chuyên đề: Bài 12. Hình vuông (Hình học lớp 8)

MÔN TOÁN
Tên chuyên đề: Bài 12. Hình vuông (Hình học lớp 8)
Đối tượng: Học sinh lớp 8, số tiết dạy 05
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH VUÔNG
I, Lý do chọn chuyên đề:
- Hình vuông là một dạng toán phải sử dụng kiến thức tổng hợp về các tính chất
của tất cả các hình, đặc biệt là sử dụng kiến thức hình thoi và hình vuông.
- Các dạng toán về hình vuông mang tính tổng hợp, liên quan đến nhiều kiến thức
tìm cực trị hình học, tìm điểm cố định, tìm tập hợp điểm…
- Trong thực tế cuộc sống có rất nhiều ứng dụng của hình vuông được sử dụng như
những viên gạch lát nền nhà, trang trí các hoạ tiết trên đồ may mặc…
- Các kiến thức về hình vuông mang tính tổng hợp về tứ giác, nó rất quan trọng và
cần thiết để giải quyết các bài tập chương I.
- Từ các lý do trên mà tôi viết chuyên đề hình vuông để dạy và đáp ứng được các
yêu cầu trên.
- Bài giảng thực hiện trong 05 tiết.
II, Nội dung chuyên đề
1. Kiến thức:
- HS hiểu được:
+ Định nghĩa và tính chất của hình vuông.
+ Các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình vuông.
+ Biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết được các bài toán liên
quan đế hình vuông.
+ Biết áp dụng các kiến thức của vào thực tiễn cuộc sống.
2. Kỹ năng:
- Quan sát: Hiện tượng thực tế, hình ảnh về hình vuông trong thực tế cuộc sống.
-Quan sát các hình tứ giác đã học, từ đó rút ra được các tính chất của hình vuông.
- Hiểu được lý do tại sao các viên gạch lát nền nhà lại có hình vuông.

1

MÔN TOÁN
3. Thái độ:
- Có tinh thần đoàn kết, tích cực, chủ động, giáo dục long say mê môn học.
- Biết sử dụng có hiệu quả các tính chất của hình vuông.
- Giáo dục HS có ý thức học tập và quan sát thực tế cuộc sống.
4. Định hướng hình thành và phát triển năng lực:
- Năng lực tự học, năng lực hợp tác, năng lực hoạt động nhóm
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ hình học
- Năng lực tính toán.
- Năng lực giải quyết vấn đề thông qua bài học.
- Năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cuộc sống.
B. Chuẩn bi:
1. Giáo viên:
- Các phiếu học tập, video, bảng phụ, máy chiếu.
- Các dạng bài tập vận dụng và nâng cao.
2. Học sinh:
- Ôn lại kiến thức cũ: Tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
- Chuẩn bị bài mới theo SGK và sách tham khảo.
C. Chuỗi các hoạt động học.
1. GIỚI THIỆU CHUNG.
- Ở hoạt động trải nghiệm kết nối: Khai thác kiến thức thực tế của hình vuông để
tạo hứng thú học tập cho HS.
- Ở hoạt động hình thành kiến thức: Sử dụng các kỹ thuật dạy học mới và quan sát
hình ảnh, video để hình thành về kiến thức hình vuông.
- Ở hoạt động luyện tập: Gồm 04 câu hỏi nhằm củng cố khắc sâu kiến thức trọng
tâm trong bài.- Ở hoạt động vận dụng tìm tòi, được thiết kế cho các nhóm HS tìm
hiểu tại nhà giúp cho HS phát triển năng lực, vận dụng kiến thức hình vuông vào
giải quyết các vấn đề thực tiễn và tạo sự kết nối với bài học tiếp theo.

2


MÔN TOÁN
2. KẾ HOẠCH DẠY HỌC.
BÀI SOẠN: HÌNH VUÔNG ( Tiết 1)
A. Hoạt động khởi động:
1.Mục đích:
- Tạo sự tò mò gây hứng thú cho học sinh về các hình ảnh trong thực tế về hình
vuông, tính chất hình vuông và các dấu hiệu nhận biết hình vuông.
- Hình dung được những đối tượng sẽ nghiên cứu áp dụng các dạng toán về hình
vuông.
2. Nội dung:
- Giáo viên chiếu cho học sinh xem truyền thuyết “ Bánh chưng bánh giầy” và một
số hình ảnh về hình vuông.

