MỘT MÔ HÌNH TĂNG BỀN KÉP CHO CÁT_P. A. Vermeer

MỘT MÔ HÌNH TĂNG BỀN KÉP CHO CÁT
P. A. VERMEER
Một mô hình đàn hồi dẻo được thiết lập cho quá trình gia tải lần đầu, dỡ tải và gia tải
lại của cát. Những biến dạng dẻo được mô tả như là tổng của hai thành phần độc lập.
Thành phần quan trọng nhất của những biến dạng dẻo được mô tả bởi một mặt dẻo cắt
và quy luật chảy dẻo không kết hợp trong phương trình ứng suất-độ trương nở của
Rowe thì được kết hợp. Trong suốt quá trình biến dạng liên tục, mặt dẻo cắt thay đổi
kích thước và hình dạng. Rất phù hợp với dữ liệu mặt dẻo thực tế. Phần này giải thích
cho biến dạng thể tích dẻo trong quá trình nén đẳng hướng. Điều này không thể bỏ qua,
đặc biệt trong trường hợp cát rời.

GIỚI THIỆU
Với sự ra đời của máy tính, mối quan hệ ứng suất biến dạng phi tuyến đã được đề suất
cho đất. Những quan hệ phi tuyến đầu tiên được sử dụng vẫn trong khuôn khổ của lý
thuyết đàn hồi, mối quan hệ một – một giữa ứng suất và biến dạng thì được giả định.
Sau đó, những mô hình nâng cao được phát triển theo lý thuyết tăng bền đẳng hướng.
Lý thuyết này được sử dụng để thiết lập quan hệ ứng suất – biến dạng cho cát vì nó tính
toán cho cả biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo từ khi bắt đầu gia tải.
Trong lý thuyết tăng bền đẳng hướng như được mô tả bởi Hill (1950) những biến dạng
dẻo được xác định bởi một mặt dẻo, một điều kiện dẻo và một quy luật chảy dẻo. Những
khái niệm này được mô tả bởi trạng thái ứng suất đại diện bởi những điểm trong không
gian ứng suất chính. Mặt dẻo bao quanh tất cả các điểm trong miền đàn hồi. Trong suốt
quá trình gia tải lần đầu, mặt dẻo luôn di chuyển. Độ lớn của sự dịch chuyển phụ thuộc
vào độ lớn đại lượng vô hướng của biến dạng dẻo, mối quan hệ thì được biểu diễn bởi
điều kiện dẻo. Quy luật chảy dẻo mô tả sự gia tăng từng thành phần biến dạng dẻo dẻo.
Nó có thể được mô tả trong không gian ứng suất chính như một vec tơ vuông góc với
mặt thế năng dẻo. Quy luật chảy dẻo được xem là kết hợp khi mặt thế năng dẻo trùng
với mặt dẻo.
Ý tưởng của sự mô tả những biến dạng dẻo như là tổng của những thành phần độc lập
được giới thiệu trong cơ học đất bởi Roscoe và Burland (1968). Chúng xác định mỗi
thành bởi một mặt dẻo một điều kiện dẻo và một quy luật chảy dẻo kết hợp. Một mô

hình tăng bền kép tương tự cũng đã được phát triển bởi Prevost và Hoeg (1975). Họ
phân biệt một mặt dẻo cắt, vị trí của nó thì được xác định bởi biến dạng cắt dẻo, và một
mặt dẻo thể tích, vị trí của nó được xác định bởi biến dạng thể tích dẻo. Đối với cát, tồn
tại một mặt dẻo cắt đã được thí nghiệm kiểm chứng bởi Stroud (1971) và Tatsuoka và
Ishihara (1974). Họ đã xác định những họ mặt dẻo tuần tự cho cát rời, chặt vừa và chặt.
Trong bài báo này, hình thức hàm số của mặt dẻo cắt thì rất phù hợp với dữ liệu từ
Stroud và Tatsuoka và Ishira. Điều kiện dẻo thì kết hợp với hình thức hàm số của mặt
dẻo cắt. Điều kiện này thì cũng được kiểm chứng bởi kết quả của những nghiên cứu


