Lý thuyết + Bài tập Ôn tập chương I Hình học lớp 10 – Hình chương 1

Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

CHƯƠNG I. VÉC TƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. ĐỊNH NGHĨA
1) Véc tơ là một đoạn thẳng có định hướng:
- Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn
- Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véc tơ
- Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véc tơ
2) Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ gọi là cùng phương, kí hiệu: 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗  AB // CD hoặc A, B, C, D
3) Hai véc tơ cùng phương: Hai véc tơ 𝐴𝐵
thẳng hàng.
4) Hai véc tơ cùng hướng, ngược hướng
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ gọi là cùng hướng khi AB // CD và hai tia AB và CD cùng hướng
a) Hai véc tơ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ gọi là ngược hướng khi AB // CD và hai tia AB và CD ngược hướng.
b) Hai véc tơ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hướng và AB = CD
5) Hai véc tơ bằng nhau khi hai véc tơ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

II. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶
- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- Nếu M là trung điểm của AB thì 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 = 0, Với mọi điểm C bất kì ta có ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴 + 𝐶𝐵
2𝐶𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì: 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = 0 và với mọi điểm M bất kì ta có: 𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 = 3𝑀𝐺
III. HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ thì 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ là1 hai véc tơ đối nhau; ta còn có.𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗

1) Hai véc tơ đối nhau: 𝐴𝐵
2) Hiệu của hai véc tơ:
IV. TÍCH CỦA MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ
1) Tính chất của phép nhân véc tơ với số
Tính chất 1: m(n.𝑎) = (𝑚𝑛). 𝑎
Tính chất 2: (m + n). 𝑎 = m. 𝑎 + n. 𝑎
Tính chất 3: m.( 𝑎 + 𝑏⃗) = 𝑚. 𝑎 + 𝑚. 𝑏⃗
Tính chất 4: m. 𝑎 = ⃗0  𝑎 = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗
2) Điều kiện để hai véc tơ cùng phương ( tức là A, B, C thẳng hàng): tồn tại một số k sao cho: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑘𝐴𝐶
3) Biểu thị một véc tơ qua hai véc tơ không cùng phương: Cho hai véc tơ 𝑎, 𝑏⃗ khác ⃗0. Với mọi 𝑐 bao giờ cũng tìm
được một cặp số thực m, n duy nhất sao cho: c  ma  nb 𝑐 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑏⃗
B. BÀI TẬP
* Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ.
Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐵
b) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐵
c) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
d) 𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ f) 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷
e) 𝐴𝐶
𝐷𝐸 − 𝐷𝐶
𝐴𝐸 + 𝐵𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐷𝐵; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐴 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng: 𝐵𝐶
𝑂𝐴 = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , với
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐸 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐹 = 6𝑀𝑂
M bất kì.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có tâm O, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 𝐴𝑀
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Với điểm M tùy ý hãy chứng minh rằng: 𝑀𝐴
Bài 7: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác. Gọi R là trung điểm của MQ.Chứng minh rằng:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑅𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑅𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
a) 2𝑅𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ , với O bất kì.

b) 𝑂𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑆 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑀 = 2𝑀𝑃
1


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

* Dạng 2: Toán xác định vị trí điểm.
Bài 1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
a) Chứng minh rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗

b) Xác định điểm M, N, P sao cho: 𝑂𝐴
Bài 2: Cho tam giác ABC
a) Xác định I sao cho ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐵 + ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐶 − ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐴 = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐶
b) Tìm điểm M thỏa mãn 𝑀𝐴
c) Tìm điểm N thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐴 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴
Bài 3: Cho tam giác ABC
⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
a) Với I là điểm tùy ý. Chứng minh: ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐴 + ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐵 − 2𝐼𝐶
𝐶𝐴 + 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
b) Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện: 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) Hãy xác định điểm N thỏa mãn điều kiện: |𝑁𝐴

