Đánh Giá Độ Tin Cậy Của Hệ Thống Sử Dụng Mô Hình Rủi Ro Tỷ Lệ Cox

✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆

❇ò✐ ❇→ ▼↕♥❤

✣⑩◆❍ ●■⑩ ✣❐ ❚■◆ ❈❾❨ ❈Õ❆ ❍➏ ❚❍➮◆●
❙Û ❉Ö◆● ▼➷ ❍➐◆❍ ❘Õ■ ❘❖ ❚✚ ▲➏ ❈❖❳

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆

❇ò✐ ❇→ ▼↕♥❤

✣⑩◆❍ ●■⑩ ✣❐ ❚■◆ ❈❾❨ ❈Õ❆ ❍➏ ❚❍➮◆●
❙Û ❉Ö◆● ▼➷ ❍➐◆❍ ❘Õ■ ❘❖ ❚✚ ▲➏ ❈❖❳
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ▲➼ t❤✉②➳t ①→❝ s✉➜t ✈➔ t❤è♥❣ ❦➯ t♦→♥ ❤å❝
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✷✳✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿
❚❙✳ P❍❸▼ ✣➐◆❍ ❚Ò◆●

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✾

ớ ỡ
t ữủ ởt tổ ổ ữủ
sỹ ữợ ú ù t t ừ P ũ
rữớ ồ ồ ỹ ồ ố ở ổ
t tọ ỏ t ỡ s s t ỷ ớ tr t
ừ tổ ố ợ ỳ t tổ
ổ t ỡ ỏ t ỡ ồ
qỵ t ổ ợ ồ rữớ
ồ ồ ỹ ồ ố ở t t tr t
ỳ tự qỵ ụ ữ t tổ t õ
ồ
ổ ỷ ớ ỡ t t tợ ỳ
ữớ ổ ở ộ trủ t ồ tổ tr sốt
q tr ồ t tỹ
ổ ỡ sỹ ộ trủ ừ ồ ố ở tr t
tr t ở q tr
tr trồ ỡ
ở t
ữớ t

ũ


❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤
✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸

✶✳✹
✶✳✺
✶✳✻
✶✳✼
✶✳✽
✶✳✾
✶✳✶✵
✶✳✶✶
✶✳✶✷
✶✳✶✸

❇✐➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ✈➔ t✉ê✐ t❤å ❝õ❛ ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ ♣❤➙♥ ❜è ①→❝ s✉➜t F (t) ✈➔ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t f (t) ✳
❍➔♠ t✐♥ ❝➟② R(t) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ ❜➟❝ t❤❛♥❣ λ(t) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ ❜➟❝ t❤❛♥❣ λ(t) t✐➺♠ ❝➟♥ ✤➳♥ ♠ët ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ✳
❱à tr➼ ❝õ❛ ▼❚❚❋✱ tm ✈➔ tmode ❝õ❛ ♠ët ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ì ✤ç ❦❤è✐ ❝❤♦ ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ ♥è✐ t✐➳♣ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣ ✳
❍➺ t❤è♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❤é♥ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤➙♥ ♣❤è✐ ♠ô (µ = 1) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t ❝õ❛ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ●❛♠♠❛✱ µ = 1 ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ●❛♠♠❛✱ µ = 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ rõ✐ r♦ ❝õ❛ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ●❛♠♠❛✱ µ = 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t ❝õ❛ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❲❡✐❜✉❧❧ ✈î✐ ♠ët sè ❣✐→
trà ❝õ❛ t❤❛♠ sè ❤➻♥❤ ❞↕♥❣ α ✈➔ β = 1✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✹ ❍➔♠ t➾ ❧➺ rõ✐ r♦ ❝õ❛ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❲❡✐❜✉❧❧✱ β = 1✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻
✽
✽

✶✷
✶✷
✶✹
✶✻
✶✾
✷✶
✷✷
✷✸
✷✸

✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹
✷✳✺
✷✳✻
✷✳✼
✷✳✽
✷✳✾

✹✵
✹✽
✹✾
✹✾
✺✵
✺✵
✺✶
✺✶
✺✹

❙ì ✤ç ❦❤è✐ q✉→ tr➻♥❤ ❲❡✐❜✉❧❧ P❍▼ ❝❤♦ tö ✤✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ð ❝ò♥❣ 170 0 ❈ ✈î✐ ✹ ♠ù❝ ✤✐➺♥ →♣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✳ ✳
❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ð ❝ò♥❣ 180 0 ❈ ✈î✐ ✹ ♠ù❝ ✤✐➺♥ →♣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✳ ✳
❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ð ❝ò♥❣ 350 V ✈î✐ ✷ ♠ù❝ ♥❤✐➺t ✤ë ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✳ ✳
❍➔♠ ♠➟t ✤ë ð ❝ò♥❣ 170 0 ❈ ✈î✐ ✹ ♠ù❝ ✤✐➺♥ →♣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✳ ✳
❍➔♠ ♠➟t ✤ë ð ❝ò♥❣ 350 V ✈î✐ ✷ ♠ù❝ ♥❤✐➺t ✤ë ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✳ ✳
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ð ❝ò♥❣ 170 0 ❈ ✈î✐ ✹ ♠ù❝ ✤✐➺♥ →♣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ð ❝ò♥❣ 350 V ✈î✐ ✷ ♠ù❝ ♥❤✐➺t ✤ë ❦❤→❝ ♥❤❛✉
✣ç t❤à ◗✲◗ ❝❤♦ ♣❤➛♥ ❞÷ ❝õ❛ ✸✷ q✉❛♥ s→t ❦❤æ♥❣ ❜à ❦✐➸♠ ❞✉②➺t

