Ổn Định Mũ Hệ Phương Trình Vi Phân Suy Biến Dương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

NGUYỄN VĂN NHƯNG

ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
SUY BIẾN DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

NGUYỄN VĂN NHƯNG

ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
SUY BIẾN DƯƠNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên - Năm 2017


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích
với đề tài "ỔN ĐỊNH MŨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
SUY BIẾN DƯƠNG" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng
lặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết Luận văn

Nguyễn Văn Nhưng

Xác nhận

Xác nhận

Trưởng khoa chuyên môn

Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

i


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để
tôi có thể hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn

Nguyễn Văn Nhưng

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

Một số ký hiệu viết tắt

3

1 Cơ sở toán học

4

1.1

Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Bài toán ổn định Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương . .

9

1.4.2

Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương . . .

11

Các bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5

iii


2 Tính dương của hệ suy biến có trễ

3

19

2.1

Hệ vi phân tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Hệ rời rạc tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Tính ổn định mũ của hệ suy biến

26

3.1

Hệ vi phân tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Hệ rời rạc tuyến tính suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Tài liệu tham khảo

40

iv


Mở đầu
Trong lý thuyết định tính các hệ động lực, bài toán ổn định và ổn định hóa
có vai trò rất quan trọng. Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống đã trở thành
một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân,
lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Một trong lớp các hệ suy biến hiện nay cũng
đang được quan tâm nghiên cứu là hệ suy biến dương có trễ, mà bài toán ổn
định cho các hệ này phức tạp hơn đối với các hệ thông thường. Hệ dương là các
hệ xuất phát từ các điều kiện ban đầu dương có nghiệm luôn dương. Đối với
các hệ dương, đặc biệt là hệ suy biến dương, đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt mà
đối với các hệ thông thường không thể áp dụng được. Bài toán ổn định cho các
hệ dương không có trễ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước,
tuy nhiên cho tới nay còn ít kết quả về ổn định cho các hệ suy biến dương có
trễ. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định của hệ tuyến
tính suy biến dương có trễ. Trước tiên, chúng tôi trình bày các điều kiện cần và
đủ để hệ phương trình tuyến tính suy biến là dương. Sau đó sử dụng phương
pháp phân tích phổ, trình bày các điều kiện đủ để hệ là ổn định mũ, các điều
kiện này được trình bày thông qua nghiệm của bất đẳng thức ma trận tuyến

1


tính.
Chương 1 trình bày cơ sở toán học hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ
phương trình vi phân suy biến, hệ suy biến dương. Bài toán ổn định Lyapunov,

phương pháp hàm Lyapunov.
Chương 2 trình bày các kết quả về tính dương của hệ phương trình vi phân
tuyến tính, hệ vi phân tuyến tính suy biến, hệ rời rạc tuyến tính suy biến.
Chương 3 trình bày về tính ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến
tính, hệ rời rạc tuyến tính suy biến dương.

2


Một số ký hiệu viết tắt
Rn0,+

Không gian véctơ không âm trong Rn .

Rm×n

Tập các ma trận cấp thực ( m × n.)

N

Tập các số nguyên không âm.

C([−h, 0], Rn ) Không gian các hàm liên tục xác định trên [−h, 0].
In
x

Là ma trận đơn vị cấp n.

0

B ∈ Rn×n

Ký hiệu véctơ không âm.
Được gọi là ma trận Matzler nếu các phần tử
của đường chéo là không âm.

B

0

Ma trận không âm.

||A||

Ký hiệu chuẩn của ma trận A.

|x|

Ký hiệu module của véctơ x, |x| = (|x1 | , |x2 | , ..., |xn |)

Q

Kí hiệu ma trận đơn thức dương nếu các hàng, cột
của ma trận chỉ có một phần tử dương còn lại bằng không.

3


Chương 1
Cơ sở toán học

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở toán học về hệ phương trình
vi phân điều khiển, phương pháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định hóa và các
bổ đề bổ trợ. Nội dung chương này được trình bày từ tài liệu [1-3].