𝑁𝐵 | = |𝑁𝐴
𝑁𝐵 |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 4: Cho ∆ABC và đường thẳng ∆. Tìm trên ∆ điểm M sao cho 2𝑀𝐴
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 có độ dài ngắn nhất
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶
Bài 5: M là điểm thay đổi, N thỏa mãn 𝑀𝑁
Bài 6: Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶
a) |𝑀𝐴
𝑀𝐵 |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
b) |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 2|𝐴𝐶
c) |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |2𝑀𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (ĐS: đường tròn ….)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶
Bài 7: Cho ∆ABC. Tìm điểm M thỏa mãn |4𝑀𝐴
* Dạng 3: Dạng toán tính độ dài(mô đun) tổng hiệu các vec tơ
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O, AB = 12a, AD = 5a. Tính |𝐴𝐷
𝐴𝑂|
⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 4, BC = 3, gọi I là trung điểm của BC. Tính |𝐼𝐴
𝐷𝐼 |; |𝐼𝐴
𝐼𝐵 |
Bài 3: Tính độ dài:
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
1) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính: |𝐴𝐵
𝐴𝐶 |;|𝐴𝐵
𝐴𝐶 |
2) Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8; Gọi I là trung điểm của BC.
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗
a) Tính |𝐵𝐴
𝐵𝐼 |
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |
b) Tính |𝐴𝐶
𝐴𝐵 − 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑣 = 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm, tâm O. Tính độ dài các véc tơ sau: 𝑢
⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại B có độ dài các cạnh AB = 1, AC = √5. Tìm độ dài |𝐴𝐵
𝐴𝐶 | (ĐS: 2√2)
* Dạng 4: Phân tích vec tơ
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tơ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , 𝐵𝐶
𝐶𝐴 theo hai vec tơ
𝑢
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐾 và 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Hãy phân tích vec tơ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐶
Bài 2: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 theo hai vec tơ 𝑢
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 và 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đặt ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵 = 𝑎; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = 𝑏⃗. Gọi I là trung điểm của CD; G là trọng tâm ∆BCI. Phân
⃗⃗⃗⃗⃗ theo 𝑎; 𝑏⃗.
⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐺
tích 𝐵𝐼
Đs: ⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐼 = −1/2𝑎 + 𝑏⃗; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺 = 5/6𝑎 + 2/3𝑏⃗
⃗⃗⃗⃗ theo 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 4: Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm AM. Phân tích 𝐶𝐼
2


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

* Dạng 5: Toán trọng tâm tam giác.
Bài 1: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. CMR:
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
a) 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗

b) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
Bài 2: Cho tam giác ABC, G thỏa mãn: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = ⃗0. CMR: G là trọng tâm tam giác ABC
Bài 3: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Chứng minh: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴′ + 𝐵𝐵′
𝐶𝐶 ′ = 3𝐺𝐺′
Bài 4: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Gọi I là trung điểm của GG’.
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐼
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐼
Chứng minh rằng: 𝐴𝐼
𝐴′𝐼 + 𝐵′𝐼
𝐶′𝐼 = ⃗0
* Dạng 6: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐶
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ ; 3𝐽𝐴
VD: Cho ∆ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi: 𝐼𝐴
⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗
a) tính ⃗𝐼𝐽
𝐴𝐵 ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

b) chứng minh rằng: IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) <=> 𝐴𝐼
⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = 2(𝐼𝐴
HD: a) 𝐼𝐴
2
⃗⃗⃗⃗ + 2𝐽𝐶
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 <=> 3𝐽𝐴
⃗⃗⃗⃗ + 2(𝐽𝐴
⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗0 <=> ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐽𝐴
𝐴𝐽 = 5 𝐴𝐶
2

⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗
=> 𝐼𝐽
𝐴𝐽 − 𝐴𝐼
5
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ => B là trung điểm IA => ⃗⃗⃗⃗
b) Đặt ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑎; ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐶 = 𝑏⃗ ; Có ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐴 = 2𝐼𝐵
𝐴𝐼 = 2𝐴𝐵
1
1
1
1
Có G là trọng tâm => ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = ⃗0 => ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 𝑎 + 𝑏⃗
3

3

3

3

1
1
−5
1
⃗⃗⃗⃗ = −5𝑎 + 𝑏⃗ (1)
 ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐼 + ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐺 = 3 𝑎 + 3 𝑏⃗ => ⃗⃗⃗⃗

𝐼𝐺 = 3 𝑎 + 3 𝑏⃗ => 3𝐼𝐺
2
⃗⃗⃗⃗⃗ =>
Mà ⃗⃗⃗𝐼𝐽 = 5 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 − 2𝐴𝐵

5
2

⃗𝐼𝐽
⃗ = −5𝑎 + 𝑏⃗ (2)

⃗⃗⃗⃗ = 5 ⃗𝐼𝐽
⃗ => thẳng hàng.
Từ (1) và (2) => 3𝐼𝐺
2
⃗⃗⃗⃗ = 3𝐼𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh rằng:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của AB và M là một điểm thỏa 𝐼𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . Suy ra B, M, D thẳng hàng.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐵𝐼
⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
3𝐵𝑀
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, gọi I là trung điểm của CD. Lấy M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh
rằng ba điểm A, M, C thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M, I lần lượt là trung điểm của BC, AM. K thuộc cạnh AC và AK = 1/3AC.
Chứng minh B, I, K thẳng hàng.

