D07 tiếp tuyến đi qua 1 điểm muc do 3

x2
 C  và điểm
x 1
A  0; m  . S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C 
sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành. Tập S là
1
 2


A. S   3;  \ 1 .
B. S   2;   .
C. S   3;   \ 1 . D. S    ;   \ 1 .
2
 3


Lời giải
Chọn D
3
Ta có y 
. Phương trình đường thẳng qua A  0; m  có hệ số góc k
2
 x  1

Câu 33: [1D5-2.7-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số y 

x2
 x  1  kx  m

có nghiệm.
d : y  k  x  0   m . d là tiếp tuyến  hệ 

3
k 
2

 x  1
x2
3
 kx  m ta được  m  1 x2  2  m  2  x  m  2  0 1 .
Thay k 
vào
2
x 1
 x  1
Để kẻ được 2 tiếp tuyến thì 1 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác

  3m  6  0
m  2

.

1  m  1
m

1

m  1  2 m  2  m  2  0




Hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành khi y  x1  . y  x2   0

P  2S  4
9m  6
2
x1  2 x2  2
0 m .
0 
.
0 
P  S 1
3
3
x1  1 x2  1
2

m  
Vậy 
3.
m  1
Câu 44: [1D5-2.7-3] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hàm số y   x3  4 x 2  1 có đồ thị là  C  và
điểm M  m;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp
tuyến đến đồ thị  C  . Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
A. 5 .

B.

40
.
9

16
.
9
Lời giải

C.

D.

20
.
3

Chọn B
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  đi qua M  m;1 và có hệ số góc k là: y  k  x  m   1 .
Để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị  C  điều kiện là hệ phương trình sau có đúng
hai nghiệm x phân biệt
3
2
 x3  4 x 2  1  k  x  m   1


 x  4 x  1  k  x  m   1

I  3
k
2
3x 2  8 x  k


x

4
x

1







Thay  2  vào 1 ta được

1
 2


 x3  4 x 2  1   3x 2  8x   x  m   1
 x 2 x 2   3m  4  x  8m  0
x  0
 2
 2 x   3m  4  x  8m  0  3

Như vậy, hệ  I  có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình  3 có một nghiệm bằng 0
và một nghiệm khác 0 ; hoặc phương trình  3 có nghiệm duy nhất khác 0 .
Phương trình  3 có nghiệm x  0 khi và chỉ khi m  0 . Khi đó, phương trình  3 trở thành

x  0

;
2x2  4x  0  
x

2

Do đó m  0 thỏa mãn.
Phương trình  3 có nghiệm duy nhất khác 0 điều kiện là

   3m  4 2  4.2.8m  0

 3m  4
0

 4

   3m  4 2  4.2.8m  0
m  4

  3m  4

.
m  4
0

9

 4
 4 
Như vậy S  0; ; 4  .

 9 
4
40
Tổng giá trị tất cả các phần tử của S là 0   4 
.
9
9

x 1
x 1
có đồ thị  C  và điểm A  a; 2  . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng hai tiếp tuyến

Câu 39.

[1D5-2.7-3]

(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hàm số y 

của  C  đi qua điểm A và có hệ số góc k1 , k 2 thỏa mãn k1  k2  10k12 k22  0 . Tổng giá trị tất cả các
phần tử của S bằng
A. 7 .

B.

7 5
.
2

C.

5 5
.
2

D.

7
.
2

Lời giải
Chọn A
Ta có y 

2

 x  1

2

.

 t 1 
Gọi tọa độ tiếp điểm là M  t ;
.
 t 1 

Phương trình tiếp tuyến tại M là y   x  t 

2

 t  1

Do tiếp tuyến đi qua A  a; 2  nên ta có 2   a  t 

2



t 1
.
t 1

2

 t  1

2



t 1
 t 2  6t  3  2a  0
t 1

1 .


