Bài tập: Phương trình Vi phân

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
PHẦN 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Phương trình vi phân có biến số phân ly
1. y′ cos 2 y − sin y = 0

14. y′ =

1
x + y −1

2. y′ = sin y + cos y
3. x (1 − y ) y′ = −2 y

15. y′ = 4 x + 2 y − 1

dy
4.
= ey +1
dx
5. x (1 + y 2 ) dx + y (1 + x 2 ) dy = 0

17. 2 y y − y 2 dx − (1 + x 2 ) dy = 0

6. y′ =
7. y′ =
8.

16. ( y 2 + xy 2 ) dx + ( x 2 − yx 2 ) dy = 0

18. y′ = x 2 + y − 2 x
19. xydx + ( x + 1) dy = 0

1
1+ x

20. y 2 + 1dx = xydy

x

(1 + x ) +
2

21. (1 + y 2 )( e 2 x dx − e y dy ) − (1 + y ) dy = 0

1 + x2

dy
x2 + 2x −1
=
dx ( x + 1) ( x 2 + 1)

22. y′ =

x
x −1
′
10. y = y 3 + 1
11. y′ = − y 2 − 2 xy − x 2

9. y′ =

23. y′ = x 2 + 2 xy − 1 + y 2

3

12. y′ = ( 4 x + y − 1)

cos y − sin y − 1
cos x − sin x + 1

24. y′ =

1
+1
x− y

2

25. y ′ = 1 +

13. y′ = e x + y − 1

1
y2

26. (xy 2 − y 2 + x − 1)dx + (x 2 y − 2 xy + x 2 + 2 y − 2 x + 2)dy = 0
27. y ′ + 1 =

( x + y )m
( x + y )n + ( x + y ) p

Đặt z = x + y .

28. a (xy ′ + 2 y ) = xyy ′ (biến đổi về x (a − y )y ′ = −2ay )
29. y ′ = y 2 −

2
(Đặt z = xy)
x2

30. Giải phương trình vi phân (y ′ 2 − 1)x 2 y 2 + y ′(x 4 − y 4 ) = 0 (coi là phương trình cấp 2 đối với y’)
Phương trình vi phân thuần nhất
1. xdy − ydx =
2. xy ′ = y − xe

x 2 + y 2 dx

y
x

CuuDuongThanCong.com

⎛
⎝

y⎞

3. xy′ = y cos ⎜ ln ⎟
x
⎠

4. ax 2 + 2bxy + cy 2 + y ′(bx 2 + 2cxy + f y 2 ) = 0

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
18. ( 2 x − 2 y − 1) dx + ( x − y + 1) dy = 0

5. x 2 y ′ 2 − 3xyy ′ + 2 y 2 = 0
6.

(2 x + y + 1)dx − (4 x + 2 y − 3)dy = 0

7.

(xy ′ + y )2 = y 2 y ′ .

19. x ( x + 2 y ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy = 0

20. ( x 2 + y 2 ) dx − xydy = 0

21. ( x 2 + y 2 ) dy + xydx = 0
x+ y
x

8. xyy′ + x 2 − 2 y 2 = 0

22. xy′ − y = ( x + y ) ln

9. (3x 2 + y 2 ) y + ( y 2 − x 2 ) xy′ = 0

dx
dy
=
y+x y−x
dx
dy
24. 2
= 2
2
2 x − 2 xy + 2 y
y − 4 xy

23.

10. xy ′ = y(1 + ln y − ln x ) , y(1) = e
11. y 2 + x 2 y ′ = xyy ′
12. xy′ = y (1 + ln y − ln x ) thỏa mãn y (1) = e
π
y
y
13. y′ = + sin thỏa mãn y (1) =
2
x
x
2
2
14. x y′ + y = xyy′
y⎞
y
⎛

15. ⎜ x − y cos ⎟ dx + x cos dy = 0
x⎠
x
⎝

16. ( x + 2 xy − y ) dx + ( y + 2 xy − x )dy = 0
2

2

2

2

17. ( x + y − 2 ) dx + ( x − y + 4 ) dy = 0

(

)

25. y + xy dx = xdy
26. ( 2 x − 4 y + 6 ) dx + ( x + y − 3) dy = 0
27. ( 2 x + y + 1) dx − ( 4 x + 2 y − 3) dy = 0
28. ( x − y − 1) + ( y − x + 2 ) y′ = 0
29. ( y + 2 ) dx + ( 2 x + y − 4 ) dy = 0
2x + y
x
2
31. ( y − 2 xy ) dx + x 2 dy = 0

30. y′ =

Phương trình vi phân tuyến tính
2
1. xy′ − y = x arctgx

2. (1 + x 2 ) y′ − 2 xy = (1 + x 2 ) 2
3. y ′ + 2xy = xe − x

2

4. x(1 + x 2 )y ′ − (x 2 − 1)y + 2 x = 0
5. y ′ sin x − y = 1 − cos x
6. (sin 2 y + x cot g y )y ′ = 1
7. y ′ + tgy =
8.

