Kỹ thuật biến phân và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

TRẦN HỮU HIẾU

KỸ THUẬT BIẾN PHÂN VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Huế, Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN HỮU HIẾU

KỸ THUẬT BIẾN PHÂN VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Huế, Năm 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
ghi trong Luận văn là trung thực. Tôi hoàn toàn
chịu trách nhiệm trước khoa và nhà trường về sự
cam đoan này.

Trần Hữu Hiếu

i


LỜI CẢM ƠN

Luân văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.
TS. Huỳnh Thế Phùng. Từ đáy lòng mình tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết
của Thầy.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên khoa Toán trường
Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến
thức bổ ích trong suốt khóa học tại trường.
Đồng thời tôi xin cảm ơn tới tập thể Cao học Toán khóa XXIII trường Đại học
Sư phạm - Đại học Huế đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn

thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi, những người đã
động viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Do thời gian có hạn nên luận văn chỉ dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu,
sắp xếp và trình bày các kết quả đã có theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết
luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi sai
sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy, Cô và bạn đọc quan
tâm vấn đề này.

Trần Hữu Hiếu

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Bảng các ký hiệu

v

Mở đầu

vi

1 Các nguyên lý biến phân
1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Dạng tổng quát trên không gian metric đủ . . . . . . . . .
1.1.2 Các dạng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dạng hình học của nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định lý Bishop -Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Định lý Flower-Petal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ứng dụng cho định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Định lý điểm bất động Caristi-Kirk . . . . . . . . . . . . .
1.4 Các nguyên lý biến phân hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Nguyên lý biến phân trơn trong không gian hữu hạn chiều
1.4.2 Định lý thay phiên Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Trội hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

1
1
1
4
5
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

17
17
17
18
19
19
20
22
23
23
25
26
26
28

2 Kỹ thuật biến phân trong lý thuyết dưới vi phân
2.1 Dưới vi phân Fréchet và nón pháp . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Nón pháp Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương và nghiệm Viscosity
2.2.1 Tách cận dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương . . . . . . . .
2.2.3 Tính duy nhất của nghiệm Viscosity . . . . . . . . .
2.3 Quy tắc tổng xấp xỉ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Quy tắc tổng xấp xỉ mạnh . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Quy tắc tổng xấp xỉ yếu . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Các định lý giá trị trung bình xấp xỉ . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Các định lý giá trị trung bình xấp xỉ . . . . . . . . .
iii

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


2.5

2.4.3 Tiêu chuẩn Lipschitz .
2.4.4 Tính đơn điệu của nón
2.4.5 Tính tựa lồi . . . . . .
Quy tắc dây chuyền . . . . . .

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

3 Kỹ thuật biến phân trong giải tích lồi
3.1 Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Dưới vi phân và nón pháp . . . . . .
3.1.2 Đạo hàm theo hướng của hàm lồi . .
3.2 Định lý Sandwich . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bổ đề tách . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Định lý Sandwich . . . . . . . . . . .
3.2.3 Phép tính dưới vi phân . . . . . . . .
3.2.4 Các điều kiện Pshenichnii-Rockafellar
3.3 Liên hợp Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Liên hợp Fenchel . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Bất đẳng thức Fenchel-Young . . . .
3.3.3 Đối ngẫu yếu . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Đối ngẫu mạnh . . . . . . . . . . . .
3.4 Bất đẳng thức đối ngẫu cho hàm Sandwich .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

4 Kỹ thuật biến phân trong giải tích hàm phi
4.1 Dưới vi phân và không gian Asplund . . . .
4.2 Các định lý tách không lồi . . . . . . . . . .
4.2.1 Định lý tách không lồi . . . . . . . .
4.3 Các nguyên tắc biến phân Stegall . . . . . .
4.3.1 Tính chất Radon-Nikodym . . . . . .
4.3.2 Nguyên lý biến phân Stegall . . . . .
4.3.3 Định lý Pitt . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Định lý Mountain Pass . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Định lý Mountain Pass . . . . . . . .
4.4.2 Điều kiện Palais-Smale . . . . . . . .
4.5 Các nguyên lý biến phân có nhiễu . . . . . .

tuyến
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

29
30
30
31

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

33
33
33
33
35
35
36
37
37
38
38
38
39
39
39

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

43
43
51
51
53
53
54
58
58
59
61
62

Kết luận

66

Tài liệu tham khảo

67

iv

BẢNG CÁC KÝ HIỆU
Ký hiệu
Rn

Ý nghĩa ký hiệu
Không gian vector thực n-chiều.
1
C (Ω)
Không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω.
Br (x) hoặc B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r.
[x, y]
Đoạn thẳng nối hai điểm x và y với mọi x, y ∈ Rn .
diamS
Đường kính của tập S .
convS
Bao tuyến tính của tập S .
La f
Tập mức của f .
NF (S; x)
Nón pháp Frechet của S tại x.
∂F f (x)
Dưới vi phân của f (x).
linf
Không gian tuyến tính của một hàm dưới tuyến tính f .
∗
S(x , A, α)
Phiến của A.
Γ(a, b)
Tập đèo từ a đến b.
↓

x
Vectơ có gốc tại x bằng cách sắp xếp lại các thành phần
theo thứ tự không tăng.

v


MỞ ĐẦU
“Kỹ thuật biến phân” là một thuật ngữ của toán học nhằm nói đến các phương
pháp chứng minh ở đó có sử dụng một hàm phụ thích hợp mà đạt giá trị cực tiểu.
Đây có thể được xem như một mô hình toán học của các nguyên tắc tác động
tối thiểu trong vật lý. Bởi nhiều kết quả quan trọng trong toán học, mà đặc biệt
là trong giải tích, có xuất xứ từ vật lý và cơ học, nên việc chúng có ít nhiều liên
quan đến các kỹ thuật biến phân là điều hoàn toàn tự nhiên. Việc sử dụng các
lập luận biến phân trong chứng minh toán học có một lịch sử lâu dài. Điều này
có thể được truy ngược trở lại từ bài toán của Johann Bernoulli về đường đoản
thời và lời giải của nó phải sử dụng phép tính biến phân. Kể từ đó phương pháp
này thường được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học .
Một minh họa đơn giản của lập luận biến phân là ví dụ sau:
Ví dụ (Tính tràn của đạo hàm): Cho f : R → R khả vi và giả sử
lim f (x)/|x| = +∞.