3


MÔN TOÁN

- Giáo viên kiểm tra bài tập về nhà của học sinh, cho học sinh thấy tính đặc biệt
của hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau và hình thoi khi có hai đường chéo
bằng nhau.
3. Cách thức:
- Cho hoạt động nhóm: HS trình bày bài tập theo nhóm.
- Hoạt động cá nhân: GV chiếu hình ảnh, nêu câu hỏi. HS quan sát hình ảnh và trả
lời câu hỏi
GV: Hỏi HS, đưa ra bảng kiến thức về các hình đã học hình thang, hình bình hành,
hình chữ nhật và hình thoi.

HS nêu câu trả lời.
Câu hỏi : Trong các hình sau, hình nào là hình chữ nhật, hình nào là hình thoi.
GV chiếu tình huống, tạo vấn đề. HS nghe đặt câu hỏi.

4


MÔN TOÁN

C
D
E

M

N

FQ

P

E

FA

B

H

GD

C

GV yêu cầu học sinh trình bày kết quả; HS trình bày theo nhóm
4. Sản Phẩm
- HS nhớ lại được các định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình
chữ nhật, hình thoi.
- HS đặt ra câu hỏi : Tại sao các viên gạch lát nền nhà lại có hình vuông mà ít khi
thấy chúng là hình chữ nhật?.
- HS nhận thấy có một số hình ảnh một hình có cả các tính chất của hình chữ nhật
và hình thoi.
B. Hoạt động hình thành kiến thức:
1. Mục đích:
- Hiểu được định nghĩa hình vuông, tính chất hình vuông và dấu hiệu nhận biết tứ
giác là hình vuông.
- Biết cách vẽ hình vuông bằng thước và com pa

5


MÔN TOÁN
- Biết cách chứng minh một tứ giác là hình vuông và các bài toán bằng tiếng Anh,
vị trí của điểm để hình vuông có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Nội dung:
- Giáo viên đưa ra nhiệm vụ và các câu hỏi dẫn dắt
- Học sinh thực hiện các nhiệm vụ do giáo viên yêu cầu, liên tưởng được thực tế
- Học sinh biết định nghĩa hình vuông, tính chất hình vuông và dấu hiệu nhận biết
tứ giác là hình vuông.
3. Cách thức:
- GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động: Làm việc theo nhóm (4 nhóm), mỗi nhóm 5

học sinh.
- HS thực hiện hoạt động, báo cáo kết quả theo nhóm (một nhóm báo cáo, các
nhóm khác tự kiểm tra kết quả)
Hoạt động 1: Định nghĩa hình vuông?
HS quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:

A

B

D

C

Câu hỏi 1. So sánh các cạnh của tứ giác ABCD.
HS: Đứng tại chỗ trả lời.
GV: Nhận xét đánh giá, chốt kiến thức.
Câu hỏi 2: So sánh các góc của tứ giác ABCD.
HS: Đứng tại chỗ trả lời.
GV: Nhận xét đánh giá, chốt kiến thức và nêu định nghĩa hình vuông.
Hoạt động 2: Tính chất
- Tìm hiểu đưa ra các tính chất của hình vuông.
6


MÔN TOÁN
Câu hỏi 3: Nêu các các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi?
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
HS: Đứng tại chỗ trả lời, GV nhận xét và chốt kiến thức
Hoạt động 3: Dấu hiệu nhận biết

