Về môđun bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

LÊ THỊ KIỀU OANH

VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC
TỰ ĐẲNG CẤU CỦA BAO NỘI XẠ
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT

Huế, Năm 2016
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn này là công trình nghiên cứu
của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo GS. TS.
Lê Văn Thuyết.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, tôi đã kế
thừa thành quả khoa học của các nhà Toán học và các nhà
Khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Tác giả

ii


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo GS. TS. Lê Văn
Thuyết, cảm ơn những lời động viên, nhắc nhở của thầy trong suốt
quá trình hướng dẫn khoa học cho tôi. Thầy đã giúp tôi vượt qua
những khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu của
mình.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã giảng
dạy lớp cao học Toán Khóa 23 của trường ĐHSP Huế cũng như toàn
thể các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy
tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng
Sau Đại học trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành
công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân
và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!

iii

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Danh mục kí hiệu và viết tắt

2

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Một số định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Môđun con cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Môđun A - nội xạ. Tiêu chuẩn Baer . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5

Bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao nội xạ

27

2.1

Môđun giả nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2

Môđun tự đẳng cấu – bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Môđun giả nội xạ và môđun tự đẳng cấu bất biến trùng nhau

37

2.4

Vành liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

1


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT
N, Z, Q, R, C

: Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực,
số phức (theo thứ tự).

A ≤ B(A < B)

: A là môđun con (con thực sự) của B.

A≤e B

: A là môđun con cốt yếu của B.

A≤⊕ B
A∼
=B

: A là một hạng tử trực tiếp của B.

A⊕B

: Tổng trực tiếp của hai môđun A và B.

E (M )

: Bao nội xạ của môđun M .

Z(M )

: Môđun con suy biến của môđun M .

Im (f )

: Ảnh của đồng cấu f .

Ker (f )

: Hạt nhân của đồng cấu f .

End(M )

: Vành các tự đồng cấu của môđun M .

: Môđun A là đẳng cấu với môđun B.

M od − R(R − M od) : Phạm trù các R−môđun phải (trái, tương ứng).
Hom(N, M )

: Tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M .

⊕ Ai

: Tổng trực tiếp các môđun Ai , i ∈ I.

ϕ|A

: Thu hẹp của ϕ trên A.

M/N

: Môđun thương của M trên N .

≤0

: Quan hệ thứ tự.

i

2


MỞ ĐẦU
Lý thuyết môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đang
được nhiều nhà toán học quan tâm. Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho
đến ngày nay được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng
trong nghiên cứu lý thuyết vành. Một trong các hướng nghiên cứu vành là
đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên
chúng. Vì thế ngày nay có khá nhiều lớp môđun được nghiên cứu. Một trong

các hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu môđun nội xạ, rồi
tựa nội xạ. Một tính chất quan trọng của môđun tựa nội xạ là nó bất biến
qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ.
Cho MR và A, B ∈ M od − R, chúng ta xét giản đồ sau:
0

/

/

A

f

 ~

B

h

M

Nếu tồn tại h ∈ HomR (B, M ) với mọi AR , BR và với mọi f ∈ HomR (A, M )
thì ta nói rằng MR là nội xạ và ta cũng nói rằng MR là M od − R−nội xạ.
Tiêu chuẩn Bear cho ta biết rằng MR nội xạ khi và chỉ khi M là RR −nội
xạ. Môđun MR được gọi là tựa nội xạ nếu nó là tự nội xạ, nghĩa là MR là
MR −nội xạ.
Vào năm 1961, Johnson và Wong đã chứng minh rằng MR là tựa nội xạ
nếu với mọi f ∈ EndR (E (M )), M bất biến qua f , nghĩa là f (M ) ≤ M ,
trong đó E (M ) là bao nội xạ của môđun M . Phát triển tư tưởng này, các

