Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I. Lời giới thiệu
Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm trước đây hoặc các đề thi
học sinh giỏi, các bài về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số
là các bài vẫn thường xuất hiện, tuy nhiên nó lại là một câu khó để lấy điểm cao.
Một trong những phương pháp phổ biến khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số là phương pháp phân tích thành nhân tử. Mặc dù khi học
các thầy, cô đã dành khá nhiều thời lượng để giảng dạy và luyện tập cho học sinh
các kỹ thuật tách, nhóm để phân tích thành phương trình, bất phương trình tích còn
học sinh nghe thì hiểu cách làm nhưng vẫn thắc mắc: "Tại sao lại làm như vậy?".
Sách, tài liệu tham khảo và thầy cô chỉ nêu cho học sinh phương pháp và một số
kinh nghiệm khi lựa chọn phương pháp vào một số bài cụ thể nên học xong, đọc
xong học sinh vẫn cảm thấy rất mơ hồ. Chính vì vậy khi đứng trước một bài toán
mới học sinh cảm thấy rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và không biết phải
lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, bài nào có thể áp dụng phương pháp phân
tích thành nhân tử và nhóm, tách ra sao để biến đổi phương trình, bất phương trình
thành phương trình và bất phương trình tích. Đối với học sinh khá - giỏi cũng phải
thử hết cách này sang cách khác rất mất thời gian, đối với học sinh trung bình và
yếu thậm chí còn không tìm được lời giải.
Sau một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi: "Giải toán trên máy tính cầm tay",
tham khảo các tài liệu qua mạng internet và đặc biệt là bài viết của đồng nghiệp,
của học sinh được chia sẻ trên facebook tôi thấy được máy tính cầm tay chính là
một "vũ khí" đắc lực trong việc giải phương trình, bất phương trình và đặc biệt là
hệ phương trình đại số.

1

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Tuy rằng, máy tính không phải là một phương pháp để giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình đại số nhưng nó giúp cho học sinh có thể định
hướng tìm cách giải nhanh và rõ ràng, đặc biệt nó có ưu thế rất mạnh trong việc
phân tích một phương trình thành phương trình tích. Tính năng SOLVE trên máy
tính cầm tay rất hay, nếu học sinh biết khai thác để phục vụ cho học tập thì rất thú
vị.
Chính vì tính ưu việt của máy tính cầm tay và với mong muốn cung cấp cho
học sinh một số bí quyết trong việc sử dụng nó để nhanh chóng định hướng được
phương pháp giải trong khi chưa có sách tham khảo hay tài liệu nào được công
khai chia sẻ cho học sinh biết được bí quyết đó nên tôi đã đúc rút, tổng hợp những
kinh nghiệm của bản thân, những tài liệu của đồng nghiệp và học sinh mà tôi đã
được đọc để viết sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi
giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số".
Thực ra, sáng kiến kinh nghiệm này đã được tôi báo cáo và sử dụng từ năm
2015 nhưng qua các năm giảng dạy tôi đã rút ra được nhiều kinh nghiệm khi áp
dụng sáng kiến nên tôi quyết định bổ sung và phát triển để sáng kiến được thể hiện
logic và đầy đủ hơn.
Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn còn
nhiều tồn tại. Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm
của tôi được hoàn thiện hơn và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo
viên và học sinh.
II. Tên sáng kiến: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất
phương trình và hệ phương trình đại số.
III. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên:

IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10.
2


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm 2015.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến:


Một số lưu ý trước khi đọc bài viết

- Trong toàn bộ bài viết này đều hướng dẫn sử dụng trên máy tính Casio fx 570ES, các máy tính có cùng chức năng thao tác tương tự.
- Việc giới thiệu quy trình nhìn thì dài nhưng khi thực hiện rất nhanh, không mất
nhiều thời gian.
1. Sử dụng máy tính Casio khi giải phương trình và bất phương
trình đại số
1.1. Giải phương trình bậc 4
- Như ta đã biết máy tính giải được phương trình bậc 3 bất kì nhưng bậc 4 ta thì
không. Nếu phương trình bậc 4 có nghiệm nguyên hoặc hữu tỷ thì ta cũng dễ dàng
giải được bằng cách dùng lược đồ Hoone để phân tích thành phương trình tích bậc
1 và bậc 3. Trong trường hợp phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ thì ta sẽ phải làm
thế nào? Máy tính cầm tay sẽ hỗ trợ tích cực trong việc đó.


4
2
Phương pháp: Xét phương trình ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0) (1.1) .