(2e

y

x
cos y

)

− x y′ = 1

9. (1 − 2 xy ) y ′ = y ( y − 1)

x − hàm, y − biến

Đặt z = sin y
x − hàm, y − biến
x − hàm, y − biến

10. y ′ + xy = x 3

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
2
3
⎧
⎪y′ − y = 2
11. ⎨
x
x
⎪⎩ y(1) = 1

12. y ′ +

1
= 0 (coi x là hàm của y)
2x − y 2

13. ye y = y ′(y 3 + 2xe y ), với y(0) = -1 (coi x là hàm của y)
14. (x 2 − y )dx + xdy = 0

15. Giải phương trình vi phân 2xy ′ + y =

1
1− x

16. 2x (1 + x )y ′ − (3x + 4 )y + 2x 1 + x = 0
17. xy ′ − y = x 2 sin x
18. Tìm nghiệm riêng của phương trình y ′ cos 2 x + y = tgy thỏa mãn điều kiện y(0)=0.
19. Tìm nghiệm riêng của phương trình y ′ 1 − x 2 + y = arcsin x thỏa mãn điều kiện y(0) =0.
20. xy ′ + y = y 2 ln x
21. 3 y 2 y ′ − ay 3 = x + 1
22. (xy + x 2 y 3 )y ′ = 1

x − hàm, y − biến

23. y ′x 3 sin y = x ′y − 2 y

x − hàm, y − biến

24. (x 2 + y 2 + 1)dx + xydy = 0
25. (x 2 − 1)y ′ sin y + 2 x cos y = 2 x − 2 x 3
26. x(e y − y ′) = 2

Đặt z = cos y

Đặt z = e y

27. y ′ − 1 = e x + 2 y
28. (x 2 + y 2 + 2 x − 2 y )dx + 2( y − 1)dy = 0

Đặt z = y − 1

29. x 2 y ′ = y(x + y ) (biến đổi về dạng y ′ −

1
1
y = 2 y2 )
x
x

30. Tìm nghiệm của phương trình vi phân ydx + 2xdy =

CuuDuongThanCong.com

2y x
dy thỏa mãn điều kiện y(0 ) = π .
cos 2 y

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7

31. (x + 1)(y ′ + y 2 ) = − y

42. y′ cos 2 x + y = tan x

37. y′ + 2 y = x 2
38. ( x + 1) y′ + y = x

2

2
y
x
cos 2 x
2
3
44. y′ − y = 2 thỏa mãn y (1) = 1
x
x
y
+ y2 = 0
45. y′ +
x +1
y 1
46. y′ − =
x y
1
47. 2 xy′ + y =
1− x
2
48. xyy′ − y = x3
49. xyy′ − y 2 = x 4

39. x 2 y′ − xy = y 2
40. x3 y′ − 2 x 2 y + 2 y 2 = 0

y y2
50. y′ − = 2
x x

32. xydy = (y 2 + x )dx

(

43. y′ + y =

)

33. y + xy dx = xdy
34. xy ′ − 2 x 2 y = 4 y
35. 2 x 2 y ′ = y 2 (2 xy ′ − y ) (coi x = x(y))
36. xyy ′ − y 2 = x α (α là tham số)

41. y′ −

y x
=
x y

Phương trình vi phân toàn phần
⎛1
⎝y

1. ⎜⎜ sin

⎛1
x y
y ⎞
y x
x 1 ⎞

− 2 cos + 1⎟⎟dx + ⎜⎜ cos − 2 sin + 2 ⎟⎟dy = 0 .
y x
x ⎠
x y
y y ⎠
⎝x

x
x
⎛
⎞
⎛
x⎞
y ⎟
⎜
2. x + e dx + e y ⎜⎜1 − ⎟⎟dy = 0 .
⎜
⎟
y⎠
⎝
⎝
⎠

)

(

3. 2 x 1 + x 2 − y dx − x 2 − y dy = 0 .
4.