nhà khoa học chuyển từ tự đồng cấu sang tự đẳng cấu.
Vào năm 1969, Dickson-Fuller đã chứng minh rằng nếu R là một đại số
bất kỳ trên trường F với nhiều hơn 2 phần tử, thì môđun M không thể phân
tích được là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là bất biến qua các tự đẳng cấu của
E (M ). Xét đến các lớp môđun bất biến dưới tự đẳng cấu của bao nội xạ, vào
năm 2013 tác giả Lee và Zhou đã xây dựng khái niệm về môđun tự đẳng cấu
bất biến. Một môđun M được gọi là tự đẳng cấu bất biến nếu ϕ(M ) ≤ M
3


với mọi ϕ ∈ AutR (E (M )). Một vài đặc trưng của lớp môđun này đã được
nghiên cứu và áp dụng. Sau đó, Teply (1975) đã đưa ra khái niệm giả nội xạ.
Một môđun M được gọi là giả nội xạ nếu mỗi đơn cấu từ môđun con của
M vào M có thể được mở rộng đến một tự đồng cấu của M . Giả nội xạ và
tự đẳng cấu bất biến rất gần nhau. Một câu hỏi được đặt ra là khi nào thì
môđun tự đẳng cấu bất biến trùng với môđun giả nội xạ. Vào năm 2013, Er,
Sing và Srivastava đã chứng minh rằng môđun tự đẳng cấu bất biến trùng
với môđun giả nội xạ. Ngoài ra, Guil Asensio và Srivastava đã chứng minh
rằng tự đồng cấu vành của mỗi môđun tự đẳng cấu bất biến là nửa chính
quy.
Mục đích của luận văn này là đi tìm hiểu về môđun bất biến qua tự đẳng
cấu, môđun giả nội xạ và cuối cùng là chứng minh hai lớp môđun này trùng
nhau. Theo sự định hướng của thầy hướng dẫn GS. TS Lê Văn Thuyết, tôi
đã chọn đề tài "Về môđun bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ" làm
đề tài nghiên cứu cho luận văn.
Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản
của lý thuyết môđun có liên quan đến nội dung của đề tài. Cụ thể tôi sẽ trình

bày tóm tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất cấu trúc đại số của môđun
và khái niệm tính chất về môđun nội xạ, môđun con cốt yếu, bao nội xạ.
Chương 2. Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao nội xạ.
Trong chương này chúng tôi đề cập đến bốn nội dung chính.
Nội dung thứ nhất: trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng
minh các tính chất của môđun giả nội xạ.
Nội dung thứ hai: nghiên cứu khái niệm, tính chất của môđun tự đẳng
cấu bất biến.
Nội dung thứ ba: nghiên cứu môđun giả nội xạ và môđun tự đẳng cấu bất
biến trùng nhau.
Nội dung thứ tư: nghiên cứu về một số vành liên quan.
4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản được dùng trong
chương sau. Trong luận văn này nếu không nói gì thêm thì môđun M được
quy ước là một R môđun phải và R là vành kết hợp có đơn vị khác không.

1.1

Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Môđun con B của môđun A được gọi là hạng tử trực tiếp
trong A nếu có môđun C của A sao cho A = B ⊕ C. Môđun A khác không
được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử trực tiếp duy
nhất trong A.
Định nghĩa 1.1.2. (Các điều kiện Ci của môđun)
(C1 ) Mọi môđun con của môđun M là cốt yếu trong một hạng tử trực

tiếp của M .
(C2 ) Mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì nó cũng
là hạng tử trực tiếp của M .
(C3 ) Nếu M1 , M2 là các hạng tử trực tiếp của M , M1 ∩ M2 = 0 thì
M1 ⊕ M2 ≤⊕ M .
Định nghĩa 1.1.3. (i) M thỏa mãn (C1 ) được gọi là CS−môđun hay môđun
mở rộng.
(ii) M thỏa mãn (C1 ) và (C2 ) được gọi là môđun liên tục.
(iii) M thỏa mãn (C1 ) và (C3 ) được gọi là môđun tựa liên tục.

