Một Số Phương Pháp Chiếu Caỉ Biên Giải Bài Toán Bất Đẳng Thức Biến Phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN
GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN
GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

THÁI NGUYÊN - 2017

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 8 tháng 6 năm 2017
Người viết luận văn

Vũ Thị Hải Phượng

Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn


ii

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.
TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, giáo sư, tiến sĩ khoa học ở Viện Toán học Việt
Nam. Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Trong suốt quá trình làm luận văn, thầy đã dành nhiều thời gian và công

sức để chỉ bảo hướng dẫn tôi từ những điều nhỏ nhặt nhất tới những vấn
đề khó khăn, thầy vẫn luôn kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tôi để
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện
Toán học và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và
khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin
cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
khoa Sau đại học và các học viên lớp Cao học khóa K23 đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi giúp đỡ chúng tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng
cảm ơn người thân và bạn bè đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ để tôi có thể
hoàn thành tốt khóa học của mình.
Thái Nguyên, ngày 8 tháng 6 năm 2017
Người viết luận văn

Vũ Thị Hải Phượng


iii

Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Toán tử đơn điệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4. Toán tử chiếu và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . .

13

1.5. Phép chiếu metric và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.6. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với bất đẳng thức biến
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến phân
2 Một số phương pháp chiếu cải biên

24
26
29


iv

2.1. Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến
phân với hệ số ưu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3. Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến
phân không có hệ số ưu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

36
42


1

Mở đầu
Ngày nay, các bài toán tối ưu bất đẳng thức biến phân và bài toán cân
bằng đã trở thành công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong thực tế. Các
bài toán này là những bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu và các vấn đề
liên quan.
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời từ những năm 1960. Năm 1972,
Ky Fan và năm 1978 Browder – Minty đã phát biểu bài toán bất đẳng thức
biến phân một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với
những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục
trên, còn kết quả của Browder – Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số.
Đầu tiên người ta nghiên cứu những bất đẳng thức biến phân liên quan
đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều vào chính nó. Sau đó mở
rộng sang không gian có số chiều vô hạn với một nón, tạo ra một quan hệ
từng phần trên không gian đó. Khái niệm về ánh xạ đa trị được xây dựng
và phát triển do nhu cầu phát triển của toán học và các lĩnh vực khác. Từ
đó người ta tìm cách phát biểu bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị và
chứng minh các kết quả quen biết từ đơn trị sang đa trị.
Khái niệm giả đơn điệu giới thiệu bởi Karamardian S. trong [5], là một
tổng quát quan trọng của toán tử đơn điệu. Trong bài báo này, tác giả đã


2

chỉ ra rằng một hàm là giả lồi khi và chỉ khi ánh xạ gradient là giả đơn
điệu. Từ đó, Karamardian S. và Schaible S. [6] đưa ra một số khái niệm
đơn điệu tổng quát như đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh và tựa đơn điệu.
Tác giả thiết lập một mối quan hệ của đơn điệu tổng quát của toán tử với
các khái niệm của hàm lồi tổng quát.
Bất đẳng thức biến phân đơn điệu được sử dụng để nghiên cứu phương
trình vi phân đạo hàm riêng eliptic và parabolic, nghiên cứu các bài toán
tối ưu và bài toán cân bằng. Chúng cho phép xây dựng những thuật toán
và chỉ ra sự hội tụ tới lời giải của bài toán. Cho tới nay bất đẳng thức biến
phân đơn điệu vẫn là một chủ đề được quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu
toán học. Phương pháp tìm nghiệm khác nhau đã được đề xuất cho bất
đẳng thức biến phân đơn điệu: Phương pháp chiếu metric, phương pháp
hiệu chỉnh TiKhonov, phương pháp điểm gần kề, phương pháp gradient
kéo dài. . .
Trong những năm gần đây sự tồn tại nghiệm và thuật toán tìm nghiệm
cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và tựa đơn điệu được nghiên cứu
trong nhiều tài liệu. Người ta đã tìm được những thuật toán để giải các
bài toán này trong nhiều trường hợp đặc biệt. Một số phương pháp chiếu
cải biên là những phương pháp được nghiên cứu để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân. Với mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùng sự
gợi ý, giúp đỡ tận tình của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài
“Một số phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức
biến phân” làm luận văn thạc sĩ của mình.
Luận văn giới thiệu một số phương pháp chiếu cải biên để giải bài toán