|x|→∞

Khi đó {f (x)|x ∈ R} = R. Thật vậy, cho r là một số thực bất kỳ. Đặt g(x) :=
f (x) − rx. Ta có g(x) → ∞ khi |x| → ∞ và vì vậy g đạt giá trị cực tiểu tại một
điểm x˙ nào đó thuộc R. Vì vậy 0 = g (x)
˙ = f (x)
˙ − r. Như vậy, f (x)
˙ = r. Do r lấy

tùy ý trong R ta suy ra tập hợp các đạo hàm của hàm f bằng R.
Hai điều kiện cốt yếu của lập luận biến phân là tính compact (để bảo đảm
hàm phụ đạt cực tiểu) và tính khả vi của hàm phụ (để có điều kiện dừng). Tuy
nhiên, những khám phá quan trọng của toán học những năm 1970 đã làm giảm
nhẹ đáng kể cả hai giả thiết trên. Những kết quả về nguyên lý biến phân tổng
quát làm giảm nhẹ tính compact, còn những kết quả của giải tích không trơn lại
cho phép sử dụng các hàm phụ không khả vi. Nhờ vậy, các kỹ thuật biến phân
cùng với các ứng dụng của chúng đã phát triển vượt bậc trong nhiều thập kỷ qua.
Bên cạnh việc sử dụng các nguyên lý biến phân sử dụng các đạo hàm suy rộng
cho các hàm trơn, người ta thường cần phải kết hợp một nguyên lý biến phân với
các công cụ thích hợp khác. Một đặc điểm quan trọng của các kỹ thuật biến phân
mới là chúng có thể làm việc trên các hàm không trơn, các tập hợp và các hàm
đa trị tốt như nhau.
Mục đích của luận văn là tổng quan các kĩ thuật biến phân bậc nhất trên
không gian vô hạn chiều, trình bày các ứng dụng của kỹ thuật này trong các lĩnh
vực khác nhau của giải tích, tối ưu hóa và xấp xỉ, hệ thống động và toán kinh tế.
Luận văn gồm 4 chương:
Chương 1 trình bày các kết quả cổ điển của giải tích về điều kiện để một
hàm nửa liên tục dưới đạt cực tiểu bao gồm Nguyên lý biến phân Ekeland, chứng
minh ngắn gọn định lý trong không gian metric đủ tổng quát, sự tương đương của
nguyên lý với tính đủ của không gian metric và ứng dụng trong các định lý điểm
bất động, định lý Bishop - Phelps, định lý Flower - Petal; đồng thờitổng quan
vi


nguyên lý biến phân Borwein - Preiss.
Chương 2 trình bày các ứng dụng kỹ thuật biến phân với các hàm nửa liên tục
dưới trên không gian Banach trơn Fréchet bao gồm các quy tắc tổng xấp xỉ địa
phương và không địa phương, từ đó suy ra điều kiện duy nhất nghiệm Viscosity
của phương trình Hamilton - Jacobi.

Chương 3 trình bày ứng dụng của kỹ thuật biến phân trong không gian đầy
đủ với các hàm lồi được nêu trong định lý Sandwich và vận dụng định lý này suy
ra điều kiện có nghiệm của bài toán lồi đơn giản và trình bày một số kết quả căn
bản nhưng quan trọng liên quan tính liên hợp với dưới Gradient.
Chương 4 trình bày ứng dụng kỹ thuật biến phân trong giải tích các hàm phi
tuyến, tổng quan nguyên lý biến phân Stegall và định lý Mountain Pass.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực có hạn nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
quý thầy cô cũng như các bạn quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.

vii


Chương 1
Các nguyên lý biến phân
1.1

Nguyên lý biến phân Ekeland

Nếu X không compact và f không là bức trên X thì hàm f có thể không đạt cực
tiểu trên X . Khi đó, ta xét khái niệm điểm ε-xấp xỉ cực tiểu như sau: Với ε > 0
cho trước, một điểm xε ∈ X gọi là ε-xấp xỉ cực tiểu của f (x) trên X nếu
inf f ≤ f (xε ) ≤ inf f + ε.
X

X

Điểm ε-xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Hơn nữa, khi X
là không gian metric đủ thì nguyên lý Ekeland phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu
hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X . Sau đây ta xét nguyên lý biến

phân Ekeland cổ điển trên không gian metric đủ (X, d).

1.1.1

Dạng tổng quát trên không gian metric đủ

Định lý 1.1.1. Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞}
là một hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và z ∈ X thoả mãn
f (z) < inf f + ε.
X

Khi đó, với λ > 0 bất kỳ thì tồn tại y ∈ X sao cho
i) d(z, y) ≤ λ,
ii) f (y) + λε d(z, y) ≤ f (z), và
iii) f (x) + λε d(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\{y}.
Để chứng minh Định lý trên, trước hết ta định nghĩa một quan hệ thứ tự "≤"
trên tích X × R như sau, với mỗi α > 0, với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × R ta có
(x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) ⇔ y2 − y1 + αd(x1 , x2 ) ≤ 0.

