ giới hạn:
- Chất lưu là chất có thể chảy, nói chung đó là chất khí hoặc chất lỏng. Khi có vận tốc
tương đối giữa một chất lưu và một vật rắn ( hoặc do chuyển động trong chất lưu, hoặc
chất lưu chảy qua một vật) thì vật chịu tác dụng một lực cản
C
F
r
hay còn gọi là lực nhớt.
Lực này chống lại chuyển động tương đối và hướng về phía chât lưu chảy đối với vật.
- Xét trường hợp chất lưu là chất khí, trong trường hợp này độ lớn của lực cản
C
F
r
tác
dụng lên vật rắn chuyển động trong không khí được xác định bằng thự nghiệm như sau:
2
1
v
2
C
F C A
ρ
=
Trong đó: +
ρ
là khối lượng riêng của không khí (
3

kg
m
)
+ A là tiết diện hiệu dụng của vật : là tiết diện ngang vuông góc với vận tốc
v
r
) ( m
2
)
+ C : hệ số cản ( không thứ nguyên )
+ v : tốc độ của vật rắn (
m
s
).
12
Thực ra hệ số cản C ( giá trị điển hình từ 0,4 đến 1,0 ) không hẳn là hằng số đối với một
vật đã cho, vì nếu v thay đổi đáng kể thì C cũng có thể thay đổi đáng kể. Ở đây ta bỏ qua
hiện tượng phức tạp này.
Phương trình trên cho thấy, khi một vật rơi từ trạng thái nghỉ xuống, qua không khí thì
F
C
tăng dần từ 0 cùng với sự tăng của tốc độ. Nếu vật rơi một đoạn đường đủ lớn thì cuối
cùng F
C
sẽ bằng trọng lượng P của vật, và hợp lực tác dụng vào vật theo phương thẳng sẽ
bằng không. Theo định luật thứ II Newton khi đó gia tốc của vật cũng phải băng không và
sau đó tốc độ của vật không tăng nữa. Lúc này vật rơi với tốc độ giới hạn không đổi v
t
mà
ta có thể tìm được bằng cách cho

2
1
v
2
C t
F P mg C A mg
ρ
= = ⇔ =
Do đó :
2
v
t
mg
C A
ρ
=

Bảng một số tốc độ giới hạn trong không khí
Vật Tốc độ giới hạn (m/s)
95% khoảng cách (*)
(m)
Đạn 16b 145 2500
Người trượt tuyết 60 430
Quả bóng đá 42 210
Bóng tennis 31 115
Quả bóng rổ 20 47
Quả ping – pông 9 10
Hạt mưa ( bán kính 1,5mm) 7 6
Người nhảy dù ( tiêu biểu ) 5 3
(*)Đó là khoảng cách mà vật phải rơi từ trạng thái nghỉ để đạt 95% tốc độ giới hạn của

nó. Số liệu lấy từ tạp chí Sport Science, Simon Schuter, New York, 1984 ; tác giả Peter
J.Brancazio
6. Vai trò của lực ma sát trong đời sống: :
a. Ma sát nghỉ :
- Ma sát nghỉ đóng vai trò rất quan trọng trong đời sống. Nhờ có ma sát nghỉ, tay ta
mới cầm nắm được các vật, dây cuaroa truyền được chuyển động giữa các bánh xe, băng
chuyền vận chuyển được người hoặc vật từ nơi khác….
- Trong nhiều trường hợp, lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực phát động làm cho các
vật chuyển động. Khi ta bước đi, một chân của ta đạp vào mặt đất về phía sau. Nếu đạp
phải chỗ thiếu ma sát (rêu trơn, bùn ướt…), bàn chân ta dễ bị trượt về phía sau và không
bước đi được. Ở chỗ đường tốt, mặt đường tác dụng vào chân ta một lực ma sát hướng về
13
phía trước, giữ cho bàn chân ta không bị trượt trên mặt đất, khiến cho phần trên của người
chuyển động được về phía trước.
- Khi xe đạp, xe máy chạy, lực kéo của xích làm cho bánh sau của xe quay. Lực ma
sát nghỉ do mặt đường tác dụng vào chỗ bánh sau tiếp xúc với mặt đường đã giữ cho chỗ
đó của bánh xe không bị trượt về phía sau mà tạm thời đứng yên so với đường. Nhờ đó
bánh xe mới lăn được trên đường. Ở đây lực ma sát nghỉ của mặt đường giữ vai trò quan
trọng cho xe đi về phía trước.
- Hiện tượng cũng xảy ra tương tự như vậy ở các bánh xe phát động của ôtô, tàu
hỏa.
- Trong những trường hợp ma sát có lợi, người ta thường tìm cách tăng tính nhám
của mặt tiếp xúc và tăng áp lực lên mặt tiếp xúc.
b. Ma sát lăn:
Lực ma sát lăn nhỏ hơn lực ma sát trượt nhiều lần, nên người ta thường tìm cách thay
thế phần lớn ma sát trượt bằng ma sát lăn (nhờ các ổ bi, con lăn…) để giảm tổn hại vì ma
sát
c. Ma sát trượt:
- Khi ta hãm phanh ( xe đạp, xe máy, ôtô…) lực ma sát trượt giữa má phanh với bánh
xe đã làm cho bánh xe quay chậm lại và xuất hiện sự trượt của bánh xe trên mặt đường.