3

bất đẳng thức biến phân: Cho H là không gian Hilbert, C là tập con khác
rỗng của H , ánh xạ T : C → H . Bài toán: Tìm vectơ x∗ ∈ C sao cho

T (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, với mọi x ∈ C,
được gọi là bất đẳng thức biến phân.
Bài toán này đóng vai trò rất quan trọng trong lý truyết phương trình
toán tử và phương trình vi phân, cũng như trong các lĩnh vực khác của
khoa học. Việc xét sự tồn tại nghiệm và việc tìm ra được thuật toán để giải
ra nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân bằng một số phương pháp
chiếu cải biên là một trong những vấn đề quan trọng, được các nhà toán
học quan tâm và nghiên cứu sâu rộng. Để làm điều này, chúng ta nghiên
cứu phạm vi của các ứng dụng của một số phương pháp chiếu cải biên và
tìm hiểu các ứng dụng trong từng phương pháp, cụ thể là thuật toán chiếu
cải biên với hệ số ưu tiên và thuật toán chiếu cải biên không có hệ số ưu
tiên. Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân , sự tồn tại nghiệm. Sau
đó, tìm các mối liên hệ giữa bài toán này với các bài toán khác. Mục đích
chính của luận văn là giới thiệu một số phương pháp giải bài toán trên, qua
việc sử dụng những tính chất của phép chiếu.
Luận văn là một tổng quan về việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân
bằng phương pháp chiếu cải biên. Cụ thể, ta sẽ xây dựng những dãy lặp
qua toán tử chiếu hội tụ tại nghiệm của bài toán.
Cấu trúc luận văn gồm 2 chương. Chương 1 của luận văn dành để nhắc
lại một số kiến thức chuẩn bị: Không gian Hilbert; Phát biểu bái toán bất
đẳng thức biến phân; Toán tử đơn điệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán


4

bất đẳng thức biến phân; Toán tử chiếu; Phép chiếu metric; Phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov; Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến
phân.
Chương 2 giới thiệu một số phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất

đẳng thức biến phân. Mục 2 chương 2 giới thiệu phương pháp chiếu cải
biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên, mục 2 chương
2 giới thiệu phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến
phân không có hệ số ưu tiên.


5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm để sử
dụng cho chương sau. Ta nhắc lại không gian Hilbert và bài toán bất đẳng
thức biến phân trong không gian Hilbert.
Nội dung của chương này được trình bày dựa trên các tài liệu [3], [6]và
việc chứng minh các định lí có thể tìm thấy ở những tài liệu này.

1.1.

Không gian Hilbert

Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, một số khái niệm
cơ bản thuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu, toán tử
compact và toán tử bị chặn.Ta thấy không gian này có nhiều tính chất rất
hay gần giống như không gian hữu hạn chiều. Ta bắt đầu bằng định nghĩa.
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Ta gọi : ., .
là một tích vô hướng trên không gian X nếu ., . là một ánh xạ

., . : H × H → R
thỏa mãn các điều kiện sau:

i) u, v = v, u , ∀u, v ∈ U ;
ii) u + v, w = u, v + v, w , ∀u, v, w ∈ U ;
iii) λu, v = λ u, v , ∀λ ∈ R; ∀u, v ∈ U ;


6

iv) u, u ≥ 0, ∀u ∈ U, u, u = 0 ⇔ u = 0.

u, v được gọi là tích vô hướng của hai vectơ u và v.
H cùng với tích vô hướng này được gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu ta định nghĩa ||u|| =

u, u với mọi u ∈ H thì ||.|| là một chuẩn

trên H và như vậy, (H, ||.||) là không gian định chuẩn. Hơn vậy, nếu ta định
nghĩa

ρ(u, v) =

u − v, u − v

thì ρ là một metric và (H, ρ) là không gian metric. Nếu (X, ρ) là không
gian metric đầy đủ thì (H, ., . ) được gọi là không gian Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert
thực. Ta dễ dàng chỉ ra rằng không gian Euclide n-chiều là trường hợp đặc
biệt của không gian Hilbert.
Ta nói hai vectơ u và v của một không gian Hilbert trực giao với nhau,
và kí hiệu u ⊥ v, nếu u, v = 0. Từ định nghĩa ấy có thể suy ra tính chất
đơn giản sau đây:

i) Nếu u ⊥ v thì v ⊥ u. Ta có u ⊥ u khi và chỉ khi u = 0. Vectơ 0 trực
giao với mọi vectơ u;
ii) Nếu u ⊥ (v1 , v2 , ..., vn ) thì u ⊥ (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn );
iii) Nếu u ⊥ yn , vn → v(∀n → ∞) thì u ⊥ v;
iv) Nếu tập M trù mật trong H thì M ⊥ gồm 1 phần tử duy nhất là 0,
nghĩa là u ⊥ M ⇒ u = 0;
v) Nếu u ⊥ v thì ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 (định lí Pythagore);
vi) Nếu {un } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ trực giao từng đôi
∞

∞

n

||un ||2 < ∞.