1.1

Hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân sau:



x˙ = f (t, x),
t ∈ I = [t0 − b, t0 + b],


x(t0 ) = x0 ,

(1.1)

n

x ∈ R , t0 ≥ 0,

trong đó

I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≥ a}.
Nghiệm x(t) của hệ phương trình vi phân sẽ là hàm số khả vi liên tục thỏa
mãn:
i) (t, x(t)) ∈ I × D,

4


ii) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân.
Giả sử f (t, x) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) được cho bởi dạng tích
phân sau:
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds,

x ≥ 0.

t0

Định lý 1.1.1 (Định lý Picard-Lindeloff). Xét hệ phương trình vi phân, giả sử
hàm f (t, x) : I × D : → Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
theo x:

∃K > 0 : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 ,

∀t ≥ 0.

Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D sẽ tìm được số b > d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn
có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d].
Định lý 1.1.2 ( Định lý Caratheodory). Giả sử f (t, x) là hàm đo được theo

t ∈ I và liên tục theo x ∈ D. Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0 , t0 + b)
sao cho

f (t, x) ≤ m(t),

∀(t, x) ∈ I × D

Khi đó hệ (1.1) có nghiệm trên khoảng [t0 , t0 + β] nào đó.
Định lý (1.1.2) cho ta điều kiện tồn tại đủ nghiệm mà không duy nhất.

1.2

Hệ phương trình vi phân có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có liên
quan đến quá khứ. Các hệ phương trình có phụ thuộc trễ thể hiện được đặc
5


điểm phụ thuộc vào quá khứ này của hệ thống, phần dưới đây sẽ trình bày một
số khái niệm cơ bản cho hệ có trễ. Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ
với độ trễ h (0 ≤ h < +∞) .
Với x(t) : Rn → Rn là một hàm liên tục, đặt xt (δ) = x (t + δ) , ∀δ ∈ [−h, 0]
và ký hiệu xt = sup

x (t + δ) .

δ∈[−h,0]

Khi đó hệ phương trình vi phân có trễ được cho dưới dạng:

.


 x(t)
= f (t, xt ), t ≥ 0

 x(t0 ) = ϕ (t) ,

(1.2)

t ∈ [−h, 0]

trong đó:

f : D → Rn , D ⊂ R × C ([−h, 0] , Rn ) ,
ϕ ∈ C ([−h, 0] Rn ) , ϕ = sup

ϕ (t) .

t∈[−h,0]

Hàm x(t) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có trễ (1.2) trên

[t0 − h, t0 + A] nếu tồn tại t0 ∈ R và A > 0 sao cho:
i) x ∈ C ([t0 − h, t0 + A] , Rn ) , (t, x1 ) ∈ D
ii) x(t) thỏa mãn phương trình (1.2) với t ∈ [t0 , t0 + A] . Hệ (1.1) được gọi
là tuyến tính nếu

f (t, ϕ) = L (t, ϕ) + h (t) ,
trong đó L (t, ϕ) là tuyến tính theo φ. Hệ (1.2) được gọi là hệ ôtônôm nếu

f (t, ϕ) = g (ϕ) ,

trong đó g không phụ thuộc theo t. Giả sử t0 = 0, ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) cho
trước và f (t, ϕ) liên tục trên D. Khi đó nghiệm x(t) của hệ (1.2) cho bởi dạng
6


tích phân:



 x (t) = ϕ (t) ,

t ∈ [−h, 0]
(1.3)

t



 x(t) = ϕ (0) +

f (s, x(s))ds,

t ≥ 0.

0

Trong phần nghiên cứu này chúng tôi luôn giả thiết hàm f (.) của hệ (1.3)
thỏa mãn một số điều kiện về tồn tại nghiệm trên toàn bộ đường thẳng [0, +∞].
(xem [3]).

1.3

Bài toán ổn định Lyapunov.

Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái
của hệ. f : R+ × Rn → Rn là hàm véc tơ cho trước, giả sử f(t,x) thỏa mãn điều
kiện bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 > 0, luôn có
nghiệm dạng tích phân cho bởi công thức:
t

x(t) = x0 + t

f (s, x(s))ds,

t ≥ t0 .

t0

Bằng phép đổi biến

x − y → z,
t − t0 → τ,
hệ (1.1) đưa về dạng:

z˙ = F˙ (τ, z),

(1.4)

trong đó F (τ, 0) = 0 và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ
(1.1) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.4). Do đó

7


ta xét hệ (1.1) với giả thiết nghiệm 0 tức là f (t, 0) = 0, t ∈ R+ ta nói hệ (1.1)
ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ ổn định.
Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với

∀ε > 0, t0 ∈ R+ , ∃δ(ε, t0 ) > 0,
sao cho bất kỳ nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu

x(t0 ) = x0 .
thỏa mãn:

x0 < δ,
thì

x(t) < ε, ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.3.2. Hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ ổn định và
tồn tại số δ >0 sao cho nếu

x0 < δ,
thì

lim x(t) = 0.

x→∞

Định nghĩa 1.3.3. Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M>0,

α > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với
x(t0 ) = x0 ,
thỏa mãn :

x(t) ≤ M e−α(t−t0 ) x0 ,
8

t ≥ t0 .


