giáo tình Giai tich ham
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (952.27 KB, 145 trang )
THÁI THUẦN QUANG
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
GIẢI TÍCH HÀM
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN
Quy Nhơn, 2013
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. Không gian định chuẩn
i
1
1.1
Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Không gian định chuẩn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4
Không gian con - không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5
Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.6
Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly . . . . . . . . . . . .
40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Bài tập
Chương 2. Các nguyên lý cơ bản
48
2.1
Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.2
Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3
Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Bài tập
Chương 3. Không gian liên hợp - Tôpô yếu
64
3.1
Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.2
Không gian liên hợp thứ hai - Không gian phản xạ . . . . . . . . . .
72
3.3
Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Bài tập
Chương 4. Một số toán tử trong không gian Banach
87
4.1
Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.2
Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.3
Phổ của toán tử liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Bài tập
Chương 5. Không gian Hilbert
98
5.1
Khái niệm không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3
Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4
Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bài tập
98
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Tài liệu tham khảo
135
Chỉ mục
140
Lời nói đầu
Giải tích hàm được bắt đầu xây dựng vào những năm đầu của thế kỷ 20, nhưng
cho đến nay hầu như đã được xem là một ngành toán học cổ điển, ít ra là về các
phương hướng chính thống của nó. Ngày nay giải tích hàm đóng vai trò quan trọng
trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học. Những thành tựu to lớn và các phương
pháp mẫu mực của nó đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan như
lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết biến phân,
lý thuyết hàm biến phức, phương pháp tính, ... Vì vậy có thể nói giải tích hàm là
nơi gặp gỡ của nhiều ngành toán học lý thuyết và ứng dụng.
Giáo trình này dành cho sinh viên năm cuối đại học sư phạm toán và năm thứ
ba ngành cử nhân khoa học toán. Nó trình bày các kiến thức cơ bản nhất của giải
tích hàm. Nội dung của giáo trình được chia thành 5 chương. Chương I trình bày
lý thuyết tổng quát các không gian định chuẩn và các toán tử xác định trên đó.
Chương II giới thiệu một cách có hệ thống các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm,
bao gồm: định lý Hahn-Banach, nguyên lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng, nguyên
lý bị chặn đều Banach-Steinhauss. Lý thuyết về không gian liên hợp và tôpô yếu
được trình bày trong chương III. Chương IV dược dành toàn bộ cho các vấn đề về lý
thuyết toán tử, toán tử compact và sơ lược vể phổ của toán tử. Cuois cùng, chương
V đi sâu nghiên cứu lý thuyết không gian Hilbert và toán tử tuyến tính liên tục trên
đó. Sau mõi chương đều có bài tập nhằm củng cố và nâng cao nội dung kiến thức
đã trình bày.
Trong khuôn khổ của một giáo trình đại học, chúng tôi chỉ đề cập những nét cơ
bản nhất, không thể trình bày được tất cả các hướng phát triển của giải tích hàm.
Để nắm bắt được giáo trình này, sinh vien cần có một kiến thức tối thiểu về giải
tích cổ điển, đại số tuyến tính, tôpô đại cương, các học phần giải tích trước đó. Tuy
nhiên chúng tôi cũng trình bày ở đầu giáo trình một số kiến thức cơ bản về không
Lời nói đầu
ii
gian tuyến tính. Đồng thời, xen lẫn trong các bài giảng chúng tôi cũng nhắc lại một
vài khái niệm cũng như các kết quả cần thiết.
Giáo trình sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy chúng tôi mong nhận
được và rất biết ơn các ý kiến phê bình, góp ý của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc
về giáo trình này.
Thái Thuần Quang
Khoa Toán
Đại học Quy Nhơn
Chương 1
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Bài
1.1
Không gian tuyến tính . . . . . . . . . .
Không gian định chuẩn . . . . . . . . . .
Không gian Banach . . . . . . . . . . . .
Không gian con - không gian thương . .
Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . .
Không gian hữu hạn chiều - không gian
tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
khả ly .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
8
19
28
32
40
45
KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
Để chuẩn bị cho giáo trình, trong chương này chúng tôi nhắc lại một số vấn đề
cơ bản nhất về không gian tuyến tính.
Trong giáo trình này ta ký hiệu K để chỉ trường vô hướng gồm các số thực R
hay các số phức C.
1.1.1
Khái niệm không gian tuyến tính
Trong các không gian mêtric chúng ta đã nghiên cứu những vấn đề liên quan
đến khoảng cách như sự hội tụ, tính liên tục, ... Nhưng trong giải tích còn nhiều
vấn đề khác liên quan đến các phép toán tuyến tính (cộng hai phần tử với nhau và
2
1.1 Không gian tuyến tính
nhân một phần tử với một số). Để nghiên cứu vấn đề này người ta đưa ra khái niệm
không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian tuyến tính X trên trường K là một tập hợp X
cùng với hai phép toán
:X ✂X ÑX
♣x, yq ÞÑ x y
và
✌:K✂X
ÑX
♣λ, xq ÞÑ λx
thỏa mãn các tiên đề sau:
1) x y
✏ y x với mọi x, y X.
2) x ♣y z q ✏ ♣x y q z với mọi x, y, z X.
3) Tồn tại 0 X sao cho x 0 ✏ 0 x ✏ x với mọi x X.
4) Với mọi x X tồn tại ✁x X sao cho x ♣✁xq ✏ 0.
5) ♣λµqx ✏ λ♣µxq với mọi λ, µ K và x X.
6) ♣λ µqx ✏ λx µx với mọi λ, µ K và x X.
7) λ♣x y q ✏ λx λy với mọi λ K và x, y X.
8) 1.x ✏ x với mọi x X trong đó 1 là phần tử đơn vị của K.
Từ các điều kiện trên ta thấy phần tử 0 là duy nhất và với mỗi x
✁x cũng duy nhất (và gọi là phần tử đối của x).
X phần tử
Nếu K ✏ R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực, còn nếu K ✏ C thì
X được gọi là không gian tuyến tính phức. Khi không quan tâm đến trường số K ta
nói gọn là không gian tuyến tính. Không gian tuyến tính còn được gọi là không gian
vectơ và các phần tử của nó cũng gọi là các vectơ.
1.1.2
✌
Một số ví dụ về không gian tuyến tính
Không gian Rk . Trong Rk xét các phép toán cộng và nhân vô hướng như
sau. Ta đặt
x y
✏ ♣ξ1 η1, . . . , ξk ηk q, αx ✏ ♣αξ1, . . . , αξk q.
với mọi x ✏ ♣ξ1 , . . . , ξk q, y ✏ ♣η1 , . . . , ηk q và α R. Dễ kiểm tra Rk cùng với
hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.
✌
Không gian C ra, bs. Ký hiệu C ra, bs là tập tất cả các hàm số nhận giá trị
trong K, liên tục trên ra, bs ⑨ R. Với mọi x, y C ra, bs và mọi α K ta đặt
♣x yq♣tq ✏ x♣tq y♣tq, ♣αxq♣tq ✏ αx♣tq,
với mọi t ra, bs.
3
1.1 Không gian tuyến tính
Dễ kiểm tra C ra, bs cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.
