D02 PTLG cơ bản (trên khoảng, đoạn) muc do 2

Câu 2:

[1D1-2.2-2] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN)
trình 2sin x  3  0 . Tổng các nghiệm thuộc  0;   của phương trình là:
A.  .

B.


.
3

C.

2
.
3

D.

Cho phương

4
.
3

Lời giải
Chọn A




x   k 2

3

3
.
2sin x  3  0  sin x 
 sin  
2
3
 x  2  k 2

3
 2
 2
 .
Các nghiệm của phương trình trong đoạn  0;   là ;
nên có tổng là 
3 3
3 3
Câu 14: [1D1-2.2-2] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Phương trình
sin 2 x  3cos x  0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng  0;  
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải.
Chọn B
sin 2 x  3cos x  0  2sin x.cos x  3cos x  0  cos x.  2sin x  3  0



cos x  0  x  2  k  k  

sin x   3  loai vì sin x   1;1

2
Theo đề: x   0;    k  0  x 
Câu 8.



2

.

[1D1-2.2-2] (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN)

3 


sin  2 x    sin  x 
 có tổng các nghiệm thuộc khoảng  0;   bằng
4
4 



A.

7
.
2

B.  .

C.

3
.
2

D.

Phương trình


.
4

Lời giải
Chọn B


3

2x   x 

 k 2
 x    k 2


3 


4
4
Ta có sin  2 x    sin  x 

k, l 

 x    l 2


4
4




 2 x    x  l 2
6
3


4 4

.

Họ nghiệm x    k 2 không có nghiệm nào thuộc khoảng  0;   .
x


6

l


2
2
   l 0; 1 .
  0;    0   l
6
3
3

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng  0;   là x 



6
các nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình này bằng  .

và x 

5
. Từ đó suy ra tổng
6

Câu 20.
[1D1-2.2-2] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm số nghiệm của phương
trình sin x  cos 2 x thuộc đoạn  0; 20  .
A. 40 .

B. 30 .

C. 60 .

D. 20 .


Lời giải
Chọn B

1

sin x 

Ta có sin x  cos 2 x  sin x  1  2sin x 
2.

sin x  1


x   k 2

1
6

sin x   
k   .
5

2
x 
 k 2

6

sin x  1  x    k 2  k  
2
Xét x  0; 20  :
2





1
119
, do k  nên .
k
6
12
6
12
5
5
5

115
Với x 
, do k  nên .
 k 2  20    k 
 k 2 , ta có 0 
6
12
6
12
1


41
Với x    k 2 , ta có 0    k 2  20   k  , do k  nên .
4
2
2
4
Vậy phương trình đã cho có 30 nghiệm thuộc đoạn  0; 20  .

Với x 

 k 2 , ta có 0 

 k 2  20  

Câu 35: [1D1-2.2-2] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của
1
phương trình cos x  thuộc đoạn  2 ; 2  là ?
2

A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn A



x   k 2

1
3
Ta có cos x   
, k .
2
 x     k 2

3
Xét x 


3

Xét x  

 k 2 , do x   2 ; 2  và k 


3

nên 2 

 k 2 , do x   2 ; 2  và k 


3

 k 2  2  k  1 ; k  0 .

nên 2  


3

 k 2  2  k  1 ; k  0 .

Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn  2 ; 2  .
Câu 5:

[1D1-2.2-2] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Phương trình
2sin x  1  0 có bao nhiêu nghiệm x   0; 2  ?
A. 2 nghiệm.
Chọn A

B. 1 nghiệm.

C. 4 nghiệm.
Lời giải

D. Vô số nghiệm.




x   k 2

1
6
Ta có: 2sin x  1  0  sin x   
k 
5
2
 x    k 2

6

5
Do x   0; 2  nên ta có x  ; x 
.
6
6

.

Câu 10: [1D1-2.2-2](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Số nghiệm thuộc khoảng

  ;   của phương trình: 2sin x  1 là:
B. 2 .

A. 1 .

D. 4 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn B



 x  6  k 2
1
Ta có: sin x   
.
2
 x  5  k 2

6

5
Mà x    ;    x  ; x 
. Vậy phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề bài.
6
6
Câu 20. [1D1-2.2-2] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm
 5 

của phương trình 2cos x  3 trên đoạn 0;  là
 2 
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn D
2cos x  3  cos x 


3
 x    k 2 , k  .
2
6

 5 
Mà x  0;  và k 
 2 

  11 13 
nên x   ;
;
.
6 
6 6

[1D1-2.2-2] Nghiệm của phương trình sin 2 x – sin x  0 thỏa điều kiện: 0  x  


A. x  .
B. x   .
C. x  0 .
D. x   .
2
2
Lời giải
Chọn A
 x  k
sin x  0
2
sin x – sin x  0  

k  
 x    k 2
sin x  1

2

Vì 0  x   nên nghiệm của phương trình là x  .
2

Câu 2811:

Câu 2812:

[1D1-2.2-2] Nghiệm của phương trình sin 2 x  sin x  0 thỏa điều kiện: 

A. x  0 .

B. x   .

C. x 
Lời giải


3

.