✐✐

✷✺
✷✺


❉❛♥❤ ♠ö❝ ❜↔♥❣
✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸

❑➳t q✉↔ t❤û ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ t✉ê✐ t❤å ❝õ❛ tö ✤✐➺♥
P❤➛♥ ❞÷ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✸✷ q✉❛♥ s→t ❦❤æ♥❣ ❜à ❦✐➸♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
❞✉②➺t ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷

❚✉ê✐ t❤å tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ tö ✤✐➺♥ ð ❝→❝ ♠ù❝ ✤✐➺♥ →♣ ✈➔ ♥❤✐➺t
✤ë

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺

✐✐✐


▼ö❝ ❧ö❝
●✐î✐ t❤✐➺✉ ❧✉➟♥ ✈➠♥

✶

✶ ▼æ ❤➻♥❤ ✤ë t✐♥ ❝➟②

✻

✶

✷

✸

❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶
❇✐➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷
❚✉ê✐ t❤å ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸
❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹
❍➔♠ t➾ ❧➺ rõ✐ r♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✺

❚✉ê✐ t❤å tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✻
❑✐➸♠ ❞✉②➺t ✈➔ ❝❤➦t ❝öt ❞ú ❧✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶
❍➺ t❤è♥❣ ♥è✐ t✐➳♣ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷
❍➺ t❤è♥❣ ❣ç♠ k ❤➺ ❝♦♥ ✤÷ñ❝ ❧➜② r❛ tø n ❤➺ ❝♦♥
▼ët sè ♣❤➙♥ ♣❤è✐ t✉ê✐ t❤å t❤÷í♥❣ ❣➦♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✶
P❤➙♥ ♣❤è✐ ♠ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷
P❤➙♥ ♣❤è✐ ●❛♠♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸
P❤➙♥ ♣❤è✐ ❲❡✐❜✉❧❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✹
×î❝ ❧÷ñ♥❣ t❤❛♠ sè ❝õ❛ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ t✉ê✐ t❤å ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✷ ▼æ ❤➻♥❤ t✛ ❧➺ rõ✐ r♦ ❈♦① ✭P❍▼✮
✶

✷

▼æ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶
▼æ ❤➻♥❤ t✛ ❧➺ rõ✐ r♦ ❈♦① ✭P❍▼✮
✶✳✷
▼ët sè ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
×î❝ ❧÷ñ♥❣ t❤❛♠ sè tr♦♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳
✷✳✶
×î❝ ❧÷ñ♥❣ t❤❛♠ sè ♠æ ❤➻♥❤ t✛ ❧➺
r♦ ❲❡✐❜✉❧❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✈

✻
✻
✼
✽
✾
✶✷
✶✹

✶✻
✶✼
✶✾
✷✵
✷✵
✷✶
✷✹
✷✻

✷✾
✳ ✳
✳ ✳
✳ ✳
✳ ✳
rõ✐
✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳
r♦ ❈♦①
✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳
✳ ✳
✳ ✳
✳ ✳
✈î✐
✳ ✳

✳ ✳
✳ ✳
✳ ✳
✳ ✳
rõ✐
✳ ✳

✳
✳
✳
✳

✷✾
✷✾
✸✵
✸✷

✳ ✸✷


✸
✹
✺

✷✳✷
P❤÷ì♥❣ s❛✐ ❝õ❛ ❤➺ sè ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ✳ ✳ ✳
P❤➙♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ò ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠æ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
Ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ tö ✤✐➺♥

✺✳✶
❈♦① P❍▼ ❝❤♦ tö ✤✐➺♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✳✷
×î❝ t➼♥❤ t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✳✸
❈→❝ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✳✹
P❤➛♥ ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✳✺
❚✉ê✐ t❤å tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✸✹
✸✺
✸✻
✸✼
✹✵
✹✶
✹✹
✺✷
✺✸

✺✽

✈


ợ t

ồ t
ở t st ởt ỡ tố s tỹ ự
ỹ ừ ởt tớ õ tr sỷ
ử ử t ở t ữ t ữủ ừ tt
t tớ tờ tồ ừ s tt
ở t ừ s ữủ tt t t
tt trữớ ủ ộ s ỡ tt ọ õ ừ
q tr sỷ ử s s t tữớ ữ r ợ
ở t tự ổ tự ừ s tt
ỳ õ t ỗ tứ q ự ợ s
tữỡ tỹ t tr ổ ừ
ởt ố t ở t õ ừ s
r tố tớ t ở ừ ởt tt s ữủ ồ
tờ tồ tớ số ừ tt ữủ ởt
ợ ố strt ử t ữ ố ụ
ố tờ tồ ừ tt s t ờ
tố t ở ữ t ở ở ở r số t sữ
tữớ sỷ ử ữỡ tỷ t tố tr ỏ t
rt tst
ổ tr t tờ ừ rss
s ts ữủ ổ ố tr t s r t
ttst t ừ s
õ ỡ tr ữủ ởt tr
ổ tr ờ t t tứ trữợ r õ ổ
ổ t ởt ữỡ t ỳ số ỏ t ổ ỗ




q ổ s ữủ t ữợ tt ỳ s rrt

rs
ổ ờ tr t ồ tứ
ở ồ ồ tt tr ổ ữủ
ử ự sỹ ữ ừ tố ữ tờ ợ t
tờ tồ ừ tữ s
ữủ tr tr ồ ở ồ ử ổ
ự tớ số ừ ủ ỗ tứ t ổ
ú tr ồ tt ổ õ t ữủ ử
ự sỹ ữ ừ t ở t ừ õ
ú tổ ồ t ở t ừ tố sỷ ử
ổ rừ r t