✌
Không gian C ♣S q. Tổng quát hơn ví dụ trên, ta ký hiệu C ♣S q là tập tất cả
các hàm số nhận giá trị trong K, liên tục trên S ⑨ R. Định nghĩa các phép
toán cộng và nhân vô hướng như trong C ra, bs ta dễ kiểm tra C ♣S q cùng với
hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.
✌
Không gian C ✽ ra, bs. Ký hiệu C ✽ ra, bs là tập tất cả các hàm số khả vi vô
hạn trên ra, bs ⑨ R. Định nghĩa các phép toán cộng và nhân vô hướng như
trong C ra, bs ta dễ kiểm tra C ♣S q cùng với hai phép toán trên là một không
gian tuyến tính.
✌
Các không gian co ,
dãy số phức. Gọi
✽,
p
♣p ➙ 1 q.
Ta ký hiệu CN là tập hợp tất cả các
✏ t♣ξ1, ξ2, . . .q CN : nlim
Ñ✽ ξn ✏ 0✉,
✽ ✏ t♣ξ1 , ξ2 , . . .q CN : sup ⑤ξn ⑤ ➔ ✽✉,
co
n
p
✏ t♣ξ1, ξ2, . . .q CN :
✽
➳
✏
⑤ξn⑤p ➔ ✽✉.
n 1
Với x ✏ ♣ξ1 , ξ2 , . . .q, y
x y
✏ ♣η1, η2, . . .q co (hoặc
✏ ♣ξ1 η1, ξ2 η2, . . .q
✽ , p ) và λ K ta đặt
và λx ✏ ♣λξ1 , λξ2 , . . .q.
Rõ ràng, nếu x, y co (hoặc ✽ ) và λ K thì x y, λx co (hoặc ✽ ). Dễ
dàng kiểm tra với hai phép toán này co và ✽ là các không gian tuyến tính.
Nếu x ✏ ♣ξ1 , ξ2 , . . .q, y ✏ ♣η1 , η2 , . . .q p và λ K thì rõ ràng λx p . Với mọi
n N ta có
⑤ξn ηn⑤ ↕ ⑤ξn⑤ ⑤ηn⑤ ↕ 2 maxt⑤ξn⑤, ⑤ηn⑤✉.
Cho nên
⑤ξn ηn⑤p ↕ 2prmaxt⑤ξn⑤, ⑤ηn⑤✉sp ↕ 2p♣⑤ξn⑤p ⑤ηn⑤pq.
Vì vậy
✽
➳
✏
⑤ξn ηn⑤p ↕ 2p
n 1
tức là x y
tuyến tính.
✌
p.
✽
✁➳
✏
n 1
⑤ξn⑤p
✽
➳
✏
✠
⑤ηn⑤p ➔ ✽,
n 1
Với hai phép toán trên, dễ kiểm tra
p
là một không gian
Không gian L2 ♣0, 1q. Ký hiệu L2 ♣0, 1q là tập tất cả các hàm số khả
tích Riemann f : ♣0, 1q Ñ R, mà chúng là bình phương khả tích, tức là
4
1.1 Không gian tuyến tính
➩1
⑤f ♣xq⑤2dx ➔ ✽. Các➩ phép toán cộng và nhân vô hướng là đóng trong
1
L2 ♣0, 1q. Thật vậy, nếu 0 ⑤f ♣xq⑤2 dx ➔ ✽à α R thì theo bất đẳng thức
0
Cauchy-Schwartz ta có
➺1
➺1
⑤f ♣xq g♣xq⑤ dx ↕ ♣⑤f ♣xq⑤2 2⑤f ♣xq⑤⑤g♣xq⑤ ⑤g♣xq⑤2qdx
2
0
0
↕
➺1
0
➺1
0
⑤f ♣xq⑤2dx 2
✁➺ 1
0
⑤f ♣xq⑤2dx
➺1
0
➺1
✠1 ✁ ➺ 1
2
0
✠1
⑤g♣xq⑤2dx
2
⑤g♣xq⑤2dx ➔ ✽;
⑤αf ♣xq⑤2dx ✏ ⑤α⑤ ⑤f ♣xq⑤2dx ➔ ✽.
0
Dễ kiểm tra L2 ♣0, 1q cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.
✌
Không gian C k ♣Ωq. Cho Ω ⑨ Rn và ký hiệu C k ♣Ωq là tập hợp tất cả các
hàm khả vi liên tục cấp k trên Ω, tức là nếu a ✏ ♣a1 , . . . , an q Nn với ⑤a⑤ ✏
a1 ☎ ☎ ☎ , an ↕ k thì đạo hàm riêng
Da f
⑤a⑤
✏ ❇xa ❇. . .f❇xa
1
1
n
n
tồn tại và liên tục. Dễ kiểm tra C k ♣Ωq cùng với hai phép toán cộng và nhân
vô hướng các hàm là một không gian tuyến tính.
1.1.3
Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính. Cơ sở Hamel
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử E là không gian tuyến tính. Tập M ⑨ E, M ✘ ∅
được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ hữu hạn tx1 , . . . , xn ✉ và mọi hệ
tα1, . . . , αn✉ ⑨ K, từ đẳng thức
n
➳
✏
αi xi
✏ 0 suy ra αi ✏ 0 với mọi i ✏ 1, . . . , n.
i 1
Rõ ràng nếu M độc lập tuyến tính và ∅
tính.
✘N ⑨M
thì N cũng độc lập tuyến
Định lý 1.1.1. Giả sử M là một hệ độc lập tuyến tính. Nếu y
tuyến tính của những vectơ thuộc M
y
✏ α1x1 ☎ ☎ ☎ αnxn,
với xi
E là một tổ hợp
M, αi K, i ✏ 1, . . . , n
thì cách biểu diễn ấy là duy nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Nếu tập con M
là phụ thuộc tuyến tính.
⑨ E không độc lập tuyến tính thì M được gọi
5
1.1 Không gian tuyến tính
Định lý 1.1.2. Tập con M ⑨ E phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại y
là một tổ hợp tuyến tính của những vectơ thuộc M.
Định nghĩa 1.1.4. Tập con B
tuyến tính E nếu:
M
⑨ E được gọi là một cơ sở Hamel của không gian
a) B độc lập tuyến tính,
b) Mọi x E đều là tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của những vectơ thuộc B.
Định lý 1.1.3. Tập con B ⑨ E là một cơ sở Hamel của E khi và chỉ khi B là một
hệ độc lập tuyến tính cực đại, nghĩa là B độc lập tuyến tính và nếu M ⑩ B, M ✘ B
thì M phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. a) Điều kiện cần. Giả sử B là một cơ sở của E và M ⑩ B, M ✘ B.
Lấy x M ③B. Khi đó x là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc B. Vậy M là
hệ phụ thuộc tuyến tính.
b) Điều kiện đủ. Nếu B là một hệ độc lập tuyến tính cực đại thì với mọi x E, tập
B ✶ ✏ B ❨tx✉ là phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại x1 , . . . , xn B ✶ và α1 , . . . , αn K
không đồng thời bằng 0 sao cho α1 x1 ☎ ☎ ☎ αn xn ✏ 0. Trong các vectơ xi phải có
một vectơ là x vì nếu không sẽ trái với tính độc lập tuyến tính của B. Ta giả sử
x ✏ x1 . Khi đó α1 ✘ 0, vì nếu trái lại thì B là phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy
x ✏ x1
✁
✏ ✁ αα2
1
✠
x2 ☎ ☎ ☎
✁
✁ ααn
✠
xn
1
tức x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc B.