Tức là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó
tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Định nghĩa 1.3.4. Cho số dương α > 0. Hệ (1.1) được gọi là α− ổn định nếu
tồn tại số dương N > 0 sao cho với bất kì điều kiện đầu ϕ(t) nghiệm x(t, ϕ)
thỏa mãn:

||x(t, ϕ)|| ≤ N.e−αt ||ϕ||,

∀t ≥ 0.

Ví dụ 1. Xét hệ phương trình vi phân sau trong R:

x(t)
˙
= ax(t), t ≥ 0,
nghiệm x(t) với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức x(t) = x0 eat ,

t ≥ 0. Khi đó:

Nếu a<0 hệ ổn định (tiệm cận, mũ).

Nếu a=0 hệ ổn định nhưng không ổn định tiệm cận. Nếu a>0 hệ không ổn
định.

1.4

Hệ phương trình tuyến tính suy biến dương

1.4.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng



E x(t)
˙
= A0 x(t) + A1 x(t − h), t ≥ 0


x(t) = ϕ(t),

(1.5)

t ∈ [−h, 0],

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, A0 , A1 ∈ Rn×n là các ma trận hằng số
cho trước. Ma trận E ∈ Rn×n suy biến sao cho rankE = r ≤ n, h là hằng số
trễ. Hàm điều kiện ban đầu ϕ(t) : [−h, 0] → C([−h, 0], Rn ).
9

Định nghĩa 1.4.1. i) Cặp (E, A0 ) được gọi là chính quy nếu det(sE−A0 ) = 0.
ii) Cặp (E, A0 ) được gọi là xung tự do nếu deg(det(sE − A0 ) = 0)= rank E
iii) Hệ (1.5) được gọi là chính quy và xung tự do nếu cặp (E, A0 ) là chính quy
và xung tự do.
Với các giả thiết chính quy và xung tự do hệ (1.5) luôn có duy nhất nghiệm.
Như hệ phương trình vi phân các khái niệm về ổn định cho hệ (1.5) được định
nghĩa tương tự:
Định nghĩa 1.4.2. Hệ(1.5) được gọi là ổn định tiệm cận (ổn định mũ) nếu hệ
là chính quy và xung tự do và ổn định tiệm cận (ổn định mũ)
Ta có khái niệm hệ dương như sau:
Định nghĩa 1.4.3. Hệ(1.5) được gọi là dương nếu với điều kiện đầu dương
n
thì nghiệm x(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0
ϕ : [−h, 0] → R0,+

Ta biết rằng từ điều kiện chính qui và xung tự do sẽ tồn tại hai ma trận
nghịch đảo P, Q sao cho






A11 A12 
Ir 0 
A01 A02 
P EQ(t) = 


 , P A0 Q = 
 , P A1 Q = 
A13 A14
0 0n−r
A03 A04
Biến đổi tọa độ y1 (t) = Q−1 x(t) = [y1 (t), y2 (t)]. Trong đó y1 (t) ∈ Rr , y2 (t) ∈
Rn−r . Hệ (1.5) được đưa về hệ sau:



y˙ 1 (t) = A01 y1 (t) + A11 y1 (t − h) + A12 y2 (t − h), y1 (t) = ψ1 (t),


y2 (t) = −A−1
04 [A03 y1 (t) + A13 y1 (t − h) + A14 y2 (t − h)], y2 (t) = ψ2 (t),
(1.6)
10


trong đó: A01 = A01 − A02 A−1
04 A03 ,

A11 = A11 − A02 A−1
04 A13 ,

A12 = A12 − A02 A−1
04 A14 .
Định nghĩa 1.4.4. Ma trận Q gọi là đơn thức dương nếu các hàng, cột của
ma trận chỉ có 1 phần tử là dương, còn lại là bằng không.
Mệnh đề 1.4.5. Giả sử rằng (E, A0 ) là chính quy và xung tự do Q là ma trận