3

Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

KIỂM TRA 45’
ĐỀ SỐ 1 (TL 18 -19)
I. TRẮC NGHIỆM(4Đ)
Câu 1: Cho ∆ABC, có thể xác định được bao nhiêu vec tơ(khác vecto không) có điểm đầu và điểm cuối là A, B, C
A. 4

B. 5

C. 6

D. 3

Câu 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm của BC. Đẳng thức vecto nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗
A. 2𝐴𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗
B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 2𝐴𝐺

3
C. ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 2𝐺𝑀

Câu 3: Biết rằng hai vec tơ 𝑎 và 𝑏⃗ không cùng phương nhưng 3𝑎 - 2𝑏⃗ và (x+1)𝑎 + 4𝑏⃗ cùng phương. Khi đó x bằng:
A. – 7

B. 7

C. 5

D. 6

Câu 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM. Khẳng định nào sau đây sai?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 + 2𝐺𝑀

B. GA  GB  GC  0

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = −2𝑀𝐺

D. ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐺 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐺 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐺 = ⃗0

Câu 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 =
A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B. 2𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. 3𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D. – 2𝑀𝑁

Câu 6: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Chọn câu đúng?
A. AM =

𝑎√3
3

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
B. 𝐴𝑀

𝑎√3
2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
C. 𝐴𝑀

𝑎√3
3

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó |𝐴𝐵
𝐴𝐷 | bằng:
𝑎√2
C. 2a
A. 𝑎√2
B.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =
D. | 𝐴𝑀

𝑎√3
2

D. a

2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
Câu 8: Cho G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Khi đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴′ + 𝐵𝐵′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐺′
B. 3𝐺𝐺′
C. 2𝐺𝐺′
D. 4𝐺𝐺′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
Câu 9: Cho ∆ABC, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn |𝑀𝐴
A. 0
B. 1
C. 2
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 10: Cho ∆ABC vuông tại C, AB = √2. Tính độ dài 𝐴𝐵
A. √5

B. 2√5

C. √3

D. vô số
D. 2√3

II. TỰ LUẬN
⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 1: Cho các điểm M, N, P, Q, R. Tìm vec tơ tổng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃𝑄 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝑃 + 𝑄𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐷𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 2: Cho O là tâm hình bình hành ABCD. Tìm vec tơ tổng 𝐴𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A có BC = a√5. Tính độ dài 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐷𝐶
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Chứng minh: 𝐷𝑀
2
2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
1
Bài 5: Cho ∆ABC. D và E là điểm thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = 3 𝐵𝐶
; 𝐴𝐸 = 4 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho B, K, E
AD
thẳng hàng. Tìm tỉ số AK .
Bài 6: Cho 2 điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |𝑀𝐴
4

Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

ĐỀ SỐ 2(90’)
I. TRẮC NGHIỆM(4Đ)
Câu 1: Cho hình bình hành tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng:
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
A. 𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
B. 𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂 + 𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 − 𝑂𝐶

Câu 2: Cho hình bình hành tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng:
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷

B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝐵𝑂
𝐷𝑂

⃗⃗⃗⃗⃗
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑂𝐶

Câu 3: Cho ∆ABC đều cạnh 3a. Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 3𝑎

A. |⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵| = 3𝑎

D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ | = 𝐵𝐶
C. |𝐴𝐶

Câu 4: G là trọng tâm ∆ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐺 =
C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺 =

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 +𝐴𝐶

B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺 =

2
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
3(𝐴𝐵

D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺 =

2

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 +𝐴𝐶
3
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
2(𝐴𝐵
3

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai?
⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = 𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶

C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐴𝐶
D. |𝐴𝐵

Câu 6: Cho 𝑎 ≠ ⃗0; 𝑎; 𝑏⃗ cùng phương. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ∃𝑚 để ⃗𝑏 = 𝑚𝑎
⃗

B. ∃𝑚 > 0 để ⃗𝑏 = 𝑚𝑎
⃗

C. ∃𝑚 < 0 để 𝑏⃗ = 𝑚𝑎
⃗

D. ∃𝑚 ≠ 0 để 𝑏⃗ = 𝑚𝑎
⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑅𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝑅
Câu 7: Tổng 𝑀𝑁
A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑅

B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁

C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑅

D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃

Câu 8: Cho hình bình hành ABCD, điểm K thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐾𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐾𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
A. K là trung điểm của AB

B. K là trung điểm của AD

C. K là trung điểm của AO

D. K tùy ý

Câu 9: Cho ∆ABC. Điểm M thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 = ⃗0 thì điểm M thỏa mãn điều kiện:
A. ABMC là hình bình hành