Gọi t1 , t2 là hai nghiệm của 1 suy ra k1 
k1  k2  10k12 k22  0 

2



2

2

 t1  1

 10

2

và k2 

4

2

 t2  1

4



2

.

0

 t1  1  t2  1
 t1  1  t2  1
2
2
2
2
2
2
  t1  1   t2  1   t1  1  t2  1  80   t1  t2   2t1t2  2  t1  t2   2 t1t2  t1  t2  1  80 .




2

2

4

4

Mặt khác theo viet có t1  t2  6 và t1t2  3  2a .
Thay vào ta có  20  4a  2a  2 

2

a  0

 80   5  a  a  1  5  
.
a  7  5

2
2

Vậy chọn A.
Câu 2184.[1D5-2.7-3] Cho hàm số y  x 4  x 2  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết
tiếp tuyến đi qua điểm M  1;3 .
A. y  6 x  2

B. y  6 x  9

C. y  6 x  3
Lời giải

D. y  6 x  8

Chọn C
Ta có: y '  4 x3  2 x . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y   4 x03  2 x0   x  x0   x04  x02  1
Vì tiếp tuyến đi qua M  1;3 nên ta có:

3   4 x03  2 x0   1  x0   x04  x02  1  3x04  4 x03  x02  2 x0  2  0

 ( x0  1)2 (3x02  2 x0  2)  0  x0  1  y0  3, y '( x0 )  6
Phương trình tiếp tuyến: y  6 x  3 .

Câu 2187.

[1D5-2.7-3] Cho hàm số y 

2x  2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
x 1

tuyến đi qua điểm A(4;3)

1
1

y


x


9
9
A. 
1
y   x  1

4
4

1
31


y


x


9
9
B. 
1
31
y   x 

4
4

1
1

y


x


9
9
C. 
1

 y   x  31

4
4
Lời giải

1
31

y


x


9
9
D. 
1
1
y   x 

4
4

Chọn D

4
( x  1)2
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

2x  2
4
4  x0   0
Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có: 3 
2 
( x0  1)
x0  1
Hàm số xác định với mọi x  1 . Ta có: y ' 

 3( x0  1)2  4( x0  4)  2( x02  1)  x02  10 x0  21  0  x0  3, x0  7
8
1
1
8
1
31
 x0  7  y0  , y '( x0 )   . Phương trình tiếp tuyến y    x  7     x  .
3
9
9
3
9
9
1
1
1
1
 x0  3  y0  1, y '( x0 )   . Phương trình tiếp tuyến y    x  3  1   x  .
4
4

4
4


Câu 2191.

[1D5-2.7-3] Cho hàm số y 

2x 1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
x 1

tuyến đi qua A  7;5 .
3
1
3
29
A. y   x  , y  x 
4
4
16
16
3
1
3
9
C. y   x  , y  x 
4
4
16

16

3
1
3
2
B. y   x  , y  x 
4
2
16
16
3
1
3
29
D. y   x  , y  x 
4
4
16
16
Lời giải

Chọn D

3
. Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A  7;5 nên ta có:
( x  1)2
 x0  1
2x 1
3

5
7  x0   0
 x02  4 x0  5  0  
2 
( x0  1)
x0  1
 x0  5
3
1
3
29
Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: y   x  , y  x  .
4
4
16
16
Ta có y ' 

Câu 2224.

[1D5-2.7-3] Cho hàm số y  2 x 4  4 x 2  1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến

của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) .
64
1
x
27
81
64
51

C.  : y  3 hay  : y   x 
27
2

A.  : y  3 hay  : y  

64
1
x
27
8
64
51
D.  : y  3 hay  : y   x 
27
81
Lời giải

B.  : y  3 hay  : y  

Chọn D
Ta có y '  8x3  8x
Gọi M ( x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến  tại M có phương trình:

y  (8x03  8x0 )( x  x0 )  2 x04  4 x02  1.Vì tiếp tuyến  đi qua A(1; 3) nên ta có
3  (8x03  8x0 )(1  x0 )  2 x04  4 x02  1
 3x04  4 x03  2 x02  4 x0  1  0  ( x0  1)2 ( x0  1)(3x0  1)  0

