ĐỀ THI CHỌN HSG TOAN CẤP TỈNH LỚP 9

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150ph (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4đ)
1. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó chia cho 131 thì còn dư 112 và chia cho
132 thì còn dư 98.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x
2
+ 2xy + 5y
2
= 45.
Câu 2: (5đ)
1. Giải hệ phương trình:
x
2
+ y
2
- 2x - 2y = 6
x + y - xy = 5
2.Cho các số thực dương x, y, z thoả mản x + 2y + 3z = 18. CMR:
2 3 5 3 5 2 5 51
1 1 2 1 3 7
y z z x y x y
x y z
+ + + + + +
+ + ≥
+ + +
. Khi nào xảy ra đẳng thức?
Câu 3: (3đ)
Trong một mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy cho các điểm A(1;2), B(2;4), C(8;3) và (6;0).

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C chia đôi diện tích tứ giác ABCD.
Câu 4: (3đ)
Cho đoạn thẳng AB cố định với AB = a. M là điểm di động trên AB, ta vẽ các đường tròn
tâm A bán kính AM và đường tròn tâm B bán kính BM; gọi PQ là một tiếp tuyến chung
của hai đường tròn. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MPQ theo a.
Câu 5: (5đ)
Cho tam giác ABC với = 60 , = 75 và AB = a.
a. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC theo a.
b. Gọi M, P, Q là các điểm lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB. Tính giá trị nhỏ
nhất của chu vi tam giác MPQ theo a.
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150ph (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4đ)
1. Chứng minh đẳng thức:
a + b + c - 3abc = (a + b + c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b b c c a
 
− + − + −
 
2. Cho x, y, z là các số thực khác 0 thoả mản x + 8y + 27z = 18xyz.
Tính giá trị của
( ) ( ) ( )
2 2 3 3
6
x y y z z x
A

xyz
+ + +
=

Câu 2: (5đ)
1. Cho các số thực x, y thở mản: x + y = 6.
Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: P = x + y
2.Cho các số thực dương a, b, c thoả mản a + b + c = 6. CMR:
5 4 3
6
1 2 3
b c c a a b
a b c
+ + + + + +
+ + ≥
+ + +
. Khi nào xảy ra đẳng thức?
Câu 3: (3đ)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + z + xyz = 20
Câu 4: (3đ)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của BC, M, N lần lượt là các
điểm trên cạnh AB và CD sao cho = 90 . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a.
Câu 5: (5đ)
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. M là điểm di động trên cạnh BC; I, J lần lượt là
hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB, AC.
a. Xác định giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn Ị theo a.
b. Tìm quỷ tích trung điểm N của đoạn thẳng IJ.