ử ự
t ổ t rừ r ự ử ổ ợ
trữớ ủ rừ r ự sỹ ử tở ừ t ở
tờ tồ ừ tử từ t r ỡ s õ ữ r ỹ
tờ tồ tr ừ tử từ t ự t ở


ố tữủ ự
ố tữủ ự
ổ t rừ r ợ rừ r ự ử ổ
t ở t ừ tử từ t

P ự
ự ở t ừ tử tỷ t tố tr
ỏ t tờ tồ ừ tử t ữ
t ở

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤è♥❣ ❦➯ t❤❛♠ sè ✈î✐ ♠æ ❤➻♥❤ t✛ ❧➺ rõ✐ r♦ ❈♦① tr÷í♥❣
❤ñ♣ rõ✐ r♦ ❲❡✐❜✉❧❧ ✤➸ ✤→♥❤ ❣✐→ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ tö ✤✐➺♥✳

✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
✺✳✶✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤✐ t➻♠ ❤✐➸✉ q✉→ tr➻♥❤ ❲❡✐❜✉❧❧ P❍▼ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ♠æ
❤➻♥❤ t✛ ❧➺ rõ✐ r♦ ❈♦① ✤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ tö ✤✐➺♥ t❤õ② t✐♥❤✳ ❑➳t
q✉↔ ❝õ❛ ♠ö❝ ✺ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤➣ ❜ê s✉♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❝ì sð ❧➼ ❧✉➟♥ tø ✤â ❣â♣
♣❤➛♥ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❝→❝ ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ ✤➸ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✿ ✧◆❤✐➺t ✤ë ✈➔ ✤✐➺♥
→♣ ❝â ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❧î♥ ✤➳♥ t✉ê✐ t❤å ❝õ❛ tö ✤✐➺♥ t❤õ② t✐♥❤ ✈➔ t✉ê✐ t❤å ❝â ①✉
❤÷î♥❣ ❣✐↔♠ ❦❤✐ ♥❤✐➺t ✤ë t❤û ♥❣❤✐➺♠ ❝â ①✉ ❤÷î♥❣ t➠♥❣✧✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝ô♥❣ ♠ð r❛ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤é trñ ❝❤♦ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣ ❲❡✐❜✉❧❧ P❍▼
✤➸ ❞ü ✤♦→♥ ❝→❝ ✤➦❝ t➼♥❤ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❝→❝ t❤✐➳t ❜à ✤✐➺♥ tû ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤✐
❝â ✤÷ñ❝ ❜ë ❞ú ❧✐➺✉ t❤û ♥❣❤✐➺♠✳

✺✳✷✳ Þ ♥❣❤➽❛ t❤ü❝ t✐➵♥
❚ø ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✿ ❚✉ê✐ t❤å ❝õ❛ tö ✤✐➺♥ ❝â ①✉
❤÷î♥❣ ❣✐↔♠ ❦❤✐ ♥❤✐➺t ✤ë ❤❛② ✤✐➺♥ →♣ ❝â ①✉ ❤÷î♥❣ t➠♥❣✱ ♥❣÷í✐ ❞ò♥❣ ❝â t❤➸
❧ü❛ ❝❤å♥ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝â ♥❤✐➺t ✤ë t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ✈➔ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ✤✐➺♥ →♣
❤ñ♣ ❧➼ ✤➸ ✈ø❛ t✐➺♥ ❧ñ✐ ❝❤♦ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❦➨♦ ❞➔✐ ❤ì♥ t✉ê✐ t❤å ❝õ❛
tö ✤✐➺♥✳

✻✳ ❚â♠ t➢t
❚➻♠ ❤✐➸✉ ♠æ ❤➻♥❤ t✛ ❧➺ rõ✐ r♦ ❈♦① ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ✈î✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
rõ✐ r♦ ❲❡✐❜✉❧❧ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❜ë sè ❧✐➺✉✿✧❚❤í✐ ❣✐❛♥ sè♥❣ ❝õ❛ ✻✹
tö ✤✐➺♥ t❤õ② t✐♥❤✧✳ ✣➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤÷ñ❝ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ✤➣ ♥➯✉✱ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝
tr➻♥❤ ❜➔② t❤➔♥❤ ✷ ❝❤÷ì♥❣✿

✸


ữỡ ổ ở t
r ử ỡ ở t ừ tố
ởt số ố tờ tồ tữớ



ỡ r tr
t tờ tồ T trữ t
t rừ r tớ tt tr
t t ửt ỳ

ở t ừ tố r tờ q ở t
ừ tố ử t õ ợ trữớ ủ tố ữủ
t ố ố t tố ữủ t ố s s
ở t ừ trú ỗ k ữủ r tứ n



ởt số ố tờ tồ tữớ r
ố số sõt tữớ ữủ sỷ ử
tờ tồ T P ố ụ ố ố
ữỡ ữợ ữủ t số ừ ố
tờ tồ

ữỡ ổ t rừ r P
r ử ổ ữợ ữủ t số tr ổ

t ữ sỹ ũ ủ ừ ổ ự ử t ở t
ừ tử

ổ r ổ t rừ r õ ử t
õ ổ ợ trữớ ủ rừ r số 0 (t) =
trữớ ủ rừ r 0 (t) = t1
ìợ ữủ t số tr ổ r ữợ ữủ
t số ổ t rừ r ợ rừ r ữỡ
s ừ số ữợ ữủ
P t ữ r ữ
ỹ ũ ủ ừ ổ r tố
tr sỹ ũ ủ ừ ổ tố ữủ




