Matroid và ứng dụng của nó trong bài toán chặn trên cho chỉ số chính quy của tập các điểm béo

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC KHOA

MATROID VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG BÀI
TOÁN CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA
TẬP CÁC ĐIỂM BÉO

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng
và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.
Huế, ngày 5 tháng 9 năm 2019
Học viên thực hiện

Trần Đức Khoa

i

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS.
Phan Văn Thiện. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động
viên, giúp đỡ của thầy; sự tận tình giảng dạy, hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi của các
thầy cô trong Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học - Trường ĐHSP - Đại học Huế.
Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học Toán
Đại Số và lý thuyết số K26 - Trường ĐHSP Huế đã động viên giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập và làm luận văn này.
Do đây là lần đầu tiên thực hiện công việc nghiên cứu, nên trong luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy,
cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn!
Huế, ngày 5 tháng 9 năm 2019
Học viên thực hiện

Trần Đức Khoa

ii


MỤC LỤC

MỤC LỤC

1

MỞ ĐẦU

2

Chương 1
1.1

1.2

4

Khái niệm matroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định nghĩa matroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Matroid vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Cơ sở của matroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Hạng của matroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5

Bao đóng của matroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.6

Matroid đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chỉ số chính quy của tập điểm béo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1

Vành phân bậc và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2

Hàm Hilbert và đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3

Vành tọa độ xác định bởi một tập điểm . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4

Chỉ số chính quy của một tập điểm béo . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2
2.1

Các khái niệm cơ bản

Ứng dụng của matroid

15

Các kết quả về chặn trên cho chỉ số chính quy của tập các điểm béo trước
kết quả của Uwe Nagel và Bill Trok [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

2.1.1

Một số kết quả trước năm 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2

Giả thuyết Ngô Việt Trung và một số kết quả đạt được . . . . . . 17

Ứng dụng của matroid trong bài báo của Uwe Nagel và Bill Trok [24] . . 19
2.2.1

Matroid phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2

Kỹ thuật quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1


2.2.3

Ứng dụng của matroid trong bài toán chặn trên cho chỉ số chính
quy của tập các điểm béo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

KẾT LUẬN

24

2


MỞ ĐẦU
Lý thuyết matroid được giới thiệu lần đầu bởi Hassler Whitney vào năm 1935 và
được B. L. Van Der Wearden đưa ra ngay sau đó một cách độc lập, tên matroid xuất
phát từ việc nghiên cứu tính độc lập của các cột trong ma trận.
Lý thuyết matroid nghiên cứu về sự gắn kết của cấu trúc hình học mang tính chất
trừu tượng với cấu trúc hình học mang tính cụ thể. Mặc dù ra đời khá muộn nhưng việc
nghiên cứu matroid đã phát triển và trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh và có nhiều
ứng dụng với lý thuyết đồ thị.
Từ năm 1961 đến nay, việc tìm chặn trên cho chỉ số chính quy của một tập điểm

béo là vấn đề đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Để tìm ra được chặn trên
tốt cho chỉ số chính quy của một tập điểm béo tùy ý là vấn đề khó, vì vậy người ta
thường giải bài toán chặn trên này cho tập các điểm béo có những điều kiện nào đó.
Năm 1996, N. V. Trung đã đưa ra giả thuyết về chặn trên cho chỉ số chính quy của
tập điểm béo tùy ý trong Pn , giả thuyết này đã tổng quát được các kết quả nghiên cứu
trước đó.
Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps là tập điểm béo trong Pn . Khi đó
reg (Z) ≤ max {Tj |j = 1, 2, ..., n}
Với Tj = max

1
mi1 + ... + miq + j − 2
j

|Pi1 , ..., Piq nằm trên một j- phẳng .

Giả thuyết của N. V. Trung đã được nhiều nhà toán học quan tâm, nhưng hầu
hết chỉ chứng minh được giả thuyết đúng cho các không gian xạ ảnh chiều thấp và các
trường hợp đặc biệt của tập điểm béo. Cho đến năm 2018, Uwe Nagel và Bill Trok [24]
đã vận dụng lý thuyết matroid để chứng minh giả thuyết của N.V.Trung là đúng trong
trường hợp tổng quát và giải quyết bài toán chặn trên cho chỉ số chính quy của tập các
điểm béo một cách hiệu quả.
Trong luận văn này chúng tôi trình bày lại khái niệm matroid và các tính chất của
nó, sau đó chúng tôi nghiên cứu cách sử dụng matroid để giải bài toán chặn trên cho
chỉ số chính quy của tập các điểm béo của Uwe Nagel và Bill Trok [24].
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày
trong 2 chương như sau:
Chương 1. Các khái niệm cơ bản
3

Chương 2. Ứng dụng của matroid trong bài toán chặn trên cho chỉ số chính quy của
tập các điểm béo
Trong chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm matroid và chỉ số chính quy của tập
điểm béo. Trong chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả về chặn trên cho chỉ số chính
quy của tập các điểm béo trước kết quả của Uwe Nagel và Bill Trok; tiếp theo chúng
tôi trình bày tường minh ứng dụng của matroid trong bài báo của Uwe Nagel và Bill
Trok [24]. Đây là kết quả chính của luận văn.
Do thời gian và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhân được sự góp ý, giúp đỡ của quý thầy cô và
bạn đọc.

4


Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Chương này trình bày một số khái niệm và ví dụ cơ bản về matroid như: matroid
vòng; hạng của matroid; bao đóng của matroid; matroid đối ngẫu. Các khái niệm được
đưa ra sau đây dựa trên các tập con độc lập của tập nền E.
Quy ước chung của chương:
Khi loại bỏ một phần tử e ra khỏi tập X, tôi sử dụng kí hiệu X − {e}, tức là
X − {e} = X \ {e}. Với các tập hợp X, Y ta ký hiệu X − Y = X \ Y = {x ∈ X : x ∈
/ Y }.
Ký hiệu V (r, F ) là một không gian vectơ r−chiều trên trường F , với r là một số tự
nhiên.
Các khái niệm, ví dụ cơ bản được trình bày trong chương này có trong tài liệu tham
khảo [1], [4], [14], [25], [26].

