Đề thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Môn Toán

LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG
Bộ giáo dục và đào tạo
đại học tổng hợp hà nội
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh vào các lớp chuyên 1994
Vòng 1. Môn Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu I:
a) Giải phương trình:
2
4
1
x
2
1
xx =++++
b) Giải hệ phương trình:



=+
=++
12xy8
0y12xy2x
22
23
Câu II:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
)yx4(yxA
2

−−=
khi x, y thay đổi
và thỏa mãn điều kiện:
6yx vµ 0y ; 0x ≤+≥≥
Câu III:
Cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam
giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh rằng:
222
a
4
r
1
R
1
=+
Câu IV:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Quay tam giác đó quanh
O một góc 90
0
(theo chiều nào cũng được) ta nhận được tam giác A
1
B
1
C
1
. Tính diện tích
phần chung của hai tam giác theo R.
Câu V:
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau sao cho biểu thức:
ca

1
bc
1
ab
1
c
1
b
1
a
1
A +++++=
nhận giá trị dương.
1
LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG
đại học quốc gia hà nội
Trường đại học khoa học tự nhiên
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
---------------o0o---------------
Đề thi tuyển sinh phổ thông trung học chuyên năm 1998
Môn thi : Toán cho tất cả thí sinh thi vào các khối chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I: 1) Giải phương trình:
48xx2
22
=++−
2) Giải hệ phương trình :




=++
=++
21yyxx
7yxyx
4224
22
Câu II: Các số a và b thỏa mãn điều kiện :



=+
=+
98ba3b
19ab3a
23
23
Hãy tính giá trị của biểu thức:
22
baP +=
Câu III: Cho các số
[ ]
1 ; 0 c,b,a ∈
Chứng minh rằng:
1cabcabcba
32
≤−−−++
Câu IV: Cho đường tròn
)(ε
bán kính R. A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB

< 2R). Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn.
1) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt
đường tròn
)(ε
tại N. Gọi J là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên
đường tròn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định.
2) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của
AMB
∆
là lớn nhất.
Câu V: 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n + 26 và n – 11 đều là lập
phương của một số nguyên dương.
2) Cho các số x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện:
1zyx
222
=++
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( ) ( )
[ ]
2
2
2
2
2
2
yxzxzyzyx
2
1
zxyzxyP −+−+−+++=
2

LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG
đại học quốc gia hà nội
Trường đại học khoa học tự nhiên
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
---------------o0o---------------
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
hệ phổ thông trung học chuyên năm 1999
Môn thi : Toán học
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu I: Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện :



=++
=++
14cba
0cba
222
Hãy tính giá trị của biểu thức:
444
cba1P +++=
Câu II: 1) Giải phương trình:
8x2x73x −=−−+
2) Giải hệ phương trình:








=+
=+++
2
5
xy
1
xy
2
9
y
1
x
1
yx
Câu III: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho :
2n9n
2
−+
chia hết cho 11n +
Câu IV: Cho vòng tròn (C ) và điểm I ở trong vòng tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ
MIN và EIF. Gọi
F,E,N,M
′′′′
là các trung điểm của IM, IN, IE, IF.
1) Chứng minh rằng tứ giác
FNEM
′′′′
là tứ giác nội tiếp.

2) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn
ngoại tiếp tứ giác
FNEM
′′′′
có bán kính không đổi.
3) Giả sử I cố định, các dây MIN, EIF thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau.
Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác
FNEM
′′′′
có diện tích lớn nhất.
Câu V: Các số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x + y = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:






+








+=
2
2

2
2
x
1
y
y
1
xP
3
LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG
Đại học quốc gia hà nội
Trường đại học khoa học tự nhiên
Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên năm 2000
Môn thi : Toán (cho mọi thí sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I:
1) Tính :
2000.1999
1
...
3.2
1
2.1
1
S +++=
2) Giải hệ phương trình:








=++
=++
3
y
x
y
1
x
3
y
x
y
1
x
2
2
Câu II:
1) Giải phương trình
1x11xxx1x
423
−+=++++−
2) Tìm tất cả các giá trị của a (a là số thực) để phương trình
07a4x)
2
11
a4(x2
22

=+++−
, có ít nhất một nghiệm nguyên.
Câu III: Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và
với cạnh CD tại F (như hình vẽ)
1) Chứng minh rằng

CF
DF
AE
BE
=

2) Cho biết AB = a, CB = b (a < b), BE =2 AE
Tính diện tích hình thang ABCD.
Câu IV: Cho x, y là hai số thực bất kỳ khác không.
Chứng minh rằng

3
x
y
y
x
)yx(
yx4
2
2
2
2
222
22

≥++
+
Đẳng thức xảy ra khi nào?
4
F
E
D
C
B
A
LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG
đại học quốc gia hà nội
Trường đại học khoa học tự nhiên
Đề thi tuyển sinh lớp 10 Hệ thpt chuyên năm 2001
Môn thi : toán (cho mọi thí sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I: Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:
22
y1x)2y( =++
Câu II: 1) Giải phương trình:
2
x2)1x(x)1x3(x =−−+
2) Giải hệ phương trình:





=+
+=++

2yx
yx32xyx
22
2
Câu III: Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a. Trên đoạn AB lấy điểm M. Trong nửa
mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ 2 tia Mx và My sao cho
0
30BMyAMx =∠=∠
. Tia Mx cắt nửa vòng tròn ở E, tia My cắt nởa vòng tròn ở F. Kẻ
EE
′
,
FF
′
vuông góc xuống AB.
1) Cho
2
a
AM =
. Tính diện tích hình thang vuông
FFEE
′′
theo a.
2) Khi điểm M di động trên AB, chứng minh đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một
vòng tròn cố định.
Câu IV: Giả sử x, y, z là các số thực khác không thỏa mãn hệ thức:






=++
−=+++++
1zyx
2)
y
1
x
1
(z)
x
1
z
1
(y)
z
1
y
1
(x
333
Hãy tính giá trị của biểu thức:
z
1
y
1
x
1
P ++=
Câu V: Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

)xz)(zy)(yx(
xyz
M
+++
=
5