5


Định nghĩa 1.1.4. Dãy khớp các đồng cấu
f

g

... → A → B → C → ...
được gọi là chẻ ra tại môđun B, nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của B, tức
tồn tại môđun con sao cho: B = Imf ⊕ B1 .
Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.
Áp dụng định nghĩa trên cho trường hợp các dãy khớp ngắn ta có: dãy
f

g

khớp ngắn 0 → A → B → C → 0 là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B. Thật
vậy, kiểm tra dãy là chẻ tại A và C là quá tầm thường:
A = Im0 ⊕ A và C = Img ⊕ 0

Các dãy khớp ngắn sau đây, được sinh bởi tổng trực tiếp A ⊕ B có thể xem
là các ví dụ điển hình về các dãy khớp chẻ:
j1

p2

j2

p1

0 → A → A ⊕ B → B → 0,
0 → B → A ⊕ B → A → 0.
Nếu nhớ lại các đẳng thức của tổng trực tiếp
p1 j1 = 1A ,

p2 j2 = 1B

thì ta có thể nhận xét rằng: trong cả hai dãy khớp ngắn chẻ trên đây, các
đồng cấu vào j1 , j2 đều có nghịch đảo trái, còn các đồng cấu ra p1 , p2 , đều có
nghịch đảo phải. Điều này, như sẽ thấy dưới đây không chỉ đúng dưới những
dãy khớp ngắn được sinh bởi tổng trực tiếp, mà là đặc trưng chung cho mỗi
dãy khớp ngắn chẻ bất kỳ.
Cụ thể, chúng ta có:
Định lí 1.1.5. Đối với dãy khớp ngắn
0

/

A

α /

B

các phát biểu sau tương đương:
(i) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra.
(ii) Đồng câu α có nghịch đảo trái.
(iii) Đồng cấu β có nghịch đảo phải.
6

β

/C

/

0


Chứng minh. (ii) ⇒ (i) Nếu đồng cấu α có nghịch đảo trái, tức là tồn tại
đồng cấu p : B → A sao cho pα = 1A , thì tích hai đồng cấu:
p

α

A→B →A
là đẳng cấu. Vậy B = Imα ⊕ Kerp, do đó dãy chẻ ra. (i) ⇒ (ii) Nếu dãy là
chẻ ra, tức B = Imα ⊕ B1 thì tồn tại phép chiếu
p1 : B = Imα ⊕ B1 → Imα.
Bởi α là đơn cấu nên A ∼

= Imα và do đó đồng cấu α1 : A → Imα (mà
α1 (a) = α(a), ∀a ∈ A) có đồng cấu ngược α1 −1 : Imα → A. Chọn p = α1 −1 p1
thì pα = 1A , tức α có nghịch đảo trái. Vậy (i) tương đương (ii).
Một cách tương tự: (iii) ⇒ (i) Nếu β có nghịch đảo phải, tức tồn tại đồng
q

β

cấu q mà βq = 1C thì tích của hai đồng cấu C → B → C là đẳng cấu. Và
do đó
B = Imq ⊕ Kerβ = Imq ⊕ Imα,
tức là dãy chẻ ra.
(i) ⇒ (ii) Nếu dãy là chẻ ra thì tồn tại môđun con B1 mà B = Imα ⊕ B1 .
Xét đồng cấu β1 = β|B1 : B1 → C. Bởi B1 ∩ Kerβ = 0 nên β1 là đơn cấu.
β1 cũng là toàn cấu vì: ∀c ∈ C, do β1 là toàn cấu nên ∃b ∈ B mà β(b) = c.
Vì B = Imα ⊕ B1 nên tồn tại a ∈ A, b1 ∈ B1 mà b = α(a) + b. Hiển nhiên
β1 (b) = c. Vậy β1 : B1 → C là đẳng cấu, do đó tồn tại đẳng cấu ngược
β1 −1 : C → B1 . Chọn q = j2 β1 −1 với j2 : B1 → Imα ⊕ B1 là phép nhúng
thành phần B1 vào tổng trực tiếp, ta có: βq = 1C , tức β có nghịch đảo phải.
Vậy (i) tương đương (iii).
Định lí 1.1.6. Cho dãy khớp ngắn
/

0

A

α /

B

β

/C

/

0.