1.1
1.1.1

Khái niệm matroid
Định nghĩa matroid

Định nghĩa 1.1.1 ([25, trang 8]). Một matroid M là một cặp (E, I) gồm tập hữu hạn
E và họ I các tập con của E thỏa mãn các điều kiện sau:
M (1i)

∅ ∈ I.

M (2i)

Nếu I ∈ I và I ⊆ I thì I ∈ I

M (3i)

Nếu I1 , I2 ∈ I và |I1 | < |I2 | thì sẽ tồn tại phần tử e ∈ I2 − I1 sao cho

I1 ∪ {e} ∈ I.
Nếu M là matroid (E, I), thì M được gọi là matroid trên E. Các phần tử của I là
các tập độc lập của M , và E gọi là tập cơ sở của M . Chúng ta thường viết I(M ) cho
I và E(M ) cho E, trong trường hợp matroid M đã được xác định. Một tập con của E
không nằm trong I được gọi là tập phụ thuộc.
5


Tên matroid được đặt bởi Whitney (1935) vì một lớp ví dụ cơ bản của các đối tượng
như vậy phát sinh từ ma trận theo cách sau.

Mệnh đề 1.1.1 ([25, Mệnh đề 1.1.1]). Cho E là tập hợp gồm các nhãn cột của ma trận
[A]mxn trên trường F và gọi I là tập các tập con X của E mà các cột có nhãn X là độc
lập tuyến tính trong không gian vectơ V (m, F ). Khi đó (E, I) là một matroid.
Matroid thu được như trên từ ma trận A được gọi là matroid vectơ của A và được
ký hiệu là M [A].

1.1.2

Matroid vòng

Một tập phụ thuộc tối tiểu của một matroid M được gọi là một vòng của M và
chúng ta ký hiệu tập các vòng của M là C hoặc C (M ).
Một vòng của M có n phần tử được gọi là một n-vòng.
Các phần tử của tập I(M ) là tập con của E(M ) và nó không chứa phần tử của
C (M ). Do đó matroid được xác định duy nhất bởi các tập vòng C của nó.

Bây giờ chúng tôi giới thiệu một số tính chất của C . Ta có tính chất sau:
Bổ đề 1.1.2 ([25, Bổ đề 1.1.3]). Tập các vòng C của một matroid có các tính chất sau:
C(1i) ∅ ∈
/ C.
C(2i) Nếu C1 , C2 ∈ C và C1 ⊆ C2 thì C1 = C2 .
C(3i) Nếu C1 , C2 ∈ C , C1 = C2 và e ∈ C1 ∩ C2 thì tồn tại C3 ∈ C , C3 ⊆ (C1 ∪
C2 ) − {e}.
Điều kiện C(3i) được gọi là tiên đề khử vòng loại, hay là tiên đề khử vòng loại yếu.
Định lý 1.1.3 ([25, Định lý 1.1.4]). Cho tập hợp E và C là họ các tập con của E thỏa
mãn điều kiện C(1i) − C(3i). Gọi I là họ các tập con của E không chứa phần tử nào
của C , thì (E, I) là một matroid có C là họ các vòng của nó.
Mệnh đề 1.1.4 ([25, Hệ quả 1.1.5]). Cho tập hữu hạn E và C là họ các tập con của
E. Khi đó C là tập các vòng của matroid M trên E khi và chỉ khi thỏa mãn các điều
kiện sau:

C(1i) ∅ ∈
/ C.
6


C(2i) Nếu C1 , C2 ∈ C và C1 ⊆ C2 thì C1 = C2 .
C(3i) Nếu C1 , C2 ∈ C , C1 = C2 và e ∈ C1 ∩ C2 thì tồn tại C3 ∈ C , C3 ⊆ (C1 ∪
C2 ) − {e}.
Mệnh đề 1.1.5 ([25, Mệnh đề 1.1.7]). Cho E là tập các cạnh của một đồ thị G và C
là tập các tập cạnh của chu trình trên G. Khi đó C là tập các vòng của một matroid
trên E.

1.1.3

Cơ sở của matroid

Cho matroid M = (E, I). Ta gọi một tập độc lập lớn nhất trong M là cơ sở của
M . Xét họ không rỗng B có phần tử là các tập con độc lập lớn nhất của E trong M .
Vì các phần tử của B là các tập độc lập nên B là họ các tập độc lập của M hay B là
họ các cơ sở của M .
Bổ đề 1.1.6 ([25, Bổ đề 1.2.1]). Nếu B1 , B2 là cơ sở của matroid M thì |B1 | = |B2 |.
Bổ đề 1.1.7 ([25, Bổ đề 1.2.2]). Nếu M là một matroid và B là tập hợp các cơ sở của
nó thì B thỏa mãn các điều kiện sau:
B(1i) B = ∅.
B(2i) Nếu B1 và B2 là cơ sở của B và x ∈ B1 − B2 thì có một phần tử y ∈ B2 − B1
sao cho (B1 − {x}) ∪ {y} ∈ B .
Điều kiện B(2i) là một trong những tiên đề đổi cơ sở của lý thuyết matroid.
Định lý 1.1.8 ([25, Định lý 1.2.3]). Cho tập E và B là hợp các tập con của E thỏa
mãn điều kiện B(1i) và B(2i). Gọi I = {I ⊆ B|B ∈ B }. Khi đó (E, I) là một matroid
có B là hợp các cơ sở của nó.

