Kiem tra chat luong giua ki 1

Sở giáo dục - đào tạo Thái Bình
Trờng THPT Bình Thanh

Đề kiểm tra chất lợng giữa học kì 1 năm 2010 2011
Môn: TOáN 12
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu I (3,0 điểm) : Cho hàm số y = - x
3
3x
2
+ mx + 4, trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho nghịch biến trên .
Câu II (2,0 điểm) : Giải các phơng trình sau:
1.
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
+ =
;
2.
( ) ( )
3 2 . 3 3.2 8.6
x x x x x
+ + =
.
Câu III (2,0 điểm) : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1.
3 2
( ) 2 3 12 1f x x x x
= +

trên đoạn
5
2;
2




;
2.
( ) .
x
f x x e

=
trên nửa khoảng
[
)
0;+
.
Câu IV (2,5 điểm) : Khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AC = a, góc
à
0
30B
=
. Đờng chéo BC của mặt bên (BBCC) tạo với mp(AACC) một góc
30
0
.

1. Chứng minh AB (AACC). Từ đó hãy suy ra góc
ã
0
' 30AC B =
;
2. Tính độ dài đoạn AC ;
3. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Câu V (0,5 điểm) : Cho a, b, c thỏa mãn: a + b +c = 6. Chứng minh rằng:
6 6 6 3 3 3
2( )a b c a b c
+ + + +
------------------------Hết------------------------
Đáp án và biểu điểm chấm toán 12
Câu
Đáp án Điể
m
I
(3,0
điểm)
1. (2,0 điểm): y = - x
3
3x
2
+ mx + 4
Với m= 0, ta có hàm số y = - x
3
3x
2
+ 4.
Tập xác định: D = ..

Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y = -3x
2
6x. Ta có:
2
' 0 ;
0
2
' 0 ;
0
' 0 2 0.
x
y
x
x
y
x
y x
=

=

=

<

<

>

> < <
Do đó:
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( ; 2)
và
( )
0;+
.
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0).
0,5
0,5
Cực trị: Hàm số y đạt cực tiểu tại x = -2 và y
CT
= y(-2) = 0; đạt cực đại tại
x = 0 và y
CĐ
= y(0) = 4.
Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
+
= + =
.
Bảng biến thiên:
x -

-2 0 +

y - 0 + 0 -

y
+

0
4
-


0,25
0,25
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung
tại điểm (0;4), cắt trục
hoành tại điểm (1;0) và
tiếp xúc với trục hoành
tại điểm (-2;0).
0,5
2. (1,0 điểm): y = - x
3
3x
2
+ mx + 4
Hàm số đã cho nghịch biến trên
y = -3x
2
6x + m 0, x (y = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm )
0,5

0
' 0

a <




3m + 9 0 m -3.
Vậy m -3 là các giá trị cần tìm.
0,5
II
(2,0
điểm)
1. (1,0 điểm):
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
+ =
Đặt t = 2
x
, t > 0. Phơng trình đã cho trở thành:

3 2
2 7 7 2 0t t t
+ =
.
2
( 1)(2 5 2) 0t t t
+ =
1
1 2
2

t t t
= = =
..
Với t = 1, ta có: 2
x
= 1 x = 0;
Với t = 2, ta có: 2
x
= 2 x = 1;
Với t =1/2, ta có: 2
x
= 1/2 x = -1;
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 0; 1; -1..
0,25
0,25
0,5
2. (1,0 điểm):
( ) ( )
3 2 . 3 3.2 8.6
x x x x x
+ + =
Pt 9
x
- 4.6
x
+ 3.4
x
= 0;
Chia hai vế phơng trình trên cho 4
x

0,ta đợc:
2
3 3
4. 3 0
2 2
x x

+ =
ữ ữ

.
Đặt
3
, 0
2
x
t t

= >
ữ

. Ta có: t
2
4t + 3 = 0 t = 1 hoặc t = 3 (t/mđk).
Với t = 1, ta có:
3
1
2
x

=
ữ

x = 0;
Với t = 3, ta có:
3
2
3
3 log 3
2
x
x

= =
ữ

;
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 0;
3
2
log 3
..
0,25
0,25
0,5
III
(2,0
điểm)
1. (1,0 điểm):
3 2

( ) 2 3 12 1f x x x x
= +
trên đoạn
5
2;
2




Ta có: f(x) = 6x
2
6x 12, x
5
2;
2


ữ

f(x) = 0
1
2
x
x
=


=

(t/mđk).
f(-2) = -3
f(-1) = 8
f(2) = -19
f(5/2) = -33/2
Vậy:
5
5
2;
2;
2
2
19, max ( ) 8
min ( )
f x
f x








= =

0,5
0,5
2. (1,0 điểm):
( ) .

x
f x x e

=
trên nửa khoảng
[
)
0;+
f(x) = (1 x).e
-x
, x (0;+) f(x) = 0 x = 1 (t/mđk)
f(0) = 0, f(1) = e
-1
..
Vì f(x) đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x = 1 nên f(x) đạt giá trị cực đại
(GTLN) tại x = 1 trên nửa khoảng
[
)
0;+
.
0,5
Mặt khác: f(x) 0 = f(0) , x
[
)
0;+
Vậy:
[
)
[
)

1
0;
0;
0, max ( )
min ( )
f x e
f x

+
+
= =
.
0,5
IV
(2,5
điểm)
Không có hình vẽ (hoặc vẽ hình sai với lời giải) không cho điểm
A
C
B
A'
C'
B'
1.(1,0 điểm):
Ta có:
( ' ')
'
AB AC
AB ACC A
AB AA

.
Suy ra: AC là hình chiếu vuông góc của BC lên mp(ACCA)
Vậy (BC, (ACCA)) = (BC,AC) =
ã
0
' 30AC B =
..
0,5
0,5
2.(0,5 điểm):
Trong tam giác vuông ABC ta có: AB = AC.tan60
0
= a
3

Trong tam giác vuông ABC ta có: AC = AB.cot30
0
= 3a.
0,25
0,25
3.(1,0 điểm):
Trong tam giác vuông ACC ta có: CC
2
= CA

2
AC
2
= 9a
2
a
2
= 8a
2
.
Suy ra: CC = 2
2
a.
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC bằng:
3
1
' . . . 6
2
V C C AB AC a= =
0,5
0,5
V
(0,5
điểm)
Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
2( )a b c a b c
+ + + +
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2.
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với:

4 3 4 3 4 3
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0
( ) ( ) ( ) 0
a a b b c c
f a f b f c
+ +
+ +
Với f(x) = x
4
2x
3
. .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại x = 2 là y = 8x 16,
Ta sẽ chứng minh: f(x) 8x 16, x
x
4
2x
3
8x + 16 = (x 2)
2
(x
2
2x + 4) 0, x
Vậy: f(a) 8a 16, f(b) 8b 16, f(c) 8c 16
Suy ra: f(a) + f(b) + f(c) 8(a + b +c) 48 = 0.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2..
0,25
0,25