(u ) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi

một) thì chuỗi
n=1

n=1


7

Định lý sau cho ta biểu diễn của phần tử thông qua không gian con đóng
và phần bù của nó.
Định lý 1.1. Cho M là không gian con đóng của không gian Hilbert H.
Bất kể phần tử u nào của H cũng có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới

dạng

u = v + w với v ∈ M, w ∈ M ⊥ .

(1.1)

trong đó v là phần tử của M gần u nhất, tức là ||u − v|| ≤ ||u − x|| với mọi

x ∈ M.
Định nghĩa 1.2. Cho X và Y là các không gian định chuẩn. Khi đó, toán
tử tuyến tính bị chặn A : X → Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến
tập bị chặn thành tập compact tương đối.
Ví dụ 1.1. X và Y là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến
tính A : X → Y đều là toán tử compact.
Toán tử compact là một lớp quan trọng của toán tử bị chặn.
Mệnh đề 1.1. ([3]) Mọi toán tử compact đều bị chặn.
Mệnh đề sau nói về các phép tính đại số của toán tử compact.
Mệnh đề 1.2. ([3]) Cho A, B là hai toán tử compact. Với A, B : H → H.
Ta có các phép tính đại số về toán tử compact như sau:
i) (A + B)(u) = A(u) + B(u);
ii) (αA)(u) = αA(u);
iii) (A×B)(u) = A(u)×B(u).
Trong đó, (A×B) là tích đề các của A và B;
iv) Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert H và B là toán tử
bị chặn trên H. Khi đó AB và BA là toán tử compact.


8

Định nghĩa 1.3. Một toán tử được gọi là hữu hạn chiều nếu miền giá trị

của nó là hữu hạn.
Trong không gian hữu hạn chiều hai khái niệm này trùng với nhau. Cụ
thể ta có:
Mệnh đề 1.3. ([3]) Toán tử bị chặn và hữu hạn chiều là compact.
Định lý sau cho ta các phép tính tôpô của toán tử compact và tính đóng
của dãy toán tử compact trong không gian Hilbert.
Định lý 1.2. ([3]) Giới hạn của dãy hội tụ đều các toán tử compact là compact. Trong trường hợp đặc biệt, nếu E1 , E2 , . . . , En là các toán tử compact
trong không gian Hilbert H và ||En − E|| → 0 khi n → ∞ với mọi toán tử

E trên H thì E là compact.
Hệ quả 1.1. Giới hạn của dãy hội tụ các toán tử hữu hạn chiều là toán tử
compact.
Nói đến quan hệ giữa ảnh của dãy hội tụ yếu và hội tụ mạnh giữa toán
tử compact, ta có định lý sau:
Định lý 1.3. ([3]) Một toán tử E trên không gian Hilbert H là compact
nếu và chỉ nếu nó biến một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Tức là

E là compact nếu và chỉ nếu un → u thì Eun → Eu với bất kì un , u ∈ H.
1.2.

Bất đẳng thức biến phân

Đầu tiên, ta phát biểu khái niệm về bài toán bất đẳng thức biến phân.
Sau đó là phát biểu bài toán bù và một số bài toán liên quan.
Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert (H, ., . ) và cho

T : C → H là một ánh xạ. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân được
định nghĩa bởi C và T, kí hiệu là V I(C, T ), được phát biểu dưới dạng:

9

Tìm vectơ x∗ ∈ C sao cho

T (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.2)

Tập nghiệm của bài toán được kí hiệu là Sol(C, T ).
Dưới đây là luôn giả thiết C là tập lồi, đóng và ánh xạ T là liên tục. Ví
dụ đơn giản của hai bài toán bất đẳng thức biến phân là giải một phương
trình phi tuyến cổ điển, nó tương ứng với trường hợp H = C. Trong trường
hợp đó, rõ ràng điều kiện (1.2) được viết tương đương như sau T (x∗ ) = 0.
Như thường lệ, T được gọi là ánh xạ giá. Một biểu diễn hình học của
bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ) : x∗ ∈ C là một nghiệm của