Ta chứng minh quan hệ "≤" có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
1


Tính phản xạ : dễ thấy từ định nghĩa quan hệ "≤".
Tính phản đối xứng : giả sử rằng (x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) và (x2 , y2 ) ≤ (x1 , y1 ). Ta cần
chứng minh (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ). Thật vậy, do cách định nghĩa quan hệ thứ tự và giả
thiết trên ta có:
y1 − y2
.
α

y2 − y1
.
(x2 , y2 ) ≤ (x1 , y1 ) ⇔ d(x2 , x1 ) ≤
α

(x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) ⇔ d(x1 , x2 ) ≤

Suy ra 2d(x1 , x2 ) ≤ 0. Vì vậy x1 = x2 . Do đó (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ).
Tính bắc cầu : giả sử rằng (x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) và (x2 , y2 ) ≤ (x3 , y3 ). Khi đó
d(x1 , x2 ) ≤

y1 − y2
α

và d(x2 , x3 ) ≤

Ta suy ra
d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) ≤

y2 − y3
.
α

y1 − y3
.
α

Mặt khác
d(x1 , x3 ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ).

Vậy ta suy ra
d(x1 , x3 ) ≤

y1 − y3
α

hay (x1 , y1 ) ≤ (x3 , y3 ).
Bổ đề sau sẽ được dùng để chứng minh Định lý 1.1.1.
Bổ đề 1.1.1. Cho S là tập đóng trong X × R thỏa mãn tồn tại m ∈ R sao cho
nếu (x, a) ∈ S thì a ≥ m. Khi đó, với mỗi phần tử (x1 , a1 ) ∈ S luôn có phần tử
(y, a ) ∈ S sao cho (x1 , a1 ) ≤ (y, a ) và (y, a ) là phần tử cực đại trong S theo nghĩa
(x, a)

(y, a ),

∀(x, a) ∈ S

và (x, a) = (y, a ).

Chứng minh. Ta xây dựng dãy (xn , an ) ⊂ S bằng quy nạp như sau, bắt đầu với
(x1 , a1 ) ∈ S cho trước. Giả sử rằng (xn , an ) đã biết. Ký hiệu
Sn = {(x, a) ∈ S | (xn , an ) < (x, a)},
mn = inf{a ∈ R | (x, a) ∈ Sn }

Ta có Sn là các tập đóng và Sn khác rỗng khi đó ta lấy (xn+1 , an+1 ) ∈ Sn sao cho
an − an+1 ≥

an − mn
.
2

(1.1)

Do quan hệ "≤" có tính bắc cầu nên Sn+1 ⊂ Sn suy ra mn ≤ mn+1 . Như vậy, Sn
là dãy các tập đóng giảm dần trong S , mn là dãy giảm dần trong R và bị chặn
dưới, vậy (1.1) có thể viết thành
an − mn
≥ an+1 − mn ≥ an+1 − mn+1 ≥ 0.
2
2


Tiếp tục quá trình này ta thu được
an+1 − mn+1 ≤

an − mn
a1 − m
≤ ··· ≤
.
2
2n α

Mặt khác (xn+1 , an+1 ) < (x, a) nên ta có
d(xn+1 , x) ≤

an+1 − a
a1 − m
≤
α
2n α

(α > 0).

Vậy đường kính của Sn tiến dần về 0. Suy ra dãy Sn là dãy các tập đóng lồng
nhau thắt dần và có đường kính tiến dần về 0 trong X × R, theo Định lý Cantor
tồn tại (y, a ) ∈ S thoả mãn
Sn .
(1.2)
{(x, a)} =
n∈N

Ta sẽ chứng minh (y, a ) là phần tử cực đại cần tìm. Thật vậy, từ định nghĩa
(y, a ) và (xn , an ) ≤ (y, a ), với mọi n ∈ N do đó (x1 , a1 ) ≤ (y, a ). Giả sử có
(x, a) > (y, a ) với (x, a) ∈ S và (x, a) = (y, a ). Khi đó (x, a) ∈ S , với mọi n ∈ N. Vì
vậy (x, a) ∈ ∩n∈N Sn điều này mâu thuẫn với (1.2). Như vậy (y, a ) là phần tử cực
đại trong S thỏa mãn yêu cầu Bổ đề.
Ta chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland trong Định lý 1.1.1.
Chứng minh. Đặt S = epif = {(x, a) ∈ X × R | f (x) ≤ a}. Dễ thấy, (z, f (z)) ∈ S .
Do f là nửa liên tục dưới nên S là tập đóng trong X × R.
Áp dụng Bổ đề 1.1.1 với α = λε và phần tử (z, f (z)), luôn tìm được (y, a ) sao
cho (z, f (z)) ≤ (y, a ) và (y, a ) là phần tử cực đại trong S .
Từ định nghĩa của epif ta luôn có (x, f (x)) ∈ S , với mọi x ∈ X . Mặt khác
f (y) ≤ a nên
ε
−f (y) + a + d(x, y) ≥ 0.
λ

mà (y, a ) là phần tử lớn nhất trong S nên ta có f (y) = a . Vậy (y, f (y)) là phần
tử lớn nhất trong S .
Ta sẽ chứng minh y là điểm cần tìm. Thật vậy, theo Bổ đề 1.1.1 ta có (z, f (z)) ≤

(y, f (y)) tức là
ε
f (y) + d(y, z) ≤ f (z).
λ

Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.
Mặt khác, từ f (y) − f (z) + λε d(y, z) ≤ 0, ta có
ε
d(y, z) ≤ f (z) − f (y).
λ

Hơn nữa, f (z) ≤ inf f + ε nên f (z) − f (y) ≤ ε. Do đó
X

ε
d(y, z) ≤ ε
λ

hay d(y, z) ≤ λ.

Ta suy ra (i) đúng.
3


Ta chứng minh (iii). Theo phần trên (y, f (y)) là phần tử lớn nhất trong S nên
với mọi (x, f (x)) ∈ S thì (x, f (x)) (y, f (y)), với mọi x = y . Do đó
ε
f (x) + d(y, x) > f (y),
λ

1.1.2

∀x = y.