khác. Quy luật chảy dẻo không kết hợp thì dựa trên phương trình ứng suất – sự dãn nở
của Rowe từ Rowe (1962, 1971) và Barden, Khayatt và Wightman (1966, 1969) đã
cung cấp bằng chứng thuyết phục cho lý thuyết ứng suất – dãn nở. Những nghiên cứu
khác, độc lập, một thành phần biến dạng dẻo thì hoàn toàn là biến dạng thể tích. Nó
được mô tả bởi một mặt dẻo thứ hai, mặt dẻo thể tích, và có quy luật chảy dẻo kết hợp.
Mô hình hiện tại được xem xét có hiệu lực miễn là góc xoay ứng suất chính lớn nhất
vẫn còn được giới hạn. Một góc 45o thì không nên đạt tới. Loại gia tải này sẽ theo gia
tải một chiều. Giữa những điều khác, mô hình bao gồm tất cả thí nghiệm nén ba trục.
Thí nghiệm nén – kéo lặp không bao gồm bởi vì sự đảo chiều của ứng suất chính lớn
nhất. Mô hình thì không phù hợp cho quá trình gia tải như vậy bởi vì một lý tưởng hóa
quan trọng trong lý thuyết tăng bền đẳng hướng. Lý thuyết yêu cầu một mặt dẻo đối
xứng, với sự chú ý đến những trục trong không gian ứng suất chính, mặt dẻo luôn mở
rộng cho đến khi nó trùng với mặt phá hoại. Điều này dẫn đến sự ước tính vượt quá của
khu vực đàn hồi trong không gian ứng suất. Ý tưởng cơ bản cho sự mở rộng được đã
được phá triển trong sự chảy dẻo của kim loại. Krieg (1975) đã duy trì công thức từ tăng
bền đẳng hướng cho gia tải lần đầu nhưng giảm miền đàn hồi, đề xuất hai mặt dẻo. Một
lý thuyết tương tự đã được giải quyết độc lộc bởi Dafalias và Popov (1975).
SỰ XEM XÉT BAN ĐẦU
Những quy ước bên dưới được sử dụng trong cơ học đất, ứng suất nén và biến dạng co
lại được xem là âm; tất cả ứng suất là hữu hiệu. Tốc độ gia tăng ứng suất và biến dạng

được kí hiệu bởi dấu chấm. Trong bài báo này mối quan hệ ứng suất – biến dạng theo
hình thức:
.

.

 if  cifki  ki

(1)

Hoặc hình thức đảo ngược thì được phát triển. Ở đây sự quy ước tổng hợp được sử dụng
.

.

kí tự La tinh. Phương trình (1) thường được gọi là mối quan hệ gia tăng vì  if và  ki
còn được thay thế bởi số gia (vi phân) d if và d ki . Mối quan hệ ứng suất – biến dạng
.

dược phát triển theo lý thuyết dẻo. Điều này có nghĩa là  if được coi như tổng của tensor
.

e

.

p

tốc độ biến dạng đàn hồi  if và tensor tốc độ biến dạng dẻo  if . Trong nghiên cứu này,
.

p

.

p1

.

p2

 if được chia thành hai thành phần  if và  if để tính cho hai dạng biến dạng dẻo.

Hầu hết những công việc thực nghiệm để đánh giá liên quan đến thí nghiệm nén ba trục,
có không gian ứng suất chính thỏa mãn điều kiện  1   2   3 . Kết quả của những thí
nghiệm này có thể được mô tả chỉ bởi hai biến ứng suất. Các bất biến p và q, được sử
dụng bởi Roscoe và Burland (1968) sẽ được sử dụng lại nhưng sẽ được định nghĩa theo
tất cả các ứng suất chính:
1
p  (1   2   3 )
3

(2)


q

1/2
1
(1   2 )2  ( 2   3 )2 )  ( 3  1 )2 

2

Các bất biến p và q thì trực giao trong không gian ứng suất chính. Qũy tích dẻo có thể
được mô tả một cách thuận lợi trong mặt phẳng p, q.
Khái niệm quỹ tích dẻo hoặc mặt dẻo là khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết dẻo.
Đó là một mặt cong trong không gian ứng suất (một mặt cong trong mặt phẳng p, q)
chia trạng thái ứng suất trong miền đàn hồi với trạng thái ứng suất có được sau khi biến
dạng dẻo. Nó là một khái niệm khá đơn giản trong lý thuyết dẻo lý tưởng, vì trong lý
thuyết này, vị trí của mặt dẻo thì không thay đổi theo biến dạng dẻo. Tuy nhiên, trong
lý thuyết dẻo tăng bền, mặt dẻo di chuyển cùng với độ lớn của biến dạng dẻo gọi là
thông số tăng bền. Theo quan điểm lý thuyết thông số tăng bền phải được định nghĩa
như một tích phân theo thời gian:
.