V I(C, T ) khi và chỉ khi vectơ T (x∗ ) và vectơ y − x∗ tạo với nhau thành
một góc nhọn hoặc vuông, với mọi y ∈ C. Ta có thể định dạng điều này
dưới nón pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ của tập C như sau:

NC (x∗ ) = {z ∈ H : z, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}.
Vectơ z ∈ NC (x∗ ) gọi là vectơ pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ ∈ C. Bài
toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ) chỉ ra rằng: x∗ ∈ C là nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ) khi và chỉ khi T (x∗ ) là một
vectơ pháp tuyến ngoài tại x∗ của C, hay

0 ∈ T (x∗ ) + NC (x∗ ).
Khi C là một nón (tức là x ∈ C kéo theo τ x ∈ C với mọi số vô hướng

τ ≥ 0), một số trường hợp đặc biệt của (1.2) gọi là bài toán bù.
Định nghĩa 1.4. Bài toán bù được cho bởi một nón lồi C và một ánh xạ

T : C → H là một bài toán tìm một vectơ x∗ ∈ H với:
x∗ ∈ C, T (x∗ ) ∈ C ∗ , T (x∗ ), x∗ = 0,

(1.3)

với

C ∗ := {d ∈ H : d, x ≥ 0,

∀x ∈ C},

là một nón đối ngẫu của C. Bài toán (1.3) được viết tắt là KP (C, T ).


10

Khi x ∈ C và T (x) ∈ C ∗ thì x được gọi là vectơ chấp nhận được của

KP (C, T ). Nếu bài toán KP (C, T ) có một vectơ chấp nhận được thì nó
được gọi là có tính chấp nhận được.
Nếu H = Rn , T là một ánh xạ affin, tức là, T (x) = M x + q với M ∈
Rn×n , q ∈ Rn , và C = Rn+ (trong trường hợp này C ∗ = Rn+ ), KP (C, T ) trở
thành bài toán bù tuyến tính, kí hiệu là LKP (M, q) :

x∗ ≥ 0, M x∗ + q ≥ 0, M x∗ + q, x∗ = 0.

(1.4)

Khi đó bất đẳng thức trong Rn+ được xem là các thành phần không âm.
Tập nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol(M, q).
Mối liên hệ mật thiết giữa V I(C, T ) và KP (C, T ) với là một nón được
mô tả dưới đây.
Mệnh đề 1.4. Giả sử C là một nón lồi, điểm x∗ là một nghiệm của bài
toán bù KP (C, T ) nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(C, T ).
Chứng minh. Thật vậy, trước giả thiết x∗ là nghiệm của bài toán bù

KP (C, T ), thì x∗ ∈ Rn+ , T (x∗ ) ∈ Rn+ và T (x∗ ), x∗ = 0. Khi đó
T (x∗ ), x − x∗ = T (x∗ ), x − T (x∗ ), x∗
= T (x∗ ), x ≥ 0, ∀x ∈ Rn+ .
Vì vậy x∗ là nghiệm đúng của V I(C, T ).
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ Rn+ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(C, T ). Đặt

ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0),

y = x∗ + ei ,

trong đó 1 là vị trí thứ i. Khi đó, y ∈ Rn+ và

0 ≤ T (x∗ ), x∗ + ei − x∗ = T (x∗ ), ei = Ti (x∗ ).
Do vậy

T (x∗ ) = (T1 (x∗ ), . . . , Tn (x∗ )) ∈ Rn+ .

(1.5)

11

Từ bất đẳng thức

T (x∗ ), x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ Rn+ .
và x = 0 ∈ Rn+ , suy ra

T (x∗ ), x∗ ≤ 0.
Mặt khác, theo giả sử x∗ ∈ Rn+ và theo (1.5), ta có T (x∗ ), x∗ ≥ 0. Do đó:

T (x∗ ), x∗ = 0.
Vậy x∗ nghiệm đúng của KP (C, T ).

1.3.