Câu hỏi 4:
Để hình chữ nhật trở thành hình vuông ta cần thêm điều kiện gì?
GV: Yêu cầu HS trả lời câu hỏi trên.
HS: Hoạt động theo nhóm và trả lời các câu hỏi trên.
GV: Nhận xét, chốt lại kiến thức về các điều kiện để hình chữ nhật trở thành hình
vuông.
Câu hỏi 5:
Để hình thoi trở thành hình vuông ta cần thêm điều kiện gì?
GV: Yêu cầu HS đứng tại chỗ trả lời câu hỏi trên.
HS: Hoạt động cá nhân và trả lời các câu hỏi trên.
GV: Nhận xét, chốt lại kiến thức về các điều kiện để hình thoi trở thành hình
vuông.
Câu hỏi 6: Trả lời ?2 trong sách giáo khoa.
Tìm các hình vuông trong các hình sau:

a,

b,

7


MÔN TOÁN

c,

d,

Nhận xét: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình
vuông

4. Sản phẩm:
- HS biết được định nghĩa hình vuông, các tính chất của hình vuông và các dấu
hiệu nhận biết hình vuông.
- Áp dụng làm được các bài toán cụ thể và các bài toán ứng dụng trong cuộc sống.
-HS biết quan sát sơ đồ và hiểu các kiến thức về hình vuông.

8


MÔN TOÁN
C. Hoạt động luyện tập:
1. Mục đích:
- Củng cố lại kiến thức về hình vuông đã học.
- Hình thành và phát triển kỹ năng giải bài tập.
2. Nội dung:
GV: Giao bài tập, HS luyện tập, củng cố kiến thức về hình vuông.
3. Cách thức:
- GV: Yêu cầu HS làm bài tập 81 (SGK- Tr 108)
- HS: Thực hiện hoạt động theo nhóm.
C

B

D

E

A

0

4545
0

F

Xét tứ giác AEDF có , suy ra tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
Mà AD là tia phân giác của . Do đó tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
GV: Nhận xét và chốt lại kiến thức để giải bài tập trên.
4. Sản phẩm:
- Xác định được các tính chất của hình vuông, dấu hiệu nhận biết hình vuông.
- Giải được một số bài tập về hình vuông và các bài toán ứng dụng trong thực tế.
D. Hoạt động vận dụng, tìm tòi mở rộng.
1. Mục đích:

9


MÔN TOÁN
- HS vận dụng kiến thức về hình vuông để giải các bài tập về chứng minh các đặc
tính hình học, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tập hợp điểm, tìm điểm cố
định, hình học tổ hợp, giải bài tập bằng tiếng Anh...
- HS vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề liên quan trong thực tiễn.
2. Nội dung:
- HS giải được các bài tập vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các bài toán về hình vuông
và bài tập bằng tiếng Anh.
- HS biết được các ví dụ thực tế về hình vuông trong cuộc sống hàng ngày
- HS lấy được ví dụ về các bài toán thực tế có liên quan đến hình vuông.
3. Cách thức:
GV: Giới thiệu một số nội dung bài tập vận dụng nâng cao và bài toán tiếng Anh.
Cho học sinh quan sát cách vẽ hình vuông bằng thước và com pa.

4. Sản phẩm:
- HS được các bài tập sau:
Bài 1: Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất?
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức .
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b ( a>0; b>0), a+b=m ( m cố định)
Ta có diện tích hình chữ nhật
Bài 2: Given rectangular ABCD with AB=2AD. Label the midpoint of AB, CD
respectively E, F. Label M for the intersection of AF and DE, N for the intersection
of BF and CE. What figure is quadrilateral EMFN? Why?
News word:
Rectangular: Hình chữ nhật

Midpoint: Trung điểm

Intersection: Giao điểm

Quadrilateral: Tứ giác

10


MÔN TOÁN
A

B

E

N

M

D

C

F

We have, EM//FN, MF//EN, So quadrilateral EMFN is a parallelogram.
, Therefore, quadrilateral EMFN is a square.
Bài tập về nhà:
HS làm các bài tập 83,84,85( SGK- Tr 109) và làm bài tập 1 về tìm GTLN,
giải bài 2 về bài toán bằng tiếng Anh.
HS lấy được ví dụ bài toán liên quan đến hình vuông trong thực tế.