1    dt

(4)

1

.

.

p

Trong đó  1  0 nếu  if  0 . Theo quan điểm thực nghiệm, một thông số tăng bền thích
hợp được định nghĩa bởi công thức:
1  . p . p   . p . p   . p . p 
  1   2     2   3     3   1 

1 
2 
 
 

2

.

. p

.

p

.

2

2 1/2





(5)

p

Ở đây,  1 ,  2 và  3 là tốc độ gia tăng biến dạng dẻo chính. Trong thí nghiệm nén ba

. p

.

p

. p

trục một vật liệu đẳng hướng dẻo  1   2   3 và 1 đơn giản thành biến dạng cắt dẻo
(1p   3p ) .

Loại mặt dẻo thể hiện trong mô hình tăng bền được dựa trên hai bằng chứng. Đầu tiên,
bằng chứng là bề mặt hoạt động như biên của vùng đàn hồi trong không gian ứng suất.
Thứ hai, bằng chứng là thông số tăng bền đạt được một giá trị cho tất cả những điểm
ứng suất trên mặt dẻo.
CƠ SỞ THỰC NGHIỆM CHO MẶT DẺO
Cơ sở thực nghiệm thu được cho các mặt dẻo phần lớn thu được từ hai nhóm thí nghiệm
nén ba trục được báo cáo bởi Tatsuoka và Ishihara (1974, 1975). Nhóm thí nghiệm đầu
tiên, ứng suất cắt q đầu tiên được gia tăng, sau đó giảm và gia tăng lại một lần nữa ở
những giá trị khác nhau của ứng suất trung bình p. Nó cho thấy rằng những mẫu bị dẻo
trong quá trình gia tải lần đầu và ứng xử đàn hồi nhiều hơn hoặc ít hơn trong quá trình
dỡ tải. Trong quá trình gia tải lại, ứng xử đàn hồi nhiều hơn hoặc ít hơn tiếp tục, ít nhất
ở khía cạnh biến dạng cắt, cho đến giá trị đánh dấu hợp lí nhất của q, quá trình dẻo bắt
đầu trở lại. Trạng thái ứng suất khi bắt đầu dỡ tải và trạng thái ứng suất tại nơi quá trình
dẻo bắt đầu trở lại do đó được xem xét như một cặp trạng thái ứng suất của quỹ tích


dẻo. Một họ đầy đủ của quỹ tích dẻo liên tục được tìm ra bằng cách này, họ quỹ tích
dẻo cho đất cát rời như Hình 1a

Thí nghiệm được kết luận rằng quỹ tích dẻo được đề cập ở trên có thể xấp xỉ bởi một
đường có biến dạng cắt không đổi. Qũy tích này do đó sẽ liên quan đến quỹ tích dẻo
cắt. Stroud (1971) cũng đã đi đến kết luận này trên cơ sở thí nghiệm cắt đơn giản. Trong
lý thuyết dẻo, biến dạng cắt tổng không được chấp nhận như một thông số tăng bền bởi
vì biến dạng tổng bao gồm biến dạng đàn hồi. Tuy nhiên, đại lượng 1 được định nghĩa
bởi công thức (4) và (5) thì được chấp nhận bởi vì nó là thước đo chỉ biến dạng dẻo.
Đại lượng 1 cũng được chấp nhận từ quan điểm thực nghiệm bởi vì 1 đơn giản thành
biến dạng cắt dẻo (1p   3p ) trong trường hợp những thí nghiệm được xem xét. Đối với
cát, sự khác nhau giữa biến dạng cắt dẻo và biến dạng cắt tổng thì tương đối nhỏ. Một
công thức cho quỹ tích dẻo cắt như một hàm số của độ lớn thông số tăng bền thì được
trình bày trong một phần bên dưới của bài báo này.
Họ mặt dẻo thứ hai
Một mặt dẻo cắt không hoàn toàn giải thích được giá trị biến dạng thể tích dẻo trong
các thí nghiệm. Sự thật là biến dạng thể tích dẻo phát triển khi điểm ứng suất tiến đến
mặt dẻo cắt nhưng chúng cũng phát triển trong thí nghiệm nén đẳng hướng (q=0).
Những biến dạng thể tích dẻo này không thể giải thích được bởi mặt dẻo cắt bởi vì hình
dạng của nó cho thấy q gia tăng dọc theo p. Một loại mặt dẻo thứ hai do đó được giới
thiệu để khép kín miền đàn hồi theo phương của trục p. Loại mặt đơn giản nhất gọi là
mặt phẳng lệch trong không gian ứng suất chính thì được chấp nhận. Trong mặt phẳng
p-q, nó như một đường thẳng vuông góc với trục p như Hình 2. Biến dạng thể tích dẻo
tích lũy  kkp 2 sẽ được xác định bởi mặt dẻo thể tích và một quy luật chảy dẻo kết hợp.