✆
Định lý 1.1.4. Trong không gian tuyến tính E, với mọi hệ độc lập tuyến tính M
đều tồn tại cơ sở B của E sao cho B ⑩ M.
Nếu M là một hệ gồm một vectơ x ✘ 0 tùy ý ta được
Hệ quả 1.1.5. Mọi không gian tuyến tính E
✘ t0✉ đều có một cơ sở.
Nếu không gian tuyến tính E có một cơ sở B gồm một số hữu hạn vectơ thì E
được gọi là hữu hạn chiều. Số các phần tử của B được gọi là số chiều của E và ký
hiệu là dim E.
Nếu E là không gian tuyến tính hữu hạn chiều ta có thể chứng minh được nếu
B và B ✶ là hai cơ sở tùy ý của E thì số phần tử của B và B ✶ bằng nhau. Do vậy
định nghĩa số chiều của E không phụ thuộc vào cơ sở đã chọn.
Nếu E không phải là không gian tuyến tính hữu hạn chiều, tức là trong E tồn
tại hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm vô hạn phần tử, thì E được gọi là vô hạn chiều.
6
1.1 Không gian tuyến tính
Chẳng hạn không gian Rk là không gian k- chiều với cơ sở là
e1
✏ ♣1, 0, . . . , 0q, e2 ✏ ♣0, 1, 0, . . . , 0q, . . . , ek ✏ ♣0, 0, . . . , 0, 1q.
Không gian gồm một phần tử duy nhất t0✉ là 0- chiều.
Không gian C ra, bs là vô hạn chiều, vì với k lớn tùy ý luôn tìm được trong C ra, bs
một hệ độc lập tuyến tính
x1 ♣tq ✏ t, x2 ♣tq ✏ t2 , . . . , xk ♣tq ✏ tk .
Các không gian
chiều.
1.1.4
✽ , C ♣S q, L2 ♣0, 1q, C ✽ ra, bs, C k ♣Ωq là các không gian vô hạn
Không gian con - Không gian thương
Đối với các tập con A, B của không gian tuyến tính E và λ K ta viết
A B
✏ t x y : x A, y B ✉,
λA ✏ t λx : x A✉.
Cho E là một không gian tuyến tính. Tập con F ⑨ E được gọi là không gian tuyến
tính con của E nếu F đóng đối với các phép toán trong E, tức là nếu x, y F, λ K
thì x y F và λx F.
Giả sử x1 , . . . , xn
E. Khi đó tập hợp
spantx1 , . . . , xn ✉ ✏
★
x✏
n
➳
✏
✰
αj xj , αj
K
j 1
là một không gian tuyến tính con của E và gọi là không gian con sinh bởi x1 , . . . , xn .
Đôi khi người ta còn ký hiệu không gian này là ①x1 , . . . , xn ②.
Tổng quát hơn, giả sử M là một tập con tùy ý của không gian tuyến tính E.
Khi đó tập các tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của những vectơ thuộc M là một không
gian tuyến tính con của E, đó cũng là một không gian con nhỏ nhất chứa M. Không
gian này được gọi là không gian tuyến tính con sinh bởi M, hay là bao tuyến tính
của M. Như trên, không gian này cũng được ký hiệu là spanM hoặc ①M ②. Bạn đọc
có thể chứng minh rằng spanM là giao của tất cả các không gian con tuyến tính
của E chứa M, hoặc một cách tương đương, nó là một không gian con tuyến tính
nhỏ nhất (theo nghĩa bao hàm) của E chứa M.
✏ F Kx với mọi x ❘ F.
có dạng ♣x1 , x2 , x3 , 0, . . . , 0q
Không gian con F được gọi là siêu phẳng nếu E
Ví dụ 1.1.6.
✌ Tập hợp các vectơ trong Rn
thành một không gian con tuyến tính ba chiều của Rn .
lập
7
1.1 Không gian tuyến tính
✌
Tập hợp các đa thức bậc ↕ k lập thành một không gian con tuyến tính của
không gian tuyến tính Pn các đa thức bậc n với mọi k ↕ n.
✌
Không gian C k 1 ♣Ωq không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính
của không gian C k ♣Ωq.
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử Y và Z là hai không gian con của không gian tuyến tính E.
Để mọi x Y Z đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng x ✏ y z, y Y, z Z
điều kiện cần và đủ là Y ❳ Z ✏ t0✉.
Trong trường hợp này thì Y Z còn được gọi là tổng trực tiếp của các không
gian con Y và Z. Ta ký hiệu là Y ❵ Z. Khi đó ta nói Y là phần bù đại số của Z và
ngược lại.
Mệnh đề 1.1.8. Mọi không gian tuyến tính con Y của không gian tuyến tính E
đều có phần bù đại số Z. Hơn nữa ta có
dim E
✏ dim Y dim Z.
Nếu Z là một phần bù đại số của không gian con Y của E thì dim Z được gọi
là số đối chiều của Y và ký hiệu là codim Y. Khi đó codim Z ✏ dim Y.
Giả sử Y là một không gian con của không gian tuyến tính E. Trên E ta xác
định quan hệ R như sau:
xRy
ô x ✁ y Y, ❅ x, y E.
Dễ thấy rằng R là một quan hệ tương đương trên E. Xét tập thương E ④ ∼, thường
ký hiệu là E ④Y, gồm các lớp tương đương theo quan hệ tương đương R. Gọi x
♣ là lớp
tương đương chứa x E. Khi đó có thể thấy rằng
x
♣✏x Y
✏ tx y : y Y ✉.
Trên E ④Y ta xác định hai phép toán
♣x Y q ♣z Y q ✏ ♣x zq Y,
λ♣x Y q ✏ λx Y
với mọi x, z E và mọi λ K. Khi đó E ④Y trở thành một không gian tuyến tính
và gọi là không gian tuyến tính thương của E theo không gian con Y.
Mệnh đề 1.1.9. Nếu Y là không gian con của không gian tuyến tính E thì
dim♣E ④Y q ✏ codimY.
8
1.2 Không gian định chuẩn
Chứng minh. Gọi Z là phần bù đại số của Y và B là cơ sở của Z. Ta sẽ chứng minh
♣ ✏ tx Y : x B ✉ là cơ sở của E ④Y. Thật vậy, giả sử ta có
tập B
α 1 ♣ x 1 Y q ☎ ☎ ☎ α n ♣x n Y q ✏ 0
với x1 , . . . , xn
B, α1, . . . , αn K. Do đó
α1 x1 ☎ ☎ ☎ αn xn Y
✏ 0.
Vậy α1 x1 . . . αn xn Y. Nhưng α1 x1 ☎ ☎ ☎ αn xn Z, do đó α1 x1 ☎ ☎ ☎ αn xn ✏ 0.
♣ là hệ độc lập tuyến tính trong
Do x1 , . . . , xn B nên α1 ✏ . . . ✏ αn ✏ 0. Vậy B
E ④Y. Mặt khác, nếu x Y E ④Y là tùy ý với x E với x E, do E ✏ Y ❵ Z
nên x ✏ y z, y Y, z Z. Vì B là cơ sở của Z nên z ✏ α1 x1 ☎ ☎ ☎ αn xn với
x1 , . . . , xn B, α1 , . . . , αn K. Vậy x Y ✏ α1 ♣x1 Y q ☎ ☎ ☎ αn ♣xn Y q. Do đó
♣ là cơ sở của E ④Y.