Toán tử đơn điệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân

Bài toán bất đẳng thức biến phân gắn liền với ánh xạ T và tập C. Việc
xét sự tồn tại nghiệm của bài toán này phải được đặt điều kiện lên tập C
và ánh xạ T. Ta đưa ra một số khái niệm về tính đơn điệu của ánh xạ dưới
đây.
Định nghĩa 1.5. ([6]) Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của một không
gian Hilbert H và một ánh xạ T : C ⊂ H → H. Khi đó:
1) Ánh xạ T được gọi là đơn điệu mạnh trên C nếu ∃γ > 0 sao cho

T (x) − T (y), x − y ≥ γ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C;
2) giả đơn điệu mạnh trên C nếu ∃γ > 0 sao cho

T (x), y − x ≥ 0 ⇒ T (y), y − x ≥ γ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C;
3) đơn điệu chặt trên C nếu

T (x) − T (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y;


12

4) đơn điệu trên C nếu

T (x) − T (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
5) giả đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C

T (y), x − y ≥ 0 ⇒ T (x), x − y ≥ 0;
6) tựa đơn điệu trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C

T (y), x − y > 0 ⇒ T (x), x − y ≥ 0;
7) tựa đơn điệu hiển trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C

T (y), x − y > 0 ⇒ T (w), x − y ≥ 0,

∀w ∈

x+y
,y .
2

Mệnh đề dưới đây cho ta biết tập nghiệm của V I(C, T ) là khác rỗng nếu

T là giả đơn điệu mạnh và cấu trúc của Sol(C, T ) là lồi nếu T liên tục và

giả đơn điệu.
Mệnh đề 1.5. Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng và T : C → H là liên tục.
i) Nếu T là giả đơn điệu mạnh, thì V I(C, T ) có ít nhất một nghiệm;
ii) Nếu T là giả đơn điệu, thì Sol(C, T ) là lồi.
Chứng minh. Nếu T là giả đơn điệu mạnh với mođun γ > 0 và x∗ , y ∗ ∈

Sol(C, T ) thì
T (y ∗ ), x∗ − y ∗ ≥ 0 và T (y ∗ ), y ∗ − x∗ ≥ γ||x∗ − y ∗ ||2 .
Thêm vào bất đẳng thức này 0 ≥ γ||x∗ − y ∗ ||2 suy ra x∗ = y ∗ và do đó
chứng minh được khẳng định i).
Cho T là liên tục và giả đơn điệu. Để có được ii), ta phải chứng minh
rằng

{x∗ ∈ C : T (x), x − x∗ ≥ 0}.

Sol(C, T ) =
x∈C


13

Đúng vậy, nếu x∗ ∈ Sol(C, T ), thì T (x∗ , x − x∗ ) ≥ 0 với mọi x ∈ C. Vì
tính giả đơn điệu của T, suy ra T (x, x − x∗ ) ≥ 0 với mọi x ∈ C, từ đó ta
có x∗ thuộc vế phải của đẳng thứ ở trên. Hơn nữa, giả sử x∗ thuộc tập thứ
hai. Với mỗi x ∈ C là bất kỳ. Từ τ x∗ + (1 − τ )x ∈ C với mọi τ ∈ (0, 1), ta
có

T (τ x∗ + (1 − τ )x), x − x∗ ≥ 0, ∀τ ∈ (0; 1).
Với τ → 1 suy ra T (x∗ ), x − x∗ ≥ 0. Như vậy x∗ ∈ Sol(C, T ). Với mỗi

x ∈ C, tập {x∗ ∈ C : T (x), x − x∗ ≥ 0} là lồi và từ giao của các tập lồi
là lồi, kéo theo là Sol(C, T ) cũng là lồi.
Trong phần chứng minh của mệnh đề 1.5ii), ta thấy rằng nếu F là liên
tục và giả đơn điệu trên một tập C lồi và đóng thì x∗ ∈ Sol(C, T ) khi và
chỉ khi

T (x), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Kết quả trên được gọi là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu. Đây là một tổng quát của bổ đề Minty cổ điển.

1.4.

Toán tử chiếu và các tính chất cơ bản

Xét phép toán tử chiếu được đưa ra ở Định nghĩa 1.6 với giả thiết rằng

C ⊂ H là tập lồi, đóng và khác rỗng. Một số tính chất cơ bản của toán tử
chiếu PC : H → C được trình bày trong nội dung sau.
Định lý 1.4. Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng.
1) PC (.) là ánh xạ không giãn, tức là với mọi x, y ∈ H,

||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||.
2) Với y ∈ H, z ∈ C hai tính chất sau tương đương
a) z = PC (y).
b) y − z ∈ NC (z).