CÁC DẠNG TOÁN TÌM TÒI MỞ RỘNG VỀ HÌNH VUÔNG: ( Tiết 2,3,4,5)
a, Một số dạng toán mở rộng của hình vuông
*Các dạng toán về hình vuông
1, Chứng minh tứ giác là hình vuông:
2, Tính số đo các góc, các cạnh, chu vi, diện tích.
3, Tìm cực trị hình học
4, Chứng minh ba điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy.
5. Chứng minh giá trị của một biểu thức không đổi
6, Tìm tập hợp các điểm:
7, Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định
8, Dạng toán hình học tổ hợp.
*Các ví dụ:
1, Chứng minh tứ giác là hình vuông:

11


MÔN TOÁN
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có . Gọi I, N, J, M lần lượt là trung điểm của AD, AC,
CB, DB. Chứng minh rằng tứ giá INJM là hình vuông.
Giải:

S

A

I
D
M

B

N

J

C

-Ta có tứ giác IMJN có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
-Gọi giao điểm của BA và CD là S thì
-Ta có IM//SB, IN//SC, mà
Vậy MINJ là hình vuông.
2, Tính số đo các góc, các cạnh, chu vi, diện tích.
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy điểm E trên cạnh BC, điểm F trên

cạnh CD sao cho . Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK=BE.
a, Tính số đo của góc KAF.
b, Tính chu vi tam giác CEF.
Giải:
A

B

E

K

D

F

a, Ta có
12

C


MÔN TOÁN
Do , hay
b, Ta có , nên FE=FK=FD+DK=FD+BE
Do đó chu vi tam giác CEF bằng CE+CF+EF=CE+CF+FD+BE=BC+CD=2a.
3, Tìm cực trị hình học
Ví dụ 3: Trong các hình thoi có diện tích bằng , hình nào có chu vi nhỏ nhất?
Giải:
Cách 1: Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có

B
y
A

x

O

C

D

.
Xét tam giác vuông AOB, ta có
Nên . Do đó hình thoi có chu vi nhỏ nhất bằng 40 khi và chỉ khi x=y hay AC+BD,
khi đó ABCD là hình vuông.
Cách 2: Kẻ AH vuông góc với CD. Đặt AD=CD=a, AH=h. Ta có
A

a

D

B

h

H

C

.
Do đó hình thoi ABCD có chu vi nhỏ nhất bằng 40cm khi và chỉ khi AD vuông góc
DC, Khi đó ABCD là hình vuông.
4, Chứng minh ba điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy.

13


MÔN TOÁN
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME
vuông góc với AB, MF vuông góc với AD. Chứng minh rằng ba đường thẳng DE,
BF và CM đồng quy.
A
l

F

Giải:

E

B

M

D

C

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật, suy ra MF=AE và ME=EB.
Do đó các tam giác FMD và EMB là các tam giác vuông cân, suy ra MF=FD và
ME=EB. Do đó AE=FD và AF=EB.
Từ
Từ
Lại có MC=MA=FE. Do đó
Mà
Gọi giao điểm của CM với EF là I, ta có , tức là CM vuông góc EF, từ đó suy ra
BF, DE, CM đồng quy.
5. Chứng minh giá trị của một biểu thức không đổi
Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi d là đường thẳng bất kỳ đi qua
giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Gọi E,F,G,H lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ A,B,C,D đến đường thẳng d. Chứng minh rằng tổng không đổi
khi đường thẳng d quay quanh O.

14


MÔN TOÁN

F

A

B
E
O
G

D

C
H

Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có ( cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra OE=DH hay
Tương tự
Vậy
Vì đường thẳng d quay quanh O nên:
-Nếu d trùng với AC thì AE=CG=0. Khi đó ta có =
-Nếu d trùng với BD thì BF=DH=0. Khi đó ta có =
Như vậy tổng không đổi khi đường thẳng d quay quanh O.
6, Tìm tập hợp các điểm:
Ví dụ 6: Cho đoạn thẳng AB. Lấy M bất kỳ trên đoạn AB cùng phía với đoạn AB.
Vẽ hai hình vuông AMCD và MBEG. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai hình vuông
AMCD và MBEG. Tìm tập hợp các trung điểm của OO’ khi M di động trên AB.

