D02 tìm hệ số và số hạng trong khai triển muc do 3

Câu 22: [1D2-3.2-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Với n là số nguyên dương thỏa mãn

3Cn31  3 An2  52  n  1 . Trong khai triển biểu thức  x3  2 y 2  , gọi Tk là số hạng mà tổng số
n

mũ của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của Tk là
A. 54912 .

B. 1287 .

Chọn D
Điều kiện : n  2 , n 

*

 n  1 n  n  1  3n
2

D. 41184 .

.

Ta có 3Cn31  3 An2  52  n  1  3.



C. 2574 .
Lời giải

 n  1 !  3 n !  52 n  1
 

3!  n  2  !
 n  2!

 n  1  52  n  1  n2  n  6 n  104

 n  13
 n2  5n  104  0  
 n  13 .
 n  8

x

3

 2 y2  
13

C  x  2 y   C
13

k
13

3 13  k

2 k

13

k

13

2k x 39 3 k y 2 k .

0

0

Ta có : 39  3k  2k  34  k  5 . Vậy hệ số C135 25  41184 .
Câu 29: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Biết rằng hệ số của x 4
trong khai triển nhị thức Newton  2  x  ,  n 
n

B. n  6 .

A. n  5 .

*

 bằng 60 . Tìm n .

C. n  7 .
Lời giải

D. n  8 .

Chọn B
n
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton  2  x  ,  n 

*

 là

Cnk 2nk  1 x k , với k  , 0  k  n , suy ra hệ số của x 4 là Cn4 2n4 . Theo đề bài suy ra
k

Cn4 2n4  60  Cn4 2n  960 * .
Tới đây ta dùng phương pháp thử trực tiếp đáp án và chỉ có n  6 thỏa phương trình * .
Câu 27. [1D2-3.2-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN)

Trong khai triển

40

2

f  x    x  2  , hãy tìm hệ số của x 31 .
x 

A. 79040 .
B. 9880 .

C. 31148 .
Lời giải

D. 71314 .

Chọn A
40

40
2

Ta có f  x    x  2    x  2 x 2  .
x 


k 40  k
k
Số hạng tổng quát của khai triển là C40
x .  2 x 2   C40
 2 x403k .
k

Số mũ của x bằng 31 khi và chỉ khi 40  3k  31  k  3 .
3
3
Vậy hệ số của x 31 là C40
 2  79040 .

k


Câu 26: [1D2-3.2-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Hệ số của x 6 trong khai triển

 2 x  16  x2  x 


4

1
 thành đa thức là
4

1
A. C146 .
2

1
B. C146 .
4

C. C146 .

D. 4C148 .

Lời giải
Chọn B
n

Xét khai triển  2 x  1  1  2 x  
6

6



n

C6k 16k

 2x

k



k 0

4

8

8

1 
1 1
 2

 x  x     x      x 
4 
2 2


6 2

4

1

Vậy  2 x  1  x  x   
4


8



8 j
81
Cj  

2

j 0

8



C6k 2k x k .

k 0

Số hạng của khai triển chứa x 6 khi
Xét bảng :

k k k
6

k 0

n



C 2 x

j 0

xj
n

8 j

C8J

1
 
2

x 
j


k 0

8



C6k 2k .

j 0

8 j

1
C8J  
2

x j k

jk 6

6 2

4

1
3003 1 6
Vậy hệ số x trong khai triển  2 x  1  x  x   thành đa thức là
 C14 .
4
4
4

6

Câu 45. [1D2-3.2-3]

(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1  Cn2  55 , hệ
n

2

số của x trong khai triển của biểu thức  x3  2  bằng
x 

A. 8064 .
B. 3360 .
5

C. 8440 .

Lời giải
Chọn A

Ta có Cn1  Cn2  55  n 

n  n  1
 n  10
 55  n2  n  110  0  
 n  10 .
2
 n  11

D. 6840 .

10

k

10  k  2 
2

Số hạng tổng quát trong khai triển  x3  2  là Tk 1  C10k  x3  .  2   C10k .2k.x305k .
x 

x 
5
Số hạng chứa x ứng với 30  5k  5  k  5 .

10

2

Vậy, hệ số của x trong khai triển của biểu thức  x3  2  bằng C105 .25  8064 .
x 

5

Câu 22: [1D2-3.2-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Hệ số của số hạng chứa x8 trong
n

1

khai triển  3  x5  ;  x  0  biết Cnn41  Cnn3  7  n  3 là
x


A. 1303 .
B. 313 .
C. 495 .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: n 

D. 13129 .

Ta có

 n  4  !   n  3 !  7 n  3


 n  1!3! n!3!
 n  4  n  3 n  2    n  3 n  2  n  1  7 n  3




Cnn41  Cnn3  7  n  3 

6
 3n  36  n  12 .
Xét khai triển
12

6

12
1
1
5 

x

C12k  3 

 3

x

x 
k 0

12

 C x
k 0

k
12

60 11k
2

k

 

x5

12  k

 0  k  12, k  

.

Để số hạng chứa x8 thì

60  11k
8  k  4.
2

Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển trên là C124  495 .
Câu 29: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong khai triển
n

 2 1
3
4 5
 3x   biết hệ số của x là 3 Cn . Giá trị n có thể nhận là
x

A. 9 .
B. 12 .
C. 15 .
Lời giải
Chọn A
n

k

n
n
nk  1 
1

Ta có  3x 2     Cnk  3x 2      Cnk 3n k x 2 n 3k .
x  k 0

 x  k 0
2n  3k  3
n  k  4
k  5

3
4 5
Biết hệ số của x là 3 Cn nên 
.

k

5
n

9


0  k  n,  k , n  N 


Vậy n  9 .

D. 16 .


Câu 26: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x8

 n x
trong khai triển Nhị thức Niu tơn của   
 2x 2 

2n

 x  0  , biết số nguyên dương

n thỏa mãn

Cn3  An2  50 .

A.

297
512

B.

29
51

C.

97
12

D.

279
215

Lời giải

Chọn A
Ta có Cn3  An2  50  n  3, n 



n  n  1 n  2 
6



n  n  1
1



n!
n!


 50
3! n  3!  n  2 !

 50  n3  3n2  4n  300  0  n  6 .

12

 n x
Khi đó khai triển    có số hạng tổng quát C12k 312k.2 k.x2k 12  k  , k  12 
 2x 2 
Hệ số của số hạng chứa x8 ứng với k thỏa 12k 12  8  k  10 .
297
10 2 10
Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là C12
.
.3 .2 
512
Câu 42: [1D2-3.2-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 22018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5n Cn0  5n1 Cn1  5n2 Cn2  ...   1 Cnn  1024 . Tìm
n

hệ số của x 3 trong khai triển  3  x  .
n

B. 90

A. 270

D. 270

C. 90

Lời giải

Chọn B
Ta có 5n Cn0  5n1 Cn1  5n2 Cn2  ...   1 Cnn  1024   5  1  1024  22n  210  n  5 .
n

n

5

5

Với n  5 ta có:  3  x    C5k .35k .   x    C5k .35k .  1 .x k .
5

k

k

k 0

k 0

Vậy hệ số của x là: C .3 .  1  90 .
3

3
5

2

3

Câu 26: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Với n là số tự nhiên thỏa
mãn Cnn46  nAn2  454 , hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n

2 3
  x  ( với x  0 ) bằng
x

A. 1972
B. 786

C. 1692
Lời giải

D. 1792

Chọn D
Điều kiện n  6 và n  .
 n  4 !  n  n!  454   n  5 n  4   n2 n  1  454
Cnn46  nAn2  454 
 
2
 n  6 !2!  n  2 !