(x

5.

(x cos y − y sin y )dy + (x sin y + y cos y )dx = 0 .

6.

(x

2

4

+ y 2 )( xdy − ydx ) = (a + x )x 4 dx .

ln x − 2 xy 3 )dx + 3x 2 y 2 dy = 0 .

7. y 2 dx + (2xy + 3)dy = 0
8. e x (2 + 2x − y 2 )dx − 2e x ydy = 0
9.

(y

2

)

+1

3

2

(

)

dx + y 2 + 3xy 1 + y 2 dy = 0

10. (y cos 2 x − sin x )dy = y cos x (y sin x + 1)dx
11. (2 x + 3x 2 y )dx = (3y 2 − x 3 )dy

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7

(

)

⎞
⎛ x
x 2 + 1 cos y
=0
+ 2 ⎟⎟dx −
2 sin 2 y
⎠

⎝ sin y

12. ⎜⎜

13. (y + e x sin y )dx + (x + e x cos y )dy = 0
14. (x + sin y )dx + (x cos x + sin y )dy = 0
⎛

15. 3x 2 (1 + ln y )dx = ⎜⎜ 2 y −
⎝

x3 ⎞
⎟dy
y ⎟⎠

16. ( 2 xy + 3) dx + x 2 dy = 0
17. 2 xe y dx − e y ( 2 + 2 y − x 2 ) dy = 0

)

(

18. x 2 + 3xy 1 + x 2 dx + ( x 2 + 1) dy = 0
3/2

19. ( 3x 2 − y 3 ) dx = ( 2 y + 3xy 2 ) dy

y 2 + 1) cos x
(
⎛ y

⎞
+ 2 ⎟ dy −
dx = 0
20. ⎜
2sin 2 x
⎝ sin x
⎠
21. ( x + sin y ) dx + ( x cos y + sin y )dy = 0

⎛

22. ⎜ 2 x −

y3 ⎞
2
⎟ dx = 3 y (1 + ln x ) dy
x ⎠

⎝
23. (1 + y 2 sin 2 x ) dx − 2 y cos 2 xdy = 0

y⎞
⎛ 2
+ 2 x sin 2 y + ⎟ dx + ( 2 x 2 cos 2 y + ln x ) dy = 0
2
x⎠
⎝x
2
25. ( sin y − x cos y ) dx + x cos y ( x sin y + 1)dy = 0

24. ⎜

26. ( 2 xy + e y cos x ) dx + ( x 2 + e y sin x ) dy = 0

27. ( y cos x + 2 x 2 sin x)dx + ( y 2 + sin x ) dy = 0
⎛

28. 3x 2 ( x + ln y ) dx = ⎜ 2 y 2 −
⎝

x3 ⎞
⎟ dy
y⎠

⎛ 2
x⎞
+ 2 y sin 2 x + ⎟ dy = 0
2
y⎠
⎝y
y
⎛y ⎞
⎛
x ⎞
⎜ − 1⎟ dx = ⎜ y + e ⎟ dy
⎝
⎠
⎝x ⎠

29. ( 2 y 2 cos 2 x + ln y ) dx + ⎜

30. e

y

x

Phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, Phương trình Lagrange- Klero
1. x ′y 3 = 1 + y ′ .
2. y = e y′ .y ′ 2 .

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
1

3. y ′ 2 x = e y .
4. y = y ′(1 + y ′ cos y ′) .
5. y = 2 xy ′ + sin y ′ .
6. y =

3
xy ′ + e y′ .
2

7. y = 2 y ′x + y 2 y ′ 3 ( Nhân hai vế với y , Đặt z = y 2 ).
8. x =

y

1
+ 2
y′ y′

( x − hàm, y − biến).

9. xy ′ − y = ln y ′ .
10. 2 y ′ 2 ( y − xy ′) = 1 .
PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
Phương trình vi phân tuyến tính
1. x 2 y ′′ − 2 y = x 3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
y1 = x2
2. Giải phương trình vi phân: x 2 (x + 1)y ′′ = 2 y biết một nghiệm y 1 = 1 +

1
x

3. Giải phương trình vi phân (x 2 + 1)y ′′ − 2 y = 0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức.
4. Giải phương trình vi phân (2x + 1)y ′′ + (2 x − 1)y ′ − 2 y = x 2 + x biết nó có hai nghiệm riêng
y1 =

x 2 + 4x − 1
2

y2 =

x2 +1
2
2

αx
5. Xác định hằng số α sao cho y = e
là nghiệm riêng của phương trình vi phân

(

)

y ′′ + 4xy ′ + 4 x 2 + 2 y = 0 . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.