Bổ đề 1.1.9 ([25, Bổ đề 1.2.4]). Các phần tử của B có cùng lực lượng.
Hệ quả 1.1.10 ([25, Hệ quả 1.2.6]). Cho B là một cơ sở của matroid M . Nếu e ∈
E(M ) − B, thì B ∪ {e} chứa một vòng duy nhất C(e, B). Hơn nữa, e ∈ C(e, B).
Chúng ta gọi C(e, B) là vòng cơ bản của e đối với B.
Mệnh đề 1.1.11 ([25, Mệnh đề 1.2.8]). Cho M là một matroid đồ thị. Khi đó M ∼
=
M (G) với G liên thông.
7


1.1.4

Hạng của matroid

Cho matroid M = (E, I). Hàm số
r:

2E −→ N
X −→ r(X)

gọi là hàm hạng của M thường được viết là rM . Ngoài ra chúng ta thường viết r(M )
thay cho r(E(M )) là hạng của matroid M .
Ta thấy, r có tính chất sau:
R(1i)

Nếu X ⊆ E thì 0 ≤ r(X) ≤ |X|.

R(2i)

Nếu Y ⊆ X thì r(Y ) ≤ r(X)

Hơn nữa, ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.12. Hàm hạng r của matroid M trên tập E thỏa mãn điều kiện sau:
R(3i) Nếu X và Y là các tập con của E, thì
r(X ∪ Y ) + r(X ∩ Y ) ≤ r(X) + r(Y ).
Định lý 1.1.13 ([25, Định lý 1.3.2]). Cho tập hợp E và hàm số r : 2E −→ N

thỏa

mãn các điều kiện R(1i) − R(3i). Gọi I là hợp các tập con X của E mà r(X) = |X|.
Khi đó (E, I) là một matroid có hàm hạng r.
Bổ đề 1.1.14 ([25, Bổ đề 1.3.3]). Cho tập E và hàm r : 2E −→ N thỏa mãn điều kiện
R(2i), R(3i). Nếu X và Y là các tập con của E sao cho, ∀y ∈ Y − X, r(X ∪ y) = r(X)
thì r(X ∪ Y ) = r(X).
Mệnh đề 1.1.15 ([25, Mệnh đề 1.3.5]). Cho M là một matroid với hàm hạng r và giả
sử X ⊆ E(M ). Khi đó:
(i)

X độc lập khi và chỉ khi |X| = r(X);

(ii) X là một cơ sở khi và chỉ khi |X| = r(X) = r(M );
(iii) X là một vòng khi và chỉ khi X = ∅ và ∀x ∈ X, r(X − {x}) = |X| − 1 = r(X).

1.1.5

Bao đóng của matroid

Trong không gian vectơ V , vectơ v nằm trong bao của {v 1 , v 2 , ..., v m } nếu các không
gian con sinh bởi {v 1 , v 2 , ..., v m } và {v 1 , v 2 , ..., v m , v} có cùng số chiều.
Cho M là một matroid tùy ý có tập nền E và hàm hạng r. Đặt

8


Cl: 2E → 2E
được xác định bởi, ∀X ⊆ E.
Cl(X) = {x ∈ E : r(X ∪ {x}) = r(X)}.
Ánh xạ Cl xác định như trên được gọi là toán tử đóng (closure operator) hoặc là bao
đóng (span) của M .
Bổ đề 1.1.16 ([24, Bổ đề 1.4.2]). Toán tử đóng của một matroid trên tập E có các tính
chất sau:
CL(1i) Nếu X ⊆ E, thì X ⊆ Cl(X).
CL(2i) Nếu X ⊆ Y ⊆ E, thì Cl(X) ⊆ Cl(Y ).
CL(3i) Nếu X ⊆ E, thì Cl(Cl(X)) = Cl(X).
CL(4i) Nếu X ⊆ E, x ∈ E và y ∈ Cl(X ∪ {x}) − Cl(X) thì x ∈ Cl(X ∪ {y}).
Bổ đề 1.1.17 ([25, Bổ đề 1.4.3]). Nếu X ⊆ E và x ∈ E, thì ta có:
r(X) ≤ r(X ∪ {x}) ≤ r(X) + 1.
Định lý 1.1.18 ([25, Định lý 1.4.4]). Cho tập hợp E và hàm Cl : 2E → 2E thỏa mãn
điều kiện CL(1i) − CL(4i). Đặt I = {X ⊆ E : x ∈
/ Cl(X − {x}), ∀x ∈ X}. Khi đó
(E, I) là một matroid có toán tử đóng là Cl.
Bổ đề 1.1.19 ([25, Bổ đề 1.4.5]). Giả sử X ⊆ E và x ∈ E. Nếu X ∈ I nhưng X ∪{x} ∈
/
I, thì x ∈ Cl(X).
Hệ quả 1.1.20 ([25, Hệ quả 1.4.6]). Cho một tập hợp E, một ánh xạ Cl: 2E → 2E là
một toán tử đóng của một matroid trên E khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện sau:
CL(1i) Nếu X ⊆ E, thì X ⊆ Cl(X).
CL(2i) Nếu X ⊆ Y ⊆ E, thì Cl(X) ⊆ Cl(Y ).
CL(3i) Nếu X ⊆ E, thì Cl(Cl(X)) = Cl(X).
CL(4i) Nếu X ⊆ E, x ∈ E và y ∈ Cl(X ∪ {x}) − Cl(X) thì x ∈ Cl(X ∪ {y}).
Toán tử đóng Cl(X) của X trong matroid M thỉnh thoảng cũng được ký hiệu là

ClM (X) hoặc X.
9


Nếu X = Cl(X) thì X được gọi là một phẳng hoặc là một tập đóng của M . Một
siêu phẳng của M là một phẳng hạng r(M ) − 1. Một tập con X của E(M ) là một tập
đóng của M nếu Cl(X) = E(M ).
Bổ đề 1.1.21 ([24, Bổ đề 1.4.8]). Giả sử M là một matroid và X ⊆ E(M ). Nếu x ∈
Cl(X), thì Cl(X ∪ {x}) = Cl(X).
Mệnh đề 1.1.22 ([25, Mệnh đề 1.4.11]). Cho C là tập các vòng của một matroid M ,
thì C thỏa mãn điều kiện sau:
C (3i)