B
✆
Ví dụ 1.1.10.
✌ Cho E ✏ R3 và Y là không gian con của E sinh bởi ♣1, 1, 0q.
Khi đó E ④Y là không gian tuyến tính con thực hai chiều. Có nhiều cặp phần
tử sinh ra E ④Y, chẳng hạn
♣1, 0, 1q Y
và
♣0, 0✁, 1q Y.
✌
Không gian tuyến tính Y các dãy số x ✏ txj ✉ có giá hữu hạn (tức là tập hợp
supp♣xq ✏ ti; xi ✘ 0✉ hữu hạn) trong 1 là một không gian con tuyến tính.
Các phần tử trong không gian thương 1 ④Y là các lớp tương đương theo quan
hệ ♣xn q ✒ ♣yn q nếu các dãy ♣xn q và ♣yn q khác nhau chỉ hữu hạn các vị trí.
✌
Không gian C k 1 ♣Ωq không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính
của không gian C k ♣Ωq.
1.2
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Các không gian tuyến tính đơn thuần là đối tượng nghiên cứu của đại số tuyến
tính. Trong giải tích hàm ta chú ý đến những không gian tuyến tính nào đồng thời
cũng là không gian mêtric, bởi vì ta không chỉ quan tâm đến các phép toán đại số
mà còn chú ý đến các phép toán giải tích (chẳng hạn như phép toán giới hạn) là
các phép toán có ý nghĩa trong các không gian mêtric. Tuy nhiên nếu giữa các phép
toán đại số và mêtric của không gian không có một sự liên hệ nào thì việc nghiên
cứu không gian đó sẽ không đem lại một điều gì mới mẽ, vì các tính chất của nó suy
9
1.2 Không gian định chuẩn
ra một cách độc lập từ lý thuyết các không gian tuyến tính và lý thuyết các không
gian mêtric. Vì vậy, để có một lý thuyết phong phú mà các sự kiện kết hợp chặt chẽ
các khái niệm đại số và các khái niệm mêtric, người ta đưa ra một lớp không gian
vừa mêtric, vừa tuyến tính nhưng trong đó mêtric không tách rời mà được xác định
tương thích với các phép toán đại số.
Chẳng hạn, ta hãy xét không gian Rk . Không gian này vừa là không gian tuyến
tính vừa là không gian mêtric với mêtric Euclide
d♣x, y q ✏
k
✁➳
✏
⑤ξi ✁ ηi⑤2
✠1④2
.
i 1
Mêtric này có mối liên hệ với các phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một số
như sau: với mọi x, y, z Rk , và mọi α R thì
a) d♣x z, y z q ✏ d♣x, y q,
b) d♣αx, αy q ✏ ⑤α⑤d♣x, y q.
Tính chất a) nói lên tính chất bất biến của mêtric trong phép tịnh tiến, tính chất
b) thể hiện tính thuần nhất của nó trong phép vị tự. Người ta đã nhận thấy rằng
chính sự tương thích đó giữa mêtric với các phép toán tuyến tính đã sinh ra nhiều
tính chất quan trọng mới cần được nghiên cứu. Khái quát lên, người ta đi đến khái
niệm không gian tuyến tính định chuẩn.
1.2.1
Định nghĩa chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian tuyến tính trên trường K. Một chuẩn
trên E là một hàm x ÞÑ ⑥x⑥ từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi x, y E,
mọi λ K
(N1 )
(N2 )
(N3 )
⑥x⑥ ➙ 0, ⑥x⑥ ✏ 0 nếu và chỉ nếu x ✏ 0;
⑥λx⑥ ✏ ⑤λ⑤⑥x⑥,
⑥x y⑥ ↕ ⑥x⑥ ⑥y⑥.
Nhận xét 1.2.1. Điều sau đây là hiển nhiên. Nếu x ÞÑ ⑥x⑥ là một chuẩn trên E thì
d♣x, y q ✏ ⑥x ✁ y ⑥ là một mêtric trên E. Mêtric này thỏa mãn d♣x z, y z q ✏ d♣x, y q
và d♣λx, λy q ✏ ⑤λ⑤d♣x, y q với mọi x, y, z E, λ K.
Một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K (hay thường nói gọn hơn
là không gian định chuẩn trên trường K) là một không gian tuyến tính cùng với
một chuẩn trên nó. Nếu không có sự nhầm lẫn về trường số K ta thường nói gọn
là không gian định chuẩn. Từ Nhận xét 1.1.2.1, một không gian định chuẩn cũng là
10
1.2 Không gian định chuẩn
một không gian mêtric, và do đó lý thuyết các không gian mêtric áp dụng được cho
không gian định chuẩn.
Mêtric nói trong Nhận xét 1.1.2.1 được gọi là mêtric sinh bởi chuẩn. Ta nhắc lại,
tập hợp
B ♣xo , rq ✏ tx E : d♣x, xo q ➔ r✉
trong không gian mêtric E được gọi là hình cầu mở tâm xo , bán kính r. Một tập
hợp A ⑨ E được gọi là mở nếu với mọi x A tồn tại một hình cầu mở B ♣x, rq ⑨ A.
Một tập con trong E được gọi là đóng nếu phần bù của nó là tập mở. Gọi T là họ
các tập mở vừa mới xác định. Khi đó T là một tôpô trên E và gọi là tôpô sinh bởi
mêtric d.
Trong không gian định chuẩn E với d là mêtric sinh bởi chuẩn ⑥.⑥, tôpô sinh bởi
mêtric d được gọi là tôpô sinh bởi chuẩn ⑥.⑥.
Tất cả các khái niệm tôpô trên không gian định chuẩn luôn được xem là tôpô
sinh bởi chuẩn trừ khi phát biểu khác đi. Trong tình huống phải xem xét nhiều
không gian định chuẩn, đôi khi ta sử dụng ⑥.⑥E để chỉ chuẩn trong không gian E.
1.2.2
Hai bất đẳng thức cơ bản
Để đưa ra một số ví dụ về không gian định chuẩn, trong phần này ta trình bày
một số bất đẳng thức quan trọng.
✌ Bất đẳng thức H¨older
☞ Bất đẳng thức H¨older dưới dạng tích phân
Cho một không gian E và một độ đo µ trên một σ-đại số F các tập con của E.
Nếu f, g là những hàm số đo được xác định trên E, và p, q là hai số thực sao cho
1 1
1 ➔ p ➔ ✽ và ✏ 1 thì
p
q
➺
E
⑤f g⑤dµ ↕
✂➺
⑤f ⑤ dµ
p
E
✡1④p ✂ ➺
⑤g⑤ dµ
q
E
✡1④q
.
(1.1)
Để chứng minh bất đẳng thức này ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.2. Giả sử p
→ 1, q → 1 thỏa mãn p1 1q ✏ 1. Khi đó với α ➙ 0, β ➙ 0 ta
có
p
αβ
q
↕ αp βq .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi αp
✏ βq .
11
1.2 Không gian định chuẩn
Chứng minh.