6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3x 2 + 1)xy ′′ + 2 y ′ − 6 xy = 4 − 12 x 2 biết rằng nó
có hai nghiệm riêng y1 = 2 x, y 2 = (x + 1)2
7. Giải phương trình xy′′ + 2 y′ + xy = cot x biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng y1 =

sin x
x

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7

8. (x 2 + 1)y ′′ − 2 y = 0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức.
9. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = 4 x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x
10. Giải phương trình xy′′ − y ' = x 2
11. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = 2 x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x

x
1
y '−
y = x − 1 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
1− x
1− x
thuần nhất tương ứng là y1 = e x

12. Giải phương trình y′′ +

13. Giải phương trình x 2 ( ln x − 1) y′′ − xy '+ y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y = xα , α là hằng
số.
14. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( 2 x − x 2 ) y′′ + ( x 2 − 2 ) y '+ 2 (1 − x ) y = 0 thỏa mãn
y (1) = 0, y ' (1) = 1 , biết một nghiệm riêng của nó là y = e x

15. Giải phương trình ( 2 x − x 2 ) y′′ + 2 ( x − 1) y '− 2 y = −2 , biết nó có hai nghiệm riêng là y1 = 1, y2 = x
2x
1
, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
y' = 2
x +1
x +1
nhất tương ứng là y1 = 1

16. Giải phương trình y′′ +

2

17. Giải phương trình ( 2 x + 1) y′′ + ( 4 x − 2 ) y '− 8 y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y = eax , α ∈ \
18. Giải phương trình xy′′ − ( x + 1) y '− 2 ( x − 1) y + x 2 = 0 , biết một nghiệm riêng của phương trình

thuần nhất tương ứng có dạng y = eax , α ∈ \
19. Giải phương trình ( x 2 − 1) y′′ − 6 y = 0 biết một nghiệm riêng có dạng đa thức.
1
x
2
21. Giải phương trình ( x + 1) y′′ + 2 xy '− 2 y = 4 x 2 + 2 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi

20. Giải phương trình y′′ − y ' = x

phân thuần nhất tương ứng là y1 = x
22. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = 4 x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng có dạng đa thức.
23. Giải phương trình ( x 2 − 1) y′′ + 4 xy '+ 2 y = 6 x , biết nó có hai nghiệm riêng là
y1 = x, y2 =

x2 + x + 1
x +1

2x
2
y '+ 2
y thỏa mãn
x +1
x +1
y ( 3) = 22, y ' (1005 ) = 2000 , biết một nghiệm riêng của nó là y1 = x

24. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ = −

2

25. Giải phương trình ( x 2 + 1) y′′ − 2 xy '+ 2 y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng đa thức.

26. Giải phương trình y′′ + 4 xy '+ ( 4 x 2 + 2 ) y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y1 = eα x , α ∈ \
2

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
2
cot x
, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
x
x
sin x
nhất tương ứng là y1 =
x
2
28. Giải phương trình y′′ − 4 xy '+ ( 4 x 2 − 1) y = e x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân

27. Giải phương trình y′′ + y '+ y =

2

thuần nhất tương ứng là y1 = e x sin x
29. Giải phương trình xy′′ + 2 y '− xy = e x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
ex
x
2

30. Giải phương trình x y′′ − 2 xy '+ 2 y = x 2 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x

nhất tương ứng là y1 =

31. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = x3 sin x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
thuần nhất tương ứng là y1 = x
32. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = x3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
thuần nhất tương ứng là y1 = x
33. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = x3 ln x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
thuần nhất tương ứng là y1 = x
34. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x
35. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = −8 x 2 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x
36. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x
37. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = x ln x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y1 = x
38. Giải phương trình (1 − x ) y′′ + xy '− y = x 2 − 2 x + 1 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi
phân thuần nhất tương ứng là y1 = e x
39. Giải phương trình (1 − x ) y′′ + xy '− y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y = eα x , α ∈ \

40. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( x 2 + 1) y′′ − 2 xy '+ 2 y = 0 thỏa mãn y x = 2 = 1, y ' x = 2 = −1 , biết
một nghiệm riêng là y1 = x
41. Tìm nghiệm riêng của phương trình y " = −

2x
2
y '+ 2

y thỏa mãn y x =1 = 1, y ' x =1 = −1 , biết
x +1
x +1
2

một nghiệm riêng là y1 = x

42. Giải phương trình (1 + x 2 ) y′′ + 2 xy '− 2 y = x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
thuần nhất tương ứng là y1 = x

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
2x
2
1
, biết một nghiệm riêng của phương trình vi
y '−
y=
2
2
1+ x
1+ x
1 + x2
phân thuần nhất tương ứng là y1 = x
1
44. Giải phương trình (1 + x 2 ) y′′ + 2 xy '− 2 y = , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
x

thuần nhất tương ứng là y1 = x
45. Giải phương trình xy′′ + 2 y '− xy = 1 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất

43. Giải phương trình y′′ +

tương ứng là y1 =

ex
x

2
x
ex
nhất tương ứng là y1 =
x

46. Giải phương trình y′′ + y '− y =

e2 x
, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
x

Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số
1.

y ′′′ − 13 y ′ − 12 y = 0 .

7.

y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 3e 2 x + 2 x 2 .

2.

y ′′′ − 2 y ′′ + 9 y ′ − 18 y = 0 .

8.

y ′′ − y = 2 sin x − 4 cos x .

3.

y (4 ) + y = 0 .

9.

y ′′′ − 2 y ′ + 4 y = e − x cos x .

4.

y (4 ) + 2 y ′′′ + 3 y ′′ + 2 y ′ + y = 0 .

10. y ′′ + n 2 y = sin 3 nx .

5.

y ( 7 ) + 3 y ( 6 ) + 3 y (5 ) + y ( 4 ) = 0 .

11. y ′′ + y = sin x sin 2 x .

6.

y ′′ + y = 4e x .

12. x 2 y ′′ − xy ′ + 2 y = x ln x

t = ln x .

13. (2 x + 1)2 y ′′ − 4(2 x + 1) y ′ + 8 y = −8 x − 4
14. y ′′ +

1
1
y ′ + 2 y = 2 sin (ln x )
x
x

t = ln x .

15. (1 + x )2 y ′′ + (1 + x ) y ′ + y = 4 cos ln(1 + x )
16. y ′′ + 9 y = ln 2 sin

t = ln (2 x + 1) .

t = ln (1 + x ) .

x
2

17. Dùng phép biến đổi hàm y =

z
để giải phương trình vi phân: x 2 y ′′ + 4xy ′ + (x 2 + 2 )y = e x .
x2

18. y ′′ + y ′ = e − x (sin x − cos x ) (Đặt y = e-xz)
19. Giải phương trình y ′′ − (2e x + 1)y ′ + e 2 x y = e 3x bằng đổi biến t = e x

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
20. y ′′ cos x + y ′ sin x − y cos 3 x = 0 đặt t = sinx
21. Giải phương trình vi phân xy ′′ + 2 y ′ − xy = e x bằng phép đổi hàm z = xy.
22. y ′′ + y ′tgx − y cos 2 x = 0 dùng t = sinx
23. Giải phương trình vi phân xy ′′ + 2(1 − x) y ′ + ( x − 2) y = e − x bằng phép đổi hàm z=xy
24. x 2 y ′′ + 2 xy ′ +

y
= 0 bằng phép biến đổi x = 1/t
x2

25. x 2 y ′′ + xy ′ + y = x (biến đổi x = e t )
26. x 2 y ′′ − 4xy ′ + 6 y = 0 (biến đổi x = e t )
27. y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 1 + e −2 x ln x

41. y ′′ + 2 y ′ + y = sin x +

28. y ′′ + y ′ = xe − x
29. y ′′ − 2 y ′ − 3y = xe

4x

+x

42. y ′′ + y =

2

e −x
x

1
sin x

30. y ′′ − 2 y ′ + 5y = x sin 3x

43. y ′′ + y = xe x + 2e − x

31. y ′′ + y ′ = x + e − x

44. y ′′ + y ′ − 2 y = cos x − 3 sin x

32. y ′′ − 2 y ′ + 2 y = x (e x + 1)

45. y ′′ − 2 y ′ = 2 cos 2 x

33. 2 y ′′ + 5y ′ = 29x sin x

46. y ′′ + y = sin x + cos 2 x

34. y ′′ + y =

1
sin x

47.
48.
49.
50.
51.