Nếu C1 , C2 là các phần tử của C , e ∈ C1 ∩ C2 và f ∈ C1 − C2 , thì tồn tại phần

tử C3 của C sao cho f ∈ C3 ⊆ (C1 ∪ C2 ) − {e}.
Hệ quả 1.1.23 ([25, Hệ quả 1.4.12]). Cho C là hợp các tập con của tập E. Khi đó
C là tập các vòng của một matroid trên E khi và chỉ khi C thỏa mãn các điều kiện

C(1i), C(2i) và C (3i).
Định lý 1.1.24 ([25, Định lý 1.4.14]). Cho tập hợp E. Hàm r: 2E → N là hàm hạng
của một matroid trên E khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện sau:
R (1i) r(∅) = 0.
R (2i)

Nếu X ⊆ E và x ∈ E thì r(X) ≤ r(X ∪ {x}) ≤ r(X) + 1.

R (3i)

Nếu X ⊆ E và x, y ∈ E sao cho r(X ∪ {x}) = r(X ∪ {y}) = r(X) thì r(X ∪

{x} ∪ {y}) = r(X).

1.1.6

Matroid đối ngẫu

Trong phần này, chúng tôi định nghĩa đối ngẫu của một matroid và nêu lên một số
tính chất cơ bản của nó.
Định lý 1.1.25 ([25, Định lý 2.1.1]). Cho M là một matroid, đặt
B ∗ (M ) = {E(M ) − B : B ∈ B (M )}.

Khi đó B ∗ (M ) là tập các cơ sở của một matroid trên E(M ).
Bổ đề 1.1.26 ([25, Bổ đề 2.1.2]). Tập hợp B các cơ sở của một matroid M thỏa mãn
điều kiện sau:
B ∗ (2i) Nếu B1 , B2 ∈ B và x ∈ B2 − B1 , khi đó ∃y ∈ B1 − B2 sao cho (B1 − {y}) ∪
{x} ∈ B .
10


Mệnh đề 1.1.27 ([26, Mệnh đề 3.3]). Cho G là đồ thị có tập cạnh E(G). Khi đó tập
các liên kết của G là tập các vòng của một matroid trên E(G).
Bổ đề 1.1.28 ([25, Bổ đề 2.1.10]). Cho I và I ∗ là các tập con phân biệt của E(M ) sao
cho I độc lập và I ∗ đối độc lập. Khi đó M có một cơ sở B và một đối cơ sở B ∗ , sao cho
I ⊆ B, I ∗ ⊆ B ∗ và B, B ∗ phân biệt.
Mệnh đề 1.1.29 ([25, Mệnh đề 2.1.9]). Với các tập con X của tập nền E của matroid
M , ta có:

1.2

r∗ (X) = |X| − r(M ) + r(E − X).

Chỉ số chính quy của tập điểm béo

Trong phần này, chúng tôi ký hiệu Pn := PnK là không gian xạ ảnh n−chiều trên
trường đóng đại số K, R = K[x0 , x1 , ..., xn ] là vành đa thức theo các biến x0 , x1 , ..., xn
với hệ tử trên K. Các vành được xem xét trong luận văn là các vành giao hoán có đơn
vị 1 = 0.
Các khái niệm và định lý sau đây được tìm thấy trong [1], [3], [10], [23] và nhiều
cuốn sách khác về Hình học đại số hay Đại số giao hoán.

1.2.1

Vành phân bậc và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.2.1. Vành S được gọi là vành phân bậc nếu S thỏa mãn hai điều kiện
sau:
i) S = ⊕ Sd , là tổng trực tiếp của các nhóm aben Sd .
d∈Z

ii)

Với mọi d, e thì Sd Se ⊆ Sd+e .
Mỗi phần tử s ∈ Sd được gọi là phần tử thuần nhất bậc d. Nếu Sd = 0 với mọi

d < 0 thì S được gọi là phân bậc dương.
Ta có thể thấy vành đa thức R = K[x0 , x1 , ..., xn ] là một vành phân bậc dương với
R = ⊕ Rd , trong đó
d≥0

αc0 ...cn xc00 ...xcnn ,

Rd = {f ∈ R|f =

αc0 ...cn ∈ K}.

c0 +c1 +...+cn =d

Định nghĩa 1.2.2. Một iđêan I của vành phân bậc S sinh bởi các phần tử thuần nhất
của S được gọi là iđêan thuần nhất.
Cho f ∈ R là đa thức thuần nhất, ta có thể định nghĩa một hàm như sau:
11


f:

Pn −→ {0, 1}
P −→ f (P ) =



0 nếu f (a0 , a1 , ..., an ) = 0.

1 nếu f (a0 , a1 , ..., an ) = 0.

Định nghĩa 1.2.3. Cho Y là tập con bất kì của Pn .
Iđêan I(Y ) = {f ∈ R|f là đa thức thuần nhất và f (P ) = 0, ∀P ∈ Y } được gọi là
iđêan thuần nhất của Y trong R.
Định lý 1.2.1. Cho I là một iđêan của vành phân bậc S, các điều kiện sau tương đương:
1i) I thuần nhất.