❚❤è♥❣ ❦➯ ❦✐➸♠ ✤à♥❤ ✭t➾ sè ❤ñ♣ ❧➼✮✱ t❤è♥❣ ❦➯ ❙❝♦r❡ ✈➔ t❤è♥❣
❦➯ ❲❛❧❞✳

• Ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ tö ✤✐➺♥✿ ❚❤✐➳t ❧➟♣
♠æ ❤➻♥❤ ❈♦① ✈î✐ t✛ ❧➺ rõ✐ r♦ ❲❡✐❜✉❧❧ ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣
❝õ❛ ♥❤✐➺t ✤ë ✈➔ ✤✐➺♥ →♣ ✤➳♥ t✉ê✐ t❤å ❝õ❛ tö ✤✐➺♥ t❤õ② t✐♥❤✳

✺


❈❤÷ì♥❣ ✶
▼æ ❤➻♥❤ ✤ë t✐♥ ❝➟②
❈❤÷ì♥❣ ✶✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲✿ ❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t✉ê✐ t❤å
✈➔ ❝→❝ ✤➦❝ tr÷♥❣✱ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➔ ♠ët sè ♣❤➙♥ ♣❤è✐ t✉ê✐ t❤å

t❤÷í♥❣ ❣➦♣✳

✶ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥
✶✳✶ ❇✐➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐
❚r↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t✱ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ X(t)✿

X(t) =

1 ♥➳✉ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❤♦↕t ✤ë♥❣ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t❀
0 ♥➳✉ ✤è✐ t÷ñ♥❣ t❤➜t ❜↕✐ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t.

❇✐➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ ✤÷ñ❝ ♠✐♥❤ ❤å❛ ♥❤÷ ❍➻♥❤ ✶✳✶ ✈➔ t❤÷í♥❣
❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❇✐➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ✈➔ t✉ê✐ t❤å ❝õ❛ ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣

✻


✶✳✷ ❚✉ê✐ t❤å
❚✉ê✐ t❤å ❝õ❛ ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ tø ❦❤✐ ✤è✐
t÷ñ♥❣ ❤♦↕t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤è✐ t÷ñ♥❣ t❤➜t ❜↕✐✳ ✣➦t t = 0
❧➔ ✤✐➸♠ ❜➢t ✤➛✉✳ ❚✉ê✐ t❤å ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ T ✳ ▼è✐
❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❜✐➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐ X(t) ✈➔ t✉ê✐ t❤å T ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ t❤à ♥❤÷ ❍➻♥❤
1.1✳
❚✉ê✐ t❤å ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧ó❝ ♥➔♦ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ✤♦ ❜➡♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❧à❝❤✳
◆â ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤♦ ❜➡♥❣ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣✐→♥ t✐➳♣ ❤ì♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✿

•
•

•
•

❙è
❙è
❙è
❙è

❧➛♥ ✤â♥❣ ✲ ♥❣➢t ✤÷ñ❝ ✈➟♥ ❤➔♥❤❀
❦✐✲❧æ✲♠❡t ❧→✐ ①❡❀
✈á♥❣ q✉❛② ❝õ❛ ê ✤ï trö❝❀
❝❤✉ ❦➻ ❝õ❛ ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✤à♥❤ ❦➻✳

❚ø ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ö tr➯♥ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✱ t✉ê✐ t❤å T t❤÷í♥❣ ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
rí✐ r↕❝✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝â t❤➸ ①➜♣ ①➾ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝ ❜ð✐ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉
♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❱➻ ✈➟②✱ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ❧✉æ♥ ①➨t r➡♥❣ t✉ê✐ t❤å T ❧➔ ♠ët
❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❑➼ ❤✐➺✉ F (t) ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ✈➔ f (t)
❧➔ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t✉ê✐ t❤å T ✳ ❑❤✐ ✤â✿
t

F (t) = Pr (T ≤ t) =

f (u) du ✈î✐ t > 0

✭✶✳✶✮

0

F (t) ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ ①→❝ s✉➜t ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ t❤➜t ❜↕✐ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
(0, t]✳

❍➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t f (t) ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿
f (t) =

d
F (t + ∆t) − F (t)
F (t) = lim
∆t→0
dt
∆t
Pr (t < T ≤ t + ∆t)
= lim
∆t→0
∆t

✭✶✳✷✮

❱î✐ ∆t ♥❤ä t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (1.2) ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣✿
Pr (t < T ≤ t + ∆t) ≈ f (t) · ∆t
❍➔♠ ♣❤➙♥ ❜è ①→❝ s✉➜t F (t) ✈➔ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t f (t) ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ t❤à
♥❤÷ ❍➻♥❤ 1.2

✼


❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❍➔♠ ♣❤➙♥ ❜è ①→❝ s✉➜t F (t) ✈➔ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t f (t)
✶✳✸ ❍➔♠ t✐♥ ❝➟②
❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿

R(t) = 1 − F (t) = Pr (T > t) ✈î✐ t > 0

✭✶✳✸✮

❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (1.1)✱ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (1.3) ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣✿
t

R(t) = 1 −

+∞

f (u) du =
0

f (u) du

✭✶✳✹✮

t

R(t) ❧➔ ①→❝ s✉➜t ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤➜t ❜↕✐ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ (0, t]✳
◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ R(t) ❧➔ ①→❝ s✉➜t ♠ët ✤è✐ t÷ñ♥❣ sè♥❣ sât tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐
❣✐❛♥ (0, t] ✈➔ ✈➝♥ ❤♦↕t ✤ë♥❣ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t✳ ❍➔♠ t✐♥ ❝➟② R(t) ❝á♥ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ sè♥❣ sât ✈➔ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ t❤à ♥❤÷ ❍➻♥❤ 1.3

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❍➔♠ t✐♥ ❝➟② R(t)