Các dạng khác

Điểm y tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu f (x) + λε d(y, x). Nếu λ nhỏ
ta có thông tin tốt hơn về vị trí của y so với điểm z xấp xỉ ban đầu, nhưng khi
đó hàm nhiễu f (x) + λε d(y, x) lại có sự sai khác lớn so với f (x). Ngược lại, nếu λ
lớn thì ta không biết nhiều về vị trí điểm y , nhưng hàm f (x) + λε d(y, x) có thể sai
khác rất ít so với hàm f (x) ban đầu. Hằng số λ trong Định lý trên được chọn rất
linh hoạt.
Định lý 1.1.2. Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞}
là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và z ∈ X thoả mãn
f (z) < inf f + ε.
X

Khi đó tồn tại y sao cho
i) d(z, y) ≤ 1
ii) f (y) + εd(z, y) ≤ f (z), và
iii) f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), với mọi x ∈ X .
Chứng minh. Chọn λ = 1 trong Định lý 1.1.1.
Định lý 1.1.3. (Nguyên lý biến phân Ekeland cơ bản) Cho (X, d) là một không
gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn
dưới. Giả sử ε > 0 và z ∈ X thoả mãn
f (z) < inf f + ε.
X

Khi đó, với bất kỳ λ > 0, tồn tại y sao cho
i) d(z, y) ≤

√

ε,

√

ii) f (y) + εd(z, y) ≤ f (z), và
√

iii) f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), với mọi x ∈ X\{y}.
Chứng minh. Chọn λ =

√
ε trong Định lý 1.1.1.

Định lý 1.1.4. Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞}
là một hàm lsc bị chặn dưới. Khi đó, với bất kỳ ε > 0, tồn tại y sao cho
f (x) +

√

εd(x, y) ≥ f (y).

Chứng minh. Được suy ra từ Nguyên lý biến phân Ekeland cơ bản.
4


1.2
1.2.1

Dạng hình học của nguyên lý biến phân
Định lý Bishop -Phelps

Cho X là một không gian Banach. Với bất kỳ x∗ ∈ X ∗ \{0} và bất kỳ ε > 0 ta gọi
K(x∗ , ε) := {x ∈ X | ε x∗

x ≤ x∗ , x }

là một nón Bishop-Phelps cùng với x∗ và ε.
Định lý 1.2.1. (Định lý Bishop-Phelps) Cho X là một không gian Banach và S
là một tập con đóng của X . Giả sử x∗ ∈ X ∗ bị chặn trên S . Khi đó, với mọi ε > 0,
tồn tại một y là K(x∗ , ε) tựa của S , tức là
{y} = S ∩ [K(x∗ , ε) + y]

Chứng minh. Đặt
f (x) :=

−

x∗
x∗

,x

x∗
− ∗ ,x
+ ιS (x) =
x


+∞




nếu x ∈ S
nếu x ∈
/S

Ta có
inf f (x) > −∞.

x∈S

Với mọi ε > 0, áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland ta có,
∃y ∈ X : f (x) +

ε
x − y ≥ f (y),
2

∀x ∈ X.

Suy ra
y ∈ S, ∀x ∈ S :

Nên

ε
x−y

2

x∗
− ∗ ,x
x

ε
+ x−y ≥
2

x∗ ≥ x ∗ , x − y ,

x∗
− ∗ ,y
x

∀x ∈ S.

Mà x ∈ K(x∗ , ε) + y suy ra
x − y ∈ K(x∗ , ε),

hay
ε x∗

x − y ≤ x∗ , x − y ≤

tức là x = y .

5

ε ∗
x
2

x−y ,


1.2.2

Định lý Flower-Petal

Cho X là một không gian Banach và a, b ∈ X . Ta gọi
Pγ (a, b) := {x ∈ X | γ a − x + x − b ≤ b − a }

là một cánh hoa cùng với γ ∈ (0, +∞) và a, b ∈ X . Một cánh hoa luôn lồi, và những
cánh hoa được cấu thành khi γ ∈ (0, 1).
Định lý 1.2.2. (Định lý Flower Petal) Cho X là một không gian Banach và S là
một tập con đóng của X . Giả sử a ∈ S và b ∈ X\S với r ∈ (0, d(S, b)) và t = b−a .
Khi đó với bất kỳ γ > 0, luôn tồn tại y ∈ S ∩ Pγ (a, b) thoả mãn y − a ≤ (t − r)/γ
sao cho Pγ (y, b) ∩ S = {y}.
Chứng minh. Định nghĩa f (x) := x − b + ιS (x). Khi đó
f (a) < inf f + (t − r).
X

Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland vào hàm số f (x) với ε = t−r và λ = (t−r)/γ ,
ta có, tồn tại y ∈ S sao cho y − a < (t − r)/γ thoả mãn
y−b +γ a−y ≤ a−b

và
x − b + γ x − y > y − b , ∀x ∈ S\{y}.

Bất đẳng thức đầu chỉ ra y ∈ Pγ (a, b), trong khi bất đẳng thức sau suy ra rằng
Pγ (y, b) ∩ S = {y}.

Định lý 1.2.3. (Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian
metric) Cho (X, d) là một không gian metric. Khi đó X đầy đủ khi và chỉ khi, với
mọi hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới f : X → R ∪ {+∞} và với mọi ε > 0 tồn
tại một điểm y ∈ X thoả mãn
f (y) ≤ inf f + ε,
X

và
f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X.

Chứng minh. Chiều thuận được suy ra từ Định lý 1.1.4 .
Ngược lại, giả sử với mọi hàm nửa liên tục dước bị chặn dưới f : X → R ∪{+∞},
và với mọi ε > 0, tồn tại một điểm y ∈ X thỏa mãn (i) và (ii). Ta chứng minh
(X, d) là không gian đầy đủ.
Thật vậy, cố định x ∈ X và xét dãy {xn } ⊂ X là dãy Cauchy ta cần chỉ ra {xn }
hội tụ trong X . Từ đánh giá
|d(xm , x) − d(xn , x)| ≤ d(xm , xn ),
6

∀m, n ∈ N.