2i) Bất kì a ∈ I thì các thành phần thuần nhất ak của a cũng thuộc I(k ∈ Z).
3i) S/I là vành phân bậc với phân bậc {(S/I)k }k ∈ Z, trong đó {(S/I)k := (Sk + I)/I.
Định nghĩa 1.2.4. Cho S là một vành phân bậc, một S−môđun M được gọi là môđun
phân bậc nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
1i)

M = ⊕ Mn trong đó Mn là các nhóm aben.
n∈Z

2i)

Với mọi m, n ∈ Z thì Sn Mm ⊆ Mm+n .
Các phần tử của Mn được gọi là phần tử thuần nhất bậc n.
Từ định nghĩa trên thì vành R = K[x0 , x1 , ..., xn ] là một vành phân bậc nên R là

một R−môđun phân bậc với R = ⊕ Rd .
d≥0

1.2.2

Hàm Hilbert và đa thức Hilbert

Định nghĩa 1.2.5. Một đa thức số là một đa thức P (z) ∈ Q[z] sao cho P (n) ∈ Z với
n đủ lớn, n ∈ Z.
Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một R−môđun phân bậc hữu hạn sinh,
M = ⊕ Mt ,
t∈Z

Mt là K−không gian vectơ hữu hạn chiều. Hàm Hilbert của M được định nghĩa là:
HM (t) =dimK Mt ,

t ∈ Z.

Định lý 1.2.2. Cho M là một R−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó có duy nhất
một đa thức số PM (z) ∈ Q[z] sao cho HM (t) = PM (t) với mọi số nguyên t đủ lớn.
12


Định nghĩa 1.2.7. Đa thức PM xác định trong định lý trên được gọi là đa thức Hilbert
của M .
Định lý 1.2.3. Cho M = 0 là một R−môđun phân bậc hữu hạn sinh có chiều là d thì
đa thức Hilbert PM (t) có bậc d − 1 và được viết dưới dạng:
d−1

(−1)i ei

PM (t) =
i=0

1.2.3

t+d−i−1
d−i−1

, với e0 , ..., ed−1 ∈ Z.

Vành tọa độ xác định bởi một tập điểm

Định nghĩa 1.2.8. Cho f là một đa thức thuần nhất của vành R = K[x0 , x1 , ..., xn ].
Tập

Z(f ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0}
được gọi là tập các không điểm của f .
Định nghĩa 1.2.9. Cho T là một tập các phần tử thuần nhất của vành R = K[x0 , x1 , ..., xn ].
Tập
Z(T ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0, ∀f ∈ T }
được gọi là tập các không điểm của T .
Định nghĩa 1.2.10. Một tập con Y của Pn gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập
T sao cho Y = Z(T ).
Mệnh đề 1.2.4. Hợp của hai tập đại số là tập đại số. Giao của một họ tùy ý các tập
đại số là tập đại số. Pn và ∅ là các tập đại số.
Định nghĩa 1.2.11. Cho Y là một tập đại số. Khi đó, A(Y ) := R/I(Y ) được gọi là
vành tọa độ thuần nhất của Y .
Định nghĩa 1.2.12. Cho X = {P1 , ..., Ps } là tập hợp các điểm phân biệt trong Pn và
℘1 , ..., ℘s là các iđêan thuần nhất của R xác định bởi các điểm P1 , ..., Ps tương ứng. Cho
ms
1
m1 , ..., ms ∈ N∗ , đặt I = ℘m
1 ∩ ... ∩ ℘s . Khi đó, tập X cùng với iđêan I được gọi là tập

s điểm béo trong Pn , ký hiệu là
Z = m1 P1 + ... + ms Ps .
Đây chính là tập điểm béo của các siêu mặt trong R có số bội mi tại mỗi Pi , i =
1, ..., s.
Nếu m1 = m2 = ... = ms = 2 thì Z được gọi là tập điểm kép trong Pn .
13


Vành tọa độ của Z là A := R/I được gọi là vành tọa độ thuần nhất của Z. Vành
A = ⊕ At là vành phân bậc Cohen-Macaulay 1−chiều có số bội là:
t≥0

s

( mi +n−1
).
n

e0 =
i=1

Định nghĩa 1.2.13. Tập điểm X = {P1 , ..., Ps } trong Pn được gọi là ở vị trí tổng quát
nếu không có h + 2 điểm nào trong X cùng nằm trên một h−phẳng, với h < n.
Tập điểm X = {P1 , ..., Ps } trong Pn được gọi là không suy biến nếu X không cùng
nằm trên một siêu phẳng.

1.2.4

Chỉ số chính quy của một tập điểm béo

Định nghĩa 1.2.14. Xét tập điểm béo Z = m1 P1 + ... + ms Ps có vành tọa độ thuần
nhất là A. Do R là một vành phân bậc nên A = R/I cũng là một vành phân bậc,
A = ⊕ At
t≥0

Xét hàm Hilbert của A
HA (t) =dimK At .
Người ta chứng minh được rằng hàm Hilbert HA (t) =dimK At tăng chặt cho đến
khi nó đạt được số bội

s

) và ở đó nó dừng (xem[13]).
e0 = ⊕ ( mi +n−1
n
i=1

Định nghĩa 1.2.15. Số nguyên t bé nhất sao cho HA (t) = e0 được gọi là chỉ số chính
quy của tập điểm béo Z, ký hiệu là reg(Z).
Sau đây là một số khái niệm về đối đồng điều địa phương.
Cho R là vành giao hoán có đơn vị và a là iđêan của R. Ta có
(1i). Với mỗi R−môđun M ta định nghĩa Γa (M ) =

(0 :M an ), là tập các phần
n≥0

tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của iđêan a của R. Khi đó Γa (M ) là
môđun con của M .
(2i). Với mọi R−môđun M, N và f : M → N là các đồng cấu R−môđun, ta định
nghĩa
Γa (f ) : Γa (M ) → Γa (N )
x → f (x)
Lúc đó Γa (f ) là đồng cấu R−môđun.
14


(3i). Ký hiệu Mod(R) là phạm trù các R−môđun. Xét tương ứng
Γa : Mod(R) → Mod(R)
M → Γa (M )
Γa (f )

f

M→
− N → Γa (M ) −−−→ Γa (N )
x −→ f (x)
Khi đó Γa là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các R−môđun Mod(R) và
được gọi là hàm tử a−xoắn (xem [12]).
(4i). Xét giải thức nội xạ tối tiểu của môđun M sau
d0

ı

d2

d1

→ ...
→ A2 −
→ A1 −
(A∗ ): 0 −→ M →
− A0 −
Áp dụng hàm tử Γa vào giải thức trên ta thu được phức
0

Γa (d0 )

1

Γa (d1 )

2

Γa (d2 )

0 −→ Γa (A ) −−−−→ Γa (A ) −−−−→ Γa (A ) −−−−→ ...
Đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M ứng với iđêan a được ký hiệu là
Hai (M ) và được định nghĩa là
Hai (M ) := Ker(Γa (di )) Im(Γa (di−1 )), với mọi i ≥ 0.
ms
1
Cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps trong Pn , I = ℘m
1 ∩ ... ∩ ℘s , A = R/I.