✽


✶✳✹ ❍➔♠ t➾ ❧➺ rõ✐ r♦
❳→❝ s✉➜t ✤➸ ♠ët ♠ö❝ s➩ t❤➜t ❜↕✐ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ (t, t + ∆t] ✈î✐

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ✈➝♥ sè♥❣ ❝❤♦ ✤➳♥ t❤í✐ ✤✐➸♠ t ❧➔✿
Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t) =

Pr (t < T ≤ t + ∆t)
F (t + ∆t) − F (t)
=
Pr (T > t)
R(t)
✭✶✳✺✮

❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤✐❛ ①→❝ s✉➜t tr➯♥ ❝❤♦ ❣✐❛ sè t❤í✐ ❣✐❛♥ ∆t✱ ✈➔ ❝❤♦ ∆ → 0✱ ✤÷ñ❝
❤➔♠ t➾ ❧➺ rõ✐ r♦ λ(t) ❝õ❛ ♠ët ♠ö❝✿

λ(t) = lim

Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t)

∆t
F (t + ∆t) − F (t) 1
f (t)
= lim
=
∆t→0
∆t
R(t) R(t)
∆t→0

✭✶✳✻✮

❱î✐ ∆t ♥❤ä t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (1.6) ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣✿

Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t) ≈ λ(t) · ∆t

◆❤➟♥ ①➨t✿ ❙ü ❣✐è♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝ s✉➜t f (t) ✈➔ ❤➔♠
t➾ ❧➺ rõ✐ r♦ λ(t)✳
Pr (t < T ≤ t + ∆t) ≈ f (t) · ∆t

✭✶✳✼✮

Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t) ≈ λ(t) · ∆t

✭✶✳✽✮

❚ø ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (1.7) ✈➔ (1.8) ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✿

• ❚↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t = 0✱ ①→❝ s✉➜t ✤➸ ♠ët ♠ö❝ s➩ t❤➜t ❜↕✐ tr♦♥❣
❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ (t, t + ∆t] ❜➡♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ①→❝
s✉➜t f (t) t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t ✈î✐ sè ❣✐❛ t❤í✐ ❣✐❛♥ ∆t✳
• ❳→❝ s✉➜t ✤➸ ♠ët ♠ö❝ s➩ t❤➜t ❜↕✐ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
(t, t + ∆t] ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ✈➝♥ sè♥❣ ❝❤♦ ✤➳♥ t❤í✐
✤✐➸♠ t ❜➡♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤➔♠ t➾ ❧➺ rõ✐ r♦ λ(t) t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t ✈î✐
sè ❣✐❛ t❤í✐ ❣✐❛♥ ∆t✳
◆➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤÷❛ ♠ët sè ❧÷ñ♥❣ ❧î♥ ❝→❝ ♠ö❝ ❣✐è♥❣ ❤➺t ♥❤❛✉ ✈➔♦ ❤♦↕t ✤ë♥❣
t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t t❤➻ t➼❝❤ λ(t) · ∆t s➩ ✤↕✐ ❞✐➺♥ ❝❤♦ t✛ ❧➺ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝→❝ ✤è✐

✾


t÷ñ♥❣ ✈➝♥ ❤♦↕t ✤ë♥❣ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t✱ ♥❤÷♥❣ t❤➜t ❜↕✐ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐
❣✐❛♥ (t, t + ∆t] t✐➳♣ t❤❡♦✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿

f (t) =

d
d
F (t) = (1 − R(t)) = −R (t)
dt
dt

✭✶✳✾✮

f (t)
R (t)
d
=−
= − ❧♥ R(t)
R(t)
R(t)
dt

✭✶✳✶✵✮

t❤✉ ✤÷ñ❝✿

λ(t) =
❱➻ R(0) = 1 ♥➯♥✿
t

t

−

λ(t) dt =
0

0

d
❧♥ R(t) dt = −❧♥ R(t)
dt

✭✶✳✶✶✮

❚ø ✤â s✉② r❛✿
t

R(t) = ❡①♣ −

✭✶✳✶✷✮

λ(u) du
0

❚ø ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (1.6) ✈➔ (1.12) s✉② r❛✿
t

f (t) = λ(t) · ❡①♣ −

✈î✐ t > 0

λ(u) du

✭✶✳✶✸✮

0

❉♦ ✤â✱ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❤➔♠ F (t), f (t), R(t) ✈➔ λ(t) ♥❤÷ s❛✉✿
t

t

f (u)du = 1 − R(t) = 1 − ❡①♣ −

F (t) =

λ(u) du

0

d
d
f (t) = F (t) = − R(t) = λ(t) · ❡①♣ −
dt
dt

t

λ(u) du
t

f (u)du = ❡①♣ −

R(t) = 1 − F (t) = −

✭✶✳✶✺✮

0

∞
t

λ(t) =

✭✶✳✶✹✮

0

dF (t)
1
·
=
dt
1 − F (t)

λ(u) du

✭✶✳✶✻✮

d
❧♥ R(t)
dt

✭✶✳✶✼✮

0

f (t)
∞

−

f (u)du

=−

t

❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ (1.12) t❤➜② r➡♥❣ ❤➔♠ t✐♥ ❝➟② ✭❤➔♠ sè♥❣ sât✮ R(t) ✤÷ñ❝ ①→❝
✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t t❤æ♥❣ q✉❛ ❤➔♠ t➾ ❧➺ rõ✐ r♦ λ(t)✳ ✣➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ λ(t)

