Bài giảng hình học họa hình phần 2

Bài 4
Các phép biến đổi


Đặt vấn đề:
Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị
trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán.
Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.


I- Thay mặt phẳng hình chiếu
1- Thay một mặt phẳng hình chiếu
a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1

a) Π1

Điều kiện: ∏'1 ⊥ ∏ 2

A1

Π’1
A’1

x

* Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:
- Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới.

Ax

A

A’x

- Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu
là (A1 , A2).
- Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1.
Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2.
( Chiều quay xác định như trên hình 4.1).
- Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống

A’1

Π2

b)

A2

x’

A1
Ax

x

(П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A.

Π1
Π2

A’1

*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2):

A’x

Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’
+ A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc với x’
+ A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)

A2

x’
Π

2

Π’

1

Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1


Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2).

B1

Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng

AB đối với П2
Giải:
Dựa vào tính chất của đường mặt
- AB đã cho ở vị trí bất kỳ.
- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới

A1
x

B2

(П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt .

A2

Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn
thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2.
-

Bx

Ax

Để thực hiện:
+Chọn x’//A2B2

x’

Π1
Π2

Π2
Π’ 1

B’x
A’x
A’1

φ
ĐLT: A
B

B’1

+Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)
-

Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1

Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc
nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2


b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2

A’2

Điều kiện: ∏'2 ⊥ ∏1
Cách xây dựng như thay П1 thành П’1

A’x

* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
A1

Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong
phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2

x’

Π

Π’
2

1

biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3)
*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2)

x

Ax

Π1
Π2

+ A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc với x’
+ A’xA’2 =AxA2

A2

Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2


A’2

Ví dụ 2:
Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC
được cho trên đồ thức. (Hình 4.4)

B’2
A’x

A1
Giải:
Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức
- (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng.
- Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC)

B’x

C’x

B1
C1

Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1.
Tìm A’2B’2C’2?

C’2

x

Ax

Bx

Cx

- Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật
của ΔABC.

Π

Π1
C2

x’

Π’
2

1

Π2

A2

B2

Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC


A1

2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu
a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1
rồi thay П2 thành П’2
Điều kiện:

∏'1 ⊥ ∏ 2

x

Ax

Π1
Π2

∏'2 ⊥ ∏'1

Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm
A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu
П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước
trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là
giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5)
Giải:

- Tìm A’1: A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1

Π2
Π’ 1

A2
x’’
x’

A’x

A’1

A”x

A’2

- Tìm A’2: A’2A’1 ⊥ x” ; A’xA”2=AxA’2
Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2

Π’1 Π’2

Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1
A

rồi thay П2 thành П’2


Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2).

Ax

+ Tìm A’1B’1?
-

Π2
Π’ 1

A’1
B’x

(П’1,П2), AB là đường mặt.
+ Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2.

Π1
Π2

B2

A1
A2

Bx

x’

A’x

B’1
A”x ≡ B”x

(Độ cao điểm A âm)
Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống

A’2 ≡ B’2

(П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng.
+ Muốn vậy, chọn trục x”⊥A’1B’1.
+ Tìm A’2B’2?
(A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)

Π’
2

x

Π’
1

Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình
chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là
đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống
mới.(Hình 4.6)
Độ cao âm
Giải:
- Thay П1thành П’1 để trong hệ thống

B1

x’’

Hình 4.6. Ví dụ 3


b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2
rồi thay П1 thành П’1

x’’

A’2

A’’x

A’1

Điều kiện: ∏'2 ⊥ ∏1

∏'1 ⊥ ∏'2
A’x

Thực hiện phép thay tương tự như mục a)
Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A
trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành

Π’ 2 Π’1

x’

A1

Π

Π’
2

1

П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao
của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.
(Hình 4.7).
Giải:
Tìm A’2: A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2
Tìm A’1: A’1A’2 ⊥ x” ; A’’xA’1=A’xA1

Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax

Ax

x

Π1
Π2

A2

Hình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2
rồi thay П1 thành П’1

phẳng mặt.
Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.
Tìm A’1B’1C’1?
- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn
thật của tam giác ABC.

x’

B”x
B’2
A”x

B1

C’1

chiếu bằng.
Muốn vậy, vẽ đường mặt Af.
Chọn trục x’⊥A1f1.

thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt

x’’

B’x

thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng

- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ

Π’ 2

Π1

Ví dụ 4:
Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác
ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)
Giải:
- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ

Tìm A’2B’2C’2?