Khi đó lực ma sát trượt do mặt đường tác dụng lên xe sẽ hãm xe đi chậm lại
- Ma sát trượt còn có ích trong việc mài nhẵn các bề mặt kim loại hoặc gỗ.
- Trong nhiều trường hợp, ma sát trượt có hại. Chẳng hạn khi píttông chuyển động trong
xi lanh, ma sát trượt đã cản trở chuyển động và làm mòn cả pít tông lẫn xi lanh. Để giảm
ma sát trượt, người ta bôi trơn các chi tiết bằng dầu mỡ công nghiệp
Phần II : Bài tập có hướng dẫn giải
I.Các phương pháp giải bài tập.
A.Phương pháp động lực học
Là phương pháp vận dụng các công thức về các định luật Niuton và các định luật cơ
học để giải các bài toán cơ học
1. Phương pháp giải bài toán thuận ( xác định chuyển động khi cho biết trước các
lực ):
-Chọn hệ quy chiếu sao cho việc giải bài toánđược đơn giản (có một trục song song với
phương chuyển động ) và các dữ kiện bài toán.
-Biểu diễn trên một hình các lực tác dụng lên vật (đặc biệt chú ý đến các lực phát động
và các lực cản )
-Xác định gia tốc của vật theo định luật II Niutơn :
14

F
a
m
=
r
r
hoặc ma
x
= F
x
;ma

y
=F
y
;ma
z
=F
z
.
-Biết các điều kiện ban đầu có thể xác định được chuyển động của vật
Bài tập
Bài 1 : Một vật có khối lượng m =10 kg được kéo trượt trên một mặt sàn nằm ngang bởi
một lực
F
→
hợp với phương nằm ngang một góc
0
30
α
=
.Cho biết hệ số ma sát trượt giữa
vật và mặt bàn là k = 0,1 .
a) Biết độ lớn của F =20N .tính quãng đường vật đi được trong 4s
b) Tính lực F để sau khi chuyển động 2s vật đi được quãng đường 5m .Lấy g = 10m/s
2
.
1. Tóm tắt bài toán :
Cho m = 20kg ,lực
F
→
hợp với phương ngang

0
30
α
=
k= 0.1
a) F=20N.Tính s= ? trong 4s.
b) F=? sau khi đi 2s được s= 5m. Lấy g = 10m/s
2
2. Hướng dẫn giải :
- Phân tích bài toán :
+ Vật chuyển động trên mặt bàn nằm ngang co ma sát .Các lực tác dụng lên vật gồm có :
trọng lực
P
→
, phản lực đàn hồi của sàn
N
→
,lực ma sát
F
→
ms
, và lực
F
→
tác dụng lên vật ( như
hình 9.)
+ Chọn hệ tọa độ xOy gắn với vật chuyển động : truc Ox theo phương chuyển động ,Oy
theo phương thẳng đứng hướng lên trên (như hình )
Viết phương trình định luật II Niutơn cho chuyển đọng của vật m.chiếu phương trình vừa
lập được lên hệ tọa đọ xOy đã chọn.Từ đó có thể xác định được gia tốc của vật m.Từ đó

tính quãng đường mà vật đi được theo công thức s =
2
1
2
at
.
+ Tương tự như vậy có thể áp dụng tính ra kết quả phần b. khi vật chuyển đọnh trên mặt
bàn nằm ngang.
3. Giải bài toán :
Các lực tác dụng lên vật m : : trọng lực
P
→
, phản lực đàn hồi của sàn ,lực ma sát ,và lực
(hình vẽ )
Trong đó :
F
→
=
F
→
1
+
F
→
2
với
F
→
1
song song với mặt phẳng ngang (theo phương

