MOCK TEST 2.1

Đề thi tham khảo

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA 2019
Môn Toán. Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi thứ nhất (22/11/2018)
u  2, u1  4 2,
Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức  0
.
un 2  4 2un 1  7un , n  0
a) Chứng minh rằng phương trình u2018  x 4  2019  u2018  x 2  4u2019  x (ẩn x ) có hai nghiệm
thực phân biệt thuộc miền (0;2 2).
b) Tìm tất cả các số thực  sao cho dãy số (vn ) xác định bởi
vn  Cn0un   Cn1un 1   2Cn2un  2     nCnn u0 , n  0

có giới hạn hữu hạn.
Bài 2. (5 điểm) Cho một mảnh giấy hình đa giác đều ( H ) có 12 cạnh. Người ta cắt ( H ) thành
các mảnh giấy nhỏ hơn sao cho tất cả các mảnh thu được đều là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng trong các mảnh giấy đó, luôn tìm được 3 mảnh giấy có hình chữ nhật.
b) Hỏi số lượng mảnh giấy cắt ra được ít nhất là bao nhiêu?
Bài 3. (5 điểm) Với các số thực m, n , giả sử tồn tại hàm số f :    thỏa mãn
f ( x  m  f ( xy ))  f ( x )  n  xf ( y ) với mọi x, y  .

a) Chứng minh rằng nếu f là hàm toàn ánh và f (1)  1 thì phải có m  n .
b) Ứng với m  n  2018 , tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đề bài.
Bài 4. (5 điểm) Trên đường tròn (O ) , cho hai điểm B, C cố định và A thay đổi sao cho tam
giác ABC không cân. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và AI cắt BC ở D.
Đường tròn ( BID ) cắt AB ở E  B và đường tròn (CID ) cắt AC ở F  C. Gọi M , N là giao
điểm của BI , DE và CI , DF . Gọi J là giao điểm của BF , CE và T là trung điểm AJ .
a) Chứng minh rằng đường trung tuyến và đường cao đỉnh I của tam giác IMN luôn đi qua
các điểm cố định khi A thay đổi.
b) Đường tròn qua E , J và tiếp xúc với AJ cắt ET ở P, đường tròn qua F , J và tiếp xúc

với AJ cắt FT ở Q. Phân giác góc APJ , AQJ cắt AJ ở R, S và RB cắt SC ở X , RC cắt
SB ở Y . Chứng minh rằng tâm các đường tròn ( AXY ), ( AMN ), ( APQ ) thẳng hàng.