 x0  1   : y  3
1

64
51
 x0    : y   x  .
3
27
81
Câu 2247. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y  x3  3x2  9x  1 có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến

của  C  , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 6) .
A. y  7; y  9x  3 . B. y  6; y  9x  7 . C. y  6; y  2x  3 . D. y  6; y  9x  3 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: y '  3( x2  2x  3) . Gọi M( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến  tại M :
y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 .
Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình
6  3( x02  2x0  3)(1  x0 )  x03  3x02  9x0  1

 x03  3x0  2  0  ( x0  1)2 ( x0  2)  0  x0  1, x0  2
 x0  1  y  6


 x0  2  y  9x  3 .
x3
 1
 x 2  3x  1 đi qua điểm A  0; 
3
 3
1
1
C. y  x  .

D. y  3x  .
3
3
Lời giải

Câu 2274. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : y 

1
A. y  3x  .
3

B. y  3x 

2
.
3

Chọn D
TXĐ: D 
Ta có: y '  x2  2x  3
Phương trình tiếp tuyến d của  C  có dạng : y  y '( x0 )( x  x0 )  y( x0 )
( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với  C  )
y  ( x02  2 x0  3)( x  x0 ) 

x03
2
 x02  3x0  1  ( x02  2x0  3)x  x03  x02  1
3
3

 1
1
2
A  0;   d    x03  x02  1  2 x03  3x02  4  0  x0  2.
3
3
 3
1
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  3x  .
3

 23

Câu 2276. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : y  x3  3x2  2 đi qua điểm A  ; 2  .
 9





 y  2
y  2
 y  2
 y  2




A.  y  9 x  25 .
B.  y  x  25 .

C.  y  9 x  2 .
D.  y  x  5 .




5
5
5
61
61
1
61
y  x 
y  x 
y  x 
y  x 
3
3
3
27
27
2

27



Lời giải
Chọn A

Gọi M0  x0 ; y0   C  . Phương trình tiếp tuyến  d  của  C  tại M0 là



 

y  y0  y '  x0  x  x0   y  x03  3x02  2  3x02  6x0

x  x 
0

 23

Do  d  đi qua điểm A  ; 2  nên
 9

 23

2  x03  3x02  2  3x02  6 x0   x0   6 x03  32 x02  46 x0  12  0
 9




 




 x0  2  y  2


  x0  2  3x02  10 x0  3  0   x0  3  y  9 x  25 .

1
5
61
 x0   y  x 
3
3
27

Câu 2277. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : y  x3  2x2  x  4 đi qua điểm





M  4; 24  .

A. y  3x  508; y  x  8; y  5x  4.
C. y  133x  508; y  x  8; y  x  4.
Chọn D

B. y  13x  5; y  8x  8; y  5x  4.
D. y  133x  508; y  8x  8; y  5x  4.
Lời giải


Hàm số đã cho xác định và liên tục trên .
Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x0 khi đó phương trình

tiếp tuyến    có dạng:





y  y '  x0  x  x0   y  x0   3x0  4x0  1  x  x0   x03  2x02  x0  4
2





Vì    đi qua điểm M  4; 24  nên: 24  3x0  4 x0  1  4  x0   x03  2x02  x0  4
2

 x03  5x02  8x0  12  0  x0  6 hoặc x0  1 hoặc x0  2.
- Với x0  6 thì phương trình tiếp tuyến là y  133x  508
- Với x0  1 thì phương trình tiếp tuyến là y  8x  8
- Với x0  2 thì phương trình tiếp tuyến là y  5x  4
Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  133x  508; y  8x  8; y  5x  4.
Câu 2278. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
qua điểm M(6; 4) .