Sự đưa vào mặt dẻo thể tích thì không mâu thuẫn với những nghiên cứu mặt dẻo của
Tatsuoka và Ishihara (1974). Chúng cho thấy rằng tập hợp các mặt dẻo cắt không thể
giải thích hoàn toàn sự xảy ra của biến dạng thể tích dẻo. Những tác giả này cũng báo
cáo rằng sự xảy ra biến dạng dẻo thể tích bởi vì sự gia tăng của p với q là hằng số.
MỐI QUAN HỆ CHO BIẾN DẠNG CẮT TRONG THÍ NGHIỆM BA TRỤC
Người ta đã kết luận rằng mặt dẻo cắt là quỹ tích của biến dạng dẻo cắt không đổi. Để
mô tả mặt dẻo cắt bằng toán học, biến dạng cắt dẻo được lập thành công thức như một

hàm số của trạng thái ứng suất. Với điều kiện nén ba trục (  1   2   3 ) , phương trình
(6) thì được đề xuất:
p
     H (q / p)
p0
p
1

p
3

(6)

Hằng số p0, với chiều của ứng suất, được đưa vào để diễn tả hàm H không thứ nguyên.
Hằng số  và hàm H có được từ thực nghiệm khi đánh giá các loại đất các có độ chặt
khác nhau. Hằng số  có được bằng cách so sánh kết quả thí nghiệm nén ba trục với các
giá trị áp lực buồn khác nhau. Gía trị nằm giữa 1/3 đến ½. Đường cong được mô tả bởi
hàm H tìm được khi vẽ đồ thị giữa tỉ số q/p với (1p   3p )

p0
. Sự phù hợp của biểu thức
p

(6) được chứng minh bởi kết quả thí nghiệm như Hình 3a


ch

So sánh kết quả với những giá trị thí nghiệm khác nhau cho thấy rằng đường cong được
mô tả bởi hàm H thì hầu như là duy nhất. Dải gạch chéo hẹp chỉ ra sự mở rộng của

những kết quả từ năm thí nghiệm nén ba trục thoát và hai giá trị p không đổi trên cát
chặt sông Maas. Thí nghiệm nén ba trục được tiến hành ở các giá trị áp lực buồn khác
nhau, 25, 50, 100, 200 và 300 kPa. Bằng chứng khác cho phương trình (6) được giới
thiệu ở phần phụ lục. Nó xác nhận rằng phương trình (6) thì phù hợp với dữ liệu và kết
luận của các nhà nghiên cứu khác.
Đường cong ứng suất – biến dạng có thể được xấp xỉ bởi vài hàm số giải tích. Một hàm
số đơn giản xấp xỉ tốt được sử dụng là hàm hyperbol được đề xuất bởi Kondner và
Zelasko (1963)
H (q / p)  H 0

q/ p
af  q / p

(7)

Trong đó, H0 và af là những hằng số, af là tỉ lệ q/p tới hạn. Một sự xấp xỉ chính xác của
dữ liệu thực nghiệm có thể thu được hàm H(q/p) cụ thể bởi hàm đường cong (Desai and
Abel, 1972). Ví dụ, đường cong trong hình 3b có thể xác định bởi một hàm số đường
cong.
Trong hình 3b đường cong ứng suất – biến dạng đã mở rộng theo ứng xử tăng bền theo
sau bởi ứng xử dẻo lý tưởng. Khả năng biến dạng suy bền được chỉ bởi đường nét đứt.
Tuy nhiên, phương trình (6) chỉ được sử dụng biến dạng cắt dẻo là một hàm rõ ràng của
trạng thái ứng suất. Đây không phải là trường hợp cho đường cong hoàn toàn ở hình 3b
bởi vì tăng bền được theo sau bởi suy bền hoặc dẻo lý tưởng. Để mô tả suy bền hoặc
dẻo lý tưởng, phương trình (7) được chuyển sang hình thức:
q / p  H 1 (1 p0 / p  )  0

(8)

