Đề thi olympic toán 10 năm học 2019 2020 cụm sóc sơn mê linh hà nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
CÁC TRƯỜNG THPT
CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10
NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)
1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  x2  5x  6 .
2. Tìm m để đường thẳng y  x  m 1 cắt đồ thị hàm số y  x2  4 x  6 tại hai điểm phân biệt.
Câu 2. (6,0 điểm)
1. Giải bất phương trình 3 14  3x  x2  7  x  1
 x2  y 4  xy  2 xy 2  7

2. Giải hệ phương trình  3 2
2

 xy  x y  4 xy  11x  28  11y

3. Một người có một khu đất bãi rộng dọc theo bờ sông. Người
đó muốn làm một hàng rào hình chữa E (như hình vẽ) để được
khu đất hình chữ nhật gồm hai phần để trồng rau và chăn nuôi.
Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên
vật liệu là 80000 đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi
phí nguyên vật liệu là 40000 đồng một mét dài. Tính diện tích
lớn nhất của phần đất mà người đó rào được với chi phí vật liệu
20 triệu đồng.

Con sông

Câu 3. (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D  2;2 , cạnh CD  2 AB .
Gọi H là hình chiếu của D lên cạnh AC và M là trung điểm HC. Biết phương trình đường thẳng DH
và BM lần lượt là 2x  y  6  0 và 4x  7 y  61  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của hình thang.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC. O là điểm tùy ý trong tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của O lên
BC AC AB 2 p
cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng
, trong đó p là nửa chu vi và r là bán



OM ON OP r
kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 3

a2
b2
c2


3
3
b  c 2  5bc  c  a 2  5ca  a  b 2  5ab
--- Hết ---

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
CÁC TRƯỜNG THPT CỤM
SÓC SƠN - MÊ LINH

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10
NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài
Bài I.1

Nội dung
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  x 2  5 x  6 .

Điểm
2.0

Tập xác định D 
5 1
Tọa độ đỉnh I  ;  
2 4

0.5

5

Hàm số nghịch biến trên   ;  và đồng biến trên
2



5

 ; 
2


Bảng biến thiên

0.5

x
y

–∞
+∞

5/2

+∞
+∞

1.0

Bài I.2

Vẽ đồ thị
Tìm m để đường thẳng y  x  m  1 cắt đồ thị hàm số y  x 2  4 x  6 tại hai điểm
phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm x 2  4 x  6  x  m  1
 x2  5x  6  m  1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y  m  1 cắt đồ
thị hàm số y  x 2  5 x  6 tại hai điểm phân biệt.

2.0
0.5
0.5
0.5


0.5

1
3
m
4
4
Bài II.1 Giải bất phương trình 3 14  3x  x 2  7  x  1
Điều kiện: x  1

Khi đó m  1  

BPT 




3

3



14  3x  2   x  4  
2

3 2  x 

14  3x 

2



 2 3 14  3x  4

2.0
0.5



x 1 1  0
  x2  4 

x2
0
x 1  1




3
1

  0  *
  x  2
 x2
 3 14  3x 2  2 3 14  3x  4
x  1  1


Vì biểu thức trong ngoặc vuông bằng

0.5

0.5

0.5

14  3x   2 3 14  3x  1
1
 x 1
 0 x  1
2
3
x 1 1
14  3x   2 3 14  3x  4
nên *  x  2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy tập nghiệm là S   2;   
3

Bài II.2

2

2
4
2

 x  y  xy  2 xy  7
Giải hệ phương trình  3
 *
2
2

 xy  x y  4 xy  11x  28  11y
 x  y 2 2  xy  7

Hệ *  
2
2
 xy  y  x   11 x  y   4 xy  28
Đặt u  y 2  x; v  xy

2.0
0.5

0.5

v  7  u 2
u 2  v  7



2
2
uv

4
v

11
u

28

u  7  u   4  7  u   11u  28
u  0, v  7
 u 3  4u 2  4u  0  
u  2; v  3
- Với u  0, v  7  x  3 49; y  3 7
- Với u  2, v  3  x  3; y  1 .
Vậy tập nghiệm là

3;1 ; 

3

49; 3 7

0.5
0.5



2.0
Bài II.3 Một người có một khu đất bãi rộng dọc theo bờ sông. Người đó muốn làm một
hàng rào hình chữa E (như hình vẽ) để được khu đất hình chữ nhật gồm hai phần
để trồng rau và chăn nuôi. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí
nguyên vật liệu là 80000 đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí
nguyên vật liệu là 40000 đồng một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất
mà người đó rào được với chi phí vật liệu 20 triệu đồng.
Con sông

Gọi x (m) là chiều dài hàng rào vuông góc với bờ sông, y (m) là chiều dài hàng
rào song song với bờ sông .