✁q
→ 0 và β → 0. Hàm số f ♣tq ✏ tp t q
p
1
Ta chỉ cần xét trường hợp α
xác định với mọi t → 0 và có đạo hàm
f ✶ ♣tq ✏ tp✁1 ✁ t✁q✁1
✏ t✁q✁1♣tp q ✁ 1q.
Dễ thấy rằng f ✶ ♣1q ✏ 0 và t → 1 thì f ✶ ♣tq → 0, 0 ➔ t ➔ 1 thì f ✶ ♣tq
cực tiểu trong khoảng ♣0, ✽q tại t ✏ 1, tức là với mọi t → 0
f ♣tq ➙ f ♣1q ✏
Với t ✏ α1④q β ✁1④p ta có
αp④q β ✁1
p
α
1
p
➔ 0. Do đó f đạt
1q ✏ 1.
✁1 β q ④ p
q
➙ 1.
Nhân hai vế của bất đẳng thức này với αβ ta có bất đẳng thức cần chứng minh. ✆
➺
Nếu
➺
E
do đó
➺
⑤f ⑤ dµ ✏ 0 hoặc
➺
p
E
E
⑤g⑤q dµ ✏ 0 thì f ♣xqg♣xq ✏ 0 hầu khắp nơi trên E
⑤f g⑤dµ ✏ 0 và kết luận là tầm thường. Bây giờ giả sử
⑤g⑤ dµ ✘ 0. Theo Bổ đề 1.2.2, ta được
➺
E
⑤f ⑤pdµ ✘ 0 và
q
E
✂➺
E
⑤f ⑤
⑤g⑤
1 ⑤f ⑤p
1 ⑤g ⑤q
➺
➺
.
↕
.
✡1④p ✂ ➺
✡1④q
p
q
p
q
p
q
⑤f ⑤ dµ
⑤g⑤ dµ
⑤f ⑤ dµ
⑤g⑤ dµ
E
E
E
Lấy tích phân hai vế trên E ta có
➺
✂➺
E
⑤f ⑤pdµ
➺
⑤f g⑤dµ
E
✡1 p ✂ ➺
④
E
⑤f ⑤ dµ
➺
p
⑤g⑤q dµ
✡1④q
↕
➺E
p
E
⑤f ⑤pdµ
➺E
⑤f ⑤pdµ
q
E
⑤g⑤q dµ
✏ p1 1q ✏ 1.
Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
☞ Bất đẳng thức H¨older dưới dạng tổng
Có thể chứng minh bằng phương pháp khác như sau. Xét đồ thị hàm số y ✏ xp✁1 , x ➙ 0,
và diện tích A1 của miền được giới hạn bởi đường cong y ✏ xp✁1 , y ✏ 0, x ✏ α➩ và diện tích A2
p
α
của miền được giới hạn bởi đường cong y ✏ xp✁1 , x ✏ 0, y ✏ β. Rõ ràng A1 ✏ 0 xp✁1 dx ✏ αp .
1
Vì x
αβ
✏
y 1④♣p✁1q
↕ A1 A2 ✏
✏
αp
p
y q✁1 , ta có A2
βq
q
B
q
➩β
0
y q✁1 dy
✏
βq
q
. Từ đồ thị của hàm số y
✏
xp✁1 ta có
.
Hoặc phương pháp khác: Với α, β
✠
✏
→ 0, đặt A ✏ p log α, B ✏ q log β. Vì hàm mũ là lòi nên exp
↕ p1 exp♣Aq 1q exp♣B q, vàsuy ra điều cần chứng minh.
✁
A
p
12
1.2 Không gian định chuẩn
Bằng phương pháp tương tự ta chứng minh được rằng nếu ♣ξn q
với p → 1, q
→
✏ 1 thì
1
1 thỏa mãn
p
1
q
✽
✞➳
✞
✞
✞
ξn η n ✞
✞
✏
✽
✁➳
↕
⑤ξn⑤p
✏
✽
✠1④p ✁ ➳
✏
✠1④q
♣ ηn q
.
q
(1.2)
n 1
n 1
n 1
⑤ηn⑤q
p,
Chú ý rằng cũng đúng cho trường hợp tổng hữu hạn.
✌ Bất đẳng thức Minkowski
☞ Bất đẳng thức Minkowski dưới dạng tích phân
Nếu f ♣xq, g ♣xq là các hàm đo được trên E và 1 ↕ p ➔ ✽ thì
✂➺
⑤f g⑤ dµ
p
E
Chọn q sao cho
➺
E
✡1④p
↕
✂➺
E
1q ✏ 1 thì p ✁ 1 ✏
1
p
➺
⑤f ⑤ dµ
p
✡1④p
✂➺
E
⑤g⑤pdµ
✠1④p
.
(1.3)
p
, và dựa vào Bất đẳng thức (1.1) ta có
q
⑤f g⑤pdµ ↕ ♣⑤f ⑤ ⑤g⑤q⑤f g⑤p✁1dµ
✏
↕
✏
E
➺
⑤f ⑤⑤f g⑤ ✁ dµ
➺
p 1
E
✂➺
⑤f ⑤ dµ
p
E
✒✂ ➺
E
✡1④p ✂ ➺
⑤f ⑤pdµ
✡1④p
E
⑤g⑤⑤f g⑤p✁1dµ
⑤f g⑤ ♣ ✁ qdµ
q p 1
E
✂➺
E
⑤g⑤pdµ
✡1④q
✡1④p ✚✂ ➺
✂➺
⑤g⑤ dµ
p
E
⑤f g⑤pdµ
E
✡1④p ✂ ➺
⑤f g⑤ ♣ ✁ qdµ
q p 1
E
✡1④q
.
Từ đó suy ra
✂➺
⑤f g⑤ dµ
p
E
Để ý rằng 1✁
1
q
✏ p1
✡1✁1④q
↕
✂➺
⑤f ⑤
p
E
✡1④p
✂➺
⑤g⑤
p
E
✡1④p
.
ta sẽ nhận được (1.3).
☞ Bất đẳng thức Minkowski dưới dạng tổng
Bằng phương pháp tương tự ta chứng minh được rằng nếu ♣ξn q
với p → 1, q
→
✂
✽
➳
✏
n 1
✏ 1 thì
1
1 thỏa mãn
p
1
q
⑤ξn ηn⑤
p
✡1④p
↕
✂
✽
➳
✏
⑤ξn⑤
p
✡1④p
n 1
Chú ý rằng cũng đúng cho trường hợp tổng hữu hạn.
✂
✽
➳
✏
n 1
⑤ηn⑤
p
p,
♣ ηn q
q
✡1④p
.
(1.4)
✡1④q
13
1.2 Không gian định chuẩn
1.2.3
✌
Một số ví dụ về không gian định chuẩn
Không gian Rn . Xét không gian tuyến tính Rn . Với mỗi x ✏ ♣x1 , . . . , xn q Rn
đặt
⑥x⑥2 ✏
n
✁➳
⑤xi⑤2
✏
✠1④2
.
i 1
Việc kiểm tra ⑥.⑥2 là một chuẩn chỉ khó đối với bất đẳng thức tam giác. Khi
đó ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz2 Có nhiều chuẩn khác trên Rn
mà ta gọi là p- chuẩn. Với 1 ↕ p ➔ ✽ ta định nghĩa
⑥x⑥p ✏
n
✁➳
⑤xi⑤p
✏
✠1④p
.
i 1
Việc kiểm tra ⑥.⑥p là một chuẩn dựa vào bất đẳng thức Mincowski
Một chuẩn khác trên Rn ứng với trường hợp p ✏ ✽ :
⑥x⑥✽ ✏
sup ⑤xi ⑤.