x2  2 x  1
, biết tiếp tuyến đi
x2

1
1

x .
4
2
3
1
D. y  4 và y  x  .
4
2
Lời giải

1
A. y  5 và y  x  .
2
3
C. y  5 và y  x  6 .
4

B. y  4 và y 

Chọn D
Đường thẳng  đi qua M(6; 4) với hệ số góc k có phương trình : y  k( x  6)  4


1
 x  x  2  k( x  6)  4 (1)
có nghiệm x0
 tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 
1
1 
k

(2)
 ( x  2)2
Thay (2) vào (1) và biến đổi, ta được: x0 
Thay vào (2) ta có: k 



1
1
  1 
( x  6)  4  x0  0, x0  3
2 
x0  2  ( x0  2)  0

3
,k  0 .
4

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y  4 và y 

3
1
x .
4
2

Câu 2279. [1D5-2.7-3] Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  : y 
A  6; 5  .
x 7
 .

4 2
x 7
C. y  x  1 , y    .
4 2

A. y  x  1 , y 

Chọn C





x2
, biết d đi qua điểm
x2

x 5
B. y  x  1 , y    .
4 2
x 7
D. y  x  1 , y   .
4 2
Lời giải

Cách 1: Gọi x0 ; y  x0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và  C  , với


y  x0  

y

x0  2
4
, tiếp tuyến d có hệ số góc y '  x0  
, x0  2 và d có phương trình:
2
x0  2
x

2
 0 

4

x

0

 2

2

x0  2
2
0

x  x   x
0

d đi qua điểm A  6; 5  nên có 5 

4

x

0

 2

2

x0  2
phương trình này tương đương
2
0

 6  x   x
0

với x02  6x0  0  x0  0 hoặc x0  6
Với x0  0 , ta có phương trình: y  x  1
x 7
Với x0  6 , ta có phương trình: y   
4 2
x 7
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y  x  1 , y    .
4 2
Cách 2: Phương trình d đi qua A  6; 5  có hệ số góc k , khi đó d có phương trình

là : y  k  x  6   5
d tiếp xúc  C  tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ :


x0  2
 k  x0  6   5 
x0  2

có nghiệm x0

4
k  
2

x

2


0

4 x02  24 x0  0
 x0  0, k  1  d : y   x  1

4
hay 
có nghiệm x0  
k
 x  6, k   1  d : y   x  7
2


 0
4
4 2
 x0  2 

x 7
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y  x  1 , y    .
4 2
3
2
Câu 2280. [1D5-2.7-3] Cho hàm số y  x  3x  9x  11 có đồ thị là  C  . Lập phương trình tiếp tuyến
 29

của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm I  ;184  .
 3

A. y  8x  36; y  36x  14; y  15x  9 .
B. y  40x  76; y  36x  14; y  15x  9 .
C. y  420x  76; y  x  164; y  x  39 .
D. y  420x  3876; y  36x  164; y  15x  39 .
Lời giải
Chọn D
Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x0 khi đó

   có dạng:
  y  x    3x  6 x

phương trình tiếp tuyến

y  y '  x0  x  x0

2

0

0

0



 9  x  x0   x0  3x02  9x0  11
3





2
 29

 29
 3
Vì    đi qua điểm I  ;184  nên: 184  3x0  6 x0  9   x0   x0  3x02  9 x0  11
 3

 3

3

2
 2x0  32x0  58x0  260  0  x0  13 hoặc x0  5 hoặc x0  2.

- Với x0  13 thì phương trình tiếp tuyến là y  420x  3876


- Với x0  5 thì phương trình tiếp tuyến là y  36x  164
- Với x0  2 thì phương trình tiếp tuyến là y  15x  39
Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y  420x  3876; y  36x  164; y  15x  39 .
Câu 2282. [1D5-2.7-3] Gọi  C  là đồ thị của hàm số y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của

 C  đi qua điểm A  2;7  .
A. y  9 x  25 .