Trong đó H 1 là hàm ngược của hàm H. Qũy tích cho biến dạng cắt dẻo không đổi được
định nghĩa bởi phương trình (8). Mặt khác, nó xác định hình dạng và vị trí của mặt dẻo
cắt như hàm số 1 , ít nhất cho  1   2   3 . Nó là điều kiện dẻo. Qũy tích dẻo cắt tuần
tự được vẽ trong hình 4, sử dụng hàm H 1 tương ứng với toàn bộ đường cong ở hình
3b. Trong hình 4, hệ số tỉ lệ cho p và q được chọn như điểm đúng đắn thu được trong
mặt phẳng phân giác  1   2   3 trong không gian ứng suất chính.

Phương trình (8) được thiết lập dựa trên cơ sở những đặc điểm thu được từ gia tải lần
đầu. Để đưa ra một mô tả chặt chẽ của sự thay đổi biến dạng cắt dẻo trong suốt quá trình
dỡ tải và gia tải lại, phần bên trái của phương trình (8) được kí hiệu là Y1
Y1  q / p  H 1 (1 p0 / p  )

(9)

Hơn nữa, một tenxor kl được định nghĩa như sau:
kl  

Y1 Y1
/
 kl 1

(10)

Một khoảng thời gian rất nhỏ dt trong quá trình gia tải được xem xét tiếp theo. Sự gia
tăng biến dạng dẻo bây giờ phụ thuộc chủ yếu vào giá trị Y1. Nếu Y1 < 0, không xảy
.

ra biến dạng cắt dẻo 1  0 . Nếu Y1 = 0 có hai khả năng xảy ra. Khả năng tăng bền
.

.

hoặc suy bền phụ thuộc vào chiều của sự gia tăng ứng suất. Nếu kl  kl  0 thì 1 được
.

.

.

xác định bởi phương trình Y 1  0 , ngược lại 1  0 . Phương trình Y 1  0 và phương trình


.

1  0 có thể kết hợp thành một phương trình bởi một hệ số bằng 1 hoặc 0. Kí hiệu 1

được sử dụng cho hệ số này, phương trình
.

.

1  1kl  kl

(11)

Với 1 được định nghĩa như sau:
.

.

1  1 cho Y 1  0 và kl  kl  0 ; ngược lại 1  0

(12)

Phương trình (11) thì có hiệu lực cho ứng xử tăng bền cũng như suy bền. Tuy nhiên,
tenxor kl không thể định nghĩa được trong trường hợp dẻo lý tưởng. Dẻo lý tưởng sau
đó được mô tả như một trường hợp giới hạn của ứng xử tăng bền.
HÀM DẺO Y1
Trong phần trước, biến dạng cắt dẻo và mặt dẻo cắt đã được mô tả bởi hàm dẻo Y1. Nó
cho thấy rằng, một biểu thức đơn giản theo ứng suất trung bình p và ứng suất cắt q thì
khá chính xác trong điều kiện ứng suất  1   2   3 . Tuy nhiên, phương trình (9) thì
không chính xác cho điều kiện ứng suất và biến dạng tổng quát. Mục tiêu chính là kết
nối với hình dạng của mặt dẻo trong mặt phẳng lệch của không gian ứng suất chính. Sự
mô tả những mặt dẻo theo p và q kéo theo rằng chúng là những mặt xoay quanh trục
phân giác  1   2   3 . Trong thực tế, những mặt dẻo tới hạn hay những mặt phá hoại
giống hình chóp sáu cạnh Morh – Coulomb. Để đạt đến hàm dẻo thực tế Y1, một biểu
thức có dạng như sau:
Y1  a  H 1 (1 / b)

(13)

thì được đề xuất. Ký hiệu a và b chỉ các hàm ứng suất phải có hình thức sao cho khi rút
gọn thành q/p và p  / p0 đối với  1   2   3 . Vì vậy định nghĩa của Y1 theo phương
trình (9) vẫn còn giá trị cho điều kiện thí nghiệm nén ba trục.
Hàm ứng suất a
Để hiểu ý nghĩa vật lý của a, đầu tiên phải nhắc lại mặt dẻo cắt được định nghĩa bởi
phương trình Y1  0 or a  H 1 (1 / b) . Vị trí tới hạn của mặt này được đạt tới khi hàm
H 1 đạt tới giá trị dừng af. Vì vậy, phương trình cho mặt phá hoại đọc

a  af

(14)