 2n3  n2  9n  888  0  n  8 (Vì n  ).
8

2

Khi đó ta có khai triển:   x3  .
x



8 k

k
k
2
Số hạng tổng quát của khai triển là C     x3   C8k  1 28k x 4 k 8 .
 x
4
Hệ số của số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: 4k  8  4  k  3 .
3
Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là: C83  1 25  1792 .
k
8

Câu 39: [1D2-3.2-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Khai triển

( 5  4 7)124 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A. 30 .

B. 31 .

C. 32 .

D. 33 .

Lời giải
Chọn C
124

124  k
2

k
Ta có ( 5  4 7)124   C124
.  1 .5
k

k

.7 4

k 0

124  k
 2 
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với 
k 
 4
Vậy số các giá trị k là:
Câu 49:

 k 0;4;8;12;...;124 .

124  0
 1  32 .
4

[1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển
n



nhị thức Newton  2 x 



A. 8064 .

1 
5
4
 với x  0 , biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An  18 An2 .
5
x
B. 3360 .

C. 13440 .

D. 15360 .

Lời giải
Chọn A

n  6
Điều kiện: 
n 
Khi đó An5  18 An42 

 n  2 !
n!
 18.
 n  5!
 n  6 !

 n  n  1 n  2 n  3 n  4  18  n  2 n  3 n  4  n  5
nmax
 n  n  1  18  n  5  n2  19n  90  0  9  n  10 
 n  10 .

10

1 

10  k  1 
Số hạng tổng quát trong khai triển  2x  5  là Tk 1  C10k .  2 x  .  5 
x

 x
10 k

 C .2
k
10

10  k

.x

Tìm k sao cho

.x



k
5

10  k

 C .2
k
10

.x

50  6 k
5

.

50  6k
 4  k  5.
5

Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là C105 .2105  8064.

k


Câu 32: [1D2-3.2-3] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều
n

2

kiện A  C  10 , tìm hệ số a5 của số hạng chứa x trong khai triển  x 2  3  với x  0 .
x 

2
n

3
n

5

A. a5  10 .

D. a5  10 .

C. a5  10 x5 .

B. a5  10 x5 .

Lời giải
Chọn D
Ta có
An2  Cn3  10 

n!
n!

 10 ,  n  , n  3
 n  2 ! 3! n  3!

 n  2
1 3 3 2 4
1
 n  n  1  n  n  1 n  2   10   n  n  n  10  0   n  6 .
6
2
3
6
 n  5
So điều kiện nhận n  6 hay n  5 .
6
6
2
k

 2 
Khi n  6 , ta có  x 2  3    C6k x 2 6k   3    C6k  2  x125 k .
x 


x 
k 0
k 0
7
Để có x 5 thì 12  5k  5  k  (loại).
5
6

k

5
5
2
k

 2 
Khi n  5 , ta có  x 2  3    C5k x 25k   3    C5k  2  x105 k .
x 

x 
k 0
k 0
5

k

Để có x 5 thì 10  5k  5  k  1 .
Vậy a5  C51  2   10 .
Câu 31: [1D2-3.2-3] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho số tự nhiên n thỏa mãn An2  2Cnn  22 . Hệ số
của số hạng chứa x 3 trong khai triển của biểu thức  3x  4  bằng

n

B. 1440 .

A. 4320 .

C. 4320 .
Lời giải

D. 1080 .

Chọn C
Điều kiện n  2 , n  .
Ta có An2  2Cnn  22 

n!
 2  22  n  n  1  20  n  5 thỏa mãn.
 n  2 !
5

Khi đó  3x  4    3x  4    C5k .  3x  .  4 
n

5

k

k 0

5 k

5

  C5k .3k .  4 

5 k

xk .

k 0

Hệ số của số hạng chứa x nên k  3 .
3

Do đó hệ số cần tìm là C53 .33.  4   4320 .
2

Câu 14.

[1D2-3.2-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Tìm hệ số của x 5 trong khai

triển P  x   x 1  2 x   x 2 1  3x  .
5

A. 3240 .

10

B. 3320 .

C. 80 .

D. 259200 .

Lời giải

Chọn B
k
m
k
Khải triển P  x  có số hạng tổng quát xC5k  2 x   x 2C10m  3x    2  C5k x k 1 3m C10m x m 2 ( k 

,


, m  10 )

k  5 , m

k  1  5
k  4
Hệ số của x 5 ứng với k , m thỏa hệ 
.

m  2  5
m  3
4
Vậy hệ số cần tìm là  2  C54  33 C103  3320 .
Câu 27.
[1D2-3.2-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho số nguyên dương

n thỏa mãn 2Cn1  3Cn2  ...   n  1 Cnn  2621439 . Số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức
n

 2 1
 x   bằng
x

A. 43758 .

B. 31824 .

C. 18564 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có:

x 1  x   Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x3  ...  Cnn x n1 .
Lấy đạo hàm hai vế ta được:
n
n 1
 x  1  nx  x  1  Cn0  2Cn1 x  3Cn2 x2  ...   n  1 Cnn x n .
n

Cho x  1 , ta có
Cn0  2Cn1  3Cn2  ...   n  1 Cnn  2n  n2n1  2n1  2  n  .
2621440
.2 . (*)

2n
2621440
Xét f  n   2n là hàm số đồng biến trên  0;   và g  n   2.
là hàm số nghịch biến trên
2n
 0;   .

 2n1  2  n   1  2621439  2n1  2  n   2621440  2n 

Ta có f 18  g 18  n  18 là nghiệm duy nhất của (*).
18

1

Khi đó số hạng tổng quát của khai triển  x 2   là: C18k x363k với k  , 0  k  18 .
x

12
Vậy số hạng không chứa x là C18  18564 .
Câu 36.

(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Hệ số của số hạng chứa

[1D2-3.2-3]

x trong khai triển  x  3x  2  bằng
6

2

7

A. 6432 .

D. 5418 .

C. 1632 .

B. 4032 .
Lời giải

Chọn D

x

2

 3x  2    x  1  x  2 
6

6

6

Số hạng tổng quát trong khai triển  x  1 là C6k .x k  1
6

Số hạng tổng quát trong khai triển  x  2  là C6i .xi  2 
6

6 k

với k  0;1;2...;6 .

6 i

với i  0;1;2...;6 .