B. y  9 x  9 .

C. y  9 x  2 .
Lời giải

D. y  9 x  25 .

Chọn A
Phương trình tiếp tuyến d đi qua A  2;7  có dạng y  k  x  2   7 .
3
2

 x  3x0  2  k( x0  2)  7 (3)
có nghiệm x0
d tiếp xúc  C  tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  0 2

3
x

6
x

k
(4)

0
 0
Thay  4  vào  3 ta được:

x03  3x02  2  (3x02  6x0 )( x0  2)  7  2x03  9x02  12x0  9  0  x0  3 .

Thay x0  3 vào  4  ta được k  9 . Suy ra phương trình d : y  9 x  25 .

Câu 2284.[1D5-2.7-3] Cho hàm số y  (2  x)2 x2 , có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  ,
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 0) .
2
32
6
A. y   x 
.
B. y   x  9 .
27
27
27

C. y  

Lời giải

32
4
.
x
27
27

D. y  

32
64
.
x
27
27

Chọn D
Ta có: y  x4  4x3  4x2  y '  4x3  12x2  8x
Cách 1: Gọi M( x0 ; y0 )  (C) .

Tiếp tuyến  của  C  tại M có phương trình :

y  (4x03  12x02  8x0 )( x  x0 )  y0 .

A   0  (4x03  12x02  8x0 )(2  x0 )  x02 ( x0  2)2
4
.
3

* x0  0  y '( x0 )  0, y0  0  Phương trình tiếp tuyến y  0
 (2  x0 )(3x03  10 x02  8 x0 )  0  x0  0, x0  2, x0 

* x0  2  y '( x0 )  0, y0  0  Phương trình tiếp tuyến y  0
32
64
4
32
64
.
 y '( x0 )   , y0 
 Phương trình tiếp tuyến: y   x 
27
27
3
27
81
Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A , có hệ số góc k  d : y  k( x  2)

* x

2
2

(2  x0 ) x0  k( x0  2)
d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 
có nghiệm x0

4 x0 ( x0  2)( x0  1)  k
Thay k vào phương trình thứ nhất ta được:

x04  4x03  4x02  ( x0  2)(4x03  12x02  8x0 )  x0 (3x0  4)( x0  2)2  0

4
.
3
* x0  0  k  0  Phương trình tiếp tuyến y  0 .
 x0  0, x0  2, x0 

* x0  2  k  0  Phương trình tiếp tuyến y  0 .


* x0 

4
32
32
64
.Câu 3917:
[1D5-2.7-3] Cho hàm
k
 Phương trình tiếp tuyến y   x 
3
27
27
27
x2
số y 
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm  –6;5  là:
x2
1

1
7
7
A. y  – x –1 ; y  x  .
B. y  – x –1 ; y   x  .
4
4
2
2
1
1
7
7
C. y  – x  1 ; y   x  .
D. y  – x  1 ; y   x  .
4
4
2
2
Lời giải
Chọn B
x2
4
.
y
 y 
2
x2
 x  2
x2

tại điểm M  x0 ;y0    C  với x0  2 là:
x2
x 2
4
y  y  x0  x  x0   y0  y 
.
x  x0   0
2 
x0  2
 x0  2 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y 

Vì
5

tiếp
4

 x0  2 

tuyến

6  x0  
2 

đi

qua

 –6;5

điểm

nên

ta

có

 x0  0
x0  2
 4 x02  24 x0  0  
x0  2
 x0  6

1
7
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y  – x –1 và y  – x  .
4
2

Câu 3918:

3x  4
là:
x 1
B. y  –24 x  51 ; y  x  1 .
D. y  28x  59 ; y  24 x  51 .
Lời giải

[1D5-2.7-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm  2;3 tới đồ thị hàm số y 

A. y  28x  59 ; y  x  1.
C. y  28x  59 .
Chọn C
3x  4
7
.
y
 y 
2
x 1
 x  1

3x  4
tại điểm M  x0 ;y0    C  với x0  2 là:
x 1
3x  4
7
y  y  x0  x  x0   y0  y 
.
x  x0   0
2 
x0  1
 x0  1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y 

Vì tiếp tuyến đi qua điểm  2;3 nên ta có 3 

7

 x0  1

2

 2  x0  

3x0  4
3
 x0  .
2
x0  1

Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y  –28x  59 .
Câu 2518.