Ta thấy rằng R = K[x0 , ..., xn ] = ⊕ Ri là một đại số phân bậc chuẩn và A = ⊕ At là
t≥0

i≥0

một R-môđun phân bậc, R+ = ⊕ Ri là một iđêan của R.
i>0

Với mỗi i > 0 ta đặt


max{n ∈ N|H i (A)n = 0}
R+
ai (A) =

−∞

nếu HRi + (A) = 0
nếu HRi + (A) = 0

Khi đó,
reg(A) = max{ai (A) + i|i ≥ 0}
là chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của A.
Người ta đã chứng minh được rằng:
reg(Z) = reg(A)

15


Chương 2
ỨNG DỤNG CỦA MATROID TRONG BÀI
TOÁN CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH
QUY CỦA TẬP CÁC ĐIỂM BÉO
Trong Chương 2 chúng tôi cũng ký hiệu Pn := PnK là không gian xạ ảnh n−chiều trên
trường đóng đại số K, R = K[x0 , x1 , ..., xn ] là vành đa thức theo các biến x0 , x1 , ..., xn
với hệ tử trên K. Các vành được xem xét trong luận văn là các vành giao hoán có đơn
vị 1 = 0.
Chúng tôi cũng ký hiệu: rk(M ) là hạng của matroid M và rM là hàm hạng của
matroid M . (Xem Chương 1, Mục 1.1.4. Hạng của matroid).
Xét matroid M trên tập nền E, hạng của bất kỳ tập con A của E là lực lượng lớn
nhất của một tập con độc lập của A và được ký hiệu bởi rkM (A) hoặc đơn giản là rk(A)
nếu matroid M đã rõ.
Bao đóng của tập A ⊆ E là tập
ClM (A) = {e ∈ E|rk(A + e) =rk(A)},
trong đó, chúng tôi sử dụng ký hiệu A + e = A ∪ {e};
Tài liệu tham khảo chính của chương này là [24].

16

C − e = C \ {e}.


2.1

Các kết quả về chặn trên cho chỉ số chính quy của
tập các điểm béo trước kết quả của Uwe Nagel và
Bill Trok [24]

2.1.1

Một số kết quả trước năm 1996

Cho Z = m1 P1 + ... + ms Ps là tập điểm béo. Kết quả đầu tiên về chặn trên của chỉ
số chính quy của tập điểm béo là của B. Segre (xem [27]):
reg(Z) ≤ max

m1 + m2 − 1,

1
(m1 + ... + ms )
2

,

với m1 ≥ m2 ≥ ... ≥ ms cho tập s điểm béo đủ tổng quát Z = m1 P1 + ... + ms Ps trong
P2 .
Sau đó, Fulton [22] đã chứng minh kết quả sau về chặn trên cho tập điểm béo tùy

ý Z = m1 P1 + ... + ms Ps trong P2 :
s

reg(Z) ≤

mi − 1.
i=1

s

mi −1 là khá lớn, nên chưa phải là chặn trên tốt cho

Chúng ta thấy rằng chặn trên
i=1

reg(Z). Sau này E. Davis và Geramita [15] đã mở rộng kết quả này cho tập s điểm béo
tùy ý trong Pn và chứng minh được rằng dấu đẳng thức xảy ra khi tất cả các điểm nằm
trên cùng một đường thẳng. Hơn nữa, E. Davis và Geramita cũng đã đưa ra chặn trên
cho trường hợp tập điểm béo ở vị trí tổng quát trong P2 với m1 = m2 = ... = ms = m
như sau:
reg(Z) ≤

sm
.
2

Năm 1991, Catalisano [20] đã chứng minh:

 s





m 

 i=1 i 

reg(Z) ≤max m1 + m2 − 1, 
 2 





cho tập điểm béo ở vị trí tổng quát trong P2 với m1 ≥ m2 ≥ ... ≥ ms . Kết quả này sau
đó đã được tác giả Catalisano, Trung, Valla [14] mở rộng được cho chặn trên của tập
điểm béo Z = m1 P1 + ... + ms Ps ở vị trí tổng quát trong Pn vào năm 1993 như sau:
mi + n − 2
reg(Z) ≤max m1 + m2 − 1,
.
n
17


Năm 1994, Fatabbi [19] đã chứng minh được chặn trên sau cho tập điểm béo Z =
m1 P1 + ... + ms Ps tùy ý trong P2 :
reg(Z) ≤max

h − 1,

m1 + ... + ms
2

,

với
q

mij | với Pi1 , ..., Piq

h =max

cộng tuyến .

j=1

2.1.2

Giả thuyết Ngô Việt Trung và một số kết quả đạt được

Năm 1996, N.V. Trung đã đưa ra một giả thuyết như sau (xem [30]):
Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + ... + ms Ps là một tập điểm béo tùy ý trong Pn .
Khi đó
reg(Z)≤max{Tj |j = 1, ..., n},
trong đó
q
l=1 mil

Tj =max

j

+j−2

|Pi1 , ..., Piq nằm trên một j-phẳng

Chặn trên của N.V. Trung là sự mở rộng kết quả của Segre [27]. Trong tài liệu [24],
Nagel và Trok đặt
Seg(Z) = max

wL (Z) + dimL − 2
|L ⊆ Pn là không gian con
dimL
tuyến tính chiều dương ,

với wL (Z) =

Pi ∈L mi

là trọng số của L, nó chính là chặn của N.V. Trung.