↕↕
1 i n
Người ta thường ký hiệu chung các không gian này là
gian tuyến tính np , nq có cùng các phần tử.
✌
n.
p
Chú ý rằng các không
Không gian co và không gian ✽ . Dễ dàng kiểm tra các không gian tuyến
tính co và ✽ là các không gian định chuẩn với chuẩn
⑥x⑥ ✏ sup⑤ξn⑤.
n
✌
Không gian
p, p
➙ 1. Xét p → 1. Với mỗi x ✏ ♣ξnq
⑥x⑥ ✏
✽
✁➳
✏
⑤ξn⑤p
✠1④p
p
ta đặt
.
n 1
Ta kiểm tra ⑥.⑥ là một chuẩn. Thật vậy, các tiên đề ♣N1 q và ♣N2 q là dễ thấy.
Tiên đề ♣N3 q nhận được từ Bất đẳng thức Minkowski (1.4).
Như vậy
p
là một không gian định chuẩn.
Điều này cho ta một họ vô hạn các không gian tuyến tính định chuẩn p . Chú
ý rằng, với p ➔ ✽ ta có bao hàm thức chặt p ⑨ ✽ . Đối với bất kỳ p ➔ q ta
cũng có bao hàm thức chặt p ⑨ q , và vì vậy p là không gian con tuyến tính
của q . Điều đó có nghĩa là các tập hợp p và q với p ✘ q là không có cùng
các phần tử.
2
Chính là bất đẳng thức Mincowski với p ✏ 2.
14
1.2 Không gian định chuẩn
✌
Không gian C ra, bs. Dễ dàng kiểm tra không gian tuyến tính C ra, bs là không
gian định chuẩn với chuẩn
⑥ x⑥ ✏
sup ⑤x♣tq⑤.
r s
t a,b
Sau này khi xét không gian C ra, bs nếu không nói gì khác, ta sẽ hiểu là xét với
chuẩn này.
Ngoài ra trên C ra, bs với 1 ↕ p ➔ ✽ ta cũng có p-chuẩn
⑥x⑥p ✏
✄➺
b
☛1④p
⑤x♣tq⑤ dt
p
a
.
Việc kiểm tra ⑥.⑥p là một chuẩn cũng dựa vào bất đẳng thức Mincowski (dạng
tích phân).
✌
Không gian Lp ♣X q. Giả sử X là tập đo được Lebesgue bất kỳ trong R. Ta
ký hiệu Lp ♣X q là tập hợp tất cả các hàm số f từ X vào K sao cho ⑤f ⑤p khả
tích Lebesgue. Trong không gian này ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu
khắp nơi.
Trên Lp ♣X q ta xét hai phép toán cộng hàm số và nhân hàm số với một số theo
nghĩa thông thường.
Với p ➙ 1, hầu khắp nơi ta có
⑤f ♣xq g♣xq⑤p ↕ ♣⑤f ♣xq⑤ ⑤g♣xq⑤qp ↕ ♣2 supt⑤f ♣xq⑤, ⑤g♣xq⑤✉qp
↕ 2p supt⑤f ♣xq⑤p, ⑤g♣xq⑤p✉.
Vì f, g Lp ♣X q nên điều này cho ta f g Lp ♣X q.
Rõ ràng αf Lp ♣X q với mọi α K.
Với hai phép toán trên ta dễ dàng kiểm tra Lp ♣X q là một không gian tuyến
tính.
Với mọi p ➙ 1 và f
Lp♣X q đặt
⑥f ⑥p ✏
✁➺
X
⑤f ⑤p
✠1④p
.
Ta kiểm tra ⑥.⑥ là một chuẩn. Thật vậy, các tiên đề ♣N1 q và ♣N2 q là dễ thấy.
Tiên đề ♣N3 q nhận được từ Bất đẳng thức Minkowski (1.3).
Như vậy Lp ♣X q là một không gian định chuẩn. Sau này khi xét không gian
Lp ♣X q nếu không nói gì khác, ta sẽ hiểu là xét với chuẩn này.
15
1.2 Không gian định chuẩn
1.2.4
Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Do không gian định chuẩn là một không gian mêtric nên sự hội tụ trong không
gian định chuẩn là sự hội tụ theo mêtric sinh bởi chuẩn. Ở đây ta nhắc lại khái niệm
này và một số tính chất của nó (không chứng minh) dưới dạng ngôn ngữ của chuẩn.
Đề nghị bạn đọc tự chứng minh lại các kết quả này.
Định nghĩa 1.2.2. Dãy txn ✉ trong không gian định chuẩn E được gọi là hội tụ
đến xo E nếu lim ⑥xn ✁ xo ⑥ ✏ 0.
Ñ✽
n
Ký hiệu xn
Ñ xo hoặc nlim
Ñ✽ xn ✏ xo .
Mệnh đề 1.2.3. Nếu lim xn
Ñ✽
n
✏ xo thì nlim
Ñ✽ ⑥xn ⑥ ✏ ⑥xo ⑥.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử lim xn
Ñ✽
n
và lim λn
Ñ✽
n
✏ λo trong K. Khi đó
✏ xo, nlim
Ñ✽ yn ✏ yo trong không gian định chuẩn E
lim ♣xn yn q ✏ xo yo
Ñ✽
n
và
lim λn xn
n
Ñ✽
✏ λoxo.
Định nghĩa 1.2.3. Dãy txn ✉ trong không gian định chuẩn E được gọi là dãy
Cauchy nếu với mọi ε → 0 tồn tại no N sao cho với mọi n, m N, n, m ➙ no ta có
⑥xm ✁ xn⑥ ➔ ε. (hay nói cách khác nếu lim ⑥xm ✁ xn⑥ ✏ 0).
m,n
Ñ✽
Chú ý 1.2.5. Nếu txn ✉, tyn ✉ là các dãy Cauchy trong không gian định chuẩn E và
tλn✉ là dãy Cauchy trong K thì các dãy txn yn✉, tλnxn✉ là các dãy Cauchy trong
E. (Xem như một bài tập đơn giản dành cho bạn đọc)
Ví dụ 1.2.6. ✌ Nếu txj ✉ là một dãy trong Rn , với xj
kiểm tra rằng
⑥xj ⑥p Ñ 0
✌
(tức là, dãy txj ✉ hội tụ về 0 trong không gian
R với mỗi k ✏ 1, . . . , n.
n)
p
✏ ♣xj♣1q, . . . , x♣jnqq ta dễ dàng
♣kq Ñ 0 trong
nếu và chỉ nếu xj
Đối với không gian vô hạn chiều, việc kiểm tra sự hội tụ trên mỗi thành phần
không đủ cơ sở để khẳng định sự hội tụ. Thật vậy, lấy txj ✉ là một dãy trong p
xác định bởi
xj ✏ ♣0, . . . , 0, 1, 0, . . .q
✏ ♣xj♣1q, x♣j2q, . . .q ta
♣k q
sẽ có xj Ñ 0 khi j Ñ ✽ với mọi k. Hơn nữa, ta cũng có ⑥x⑥p ✏ 1 với mọi j, vì
(trong đó số 1 xuất hiện tại vị trí thứ j). Khi đó nếu viết xj
vậy dãy này không hội tụ về 0.