•

Máy tính sẽ giúp ta tìm được các nghiệm gần đúng của (1.1) là: A, B, C, D
(về nguyên tắc là thế nhưng thường ta chỉ cần tìm 3 nghiệm là đủ).

•

Do (1.1) có thể viết thành:

( a'x

2

+ b ' x + c ' ) ( d'x 2 + e ' x + f ' ) = 0.

Nên ta có

thể thử 2 trong 4 nghiệm A, B, C, D xem 2 nghiệm nào có tổng và tích
nguyên, chẳng hạn A + B = S , A.B = P với S, P nguyên thì A, B là nghiệm
2
của phương trình: x − Sx + P = 0 . Nên ta có:

3


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

(1.1) ⇔ ( x 2 − Sx + P ) ( d'x 2 + e ' x + f ' ) = 0.

(Dạng quen thuộc đã biết cách

giải).
•

2
4
2
Tìm biểu thức d'x + e ' x + f ' bằng cách chia đa thức ax + bx + cx + d

2
cho đa thức x − Sx + P .
4
3
2
Ví dụ: Giải phương trình x − 3 x − 6 x + 3 x + 1 = 0 .

Hướng dẫn quy trình
- Nhập phương trình vào máy tính:

Alpha X x 4 − 3 Alpha X x 3 − 6 Alpha X x 2 + 3 Alpha X + 1 =
( Dấu "=" để lưu phương trình).
- Bấm

shift solve

. Máy hỏi:

Solve for X

( Nhập giá trị ban đầu).
X=

- Bấm −9 = . Máy sẽ sử lí mất vài giây và cho kết quả
- Lưu nghiệm này vào biến A

RCL X Shift STO A

tìm phương trình đã lưu. Sau đó bấm:
X=
tiếp 0 = máy báo

−R=

shift solve

− 1.618...

−R=

0

. Nhấn nút đẩy lên hai lần để

. Máy hỏi

Solve for X

, ta bấm

− 0.236...
0

.

4


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Lưu nghiệm vào biến B
trình đã lưu Sau đó bấm:
X=
máy báo

- Bấm:
- Bấm:

shift solve

3.5 × 10−12

−R=

Solve for X

, ta bấm tiếp 9 =

.

RCL X Shift STO C

Alpha A + Alpha B =
Alpha A + AlphaC =
Alpha B + AlphaC =

Alpha B × AlphaC =

. Máy hỏi

. Nhấn nút đẩy lên để tìm phương

4.236...

Lưu nghiệm vào biến C
- Bấm:

RCL X Shift STO B

.

, máy hiện kết quả
, máy hiện kết quả
, máy hiện kết quả

máy hiện kết quả

−1

−1.854...
2.618...
4

(lẻ nên bỏ qua).
(lẻ nên bỏ qua).

( Tốt rồi, tiếp tục!)

. Vậy là xong rồi. Ta có lời giải như

sau:
Bài giải
x 4 − 3x 3 − 6 x 2 + 3x + 1 = 0 ⇔ ( x 2 − 4 x − 1)( x 2 + x − 1)
x = 2 ± 5
 x2 − 4x − 1 = 0
⇔ 2
⇔ 
−1 ± 5
x
=
x + x −1

2

Vậy, phương trình có nghiệm là:





−1 ± 5 

x ∈  2 ± 5;

2 




.

Bài tập vận dụng

Gải các phương trình sau

1. x 4 − 6 x3 + 3 x 2 + 18 x − 8 = 0
5


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

2. x 4 − 2 x 3 − 6 x 2 + 10 x + 5 = 0
3. x 4 − 22 x 2 − 5 x + 2 = 0
1.2. Giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Ví dụ 1: Giải phương trình

3 5 x + 4 + 3 x + 4 + 4 x 2 − 18 x − 12 = 0 (1.2)

Phân tích: Quan sát phương trình (1.2) rất khó để sử lí, không thể đặt ẩn phụ chỉ
có thể phân tích thành nhân tử. Vậy phân tích như thế nào? Ta sẽ dùng máy tính để
dự đoán cách phân tích
Hướng dẫn quy trình
x≥−
- Điều kiện:

4
5

.

- Nhập phương trình vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình

3 5 Alpha X + 4 + 3 Alpha X + 4 + 4 Alpha X x 2 − 18 Alpha X − 12 =

- Bấm

shift solve 0

.

. Máy cho ta nghiệm X = 0 .

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách: sửa phương trình thành

(3 5 Alpha X + 4 + 3 Alpha X + 4 + 4 Alpha X x 2 − 18 Alpha X − 12) ÷ Alpha X

- Bấm

shift solve =

.

máy báo X = 3.797... .
6


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Bấm

RCL X Shift STO A

( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

- Sửa phương trình thành

(3 5 Alpha X + 4 + 3 Alpha X + 4 + 4 Alpha X x 2 − 18 Alpha X − 12) ÷

[ Alpha X × ( Alpha X − Alpha A)]
- Bấm

shift solve = =

.