Ta suy ra {d(xn , x)} là dãy Cauchy trong R+ (là không gian metric đủ) nên dãy này
hội tụ trong R+ . Xét hàm f (x) = lim d(xn , x). Do hàm khoảng cách là lipschitz
n→∞

với x nên ta có f (x) là hàm liên tục. Hơn nữa, dãy xn là dãy Cauchy nên f (xn ) → 0
khi n → ∞. Ta suy ra inf f = 0.
X

Với ε ∈ (0, 1), ta tìm được y ∈ X sao cho f (y) ≤ inf f + ε và
X

f (x) + εd(x, y) ≥ f (y),

∀x ∈ X.

Cho x = xn thay vào biểu thức trên và chuyển qua giới hạn n → ∞ ta được
f (y) ≤ εf (y) suy ra f (y) = 0. Điều này chứng tỏ rằng lim xn = y .
n→∞

1.3

Ứng dụng cho định lý điểm bất động

Cho X là một tập hợp và f là một ánh xạ từ X vào chính nó. Ta gọi x là điểm
bất động của f nếu f (x) = x.

1.3.1

Định lý điểm bất động Banach

Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và φ là một ánh xạ từ X và chính nó.
Ta gọi φ là ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho
d(φ(x), φ(y)) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Định lý 1.3.1. (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là một không gian
metric đầy đủ. Giả sử φ : X → X là một ánh xạ co. Khi đó tồn tại duy nhất một
điểm bất động.
Chứng minh. Đặt f (x) := d(x, φ(x)). Áp dụng Định lý ?? cho f với ε ∈ (0, 1 − k),
ta có y ∈ X sao cho
f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X.

Đặc biệt, đặt x = φ(y) ta có
d(y, φ(y)) ≤ d(φ(y), φ2 (y)) + εd(y, φ(y)) ≤ (k + ε)d(y, φ(y)).

Do đó y là một điểm cố định. Tính duy nhất được suy ra trực tiếp từ φ là ánh xạ
co.
Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ. Cho x, y ∈ X , ta định nghĩa
[x, y] := {z ∈ X|d(x, z) + d(z, y) = d(x, y)}

(1.3.1)

là đoạn giữa x và y .
Định nghĩa 1.3.1. (Ánh xạ co có hướng) Cho (X, d) là một không gian metric
đầy đủ và φ là một ánh xạ từ X vào chính nó. Ta gọi φ là một ánh xạ co có hướng
nếu
7


(i) φ liên tục, và
(ii) tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho, bất kỳ x ∈ X với φ(x) = x tồn tại z ∈ [x, φ(x)]\{x}
sao cho
d(φ(x), φ(z)) ≤ kd(x, z).

Định lý 1.3.2. Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ. Giả sử φ : X → X

là một ánh xạ co có hướng. Khi đó φ có một điểm bất động.
Chứng minh. Định nghĩa
f (x) := d(x, φ(x)).

Khi đó f liên tục và bị chặn dưới bởi 0. Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland
vào f với ε ∈ (0, 1 − k) ta kết luận rằng tồn tại y ∈ X sao cho
f (y) ≤ f (x) + εd(x, y), ∀x ∈ X.

(1.3.2)

Nếu φ(y) = y chứng minh xong. Ngược lại, vì φ là một ánh xạ co có hướng nên
tồn tại một điểm z = y với z ∈ [y, φ(y)], tức là
d(y, z) + d(z, φ(y)) = d(y, φ(y)) = f (y)

(1.3.3)

d(φ(z), φ(y)) ≤ kd(z, y).

(1.3.4)

thoả mãn
Cho x = z trong (1.3.2) và sử dụng (1.3.3) ta có
d(y, z) + d(z, y) ≤ d(z, φ(z)) + εd(z, y)

hoặc
d(y, z) ≤ d(z, φ(z)) − d(z, φ(y)) + εd(z, y).

(1.3.5)

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và (1.3.4) ta có

d(z, φ(z)) − d(z, φ(y)) ≤ d(φ(y), φ(z)) ≤ kd(y, z).

(1.3.6)

Kết hợp (1.3.5) và (1.3.6) ta có
d(y, z) ≤ (k + ε)d(y, z),

mâu thuẫn.

1.3.2

Định lý điểm bất động Caristi-Kirk

Một lập luận tương tự có thể được sử dụng để chứng minh định lý điểm bất động
Caristi- Kirk cho ánh xạ đa trị. Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X , ta gọi x là một
điểm bất động của F nếu x ∈ F (x).

8


Định lý 1.3.3. (Định lý điểm bất động Caristi-Kirk) Cho (X, d) là một không
gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới, chính
thường, bị chặn dưới. Giả sử F : X → 2X là một ánh xạ đa trị với một đồ thị đóng
thoả mãn
f (y) ≤ f (x) − d(x, y), ∀(x, y) ∈ GrF.
(1.3.7)
Khi đó F có một điểm bất động.
Chứng minh. Định nghĩa một metric ρ trong X × X bởi ρ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) :=
d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ) với bất kỳ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × X . Khi đó (X × X, ρ) là một
không gian metric đầy đủ. Cho ε ∈ (0, 1/2) và định nghĩa g : X × X → R ∪ {+∞}

bởi g(x, y) := f (x) − (1 − ε)d(x, y) + ιGrF (x, y). Khi đó g là một hàm nửa liên tục
dưới bị chặn dưới. Áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland, tồn tại (x∗ , y ∗ ) ∈ GrF
sao cho
g(x∗ , y ∗ ) ≤ g(x, y) + ερ((x, y), (x∗ , y ∗ )), ∀(x, y) ∈ X × X.