[1D5-2.7-3] Cho hàm số y 

qua điểm A  1;0  là:
A. y 

3
x
4

B. y 

x2  x  1

có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  đi
x 1

3
 x  1
4

C. y  3  x  1
Lời giải

Chọn B

D. y  3x  1


Gọi d là phương trình tiếp tuyến của  C  có hệ số góc k ,
Vì A  1;0   d suy ra d :

y  k  x  1

 x2  x  1
 x  1  k ( x  1) (1)

d tiếp xúc với  C  khi hệ  2
có nghiệm
x

2
x


k
(2)
 ( x  1) 2

Thay  2  vào 1 ta được x  1  k  y(1) 

3
.
4

Vậy phương trình tiếp tuyến của  C  đi qua điểm A  1;0  là: y 

3
 x  1
4

[1D5-2.7-3] Qua điểm A  0; 2  có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số

Câu 2523.

y  x4  2x2  2

B. 3

A. 2

C. 0
Lời giải

D. 1

Chọn B
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.
Vì A(0; 2)  d nên phương trình của d có dạng: y  kx  2
4
2

 x  2 x  2  kx  2
Vì d tiếp xúc với đồ thị (C ) nên hệ  3

4 x  4 x  k

(1)

có nghiệm

(2)

x  0
Thay  2  và 1 ta suy ra được 
x   2

3

Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C 
Câu 2533.

[1D5-2.7-3] Cho hàm số y  x3  6 x 2  9 x  1 có đồ thị là  C  . Từ một điểm bất kì trên

đường thẳng x  2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến  C  :

A. 2 .

B. 1 .

C. 3 .
Lời giải

D. 0.

Chọn B
Xét đường thẳng kẻ từ một điểm M  2; 0  trên đường thẳng x  2 có dạng
 : y  k ( x  2)  kx-2k .
3
2
3
2


 x  6 x  9x-1=kx  2k
2 x  12 x  24x-17=0
có nghiệm   2
 là tiếp tuyến của  C    2


3x  12x  9  k
3x  12x  9  k
Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp
tuyến.
Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x  2 có dạng y  a song song với trục
Ox cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến.

[1D5-2.7-3] Cho hàm số y  f  x   x3  3x  2 có đồ thị (C ) . Tiếp tuyến với (C ) đi qua

Câu 2771:

điểm A  0; 2  là
B. y  2 x  3 .
C. y  3x  2 .
Lời giải

A. y  2 x  3 .

D. y  3x  2 .

Chọn D
y  f  x   x3  3x  2; A  0;2 
Vì A  C  nên phương trình tiếp tuyến tại A

y   f   x   3x 2  3  f   0   3
 PTTT : y = -3x + 2
Câu 27: [1D5-2.7-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số
y  x3  3x 2  2 x . Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A  1;0  ?
A. 1 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

D. 4 .

Chọn C
Phương trình đường thẳng qua điểm A  1;0  có dạng: y  a  x  1  ax  a  d  .
Đường thẳng  d 

3
2

 x  3x  2 x  ax  a
là tiếp tuyến khi hệ  2
có nghiệm. Dễ thấy hệ có ba

3x  6 x  2  a

nghiệm  a; x  phân biệt nên có ba tiếp tuyến.
Câu 6:

[1D5-2.7-3] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

y  x 2  2 x  3 có đồ thị  C  và điểm A 1; a  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng
hai tiếp tuyến của  C  đi qua A ?
A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A





Gọi M x0 ; x02  2 x0  3 là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại M có dạng là: y  x02  2 x0  3 

x0  1

 y

x02  2 x0  3

x

3  x0
x02  2 x0  3

x0  1
x02  2 x0  3

 x  x0  .