Trong đó, hàm ứng suất a đã được định nghĩa.
Trong những năm gần đây, nhiều nhà nghiên cứu đã nghiên cứu trạng thái ứng suất khi
xảy ra phá hoại. Goldscheider (1976) thu được kết quả đề nghị hình chóp Morh –
Coulomb. Lade và Duncang (1975) đi đến một mặt trơn được mô tả bởi những bất biến:
I 2   1 2   2 3   3 1 , I 3   1 2 3

(15)


Matsuoka và Nakai (1977) đã sử dụng những bất biến tương tự, đề nghị điều kiện phá
hoại là pI 2 / I 3 bằng một vài hằng số. Mặt này trùng với tháp Mohr – Coulomb trong tất
cả các mặt phẳng phân giác của không gian ứng suất chính,  1   2 ,  2   3 và  3   1
như hình 5. Ba mặt phá hoại được đề cập được đánh giá khá chính xác. Tuy nhiên, định
nghĩa theo Matsuoka và Nakai thì được chấp nhận bởi vì nó dẫn đến một định nghĩa
tương đối đơn giản của hàm ứng suất a.
Hàm ứng suất a không thể định nghĩa đơn giản như pI 2 / I 3 , bởi vì pI 2 / I 3 không rút gọn
thành q/p cho điều kiện nén ba trục. Tuy nhiên, a có thể được định nghĩa như một hàm
của pI 2 / I 3 mà có thể rút gọn thành q/p với điều kiện  1   2   3 . Phương trình a được
định nghĩa như bên dưới:
1/2

2
 I3  
3 9  I3  3   I3 

a  


9

30




  9
4 4  pI 2  4   pI 2 
pI 2  




(16)

Phương trình cho a này không được đơn giản vì nó quá dài. Tuy nhiên điều này không
là trở ngại khi sử dụng chương trình máy tính .

Hàm ứng suất b
Độ lớn của biến dạng cắt dẻo phụ thuộc vào định nghĩa của b. Điều này thấy rõ nhất khi
điều kiện dẻo Y1 = 0 được viết tường minh với biến dạng cắt dẻo 1
1  bH (a)

(17)

Phương trình này có hiệu lực cho gia tải lần đầu và a  a f . Đây là phương trình tổng
quát hóa của phương trình (6) trong điều kiện ứng suất tổng quát. Khi phá hoại xảy ra
1  bH (a f ) . Điều này có nghĩa rằng biến dạng lúc phá hoại tỷ lệ với b. Với những ứng
dụng thực hành định nghĩa b  p  / p0 , như đề nghị bởi phương trình (6), được đánh giá

hoàn toàn chính xác. Người ta công nhận rằng tính chất của đất hiện trường chỉ có thể
xác định xấp xỉ. Vì vậy, một mô hình rất là tinh xảo thì không yêu cầu. Tuy nhiên, một
công thức phức tạp hơn được đưa ra để phù hợp với kết quả thí nghiệm kéo  1   2   3
Vì vậy b được định nghĩa như sau:
1 q p
b
a p p0

Khi đó b rút gọn thành p  / p0 khi  1   2   3 . Tuy nhiên, với điều kiện kéo ba trục,
q/p thì không bằng a nhưng nhỏ hơn đáng kể. Điều này có thể kiểm chứng khi xem xét
biểu đồ ở hình 5. Vì vậy mô hình dự đoán biến dạng lúc phá hoại lớn nhất khi nén ba
trục và nhỏ nhất khi kéo ba trục, khi cùng so sánh ở cùng ứng suất trung bình p. Đường
cong phía trên hình 6a đại diện cho thí nghiệm nén ba trục. Đường cong phía dưới trên
hình 6a đại diện cho kết quả thí nghiệm kéo ba trục. Đường cong thấp nhất đại diện
ngoại suy điều kiện kéo ba trục dựa trên phương trình (17) và (18) . Đường cong có độ
dốc thấp hơn nếu phương trình (18) được thay thế bởi b  p  / p0 . Tương tự, đường
cong độ dốc có thể được mô tả sử dụng một biểu thức khác cho b. Hình dạng của mặt
dẻo cũng ảnh hưởng bởi định nghĩa của b. Một cái nhìn lệch của những mặt định nghĩa
bởi phương trình Y1 = 0 và phương trình (18) như hình 7. Những đường cong này dần
dần mất hình dạng tròn và có được hình dạng đường phá hoại. Với b  p  / p0 tất cả các
đường cong có cùng hình dạng.