Khi đó các dãy sau là khớp
1) 0

/

Hom(M, A)

α∗ /

Hom(M, B)

7

β∗

/

Hom(M, C)

/0

.


/

2) 0

Hom(C, M )

α∗ /

Hom(B, M )

β∗

/ Hom(A, M )
/

0.

trong đó M là R môđun tùy ý, α∗ = Hom(idM , α) và α∗ = Hom(α, idM ).
Tương tự với β∗ và β ∗ .
Chứng minh. Xem [1, Chương II, Định lý 1].

1.2

Môđun con cốt yếu

Định nghĩa 1.2.1. Môđun con N của R môđun M được gọi là môđun con
cốt yếu của M , kí hiệu N ≤e M , nếu với mọi môđun con khác không K của

M ta đều có K ∩ N = 0. Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N .
Nếu mọi môđun con của môđun M là cốt yếu thì M được gọi là môđun đều.
Ví dụ 1. (1) Với mỗi môđun M , ta đều có M ≤e M.
(2) Vành số nguyên Z xem như môđun trên chính nó. Khi đó, mỗi iđêan
khác không trong Z (tức là các môđun con khác không của Z) đều cốt yếu
trong Z.
Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ aZ và bZ ta đều có:
0 = ab ∈ aZ ∩ bZ , a, b = 0.
(3) Z môđun Q là đều.
m
a
Thật vậy, lấy 0 = A, B ≤ Q, tồn tại
∈ A,
∈ B với (a, b, m, n ∈ Z).
b
n
a
m
Ta có mb · ∈ A và na ·
∈ B với (a, b, m, n ∈ Z).
b
n
Suy ra ma ∈ A và ma ∈ B. Do đó 0 = ma ∈ A ∩ B.
Bổ đề 1.2.2. Cho A là môđun con của môđun M . Khi đó A≤e M khi và chỉ
khi với mỗi phần tử 0 = m ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = mr ∈ A.
Chứng minh. Giả sử A≤e M , 0 = m ∈ M thì khi đó mR = 0 và A ∩ mR = 0.
Suy ra, tồn tại r ∈ R mà 0 = mr ∈ A.
Ngược lại, nếu B là môđun con khác không của M , lấy 0 = m ∈ B và tìm
được r ∈ R sao cho 0 = mr ∈ A và do mr ∈ B nên B ∩ A = 0.
Vậy A≤e M .

8


Hệ quả 1.2.3. Cho A là môđun con của môđun M trên R. Khi đó
A≤e M ⇔ Rx ∩ A = 0, ∀x ∈ M, x = 0.
Chứng minh. (⇒) Hiển nhiên
(⇐) Lấy 0 = X ≤ M . Suy ra, tồn tại 0 = x ∈ X sao cho A ∩ Rx = 0
mà Rx ≤ X nên A ∩ X = 0. Vậy A≤e M .
Mệnh đề 1.2.4. Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A ≤ B ≤ C thì
khi đó ta có
A≤e C ⇔


 A≤e B
 B≤e C

Chứng minh. Nếu A≤e C, khi đó 0 = X ≤ C ta có X ∩ A = 0. Vì A ≤ B nên
X ∩ B = 0. Suy ra B≤e C.
Lấy X ≤ B ⇒ X ≤ C ⇒ X ∩ A = 0 (vì A≤e C). Do đó A≤e B.
Vậy
A≤e C ⇔


 A≤e B
 B≤e C


 A≤e B

ta chứng minh A≤e C. Thật vậy, lấy 0 = X ≤ C thì

 B≤e C
X ∩ B = 0 (vì B≤e C).
Nếu

Vì 0 = X ∩ B ≤ B nên (X ∩ B) ∩ A = 0 (do A≤e B ). Do A ≤ B nên
X ∩ B ∩ A = X ∩ A = 0. Vậy A≤e C.
Mệnh đề 1.2.5. Cho f : M → N là đồng cấu R môđun. Khi đó nếu A≤e N
thì f −1 (A)≤e M .
Chứng minh. Giả sử X là môđun con khác không của M . Ta sẽ chứng minh
X ∩ f −1 (A) = 0.
Thật vậy, nếu f (X) = 0 thì f (X) ≤ A nên X ≤ f −1 (A).
Nếu f (X) = 0, khi đó A≤e N nên f (X) ∩ A = 0. Suy ra ∃x ∈ X, x = 0
sao cho f (x) = a với a ∈ A, a = 0. Do đó x ∈ f −1 (A) tức là x ∈ X ∩ f −1 (A),
suy ra X ∩ f −1 (A) = 0. Vậy f −1 (A)≤e M .
9