0.5


Theo giả thiết thì 3x.40000  y.80000  20000000
 3 x  2 y  500  y 

Bài III

 x  0,

y  0

500  3 x
2

0.5

0.5
3
500
Diện tích khu vườn sau khi rào là S  xy   x 2  250 x, 0  x 
2
3
0.5
3
 500 
Xét tam thức f  x    x 2  250 x trên  0;
,
suy
ra
diện
tích
lớn
nhất
là

2
3 

31250 2
250
m  khi x 
(m)

3

3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D  2; 2  , cạnh 4.0

CD  2 AB . Gọi H là hình chiếu của D lên cạnh AC và M là trung điểm HC. Biết
phương trình đường thẳng DH và BM lần lượt là 2 x  y  6  0 và 4 x  7 y  61  0
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của hình thang.
D (2;2)

C

K

M
H

A

B

4x+7y-61=0

- Gọi K là trung điểm DH  KM là đường trung bình trong tam giác CDH và
1
KM  DC .
2
1
Mà AB / / DC ; AB  DC  Tứ giác ABMK là hình bình hành.
2

0.5

- Vì AB  AD, KM / / AB nên KM  AD , do đó K là trực tâm tam giác ADM
 AK  DM  BM  DM

0.5

- Khi đó đường thẳng DM qua D và vuông góc BM có phương trình là
7x  4 y  6  0 .
 22 31 
- Ta có M  DM  BM  M  ; 
 5 5

0.5

- Đường thẳng AC qua M và vuông góc DH có phương trình là x  2 y  8  0 . Ta
 4 22 
có H  AC  DH  H  ;  .
5 5 

0.5

Vì M là trung điểm CH nên C  8;8  .

0.5

- Đường thẳng AD qua D và vuông góc CD có phương trình là x  y  4  0 . Ta

0.5

có A  AD  AC  A  0; 4  .

0.5

1
DC  B  3;7  .
2
Vậy A  0; 4  , B  3;7  , C 8;8

- Vì AB 

Bài IV

Cho tam giác ABC. O là điểm tùy ý trong tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là hình 3.0
BC AC AB 2 p



chiếu của O lên cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng
, trong
OM ON OP
r
đó p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Có  BC  AC  AB  
2

- Vì S ABC

Bài V

0.5



BC 2  AC 2  AB 2



0.5

2

 BC

AC
AB
= 
. BC.OM 
. AC.ON 
. AB.OP 
ON
OP
 OM

 BC AC AB 



  BC.OM  AC.ON  AB.OP 
 OM ON OP 

 BC AC AB 
 4 p2  


 .2SABC
 OM ON OP 
 pr nên suy ra điều phải chứng minh.

2

BC
AC
AB
- Dấu = xảy ra khi và chỉ khi OM  ON  OP  OM  ON  OP
BC.OM AC.ON AB.OP
 O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P 3

a

b  c 

2

2

 5bc

3

b

c  a

2

2

 5ca

3

c

a  b

0.5

0.5
0.5
0.5
0.5

3.0

2

2

 5ab

Ta có  b  c   2  b 2  c 2  .

0.5

2

Suy ra  b  c   5bc  2  b 2  c 2   5bc   b  2c  c  2b 
2

Do đó

a2

b  c 

2

 5bc



Mặt khác a  b  c  a 


3

Tương tự có

0.5

a2
 b  2c  c  2b 

b  2c c  2b
b  2c c  2b

 3 3 a.
.
3
3
3
3

0.5

a2
a
a2
a
3
 3 3.
 3 3.
2
abc
abc
 b  2c  c  2b 
 b  c   5bc

b2

3

b
;
 3.
2
abc
 c  a   5ca
3

c2
3

 a  b

2

 5ab

 3 3.

c
abc

Do vậy P  3 3 . Dấu = xảy ra khi a  b  c . Vậy min P  3 3
* Lưu ý: Học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm theo thang điểm của câu.

0.5

0.5

0.5