chuyển động ),
F
→
2
theo phương vuông góc với mặt phẳng ngang (theo phuơng phản lực
N
→
)
Áp dụng định luật II Niutơn ta có :
P
→
+
N
→
+
F
→
+
F
→
ms
=
m
a
→
(1)
Chiếu phương trình (1) lên 2 trục Ox và Oy ta có :
F
1
- F

ms
=ma (2)
-P +N +F
2
=0 hay N=P -Fsin
α
(3)
15
y
N
→
,
F
→
x
O
α
P
→
1
F
→
2
F
→
Hình 9
từ (2) và (3) ta có : a =
os ( sin )Fc k mg F
m
α α

− −
(4)
thay số ta được a = 0.832 m/s
2
Quãng đườngmà vật đi được trong 4s là : s =
2
1
2
at
= 6,56 m
c) Theo đầu bài ta có a=
2
2s
t
=2,5 m
Từ (4) ta có F =
os sin
ma kmg
c k
α α
+
+
=38,04 N
4. Biện luận và áp dụng :
- Biện luận :
Đây là loại bài cơ bản về áp dụng các định luật Niutơn đẻ khảo sát chuyển động ,chỉ
cần áp dụng phương pháp động lực học.Chú ý xác định các thành phần lực tác dụng (điểm
đặt .phương chiều của lực ), chú ý rằng vì vật được coi như chuyển đọng tịnh tiến và như
là một điểm nên cũng có thể vẽ điểm đặt của các lực tác dụng lên vật là điểm O.
- Mở rộng :

Bây giờ chúng ta giả sử F chỉ tác dụng lên vật trong 2s .Tính quãng đường tổng cộng vật
đi được đến khi có dừng lại.
Và có thể tính công thực hiện trong quãng đường mà vật dịch chuyển trong câu b.
Bài 2 .
Hai vật A và B khối lượng m
1
= 2kg, m
2
=3kg được nối với nhau bằng 1 sợi dây vắt qua
ròng rọc được treo vào 1 lực kế L như hình vẽ.
a) Xác định chiều chuyển động của vật và gia tốc của chúng,
b) Tính lực căng T của dây nối và số chỉ của lực kế.
d) Bỏ qua ma sát và khối lượng của ròng rọc (xem như đứng yên ).
Lấy g = 10m/s
2
1. Tóm tắt bài toán
Hai vật : m
1
= 2 kg, m
2
= 3 kg treo vào lực kế L.
a) Xác định chiều chuyển dộng của hai vật? tính gia tốc của mỗi
vật
b) Tính T = ? và số chỉ của lực kế L
2. Hướng dẫn giải :
- Phân tích bài toán :
Hệ gồm 2 vật có khối lượng m
1
và m
2

vắt qua một ròng
rọc được treo vào lực kế như hình 10.
Ngoại lực tác dụng lên là
1
P
→
và
2
P
→
.Vì P
1
< P
2
(do m
2
>m
1
) nên m
2
hướng xuống dưới khi đó m
1
chuyển động lên
trên.Ta có thể chọn chiều dương là chiều chuyển động của vật m
2
.
Tìm tất cả các lực tác dụng lên hai vật ,sau đó viết phương trình định luật II Niuton
cho từng vật ,nghĩa là viết được hai phương trìng vô hướng xác định gia tóc của hai vật đó.
16
2

P
r
1
P
r
m
2
m
1
1
T
r
'
1
T
r
'
2
T
r
2
T
r
+
Hình 10
Chiếu 2 phương trình vừa thiết lập lên phương chuyển động,chú ý vì bỏ qua ma sát
và khối lượng ròng rọc nên gia tóc của hai vật là bằng nhau a
1
=a
2

.Ta có được 2 phương
trình vô hướng.Từ 2 phương trình đó có thể xác định được gia ttóc của hai vật.
Để tính lực căng của dây nối T ta chỉ cần rút T từ một trong hai phương trình
chuyển động của hai vật hoặc phương trình xác định gia tốc của hai vật.
Lực tác dụng lên lực kế (số chỉ của lực kế) là lực tác dụng lên ròng rọc.Lập các mối
quan hệ thích hợp ta có thể tìm được số chỉ của lực kế cần tìm.
- Giải bài toán :
a) Chọn chiều dương là chiều chuỷen động của m
2
(như hình vẽ)
- Vật m
1
chịu tác dụng của trọng lực
1
P
r
và lực căng
1
T
r
Vật m
2
chịu tác dụng của trọng lực
2
P
r
và lực căng
2
T
r