15


MÔN TOÁN
E

G
S
D

C

O'
I

I''

I'

O

A

F

M

H

Giải:

K

B

Gọi I là trung điểm của OO’, kẻ OF, IH, O’K vuông góc với AB.
IH là đường trung bình của hình thang vuông OO’KF, do đó
Mà OF=1/2AM, O’K=1/2MB, do đó
Khoảng cách từ I đến AB không đổi nên I chạy trên đường thẳng song song và
cách AB một khoảng 1/4AB.
-Giới hạn: Khi M trùng A thì O trùng A. Hình vuông MBEG thành hình vuông
cạnh AB, tâm O’ là giao điểm của của AE và BG. Trung điểm I của OO’ là trung

điểm I’’ của AO’( O’ trùng với S là đỉnh tam giác vuông cân SAB). Vậy I chuyển
động trên đoạn I’I’’, là đường trung bình của tam giác SAB.
-Đảo lại:Lấy N trên I’I’’, với I’I’’ là đường trung bình của tam giác SAB, kẻ SN cắt
AB tại M’
Vẽ các hình vuông AM’C’D’ và BM’G’E’ cùng phía đối với đường thẳng AB.
Gọi P, Q là tâm của hai hình vuông này. Ta chứng minh N là trung điểm của PQ
Vì , nên P, Q lần lượt nằm trên SA,SB
Ta có M’P vuông góc AS và M’Q vuông góc BS. Khi đó M’PSQ là hình chữ
nhật, nên SM’ và PQ cắt nhau tại N, trung điểm của mỗi đường. Do đó N là trung
điểm của PQ.
Vậy tập hợp trung điểm I của OO’ là đoạn I’I’’( đường trung bình của tam giác
vuông cân SAB).
7, Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định

16


MÔN TOÁN
Ví dụ 7: Cho góc vuông xOy. Một hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi, còn
các cạnh OA, OC thay đổi nhưng luôn nằm trên các tia Ox, Oy. Chứng minh rằng
đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC luôn đi qua một điểm cố định.
y
D

Q

C

R

B

H

Giải:

O

A

x

P

Gọi chu vi của hình chữ nhật OABC là 2a ( a có độ dài không đổi)
Trên Ox lấy điểm P sao cho OP=a và trên Oy lấy điểm Q sao cho OQ=a.
Dựng hình vuông OQRP, đường thẳng AB cắt QR tại D.
Kẻ BH vuông góc AC. Xét hai tam giác vuông ABC và RDB có:
DR=AB, CB=DB nên
Mà , suy ra H,B,R thẳng hàng, tức là HB đi qua điểm cố định R.
8, Dạng toán hình học tổ hợp.
Ví dụ 8: Cho một hình vuông và 9 đường thẳng, trong đó cứ mỗi đường thẳng đều
chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là . Chứng minh rằng trong số 9
đường thẳng đó có ít nhất ba đường thẳng đồng qui tại một điểm.

17


MÔN TOÁN
P

E
C

B

Y
M

X

A

Giải:

T

F

N

Z

Q

D

Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác phải cắt hai cạnh đối diện của
hình vuông. Gọi M,N,E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD.
Giả sử d cắt BC tại P và cắt AD tại Q, d cắt MN tại X với

. Suy ra
Do đó d đi qua điểm X cố định.
Tương tự các đường thẳng khác đi qua 1 trong 4 điểm X,Y,Z,T thoả mãn
.
Có 4 điểm và có 9 đường thẳng đi qua trong 4 điểm đó, nên theo nguyên tắc Đirich-lê, có ít nhất 3 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm.
b, Một số bài tập tổng hợp.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A bằng 60 0. Gọi E, F
theo thứ tự là trung đIểm của BC và AD.
a) Tứ giác ECDF là hình gì?
b) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?
c) Tính số đo của góc AED.
Bài 2: Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Gọi H là điểm
đối xứng của N qua M.
a) Chứng minh tứ giác BNCH và ABHN là hình bình hành.
b) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác BCNH là hình chữ nhật.
Câu 3: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường
thẳng qua B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD,
hai đường thẳng đó cắt nhau ở K.
18