Số hạng tổng quát trong khai triển  x 2  3x  2    x  1  x  2  là C6k x k  1
6

 C6k C6i xi k  1

12i  k

. 2

6

6

6 i

Số hạng chứa x 7 ứng với i  k  7 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
5
5
i  1  k  6  hệ số là  C66C61  1 .  2   192
i  2  k  5  hệ số là  C65C62  1 .  2   1440
5

4

i  3  k  4  hệ số là  C64C63  1 .  2   2400
5

3

6 k

.C6i xi  2 

6 i


i  4  k  3  hệ số là  C63C64  1 .  2   1200
5

2

i  5  k  2  hệ số là  C62C65  1 .  2   180
5

1

i  6  k  1  hệ số là  C61C66  1 .  2   6
5

0

Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển  x 2  3x  2  bằng 5418

6

Cách 2.

x

2

 3x  2    x 2   3x  2  
6

6

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C6k .  x 2 

6 k

 3x  2
k
i
Số hạng tổng quát trong khai triển  3x  2  là Cki .2k i  3x 

k

Số hạng tổng quát trong khai triển  x 2  3x  2  là C6k .  x
6

 C6k Cki .2k i  3 .  x122 k i 



2 6 k

với k  0;1;2...;6 .
với 0  i  k .

Cki .2k i  3x 

i

i

Số hạng chứa x 7 ứng với 12  2k  i  7  2k  i  5 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
1
k  3  i  1  hệ số là  C63C31 22  3  720
k  4  i  3  hệ số là  C64C43  3 .  2   3240
3

1

k  5  i  5  hệ số là  C65C55  2  .  3  1458
0

5

Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển  x 2  3x  2  bằng 5418 .
6

Câu 26: [1D2-3.2-3](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Tính tổng các hệ
2018

số trong khai triển 1  2x  .
A. 1 .

C. 2018 .

B. 1 .

D. 2018 .

Lời giải
Chọn B
0
1
2
3
2018
Xét khai triển (1  2x)2018  C2018
 2 x.C2018
 (2 x)2 .C2018
 (2 x)3.C2018
 ...  (2 x) 2018.C2018
Tổng
các
hệ
số
trong
khai
triển
là:
0

1
2
2
3
3
2018
2018
S  C2018  2.C2018  (2) .C2018  (2) .C2018  ...  (2) .C2018
Cho
ta
có:
x 1
2018
0
1
2
2
3
3
2018
2018
(1  2.1)  C2018  2.1.C2018  (2.1) .C2018  (2.1) .C2018  ...  (2.1) .C2018

  1

2018

 S  S 1

Câu 902. [1D2-3.2-3] Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển  5a  1 và số hạng thứ 5 trong khai

5

triển  2a  3 là
6

A. 4160a 2 .

B. 4610a 2 .

C. 4610a 2 .

D. 4620a 2 .

Lời giải
Chọn C

Số hạng thứ 4 trong khai triển  5a  1 là T4  C53 .  5a  .  1  250a 2 .
5

2

3

Số hạng thứ 5 trong khai triển  2a  3 là T5  C64 .  2a  .  3  4860a 2 .
6

2

4

Vậy tổng của hai số hạng trên là 4610a 2 .
8

1 

Câu 905. [1D2-3.2-3] Tìm số hạng chính giữa của khai triển  3 x  4  , với x  0 .
x



1

1

1

1

C. 70x 3 và 56x 4 .

B. 70x 3 .

A. 56x 4 .

D. 70. 3 x . 4 x .

Lời giải
Chọn B

Số hạng chính giữa trong khai triển là T5  C .

4
8

 
3

4

1
 1 
x .  4   70 x 3 .
 x
4

n

1

Câu 907. [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x 2   , hệ số của x 3 là 34 Cn5 . Giá trị n là
x

A. 15 .
B. 12 .
C. 9 .
D. 14 .
Lời giải
Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk 1  C .  3x
k

n

Theo đề: số hạng chứa x 3 ứng với k  5

C

k
n



2 nk

 Cn5  .

k

nk
1
.    Cnk .  3 .x 2 n 3k .
 x

Ta tìm n sao cho: n  k  4  n  5  4  n  9 .
Câu 931. [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x 2  y  , hệ số của số hạng chính giữa là
10

A. 61236 .

D. 40000 .

C. 8960 .

B. 4000 .
Lời giải.

Chọn A
Ta có  3x 2  y    C10k .  3x 2  .   y 
10

10

10  k

k

k 0

10

  C10k .  1

10 k

.3k.x 2 k .  y 

10 k

.

k 0

Khai triển này gồm 11 số hạng. Số hạng chính giữa ứng với k  5 . Vậy hệ số của số hạng
5
chính giữa là C105 .35.  1  61236 .
Câu 933. [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x  2 

100

 a0  a1 x  ...  a100 x100 . Hệ số a97 là

B. 1293600 .

A. 1293600 .

97
C. 23.C100
.

98
D. 298.C100
.

Lời giải.
Chọn C
100

k
  C100
.x k .  2 

Ta có  x  2 

100

100 k

k 0

k
Từ đó suy ra ak  C100
.  2 

100 k

100

k
  C100
.  2 

100 k

k 0

.x k  a0  a1 x  ...  a100 x100 .

97
97
. Vậy a97  C100
.

.  2   23.C100
3

Câu 936. [1D2-3.2-3] Tìm hệ số chứa x 9 trong khai triển

1  x   1  x 
9

10

 1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  .
11

12

13

15

C. 3003 .

B. 8008 .

A. 3000 .

14

D. 8000 .

Lời giải.

Chọn B
Xét (1  x)n với n  9 thì hệ số chứa x 9 trong khai triển là: Cn9 .
Vậy hệ số chứa x 9 trong khai triển

1  x   1  x 
9

10

 1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  là:
11

12

13

14

15


C99  C109  C119  C129  C139  C149  C159  8008 .
n

Câu 8.

1 

[1D2-3.2-3] Số hạng thứ 3 của khai triển  2 x  2  không chứa x. Tìm x biết rằng số hạng
x 



này bằng số hạng thứ hai của khai triển 1  x3  .
30

A. 2 .

C. 1 .
Lời giải

B. 1 .

D. 2 .

Chọn D
n

k

n
1 

k
nk  1 
 2 x  2    Cn .(2 x) .  2  .
x  k 0

x 
Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k  2 nên số hạng thứ ba của khai triển là

Cn2 .2n2.x n6 .
Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa x nên n  6  0  n  6 .
1
.x3  30 x3 .
Số hạng thứ 2 của khai triển 1  x3  là C30
30

Khi đó ta có C62 .24  30.x3  x  2 .
Câu 32: [1D2-3.2-3]

(Sở

GD

Cần

Thơ-Đề

302-2018)

P  x    x  2   an x n  an1 x n1  ...  ak x k  ...  a1x  a0 , n  * .
n

Cho
Biết

biểu

thức

an9  an8

và

an9  an10 . Giá trị của n bằng:

A. 13 .

B. 14 .

C. 12 .

D. 15 .

Lời giải
Chọn A
* Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
P  x    x  2   Cn0 x n 20  Cn1 x n1 21  ...  Cnnk x k 2nk  ...  Cnn1 x1 2n1  Cnn x0 2n , n  *
n

mà P  x    x  2   an x n  an1 x n1  ...  ak x k  ...  a1x  a0 , n  *
n

Ta có: ak  2nk Cnnk  2nk Cnk , 0  k  n  an8  28 Cnn8  28 Cn8 , an9  29 Cn9 , an10  210 Cn10
* Theo đề bài với n  10, n  * :

an 9  an 8

an 9  an 10
Câu 46:

n!
n!
 9
8
1
2
2

2
25


 9! n  9 !
 9 n  8
8! n  8 !

n 



2  n  13.
n
!
n
!
1
1
9
10

2

2

n  14
 n  9 5
 9! n  9 !
10! n  10 !