−50

máy báo X = 1 × 10
nghiệm này xấp xỉ bằng 0, tức vô

nghiệm.
- Vậy ta chỉ có 2 nghiệm thôi, làm thế nào tìm được nghiệm lẻ nữa để kết hợp với
A để áp dụng định lí Talet đảo tìm được phương trình nhận chúng là nghiệm.
* Cách 1: Mò phương trình bậc hai tạo ra nghiệm lẻ còn lại.
2
- Nghiệm đó là nghiệm của phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0 .

- Thông thường là a = 1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b.

- Ta đã lưu nghiệm lẻ tìm được vào A, bây giờ ta lưu lại vào X bằng cách
RCL A Shift STO X .
2
- Nhập: X + BX : B = B + 1

bằng cách

alpha X x 2 + alpha B alpha X alpha ÷ alpha B alpha = alpha B + 1

- Bấm CALL, máy hiện

B ? ta bấm tiếp −9 =
7


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Bấm tiếp dấu " =" cho đến khi

X 2 + BX là số nguyên thì dừng.

2
2
- Ở bài này ta dừng ở B = -3 khi X + BX = 3 . Vậy: x − 3 x − 3 là nhân tử cần tìm.



Ta cũng có thể dùng tính năng table cho nhanh như sau:

- Bấm Mode 7.
2
- Máy hiện f(x) =, ta nhập: A + XA = 3 ( X chạy và A là nghiệm), rồi bấm "=".

- Máy hiện Start?, ta bấm -9= ( bắt đầu).
- Máy hiện End?, ta bấm 9= ( kết thúc).
- Máy hiện Step?, ta bấm 1= ( bước nhảy là 1).
2
Nhìn vào bảng ta thấy luôn X = -3 thì f(x) = 3 vậy: f ( x) = A − 3 A = 3 , suy ra

x 2 − 3 x − 3 là nhân tử cần tìm.
2
2
- Nếu không có giá trị đẹp có thể sửa thành 2 A + XA, 3 A + XA... tuy nhiên không

2
đến nỗi khó thế, nó chỉ dừng ở hệ số của x bằng 1 mà thôi.

* Cách 2: Mò biểu thức để ghép liên hợp.
- Những bài toán như thế này thường ghép liên hợp nhưng vấn đề đặt ra là ghép
với số nào?

 5 x + 4 = ax + b

x + 4 = a'x + b'
- Dạng chính là: 
ta phải đi tìm a, b, a', b'.

- Lưu nghiệm A = 3,79... sang nghiệm X = 3,79...

8


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

5 x + 4-ax khi nào nguyên thì dừng. Ở đây ta tìm được giá trị nguyên

- Thử xem

của biểu thức là 1 tại a = 1, tức a = 1 và b = 1.
- Tương tự, thử xem

x + 4-a'x khi nào nguyên thì dừng. Ở đây ta tìm được giá trị

nguyên của biểu thức là -1 tại a = 1, tức a = 1 và b = -1.

− ( x 2 − 3x − 3)

 5 x + 4 − ( x+1) =
5 x + 4 + ( x+1)


− ( x 2 − 3x − 3)

 x + 4 − ( x-1) =
x + 4 + ( x-1)
- Vậy ta có: 
, thế là định hướng xong.

Bài giải
x≥−
- Điều kiện:

4
5

.

(1.2) ⇔ 3  5 x + 4 − ( x + 1)  + 3  x + 4 − ( x − 1)  + 4 ( x 2 − 3x − 3 ) = 0


3
3
⇒ ( x 2 − 3 x − 3 ) 4 −
−
=0
5
x

+
4
+
x
+
1
x
+
4
+
x
−
1
(
)
(
)


 x 2 − 3x − 3 = 0

⇔
3
g ( x) = 4 −
−

5 x + 4 + ( x + 1)

3
=0

x + 4 + ( x − 1)

- Ta có:

g '( x) =
∀x ≥ −

(

5


1 +
÷+
2
5
x
+
4


5x + 4 + x + 1
3

)

2

(

1


1 +
÷> 0
x
−
1
+
x
+
4


x + 4 + x −1
3

)

2

4
5

9


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

 4

−
;
+∞
÷

 . Mà g(0) = 0 nên g(x) = 0 có nghiệm
Suy ra g(x) luôn đồng biến trên  5

duy nhất x = 0.