Chặn trên Segre đã được chứng minh đúng trong không gian xạ ảnh với số chiều
n = 2, n = 3 (xem [28], [29]) và cho tập điểm kép Z = 2P1 + ... + 2Ps trong P4 (xem
[30]) bởi Thiện; cũng trong trường hợp n = 2, n = 3, Fatabbi và Lorenzini đưa ra một
số chứng minh độc lập khác (xem [19], [20]).
Năm 2012, Benedetti, Fatabbi và Lorenzini đã chứng minh được chặn trên Segre
cho một tập gồm n + 2 điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + ... + mn+2 Pn+2 trong Pn
(xem [11]).
Năm 2013, Tú và Hùng đã chứng minh được chặn trên Segre cho một tập gồm n + 3
điểm hầu đồng bội không suy biến trong Pn (xem [33]).

18


Năm 2016, Ballico, Dumitrescu và Postinghel đã chứng minh được chặn trên của
Segre cho trường hợp n + 3 điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + ... + mn+3 Pn+3 trong
Pn (xem [10]).
Năm 2016 Nagel và Trok [24] đã chứng minh chặn trên cho chỉ số chính quy của
tập điểm béo X tùy ý trong Pn , kết quả này đã được nhận đăng trong tạp chí Annali
della Scuola Normale Superore vào năm 2018.
Một vấn đề khác được nhiều nhà toán học quan tâm là tính đúng giá trị của reg(Z).
Tuy nhiên đây là một bài toán khó, cho đến nay việc tính đúng giá trị reg(Z) chỉ đạt
được cho một số tập điểm béo với những điều kiện nhất định.
Trong điều kiện cụ thể, các điểm béo Z = m1 P1 + ... + ms Ps nằm trên một đường
thẳng trong Pn , năm 1984, Davis và Geramita (xem [15]) đã chứng minh được
reg(Z)= m1 + ... + ms − 1.
Một đường cong hữu tỷ chuẩn trong Pn là đường cong có phương trình tham số:
x0 = tn , x1 = tn−1 u, ..., xn−1 = tun−1 , xn = un .
Cho một tập điểm béo Z = m1 P1 + ... + ms Ps trong Pn , với m1 ≥ m2 ≥ ... ≥ ms .
Năm 1993, Catalisano, Trung và Valla đã chỉ ra công thức tính reg(Z) trong hai trường
hợp sau (xem [14]):
Nếu s ≥ 2 và P1 , ..., Ps nằm trên một đường cong hữu tỷ chuẩn trong Pn (xem [8,
s

Hệ quả 7]), thì reg(Z) = max m1 + m2 − 1,

mi + n − 2 /n

.

i=1

Nếu n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2, 2 ≤ m1 ≥ m2 ≥ ... ≥ ms > 0 và P1 , ..., Ps nằm ở vị trí
tổng quát trong Pn (xem [8, Hệ quả 8]), thì
reg(Z)=m1 + m2 − 1.
Năm 2012, Thiện (xem [31, Định lý 3.4]) cũng đã tính được chỉ số chính quy reg(Z)
cho một tập s + 2 điểm béo sao cho chúng không nằm trên một (s − 1)−phẳng trong
Pn với s ≤ n:
reg(Z) = max{Tj |j = 1, ..., n},
trong đó
19


Tj =max

q
l=1 mil

+j−2

j

|Pi1 , ..., Piq nằm trên một j-phẳng , j = 1, ..., n.

Năm 2017, Thiện và Sinh [32] đã tính được chặn trên cho chỉ số chính quy reg(Z)
của tập s điểm béo không cùng nằm trên một (r − 1)−phẳng, s ≤ r + 3:
reg(Z) = max{Tj |j = 1, ..., n},
trong đó
Tj =max

2.2

2q + j − 2
|Pi1 , ..., Piq nằm trên một j-phẳng , j = 1, ..., n.
j

Ứng dụng của matroid trong bài báo của Uwe Nagel
và Bill Trok [24]

2.2.1

Matroid phân hoạch

Định lý 2.2.1 ([24, Định lý 2.1]). Cho các matroid M1 , ..., Ms trên tập nền E với hàm
hạng rk1 , ..., rks , có một phân hoạch E = I1

...

khi và chỉ khi với mỗi tập con A ⊆ E, ta có |A| ≤

Is sao cho mỗi Ij độc lập trong Mj
s
j=1 rkj (A)

Hệ quả 2.2.2 ([24, Hệ quả 2.2]). Cho matroid M , có một phân hoạch của tập nền E
thành s tập độc lập khi và chỉ khi với mỗi tập con A ⊆ E, ta có |A| ≤ rk(A) · s
Bổ đề 2.2.3 ([24, Bổ đề 2.4]). Nếu C là một vòng của M (f ) và e ∈ C thì e ∈ ClM (C)
và |C| = s · rkM (C) − p + 1.
Mệnh đề 2.2.4 ([24, Mệnh đề 2.5]). Cho M là một matroid trên E = ∅, lấy s, p là các
số nguyên không âm. Giả sử rằng
|A| ≤ (s + 1) · rk(A) − (p + 1)