[1D2-3.2-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho khai triển



T  1  x  x 2017



2018



 1  x  x 2018

A. 4035 .



2017

. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển bằng

B. 1 .

C. 2017 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn B
2018



k
Cách 1: Ta có T   C2018
x  x 2017
k 0



k

2017



k
  C2017
x 2018  x
k 0



k

.


Hệ số của số hạng chứa x ứng với k  k   1 .
1
1
Do đó hệ số cần tìm là C2018
 C2017
 1.

Cách 2: Ta có T  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2017.2018 x 2017.2018  f  x 

 f   x   a1  2a2 x  ...  2017.2018a2017.2018 x 2017.20181  f   0  a1 .



Mà f   x   2018 1  x  x 2017

 1  2017 x   2017 1  x  x   1  2018x 
2017

2016

2018

2016

2017

 f   0   2018  2017  1  a1  1 .
Do đó hệ số cần tìm là 1 .
Câu 37: [1D2-3.2-3] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
3n Cn0  3n1 Cn1  3n2 Cn2  .....   1 Cnn  2048 . Hệ số của x10 trong khai triển  x  2  là:
n

A. 11264 .

n

B. 22 .

C. 220 .

D. 24 .

Lời giải
Chọn B
Ta có  3  1  3n Cn0  3n1 Cn1  3n2 Cn2  .....   1 Cnn
n

n

 2n  2048  2n  211  n  11 .
11

Xét khai triển  x  2    C11k x11k .2k
11

k 0

Tìm hệ số của x  tìm k 
10

 k  11 thỏa mãn 11  k  10  k  1.

1
Vậy hệ số của x10 trong khai triển  x  2  là C11
.2  22 .

11

Câu 29: [1D2-3.2-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Tìm hệ số của x 3 sau khi khai triển và rút gọn các
9

1

đơn thức đồng dạng của   x  2 x 2  , x  0 .
x

A. 2940 .
B. 3210 .
C. 2940 .
Lời giải
Chọn A
Ta có

9

D. 3210 .

9 k

9

9
k
9
k
k i
1
1

k 1
2
k


x
C

2
x

.
x


.
x
2
2
x
x


1
1

Cki C9k  1 2i.x 2 k i 9 .






9 

 


x
 x
 k 0  x 
k 0 i 0
Theo yêu cầu bài toán ta có 2k  i  9  3  2k  i  12 ; 0  i  k  9 ; i, k 
Ta có các cặp  i; k  thỏa mãn là:  0;6  ,  2;5 ,  4;4  .

Từ đó hệ số của x 3 là : C60C96  1

60

.20  C52C95  1

5 2

.22  C44C94  1

4 4

.24  2940 .

Câu 1489.
[1D2-3.2-3]
Xác
định
hệ
số
của
trong
các
x8
8
9
10
sau: f ( x)  8(1  8x)  9(1  9 x)  10(1  10 x)
A. 8.C80 .88  C91.98  10.C108 .108 .
B. C80 .88  C91.98  C108 .108 .

C. C80 .88  9.C91.98  10.C108 .108 .
Chọn D.
8

Ta có: (1  8 x)8   C8k 88k x8k
k 0

D. 8.C80 .88  9.C91.98  10.C108 .108
Hướng dẫn giải:

khai

triển


9

(1  9 x)9   C9k 99k x9k
k 0

10

(1  10 x)10   C10k 1010k x10k
k 0

Nên hệ số chứa x8 là: 8.C80 .88  9.C91.98  10.C108 .108 .
Câu 1490.

[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của
x8 trong khai

g ( x)  8(1  x)8  9(1  2 x)9  10(1  3x)10
A. 22094.
B. 139131.
C. 130282.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

triển

biểu

thức

sau:

D. 21031

n

Ta có: 1  ax    Cnk a k x k nên ta suy ra hệ số của x k trong khai triển (1  ax)n là Cnk a k . Do
n

i 0

đó:
Hệ số của x8 trong khai triển (1  x)8 là: C88
Hệ số của x8 trong khai triển (1  2 x)9 là: C98 .28
Hệ số của x8 trong khai triển (1  3x)10 là: C108 .38 .
Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C88  9.28.C98  10.38.C108  22094 .
Câu 1491.

[1D2-3.2-3] Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển  x3  xy  là:
15

B. 3003 .

A. 2080 .

C. 2800 .
Hướng dẫn giải:

D.  3200 .

Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C15k .x 453k .x k . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  10 .



Vậy hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển x 3  xy
Câu 1496.



15

10
 3003 .
là: C15

[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của
n

1
n 1
n
5 
 3  x  biết Cn4  Cn3  7  n  3 .
x

A. 495.
B. 313.
C. 1303.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Ta có: Cnn41  Cnn3  7  n  3   Cnn3  Cnn31   Cnn3  7  n  3

 Cnn31  7  n  3 

 n  2  n  3  7

2!
 n  2  7.2!  14  n  12 .

 n  3
12  k

5
60 11k

12
12
k 

1

Khi đó:  3  x5    C12k  x 3  .  x 2 
  C12k x 2 .
x
 k 0
k 0
 
60  11k
Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa:
8  k  4.
2
12!
 495 .
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C124 
4!12  4 !
n

D. 13129


Câu 1497.

[1D2-3.2-3] Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức
n

1
2 
 x   x  x   với n là số nguyên dương thoả mãn
Cn3  2n  An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. 98 .
B. 98 .
C. 96 .
D. 96
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n  3

3
2
Ta có: Cn  2n  An 1   n  n  1 n  2 
 2n   n  1 n

6

n  3
 2
 n 8.
 n  9n  8  0
Theo nhị thức Newton ta có:
8

8

1
1


2 
0 1
1 1
 x   x  x    x  x 1  x    C8 x8  C8 x 6 1  x  
1
1
2
3
4
8
C82 4 1  x   C83 2 1  x   C84 1  x   ...  C88 x8 1  x 
x
x
Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức
1
4
3
C83 2 1  x  và C84 1 x  .
x
Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: C83 .C32 và C84 .C40

Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: C83 .C32  C84 .C40  98 .
40

1 

[1D2-3.2-3] Trong khai triển f  x    x  2  , hãy tìm hệ số của x 31
x 


A. 9880.
B. 1313.
C. 14940.
D. 1147
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Câu 1498.

18

1

[1D2-3.2-3] Hãy tìm trong khai triển nhị thức  x3  3  số hạng độc lập đối với x
x 

A. 9880.
B. 1313.
C. 14940.
D. 48620
Hướng dẫn giải:
Chọn.
D.
C189  48620 .

Câu 1499.