MÔN TOÁN
a) Chứng minh tứ giác OBKC là hình chữ nhật
b) Chứng minh AB = OK
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông?
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo (không vuông
góc), I và K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là
điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K.
a) Chứng minh rằng tứ giác BMND là hình bình hành.
b) Với điều kiện nào của hai đường chéo AC và BD thì tứ giác BMND là

hình chữ nhật.
c) Chứng minh 3 điểm M, C, N thẳng hàng.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Đường chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành.
b) Chứng minh AP = PQ = QC.
c) Gọi R là trung điểm của BP. Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình
hành.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b) hãy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ
Bài 7: Cho ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Qua B kẻ đường
thẳng Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ đường thẳng Cy vuông góc với AC. Hai
đường thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D.
a) Chứng minh tứ giác BDCE là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M cũng là trung điểm của
ED.
c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì DE đi qua A
Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), E là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tam giác EDC cân
19


MÔN TOÁN
b) Gọi I,K,M theo thứ tự là trung điểm của BC, CD, DA. Tứ giác EIKM là
hình gì? Vì sao?
c) Tính S ABCD, SEIKM biết EK = 4cm, IM = 6cm.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và

CD.
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh 3 đường thẳng AC, BD, EF đồng qui.
c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh
tứ giác EMFN là hình bình hành.
d) Tính SEMFN khi biết AC = a, BC= b, AC  BD
Bài 10: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) và CD = 2AB. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và AD.
a)

Chứng minh tứ giác ABCN là hình bình hành ?

b/ Gọi O là giao điểm của AC và BN. Chứng minh ba điểm P, O, M thẳng
hàng.
c) Chứng minh: PO = 2OM
Bài 11: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường
thẳng qua B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD,
hai đường thẳng đó cắt nhau ở K
a) Chứng minh tứ giác OBKC là hình chữ nhật
b) Chứng minh AB = OK
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông?
Bài 12. Cho tam giác ABC có M là điểm nằm giữa B và C . Qua M kẻ các đường
thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự tại P và
Q. Gọi N là trung điểm của cạnh PQ .
a. Chứng minh tứ giác APMQ là hình bình hành .
b. Chứng minh ba điểm A ,N , M thẳng hàng . Khi M di chuyển trên cạnh BC
thì N di chuyển trên đường nào
c. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác APMQ là hình thoi
0
Bài 13. Cho hình bình hành ABCD có 2AB = BC = 2a, Bˆ 60 .Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AD và BC.
a. Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao?
20


MÔN TOÁN
b. Chứng minh rằng: AN  ND ; AC = ND
c. Tính diện tích của tứ giác AMNB và tam giác AND theo a
0
�
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC  60 . Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AB (chứa điểm C) kẻ tia Ax // BC. Trên Ax lấy điểm D sao cho AD =
DC.
a. Tính các góc BAD; ADC
b. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
c. Gọi M là trung điểm của BC. Tứ giác ADMB là hình gì? Tại sao?
d. So sánh diện tích của tứ giác AMCD với diện tích tam giác ABC
Bài 15. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Qua B kẻ Bx vuông góc với BA, qua
C kẻ Cy vuông góc với CA. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy, N là giao điểm của
AH và BC.
a. Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành;
b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh H và D đối xứng nhau qua M.
c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để ba điểm A, D, H thẳng hàng;
d. Giả sử H là trung điểm của AN. Chứng minh rằng SABC = SBDCH
Bài 16. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CD và DA . Hai đường chéo AC và BD thỏa mãn điều kiện gì thì :
a. Tứ giác MNEF là hình vuông .
b. Khi AC = 4 cm . Tính chu vi và diện tích hình vuông MNEF.
Bài 17. Cho tứ giác ABCD . Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau . Gọi
M,N, P, Q lần lược là trung điểm các cạnh AB ;BC; CD ;DA .