(2.1)

với mỗi tập con ∅ = A ⊆ E thì hạng của Ms,p thỏa mãn
rkMs,p (E) ≥ |E| − rk(E) + 1.
Định nghĩa 2.2.1 ([24, Định nghĩa 2.6]). Cho M là matroid trên E.
˜ trên E.
˜ Với bất kỳ e ∈ E˜ \ E, xác
(1i) Giả sử M là matroid con của matroid M
định matroid M/e trên E bởi hàm hạng rkM/e (A) = rkM˜ (A + e) − 1, với A ⊆ E được
20


gọi là thương sơ cấp của M . Chú ý rằng, các tập độc lập trong M/e cũng độc lập trong
M mà bao của nó không chứa phần tử e.
(2i) Gọi S là tập con bất kỳ của E, xem hợp rời E S là (E, 0)∪(S, 1). Ký hiệu M+S
là matroid mà các tập độc lập có dạng (I1 , 0) ∪ (I2 , 1), trong đó rkM (I1 ∪ I2 ) = |I1 | + |I2 |.
Matroid M+S được gọi là mở rộng song song của M bởi S.
Ta thấy M+S cũng là một matroid và hạng của M+S bằng hạng của M . Tổng quát
hơn, nếu A = (A1 , 0)∪(A2 , 1) là tập con bất kỳ của E S, thì rkM+S (A) = rkM (A1 ∪A2 ).
˜ là một matroid trên E˜ = ∅ và cho M là
Hệ quả 2.2.5 ([24, Hệ quả 2.7]). Cho M
˜ Giả sử, với các số nguyên không
matroid con cảm sinh trên một tập con E = ∅ của E.
âm s, p và mỗi tập con ∅ = A ⊆ E, ta có:
|A| ≤ (s + 1) · rk(A) − (p + 1).
˜ tồn tại một tập I ⊂ E sao cho e ∈
Khi đó, với bất kỳ e ∈ E,
/ Cl(I) và
|B| ≤ s · rk(B) − p,

với mỗi ∅ = B ⊆ E − I.
˜ là một matroid trên E˜ = ∅, và cho s, p là
Định lý 2.2.6 ([24, Định lý 2.3]). Cho M
các số nguyên không âm. Giả sử có một tập con E = ∅ của E˜ sao cho
|A| ≤ s · rkM˜ (A) − p
với mỗi tập con không rỗng A ⊆ E, và một số nguyên cố định q với 0 ≤ q ≤ p, Khi đó,
với (e1 , ..., eq ) ∈ E˜q , có các tập độc lập rời nhau I˜1 , ..., I˜q ∈ E có tính chất sau:
Nếu (a1 , ..., ap ) ∈ E˜p với ai = ei , 1 ≤ i ≤ q; thì có một phân hoạch E = I1 ... Is
thành các tập độc lập sao cho aj ∈
/ Cl(Ij ), 1 ≤ j ≤ p, và Ij = I˜j với j = 1, ..., q.

2.2.2

Kỹ thuật quy nạp

Trong phần này, chúng tôi trình bày các kết quả cần thiết để áp dụng cho việc
chứng minh phần chính của luận văn.
Bổ đề 2.2.7 ([24, Bổ đề 3.1]). Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo trong Pn , đặt
X = n1 P1 + · · · + ns Ps với 1 ≤ ni ≤ mi ; i = 1, ..., s, được gọi là tập điểm béo con của Z.
Gọi A = ⊕ Aj là vành tọa độ của Z. Khi đó,
j∈Z

reg(X) ≤ reg(Z).
21


Bổ đề 2.2.8 ([24, Bổ đề 3.2]). Cho Z ⊂ Pn là một tập điểm béo và P ∈ Pn là một điểm
không nằm trong giá của Z, khi đó với mọi số nguyên m ≥ 1, ta có:
reg(Z + mP ) = max{m − 1, reg(Z), 1 + reg(R/(IZ + IPm ))},
reg(R/(IZ +IPm )) là chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R/(IZ +

trong đó
IPm ).

Bổ đề 2.2.9 ([24, Bổ đề 3.3]). Cho Z ⊂ Pn là một tập điểm béo và F ⊂ Pn là một siêu
mặt xác định bởi dạng f ∈ R. Ký hiệu ∅ = W ⊂ Pn là phần dư của Z với quan hệ F
(xác định bởi IZ : f ). Nếu Z ∩ F = ∅ thì ta có:
reg(Z) ≤ max{reg(W ) + deg(F ), reg(Z ∩ F )}.
Nếu một siêu mặt F được định nghĩa bởi dạng f thì ta viết Resf (Z) thay cho
ResF (Z).
Bổ đề 2.2.10 ([24, Bổ đề 3.4]). Cho Z ⊂ Pn là một tập điểm béo và cho P ∈ Pn là một
điểm không nằm trong giá của Z, các số nguyên m, k cố định với 1 ≤ k ≤ m − 1. Đặt
t=

n−1+k
k

. Giả sử có các đa thức thuần nhất g1 , ..., gt ∈ R và f1 , ..., ft ∈ R sao cho

IPk = (g1 , ..., gt ), fi (P ) = 0, và
reg(Resgi fi (Z + mP )) ≤ b − k − degfi ,
∀i ∈ {1, 2, ..., t}, và ∃b ≥ m − 1. Nếu reg(Z + (m − 1)P ) ≤ b thì reg(Z + mP ) ≤ b.

2.2.3

Ứng dụng của matroid trong bài toán chặn trên cho chỉ số
chính quy của tập các điểm béo.

Định nghĩa 2.2.2 ([24, Định nghĩa 4.1]). (i). Cho điểm P của Pn và một số nguyên
m ≥ 1, ký hiệu [P ]m là ma trận (n + 1)xm có m cột đều bằng vectơ v ∈ K n+1 , trong đó

v là đại diện bất kỳ của điểm P .
s

(ii). Đặt X =
i=1

mi Pi ⊂ Pn là một tập điểm béo. Ta viết AX := ⊕si=0 [Pi ]mi cho sự

ghép các ma trận [Pi ]mi . Định nghĩa matroid của X trên tập cột EX của AX , ký hiệu
MX , là matroid vectơ của ma trận AX . Do vậy ta có |VX | =
Bổ đề 2.2.11 ([24, Bổ đề 4.4]). Nếu X =

s
i=1 mi Pi

s
i=1 mi .

là một tập điểm béo có giá bao

gồm ít nhất hai điểm phân biệt thì mi ≤ Seg(X), ∀i và Seg(X) ≥ mi + mj − 1 với i = j.
22