Bài giảng cơ lưu chất - Chương 2

TÓNH HOÏC LÖU CHAÁT
CHÖÔNG 2
TÓNH HOÏC LÖU CHAÁT
I. HAI TÍNH CHẤT CỦA ÁP SUẤT THUỶ TĨNH
1. p
⊥
⊥⊥
⊥
A và hướng vào A. (suy ra từ đònh nghóa).
2. Giá trò p tại một điểm không phụ thuộc vào hướng đặt của bề mặt tác dụng.
p
n
n
z
Xem phần tử lưu chất như một tứ diện vuông góc đặt tại gốc toạ độ như hình vẽ:
Các lực lên phần tử lưu chất:
Lực mặt : p
x
δyδz; p
y
δxδz; p
z
δyδx; p
n
δyδs.
Lực khối: ½Fδxδyδzρ.
Tổng các lực trên phương x phải bằng không:
p
x
p
n

p
z
δ
δδ
δz
δ
δδ
δx
δ
δδ
δy
δ
δδ
δs
θ
θθ
θ
n
x
y
Tổng các lực trên phương x phải bằng không:
p
x
δyδz - p
n
δyδs(δz/δs) + ½F
x
δxδyδzρ = 0
Chia tất cả cho δyδz :
p

x
- p
n
+ ½F
x
ρδx = 0 ⇒ p
x
= p
n
khi δ
δδ
δx → 0.
Chứng minh tương tự cho các phương khác
p
x
=p
y
= p
z
= p
n
Suy ra:
II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN
W
A
p
n
Xét lưu chất ở trạng thái cân bằng có thể tích W giới hạn bởi diện tích A.
Ta có tổng các lực tác dụng lên lưu chất =0:
Lực khối + lực mặt = 0:

0dApdwF
Aw
=−ρ
∫∫∫∫∫
Ta xét trên trục x:
np(
)np(
)np(
0dw)n.p(divdwF0dApdwF
W
x
w
x
Gauss.d.b
A
x
w
x

∂
∂
∂
=−ρ=−ρ
∫∫∫∫∫∫
⇔
∫∫∫∫∫
0
x
)p(
F0

x
)np(
F
0
z
np(
y
)np(
x
)np(
F
x
pppp
xxx
x
xzz
xyy
xxx
x
zyx
=
∂
∂
−ρ →←=
∂
∂
−ρ⇔
=









∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−ρ⇔
===
Xét tương tự cho các trục khác
0)p(grad
1
F =
ρ
−⇔
0dw)p(graddwF0dApdwF
WwAw
=−ρ⇔=−ρ
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
Kết luận:
III. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN
0
1

0
1
0
1
0
1
=
ρ
−++⇒+


















×=
∂
∂

ρ
−
×=
∂
∂
ρ
−
×=
∂
∂
ρ
−
dp)dzFdyFdxF(
dz
z
p
F
dy
y
p
F
dx
x
p
F
zyx
z
y
x
p

a
p
A
Chất lỏng nằm trong trường trọng lực: F
x
, F
y
=0, F
z
=-g:
z
A
p
A
p
B
h
AB
chuẩn 0
z
B
)1(
p
z
p
zconst
p
z:hay
const
p

gzdp
1
gdz
B
B
A
A
const
γ
+=
γ
+⇔=
γ
+
=
ρ
+ →
ρ
=−
=ρ
Chất lỏng nằm trong trường trọng lực: F
x
, F
y
=0, F
z
=-g:
hay: p
B
= p

A
+ γh
AB
hay p = p
a
+γh
(2)
(1), (2) là phương trình thuỷ tónh
Chất khí nằm trong trường trọng lực, nén được:
dp
p
RT
gdzdp
1
gdz =−⇔
ρ
=−
Xem như chất khí là khí lý tưởng:
RT
p
hayR
T
pV
=
ρ
=
Nếu biết được hàm phân bố nhiệt độ theo độ cao, ví dụ: T=T
0
– az; a>0,
T

0
là nhiệt độ ứng với độ cao z=0 (thông thường là mực nước biển yên lặng):
)Cln()azTln(
aR
g
pln
)azT(R
dz
g
p
dp
dp
p
)azT(R
gdz +−=⇒
−
−=⇒
−
=−
0
0
aR
g
)azT(Cp
aR)azT(Rpp
−=⇒
−
0
0
0