đơn thức dương và detA04 = 0 khi đó hệ (1.5) dương khi và chỉ khi hệ (1.6)
dương.
Chứng minh. Giả sử hệ (1.5) dương thì ta có y(t) = Q−1 x(t) và từ hệ (1.5)

Q−1 > 0 ⇔ Q là ma trận đơn thức khi đó y(t) ≥ 0, t ≥ 0. Ngược lại giả sử (1.5)
là dương tức là y(t) ≥ 0, t ≥ 0 ta có x(t) = Qy(t) ≥ 0, t ≥ 0 vì Q > 0.
1.4.2

Hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương

Tương tự như hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến dương (1.5) ta
xét hệ phương trình rời rạc tuyến tính suy biến dương sau:



Ex(k + 1) = A0 x(k) + A1 x(k − h(k)),


x(k) = ϕ(k),

k ∈ N,

(1.7)

k ∈ {−τ, −(τ − 1), ..., 0},

trong đó x(k) ∈ Rn , k ∈ N là véctơ trạng thái A0 , A1 ∈ Rn×n , ma trận E ∈

Rn×n là suy biến và rank E = r < n; h(k) là hàm trễ thỏa mãn điều kiện:
0 < h(k) ≤ τ,

11

k ∈ N,


hàm ban đầu ϕ(·) : {−τ, · · · , 0} → Rn với chuẩn ϕ =

max

k∈{−τ,−(τ −1),...,0}

ϕ(k) .

Tương tự như hệ vi phân (1.5) ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.6. (i) Hệ (1.7) là chính qui nếu det(zE − A0 ) = 0.
(ii) là xung rời rạc nếu deg(det(zE − A0 )) = rank(E) = r.
Định nghĩa 1.4.7. Hệ (1.7) là dương nếu với điều kiện ban đầu dương:

ϕ(·)

0 thì nghiệm x(k; ϕ)

0, ∀k ∈ N.

Với điều kiện chính qui và xung rời rạc sẽ tồn tại hai ma trận chính qui
(khả nghịch) P, Q sao cho





Ir 0 
A01 0 
P EQ = 
 , P A0 Q = 
,
0 0n−r
0 In−r



A11 A12 
P A1 Q = 
.
A13 A14

Và khi đó hệ (1.7) được phân tách về hệ dạng:

k−1 k−1−i


k

 x(k) = A01 P1 x(0) +
A01 A¯1 x(i − h(i)) + A¯2 x(k − h(k)),
i=0





 x(k) = ϕ(k),



(1.8)

k ∈ {−τ, −(τ − 1), ..., 0},

trong đó





A01 0 −1
I 0 −1
A01 = Q 
 Q , P1 = Q 
Q ,
0 0
0 0




0  −1
A11 A12  −1
 0
A¯1 = Q 
 Q , A¯2 = Q 

Q .
0
0
−A13 −A14
Mệnh đề 1.4.8. Giả sử hệ (1.7) là chính qui và xung rời rạc với x(k; ϕ) là
một nghiệm của hệ ta có các tính chất nghiệm sau:
(i) P1 x(k; ϕ) = x(k; ϕ) − A¯2 x(k − h(k); ϕ), k ∈ N.
12


(ii) x(k+1; ϕ) = A01 x(k; ϕ)+A¯1 x(k−h(k); ϕ)+A¯2 x(k+1−h(k+1); ϕ), k ∈ N.
(iii) x(k; αϕ) = αx(k; ϕ), ∀α > 0, k ∈ N.
Chứng minh. (i) Ta sẽ chứng minh (i) bằng phương pháp qui nạp toán học.
Để đơn giản ta ký hiệu x(k) := x(k; ϕ) cho k = 0 và sẽ chứng minh P1 x(0) =

x(0) − A¯2 x(−h(0)). Theo phép đổi biến y(k) = Q−1 x(k) = [y1 (k), y2 (k)] trong
đó y1 (k) ∈ Rr y2 (k) ∈ Rn−r , hệ (1.7) được đưa về hệ :