✶✵


❝❤♦ ♠ët ♠ö❝ ❝ö t❤➸✱ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t❤➼ ♥❣❤✐➺♠ s❛✉✿
❈❤✐❛ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ (0, t) t❤➔♥❤ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣ rí✐ r↕❝ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❜➡♥❣ ∆t✳
❙❛✉ ✤â✱ ❝❤♦ n ♠ö❝ ❣✐è♥❣ ❤➺t ♥❤❛✉ ✈➔♦ ❤♦↕t ✤ë♥❣ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t = 0✳ ❑❤✐
♠ët ♠ö❝ t❤➜t ❜↕✐✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣❤✐ ❧↕✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝ö t❤➸ ✈➔ ❧♦↕✐ ❜ä ♠ö❝ ✤â✳ ❱î✐
♠é✐ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ∆t✱ ❣❤✐ ❝❤➨♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ s❛✉✿

• ❙è ♠ö❝ n(i) t❤➜t ❜↕✐ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ i.
• ❚❤í✐ ❣✐❛♥ ❤♦↕t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ♠ö❝ ❝õ❛ ❝→ ♥❤➙♥ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣

t❤í✐ ❣✐❛♥ i ❧➔ (T1i , ..., Tni )✱ tr♦♥❣ ✤â Tji ❧➔ ♠ö❝ t❤ù j ✤➣ ❤♦↕t
✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ i✳ Tji = 0 ♥➳✉ ♠ö❝ j t❤➜t ❜↕✐
tr÷î❝ ❦❤♦↔♥❣ i✱ ✈î✐ j = 2, ..., n✳
n

❉♦ ✈➟②✱

Tji ❧➔ tê♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤♦↕t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠ö❝ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐
j=1

❣✐❛♥ i✳ ❚➾ sè

n(i)
n

Tji
j=1

❜✐➸✉ t❤à sè ❧÷ñ♥❣ ❧é✐ tr➯♥ ♠é✐ ✤ì♥ ✈à t❤í✐ ❣✐↕♥ ❤♦↕t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ i
✈➔ ❧➔ ÷î❝ t➼♥❤ tü ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ t➾ ❧➺ rõ✐ r♦ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ i✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ m(i) ❧➔ sè ❝→❝ ♠ö❝ ✤❛♥❣ ❤♦↕t ✤ë♥❣ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ ❜➢t ✤➛✉ ❝õ❛
❦❤♦↔♥❣ i✳ ❑❤✐ ✤â✿

λ(i) ≈

n(i)
m(i)∆t

❉♦ ✤â✿

λ(i)∆t ≈

n(i)
m(i)

▼ët ❜✐➸✉ ✤ç ♠æ t↔ λ(i) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝õ❛ i ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ ❍➻♥❤ 1.4

✶✶


❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ❍➔♠ ❜➟❝ t❤❛♥❣ λ(t)
❑❤✐ n r➜t ❧î♥✱ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ r➜t ♥❤ä✳ ◆➳✉ ∆t → 0✱s➩ ❦➻
✈å♥❣ r➡♥❣ ❤➔♠ ❜➟❝ t❤❛♥❣ λ(t) t✐➺♠ ❝➟♥ ✤➳♥ ♠ët ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❧✐➯♥ tö❝✱ ♥❤÷
❍➻♥❤ 1.5

❍➻♥❤ ✶✳✺✿ ❍➔♠ ❜➟❝ t❤❛♥❣ λ(t) t✐➺♠ ❝➟♥ ✤➳♥ ♠ët ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❧✐➯♥ tö❝
✶✳✺ ❚✉ê✐ t❤å tr✉♥❣ ❜➻♥❤
❚✉ê✐ t❤å tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✭▼❚❚❋✮ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿
∞

▼❚❚❋ = E(T ) =

tf (t) dt

✭✶✳✶✽✮

0

❑❤✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝➛♥ t❤✐➳t ✤➸ sû❛ ❝❤ú❛ ❤♦➦❝ t❤❛② t❤➳ ♠ët ♠ö❝ ❜à ❤ä♥❣ r➜t
♥❣➢♥ s♦ ✈î✐ t✉ê✐ t❤å tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✭▼❚❚❋✮ t❤➻ ▼❚❚❋ ❝ô♥❣ t❤➸ ❤✐➺♥ t❤í✐ ❣✐❛♥

✶✷


tr ỳ tt tớ sỷ ỳ ổ
t ọ q t ỗ ổ tớ sỷ ỳ
ứ f (t) = R (t) t ữủ


=

tR (t) dt
0

ỷ ử ổ tự t tứ t ữủ
=

[tR(t)]|
0



+

R(t) dt
0

< õ t ự r [tR(t)]|
0 = 0 ứ õ s r

=

R(t) dt



0

ụ õ t tờ tồ tr sỷ ử ờ
ờ t số sõt R(t) ữủ
ổ tự




R(t) est dt



R(t) dt =



R (s) =
0

s = 0 t ữủ

R (0) =
0

r ởt tr tr
t ừ ố ởt t t tr ữủ


R(tm ) = 0.5



r ố ỷ ởt ỷ s tt trữợ tớ
tm ợ st 50% ỷ ỏ s tt s tớ tm ụ ợ
st 50%

ừ ố tmode tớ ỹ
t ở st f (t)

f (tmode ) = 0t< f (t)