- Xét

x 2 − 3x − 3 = 0 ⇔ x =

3 ± 21
2 .

- Thử lại ta có kết luận: Phương trình có hai nghiệm
x2 + 2x − 8
= ( x + 1)
2
Ví dụ 2: Giải phương trình x − 2 x + 3

(

x = 0, x =

x+2 −2

3 + 21
2

)

(1.3)

Hướng dẫn quy trình
- Điều kiện: x ≥ −2 .
- Nhập phương trình vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình
Alpha X x 2 + 2 Alpha X − 8
− ( Alpha X + 1)
Alpha X x 2 − 2 Alpha X + 3

- Bấm

shift solve − 2

(

)

Alpha X + 2 − 2 =
.

. Máy cho ta nghiệm X = 2 .

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:
Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm

shift solve 0

máy báo X = 3.302... .

- Tiếp tục tìm thêm nghiệm:

shift solve 9

máy vẫn báo kết quả X = 3.302... .
10


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Điều đó cho thấy phương trình chỉ có hai nghiệm và có lẽ nghiệm

X = 3.302...

là

một trong hai nghiệm của phương trình bậc hai, còn một nghiệm bị loại. Ta sẽ đi

X = 3.302...

tìm phương trình bậc hai nhận

là nghiệm.

- Ta sẽ biến đổi phương trình thành phương trình hệ quả để tìm thêm được nghiệm

ngoại lai

x2 + 2x − 8
= ( x + 1)
x2 − 2x + 3

(

x+2 −2

)

x2 + 2 x − 8
⇔ 2
+ 2 ( x + 1) = ( x + 1) x + 2
x − 2x + 3
( 2 x − 1) ( x 2 + 2 )
⇔
= ( x + 1) x + 2 (1.4)
x2 − 2 x + 3
⇒ ( 2 x − 1)

2

(x

2

+ 2 ) − ( x + 1)
2

2

(x

2

− 2 x + 3)

2

( x + 2) = 0

(1.5)

- Nhập phương trình (1.5) vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình.
- Bấm
- Bấm

shift solve − 2

. Máy cho ta nghiệm X = −0.302... .

RCL X Shift STO A

( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:
Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm
shift solve 3

- Bấm

máy báo X = 3.302... .

RCL X Shift STO B

( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào B).
11


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Vậy là đã tìm được hai nghiệm lẻ, ta tính tổng và tích của chúng xem có ra số
nguyên hay không bằng cách

- Bấm:

Alpha A + Alpha B =

, máy hiện kết quả

Alpha A× Alpha B =

3

, máy hiện kết quả

- Bấm tiếp:

(Đẹp quá rồi!).

−1

x − 2 ) ( x 2 − 3 x − 1)
(
- Vậy (1.5) sẽ có nhân tử:
.

Bài giải
- Điều kiện: x ≥ −2 .
*Cách 1

x2 + 2x − 8
= ( x + 1)
x2 − 2x + 3
⇔

( 2 x − 1) ( x 2 + 2 )
x2 − 2x + 3

⇒ ( 2 x − 1)

2

(x

2

(

)

x2 + 2 x − 8
x+2 −2 ⇔ 2
+ 2 ( x + 1) = ( x + 1) x + 2
x − 2x + 3

= ( x + 1) x + 2

+ 2 ) − ( x + 1)
2

2

(x

2

(1.4)

− 2 x + 3)

2

( x + 2) = 0

(1.5)

⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − 3x − 1) ( − x 4 − x3 − 3x 2 − x − 7 ) = 0

x = 2

3 ± 13
⇔ x =

2
 4
3
2
 x + x + 3x + x + 7 = 0 (1.6)

12


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Từ (1.4) ta thấy

1

x
≥

2

 −2 ≤ x ≤ − 1

x = 2

1
 x = 3 + 13
x≥
2 .
2 thì (1.6) vô nghiệm, suy ra (1.5) có hai nghiệm 
• Nếu

• Nếu −2 ≤ x ≤ −1
4
3
2
Ta xét hàm số: f ( x) = x + x + 3x + x + 7 trên đoạn [ −2; −1]

f '( x) = 4 x3 + 3x 2 + 6 x + 1
f ''( x) = 12 x 2 + 6 x + 6 > 0, ∀x ∈ ¡

Nên hàm số f'(x) đồng biến trên ¡ . Vì vậy:

−31 = f '(−2) ≤ f '( x) ≤ f '(−1) = −6 ⇒ f '( x) < 0, ∀x ∈ [ −2; −1]