A’1

B’1

C”x

A’2
f1

A’x
C’2

11
A1
x Ax

C’x
Bx

Cx

C1

Π1
Π2

B2
A2

12

f2
C2

Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật
của tam giác ABC

Π’
Π’ 1
2


Bài 5
Đa diện


I- Biểu diễn đa diện
Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó.

Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a)
- Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)
S1

a)
A1

b)
l1
A1

B1

B1

C1

C1

C2
A2

C2
S2

A2
l2

B2

B2

Hình 5.1. Biểu diễn đa diện

Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh
và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.


S1

Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt
của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm

P1

hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2)
Giải:
* Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi
qua đỉnh S, đó là SE và SE’.
* Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA
* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với

M1

N1

Q1
B1

A1

Q’1

A2

M’2

P’2

N2
M2

J2
Q2

S2
E2

C1
C2

E’2

* Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường

Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1

I1

E ≡E’1

cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2
thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường
thẳng song song cạnh đáy hình chóp.
Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp.

J1

P2

B2

I2


Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc
các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2,
Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.
(Hình 5.3)
A1
Giải:
* Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng

a1
k1

N1

M1
H1

B1

G1

* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b).
* Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường
A2
thẳng k (k//a,b)
Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu
các điểm bằng cách gắn các điểm vào
đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ

H2

t1
b1 ≡

P1

s1

k’1

Q’1

c1

E1≡E’1

t song song với cạch bên của lăng trụ.
* Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1
P∈b ⇒P1∈b1

Q1

E’2

N2

B’2

G2

C1
C2

M’2

c2

P’2
s’2

t’2
k2

E2

M2

B2

Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1

a2

Q2

t2

P2 b 2
≡

s2


II- Giao tuyến của mặt phẳng và đa diện
Chú ý:
- Trong phạm vi chương trình chỉ nghiên cứu đa diện lồi
- Giao của một mặt phẳng với một đa diện lồi là một đa giác lồi hay
còn gọi là thiết diện.
Thiết diện này có:
+ Các đỉnh của thiết diện là giao điểm của mặt phẳng cắt với
các cạnh của đa diện.
+ Các cạnh của thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng cắt với
các mặt của đa diện.


S1

α1

Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1)
với hình chóp được cho trên hình vẽ.(Hình 5.4)
Giải:
- Nhận xét: (α) là mặt phẳng chiếu đứng, do đó ta
đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là đoạn
11-21-31.
- Tìm hình chiếu bằng của giao tuyến ta đưa về
bài toán điểm thuộc hình chóp.
- Chú ý:
+ Đoạn 1242 khuất.

31
21
B1

A1

C2
2’2

A2

J2
32

+ Điểm 32 , 2’2 , 42 thẳng hàng, do đó không

S2

12

Hình 5.4. Ví dụ 1 :
Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với hình chóp

C1

11 ≡41
42

cần tìm điểm 2’2 .