Vì vậy với mọi (x, y) ∈ GrF ,
f (x∗ ) − (1−ε)d(x∗ , y ∗ )
≤ f (x) − (1 − ε)d(x, y) + ε(d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ )).

(1.3.8)

Giả sử z ∗ ∈ F (y ∗ ). Cho (x, y) = (y ∗ , z ∗ ) trong (1.3.8) ta có
f (x∗ ) − (1 − ε)d(x∗ , y ∗ ) ≤ f (y ∗ ) − (1 − ε)d(y ∗ , z ∗ ) + ε(d(y ∗ , x∗ ) + d(z ∗ , y ∗ )).

Nên
0 ≤ f (x∗ ) − f (y ∗ ) − d(x∗ , y ∗ ) ≤ −(1 − 2ε)d(y ∗ , z ∗ ),

do đó y ∗ = z ∗ . Suy ra y ∗ là một điểm bất động của F .
Chú ý rằng từ chứng minh trên có được F (y ∗ ) = {y ∗ }.

1.4

Các nguyên lý biến phân hữu hạn chiều

Trong mục trên, ta đã phát biểu và chứng minh Nguyên lý biến phân Ekeland cho
một không gian metric đủ tổng quát với hàm f là nửa liên tục dưới và bị chặn
dưới. Trong không gian hữu hạn chiều, ta có một cách chứng minh ngắn gọn Định
lý trên sử dụng điều kiện bức.
Cho X là không gian topo và hàm f : X → R ∪ {+∞}. Với mỗi a ∈ R, kí hiệu
tập mức của f là

La f = {x ∈ X | f (x ≤ a)}.

9


1.4.1

Nguyên lý biến phân trơn trong không gian hữu hạn
chiều

Định lý 1.4.1. (Nguyên lý biến phân trơn trong không gian Euclid) Cho f : RN →
R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới, λ > 0 và p ≥ 1. Giả sử ε > 0
và z ∈ RN thoả mãn
f (z) ≤ inf f + ε.
RN

Khi đó tồn tại y ∈ RN sao cho
(i) z − y ≤ λ ,
ε
y−z
λp
ε
(iii) f (x) + p x − z
λ

(ii) f (y) +

p

≤ f (z) ,

ε
y − z p , ∀x ∈ RN .
p
λ
ε
Chứng minh. Xét hàm g(x) = f (x) + p x − z p . Do f nửa liên tục dưới và bị chặn
λ
dưới nên g cũng là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Mặt khác, ta thấy rằng g
thỏa mãn điều kiện bức tức là lim g(x) = +∞.
p

≥ f (y) +

x →+∞
{x ∈ Rn | g(x)

Rn ,

Lấy a ∈
xét tập Lg(a) g =
≤ g(a)}, do g là nửa liên tục dưới nên
n
Lg(a) g là đóng trong R .
Ta chứng minh tập Lg(a) g là bị chặn trong Rn . Thật vậy giả sử Lg(a) g không bị
chặn trong Rn , lúc đó tồn tại dãy {xn } ⊂ Lg(a) g sao cho xn → +∞. Theo chứng
minh trên g thỏa mãn điều kiện bức trên Rn nên lim g(xn ) = +∞. Mặt khác
n→+∞

xn ∈ Lg(a) g nên g(xn ) ≤ g(a), với mọi n ∈ N. Ta suy ra

lim g(xn ) ≤ g(a),

n→+∞

∀n ∈ N

(mâu thuẫn với

lim g(xn ) = +∞).

n→+∞

Vậy tập Lg(a) g là đóng và bị chặn trong Rn hay Lg(a) g là compact. Khi đó g là
hàm nửa liên tục dưới trên tập compact Lg(a) g . Từ đó ta có tồn tại điểm cực tiểu
y của g trên Lg(a) g .
Ta sẽ chứng minh y là điểm cực tiểu của g trên Rn . Ta có với x ∈
/ Lg(a) g thì
n
g(x) > g(a) ≥ g(y) nghĩa là y là điểm cực tiểu của g trên R .
Bây giờ ta chứng minh y thỏa mãn các kết luận của định lý. Thật vậy, do y là
điểm cực tiểu của g trên Rn nên
ε
x − z p , ∀x ∈ Rn .
λp
ε
Vậy (iii) được thỏa mãn. Ta cho x = xε ta có: f (y) + p y − z p ≤ f (z). Ta chứng
λ
minh được (ii) và có f (y) ≤ f (z).
Đồng thời theo chứng minh trên và định nghĩa của z thì
ε

ε
infn f (x) + p y − z p ≤ f (y) + p y − z p ≤ f (z) ≤ infn f (x) + ε.
λ
λ
R
R
f (y) +

ε
y−z
λp

p

≤ f (x) +

Nghĩa là y − z < λ, ta chứng minh được (i).
10


Bổ đề 1.4.1. (Nguyên lý xấp xỉ Fermat cho hàm trơn) Cho f : RN → R là một
hàm trơn bị chặn dưới. Khi đó tồn tại một dãy xi ∈ RN sao cho f (xi ) → inf R f và
f (xi ) → 0.

1.4.2

Định lý thay phiên Gordan

Định lý 1.4.2. (Định lý thay phiên Gordan) Cho a1 , ..., aM ∈ RN . Khi đó hai hệ
sau có đúng một hệ có nghiệm

 M


λm am = 0


 m=1
M
, m = 1, ..., M,
(1.4.1)
λm = 1




 m=1
λm ≥ 0

am , x < 0,

m = 1, ..., M, x ∈ RN .