, vậy hàm số f(x)

nghịch biến trên đoạn [ −2; −1] , mà 9 = f (−1) ≤ f ( x) ≤ f (−2) = 25 nên (1.6) vô
nghiệm.
Vậy, trên

[ −2; −1]

phương trình (1.5) vô nghiệm.

x = 2

 x = 3 + 13
2
- Thử lại ta thấy phương trình (1.3) có hai nghiệm 

*Cách 2:

x − 2 ) ( x 2 − 3 x − 1)
(
Nhân liên hợp xuất hiện nhân tử

x2 + 2x − 8
= ( x + 1)
x2 − 2x + 3

(

)

x+2 −2 ⇔

( x − 2 ) ( x + 4 ) = ( x + 1) ( x − 2 )
x2 − 2 x + 3

x+2+2

13

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

x = 2
⇔ x+4
 2
=
 x − 2 x + 3

x +1
x+2+2

(1.6)

( 1.6 ) ⇔ ( x + 4 ) x + 2 = x3 − x 2 − x − 5
⇔ ( x + 4 ) ( x − 1 − x + 2 ) + x3 − 2 x 2 − 4 x − 1 = 0

Ta thấy

x −1+ x + 2 ⇔ x =

(1.7)

3 − 13
2
không là nghiệm của phương trình (1.7) nên:



( x + 4 ) ( x 2 − 3x − 1)
2
=0
( x − 3 x − 1) ( x + 1) +
x −1− x + 2

( 1.7 ) ⇔  x ≥ −2

 x = 3 + 13

2
 x2 − 3x − 1 = 0

x+4
 x + 1 +
= 0 (1.8)
 
x −1− x + 2

⇔  x ≥ −2

 x = 3 + 13

2


2
1.8
⇔
x

+ x + 3 + ( x + 1)
(
)
Ta có:

⇔ ( x + 2)

x+2 =0

2

1 3

x+2 + x+2 − ÷ + =0
2 4

(Vô nghiệm do VT > 0).

Vậy, phương trình (1.3) có hai nghiệm

x = 2

 x = 3 + 13

2

.
14

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Ví dụ 3: Giải bất phương trình

3 ( x 2 − 1) 2 x + 1 < 2 ( x 3 − x 2 )

(1.9)

Hướng dẫn quy trình

- Điều kiện:
-

x≥−

1
2.

(1.9) ⇔ ( x − 1) 3 ( x + 1) 2 x + 1 − 2 x 2  < 0

- Ta sẽ phân tích biểu thức

3 ( x + 1) 2 x + 1 − 2 x 2

bằng cách sử dụng chức năng

Solve của máy tính đề tìm nghiệm của phương trình:

3 ( x + 1) 2 x + 1 − 2 x 2 = 0.

Máy cho ta 2 nghiệm X = 6,464... và X = -0,464..., ta lưu vào 2 biến A và B, tính
tiếp A + B = 6 và A.B = -3 nên 2 nghiệm tìm được chính là nghiệm của phương
2
trình: x − 6 x − 3 = 0 .
2
- Ép nhân tử chung x − 6 x − 3 là xong.

Bài giải

- Điều kiện:

x≥−

1
2.

(1.9) ⇔ ( x − 1) 3( x + 1) 2 x + 1 − 2 x 2  < 0

(

)

⇔ ( x − 1) 3 2 x + 1 x + 1 − 2 2 x + 1 − 2 ( x 2 − 6 x − 3 )  < 0





x2 − 6x − 3

⇔ ( x − 1) 3 2 x + 1
− 2 ( x 2 − 6 x − 3)  < 0
x + 1 + 2 2x + 1



15


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

 − 2 x + 1 − 2 ( x + 1) 
⇔ ( x − 1) ( x 2 − 6 x − 3) 
<0
x
+
1
+
2
2
x
+
1


2
 
1 3
 − 2x + 1 + ÷ − 

2 4
2
⇔ ( x − 1) ( x − 6 x − 3)  
<0
 x + 1 + 2 2x + 1 





⇔ ( x − 1) ( x 2 − 6 x − 3) > 0

(

) (

⇔ x ∈ 3 − 2 3;1 ∪ 3 + 2 3; +∞

Vây, bất phương trình có tập nghiệm:


)

(

) (

S = 3 − 2 3;1 ∪ 3 + 2 3; +∞

).

Bài tập vận dụng

Giải các phương trình, bất phương trình sau
2
2
1. ( x + 1) x − 2 x + 3 = x + 1.

2
2
2. ( 3x + 1) x + 3 = 3 x + 2 x + 3 .

2
2
3 2
3. 3 x + x + 8 − 2 = x + 15 .

4.

2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x > 2 3 .