12

 x 3

Câu 1500.
[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển   
3 x
55
1412
13
621
A.
.
B.
.
C.
.
D.
9
3123
113
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
4

1
55
(3) 4 C124  .
8
3
9

Câu 1502.

[1D2-3.2-3] Cho đa thức P  x   1  x   2 1  x   ...  20 1  x 
2

P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 .

20

có dạng khai triển là


Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995.

B. 130414.

C. 511313.
Hướng dẫn giải:

D. 412674

Chọn A.
20

a15   kCk15  400995 .
k 15

Câu 1503.

[1D2-3.2-3] Tìm số hạng của khai triển

A. 8 và 4536.

B. 1 và 4184.



3 3 2



9

là một số nguyên

C. 414 và 12.
Hướng dẫn giải:

D. 1313

Chọn A.
Ta có



3 3 2



9

9

  C9k
k 0

 3  2 
k

9 k

3

Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa:
 k  2m

9  k  3n  k  0, k  6
k  0,...,9

Các số hạng là số nguyên: C90

 2
3

9

 8 và C96

 3  2  .
6

3

3

Câu 1505.
[1D2-3.2-3] Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x)  (3x 2  2 x  1)10 .
A. 8089.
B. 8085.
C. 1303.
D. 11312
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
f  x   1  2 x  3x 2    C10k  2 x  3x 2 
10

10

k

k 0

10

k

10

k

k 0

i 0

k 0

i 0

  C10k  Cki (2 x)k i .(3x 2 )i   C10k  Cki 2k i.3i x k i

với 0  i  k  10 .
Do đó k  i  4 với các trường hợp i  0, k  4 hoặc i  1, k  3 hoặc i  k  2 .
Vậy hệ số chứa x 4 : 24 C104 .C40  2231 C103 .C31  32 C102 .C22  8085 .
Câu 1506.
[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2  3x)2 n , biết n là số
nguyên dương thỏa mãn: C21n1  C23n1  C25n1  ...  C22nn11  1024 .
A. 2099529 .
B. 2099520 .
C. 2099529 .
D. 2099520
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2 n 1 k
2 n 1
  C2 n 1  2
n

Ta có:  kn0

C22ni 11  22 n  1024  n  5


n
i 0
 C 2i 1  C 2i


2 n 1
2 n 1

i 0
 i 0
10

Suy ra (2  3x)2 n   C10k 210k.(3)k x k
k 0
7
3
10

Hệ số của x là C .2 .(3)7  2099520 .
7

Câu 1507.
[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của x 9 trong khai triển f ( x)  (1  x)9  (1  x)10  ...  (1  x)14
A. 8089.
B. 8085.
C. 3003.
D. 11312
Hướng dẫn giải:

Chọn B.
Hệ số của x 9 : C99  C109  C119  C129  C139  C149  3003 .
Câu 1508.
[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức của: x 1  2 x   x 2 1  3x 
A. 3320.
B. 2130.
C. 3210.
D. 1313
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
5
10
Đặt f ( x)  x 1  2 x   x 2 1  3x 
5

5

10

Ta có: f ( x)  x C5k  2  .x k  x 2  C10i  3x 
k

k 0

5

10

i

i 0

10

  C5k  2  .x k 1   C10i 3i.xi  2
k

k 0

i 0

Vậy hệ số của x trong khai triển đa thức của f ( x) ứng với k  4 và i  3 là:
5

C54  2   C103 .33  3320 .
4

Câu 1509.

[1D2-3.2-3] Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x)  1  x 2 1  x  

A. 213.

B. 230.

C. 238.
Hướng dẫn giải:

8

D. 214

Chọn C.
Cách 1

1  x 2 1  x   C80  C81 x 2 1  x   C82 x 4 1  x   C83 x6 1  x 
8

2

3

C84 x8 1  x   C85 x10 1  x  ...  C88 x16 1  x 
4

5

8

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số
hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:
C83 .C32 , C84 .C40 .
Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 1  x 2 1  x  là:
a8  C83 .C32  C84 .C40  238 .
Cách 2: Ta có:
8

8

8

n

n 0

k 0

1  x 2 1  x     C8n x 2 n 1  x    C8n  Cnk  1 x 2 n k
8

n

n 0

k

với 0  k  n  8 .
Số hạng chứa x8 ứng với 2n  k  8  k  8  2n là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được k  0; n  4 và k  2, n  3 .
Vậy hệ số của x8 là C83 .C32  C84 .C40  238 .
Câu 1510.

[1D2-3.2-3] Đa thức P  x   1  3x  2 x 2   a0  a1 x  ...  a20 x 20 . Tìm a15
10

10
A. a15  C10
.C105 .35  C109 .C96 .33  C108 .C87 .3. .
10

B. a15  C10
.C105 .25  C109 .C96 .26  C108 .C87 .27 .

10
C. a15  C10
.C105 .35.25  C109 .C96 .33.26  C108 .C87 .27 .
10
D. a15  C10
.C105 .35.25  C109 .C96 .33.26  C108 .C87 .3.27
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Ta có: P  x   1  3x  2 x 2    C10k  3x  2 x 2 
10

10

k 0

k


10

k

10

k

k 0

i 0

k 0

i 0

  C10k  Cki (3x)k i .(2 x 2 )i   C10k  Cki .3k i.2i x k i

với 0  i  k  10 . Do đó k  i  15 với các trường hợp
k  10, i  5 hoặc k  9, i  6 hoặc k  8, i  7
10
Vậy a15  C10
.C105 .35.25  C109 .C96 .33.26  C108 .C87 .3.27 .
2
[1D2-3.2-3] Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x3  ) n , biết rằng
x
n 1
n2
Cn  Cn  78 với x  0
A. 112640 .
B. 112640 .
C. 112643 .
D. 112643
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
n!
Ta có: Cnn1  Cnn2  78 


 78
(n  1)!1! (n  2)!2!
n(n  1)
 n
 78  n2  n  156  0  n  12 .
2
12
12
2

Khi đó: f ( x)   x3     C12k (2) k x364 k
x

k 0
Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k  0  k  9
Số hạng không chứa x là: (2)9 C129  112640 .

Câu 1511.

[1D2-3.2-3] Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành

Câu 1512.

đa thức của ( x2  1)n ( x  2)n . Tìm n để a3n3  26n
A. n=5.
B. n=4.
C. n=3.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Cách 1:Ta có:

x

2

 1  Cn0 x 2 n  Cn1 x 2 n 2  Cn2 x 2 n 4  ...  Cnn
n

 x  2

n

 Cn0 x n  2Cn1 x n 1  22 Cn2 x n 2  ...  2n Cnn

Dễ dàng kiểm tra n  1 , n  2 không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với n  3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
x3n3  x2n .xn3  x2n2 .xn1
Do đó hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của

x

2

 1  x  2  là: a3n3  23.Cn0 .Cn3  2.Cn1 .Cn1 .
n

n

Suy ra a3n 3  26n 

2n  2n2  3n  4 
3

Vậy n  5 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Ta có:  x  1  x  2 
2

n

i

n

n

 26n  n  

1   2

 x 1  2  1  
 x   x

7
hoặc n  5
2

n

3n

k

n
 n

 1 n
2
 x  C  2   Cnk   x3n  Cni x 2i  Cnk 2k x  k 
 x  k 0  x 
i 0
k 0
 i 0

Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 3n  3 khi
2i  k  3  2i  k  3 .
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i  0, k  3 hoặc
i  1, k  1 (vì i, k nguyên).
n

3n

i
n

D. n=2


Hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của  x 2  1  x  2 

n

n

Là: a3n3  Cn0 .Cn3 .23  Cn1 .Cn1 .2 .
Do đó a3n 3  26n 

2n  2n2  3n  4 

Vậy n  5 là giá trị cần tìm.
Câu 1513.