Gọi p
0
là áp suất ứng với z=0:
aR
g
aR
g
T
p
CCTp
0
0
0
0
=⇒=
aR
g
T
azT
pp








−
=

0
0
0
Phương trình khí tónh:
Ví dụ 1:
Giải:
Áp suất tuyệt đối tại mặt biển yên lặng là 760mmHg, tương ứng với
nhiệt độ T=288
0
K. Nhiệt độ tầng khí quyển giảm 6,5 độ K khi lên cao
1000m cho đến lúc nhiệt độ đạt 216,5 độ K thì giữ không đổi. Xác đònh
áp suất và khối lượng riêng của không khí ở độ cao 14500m. Cho
R=287 J/kg.
0
K
T
0
là nhiệt độ ứng với độ cao z=0 (mặt biển yên lặng):
Ta tìm hàm phân bố nhiệt độ theo độ cao: T=T
0
– az; với a=0, 0065
Cao độ ứng với nhiệt độ T
1
=216,5 độ K là z
1
= 11000m
0.1695mHg=







−
=








−
=⇒








−
=
1
287*0065.0
81.9
aR
g

0
10
01
aR
g
0
0
0
p
5,216
11000*0065.05,216
76.0
T
azT
pp
T
azT
pp
Suy ra: 216,5=288 – 0,0065z
1
Như vậy từ z
0
=0 đến z
1
=11000m, áp suất biến thiên theo phương trình khí tónh:
3
3
1
1
1

kg/m 0.364
5.216*287
10*81.9*6.13*1695.0
RT
p
ρRT
ρ
p
===⇒=
Từ:
Từ z
1
=11000 m đến z
2
=14500m, nhiệt độ không đổi nên:
z
g
RT
g
RT
111
eCpCpln)Cln(pln
g
RT
z
p
dp
g
RT
dzdp

p
RT
gdz
11
=⇒








=+−=⇒−=⇒=−
−−
Tại độ cao z
1
ta có áp suất bằng p
1
; suy ra:
( )
1
1
1
1
RT
g
)zz(
1
g

RT
z
epp
p
e
C
−
=⇒=
( )
g
1
p
Như vậy tại độ cao z
2
=14500m ta tính được:
97.52mmHgmHg 97520.0
e*17.0epp
5.216*278
81.9
)1450011000(
RT
g
)zz(
12
1
21
==
==
−
−

3
1
12
2
m/kg209.0
p
ρp
ρ ==
vàø:
IV. MẶT ĐẲNG ÁP, P
TUYỆT ĐỐI
, P
DƯ
, P
CHÂN KHÔNG
Mặt đẳng áp của chất lỏng nằm trong trường trọng lực là mặt phẳng nằm
ngang
Phương trình mặt đẳng áp: F
x
dx + F
y
dy + F
z
dz=0
Áp suất dư : p
dư
= p
tđ
- p
a

Nếu tại một điểm có p
dư
< 0 thì tại đó có áp suất chân không p
ck
p
ck
= -p
dư
= p
a
– p
tđ
p trong phương trình thuỷ tónh là áp suất tuyệt đối pt hoặc áp suất dưp trong phương trình thuỷ tónh là áp suất tuyệt đối pt
đ.
hoặc áp suất dư
Các điểm nào (?) có áp suất bằng nhau;
trong đoạn ống 2-5-6 chứa chất khí hay
chất lỏng ?
5
6
5
6
7
1
2
3 4
1 3 4
0
V. ỨNG DỤNG
p=0, chân không tuyệt đối

h
tđ
A
A
B
h
dư
A
A
p
a
B
h
ck
A
A
p
a
B
1. Các áp kế:
td
BA
hpp γ+=
dudu
B
du
A
du
hhpp γ=γ+=
ck

A
ckck
B
du
A
du
hphpp γ=⇒γ−=
2. Đònh luật bình thông nhau:
p
A
=p
A’
+ γ
2
h
2
; p
B
=p
B’
+ γ
1
h
1
γ
γγ
γ
1
h
1

=γ
γγ
γ
2
h
2
Suy ra
Từ p.tr thuỷ tónh:
h
1
γ
γγ
γ
1
γ
γγ
γ
2
h
2
A
A
’
B
’
B
A
’
Tại một vò trí nào đó trong lưu chất nếp áp
suất tăng lên một đại lượng ∆p thì đại lượng

này sẽ được truyền đi trong toàn miền lưu chất
→ ứng dụng trong máy nén thủy lực.
3. Đònh luật Pascal:
f
p=f/a
F=pA
Pascal 1623-1662 , Pháp
4. Biểu đồ phân bố áp suất chiều sâu:
p
a
h
p
a
+γ
γγ
γh
p
a
h
p
dư
=γ
γγ
γh
p
a
h
p
dư
/γ