35. y ′′ − 4 y = (2 − 4x )e 2 x
36. y ′′ − 2 y ′ + y =

ex
+ cos x
x

37. y ′′ − 2 y ′ + y = 1 +

y′′ − 3 y′ + 2 y = 3e2 x + 2 x 2
y′′ − y = 2sin x − 4 cos x
y′′ + n 2 y = sin 3 nx .
y′′ + y = sin x sin 2 x
x 2 y′′ − xy′ + 2 y = x ln x

52. ( 2 x + 1) y′′ − 4 ( 2 x + 1) y′ + 8 y = −8 x − 4
2

1
1
y = 2sin ( ln x )
x
x2
2
54. (1 + x ) y′′ + (1 + x ) y′ + y = 4 cos ln (1 + x )

ex
x

53. y′′ + y′ +

38. y ′′ − 4 y ′ + 5y = e 2 x + cos x

55. x 2 y′′ + 4 xy′ + ( x 2 + 2 ) y = e x

39. y ′′ − 4 y ′ + 8y = e 2 x + sin 2x

56. x 2 y′′ + xy′ − 4 y = x 2 ln x
57. y′′ + y′ = e− x ( sin x − cos x )

40. y′′ − 3 y′ + 2 y = 2e2 x − 5 + e x cos

x
2

58. y′′ − ( 2e x + 1) y′ + e2 x y = e3 x

59. y′′ + y′ = x + e − x

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
60. y′′ − 2 y′ + 2 y = x ( e x + 1)

78. y′′ + 2 y′ + y = sin x +

61. y′′ cos x + y′ sin x − y cos3 x = 0
62. 2 y′′ + 5 y′ = 29 x sin x
1
sin x
64. y′′ − 4 y = ( 2 − 4 x ) e2 x

63. y′′ + y =

ex
+ cos x
x
xy′′ + 2 y′ − xy = e x
y′′ + y′tgx − y cos 2 x = 0
y′′ − 2 y′ + 5 y = x sin 3x
xy′′ + 2(1 − x) y′ + ( x − 2) y = e− x
y′′ − 2 y′ − 3 y = xe 4 x + x 2

65. y′′ − 2 y′ + y =
66.
67.

68.
69.
70.

ex
x
2
x y′′ + xy′ + y = x
y′′ + y′ = xe − x
y′′ − 4 y′ + 5 y = e 2 x + cos x
x 2 y′′ − 4 xy′ + 6 y = 0
y′′ + 4 y′ + 4 y = 1 + e −2 x ln x
y′′ − 4 y′ + 8 y = e 2 x + sin 2 x

71. y′′ − 2 y′ + y = 1 +

e− x
x

79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.

y′′ + y = xe x + 2e − x
y′′ + y′ − 2 y = cos x − 3sin x
y′′ − 2 y′ = 2 cos 2 x
y′′ + y = sin x + cos 2 x
y′′ + 4 y = 4 x sin x + 5e2 x
y′′ + y = sin x + e2 x
y′′ − y ' = e 2 x + e x + x
y′′ − 6 y '+ 8 y = e x + e 2 x
y′′ + 2 y '+ 2 y = 2 x − sin x

89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.

y′′ − 4 y '+ 4 y = e2 x cos 2 x
y′′ − y = x cos 2 x
y′′ + y = 4 x sin x
y′′ − 3 y '+ 2 y = 3 x + 5sin 2 x
y′′ − 4 y '+ 4 y = sin x cos 2 x
y′′ − 6 y '+ 9 y = 3x − 8e x
y′′ − 3 y ' = e3 x − 18 x

y′′ − 2 y '+ y = 1 + x + 2 ( 3x 2 − 2 ) e x

72.
73.

74.
75.
76.
77.
96. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ + y '− 2 y = cos x − 3sin x thỏa mãn y ( 0 ) = 1, y ' ( 0 ) = 2
97. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ + y = x cos x thỏa mãn y ( 0 ) = 0, y ' ( 0 ) =

3
4

Phương trình vi phân cấp cao chưa giải ra đối với đạo hàm
98. y ′′′ 2 + x 2 = 1 Đặt y ′′′ = cos ϕ ; x = sin ϕ .
99. Tìm nghiệm của phương trình: y ′′ 2 = 4( y ′ − 1) thoả mãn các điều kiện ban đầu:
a) y = 0 , y ′ = 2 khi x = 0 .
b) y = 0 , y ′ = 1 khi

x = 0.