B. M là trọng tâm ∆ABC

C. BAMC là hình bình hành

D. M thuộc trung trực của AB.

Câu 10: AM là trung tuyến ∆ABC, I là trung điểm của AM. Mệnh đề nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶
A. 𝐼𝐴

⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶
B. −𝐼𝐴

⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ − 𝐼𝐶
C. 𝐼𝐴

⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶
D. 2𝐼𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 11: Cho hình thang có 2 đáy AB = 3a; CD = 6a. |𝐴𝐵
𝐶𝐷| bằng bao nhiêu?
A. 9𝑎

B. 3𝑎

C. −3𝑎

5

D. 0


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

Câu 12: Cho ∆ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC với MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
1
2
A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝑀 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

2
1
B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝐴𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝐴𝑀
5
5

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑛𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . Tìm m, n?
Câu 13: Cho tam giác ABC, D thuộc cạnh BC, DC = 2DB. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = 𝑚𝐴𝐵
1
2
A. m = 3 ; 𝑛 = 3

1
2
B. m = −3 ; 𝑛 = 3

1
2
C. m = 3 ; 𝑛 = −3

2
1
D. m = 3 ; 𝑛 = 3

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ | =
Câu 14: Cho tam giác ABC cân tại A, Ab = 5; BC = 8. Tính |𝐵𝐴
A. 6

B. 8

C. 3

D. 10

Câu 15: Cho ∆ABC, phân giác AD. AB = 5; BC = 6; CA = 7. Tính ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 =:
5 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
7 ⃗⃗⃗⃗⃗
A. 12 𝐴𝐵
+ 12 𝐴𝐶

7 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5 ⃗⃗⃗⃗⃗
B. 12 𝐴𝐵
− 12 𝐴𝐶

7
5
C. 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 12 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

5
7
D. 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − 12 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

11 ⃗⃗⃗⃗⃗ 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 16: Cho ∆OAB vuông cân có OA = OB = 2a. Độ dài 4 𝑂𝐴
− 7 𝑂𝐵 là:
A.

√6076
a
196

B.

√6073

a
14

C.

√6073
a
−14

D.

√6076
a
14

II. TỰ LUẬN(6Đ)
2 ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 1(3đ): Cho ∆ABC trọng tâm G. Hai điểm D, E xác định bởi 𝐴𝐷
𝐴𝐸 = 5 𝐴𝐶
1
1
a) Chứng minh rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ theo 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣à 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗

b) Biểu thị ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐸 ; 𝐷𝐺
c) Chứng minh D, E, G thẳng hàng
Bài 2(2đ): Cho tam giác ABC. Ba điểm M, M, P lần lượt là các điểm thỏa mãn:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0; 𝑃𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0; 𝑁𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑁𝐶
𝑀𝐴
a) Xác định M, N, P
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗
b) Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có độ dài nhỏ nhất.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
Bài 3(1đ): Cho tam giác ABC và đường thẳng ∆. Tìm trên ∆ điểm M sao cho 2𝑀𝐴

6


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

ĐỀ SỐ 3.KIỂM TRA GIỮA KÌ I (LC 19-20)
I. TRẮC NGHIỆM(4Đ)
Câu 1: Vec tơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là:
A. DE

⃗⃗⃗⃗⃗ |
B. |𝐷𝐸

C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐷

D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐸

Câu 2: Cho 𝑎 và 𝑏⃗ là các vec tơ khác ⃗0 với 𝑎 là vec tơ đối của 𝑏⃗. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai vec tơ 𝑎 ; 𝑏⃗ cùng phương

B. Hai vec tơ 𝑎 ; 𝑏⃗ chung điểm đầu

C. Hai vec tơ 𝑎 ; 𝑏⃗ cùng độ dài

D. Hai vec tơ 𝑎 ; 𝑏⃗ ngược hướng

Câu 3: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣à 𝑂𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hướng
B. 𝑂𝐵

C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 𝑣à ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 cùng hướng

⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
D. |𝐴𝐶

Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
B. 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |
D. |𝐴𝐷

Câu 5: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 + 𝐶𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝐴𝐵

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A. 𝐺𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
B. 𝐺𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
C. 𝐺𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝐺𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính |𝐴𝐵
𝐷𝐴|
A. 0

B. a

C. a√2

D. 2a

Câu 8: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ |
B. |𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗
C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐷 = 𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝑂𝐵
𝑂𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 thì điểm M là:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶
Câu 9: Cho ∆ABC. Điểm M thỏa mãn 𝑀𝐴
A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AC và BC làm hai cạnh
B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AC và AB làm hai cạnh
C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và BC làm hai cạnh
D. Trọng tâm tam giác ABC
Câu 10: Cho ∆ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng?
2
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 = 3 ⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐼

1
B. ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐺 = −3 ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐴

⃗⃗⃗⃗
C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = 2𝐺𝐼

⃗⃗⃗⃗⃗
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = −𝐺𝐴

Câu 11: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑁𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
B. 𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝐵𝐶

7

1
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑁 = −2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

Câu 12: Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây là sai?
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶

B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐵𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 + 𝐵𝐶

D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |
Câu 13: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính |2𝑂𝐴
B. (1 + √2)𝑎

A. a

C. a√5

D. 2a√2

Câu 14: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung
điểm của MN. Khi đó:
1
1
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐾 = 6 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 4 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

1
1
B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐾 = 4 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − 6 ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐶

1
1
C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐾 = 4 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 6 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

1
1
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐾 = 6 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − 4 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

Câu 15: Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm AB. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑀𝐴
𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴
𝑀𝐵 | là:
AB
A. đường tròn tâm I, bán kinh 2

B. đường tròn đường kính AI

C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB

D. Đường trung trực của đoạn thẳng AB

Câu 16: Biết rằng hai vec tơ 𝑎 và 𝑏⃗ không cùng phương nhưng hai vec tơ 2𝑎 − 3𝑏⃗ và 𝑎 + (x – 1) 𝑏⃗ cùng phương.
Khi đó giá trị của x là:
1
A. 2

3
B. −2

1
C. −2

3
D. 2

II. TỰ LUẬN
Câu 1:
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
d) Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 𝐷𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
e) Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 𝐵𝐶
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷
f) Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵 . Tìm vị trí điểm M.
Câu 2:
c) Cho hai lực ⃗⃗⃗
𝐹1 và ⃗⃗⃗
𝐹2 có điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực ⃗⃗⃗
𝐹1 và ⃗⃗⃗
𝐹2 lần lượt là 80N,
60N. Tính cường độ tổng hợp của hai lực đó.
AE 2
d) Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC = 3 .
chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 3: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: |4𝑀𝐴
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 | = |2𝑀𝐴
𝑀𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 |

8


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

V. HỆ TỌA ĐỘ OXY
1) Véc tơ: Cho 2 điểm 𝑀1 (𝑥1 ; 𝑦1 ); 𝑀2 (𝑥2 ; 𝑦2 ) thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑀1 𝑀2 = (𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑦2 − 𝑦1 )
2) Các phép toán véc tơ: Nếu có hai véc tơ ⃗⃗⃗⃗
𝑣1 = (𝑥1 ; 𝑦1 ) và ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = (𝑥2 ; 𝑦2 ) thì:
𝑥1
𝑦1
𝑥1 = 𝑥2
𝑣1 + ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = (𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦1 + 𝑦2 )
𝑣1 // ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑣2  𝑥 = 𝑦
𝑣1 = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑣2  {𝑦 = 𝑦
2
2
1
2
𝑣1 − ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = (𝑥1 − 𝑥2 ; 𝑦1 − 𝑦2 )
𝑘𝑣
⃗⃗⃗⃗1 = (𝑘𝑥1 ; 𝑘𝑦1 )
𝛼𝑣
⃗⃗⃗⃗1 + 𝛽𝑣
⃗⃗⃗⃗2 = (𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 ; 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 )
3) Trung điểm của đoạn thẳng: Nếu M là trung điểm của𝑀1 𝑀2 thì {
4) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: 𝑥𝐺 =

𝑥𝐴 +𝑥𝐵 +𝑥𝐶
3

; 𝑦𝐺 =

𝑥=
𝑦=

𝑦𝐴 +𝑦𝐵 +𝑦𝐶
3

𝑥1 +𝑥2

2
𝑦1 +𝑦2
2

;

Bài 1: Cho ba điểm A(1;2), B(-2;6), C(4;4)
1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
2) Tìm tọa độ trung điểm I của AB
3) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
4) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
5) Tìm tọa độ điểm N sao cho B là trung điểm của AN
6) Tìm tọa độ các điểm H, Q, K sao cho C, B, A lần lượt là trọng tâm của tam giác ABH, ACQ, BCK.
7) Tìm tọa độ điểm T sao cho hai điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C.
⃗⃗⃗⃗⃗ = −5𝐵𝑈
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 2𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗
8) Tìm tọa độ điểm U sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 3𝐵𝑈
Bài 2:Cho tam giác ABC có M(1;4),N(3;0),P(-1;1)lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB.Tìm tọa độ A,B, C.
Bài 3: Trong hệ trục tọa độ cho hai điểm A(2;1), B(6;-1). Tìm tọa độ:
1) Điểm M thuộc Ox sao cho A, B, M thẳng hàng
2) Điểm N thuộc Oy sao cho A, B, N thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2;6), C(9;8)
1) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung để ba điểm M, B, A thẳng hàng
2) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tâm I của hình bình hành
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3) Tìm tọa độ điểm M sao cho 2MA  3MB  MC  0 2𝑀𝐴
𝑀𝐶 = 0
Bài 4: Cho 𝑎 = (2; 1); 𝑏⃗ = (3; 4); 𝑐 = (7; 2)
a) Tìm tọa độ của 𝑣 = 2𝑎 − 3𝑏⃗ + 𝑐