a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b. b. Cho AC = 4cm , BD = 8cm . Tính SABCD = ?
c. Để MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì ?
Bài 18: ( Đề thi học sinh giỏi huyện Yên Lạc năm học 2013-2014)
a, Cho hình thang vuông ABCD có và DC=2AB, H là hình chiếu của D trên
đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC. Chứng minh rằng BM vuông
góc với MD.
b, Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kỳ qua G cắt các
cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Bài 19: ( Đề thi học sinh giỏi huyện Yên Lạc năm học 2014-2015)

21

AB 2 AC 2

AM 2 AN 2


MÔN TOÁN
a, Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M
và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tính số đo của góc BMK.
b, Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH
lấy điểm N sao cho. Chứng minh rằng AM=AN.
Bài 20: ( Đề thi HSG Vĩnh Tường 2013-2014)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE  BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di
động trên đoạn thẳng AB.
C

D
I

H

O

HD:

E

A

K

M

F

B

a, Ta có ∆AME = ∆CMB (c-g-c)  EAM = BCM
Mà BCM + MBC = 900  EAM + MBC = 900
 AHB = 900. Vậy AE  BC.
b, Gọi O là giao điểm của AC và BD.

∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
� HO 

1
1
AC  DM
2
2
 ∆DHM vuông tại H  DHM = 900

Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900
Suy ra: DHM + MHF = 1800. Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
22


MÔN TOÁN
c, Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: DMF = 900  MF  DM mà IO  DM  IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
Kẻ IK  AB (KAB)  IK là đường trung bình của hình thang ABFD
� IK 

AD  BF AM  BM AB


2
2
2 (không đổi)

Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.

Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn
thẳng AB.
Bài 21: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Tường 2010-2011)
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao
AM CN

cho MD NB . Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M

kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng: HN // BD.
b) Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF.
B

A
O
E

I

M
G

HD:

D

N

F

K

Q
C

H

DH DM BN


� HN / / BD
a) Theo định lí Ta-let ta có: HC MA NC
(theo định lí Ta-let đảo)

b) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và AC. Ta có:
MG AO BO NQ



� GQ / / MN
GH OC OD QH

Gọi K là giao điểm của HO và GQ. Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ.

23


MÔN TOÁN
Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF.
Bài 22: ( Đề thi học sinh giỏi huyện Nga Sơn,Thanh Hoá 2017-2018)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có
M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là
giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng:
a) DE song song với AC
b) DE =DF; AE =AF.

HD:
BE BQ BQ AB BD




a) Chứng minh được: EN QP MQ AC DC

� DE / / NC hay DE / / A C

DE BD
BD

� DE 
.CN
BC
b) Do DE / / A C nên CN BC
(1)

Tương tự,

DF 

CD

.BM (2)
BC
Từ (1) và (2) suy ra

DE BD CN

.
DF CD BM

BD AB
CN AC
DE


 1� DE  DF
Mà CD AC và BM AB . Nên DF
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ta có D1  DAC  DAB  D2 � ADE  ADF � AE =AF

Bài 23: ( Đề thi HSG toán 8 Hải Dương năm học 2015-1016)
Cho ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH.
a, Tính BC,AH
b, Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. Tính độ dài MN.
c, Chứng minh rằng: AM.AB=AN.AC

24

MÔN TOÁN

HD

a, Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A, ta có BC=10cm
� AH 

AB. AC 6.8

 4,8(cm)
BC
10

Ta lại có: 2SABC=AB.AC=AH.BC
Vậy BC=10cm; AH=4,8cm
b, Vì M là hình chiếu của H trên AB nên HM vuông góc với AB,
Tương tự: , ABC vuông tại A suy ra
Suy ra tứ giác AMHN là hình chữ nhật. Suy ra MN=AH=4,8(cm)
Vậy MN=4,8cm.
c, Gọi D là giao điểm của MN và AH . Vì AMHN là hình chữ nhật nên MD=DH. Suy
ra tam giác MDH cân tại D. Suy ra . Suy ra (cùng phụ với 2 góc bằng nhau).
Mà HM//AC (cùng vuông góc với AB) nên . Suy ra . Suy ra
AMN ∽ ACB ( g.g ) �

AM AN

� AM . AB  AN . AC
AC
AB

Vậy AM.AB=AN.AC (đpcm)

25