(
1 2
T T T= =
)
Xét hệ gồm hai vật m
1
, m
2
thì ngoại lực tác dụng lên hệ chỉ là
1
P
r
và
2
P
r
. Vì
2 1
P P>
do m
2
>
m
1
nên vật m
2
đi xuống còn vật m
1
đi lên.
- Phương trình định luật II Newton đối với hai vật m

1
, m
2
là:
Với m
1
:
1 1 1 1
P T m a+ =
r r
r
(1)
Với m
2
:
2 2 2 2
P T m a+ =
r r
r
(2)
Chiếu phương trình (1) và (2) lên chiều dương ta có :
1 1 1 1
T P m a− =
(3)
2 2 2 2
P T m a− =
(4) (a
1
= a
2

=a )
Cộng hai vế của (3) và (4) ta được
2 1 2 1
1 2 1 2
( )P P m m g
a
m m m m
− −
= =
+ +
Thay số ta có : a = 2 m/s
2
b) Từ phương trình (3) ta có :
1 1
( ) 24( )T m a g N= + =
Suy ra lực căng của dây nối
1 2
24( )T T N= =
Lực tác dụng lên lực kế ( Số chỉ của lực kế) là lực tác dụng lên ròng rọc vì ròng rọc đứng
yên nên lực kế chỉ
1 2
48( )T T N+ =
4. Biện luận và mở rộng:
- Biện luận : Đây là bài toán chuyển động của hệ vật. Có thể xét riêng rẽ chuyển động của
từng vật theo phương pháp động lực học như đã xét ở trên. Vì hai vật có cùng gia tốc nên
có thể tìm gia tốc băng cách sau đây : Coi hai vật là một hệ có khối lượng m = m
1
+ m
2
=

5kg. Ngoại lực tác dụng lên hệ ( không xét đến lực căng là nội lực) là các trọng lực
'
1
P
r
và
'
2
P
r
các lực này tác dụng lên hệ theo hai hướng ngược nhau nên hợp lực tác dụng lên hệ có
độ lớn F
ngoài
= P
2
–P
1
= (m
2
– m
1
)g. Hợp lực có hướng của
2
P
r
vì độ lớn của
2
P
r
lớn hơn

1
P
r
nên vật m
2
đi xuống, m
1
đi lên , suy ra gia tốc của hệ (và của từng vật) là :
2
2
ngoai
F
m
a
m s
= =
.
Để tìm lực căng của dây nối ta phải xét chuyển động của một trong hai vật. Trong
tất cả các bài toán đều coi khối lượng của dây nối và ròng rọc không đáng kể do đó luôn có
1 2
T T=
ở mỗi dây nối. Khi xét riên rẽ như vậy , căn cứ vào phương trình chuyển động của
vật đó theo định luật II Newton và dữ liệu cho trong bài ta sẽ tìm được lời giải của bài toán
17
- Mở rộng: Xét hệ trên khi đặt trong mặt phẳng nghiêng và yêu cầu tìm các đại lượng
tương tự.
Bài 3 : Một vật đang chuyển động trên đường ngang với vận tốc 20m/s thì trượt lên một
cái dốc dài 100m, cao 10m.
a) Tìm gia tốc của vật khi lên dốc. Vật có lên hết dốc không?
Nếu có thì vận tốc của vật ở đỉnh dốc và thời gian lên dốc?

b) Nếu trước khi trượt lên dốc, vận tốc của vật chỉ là 15m/s thì đoạn lên dốc của vật là bao
nhiêu?
Tính vận tốc của vật khi trở lại chân dốc? và thời gian kể từ khi vật bắt đầu trượt lên dốc
cho đến khi nó trở lại chân dốc?
Cho biết hệ số ma sát giữa vật và dốc là k = 0,1. Lấy g = 10 m/s
2
.
1.Tóm tắt bài toán :
20v
=
m/s
100l m
=
10h m
=
a) tìm
a
r
của vật khi lên dốc vật có lên hết dốc không. Nếu có, tìm
M
v
và thời gian lên dốc.
b) Nếu
' 15 /v m s=
thì đoạn đường lên dốc là bao nhiêu
Tính v
N
và thời gian kể từ khi vật bắt đầu lên dốc rồi trở về chân dốc.
Biết
µ