2
2
5. ( x − 1) x − 2 x + 5 − 4 x x + 1 ≥ 2 ( x + 1)

16


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

2. Sử dụng máy tính Casio khi giải hệ phương trình

2.1.Dạng 1: Các mối quan hệ được rút ra từ một phương trình
2
2
 x + xy + y = 7 (2.1)
 2
2
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau  x − xy − 2 y = − x + 2 y (2.2)

Hướng dẫn quy trình
Cách 1:
* Nhận xét chung:
- Hệ gồm 2 phương trình hai ẩn, điều đặc biệt là ở chỗ phương trình (2.2) biến đổi
được còn phương trình (2.1) không có gì để biến đổi (Nhìn là có thể nhận biết
được ngay điều này).
- Vậy, ý tưởng chung là: từ phương trình số (2.2) biến đổi đưa về mối quan hệ của
x, y rồi thế vào phương trình (2.1).
- Tuy nhiên, biến đổi phương trình (2.2) như thế nào? Đa số học sinh thường bằng
giác quan: nhóm nhóm, tách tách... tìm đủ mọi cách để phân tích thành nhân tử rồi
đến một lúc nó sẽ ra.
- Để không phải loay hoay, mất thời gian tôi sẽ đưa ra phương pháp để lấy căn cứ
biến đổi như sau:
*Sử dụng tính năng của Solve:

17


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình

và hệ phương trình đại số
2
2
+ Nhập nguyên phương trình (2): X − XY − 2Y = − X + 2Y bằng cách nhập trên

máy tính:

Alpha X x 2 − Alpha X AlphaY − 2 AlphaY x 2 = − Alpha X + 2 AlphaY

(2.3)

Lưu ý:
•

" Alpha X , AlphaY " gọi là biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định X
là biến và Y là tham số.

•

Dấu "=" trong (2.3) là dấu "=" màu đỏ

+ Sau đó bấm phím:

Shift Slove

( Alpha = ) trên bàn phím.

.

+ Máy hiện Y ? : Máy hỏi giá trị ban đầu của Y là mấy để tìm X.

+ Khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0 = .
+ Máy tính hỏi:

Slove for X

thì bấm = .
X=

+ Máy sẽ sử lí mất vài giây và màn hình cho kết quả:

−R=

0
0

.

Giải thích:
•

Khi Y = 0 thì X = 0( có thể ra nghiệm X = -1, không ảnh hưởng đến thuật
toán).

•

Sai số của nghiệm là: 0.

+ Tiếp theo ấn mũi tên sang trái để quay trở lại phương trình và khởi tạo lại cho Y
= 1 thì được X = 2... cứ như vậy tới y = 5 thì được x = -6 và ta bẳng giá trị sau:
18

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Y

0

1

2

3

4

5

X

0 hoặc -1

2 hoặc -2

-3

-4

-5

-6

(Bảng 1)
+ Vậy là, từ bảng trên ta có quy luật: x + y + 1 = 0 ( Ưu thế của máy tính dừng ở
đây, viết ra thì dài nhưng thực hành thì rất nhanh, tiết kiệm thời gian và định hướng
rất rõ ràng).
+ Việc tiếp theo đã rõ: Biến đổi (2) để xuất hiện nhân tử: " x + y + 1"
x 2 − xy − 2 y 2 = − x + 2 y ⇔ x 2 − xy − 2 y 2 + x − 2 y = 0
⇔ x( x + y + 1) − 2 y ( x + y + 1) = 0 ⇔ ( x + y + 1)( x − 2 y ) = 0
 x = −( y + 1)
⇔
x = 2 y

Vậy là nghiệm vừa rồi bị nhiễu tại Y = 0 và Y = 1 là do: " x = 2 y " .
+ Việc còn lại là thế vào phương trình (1):
•

Khi x = −( y + 1) :.....

•

Khi x = 2 y :

4 y 2 + 2 y 2 + y 2 = 7 ⇔ y = ±1

Cách 2: Cách này tuy phức tạp hơn nhưng kiểm soát được toàn bộ nghiệm.
*Với Y = 0 ta được một nghiệm X = 0 .
*Để xem phương trình còn nghiệm khác hay không, chúng ta sẽ làm như sau:
+ Ấn mũi tên sang ngang để sửa phương trình thành:

(X

2

− XY − 2Y 2 + X − 2Y ) : ( X − 0 )
19


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

+ Phương trình này để bỏ nghiệm vừa tìm và tìm thêm nghiệm mới
+ Sau đó bấm lại như từ đầu và tìm được nghiệm ta tìm được X = −1 .