 y1 (k + 1) = A01 y1 (k) + A11 y1 (k − h(k)) + A12 y2 (k − h(k)),

(1.9)



 y2 (k) = −A13 y1 (k − h(k)) − A14 y2 (k − h(k)),
như vậy nghiệm của hệ (1.8) sẽ là

k−1




 y1 (k) = Ak01 y1 (0) +
Ak−1−i
A11 y1 (i − h(i)) + A12 y2 (i − h(i)) ,
01
i=0




 y2 (k) = −A13 y1 (k − h(k)) − A14 y2 (k − h(k)).
(1.10)
Ta có




0 
Ir 0
 0
y(0) = 
 y(−h(0)).
 y(0) + 
0 0
−A13 −A14
Từ công thức y(k) = Q−1 x(k) và (1.11) suy ra





0  −1
Ir 0 −1
 0
Q−1 x(0) = 
 Q x(0) + 
 Q x(−h(0)).
0 0
−A13 −A14

13

(1.11)


Vậy ta có




0  −1
Ir 0 −1
 0
x(0) =Q 
Q
x(0)
+
Q



 Q x(−h(0))
0 0
−A13 −A14

= P1 x(0) + A¯2 x(−h(0)).
Giả sử rằng (i) thỏa mãn với l ≤ k :

P1 x(l) = x(l) − A¯2 x(l − h(l)),

∀l ≤ k,

(1.12)

ta sẽ chứng minh (i) sẽ thỏa mãn với k + 1 :

P1 x(k + 1) = x(k + 1) − A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)).
Thật vậy sử dụng (1.8) ta có

x(k + 1) =

k+1
A01 P1 x(0)

k

+
i=0
k−1

k+1

= A01 P1 x(0) +

k−i
A01 A¯1 x(i − h(i)) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1))

k−i
A01 A¯1 x(i − h(i)) + A¯1 x(k − h(k))

i=0

+ A¯2 x(k + 1 − h(k + 1))
= A01

k
A01 P1 x(0)

k−1

+

k−1−i

A01

A¯1 x(i − h(i))

i=0

+ A¯1 x(k − h(k)) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)).
(1.13)
Vì
k
A01 P1 x(0)

k−1

+

k−1−i

A01

A¯1 x(i − h(i)) = x(k) − A¯2 x(k − h(k)),

i=0

14

(1.14)


sẽ suy ra từ (1.8)và (1.9) :

x(k + 1) = A01 x(k) − A¯2 x(k − h(k)) + A¯1 x(k − h(k))

(1.15)

+ A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)).

Theo qui nạp, và từ (1.10) và (1.11) cho ta

x(k + 1) = A01 P1 x(k) + A¯1 x(k − h(k)) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)),

(1.16)

và do đó

P1 x(k + 1) =P1 A01 P1 x(k) + P1 A¯1 x(k − h(k))

(1.17)

+ P1 A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)).
Mặt khác nhận xét rằng

P1 A01





I 0 −1 A01 0 −1
= Q
 Q = A01 ,
Q Q
0 0
0 0






I 0 −1 A11 A12  −1
P1 A¯1 = Q 
Q Q
 Q = A¯1 ,
0 0
0
0




0  −1
I 0 −1  0
P1 A¯2 = Q 
Q Q
 Q = 0.
−A13 −A14
0 0
Do đó từ (1.17) ta nhận được

P1 x(k + 1) =A01 P1 x(k) + A¯1 x(k − h(k))
= A01 P1 x(k) + A¯1 x(k − h(k)) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1))
− A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)).
(1.18)
15


Sử dụng (1.18) ta có

P1 x(k + 1) = A01 P1 x(k) + A¯1 x(k − h(k)) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1))
− A¯2 x(k + 1 − h(k + 1))
= x(k + 1) − A¯2 x(k + 1 − h(k + 1)),
suy ra điều kiện (i) đúng với k + 1. (ii) Theo (1.18) ta có

x(k + 1; ϕ) =

k+1
A01 P1 x(0; ϕ)

k

k−i
A01 A¯1 x(i − h(i); ϕ)

+
i=0

+ A¯2 x(k + 1 − h(k + 1); ϕ)
=

k+1
A01 P1 x(0; ϕ)

k−1

+

k−i

A01 A¯1 x(i − h(i); ϕ)

i=0

+ A¯1 x(k − h(k); ϕ) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1); ϕ)
= A01

k
A01 P1 x(0; ϕ)

k−1

+

k−1−i

A01

A¯1 x(i − h(i); ϕ)

i=0

+ A¯1 x(k − h(k); ϕ) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1); ϕ).
Hơn nữa nhận xét rằng