3

7
 26n  n   hoặc n  5
2

[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của
n

 1
1
2
n
20
7
 4  x  , biết C2n1  C2n1  ...  C2n1  2  1 .
x


A. 210.
B. 213.
C. 414.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Do C2kn1  C22nn11k k  0,1, 2,..., 2n  1

D. 213

 C20n1  C21n1  ...  C2nn1  C2nn11  C2nn21  ...  C22nn11

Mặt khác: C21n1  C22n1  ...  C22nn11  22n1
 2(C20n1  C21n1  C22n1  ...  C2nn1 )  22 n1
 C21n1  C22n1  ...  C2nn1  22n  C20n1  22 n  1

 22n  1  220  1  n  10 .
10

10
10
10
 1

Khi đó:  4  x 7    x 4  x 7    C10k ( x 4 )10k .x 7 k   C10k x11k 40
x

k 0
k 0
26
Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k  40  26  k  6 .

Vậy hệ số chứa x 26 là: C106  210 .

[1D2-3.2-3] Cho n  * và (1  x)n  a0  a1 x  ...  an x n . Biết rằng tồn tại số nguyên k
a
a
a
( 1  k  n  1 ) sao cho k 1  k  k 1 . Tính n  ? .
2
9
24
A. 10.
B. 11.
C. 20.
D. 22
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n!
1
n!
1
 2 (k  1)!(n  k  1)!  9 (n  k )!k !

Ta có: ak  Cnk , suy ra hệ 
n!
1
n!
1

 9 (n  k )!k ! 24 (n  k  1)!(k  1)!

Câu 1514.

9k  2(n  k  1)
2n  11k  2


 n  10, k  2 .
24(k  1)  9(n  k )
9n  33k  24
Câu 3527.

[1D2-3.2-3] Tổng các hệ số nhị thức Niu-tơn trong khai triển 1  x  bằng 64 . Số hạng
3n

1 

không chứa x trong khai triển  2nx 

2nx 2 

A. 360 .
B. 210 .

3n

là:
C. 250 .

D. 240 .

Lời giải
Chọn D.
3n
Đặt: P  x   1  x  .
Tổng các hệ số trong khai triển là P 1  1  1

3n

 64  23n  64  8n  82  n  2 .


3n

6

1 
1 


Số hạng tổng quát trong khai triển  2nx 
hay  4 x  2  là
2 
2nx 
4x 


k

 1 
Tk 1  C .  4 x  .  2   C6k .462 k .x 63k .

 4x 
Ta cần tìm k sao cho: 6  3k  0  3k  6  k  2 .
6 k

k
6

2

6 2.2

Số hạng không cḥ́a x trong khai triện là: C6 .4

Câu 3560.

[1D2-3.2-3] Trong khai triển  x  2 

100

 a0  a1 x  ...  a100 x100 . Hệ số a97 là
97
C. 23.C100
.

B. 1293600 .

A. 1293600 .

 240 .

98
D. 298.C100
.

Lời giải.
Chọn C
100

k
  C100
.x k .  2 

Ta có  x  2 

100

100 k

k 0

Từ đó suy ra ak  C .  2 

100 k

k
100

Câu 3563.

100

k
  C100
.  2 

100 k

k 0

.x k  a0  a1 x  ...  a100 x100

97
97
Vậy a97  C100
.
.  2   23.C100
3

[1D2-3.2-3] Tìm hệ số chứa x 9 trong khai triển

1  x   1  x 
9

10

 1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  .
11

12

13

B. 8008 .

A. 3000 .

14

15

D. 8000 .

C. 3003 .
Lời giải.

Chọn B
Xét 1  x  với n  9 thì hệ số chứa x 9 trong khai triển là: Cn9 .
n

Vậy hệ số chứa x 9 trong khai triển

1  x   1  x 
9

10

 1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  là:
11

12

13

14

15

C99  C109  C119  C129  C139  C149  C159  8008 .

Câu 3568.

[1D2-3.2-3] Trong khai triển 1  x  biết tổng các hệ số Cn1  Cn2  Cn3  .....  Cnn1  126 .
n

Hệ số của x 3 bằng
A. 15 .

B. 21 .

C. 35 .

D. 20 .

Lời giải.
Chọn C

1  x 

n

n

  Cnk .x k .
k 0

Thay x  1 vào khai triển ta được

1  1n  Cn0  Cn1  ...  Cnn1  Cnn  1  126  1  128  2n  128  n  7 .
Hệ số của x 3 bằng C73  35 .
6


2 
 , hệ số của x 3 ,  x  0  là:
Câu 3613:
[1D2-3.2-3] Trong khai triển  x 
x

A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
D. 240 .
Lời giải


Chọn C
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C6k .x 6k 2k.x

1
 k

2

1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6  k  k  3  k  3 .
2
Khi đó hệ số của x 3 là: C63 .23  160 .

Câu 3623:

[1D2-3.2-3] Hệ số của x3 y 3 trong khai triển 1  x  1  y  là:
6

B. 800 .

A. 20 .

6

C. 36 .
Lời giải

D. 400 .

Chọn D
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C6k .x k .C6m . y m
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  m  3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x3 y 3 là: C63 .C63  400 .
Câu 41: [1D2-3.2-3] (SGD BINH THUAN_L6_2018_BTN_6ID_HDG) Hệ số của x 5 trong khai triển

f  x   1  x  3x3  thành đa thức là

10

B. 1332 .

A. 1380 .
Chọn B



Ta có f  x   1  x 1  3x 2 



C. 3480 .
Lời giải

D. 1836 .

10

.

Số hạng tổng quát: T  C10k C10i k 3k xi 3k .

i  3k  5
k  1
k  0


Để T chứa x thì i, k 

hoặc 
i  2
0  i  10  k  10 i  5

5

1
C92 31  1332 .
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển là C100 C105 30  C10

Câu 40: [1D2-3.2-3] (THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Trong khai
triển 1  3x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n . Tìm a2 biết a0  a1  a2  a3  ...   1 an  22018
n

n

B. a2  9 .

A. a2  508536 .

C. a2  4576824 .

D. a2  18316377 .

Lời giải
Chọn C
Trong khai triển 1  3x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ta thay x  1 ta được:
n

4n  a0  a1  a2  a3  ...   1 an  22n  22018  n  1009 .

n

2
Khi đó, a2  C1009
 3  4576824 .
2

Câu 33. [1D2-3.2-3] (Sở Giáo dục Gia Lai – 2018-BTN)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n

 2 1
 x   ( x  0 và n là số nguyên dương), biết rằng tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, thứ
x

hai và thứ ba trong khai triển bằng 46 .
A. 84 .
B. 62 .
C. 86 .
D. 96 .
Lời giải
Chọn A


n

n
 2 1
k 2 n 3 k
.
x




  Cn x
x

 k 0

Theo bài ra ta có Cn0  Cn1  Cn2  46  n  9 .
Để có số hạng không chứa x thì 2.9  3k  0  k  6 .
Số hạng cần tìm là C96  84 .