1.6 t tr ừ tr tm tmode ừ ởt
ố

❍➻♥❤ ✶✳✻✿ ❱à tr➼ ❝õ❛ ▼❚❚❋✱ tm ✈➔ tmode ❝õ❛ ♠ët ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✶✳✻ ❑✐➸♠ ❞✉②➺t ✈➔ ❝❤➦t ❝öt ❞ú ❧✐➺✉
❑✐➸♠ ❞✉②➺t
❳➨t T ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t✉ê✐ t❤å✳
◆➳✉ ❝❤➾ ❜✐➳t T > t tø ♠ët q✉❛♥ s→t t✱ t❤➻ t
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✧❦✐➸♠ ❞✉②➺t ♣❤↔✐ ✧✳
• ❑✐➸♠ ❞✉②➺t tr→✐ ✿ ◆➳✉ ❝❤➾ ❜✐➳t T < t tø ♠ët q✉❛♥ s→t t✱ t❤➻ t
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✧❦✐➸♠ ❞✉②➺t tr→✐ ✧✳
• ❑✐➸♠ ❞✉②➺t ❦❤♦↔♥❣ ✿ ❚r♦♥❣ ✧❦✐➸♠ ❞✉②➺t ❦❤♦↔♥❣ ✧ ❜✐➳t a < T < b
♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜✐➳t ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ T ✳
• ❚❤í✐ ❣✐❛♥ ❦✐➸♠ ❞✉②➺t ✿ ◆➳✉ c ❧➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤➾
q✉❛♥ s→t c ❦❤✐ T > c t❤➻ c ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❦✐➸♠ ❞✉②➺t✳
❚❤í✐ ❣✐❛♥ sè♥❣ sât t ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ t❤à ❜➡♥❣✿

•

❑✐➸♠ ❞✉②➺t ♣❤↔✐ ✿

t = T ∧ c = min(T, c)
•

❍➺ sè ❦✐➸♠ ❞✉②➺t ✿

δ = I{T ≤c} =

❍➺ sè ❦✐➸♠ ❞✉②➺t δ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿

1 ♥➳✉ T ≤ c (❦❤æ♥❣ ❦✐➸♠ ❞✉②➺t);
0 ♥➳✉ T > c (❦✐➸♠ ❞✉②➺t),

✈î✐ IA ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿

✶✹


IA =

1 ♥➳✉ A ①↔② r❛;
0 ♥➳✉ A ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛.

❈→❝ ❦✐➸✉ ❦✐➸♠ ❞✉②➺t
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ❦✐➸♠ ❞✉②➺t ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ✭✤➣
❜✐➳t✮✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ✺ ♥➠♠ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
❝❤➼♥❤ s→❝❤ ❜↔♦ ❤✐➸♠ ♥❤➙♥ t❤å ✺ ♥➠♠❀ ❤♦➦❝ ♠ët ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✷ ♥➠♠ ✈➲ ❝→❝ ❝❤õ ✤➲ ✤➣ ❝â s➤♥✳
• ❑✐➸♠ ❞✉②➺t ▲♦↕✐ ■■ ✿ ❈❤➜♠ ❞ùt ♥❣❛② s❛✉ ❦❤✐ q✉❛♥ s→t t❤➜t
❜↕✐✳ ❑✐➸♠ ❞✉②➺t ♥➔② t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❦✐➸♠
tr❛ ✤ë t✐♥ ❝➟②✱ tr♦♥❣ ✤â ♠ët ❜➔✐ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t t❤ó❝ ❦❤✐ ❝→❝ s↔♥
♣❤➞♠ t❤➜t ❜↕✐✳
• ❑✐➸♠ ❞✉②➺t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✿ ✣✐➸♠ ❜➢t ✤➛✉ ✈➔ ✤✐➸♠ ❦➳t t❤ó❝ q✉❛♥
s→t ❧➔ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❑✐➸♠ ❞✉②➺t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❦✐➸♠ ❞✉②➺t ♣❤ê
❜✐➳♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ sè♥❣ sât✳

•

❑✐➸♠ ❞✉②➺t ▲♦↕✐ ■ ✿

❈❤➦t ❝öt
❈❤➾ q✉❛♥ s→t T = t ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ T > a ✈î✐
a ❧➔ ❣✐→ trà ❝❤♦ tr÷î❝✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❤÷ ✈➟②✱ q✉❛♥ s→t t

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✧❝❤➦t ❝öt tr→✐✧ t↕✐ a✳
• ❈❤➦t ❝öt ♣❤↔✐ ✿ ❈❤➾ q✉❛♥ s→t T = t ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ T < a ✈î✐ a
❧➔ ❣✐→ trà ❝❤♦ tr÷î❝✳

•

❈❤➦t ❝öt tr→✐ ✿

❙ü ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❣✐ú❛ ✧❑✐➸♠ ❞✉②➺t✧ ✈➔ ✧❝❤➦t ❝öt✧
• ▼ët ✧❦✐➸♠ ❞✉②➺t✧ t ❧➔ q✉❛♥ s→t tr➯♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❜✐➳t
r➡♥❣ T > t✳
• ▼ët ✧❝❤➦t ❝öt✧ t ❧➔ q✉❛♥ s→t ❝❤➾ tr➯♥ ♠ët ❝→ ♥❤➙♥ ✈î✐ T > a
❜✐➳t r➡♥❣ T = t ♥➳✉ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ✤÷ñ❝ q✉❛♥ s→t✳

✶✺


✷ ✣ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣
❈❤ó♥❣ t❛ s➩ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝❤ t❤ù❝ t➼♥❤ ❤➔♠ t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣✱ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët
❤➔♠ t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♥â✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥➳✉ t❛ ❝â ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❜❛♦
❣ç♠ k ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ ✭t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✮✱ ❝â ❝→❝ ❤➔♠ ✤ë t✐♥ ❝➟② R1 (t), ..., Rk (t)✱
t❤➻ ✤ë t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ ❧➔✿

Rsys (t) = ψ(R1 (t), ..., Rk (t));

t≥0

❍➔♠ ψ(.) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝➜✉ tró❝ ✭str✉❝t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✮✳ ❙❛✉ ✤➙② s➩
tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♠ët sè ❤➔♠ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ t❤è♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳
●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ T1 , T2 , ..., Tk ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤↕✐