b) Tìm x sao cho 𝑥 + 𝑎 = 𝑏⃗ − 𝑐

Bài 5: Trong mp tọa độ cho 3 điểm A(-3;4), B(1;1), C(9;-5)
a) Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD
c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.
Bài 6: Trong mp tọa độ Oxy cho A(-4;1), B(2;4), C(4;0)
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD
c) Tìm tọa độ của điểm E sao cho ABCE là hình vuông.

9

c) Tìm các số k, l để 𝑐 = 𝑘𝑎 + 𝑙𝑏⃗


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

KIỂM TRA
ĐỀ SỐ 1 (LÊ QUÝ ĐÔN 2017 – 2018)(45’)
I. TRẮC NGHIỆM(8Đ – 35 phút)
⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1;2), B(-4; 3). Tìm tọa độ của vec tơ 𝐴𝐵
A. (-5;1)

B. (-3; 5)

C. (5; - 1)

D. (-5; - 1)

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ bằng:
Câu 2: Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC, vec tơ tổng: 𝑆 = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
A. √3𝐴𝐵

B. ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵

C. 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵

D. ⃗0

Câu 3: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Mệnh đề nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗
B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐶𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐴 = ⃗0

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐶𝐴

1
Câu 4: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AM, I là điểm thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐼 = 2 ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐵. Xét biểu

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑛𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . Khi đó 2m + 6n bằng bao nhiêu?
diễn ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐼 = 𝑚𝐴𝐵
A. 4

B. 2

C. 0

D. 1

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho hai vec tơ 𝑎 = (1; −2), 𝑏⃗ = (4; 3). Tìm tọa độ của vec tơ 𝑥 = 2𝑎 − 3𝑏⃗
A. (-10; -13)

B. (10; - 12)

C. (-9; - 13)

D. (-2; - 7)

Câu 6: Cho ba vec tơ 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 khác ⃗0. Cách viết nào dưới đây đúng?
A. 2𝑎 + 3𝑏⃗ − 4𝑐 − 5

B.

⃗ −𝑐
𝑎⃗+𝑏
10

10

D. 7 + 𝑎 − 𝑏⃗ + 𝑐

C. 𝑎⃗+𝑏⃗−𝑐

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho vec tơ 𝑢
⃗ = (1; −2) và 𝑣 = (−1; 1). Điểm M được xác định bởi hệ thức
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑢
𝑂𝑀
⃗ − 𝑣. Tìm tọa độ của M
A. (3;3)

B. (3; 5)

C. (-3; 5)

D. (3; -5)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Tìm
Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1;-5), B(-2; 7). Điểm M được xác định bởi hệ thức 𝑀𝐴
tọa độ điểm M
A. (-1; 3)

B. (3; - 3)

C. (-3; 1)

D. (1; -3)

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1; -3), B(3;7), C(5; -1). Gọi M, N là trung điểm của cạnh AB,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BC. Tìm tọa độ của 2𝑀𝑁
A. (2; 10)

B. (2; 1)

C. (4; 2)

D. (1; 5)

⃗⃗⃗⃗⃗ . Biểu diễn vec tơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Câu 10: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 4𝐵𝑁
𝐶𝑀, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑁 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀 + 4𝐶𝑁
𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
theo vec tơ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
A. 𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
B. 𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐶
C. 𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵
D. 𝑀𝑁

̂ = 600 . Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính độ dài vec tơ
Câu 11: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a, góc 𝐵𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
A. a√7

B.

𝑎(√3+1)
2

C.

𝑎(√3+1)
3

D.