= 0,1 và g = 10m/s
2
2. Hướng dẫn giải:
- Mô tả hiện tượng : Vật chuyển động từ
chân mặt phẳng nghiêng với vận tốc ban đầu v
0
.
Do vật chịu tác dụng của lực
ms
F
r
và một thành
phần của trọng lực
P
r
(
1
sinP mg
α
=
) hướng
ngược chiều chuyển động nên chuyển động của
vật là chậm dần. Quãng đường mà vật đi được
dài hay ngắn phụ thuộc vào vận tốc ban đầu của vật lớn hay nhỏ. Do đó vật có thể đi được
tới đỉnh mặt phẳng nghiêng hoặc là không.
- Giải :
a) Chọn hệ quy chiếu :
+ Trục Ox dọc theo mặt dốc hướng lên
+ Trục Oy vuông góc với mặt dốc hướng từ dưới lên.
Các lực tác dụng lên vật khi lên dốc : Trọng lực

P
r
, phản lực đàn hồi
N
r
và lực ma sát
ms
F
r
. Theo định luật II Newton ta có :
ms
P N F ma+ + =
r r r
r
(1)
Chiếu phương trình (1) lên trục Ox và lên trục Oy ta có :
Ox:
sin
ms
P F ma
α
− − =
( 2)
Oy :
os 0N Pc
α
− =
(3)
Trong đó :
sin

h
l
α
=
và
2
os 1 sinc
α α
= −
Từ (2) ta có :
sinP kN ma
α
− − =
, mà theo (3) :
osN Pc
α
=
Do đó
sin os sin os
(sin os
P kc mg kmgc
a g kc
m m
α α α α
α α
− − − −
= = = − + )
(4)
18
h

l
N
r
P
r
ms
F
r
α
y
x
O
Hình 11
Thay số ta được :
2
2
10
sin 0,1;cos 1 0,1 ; 10 ; 0,1
100
h m
g k
l s
α α
= = = = − = =
2
2
10(0,1 0,1 1 0,1 ) 1,995( ) ons
m
a c t
s

⇒ = − + − ≈ − =
Gọi S là chiều dài tối đa vật có thể đi lên trên bề mặt dốc ( cho đến lúc vận tốc bằng 0).
Lúc này chuyển động của vật là chuyển động biến đổi đều.
Ta có :
2 2
2 2
0
0
v v
v v 2
2
aS S
a
−
− = ⇒ =
(5) với v = 0 ;
0
2( / )v m s=
Do đó quãng đường tối đa mà vật có thể đi được là :
2 2
0 20
100,25( )
2.( 1.995)
S m
−
= ≈
−
Ta thấy
S l>
nên vật sẽ đi hết dốc.

* Khi lên đến đỉnh dốc, gọi vận tốc lúc đó của vật là v
1
được tính theo công thức :
2 2
1 0
v v 2aS− =
, trong đó
S l
=
2
1 0
2v v al⇒ = +
. Thay số ta được
1
1( / )v m s=
Thời gian để vật lên dốc:
1 0
1
1 20
9,524( )
1,995
v v
t s
a
−
−
= = ≈
−
b) Nếu vận tốc lúc ban đầu của vật là
0

15( / )v m s=
theo (5):
Chiều dài tối đa S
1
mà vật có thể đi trên mặt dốc là :
2
1
0 15
56,4( )
2.( 1,995)
S m
−
= ≈
−
Nghĩa là vật không lên hết dốc mà dừng lại tại điểm A cách chân dốc 56,4 m . sau đó, do
tác dụng của trọng lực ( Psin
α
) lại trượt xuống dốc.
Lập luận tương tự như ở phần 1 , ta tìm được gia tốc của vật khi xuống dốc :
1
(sin cosa g k g
α α
= − )
(6)
Thay số ta được :
2 2
1
10(0,1 0,1 1 0,2 ) 0,005( / )a m s= − − ≈
Khi này, vật chuyển động nhanh dần đều từ vị trí A, với vận tốc ban đầu bằng không. Thời
gian vật đi từ A xuống chân dốc là :

1
1
1
2 2.56,4
150( )
0,005
S
t s
a
= = =
Vận tốc của vật khi trở lại chân dốc :
2 1 1
0,005.150( )v a t s= =
Thời gian vật trượt từ chân dốc lên tới A (và dừng lại) là :
2
0 15
7,52( )
1,995
t s
−
= =
−
Vậy thời gian tổng cộng kẻ từ khi vật bắt đầu trượt từ chân dốc cho đến khi nó trở lại chân
dốc bằng :
1 2
150 7,52 157,2( )t t s+ = + =
3.Biện luận - mở rộng:
19