(1.4.2)

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh các mệnh đề sau tương đương:
i) Hàm số
M

f (x) = ln

exp am , x
m=1

bị chặn dưới.
ii) Hệ (1.4.1) có thể giải được.
iii) Hệ (1.4.2) không thể giải được.
Dễ dàng suy ra (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i). Còn lại cần chỉ ra (i) ⇒ (ii). Áp dụng Nguyên
lý xấp xỉ Fermat ta suy ra tồn tại một dãy (xi ) trong RN thoả mãn
M

λim am → 0,

f (xi ) =

(1.4.3)

m=1

trong đó
λim =

exp am , xi
M

> 0, m = 1, ..., M

exp al , xi
l=0
M

thoả mãn

λim = 1. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng λim → λm , m =

m=1

1, ..., M . Lấy giới hạn trong (1.4.3) ta có λn , m = 1, ..., M là một tập nghiệm của

(1.4.1).

11


1.4.3

Trội hoá

Cho vectơ x = (x1 , ..., xN ) ∈ RN , ta ký hiệu x↓ là vectơ có gốc là x bằng cách sắp
xếp lại các thành phần của nó theo thứ tự không tăng. Với x, y ∈ RN , ta gọi x được
k

N

N

làm trội bởi y , ký hiệu là x ≺ y , nếu

yn và

xn =

yn↓ , k = 1, ..., N.

n=1

n=1

n=1

n=1

k

x↓n ≤

Ví dụ. Với
x = (3, 6, 1, −5, 0)

và y = (1, 2, 4, 6, −8)

thì
x↓ = (6, 3, 1, 0, −5)

và y ↓ = (6, 4, 2, 1, −8).

Suy ra x ≺ y vì
6≥6
6+4≥6+3
6+4+2≥6+3+1
6+4+2+1≥6+3+1+0

6+4+2+1−8=6+3+1+0−5

Bổ đề 1.4.2. Cho x, y ∈ RN . Khi đó x ≺ y khi và chỉ khi, bất kỳ z ∈ RN , z ↓ , x↓ ≤
z↓, y↓ .

Chứng minh. Sử dụng công thức Abel ta có
z ↓ , y ↓ − z ↓ , x↓ = z ↓ , y ↓ − x↓
N −1

k

(zk↓

=

N

↓
− zk+1
)×

(yn↓

− x↓n )

↓
+ zN

n=1

k=1

(yn↓ − x↓n ).
n=1

k

Để chứng minh điều kiện cần ta chú ý rằng x ≺ y suy ra

(yn↓ − x↓n ) ≥ 0, k =

n=1
N

1, ..., N − 1 và

(yn↓ − x↓n ) = 0. Vì vậy, phần cuối cùng bên phải của đẳng thức

n=1

trên bằng 0. Hơn nữa, các số hạng bên trong tổng còn lại là tích của hai nhân tử
không âm nên nó không âm. Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử, với bất
kỳ z ∈ RN ,
0 ≤ z ↓ , y ↓ − z ↓ , x↓ =

N −1
k=1

↓
(zk↓ − zk+1

)×

k

(yn↓ − x↓n )

n=1

↓
+ zN

N

(yn↓ − x↓n ).

n=1

k

en , k = 1, ..., N − 1 (trong đó {en : n = 1, ..., N } là cơ sở chuẩn tắc của

Đặt z =
n=1

RN ) ta có

k
n=1

yn↓ ≥

k
n=1

x↓n , và đặt z = ±

N

N

en ta có
n=1

N

xn .

yn =
n=1

n=1

Ta ký hiệu P (N ) là tập các hoán vị của ma trận đơn vị cấp N × N (ma trận
này được suy ra bằng cách hoán đổi cột hoặc hàng).
12


Định nghĩa 1.4.1. Với y ∈ RN , đặt
l(y) = {x ∈ RN | x ≺ y}.

Định lý 1.4.3. Cho y ∈ RN . Khi đó
l(y) = conv{P y : P ∈ P (N )}.

Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra l(y) lồi và, bất kỳ P ∈ P (N ), P y ∈ l(y). Vì vậy,
conv{P y : P ∈ P (N )} ⊂ l(y).
Bây giờ chứng minh kết luận nghịch đảo. Với bất kỳ x ≺ y , theo Bổ đề 1.4.2 tồn
tại P = P (z) ∈ P (N ) thoả mãn
z, P y = z ↓ , y ↓ ≥ z ↓ , x↓ ≥ z, x .

(1.4.4)

Chú ý P (N ) là một tập hữu hạn (với N ! phần tử). Do đó, hàm
exp z, P y − x

f (z) := ln

.

P ∈P (N )

được xác định với mọi z ∈ RN , là hàm khả vi, và bị chặn dưới bởi 0. Sử dụng
Nguyên lý xấp xỉ Fermat ta có thể chọn dãy (zi ) trong RN sao cho
λiP (P y − x).

0 = lim f (zi ) =
i→∞

(1.4.5)

P ∈P (N )

trong đó
λiP =

Rõ ràng, λiP > 0 và

i
P ∈P (N ) λP

exp zi , P y − x
.
P ∈P (N ) exp zi , P y − x
= 1. Do đó, lấy một dãy con sao cho với mỗi

P ∈ P (N ), limi→∞ λiP = λP ≥ 0 và

P ∈P (N ) λP

= 1. Lấy giới hạn i → ∞ trong

(2.4.5) ta có
λP (P y − x) = 0
P ∈P (N )

Vì vậy, x =

1.5

P ∈P (N ) λP P y

là điều cần chỉ ra.

Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss

Định nghĩa 1.5.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Một hàm liên tục ρ :
X × X → [0, ∞] được gọi là một hàm mức trên một không gian metric đầy đủ
(X, d) nếu
i) ρ(x, x) = 0, với mọi x ∈ X ,
ii) Với bất kỳ ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y, z ∈ X ta có ρ(y, z) ≤ δ kéo
theo d(y, z) < ε.
13


Định lý 1.5.1. (Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss) Cho (X, d) là một không
gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn
dưới. Giả sử ρ là một hàm mức và (δi )∞
i=0 là một dãy số dương, và giả sử ε > 0 và
z ∈ X thoả mãn
f (z) ≤ inf f + ε.
X

Khi đó tồn tại y và một dãy {xi } ⊂ X sao cho
i) ρ(z, y) ≤ ε/δ0 , ρ(xi , y) ≤ ε/(2i δ0 ),
ii) f (y) +

∞
i=0 δi ρ(y, xi )

≤ f (z), và

iii) f (x) +

∞
i=0 δi ρ(x, xi )

> f (y) +

∞
i=0 δi ρ(y, xi ),

với mọi x ∈ X\{y}.