𝑎(√7)
2

Câu 12: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm; I là trung điểm của đoạn BC. Tập hợp những điểm M thỏa mãn:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3|𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | là đường trung trực của đoạn nào?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
2|𝑀𝐴
10


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

A. GA

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

B. GC

C. GB

D. GI

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − (𝑛 + 1)𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Khi n thay đổi thì
Câu 13: Cho tam giác ABC và n là số thực tùy ý. M là điểm thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 = 𝑛𝑀𝐶
mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Tập hợp các điểm M là nửa đường thẳng đi qua A, song song với đường thẳng BC, nằm trong nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng AB và chứa cạnh BC
B. Chỉ có một điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình ABCM
C. Chỉ có một điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình ACBM
D. Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC
⃗⃗⃗⃗ . Biểu diễn vec tơ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = −𝐶𝐼
Câu 14: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thỏa mãn 2𝐵𝐼
𝐴𝐼 theo vec tơ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 và ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
2

1

A. ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐼 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

2

1

B. ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐼 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

1

1

C. ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐼 = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

4

1

D. ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐼 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶

Câu 15: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Đặt 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , 𝑏⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ theo các vec tơ 𝑎, 𝑏⃗

Hãy phân tích vec tơ 𝑀𝐺
1

1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝑎 + 𝑏⃗
A. 𝑀𝐺
3
3

1

1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 − 𝑏⃗
B. 𝑀𝐺
6
3

1

1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝑎 − 𝑏⃗
C. 𝑀𝐺
6
3

1

1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝑎 + 𝑏⃗
D. 𝑀𝐺
6
3

Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
B. 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝐷𝐴

Câu 17: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Tìm độ dài vec tơ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐶
A. 2a

B. a√3

C. 0

D. a

Câu 18: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề nào sau đây sai?
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 + 𝐶𝑂
𝐴𝑂

⃗⃗⃗⃗⃗
B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝐶𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
C. 2𝐴𝑂
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = −𝐶𝐷

Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trung điểm 3 cạnh là các điểm M(-3;2), N(1;6), P(11;4). Tìm

tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
A. (4; 4)

B. (9; 12)

C. (-3;6)

D. (3;4)

Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(-1;1), B(-7;3). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và trục
hoành
A. (3;1)

B. (1; 5)

C. (3; 0)

D. (-1; 0)

II. TỰ LUẬN (2Đ – 10 phút)
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(1;3), B(4;5), C(11; 15), D(-1;7). Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh
của một hình thang không là hình bình hành
Câu 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Trên đoạn BN lấy điểm I sao cho
2

BI = 5 BN. Chứng minh rằng ba điểm A, I, M thẳng hàng

11

Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

ĐỀ SỐ 2 (LÊ QUÝ ĐÔN 2019 – 2020)(45’) (30/11) MÃ ĐỀ 102
I. TN(4Đ – 20’)
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Vec tơ nào không cùng phương với ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝐴𝑂

⃗⃗⃗⃗⃗
B. 𝐶𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝑂𝐶

Câu 2: Trong mp tọa độ Oxy, cho G là trọng tâm ∆ABC với A(−1; 3), 𝐵(0; 2), 𝐺(−4; 1). Tọa độ đỉnh C là:
A. C(−1; 2)

B. C(−11; 2)

C. C(−13; 8)

D. C(−11; −2)

Câu 3: Cho G là trọng tâm ∆ABC. Đặt 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴; 𝑏⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 . Chọn câu đúng?
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑎 + 𝑏⃗

B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴 = 2𝑎 + 𝑏⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑎 + 𝑏⃗
C. 𝐵𝐶

D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = 𝑎 − 𝑏⃗

C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐾𝐾

D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐾𝐸

Câu 4: Vec tơ có điểm đầu là E và điểm cuối là K là:
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐸

B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐾

Câu 5:Cho 5 điểm phân biệt A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vec tơ ≠ ⃗0, có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 5 điểm trên

A. 25

B. 15

C. 21

D. 20

Câu 6:Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 với M, N, P bất kì

B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃 với M, N, P bất kì

C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃 với M, N, P bất kì

D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝑃 với M, N, P bất kì

Câu 7: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của đoạn AB, AC, BC. Vec tơ nào không bằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑁𝑃?
A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵

B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵

D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀

1
C. 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵

Câu 8: Trong mp tọa độ Oxy, cho G là trọng tâm ∆ABC với A(−1; 3), 𝐵(0; 2), 𝐺(−4; 1). Điểm M thỏa mãn đẳng
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có tọa độ là:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑀𝐶
thức 2𝑀𝐴
19
A. M(4; 3 )

B. M(−10; 2)

C. M(4; −2)

D. M(1; 4)

Câu 9: Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴; 𝑏⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐺𝐵. Chọn khẳng định đúng.
⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑎 + 𝑏⃗
A. 𝐵𝐶

B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = 𝑎 − 𝑏⃗

C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴 = 2𝑎 + 𝑏⃗

D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑎 + 𝑏⃗

Câu 10: Trong mp tọa độ Oxy, cho 𝑎 = (2; 3); 𝑏⃗ = (4; −5). Tọa độ của Vec tơ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏⃗ là:
A. (2; −8)