D. x 


2


2

x

.


2

.

Chọn A

 x  k
sin x  0

sin x  sin x  0  
k 
 x     k 2
sin
x


1


2


Vì   x  nên nghiệm của phương trình là x  0 .
2
2



2

[1D1-2.2-2] Nghiệm của phương trình cos2 x – cos x  0 thỏa điều kiện: 0  x   .





A. x  .
B. x  .
C. x  .
D. x   .
6
2
4
2
Lời giải
Chọn A


x

 k
cos x  0
2

cos x – cos x  0  
k  
2

cos
x

1


 x  k 2

Câu 2813:

Vì 0  x   nên nghiệm của phương trình là x 


2

.

[1D1-2.2-2] Nghiệm của phương trình cos2 x  cos x  0 thỏa điều kiện:

Câu 2814:

A. x   .

B. x 


3

C. x 

.

3
.
2


2

x

D. x  

3
.
2

Lời giải
Chọn A



x   k
cos x  0


cos x  cos x  0  
k  
2
cos x  1  x    k 2


3
Vì  x 
nên nghiệm của phương trình là x   .
2

2
2

Câu 30. [1D1-2.2-2] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình:



2sin  2 x    3  0 có mấy nghiệm thuộc khoảng  0;3  .
3

A. 6 .
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải

D. 8 .

Chọn A

 

2 x    k 2

3


3 3

Ta có 2sin  2 x    3  0  2sin  2 x   
3 2

3


 2 x        k 2

3
3






 x  3  k
  4 7  3 5 

, k  . Vì x   0;3  nên x   ; ; ; ; ;  .
3 3 3 2 2 2 
 x    k

2

3
.
2


Câu 10: [1D1-2.2-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Số nghiệm thuộc khoảng   ;   của phương
trình: 2sin x  1 là:
A. 1 .

B. 2 .

D. 4 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn B



x   k 2

1
6
Ta có: sin x   
.
5
2
 x    k 2

6

5
Mà x    ;    x  ; x 
. Vậy phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề bài.
6
6
Câu 40. [1D1-2.2-2] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) .Tổng tất cả các nghiệm của

phương trình 3cos x 1  0 trên đoạn  0; 4  là
A.

15
.
2

17
.
2
Lời giải

B. 6 .

D. 8 .

C.

Chọn D
Ta có: 3cos x 1  0  cos x 
Mà x  0; 4  nên x

; 

 x    k 2
1
( với 

3
 x    k 2

2 ;

2 ; 

Vậy tổng các nghiệm thỏa mãn đề bài là: 
Câu 2883.

[1D1-2.2-2] Phương trình sin 2 x 

A. 1.

B. 3.

0;


2

,k

).

4 .



2



2



4

8 .

1
có số nghiệm thỏa 0  x   là:
2
C. 2.
D. 4.
Lời giải

Chọn C





2x 
 k 2
x
 k


6
1

  
12
Ta có sin 2 x 
 sin 2 x  sin 

, k 

2
 2 x        k 2
 6 
 x  7  k




12
 6 
Với x 


 k ,  k 
12

.

Theo yêu cầu bài toán 0  x    0 
Vậy có một nghiệm x 
Với x 



1
13
 k     k   k  1.
12
12
12

11
thỏa mãn. 1
12

7
 k ,  k 
12

.

Theo yêu cầu bài toán 0  x    0 

7
7
5
 k   
 k   k  0.
12
12
12

.

Vậy có một nghiệm x 

7
thỏa mãn.  2 
12

Từ 1 và  2  ta có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2885. [1D1-2.2-2] Phương trình sin x 
A. x 

5
 k 2 .
6

B. x 

1


có nghiệm thỏa
 x  là:
2
2
2



C. x 

.

6.


3

 k 2 .

D. x 


3

.

Lời giải
Chọn B



x   k 2

1
 
6
Ta có sin x   sin x  sin    
, k 
2
6

 x  5  k 2

6
Với x 


6

 k 2 ,  k 

Theo yêu cầu bài toán

.

.



 


1
1
x 
  k 2  
 k   k  0. Vậy x 
2
2
2
6

2
3
6
6

thỏa mãn. 1
Với x 

5
 k 2 ,  k 
6

Theo yêu cầu bài toán

.



 5

2
1
x 

 k 2  
 k  . Vì k 
2
2
2
6

2
3
6

không có giá trị nào của k. Vậy x 
Từ 1 và  2  ta có x 


6

5


 k 2 không thuộc
 x  .  2
6
2
2

là nghiệm cần tìm.



Câu 2893.[1D1-2.2-2]Số nghiệm của phương trình: sin  x    1 với   x  5 là:
4

A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .

Lời giải
Chọn D
 



sin  x    1  x    k 2  x   k 2 , k 
4 2
4
4


  x  5   
Vì k 



 k 2  5 

4
nên k 1; 2;3 .