16
1.2 Không gian định chuẩn
✌
Dãy txn ✉ hội tụ về x trong C ra, bs, nghĩa là ⑥xn ✁ x⑥ Ñ 0 hay sup ⑤xn ♣tq✁ x♣tq⑤ Ñ
r s
t a,b
0. Theo giải tích cổ điển điều này có nghĩa là dãy hàm txn ✉ hội tụ đều về hàm x.
Vì lý do đó chuẩn trong C ra, bs còn được gọi là chuẩn hội tụ đều.
1.2.5
Một số tính chất của chuẩn
Định lý 1.2.7. Chuẩn x ÞÑ ⑥x⑥ là một hàm liên tục đều từ E vào R.
Chứng minh. Theo (N3 ), ⑥x⑥ ↕ ⑥x ✁ y ⑥ ⑥y ⑥ và ⑥y ⑥ ↕ ⑥x ✁ y ⑥ ⑥x⑥. Từ đó
✞
✞ x
✞
⑥ ⑥ ✁ ⑥y⑥✞ ↕ ⑥x ✁ y⑥.
Vậy chuẩn là hàm liên tục đều.
✆
Định lý 1.2.8. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ ♣x, y q ÞÑ x y
từ E ✂ E vào E và ♣λ, xq ÞÑ λx từ K ✂ E vào E là liên tục.
Chứng minh. Giả sử ♣x, y q, ♣xo , yo q E ✂ E. Ta có
⑥♣x yq ✁ ♣xo yoq⑥ ✏ ⑥♣x ✁ xoq ♣y ✁ yoq⑥ ↕ ⑥x ✁ xo⑥ ⑥y ✁ yo⑥.
Điều này cho ta tính liên tục của ánh xạ ♣x, y q ÞÑ x y tại điểm ♣xo , yo q.
Với ♣λ, xq, ♣λo , xo q K ✂ E ta có
⑥λx ✁ λoxo⑥ ✏ ⑥λo♣x ✁ xoq ♣λ ✁ λoqxo ♣λ ✁ λoq♣x ✁ xoq⑥
↕ ⑤λo⑤⑥x ✁ xo⑥ ⑤λ ✁ λo⑤⑥xo⑥ ⑤λ ✁ λo⑤⑥x ✁ xo⑥.
Bất đẳng thức này cho ta tính liên tục của ánh xạ ♣λ, xq ÞÑ λx tại điểm ♣λo , xo q. ✆
Định lý 1.2.9. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Khi đó với mọi a E ánh
xạ x ÞÑ a x là phép đồng phôi đẳng cự ( tức là bảo tồn khoảng cách) từ E lên E
và với mọi λ K, λ ✘ 0 ánh xạ x ÞÑ λx là phép đồng phôi từ E lên E.
Chứng minh. Dễ thấy các ánh xạ này là những song ánh. Kết luận về tính liên tục
hai chiều được suy ra từ các đẳng thức ⑥♣a xq✁♣a y q⑥ ✏ ⑥x ✁ y ⑥ và ⑥λx ✁ λy ⑥ ✏
⑤λ⑤⑥x ✁ y⑥.
✆
Hệ quả 1.2.10. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Khi đó các điều sau là
tương đương:
(i) U là lân cận của điểm 0 E;
17
1.2 Không gian định chuẩn
(ii) αU là lân cận của điểm 0 E với mọi α ✘ 0;
(iii) a U là lân cận của điểm a với mọi a E.
Dựa vào các tính chất trên ta dễ dàng chứng minh một số tính chất quan trọng
của tập mở, tập đóng trong không gian định chuẩn.
Mệnh đề 1.2.11. Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó
(a) Nếu A ⑨ E là mở, xo
(b)
(c)
(d)
(e)
E thì xo A ✏ txo y, y A✉ là mở.
Nếu A ⑨ E là đóng, xo E thì xo A là đóng.
Nếu A ⑨ E là mở, B ⑨ E tùy ý thì A B ✏ tx y; x A, y B ✉ là mở.
Nếu A ⑨ E là mở, λ K, λ ✘ 0 thì λA ✏ tλx, x A✉ là mở.
Nếu A ⑨ E là đóng, λ K, λ ✘ 0 thì λA là đóng.
1.2.6
Chuẩn tương đương
Giả sử E là một không gian tuyến tính, ⑥.⑥1 và ⑥.⑥2 là hai chuẩn xác định trên
E, τ1 và τ2 là các tôpô trên E sinh bởi các chuẩn ⑥.⑥1 và ⑥.⑥2 .
Định nghĩa 1.2.4. a) Chuẩn ⑥.⑥1 được gọi là mạnh hơn chuẩn ⑥.⑥2 nếu τ1
b) Các chuẩn ⑥.⑥1 và ⑥.⑥2 được gọi là tương đương với nhau nếu τ1
→ τ2;
✏ τ2.
Định lý 1.2.12. Chuẩn ⑥.⑥1 mạnh hơn chuẩn ⑥.⑥2 nếu và chỉ nếu ❉ C → 0, sao cho
⑥x⑥2 ↕ C ⑥x⑥1, ❅ x E.
Chứng minh. a) Điều kiện cần: Ký hiệu
Bi ♣xo , rq ✏ tx E : ⑥x ✁ xo ⑥i
➔ r✉, i ✏ 1, 2.
Vì τ2 ↕ τ1 và B2 ♣0, 1q là tập τ2 - mở cho nên B2 ♣0, 1q cũng là τ1 - mở. Cho nên 0 là
một τ1 - điểm trong của B2 ♣0, 1q. Vì vậy tồn tại B1 ♣0, rq ⑨ B2 ♣0, 1q.
Lấy x E, x ✘ 0 và đặt u ✏
Từ đó
⑥ ⑥ ✏ 2r , vậy u B1♣0, rq ⑨ B2♣0, 1q.
rx
. Khi đó u 1
2⑥x⑥1
✎
⑥u⑥2 ↕ 1 ùñ ✎✎ 2⑥rx
x⑥
1
✎
✎
✎
Với x ✏ 0 bất đẳng thức này vẫn đúng.
2
↕
1 ùñ ⑥x⑥2 ↕ ⑥x⑥1 .
r
2
18
1.2 Không gian định chuẩn
b) Điều kiện đủ: Lấy A là tập τ2 - mở, xo A. Khi đó tồn tại B2 ♣xo , rq ⑨ A. Với
x B1 ♣xo , Cr q ta có
⑥x ✁ xo⑥2 ↕ C ⑥x ✁ xo⑥1 ➔ C Cr ✏ r.
Từ đó B1 ♣xo , Cr q ⑨ B2 ♣xo , rq ⑨ A. Suy ra xo là một τ1 - điểm trong của A, tức là A
là τ1 - mở (do xo là điểm bất kỳ của A). Vậy τ2 ↕ τ1 .
✆
Hệ quả 1.2.13. Hai chuẩn ⑥.⑥1 và ⑥.⑥2 tương đương nếu và chỉ nếu
cho
C ⑥x⑥1 ↕ ⑥x⑥2 ↕ D⑥x⑥1 , ❅ x E.