B. (6; −2)

C. (−2; 8)

D. (6; 2)

II. TỰ LUẬN (6Đ – 25’)
Bài 1: Trong mp tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(-1; 1), B(1;3); C(2;0)
1) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
2) Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn 𝐴𝐵
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi M là trung điểm BC.

mjk

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | theo a.
1) Tính |𝐴𝐵
1
2) Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm thuộc cạnh AC sao cho AK = 3 AC. Chứng minh B, I, K thẳng hàng
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Chứng minh đường
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶
Bài 3: Cho tam giác ABC. M là điểm thay đổi, N là điểm thỏa mãn 𝑀𝑁
thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi M, N thay đổi.
12


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

ĐỀ SỐ 3 (GIỮA KÌ I – THÁI PHIÊN 2019 – 2020)(45’)
I. TN(4Đ – 20’)
Câu 1: Cho ∆AB, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trùng điểm của các cạnh BC, CA, AB. Vec tơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴′𝐵′ cùng hướng với.
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A. 𝐴𝐵
C. 𝐵𝐴
B. 𝐶′𝐵
D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶′
Câu 2: Cho ba điểm bất kì A, B, C. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝐶𝐴
B. 𝐵𝐶
C. 𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝐶𝐵

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷

B. 𝐵𝐶
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
C. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗
D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 + 𝐵𝐶
Câu 4: Trong mp tọa độ Oxy, cho 𝑎 = (2; 4); 𝑏⃗ = (1; −5). Tọa độ của Vec tơ 𝑢
⃗ = 𝑎 + 𝑏⃗ là:
A. (3; −1)
B. (1; 9)
C. (−1; 3)
D. (3; 9)
Câu 5: Trong mp tọa độ Oxy, cho 𝑎 = 4𝑖 − 𝑗. Tìm tọa độ của vec tơ 𝑎
A. (4; −1)
B. (4; 1)
C. (−1; 4)
D. (1; 4)
Câu 6: Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Tìm mệnh đề đúng:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝐴𝑀
2
2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
B. 𝐴𝑀
2
2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
C. 𝐴𝑀
2
2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝐴𝑀
2
2

Câu 7: Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 = 2𝐺𝑀
B. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 + 2𝐺𝑀

C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 2𝐴𝐺
D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴
Câu 8: Cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào dưới đây sai?
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
A. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐶
B. 𝐵𝐶
𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷
C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 = 𝐵𝐶
Câu 9: Chọn khẳng định đúng.
A. Hai vec tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài
B. Hai vec tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài
C. Hai vec tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng
D. Hai vec tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Câu 10: Cho ∆ABC có A(4;5), B(6; 2), C(2;2). Tìm tọa độ trọng tâm của ∆ABC.
A. (4; 3)
B. (3; 4)
C. (12; 9)
II. TỰ LUẬN (6Đ – 25’)
Bài 1(3đ): Cho ∆ABC

⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗
1) Với điểm Q bất kì, chứng minh rằng: 𝐴𝐵

D. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴

D. (9; 12)

2) Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có: 𝑂𝐴
𝑂𝐴′ + 𝑂𝐵′
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0. Hãy biểu thị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0; 2𝑁𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝑁𝐶
3) M, N lần lượt thuộc AB, BC sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 + 3𝑀𝐵
𝑀𝑁 theo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 và ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
Bài 2(2đ): Trong mp tọa độ Oxy, cho A(-3; 5); B(−4; −3); 𝐶(1; 1).

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ điểm K thuộc trục hoành sao cho KA + KB nhỏ nhất.
Bài 3(1đ): Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm lần lượt chạy trên đoạn thẳng AB,
𝑁𝐷

𝑀𝐵

CD sao cho 𝑁𝐶 = 𝑀𝐴. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AC, BD và MN. Chứng minh rằng ba điểm E,
I, F thẳng hàng.
HD bài 3: vẽ hình minh họa
⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶
⃗⃗⃗⃗ ) = 1 (𝐼𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 1 (𝐼𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 1 (𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗ = 1 (𝐼𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑁
⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐴
Ta có: 𝐼𝐸
2
2
2
2
1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐹 = 2 (𝐼𝐵
+ 𝐼𝐷) = 2 (𝐼𝑀
+ 𝑀𝐵 + 𝐼𝑁 + 𝑁𝐷 ) = 2 (𝑀𝐵
+ 𝑁𝐷)
𝑁𝐷
𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑀𝐴 = k => ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 = −𝑘𝑀𝐴
𝑁𝐷 = −𝑘𝑁𝐶
𝑁𝐶


1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑘𝑁𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −k (𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐹 = 2 (−𝑘𝑀𝐴
𝑁𝐶 ) = −k ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐸 => thẳng hàng
2
13