3
19
k
8
8

Câu 2902.[1D1-2.2-2]Số nghiệm của phương trình:



2 cos  x    1 với 0  x  2 là:
3


nên


A. 0.

B. 2.

C. 1.
Lời giải

D. 3.

Chọn D
Ta có:


 1





2 cos  x    1  cos  x   
 cos  x    cos

3
3
3
4
2




  
 x  k 2
 x  4  4  k 2

,k  .

 x     k 2


 x     k 2

2

4
4

0  k 2  2
0  k  1
 k  0, k  1

 1


Vì 0  x  2 

5
0    k 2  2
 k
k  1

2
4
4
3
Vậy phương trình có 3 nghiệm 0  x  2 là: x  0, x  2 , x 
.
2
Câu 7:

[1D1-2.2-2] (THPT Lê Hoàn - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của



phương trình sin  x    1 thuộc đoạn  ; 2  là:
4

A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
Lời giải
Chọn D

D. 1 .


 


Ta có sin  x    1  x    k 2  x   k 2 , k  .
4
4 2
4

Suy ra số nghiệm thuộc  ; 2  của phương trình là 1 .
Câu 34: [1D1-2.2-2] (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương
 3

trình 2sin x  1  0 trên đoạn   ;10  là:
 2

A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
D. 21 .
Lời giải
Chọn A


x
 k 2

1

6
Phương trình tương đương: sin x    
, (k )
7

2
x 
 k 2

6
2
61
3


+ Với x    k 2 , k  ta có 
k  , k
   k 2  10 , k  
3
12
2
6
6
 0  k  5 , k  . Do đó phương trình có 6 nghiệm.
3 7
4
7
53

 k 2  10 , k  

k  , k
 k 2 , k  ta có 
+ Với x 
2
6
3
6
12
 1  k  4 , k  . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu

7
2
  k 2 
 k 2  k  k   (vô lí, do k , k   ).
6
6
3
 3

Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn   ;10  .
 2



Câu 4247. [1D1-2.2-2] Số nghiệm của phương trình tan x  tan
A. 1.

B. 2.

C. 3.

3


trên khoảng  ; 2  là?
11
4


D. 4.
Lời Giải.

Chọn B.

3
3
x
 k  k  Z  .
11
11

  3
CASIO
kZ
Do x   ; 2   
 k  2 
0, 027 

 k  0;1.

xapxi
4 11
4


Ta có tan x  tan

Câu 12:

[1D1-2.2-2] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Phương trình
cos3x.tan5x  sin7x nhận những giá trị sau của x làm nghiệm




A. x  .
B. x  10 ; x  .
C. x  5  x  .
D. x  5  x 
2
20
10
10
Lời giải
Chọn D
k
Điều kiện 5 x 
, k  (*)
2
k

Phương trình tương đương cos3x.sin5x-sin7xcos5x=0  sin2x=0  x=
.
2


Ta thấy x  , x 
không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại đáp án A, B,.C.
2
10
Vậy đáp án đúng là.D.



Câu 108. [1D1-2.2-2] Số nghiệm của phương trình: sin  x    1 với   x  5 là:
4

A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn D

 


sin  x    1  x    k 2  x   k 2 , k 
4
4 2
4



3
19
  x  5     k 2  5   k 
4
8
8
Vì k  nên k 1; 2;3 .
Câu 117. [1D1-2.2-2] Số nghiệm của phương trình:
A. 0.

B. 2.



2 cos  x    1 với 0  x  2 là:
3

C. 1.
D. 3.
Lời giải

Chọn D
Ta có:


 1






2 cos  x    1  cos  x   
 cos  x    cos
3
3
3
4
2




  
 x  k 2
 x  4  4  k 2

,k  .

 x     k 2
 x       k 2

2

4
4


0  k 2  2

0  k  1
 k  0, k  1

 1

Vì 0  x  2 

5
0    k 2  2
 k
k  1

2
4
4
3
Vậy phương trình có 3 nghiệm 0  x  2 là: x  0, x  2 , x 
.
2
Câu 30. [1D1-2.2-2] (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần 1 - 2018 - BTN) Số nghiệm chung của hai phương
  3 
trình 4cos2 x  3  0 và 2sin x  1  0 trên khoảng   ;  bằng
 2 2 
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A


1
  3 
Trên khoảng   ;  phương trình 2sin x  1  0  sin x   có hai nghiệm là  và
6
2
 2 2 
7
.
6
Cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình 4cos2 x  3  0 .
Vậy hai phương trình có 2 nghiệm chung.
Câu 22: [1D1-2.2-2] (THPT TRẦN KỲ PHONG - QUẢNG NAM - 2018 - BTN) Giải phương trình
1
sin x.cos x  trên đoạn  ; 2018  ta được số nghiệm là:
2
A. 2016 nghiệm
B. 2017 nghiệm
C. 2018 nghiệm
D. 2019 nghiệm
Lời giải
Chọn B
1

Ta có sin x.cos x   sin 2 x  1  x   k  k   .
2
4
3
8071
 1  k  2017 (Do k là số nguyên).
Khi đó   x  2018   k 

4
4
Vậy trên đoạn  ; 2018  phương trình đã cho có 2017 nghiệm.