101.

(1 + x )y ′′ + y ′ + 1 = 0
y ′(1 + y ′ ) = ay ′′ .

102.

y′′′ (1 + y′2 ) − 3 y′y′′2 = 0 ⇒

100.

2

2

103.

yy ′′ − y ′ 2 =

2

CuuDuongThanCong.com

yy ′
1+ x2

đặt y ′ = yz .
y′′′ 3 y′y′′
=
y′′ 1 + y′2

104.

yy ′′ = y ′ 2 .

105.

yy ′′′ = y ′y ′′ .

/>
dạng thuần nhất,

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
1
1
y′ + 2 y = 1
x
x

113.

(x + 1)y ′′ + x (y′)2 = y ′

⎛ y⎞
⇒ d ( y′ − x) − d ⎜ ⎟ = 0
⎝ x⎠

114.

y ′′ cos y + (y ′) sin y = y ′

106.

107.

y ′′ −

y ′′y + 2 y 2 y ′ 2 + y ′ 2 =

115.
2 yy ′

chia hai vế
x

cho yy ′ .

2

y y ′′ = y ′

116.

xy ′′ = y ′ + x 2 (Đặt y’ = p)

117.

y ′ 2 + yy ′′ = yy ′

108.

y ′′ = y ′e y

118.

xy ′′ = y ′ + x

109.

y ′′(1 + y ) = y ′ 2 + y ′ (Đặt y’ = p(y) )

119.

xy ′′ = 2 yy ′ − y ′ (Đặt z = xy’)

110.

yy ′′ + y ′ 2 = 1 (Đặt y’ = p(y) )

120.

111.

y ′′ = e 2 y thỏa mãn y(0 ) = y ′(0 ) = 0

⎧ y ′′ = 2 yy ′
⎨
⎩ y(0 ) = 2; y ′(0) = 0

112.

2xy ′y ′′ = y ′ 2 − 1

CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
⎧ dx
⎪ dt = 3x − y
⎨ dy
⎪ = 4y − x
⎩ dt

1.

⎧ dx
⎪ dt = 3x − y
⎨ dy
⎪ = 4y − x
⎩ dt

2.

⎧ dx
⎪ dt = 2 x − y + z
⎪⎪ dy
⎨ = x + 2y − z
⎪ dt
⎪ dz = x − y + 2 z
⎪⎩ dt

⎧ dx
⎪ dt = x − 2 y − z
⎪⎪ dy
6. ⎨ = y − x + z
⎪ dt
⎪ dz = x − z
⎪⎩ dt

3.

⎧ dx
⎪ dt − 5 x − 3 y = 0
⎨ dy
⎪

+ 3x + y = 0
⎩ dt

⎧ dx
⎪ dt = − x + y + z
⎪
⎪ dy
7. ⎨ = x − y + z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = x + y + z
⎩

4.

⎧ dx
⎪ dt = 2 x + y
⎨ dy
⎪ = 4y − x
⎩ dt

CuuDuongThanCong.com

5.

⎧ dx
⎪ dt = x − y + z
⎪
⎪ dy
8. ⎨ = x + y − z

⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 2 x − y
⎩
⎧ dx
⎪ dt = 3 x + 2 z
⎪
⎪ dy
9. ⎨ = y + 2 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 2 x + 2 y + 2 z
⎩
⎧ dx
⎪ dt = 6 x − 12 y − z
⎪
⎪ dy
10. ⎨ = x − 3 y − z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −4 x + 12 y + 3 z
⎩

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
⎧ dx
⎪ dt = 2 x
⎪
⎪ dy

11. ⎨ = −2 x + 3 y − z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 3 x − 2 y + 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 2 x + 3 y
⎪
⎪ dy
17. ⎨ = 3x − 6 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = − x − y + 4 z
⎪
⎪ dy
23. ⎨ = 3 x + 11 y − 12 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −2 x + 2 y + 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 2 x − 2 y
⎪
⎪ dy

12. ⎨ = −2 x + y − 2 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −2 y
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x − 2 y
⎪
⎪ dy
18. ⎨ = −2 x + 3z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 5 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 9 x + 4 y − 11z
⎪
⎪ dy
24. ⎨ = 18 x + 11y − 27 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 13 x + 7 y − 18 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = x + z
⎪
⎪ dy