+ Sau đó lại nhập:

X 2 − XY − 2Y 2 + X − 2Y
( X − 0 ) ( X + 1)

.

+ Sau đó lại bấm lại quy trình tìm nghiệm thì máy báo "Can't solve" tức là vô
nghiệm hay phương trình ban đầu đã hết nghiệm. Vậy

Y = 0; X = 0; X = −1

được

Y = 0 , X = 0 , X = −1 .

+ Tiếp theo chúng ta ấn " mũi tên chỉ sang trái" để quay trở về phương trình. Ta lại

(X
sửa phương trình thành:

2

− XY − 2Y 2 + X − 2Y )

Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu

.

Y = 1, X = 0 máy lại tính được X = 2 hoặc

X = −2 . Cứ như vậy cho đến khi Y = 5 thì ta được kết quả như sau:

Y

0

1

2

3

4

5

X

0(hoặc -1) 2(hoặc -2) -3(hoặc 4) -4(hoặc 6) -5(hoặc 8) -6(hoặc 10)
(Bảng 2)


Cách này đầy đủ nhưng sẽ mất thời gian chỉnh sửa phương trình nên
trong bài viết này đa phần tác giả sẽ giải theo cách 1.

Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngoài một nghiệm đã tìm được
- Ví dụ khi

Y = 0 lúc đó máy hỏi: "solve for X" thì ta ấn "0 = " máy sẽ tìm được

nghiệm X = 0 , ấn tiếp "− 9 = " thì được nghiệm X = −1 , ấn tiếp "9 = " thì được

20


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

nghiệm X = 0 . Điều đó cho biết máy đã tìm được hai nghiệm X = 0 và X = −1 khi
Y =0.

- Trong bảng 1 từ giá trị Y = 2 đến Y = 5 ta thấy nó xuất hiện quy luật:
X + Y + 1 = 0 ( Tại Y = 0 và Y = 1 nó không có quy luật đó do có nhân tử gây

nhiễu bởi tính năng "solve" là tính năng dò nghiệm theo công thức Newton nên nó
sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X).
- Bây giờ là việc thêm, bớt để ép phương trình (2) xuất hiện nhân tử : X + Y + 1
x 2 − xy − 2 y 2 = − x + 2 y ⇔ x 2 − xy − 2 y 2 + x − 2 y = 0
⇔ x( x + y + 1) − 2 y ( x + y + 1) = 0 ⇔ ( x + y + 1)( x − 2 y ) = 0
Bài giải
x 2 − xy − 2 y 2 = − x + 2 y ⇔ x 2 − xy − 2 y 2 + x − 2 y = 0
⇔ x( x + y + 1) − 2 y ( x + y + 1) = 0 ⇔ ( x + y + 1)( x − 2 y ) = 0
x + y +1 = 0
⇔
x − 2y = 0

•

•

Với x = − y − 1 :

Với x = 2 y :

 y = −3 ⇒ x = 2
 y = 2 ⇒ x = −3

( 1.1) ⇔ y 2 + y − 6 = 0 ⇔ 

 y =1⇒ x = 2
 y = −1 ⇒ x = −2

( 1.1) ⇔ 7 y 2 = 7 ⇔ 

Vậy, hệ phương trình có nghiệm:

( x; y ) ∈{ ( 2;1) ; ( −2; −1) ; ( 2; −3) ; ( −3;2 ) } .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
( 1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y (2.3)
 2
2 y − 3 x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3 (2.4)
21


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Hướng dẫn quy trình
* Nhận xét chung:
điều kiện của (2.3) là x ≥ y bởi vậy lúc khởi tạo giá trị ban đầu "solve for X" ta
phải nhập giá trị lớn hơn Y, chẳng hạn "9 =". Tại sao lại như vậy? Vì nếu ta cho
Y = 3 mà giá trị ban đầu X = 2 thì máy sẽ có hai kiểu dò nghiệm:

+ Kiểu 1 là: 2 → 2,1 → 2,2 → 2,3 → ...
+ Kiểu 2 là: ... ¬ 1,7 ¬ 1,8 ¬ 1,9 ¬ 2
Nhưng dù có đi theo con đường nào thì

x − y cũng không xác định ngay, do đó

máy dừng dò nghiệm và báo "Can't solve". Do đó phải khởi tạo giá trị ban đầu
của X lớn hơn Y.
- Làm tương tự như ví dụ 1 ta được bảng sau
Y

0

1

2

3

4

5

X

1

2

3

4

5

6

(Bảng 3)
- Từ bảng 3 ta thấy luôn quy luật x − y = 1 hay

x − y = 1 . Vậy ta sẽ đi theo hướng

làm xuất hiện nhân tử x − y − 1 = 0 . Cụ thể:

( 1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y
⇔ ( 1 − y ) x − y + x − 2 − ( x − y − 1)

y =0

⇔ ( 1 − y ) x − y + x − y − 1 + ( y − 1) − ( x − y − 1) y = 0
⇔ (1− y)

(

)

(

)

x − y − 1 + ( x − y − 1) 1 − y = 0
22


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

(

⇔ 1− y

)(

)(

)

x − y − 1  1 + y + x − y + 1 = 0



1 − y = 0

⇔  x − y −1 = 0

 1 + y + x − y + 1 = 0 (VN )


(

+ Với
+ Với

)

1− y = 0 ⇔ y =1

: Thế vào (2.4) ta được x = 3.

x − y − 1 = 0 ⇔ x = y + 1 : Thế vào (2.4) ta được:

2 y 2 − 3 ( y + 1) + 6 y + 1 = 2 1 − y − 1 − y ⇔ 2 y 2 + 3 y − 2 = 1 − y (2.5)
Ở phương trình (2.5) ta thấy vế phải là hàm số nghịch biến và vế trái là hàm số
đồng biến nên phương trình có nhiều nhất là một nghiệm.


•

Ta sẽ sử dụng máy tính để dò nghiệm nào!

Nhập phương trình:

2 alpha X x 2 + 3 alpha X − 2alpha =

1 − alpha X

( Dấu "=" trong khi nhập phương trình là dấu "=" màu đỏ, biến trong phương trình
là "X" chứ không phải "Y" vì máy tính đã mặc định như vậy rồi).
•

Sau đó bấm:

shift solve 0,5 =

( Lưu ý: do

x ∈ [ 0;1]

nên chọn giá trị khởi đầu

phải thỏa mãn điều kiện). Thật không may mắn vì máy tính cho nghiệm rất
lẻ. Không sao, ta hi vọng nó là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
•

Ta sẽ tư duy như thế này nhé: phương trình (5) nếu bình phương hai vế sẽ
được phương trình bậc bốn nên có thể sẽ phân tích được thành:

(x

2

+ Sx + P ) ( x 2 + S ' x + P ' ) = 0

. Do đó nếu ta tìm được một nhân tử là xong.
23


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Ta sẽ làm xuất hiện nhân tử bằng cách sau:

- Nhập phương trình:

- Bấm

2

+ 3 alpha X − 2 ) − ( 1 − alpha X ) =
2

shift solve 0 =

- Sau đó bấm:
Máy báo:

( 2 alpha X x

X = 0,3288...

RCL X Shift STO A

( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

- Tìm tiếp nghiệm thứ 2: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa
mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

( ( 2 alpha X x
Sau đó bấm:
Slove for X

2

)

+ 3 alpha X − 2 ) − ( 1 − alpha X ) ÷ ( alpha X − alpha A )

shift solve

2

. Máy hỏi

A ? 0,3228...

, ta bấm tiếp = thì máy hiện

X = 0,6180...
ta bấm tiếp 0 = máy báo
. ta ấn phím sang trái rồi ấn

= để lưu lại phương trình và bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm
được vào B).

24


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Tìm tiếp nghiệm thứ 3: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa
mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

( ( 2 alpha X x + 3 alpha X − 2)
2

2

− ( 1 − alpha X )

÷ ( alpha X − alpha A ) ( alpha X − alpha B )

Sau đó bấm:

shift solve = = 0 =

)

. Ta được nghiệm

X = −1,61803...

ta ấn phím

RCL X Shift STO C
sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình và bấm
( Lưu

nghiệm X vừa tìm được vào C).
- Tương tự ta tìm tiếp nghiệm thứ 4: Nhấn nút đẩy lên để tìm phương trình đã lưu,
đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

( ( 2 alpha X x + 3alpha X − 2alpha X )
2

2

− ( 1 − alpha X )

)

÷ ( alpha X − alpha A ) ( alpha X − alpha B ) ( alpha X − alphaC )

Sau đó bấm:

shift solve = = = 0 =

. Ta được nghiệm

X = −2,3288...

.

Vậy là ta có bốn nghiệm là: A, B, C, X.
- Ta tính tổng và tích các nghiệm để tìm được phương trình bậc hai với hệ số
nguyên. Sau khi thử ta thấy: BC = −1 và B + C = −1 , vậy theo định lí Viet ta có B,
2
C là nghiệm của phương trình x + x − 1 = 0 .
2
- Vậy ta đưa phương trình (5) về dạng tích có chứa nhân tử x + x − 1 , thế là xong.

Bài giải:
25