Mệnh đề 1.2.6. Cho B là môđun con khác không của môđun M , A≤e M thì
khi đó A ∩ B≤e B.
Chứng minh. Giả sử X là môđun con khác không của môđun B, khi đó
X ≤ M . Vì A≤e M nên tồn tại 0 = a ∈ A ∩ X ⇒ a ∈ X và a ∈ A, do đó
a ∈ B. Suy ra a ∈ (A ∩ B) ∩ X nên (A ∩ B) ∩ X = 0. Vậy A ∩ B≤e B.
Mệnh đề 1.2.7. Cho A ≤ B ≤ M . Nếu (B/A)≤e (M/A) thì B≤e M .
Chứng minh. Cho X là môđun con khác không của M .
Nếu B ∩ X = 0 thì A ∩ X = 0. Do đó, tồn tại tổng trực tiếp A ≤ X ⊕ A
Vì B/A≤e M/A và (X ⊕ A)/A ≤ M/A nên (B/A) ∩ (X ⊕ A)/A = 0. Suy
ra tồn tại c ∈
/ A mà c + A ∈ B/A ∩ (X ⊕ A)/A. Nên ta có
c + A = b + A = x + a + A (với a ∈ A, b ∈ B, x ∈ X)
x = b − a + a ,a ∈ A

Ta có a − a ∈ A ≤ B nên b − a + a ∈ B ⇒ x ∈ B ⇒ x = 0 ⇒ b ∈ A
Suy ra c + A = A ⇒ c ∈ A mâu thuẫn với giả thiết c ∈
/ A.
Vậy B ∩ X = 0 ⇒ B≤e M .
n

n

i=1

i=1

Mệnh đề 1.2.8. Nếu Ai ≤e Bi , ∀i = i, n thì ∩ Ai ≤e ∩ Bi .
n

Chứng minh. Lấy 0 = X ≤ ∩ Bi , suy ra X ≤ Bi với mọi i = i, n. Mà Ai ≤e Bi
i=1

n

nên X ∩ Ai = 0. Lúc đó X ∩ ( ∩ Ai ) = 0 hay ∩Ai ≤e ∩ Bi .
i=1

Chú ý 1.2.9. Giao tùy ý của họ các môđun con cốt yếu của M chưa hẳn
đã cốt yếu trong M . Chẳng hạn như, trong Z ta có nZ≤e Z, với mọi n ∈ N,
nhưng ∩n∈N nZ = 0 và do đó không cốt yếu trong Z
Mệnh đề 1.2.10. Cho Ai ≤e Mi , Mi < M ∀i ∈ I. Khi đó nếu tồn tại ⊕ Ai
I

e

thì tồn tại ⊕ Mi và ⊕ Ai ≤ ⊕ Mi .
I

I

I

Chứng minh. Trường hợp 1: |I| = n hữu hạn. Quy nạp theo n và chỉ cần
chứng minh n = 2.
Cho A1 ≤e M1 , A2 ≤e M2 và tồn tại A1 ⊕ A2 .
10