❞✐➺♥ ❝❤♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ sè♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥✳ ❳➨t ✈î✐ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝â ❤❛✐
❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ C1 ✈➔ C2 ✳
◆➳✉ ❧é✐ ❝õ❛ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ ❧➟♣ tù❝ ❣➙② r❛ t❤➜t ❜↕✐ ❝❤♦ ❝↔ ❤➺
t❤è♥❣✱ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ t✉➛♥ tü ✭❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✐♥ s❡r✐❡s✮✳
❚r→✐ ❧↕✐✱ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❜❛♦ ❣ç♠ k ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦➳t ♥è✐ s♦♥❣
s♦♥❣✱ ♥➳✉ ❤➺ t❤è♥❣ ❜à ❧é✐ ❝❤➾ ❦❤✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ ❜à ❧é✐✳ ❚r♦♥❣ ♠ët
❤➺ t❤è♥❣ ❦➳t ♥è✐ s♦♥❣ s♦♥❣ ❝❤➾ ❝➛♥ ➼t ♥❤➜t ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ ❤♦↕t ✤ë♥❣ ❧➔
✤õ ❝❤♦ t♦➔♥ ❜ë ❤➺ t❤è♥❣ ❤♦↕t ✤ë♥❣✳
❉÷î✐ ✤➙②✱ ❜✐➸✉ t❤à ❦➳t ♥è✐ ♥è✐ t✐➳♣ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣ ❜➡♥❣ ♠ët sì ✤ç ❦❤è✐✱ ♥❤÷
tr♦♥❣ ❍➻♥❤ 1.7

❍➻♥❤ ✶✳✼✿ ❙ì ✤ç ❦❤è✐ ❝❤♦ ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ ♥è✐ t✐➳♣ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣

✶✻


✷✳✶ ❍➺ t❤è♥❣ ♥è✐ t✐➳♣ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣
❚❛ ❣å✐ Ii , (i = 1, 2, ..., k) ❧➔ ❜✐➳♥ ❝❤➾ ✤à♥❤✳ Ii ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ ♥➳✉ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥
Ci ✱ ❦❤æ♥❣ ❜à ❧é✐ tr♦♥❣ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ q✉② ✤à♥❤ (0, t0 ) ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→
trà ✵ ♥➳✉ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ Ci ❜à ❤ä♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ (0, t0 )✳ ❑ý ✈å♥❣
❝õ❛ ❜✐➳♥ Ii ❧➔✿

E[Ii ] = P [Ii = 1] = Ri (t0 )

✭✶✳✷✹✮

❍➺ t❤è♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ ♥è✐ t✐➳♣
❍➔♠ ❝➜✉ tró❝ ✭s❡r✐❡s str✉❝t✉r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ ❝õ❛ ❤➺ ❣ç♠ k t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✤÷ñ❝
❦➳t ♥è✐ ♥è✐ t✐➳♣ ❧➔✿
k

ψ(I1 , I2 , ..., Ik ) =

Ii

✭✶✳✷✺✮

i=1

❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ ♥è✐ t✐➳♣✱ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐✿
(s)
Rsys
(t0 ) = E[ψs (I1 , I2 , ..., Ik )]
k

=

Ri (t0 )
i=1

= ψs (R1 (t0 ), ..., Rk (t0 ))

✭✶✳✷✻✮

❱➻ ✈➟②✱ ❤➔♠ t✐♥ ❝➟② ❝❤♦ ❝→❝ ❤➺ t❤è♥❣ ❝♦♥ ♠➔ ❦➳t ♥è✐ ♥è✐ t✐➳♣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐
ψs (R1 , ..., Rk )✱ ✈î✐ R1 , ..., Rk ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✳

❍➺ t❤è♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ s♦♥❣ s♦♥❣
❍➔♠ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❤➺ ❣ç♠ k t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ s♦♥❣ s♦♥❣ ❧➔✿

k

ψp (I1 , I2 , ..., Ik ) = 1 −

(1 − Ii )− i)

✭✶✳✷✼✮

i=1

❍➔♠ t✐♥ ❝➟② ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➳t ♥è✐ s♦♥❣ s♦♥❣✱ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐✿
(s)
Rsys
(t0 ) = E[ψp (I1 , I2 , ..., Ik )]

✶✼


k

=1

(1 Ri (t0 ))



i=1

ởt t t õ t t ở

ở t ừ ộ t tr tớ ớ
t ở R = 0.9999 t ở ợ ở t
ừ t tớ
ử

t t ú tt t ởt
trú ố t õ ở t tố t0 = 200 ớ
(s)
Rsys
(t0 ) = (0.9999)200 = 0.9802

ữ ũ tỹ t ộ t ữ ổ t ộ õ ởt
st r t s ọ tr ỏ ớ ộ t
õ ởt ở t t ở t t
(s)
Rsys
(t0 ) = (0.99)2 00 = 0.134

sỷ r t õ ộ trố ởt số ỹ ỏ õ t
qt sỷ ử õ ở t R = 0.99 ộ
tr ởt trú s s trú s s ừ
trũ ữủ ữ ởt ở t ừ ộ
RM = 1 (1 0.99)2 = 0.9999 õ ở t ừ t ở
tố
(s)
200
Rsys
= RM
= 0.9802

õ t ờ trú ừ t t õ t t ữủ ở t
ợ t ộ t ỗ ởt ộ
õ ở t
tố õ t õ trú ự t ỡ 1.8 t sỡ ỗ ố
ừ ởt tố ỗ t
ồ R1 , R2 , ..., R5 t tr ở t ừ t
C1 , C2 , ..., C5 tữỡ ự ồ M1 ỗ t C1 , C2
ồ M2 ỗ t tự ở
t ừ M1 ởt tớ q

RM1 = R1 R2