γγ
γ=h
p
ck
h
p
ck
/γ
γγ
γ
p
ck
h
p
ck
p
ck
h
p
ck
/γ
γγ
γ
p
dư
=0, p
tđ
=p
a
h

1
=p
ck/
γ
γγ
γ
p
ck
/γ
γγ
γ-h
p
ck
-γ
γγ
γh
p
dư
/γ
γγ
γ=h-h
1
5 . Phân bố áp suất trên một mặt cong:
h
p/γ
γγ
γ=h
p/γ
γγ
γ=h

6 . Áp kế vi sai:
γ
γγ
γ
1
h
1
= γ
γγ
γ
2
h
2
Ban đầu thì p
1
=p
2
=p
a
:
Khi áp suất ống bên trái tăng lên ∆p: p
1
=p
a
+∆p; p
2
=p
a
0
h

γ
γγ
γ
1
γ
γγ
γ
2
h
1
h
2
p
a
→
→→
→p
a
+ ∆
∆ ∆
∆p
p
a
A
B
C
∆
∆∆
∆z
AB1BC2a

AB1BC2CAB1BAa
hhp
hhphpppp
γ−γ+=
γ−γ+=γ−==∆+
)zhh()zhh(hhp ∆−−γ−∆+−γ=γ−γ=∆⇒
0
)zhh()zhh(hhp
1122AB1BC2
∆−−γ−∆+−γ=γ−γ=∆⇒
)(z)(hp
2121
γ+γ∆+γ−γ=∆⇒
Gọi A, a lần lượt là diện tích ngang ống lớn và ống nhỏ:
A
ah
zz.Ah.a =∆⇒∆=⇒
)(
A
ah
)(hp
2121
γ+γ+γ−γ=∆⇒
VI. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG
p
a
O(x)
y
α
αα

α
C
h
D
y
dA
D
y
D
F
h
C
h
Tâm áp
 Giá trò lực
ApAhAysinydAsin
dAsinyhdAdApF
du
CCC
A
AA A
dudu
=γ=αγ=αγ=
αγ=γ==
∫
∫∫ ∫
 Điểm đặt lực
xx
AA A
D

IsindAysindAysinyydFFy αγ=αγ=αγ==
∫∫ ∫
2
ApF
du
C
du
=
C
x
y
C
y
I
xx
=I
c
+y
C
2
A
I
xy
=I
x’y’
+x
C
y
C
A

I
c
Tâm áp
lực
Tương tự :
Ay
I
xx
c
'y'x
CD
+=
Suy ra:
Ay
AyI
Ay
I
F
Isin
y
C
2
CC
C
xxxx
D
+
++
+
=

==
==
==
=
α
αα
αγ
γγ
γ
=
==
=
Ay
I
yy
C
C
CD
+=
Ay
AyxI
Ay
I
F
Isin
x
C
CC'y'x
C
xyxy

D
+
++
+
=
==
==
==
=
α
αα
αγ
γγ
γ
=
==
=
I
c
: M. q tính của A so với trục //0x và qua C
I
x’y’
: M. q tính của A so với trọng tâm C
 Lực tác dụng lên thành phẳng chữ nhật đáy nằm ngang:
2
hh
p
BA
C
+

γ=
b)AB(
2
hh
ApF
BA
C
+
γ==⇒
A
h
A
h
B
Ω
ΩΩ
Ω
h
A
h
B
D
C
*
F
F=γΩb
Đặt: Ω=(h
A
+h
B

).(AB)/2
Suy ra:
BD=[(h
B
+2h
A
)/(h
B
+h
A
)].(AB)/3
B
D
O(y)
x
A
x
Mặt
cong A
dA
z
dA
h
p
a
(n,ox)
dF
x
A
z

222
zyx
FFFF
++=
xcx
Ax
x
A
x
AA
xx
AphdAhdA
)ox,ncos(pdAdFF
=γ=γ=
==
∫∫
∫∫
 Thành phần lực theo phương x
VII. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH CONG ĐƠN GIẢN
z
dA
dA
x
n
(n,ox)
dF
x
AxA
 Thành phần lực theo phương z
WhdA

)oz,ncos(hdAdFF
A
z
AA
zz
γ=γ=
γ==
∫
∫∫
W: thể tích vật áp lực: là thể tích của vật thẳng đứng giới hạn bởi mặt cong A và
hình chiếu thẳng đứng của A lên mặt thoáng tự do (A
z
)
p
a
Caực vớ duù ve vaọt aựp lửùc W:
w
p
a
w
p
dử
p
dử
/


F
z
w

p
ck
p
a
p
ck
/


F
z
p
a
w
p
ck
F
p
ck
p
ck
/


F
P
du
w
F
z

P
a
P
ck
w
F
z
P
a
P
ck
P
a
w
F
z
F
z
p
a
p
ck
/


w
F
z
p
a

p
ck
/


w
1
w
2
F
z1
F
z2