13. ⎨ = y + z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = x + y
⎩

⎧ dx
⎪ dt = x + y + 4 z
⎪
⎪ dy
19. ⎨ = 2 x − 4 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = − x + y + 5 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 5 x + 4 y − 6 z
⎪
⎪ dy
25. ⎨ = x + 2 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 2 x + 2 y − z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 5 x − 2 y − 2 z
⎪
⎪ dy

14. ⎨ = −2 x + 6 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −2 x + 4 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 7 x − 2 y
⎪
⎪ dy
20. ⎨ = −2 x + 6 y − 2 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −2 y + 5 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x + y + z
⎪
⎪ dy
15. ⎨ = x + 5 y + z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = x + y + 3 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x − 4 y + 2 z
⎪
⎪ dy

21. ⎨ = x − 7 y + 7 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = x − 4 y + 4 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 2 y − z
⎪
⎪ dy
26. ⎨ = x + y + z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 4 x − 4 y + 5 z
⎩
⎧ dx
⎪ dt = −2 y + z
⎪
⎪ dy
27. ⎨ = − x + y + z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −4 x − 4 y + 5 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x + 2 y
⎪
⎪ dy
16. ⎨ = 2 x + 2 y + 2 z

⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 2 y + z
⎩

CuuDuongThanCong.com

⎧ dx
⎪ dt = −3,5 x + 7 y − 2,5 z
⎪
⎪ dy
22. ⎨ = −8 x + 13 y − 4 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −10,5 x + 15 y − 3,5 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = − x + 2 y + 8 z
⎪
⎪ dy
28. ⎨ = −3 x + 4 y + 7 z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 3 z
⎩

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7

⎧ dx
⎪ dt = 5 x − 2 y + 4 z
⎪
⎪ dy
29. ⎨ = 6 x − 2 y − 13z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 3 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = − y + 3 z
⎪
⎪ dy
35. ⎨ = −3 x + 2 y + 3z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = x − y + 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = −5 x + 3 y
⎪
⎪ dy
41. ⎨ = −6 x + 4 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −6 x + 5 y − 3 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 2 x − y + z
⎪
1
3
1
⎪ dy
30. ⎨ = − x + y + z
2
2
2
⎪ dt
1
5
⎪ dz 1
⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 2 x − y + z
⎪
⎪ dy
36. ⎨ = − x + 2 y + z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = x − y + 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x − y

⎪
⎪ dy
42. ⎨ = 2 x
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −8 x + 5 y − z
⎩

3
3
⎧ dx 1
⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z
⎪
⎪ dy
31. ⎨ = − x + z
⎪ dt
1
3
⎪ dz 1
⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x − 2 y + z
⎪
⎪ dy
37. ⎨ = − x + 2 y + z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z

⎩

⎧ dx
⎪ dt = −3 x + 2 y
⎪
⎪ dy
43. ⎨ = −4 x + 3 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 13 x + −8 y + 4 z
⎩

3
3
⎧ dx 1
x
y
z
=
−
+
⎪ dt 2
2
2
⎪
3
1
⎪ dy 1
32. ⎨ = x − y − z
2

2
⎪ dt 2
⎪ dz
⎪ dt = 2 x − 2 y
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x − y
⎪
⎪ dy
38. ⎨ = 2 x
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 7 x − 5 y + 4 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = −3 x + 2 y
⎪
⎪ dy
44. ⎨ = −4 x + 3 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 10 x − 6 y + 3 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x − 4 y − z
⎪
⎪ dy

33. ⎨ = x − 2 y − z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 4 x − 4 y − 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 3 x − y
⎪
⎪ dy
39. ⎨ = 2 x
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = x − 3 y + 3 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = 5 x − 3 y
⎪
⎪ dy
45. ⎨ = 6 x − 4 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −12 x + 7 y − 3 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = −2 x + y + 3 z
⎪
⎪ dy

34. ⎨ = −3x + 2 y + 3z
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = − x + y + 2 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = −5 x + 3 y
⎪
⎪ dy
40. ⎨ = −6 x + 4 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = 12 x − 7 y + 3 z
⎩

⎧ dx
⎪ dt = −4 x + 10 y − 3 z
⎪
⎪ dy
46. ⎨ = −8 x + 11 y
⎪ dt
⎪ dz
⎪ dt = −3 x − 6 y + 12 z
⎩

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7

CuuDuongThanCong.com

/>