14

3) Lấy bất kỳ x ∈ H và bất kỳ y ∈ C,

||y − PC (x)||2 ≤ ||x − y||2 − ||x − PC (x)||2 .
4) Giả sử y ∈ C thì PC (y) − y, x − PC (y) = 0 là siêu phẳng tựa của C
tại PC (y) và tách hẳn y ra khỏi C, tức là

PC (y) − y, x − PC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C,
và

PC (y) − y, y − PC (y) < 0.
Ở đây, cho C là tập lồi, nếu x∗ ∈ C thì một siêu phẳng t, x − x∗ = 0
(đi qua x∗ ) sao cho t, x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C gọi là một siêu phẳng tựa của

C tại x∗ .
Chứng minh.
Trước hết ta đi chứng minh Khẳng định 2)
Trước tiên ta chứng minh a) ⇒ b).
Giả sử z = PC (y) ta cần chứng minh y − z ∈ NC (z).
Đúng vậy, lấy x ∈ C, λ ∈ (0, 1).
Đặt

xλ = λx + (1 − λ)z.
Ta có x, y ∈ C và tập C lồi nên xλ ∈ C.
mà z = PC (y) nên suy ra

||z − y|| ≤ ||y − xλ ||.
hay

||z − y||2 ≤ ||y − xλ||2
≤ ||y − (λx + (1 − λ)z)||2
≤ ||λ(z − x) + (y − z)||2

≤ λ2 ||z − x||2 + ||y − z||2 + 2λ z − x, y − z .


15

Khi đó, ta có

λ2 ||z − x||2 + 2λ z − x, y − z ≥ 0.
Do λ > 0 nên λ2 ||z − x||2 + 2λ z − x, y − z ≥ 0 đúng với mọi x ∈ C và

λ ∈ (0, 1).
Nên λ → 0 thì z − y, x − z ≤ 0, ∀x ∈ C.
Suy ra y − z ∈ NC (z).
Ta chứng minh b) ⇒ a)
Giả sử y − z ∈ NC (z), ta cần chứng minh z = PC (y).
Vì y − z ∈ NC (z), ∀x ∈ C nên ta có

(y − z)E (x − z) ≤ 0
⇔ (y − z)E (x − y + y − z) ≤ 0
⇔ ||y − z|| + (y − z)E (x − z) ≤ 0.
Theo Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có

||y − z||2 ≤ (y − z)E (x − y) ≤ ||y − z||.||y − x||.
Suy ra

||y − z|| ≤ ||y − x||, ∀x ∈ C.
Khi đó

z = PC (y).
Do đó a) và b) là tương đương như nhau.

Vậy Khẳng định 2) được chứng minh.
Khẳng định 3)
Lấy x ∈ H và y ∈ C, ta có

||x − y||2 = ||(x − PC (x)) − (y − PC (x))||2
= ||(x − PC (x))||2 + ||(y − PC (x))||2 − 2 x − PC (x), y − PC (x) .
Từ (1.10) ta có x − PC (x), y − PC (x) ≤ 0, vì vậy

||x − y||2 ≥ ||(x − PC (x))||2 + ||(y − PC (x))||2 .


16

hay

||(y − PC (x))||2 ≤ ||x − y||2 − ||(x − PC (x))||2 .
Vậy khẳng định 3) được chứng minh.
Khẳng định 4)
Vì y − z ∈ NC (z) nên

z − y, x − z ≥ 0, ∀x ∈ C,
hay

PC (y) − y, x − PC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C.
Do đó z − y, x = z − y, y là một siêu phẳng tựa C tại z. Siêu phẳng
này tách hẳn khỏi y nên ta có

z − y, y − z = −||z − y||2 < 0.
hay

PC (y) − y, y − PC (y) < 0.
Khẳng định 1)
Với x, y ∈ H được cho một cách tùy ý. Từ Định lí 1.5, ta có

PC (x) − PC (y), PC (y) − y ≥ 0,
và

PC (y) − PC (x), PC (x) − x ≥ 0.
Cộng các bất đẳng thức trên với nhau và sắp xếp số hạng, ta thu được

PC (x) − PC (y), x − y ≥ ||PC (x) − PC (y)||2 .
Từ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz,

||PC (x) − PC (y)||||x − y|| ≥ PC (x) − PC (y), x − y .
Do đó

||PC (x) − PC (y)|| ||x − y|| ≥ ||PC (x) − PC (y)||2
⇔ ||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||.