.

Vì tiếp tuyến của  C  tại M đi qua điểm A 1; a  nên ta có:

a

x0  1
x  2 x0  3
2
0



3  x0
x  2 x0  3
2
0



2
x  2 x0  3
2
0

 a x02  2 x0  3  2 .



a  0
a  0
 2 2
.
 2 2

2
a
x

2
x

3

4
a
x

2
ax

3
a

4

0






0
0

0

 0

Vì qua A kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến  C  nên   phải có hai nghiệm phân biệt


a  0
a  0
a  0
15

.


  15
0a
15
4
2
2
3
a
  3a  5a  0
  3a  5  0

3
 3

Vì a 

nên a  1 .

[1D5-2.7-3] Cho hàm số y 

Câu 1132.

1
7
x .
4
2
1
7
C. y  – x  1 ; y   x  .
4
2

A. y  – x –1 ; y 

x2
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm  –6;5  là
x2
1
7
B. y  – x –1 ; y   x  .
4
2
1
7

D. y  – x  1 ; y   x  .
4
2
Lời giải

Chọn B
x2
4
.
y
 y 
2
x2
 x  2
x2
tại điểm M  x0 ;y0    C  với x0  2 là:
x2
x 2
4
y  y  x0  x  x0   y0  y 
.
x  x0   0
2 
x0  2
 x0  2 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y 

Vì
5

tiếp
4

 x0  2 

tuyến

6  x0  
2 

đi

qua

 –6;5

điểm

nên

ta

có

 x0  0
x0  2
 4 x02  24 x0  0  
x0  2
 x0  6

1
7
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y  – x –1 và y  – x  .
4
2

Câu 1133.

3x  4
là
x 1
B. y  –24 x  51 ; y  x  1 .
D. y  28x  59 ; y  24 x  51 .
Lời giải

[1D5-2.7-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm  2;3 tới đồ thị hàm số y 

A. y  28x  59 ; y  x  1.
C. y  28x  59 .
Chọn C
3x  4
7
.
y
 y 
2
x 1
 x  1

3x  4
tại điểm M  x0 ;y0    C  với x0  2 là:
x 1
3x  4
7
y  y  x0  x  x0   y0  y 
.
x  x0   0
2 
x0  1
 x0  1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y 

Vì tiếp tuyến đi qua điểm  2;3 nên ta có 3 

7

 x0  1

2

 2  x0  

3x0  4
3
 x0  .
2
x0  1

Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y  –28x  59 .
Câu 42: [1D5-2.7-3] (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội_Lần 1-2018-BTN) Cho hàm số y  x3  3x 2 có đồ
thị  C  và điểm M  m ;  4  . Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  10;10 sao cho qua
điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến  C  .
A. 20 .

B. 15 .

C. 17 .
Lời giải

D. 12 .


Chọn C
Tập xác định: D 

. Đạo hàm: y  3x 2  6 x .

Ta nhận thấy các đường thẳng x  a với a 

không phải là tiếp tuyến của  C  và một

đường thẳng không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba tại hai điểm phân biệt.
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua M  m ;  4  là: d : y  k  x  m   4 với k 
góc của đường thẳng.
Qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến

C 

là hệ số

khi và chỉ khi hệ phương trình

2

k  3x  6 x
có ba nghiệm phân biệt

3
2
k
x

m

4

x

3
x





  3x 2  6 x   x  m   x3  3x 2 có ba nghiệm phân biệt

 2 x3  3  m  1 x 2  6mx  0 có ba nghiệm phân biệt

 x 2 x 2  3  m  1 x  6m  0 có ba nghiệm phân biệt

 2 x2  3  m  1 x  6m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

1
m

2

  9  m  12  48m  0
9m  30m  9  0
3

.


 
m3
m  0
m  0

m  0
m   10;10
Với điều kiện trên và với 
ta có m10;  9;...;  1;4;5;...;10 .
m 
Vậy có 17 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.