❉ C, D → 0, sao
Ví dụ 1.2.14. Giả sử 1 ↕ p ↕ r. Về phương diện tập hợp, rõ ràng (với giả thiết
✁✽ ➔ a ➔ b ➔ ✽) Lr ra, bs ⑨ Lpra, bs. Ta hãy xác định hai chuẩn ⑥.⑥r và ⑥.⑥p trong
không gian Lr ra, bs bởi các công thức, với mọi x ✏ x♣tq Lr ra, bs
⑥x⑥r ✏
✄➺
b
a
⑤x♣tq⑤r dt
☛1④r
,
✄➺
⑥x⑥p ✏
b
a
☛1④p
⑤x♣tq⑤pdt
;
và chứng tỏ rằng chuẩn ⑥.⑥r mạnh hơn chuẩn ⑥.⑥p .
✏ pr . Khi đó α → 1, do đó tồn tại β → 1 sao cho
Hiển nhiên 1 Lβ ra, bs và để ý rằng
⑤x♣tq⑤pα ✏ ⑤x♣tq⑤p♣r④pq ✏ ⑤x♣tq⑤r
với ⑤x♣tq⑤r L1 ra, bs nên ⑤x♣tq⑤p Lα ra, bs.
Thật vậy, đặt α
1
1
+
α
β
✏ 1.
Áp dụng bất đẳng thức H¨older ta thấy rằng
➺b
⑤x♣tq⑤ dt ✏
➺b
p
a
a
1.⑤x♣tq⑤ dt ↕
✏ ♣b ✁ aq ④
✂➺ b
1 β
Để ý rằng β
β
1 dt
a
⑤x♣tq⑤ dt
r
a
✡1④β ✂ ➺ b
✂➺ b
p
.
a
✡p④r
⑤x♣tq⑤
pα
✡1④α
dt
.
✏ r ✁r p , nên từ bất đẳng thức này ta suy ra
✁
⑥x⑥p ↕ ♣b ✁ aq ⑥x⑥r .
r p
rp
Ví dụ 1.2.15. Tất cả các chuẩn trên Rn là tương đương. Thật vậy, xét chuẩn
Euclide ⑥.⑥. Giả sử là một chuẩn tùy ý trong Rn . Trước hết ta chứng minh rằng
ánh xạ : Rn Ñ R liên tục (nếu trên Rn có cho tôpô tích R ✂ R ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ R ( n lần)
trùng với tôpô sinh bởi chuẩn Euclide). Ta có
⑤ ♣xq ✁ ♣yq⑤ ↕ ♣x ✁ yq ↕
n
➳
✏
i 1
⑤xi ✁ yi⑤ ♣eiq,
19
1.3 Không gian Banach
trong đó ♣e1 , . . . , en q là cơ sở chính tắc trong không gian Rn . Từ bất đẳng thức cuối
cùng này suy ra lim ♣y q ✏ ♣xq tức là chuẩn liên tục.
y
Ñx
Do tính compact của mặt cầu đơn vị ⑥x⑥ ✏ 1 hàm liên tục không đồng nhất
bằng 0, đạt cận trên đúng M → 0 và cận dưới đúng m → 0 trên đó. Do đó ♣xq ↕
M ⑥x⑥, ♣xq ➙ m⑥x⑥.
1.3
1.3.1
KHÔNG GIAN BANACH
Định nghĩa
Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh bởi chuẩn).
Nhận xét 1.3.1. Từ Hệ quả 1.2.13 ta thấy rằng một dãy trong không gian định
chuẩn là Cauchy nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy đối với mọi chuẩn tương đương
với chuẩn xuất phát. Vì vậy tính Banach cũng không thay đổi nếu ta thay chuẩn
xuất phát bởi một chuẩn tương đương. Hiển nhiên hai chuẩn tương đương thì các
mêtric mà nó sinh ra cũng tương đương. Tuy nhiên nhận xét trên là không đúng đối
với không gian mêtric.
Một điều mới trong không gian định chuẩn so với các không gian mêtric và các
không gian tuyến tính là trong không gian định chuẩn ta có thể xét đến các chuỗi
vô hạn.
1.3.2
Chuỗi và sự hội tụ.
Giả sử txn ✉ là một dãy trong không gian định chuẩn E. Khi đó tổng hình thức
x1 x2 ☎ ☎ ☎ ✏ :
✽
➳
✏
xn
n 1
được gọi là một chuỗi trong E. Phần tử
sn
✏ x1 x2 ☎ ☎ ☎ xn
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng
riêng của nó hội tụ. Giới hạn s của dãy tổng riêng được gọi là tổng của chuỗi và ta
cũng viết
✽
➳
✏
xn
✏ s.
n 1
Nếu dãy các tổng riêng không hội tụ thì chuỗi được gọi là phân kỳ.
20
1.3 Không gian Banach
✽
➳
Nếu
rn
✏
✽
➳
✏
✏
xn
✏ s thì rn ✏ s ✁ sn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Rõ ràng
n 1
xn k . Theo định nghĩa, nếu chuỗi hội tụ thì lim rn
Ñ✽
n
k 1
Định lý 1.3.2. Nếu chuỗi
✽
➳
✏
✏ 0.
xn trong không gian định chuẩn E là hội tụ thì nó
n 1
❅ ε, ❉ no, ❅ n ➙ no, p ➙ 1
⑥sn p ✁ sn⑥ ✏ ⑥xn 1 ☎ ☎ ☎ xn p⑥ ➔ ε.
thỏa mãn điều kiện:
Ngược lại, nếu E là không gian Banach thì mọi chuỗi thỏa mãn điều kiện trên là hội
tụ.
Định lý này được suy ra trực tiếp từ tiêu chuẩn Cauchy để dãy tsn ✉ hội tụ trong
không gian mêtric.
Định lý 1.3.3. Nếu chuỗi
✽
➳
✏
xn hội tụ thì lim xn
n
n 1
Chứng minh. Ta có lim xn
Ñ✽
n
Ñ✽
✏ 0.
✏ nlim
Ñ✽♣sn ✁ sn✁1 q ✏ s ✁ s ✏ 0.
✆
Ta bỏ qua chứng minh đơn giản các tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.3.4. a) Nếu các chuỗi
s và t thì chuỗi
✽
➳
✏
✽
➳
✏
✽
➳
✏
xn và
n 1
✽
➳
✏
yn hội tụ và có tổng tương ứng là
n 1
♣xn ynq cũng hội tụ và có tổng là s t; với mọi λ K chuỗi
n 1
λxn cũng hội tụ và có tổng là λs.
n 1
b) Nếu
✽
➳
✏
n 1
xn và
✽
➳
✏
yn là hai chuỗi sao cho xn
✏ yn với mọi n chỉ trừ ra hữu
n 1
hạn các chỉ số thì các chuỗi đó đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.
c) Giả sử tkn ✉ là một dãy tăng thực sự các số tự nhiên và k1
có tổng là s. Nếu đặt yn
✏
✁
kn➳
1 1
✏
xp thì chuỗi
p kn
1.3.3
✽
➳
✏
✏ 1, chuỗi
✽
➳
✏
xn
n 1
yn cũng hội tụ và có tổng là s.
n 1
Chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Chuỗi
✽
➳
✏
n 1
xn được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương
✽
➳
✏
n 1
⑥xn⑥ hội tụ.
