VMO2010 deso2

CLB Toán học

ðề số 2
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất ñẳng thức
a+b
b+c
c+a
2
+
+
≥
a + 7b + c b + 7c + a c + 7 a + b 3

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f: R

R thoả mãn các ñiều kiện

i)


 f ( x)
Tập hợp 
| x ∈ R * là hữu hạn;
x



ii)

Với mọi x thuộc R: f(x – 1 – f(x)) = f(x) – x – 1.

Bài 3. Cho ñường tròn tâm O ñường kính AB. Một cát tuyến MN không ñi qua O
và vuông góc với AB. H là hình chiếu của M lên AN và Q là trung ñiểm của MH.
ON cắt (O) tại ñiểm thứ hai P. AQ cắt (O) tại ñiểm thứ hai R. Chứng minh rằng
AB, PR và tiếp tuyến của (O) tại M ñồng quy.
Bài 4. Cho p là số nguyên tố dạng 4k+3. Tính tổng các nghiệm thuộc S = {1, 2, …,
p-1} của phương trình x4 ≡ 4 (mod p).
Bài 5. Trong một n-giác (n ≥ 4) lồi ta kẻ các ñường chéo. Biết rằng không có 3
ñường chéo nào ñồng quy tại một ñiểm.
a) Tính số giao ñiểm của các ñường chéo;
b) Các ñường chéo này chia n-giác lồi thành bao nhiêu miền?