17

Vậy khẳng định 1) là đúng.
Tiếp theo, ta có hình chiếu của một điểm lên siêu hộp, hình cầu, không
gian con của Rn . được biểu diễn bởi một số công thức như sau:
Ví dụ 1.2. Trong Rn , cho siêu hộp C có dạng

C = {x = (x1 , x2 , ..., xn )E ∈ Rn | ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, 2, ..., n},
trong đó a = (a1 , a2 , ..., an )E , b = (b1 , b2 , ..., bn )E ∈ Rn . Tìm hình chiếu của

y = (y1 , y2 , ..., yn ) lên C.
Lời giải. Đặt c = (c1 , c2 , ..., cn ) trong đó



ai , khi yi < ai ,
ci = yi , khi yi ∈ [ai , bi ],


b , khi y > b .
i

i

i

Vì ai ≤ ci ≤ bi , ∀i = 1, 2, ..., n nên c ∈ C.
Chứng minh c là hình chiếu của y trên C.
Thật vậy, với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn )E ∈ C, ta có:
n
2

||y − x|| =

(yi − xi )2 ,

(1.6)

(yi − ci )2 ,

(1.7)

i=1
n

||y − c||2 =
i=1

Theo cách xác định của ci ta có

(yi − x − i)2 ≤ (yi − ci ), ∀i = 1, 2, ..., n.

(1.8)

Từ (1.6), (2.2), (1.8) ta suy ra

||y − x|| ≤ ||y − c||.
Vậy c là hình chiếu của y trên C.
Ví dụ 1.3. Giả sử c là hình cầu tâm I = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn và bán kính

R, có dạng
n

K=

n

(ui − ai )2 ≤ R2 ,

x∈R |

i=1


18

và b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Rn . Tìm hình chiếu của b trên K.
Lời giải. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với b ∈ K thì PK (b) = b.
Trường hợp 2: Với b = K thì hình chiếu của b trên K là giao điểm của
đường thẳng nối b và tâm I của K với hình cầu
n
n

(xi − ai )2 = R2

x∈R |

S=

i=1

Phương trình tham số của đường thẳng này như sau:

δ = {x ∈ Rn | xi = ai + t(bi − ai ), ∀i = 1, 2, ..., n; t ≥ 0}.
Thay xi = ai + t(bi − ai ) vào phương trình của S ta được
n

t

2

(bi − ai )2 = R2 .
i=1

Như vậy

R

t=

.

n

(bi − ai )2
i=1

Vậy hình chiếu PK (b) của b trên K có tọa độ là

xi = ai + (bi − ai )

R

, i = 1, 2, ..., n.

n

(bi − ai )2
i=1

Ví dụ 1.4. Cho K ⊂ H là một không gian con k chiều với một cơ sở
n

B = (η1 , η2 , ..., ηk ). Giả sử x ∈ H, y =

vj ηj ∈ K, trong đó yj là hệ số
i=1

thực sao cho z = x − y thỏa mãn z, ηj = 0, ∀j = 1, 2, ..., k. Chứng minh

y là hình chiếu của x lên K. Xác định biểu thức tọa độ của y.


19

Lời giải. Thật vậy, vì z trực giao nên với mọi vectơ trong cơ sở của K
ta có

||x − t||2 = x − y + y − t, x − y + y − t
= x − y, x − y + y − t, y − t + 2 z, y − t
= ||x − y||2 + ||y − t||2 ≥ ||x − y||2 ,

∀t = (t1 , t2 , ..., tk ) ∈ C.

Khi đó, y là hình chiếu của x trên K. Xác định biểu thức tọa độ của y
với mọi i = 1, 2, ..., k ta có

z, ηj = 0
⇔ x − y, ηj = 0

⇔

x−

yj ηj , ηi = 0

k

⇔

ηj , ηj yj = x, ηj .
j=1

Với 1 ≤ i, j ≤ k ta đặt

aij = ηi , ηj ,
bi = x, ηj .
Vậy ta thu được hệ tuyến tính k phương trình có k ẩn

Ay E = b,
trong đó A = (a), b = (b1 , b2 , ..., bk )E .
Mặt khác, theo định nghĩa A là ma trận xác định dương nên det A = 0
hay hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất y E = A−1 b.
Nên hình chiếu của x lên K là
k

y=

yj ηj ,
j=1

trong đó y E = A−1 b.