Chứng minh. Ta tạocác dãy (xi ) và (Si ) bằng phép quy nạp với x0 := z và
S0 := {x ∈ X|f (x) + δ0 ρ(x, x0 ) ≤ f (x0 )}.

(1.5.1)

Vì x0 ∈ S0 , S0 khác rỗng. Hơn nữa, S0 đóng vì cả f và ρ(·, x0 ) là hàm nửa liên tục
dưới. Ta có, với mọi x ∈ S0 ,
δ0 ρ(x, x0 ) ≤ f (x0 ) − f (x) ≤ f (z) − inf f ≤ ε.

(1.5.2)

X

Lấy x1 ∈ S0 sao cho
f (x1 ) + δ0 ρ(x1 , x0 ) ≤ inf [f (x) + δ0 ρ(x, x0 )] +
x∈S0

δ1 ε

.
2δ0

(1.5.3)

và định nghĩa tương tự
1

S1 :=

δk ρ(x, xk ) ≤ f (x1 ) + δ0 ρ(x1 , x0 ) .

x ∈ S0 f (x) +

(1.5.4)

k=0

Tổng quát, giả sử ta định nghĩa xj , Sj , với j = 0, 1, ..., i − 1 thoả mãn
j−1

j−1

δk ρ(xj , xk ) ≤ inf

f (xj ) +

x∈Sj−1

k=0

f (x) +

δk ρ(x, xk ) +
k=0

εδj
2j δ0

(1.5.5)

và
j

Sj :=

j−1

x ∈ Sj−1 f (x) +

δk ρ(x, xk ) ≤ f (xj ) +
k=0

δk ρ(xj , xk ) .

(1.5.6)

k=0

Chọn xi ∈ Si−1 sao cho

i−1

i−1

δk ρ(xi , xk ) ≤ inf

f (xi ) +
k=0

x∈Si−1

f (x) +

δk ρ(x, xk ) +
k=0

14

εδi
2i δ0

(1.5.7)


và ta định nghĩa
i

Si :=

i−1

x ∈ Si−1 f (x) +

δk ρ(x, xk ) ≤ f (xi ) +
k=0

δk ρ(xi , xk ) .

(1.5.8)

k=0

Ta có, với mọi i = 1, 2, ..., Si là các tập đóng khác rỗng. Từ (1.5.7) và (1.5.8) ta có,
với mọi x ∈ Si ,
i−1

δi ρ(x, xi) ≤ f (xi ) +

i−1

δk ρ(xi , xk ) − f (x) +
k=0
i−1

≤ f (xi ) +

δk ρ(x, xk )
k=0
i−1

δk ρ(xi , xk ) − inf

f (x) +

x∈Si−1

k=0

δk ρ(x, xk )
k=0

εδi
≤ i ,
2 ε0

Suy ra
ρ(x, xi ) ≤

ε
2i δ0

, ∀x ∈ Si .

(1.5.9)

Vì ρ là hàm mức, bất đẳng thức (1.5.9) suy ra d(x, xi ) hội tụ đều về 0, do đó
diam(Si ) → 0. Vì X đầy đủ, theo định lý giao nhau của Cantor, tồn tại duy nhất
y ∈ ∩∞
i=0 Si thoả mãn (i) bởi (1.5.2) và (1.5.9). Rõ ràng, ta có xi → y . Với bất kỳ
x = y , ta có x ∈

/ ∩∞
i=0 Si , và do đó với mỗi j ,
j

∞

δk ρ(x, xk ) ≥ f (x) +

f (x) +
k=0

δk ρ(x, xk )
k=0
j−1

> f (xj ) +

δk ρ(xj , xk ).

(1.5.10)

k=0

Mặt khác, từ (1.5.1), (1.5.8) và y ∈ ∩∞
i=0 Si ta có, với bất kỳ q ≥ j ,
j−1

f (x0 ) ≥ f (xj ) +

δk ρ(xj , xk )

k=0
q−1

≥ f (xq ) +

δk ρ(xq , xk )
k=0
q

≥ f (y) +

δk ρ(y, xk ).

(1.5.11)

k=0

Lấy giới hạn trong (1.5.11) khi q → ∞ ta có
j−1

f (z) = f (x0 ) ≥ f (xj ) +

δk ρ(xj , xk )
k=0
∞

≥ f (y) +

δk ρ(y, xk ),
k=0

15

(1.5.12)


Suy ra được (ii). Kết hợp (1.5.10) và (1.5.12) suy ra (iii).
Định lý 1.5.2. Cho X là một không gian Banach với chuẩn · và cho f : X →
R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới, cho λ > 0 và p ≥ 1. Giả sử
ε > 0 và z ∈ X thoả mãn
f (z) < inf f + ε.
X

Khi đó, tồn tại y và một dãy (xi ) trong X với x1 = z và một hàm ϕp : X → R có
dạng
∞

µ i x − xi p ,

ϕp (x) :=
i=1

trong đó µi > 0, ∀i = 1, 2, ... và

∞
i=1 µi

= 1 sao cho

i) xi − y ≤ λ, i = 1, 2, ...,

ii) f (y) + (ε/λp )ϕp (y) ≤ f (z), và
iii) f (x) + (ε/λp )ϕp (x) > f (y) + (ε/λp )ϕp (y), ∀x ∈ X\{y}.
Chứng minh. Lập luận tương tự Định lý 1.5.1 khi ta đặt hàm ρ(x, y) = x−y p .

16