0  −1
A01 0 −1  0

A01 A¯2 = Q 
Q
Q


 Q = 0,
0 0
−A13 −A14
từ đó suy ra

x(k + 1; ϕ) =A01

k
A01 P1 x(0; ϕ)

k−1

+
i=0

+ A¯2 x(k − h(k); ϕ)

16

k−1−i

A01

A¯1 x(i − h(i); ϕ)

+ A¯1 x(k − h(k); ϕ) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1); ϕ)
=A01 x(k; ϕ) + A¯1 x(k − h(k); ϕ) + A¯2 x(k + 1 − h(k + 1); ϕ).
(iii) Ta sẽ chứng minh (iii) cũng bằng phương pháp qui nạp toán học.Với
k = 1, từ ( 1.18) suy ra
x(1; αϕ) = A01 P1 x(0; αϕ) + A¯1 x(−h(0); αϕ) + A¯2 x(1 − h(1); αϕ)
= A01 P1 αϕ(0) + A¯1 αϕ(−h(0)) + A¯2 αϕ(1 − h(1))
= α A01 P1 ϕ(0) + A¯1 ϕ(−h(0)) + A¯2 ϕ(1 − h(1))
= αx(1; ϕ).
Giả sử (iii) đúng với mọi l ≤ k :

x(l; αϕ) = αx(l; ϕ), ∀l ≤ k,

(1.19)

ta sẽ chứng minh (iii) đúng với k + 1. Thật vậy, từ (1.18) và (1.19) suy ra

x(k + 1; αϕ) = A01 x(k; αϕ) + A¯1 x(k − h(k); αϕ)
+ A¯2 x(k + 1 − h(k + 1); αϕ)
= α A01 x(k; ϕ) + A¯1 x(k − h(k); ϕ)
+ A¯2 x(k + 1 − h(k + 1); ϕ)
= αx(k + 1; ϕ).
điều này chứng minh (iii) đúng với k + 1. Mệnh đề được chứng minh.

17


1.5

Các bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.5.1. ([2]) Cho A ∈ Rn×n khi đó eAt > 0, với t > 0 nếu và chỉ nếu A
là ma trận Metzler. Hơn nữa ma trận nghich đảo của ma trận dương là dương
nếu và chỉ nếu nó là ma trận đơn thức.
Bổ đề 1.5.2. ([3]) Nếu A ∈ Rn×n và A ≥ 0, M > 0 là ma trận đơn thức dương
thì A¯ = M AM −1 ≥ 0.
Bổ đề 1.5.3. ([1]) Hệ không có điều khiển (1.4), t.l. A1 = 0, là ổn định tiệm
cận nếu tồn tại ma trận P ∈ Rn×n sao cho

ET P = P T E > 0,

P T A + AT P < 0.

Bổ đề 1.5.4. ([2]). Cho M, N các ma trận với số chiều tương thích. Các khẳng
định sau tương đương:
(i) M x

0 suy ra N x

(ii) Tồn tại H

0.

0 sao cho N = HM.

18


Chương 2
Tính dương của hệ suy biến có trễ

Trong chương này chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính
vi phân và rời rạc suy biến có trễ là dương. Nội dung chương này trình bày từ
tài liệu [4, 5].

2.1

Hệ vi phân tuyến tính suy biến

Xét hệ (1.5) trong đó A0 , A1 ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước. Ma
trận E ∈ Rn×n suy biến sao cho rankE = r ≤ n, h là hằng số trễ. Hàm điều
kiện ban đầu ϕ(t) : [−h, 0] → C([−h, 0], Rn ). Định lý sau cho điều kiện cần và
đủ để hệ là dương.
Định lý 2.1.1. Giả sử các điều kiện như trong bổ đề (1.5.1) là dương. Hệ tuyến
tính (1.5) là dương khi và chi khi A01 là Metzler và A1
đó

0, −A−1
04 A03



−1
A01 = A01 − A02 A04
A03 , A1 = 
19



A11

A12

−1
−A−1
04 A03 −A04 A04


.

0 trong