(Chuyên Thái Nguyên - 2018 - BTN) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 1  3x  2 x3

Câu 34. [1D2-3.2-3]

B. 16758 .

A. 17550 .

C. 21130 .



10

D. 270 .

Lời giải
Chọn A

  C10k  3x  2 x3 
10

1  3x  2 x 

3 10

10

k

k 0

i 0

k

k 0

  C10k . Cki  3x 

. 2 x3    C10k Cki 3k i.2i.x k  2i

k i

10

i

k

k 0 i 0

Số hạng chứa x khi k  2i  4   k ; i    4;0  ,  2;1
4

Hệ số của số hạng đó là C104 .C40 .34.20  C102 .C21.31.21  17010  540  17550 .
Câu 48: [1D2-3.2-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Biết rằng hệ số của x n 2 trong khai triển
n

1

 x   bằng 31 . Tìm n .
4

A. n  32 .
B. n  30 .

C. n  31 .

D. n  33 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
n

k

n
1
k

1
Ta có  x      1 Cnk x nk   (với 0  k  n và k , n  ).
4

4
k 1

2

n

Suy ra hệ số của x

n2

1
1
21

trong khai triển  x   là  1   Cn2  Cn2 .
4
16

4

Theo giả thiết ta có
1 2
n!
Cn  31  Cn2  496 
 496  n  n  1  992  n2  n  992  0  n  32 .
16
2! n  2 !
Câu 26:

[1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Biến n là
2n
số nguyên dương thỏa mãn An3  2 An2  100 . Hệ số của x 5 trong khai triển 1  3x  bằng
B. 35.C125

A. 35.C105

C. 35.C105

D. 65.C105

Lời giải
Chọn A
ĐK: n  3; n 

.

Ta có: A  2 A  100
3
n



2
n

n  n  1 n  2  n  3!
n  n  1 n  2 !
n!
n!
 2.
 100 
 2.
 100 .
 n  3 !  n  2  !
 n  3 !
 n  2 !

 n  n  1 n  2   2.n  n  1  100  n3  n2  100  0  n  5  n  .


Khi đó: 1  3x   1  3x  .
2n

10

Số hạng tổng quát khi khai triển nhị thức trên là: Tk 1  C10k .110k.  3x    3 .C10k .x k .
k

k

Hệ số của x 5  k  5 . Do đó ta có hệ số của x 5 là: 35.C105 .
Câu 44. [1D2-3.2-3] (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Biết tổng các hệ
số của khai triển  3  x 2  bằng 1024 . Tìm hệ số của x10 trong khai triển.
n

B. 61236 .

A. 59049 .

C. 61236 .
Lời giải

D. 59049 .

Chọn B
Vì tổng các hệ số của khai triển  3  x 2  bằng 1024 nên thay x  1  2n  1024  n  10 .
n

Khi đó

3  x 

2 10

10

  C10k 310k  1 x 2 k , x10 ứng với k  5 suy ra hệ số cần tìm là
k

k 0

C 3  1  61236 .
5 5
10

5

Câu 33: [1D2-3.2-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho n là
số nguyên dương thỏa mãn An2  Cn2  Cn1  4n  6 . Hệ số của số hạng chứa x 9 của khai triển
n

3

biểu thức P  x    x 2   bằng:
x

A. 18564 .
B. 64152 .

C. 192456 .
Lời giải

D. 194265 .

Chọn C
An2  Cn2  Cn1  4n  6 

 n  n  1 

n!

n!
n!


 4n  6
 n  2!  n  2 !.2!  n  1!.1!

 n  1  l 
n  n  1
 n  4n  6  n2  11n  12  0  
.
2
 n  12  n 
12

3

Khi đó P  x    x 2   .
x


Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C12k .  x 2 

12  k

k

3
.    C12k .3k.x 243k .
 x

Số hạng chứa x 9  24  3k  9  k  5 .
Vậy hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển là C125 .35  192456 .
Câu 388. [1D2-3.2-3] Tổng các hệ số nhị thức Niu-tơn trong khai triển 1  x  bằng 64 . Số hạng không
3n

1 

chứa x trong khai triển  2nx 

2nx 2 

A. 360 .
B. 210 .

3n

là:
C. 250 .
Lời giải

D. 240 .

Chọn D
Đặt: P  x   1  x  .
3n

Tổng các hệ số trong khai triển là P 1  1  1  64  23n  64  8n  82  n  2 .
3n

1 

Số hạng tổng quát trong khai triển  2nx 

2nx 2 


3n

6

1 

hay  4 x  2  là
4x 


k

 1 
Tk 1  C .  4 x  .  2   C6k .462 k .x 63k .
 4x 
Ta cần tìm k sao cho: 6  3k  0  3k  6  k  2 .
Số hạng không chứa x trong khai triển là: C62 .42  240 .
6 k

k
6

n

1

Câu 395. [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x 2   hệ số của x 3 là 34 Cn5 giá trị n là
x

A. 15 .
B. 12 .
C. 9 .
D. 14 .
Lời giải
Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk 1  Cnk .  3x 2 
Theo đề: số hạng chứa x 3 ứng với k  5

C

k
n

nk

 Cn5  .

k

nk
1

.    Cnk .  3 .x 2 n 3k .
 x

Ta tìm n sao cho: n  k  4  n  5  4  n  9 .
10

1

Câu 43. [1D2-3.2-3] [THPT QUẢNG XƯƠNG I] Hệ số của x trong khai triển   x3  bằng
x

A. 792.
B. 252.
C. 165.
D. 210.
Lời giải
Chọn D
SHTQ: C10k x 4 k 10 , cho 4k 10  6  k  4  hệ số của x 6 là C104  210 .
6

Câu 437. [1D2-3.2-3] Hệ số của x 9 sau khi khai triển và rút gọn của đa
thức: (1  x)9  (1  x)10  ...  (1  x)14 là:
A. 3001. B. 3003 .
C. 3010 .
D. 2901 .
Lời giải
Chọn B
9

10

14

k 1

k 1

(1  x)9  (1  x)10  ...  (1  x)14   C9k x k  C10k x k ... C14k x k .
k 1
9
10

Ứng với x ta có hệ số là: C  C  ...  C  3003 .
9
9

9

9
14

Câu 449. [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x 2  y  , hệ số của số hạng chính giữa là
10

A. 61236 .

D. 40000 .

C. 8960 .

B. 4000 .
Lời giải

Chọn A
Ta có  3x 2  y    C10k . 3x 2  .  y 
10

10

k 0

k

10k

10

  C10k . 1

10k

.3k.x 2 k . y 

10k

.

k 0

Khai triển này gồm 11 số hạng. Số hạng chính giữa ứng với k  5 . Vậy hệ số của số hạng

5
chính giữa là C105 .35. 1  61236 .
Câu 25: [1D2-3.2-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n

3

nhị thức Newton của  2 x 2    x  0  , biết rằng 1.Cn1  2.Cn2  3.Cn3  ...  nCnn  256n ( Cnk là
x

số tổ hợp chập k của n phần tử).