J1

22
B2


Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với lăng
trụ chiếu bằng được cho như trên hình 5.5. (Lăng trụ chiếu bằng
là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng П2)

c1

b1

a1

mα
P1

Π1

c

a

mα
P

b

M1
x

M

N1

M2≡A2

N
nα

A1

C2 ≡P2

B2≡N2

Π2

Giải:
- Nhận xét : Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu bằng,
do đó ta biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến là
M2N2P2 trùng với A2B2C2.
- Tìm M1 , N1 , P1 giải bài toán điểm thuộc mặt phẳng
α(mα, nα)
- Chú ý: Vì mặt (ac) khuất do đó M1P1 khuất

B1

C1

x

C2 ≡P2

M2≡ A2

nα

B2 ≡N2

Hình 5.5. Ví dụ 2 : Tìm giao tuyến của
mặt phẳng α(mα, nα) với lăng trụ


IV- Giao điểm của đường thẳng với đa diện

B1

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với
lăng trụ chiếu đứng được cho như trên hình 5.7.
( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1)
Giải:
Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng,
do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của
giao điểm.
Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng :

K1
I1

A1

A2

B2

D2

C2
l2
I2

Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của
đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng

l1

D1

I2 , K2 thuộc l2.
Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.

C1

K2


l1

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng
chiếu l(l1,l2) với hình chóp được cho trên

S1

K1

đồ thức. (Hình 5.8)
A1

I1

Giải:
- Giả thiết đường thẳng l là đường
thẳng chiếu bằng, do đó ta đã biết
trước hình chiếu bằng của giao điểm:

I2 ≡ K2≡ l2

H1

B1
G1

C1
C2

- Tìm K1 , I1 : bài toán điểm I , K
H2

thuộc các mặt của hình chóp S.ABC

G2

A2

l2≡K2≡I2
S2

Hình 5.8. Ví dụ 2 : Tìm giao điểm của
đường thẳng chiếu l(l1,l2) với hình chóp
B2


S1

Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp

được cho trên đồ thức.(Hình 5.9)
Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp,
ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùng
phương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10)
- Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l
- Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123
- Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là
giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho.
S

Chú ý:
Mặt phẳng (α) được chọn
là mặt phẳng chiếu.

31

I1

Giải:
11

K1

J1

21

B1

A1

C1
C2
32

A2
12

α

1

Hình 5.10. Phương pháp mặt phẳng phụ trợ

S2

I2

J2
l2

C

I
l

A

K2

3

K

α
l1 ≡ 1

22

2
B2
B

Hình 5.9. Ví dụ 3 : Tìm giao điểm của
đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp


Ví dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng .
(Hình 5.11)
Giải:
- Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó
giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín.
- Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của
hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51.
- Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt
của hình chóp.
- Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai
triển như hình 5.12
D

Hình 5.12.
Bảng nối và xét thấy
khuất giao tuyến trên
hình chiếu bằng

S

S

E

1’

5

5’

F
1

D

A

41

E1
D1

21

11=1’1

B1

A1
D2
A2

F1
31 ≡3’1

C1
F2

E2

3’2

1’2
32
5’2
12

S2
52
42

3’

3

22

2
B

51 ≡5’1

S

1
4

(-)

S

S1

B2

1’
C

A

Hình 5.11. Tìm giao của hình chóp
với lăng trụ chiếu đứng

C2


Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một
lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13)

4’1

E

F

C
4
B

51

(-)

D

E

21

3
1

6

41

61
11

3’1
A1

A

(-)

5

2
4’

31

H1
B1

3’

G1

C

Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất

giao tuyến trên hình chiếu đứng

C1

D1

C2
H2

G2

A2

Hình 5.13. Tìm giao của lăng trụ
với lăng trụ chiếu đứng

F1

E1

32≡3’2
D2

42≡4’2
F2
52

22

B2

12

62
E2


Bài 6
Mặt cong


I- Biểu diễn mặt cong
Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó.
Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)
- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh.
S1
l1
O1

O1

O2

O2
S2

l2

Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong
Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường

bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.


S1

II- Điểm thuộc mặt cong
Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón.
Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các

P1

điểm đó. (Hình 6.2)
Giải:
- Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M
- Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ
- Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa

M1
N1

Q1
O1

J1

E1≡E’1

điểm P
- Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q.

I1
Q’1
I2

E’2
M’2

Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón

P’2

Q2
K2

J2
N2

Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón.
Tìm M2 , N2, P2, Q1

K1

S2 ≡ O2
M2

E2

P2