A. 489888 .

D. 4889888 .

C. 48988 .
Lời giải

B. 49888 .

Chọn C
n
Xét khai triển 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x3  ...  Cnn x n 1
Đạo hàm hai vế của 1 ta được: n 1  x 

n 1

 Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x 2  ...  nCnn x n1  2 

Trong công thức  2  ta cho x  1 ta được:

n2n1  Cn1  2.Cn2  3.Cn3  ...  nCnn  n.2n1  256n  2n1  256  n  9 .
9

n

9
k
3
3 

Khi đó,  2 x 2     2x 2     C9k  3 29k .x183k .
x  n 0
x 

9

3

Do đó số hạng không chứa x trong khai triển  2x 2   nếu 18  3k  0 hay k  6 .
x

6 3
6
Suy ra số hạng cần tìm là C9  3 2  489888 .

Câu 10: [1D2-3.2-3] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho đa thức
P  x    x  2

2017

 3  2x 

2018

 a2018 x2018  a2017 x 2017  ...  a1 x  a0 .

Khi

đó

S  a2018  a2017  ...  a1  a0 bằng

B. 1 .

A. 0 .

C. 2018 .
Lời giải

D. 2017 .

Chọn A
Ta có P  x   a2018 x 2018  a2017 x 2017  ...  a1 x  a0
Cho x  1  P  1  a2018  a2017  ...  a1  a0  1  2 
Câu 24:

2017

  3  2.1

2018

0.

(Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho n 

[1D2-3.2-3]

thỏa mãn

C  C  ...  C  1023 . Tìm hệ số của x 2 trong khai triển 12  n  x  1 thành đa thức.
A. 2
B. 90
C. 45
D. 180
Lời giải
Chọn D
1
n

2
n

n

n
n

Xét khai triển 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n , cho x  1 ta được
n

2n  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n  1  Cn1  Cn2  ...  Cnn  1023  n  10 .

 k  10, k   , hệ số của

Xét khai triển  2 x  1 có số hạng tổng quát C10k 210k x10k
10

x 2 ứng

với k thỏa 10  k  2  k  8 . Vậy hệ số cần tìm là C108 .22  180 .
Câu 19.

[1D2-3.2-3]

(THPT

Chuyên

Bắc

Ninh

-

Lần

2

-

2017

-

2018)

Cho

đa

thức:

P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  . Khai triển và rút gọn ta được đa thức:
8

9

10

11

12

P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12 . Tìm hệ số a8 .
A. 720 .

B. 700 .

C. 715 .
Lời giải

Chọn C.
Ta có 1  x   C80  C81 x  ...  C88 x8 suy ra hệ số chứa x8 là C88 .
8

D. 730 .


Lại có 1  x   C90  C91 x  ...  C98 x8  C99 x9 suy ra hệ số của x8 là C98 .
9

Tương tự trong khai triển 1  x  có hệ số của x8 là C108 .
10

1  x 

có hệ số của x8 là C118 .

1  x 

có hệ số của x8 là C128 .

11

12

8
Suy ra hệ số của x8 trong P  x  là a8  C88  C98  C10
 C118  C128  715 .

Câu 34.

[1D2-3.2-3]

(THPT

Chuyên

Bắc

Ninh

-

Lần

2

-

2017

-

2018)

Cho

đa

thức

P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  . Khai triển và rút gọn ta được đa thức
8

9

10

11

12

P  x   a0  a1 x  ...  a12 x12 . Tính tổng các hệ số ai , i  0; 1; 2; ...; 12 .
A. 5 .

B. 7936 .

C. 0 .

D. 7920 .

Lời giải
Chọn B.
Ta có

P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  .
8

9

10

11

12

Áp dụng khai triển

1  x 

n

 Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n .

Cho x  1 , ta có Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n .
Do đó ta có tổng hệ số của P  x  là:

S  28  29  210  211  212  28 1  2  4  8  16   31.28  7936 .
Câu 3068.

[1D2-3.2-3] Trong khai triển  2 x  5 y  , hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là:

A. 22400 .

8

B. 40000 .

C. 8960 .
Lời giải

D. 4000 .

Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  (1)k C8k .(2 x)8k (5 y)k  (1)k C8k .28k 5k.x8k . y k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  3 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x5 . y 3 là: 22400 .
6


2 
 , hệ số của x3 ,  x  0  là:
Câu 3069.
[1D2-3.2-3] Trong khai triển  x 
x

A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
D. 240 .
Lời giải
Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C6k .x 6k 2k.x

1
 k

2


1
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6  k  k  3  k  3 .
2
3
3 3
Khi đó hệ số của x là: C6 .2  160 .
6

1 

[1D2-3.2-3] Trong khai triển  8a 2  b  , hệ số của số hạng chứa a9b3 là:
2 

9 3
9 3
A. 80a .b .
B. 64a .b .
C. 1280a9 .b3 .
D. 60a6 .b4 .
Lời giải
Chọn C.

Câu 3073.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1   1 C6k .86k a122 k .2 k bk
k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa a9b3 là: 1280a9 .b3 .
9

8 

Câu 3074.
[1D2-3.2-3] Trong khai triển  x  2  , số hạng không chứa x là:
x 

A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .
D. 43008 .
Lời giải
Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C9k .x9k 8k.x 2k
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9  k  2k  0  k  3 .
Khi đó số hạng không chứa x là: C93 .83  43008 .

Câu 3079.

[1D2-3.2-3] Hệ số của x3 y 3 trong khai triển 1  x  1  y  là:
6

B. 800 .

A. 20 .

6

D. 400 .

C. 36 .
Lời giải

Chọn D.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Tk 1  C6k .x k .C6m . y m
Yêu cầu bài toán xảy ra khi k  m  3 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa x3 y 3 là: C63.C63  400
Câu 18: [1D2-3.2-3] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Tìm số hạng không chứa x trong khai
n

1 

triển của  x x  4  , với x  0 , nếu biết rằng Cn2  Cn1  44 .
x 

A. 165 .
B. 238 .
C. 485 .
Lời giải
Chọn A.
n  2
ĐK: 
 * .
n 
Ta có Cn2  Cn1  44 

D. 525 .

n  n  1
 n  44  n  11 hoặc n  8 (loại).
2
11

1 

Với n  11 , số hạng thứ k  1 trong khai triển nhị thức  x x  4  là
x 

k
11

C
Theo giả thiết, ta có

x x

11 k

33 11k

 0 hay k  3 .
2
2

k

33 11

 k
 1 
k
2 2
.

C
x
11
 4
x 