Theo Mệnh đề 1.2.8 A1 ∩ A2 ≤e M1 ∩ M2 , suy ra 0≤e M1 ∩ M2 .
Do đó M1 ∩ M2 = 0 nên tồn tại M1 ⊕ M2 .
+ Xét các đồng cấu chiếu sau
f1 : M1 ⊕ M2 → M1
x1 + x2 → x1
f2 : M1 ⊕ M2 → M2
x1 + x2 → x2 .
Do A1 ≤e M1 nên theo Mệnh đề 1.2.6 ta có f1−1 (A1 )≤e M1 ⊕ M2 hay
A1 ⊕ M2 ≤e M1 ⊕ M2 .
Do A2 ≤e M2 nên f2−1 (A2 )≤e M1 ⊕ M2 hay M1 ⊕ A2 ≤e M1 ⊕ M2 . Dùng phép
giao ta có A1 ⊕ M2 ∩ M1 ⊕ A2 ≤e M1 ⊕ M2 . Suy ra A1 ⊕ A2 ≤e M1 ⊕ M2 .
Vậy n = 2 đúng.
Trường hợp 2: I vô hạn bất kì.
+ Chứng minh tồn tại ⊕ Mi . Lấy x ∈
I

Mi , ta có biểu diễn
I

x = x1 + ... + xk , xi ∈ Mi

(∗)

x ∈ M1 + .... + Mk hữu hạn.
M1 + .... + Mk = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mk .
Do đã chứng minh ở trường hợp 1, suy ra sự biểu thị ở (*) là duy nhất,
Mi = ⊕ Mi .

do đó
I

I

+ Chứng minh ⊕ Ai ≤e ⊕ Mi .
I

I

Lấy 0 = X ≤ ⊕ Mi , suy ra, tồn tại 0 = x ∈ X. Có sự phân tích duy nhất
I

x = x1 + x2 + ... + xm (do x ∈ X < ⊕ Mi ).
I

Vì xi ∈ Mi ⇒ x ∈ M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mm . Do A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ Am ≤e M1 ⊕
M2 ⊕ ... ⊕ Mm (|I| hữu hạn). Nên Rx ∩ (A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ Am ) = 0. Suy ra

Rx ∩ ⊕ Ai = 0. Do đó X ∩ ⊕ Ai = 0.
I

I

11


1.3

Môđun A - nội xạ. Tiêu chuẩn Baer

Định nghĩa 1.3.1. Môđun M trên R được gọi là A−nội xạ nếu mọi môđun
con X và mỗi đồng cấu f : X → M có thể mở rộng tới đồng cấu f ∗ : A → M
sao cho f = f ∗ ◦ i, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán với i : X → A là phép
nhúng.
/X

0

f

 ~

i

/A
f∗

M

Bổ đề 1.3.2. Nếu môđun N là A−nội xạ thì mọi đơn cấu f : N → A là chẻ
ra. Hơn nữa, nếu A không phân tích được thì f là đẳng cấu.
Chứng minh. Vì f : N → A là đơn cấu nên ta có thể xem N như là môđun
con của môđun A. Do N là A−nội xạ nên tồn tại đồng cấu g : A → N sao
cho g ◦ f = 1N .
Ta sẽ chứng minh A = Imf ⊕ Kerg. Thật vậy, với a ∈ A, ta có g(n) ∈ N .
Đặt
n = g(a), a = f (n) + a − f (n).
Suy ra
f (n) ∈ Imf.
Xét
g(a − f (n)) = g(a) − g(f (n)) = n − n = 0
suy ra
a − f (n) ∈ Kerg
hay
A = Imf + Kerg.
Giả sử a ∈ Imf ∩ Kerg, khi đó

 a ∈ Imf

⇒

 a ∈ Kerg


 a = f (n)
 g(a) = 0,

hay

g ◦ f (n) = 0 ⇒ n = 0
12


do đó
a = f (n) = f (0) = 0.
Suy ra
Imf ∩ Kerg= 0
hay
A = Imf ⊕ Kerg.
Vậy f chẻ ra.
Nếu A không phân tích được thì theo định nghĩa Kerg = 0. Khi đó
A = Imf ⇒ f toàn cấu ⇒ f đẳng cấu.
Mệnh đề 1.3.3. Cho N là A− nội xạ và B là môđun con của A. Lúc đó:
(i) N là B−nội xạ.
(ii) N là A/B−nội xạ.
Chứng minh. (i) Xét biểu đồ
i

X
f

 ~w

i

/B

iB /

A

g

N

Với X ≤ B mọi f : X → N là đồng cấu, i là phép nhúng đồng nhất. Do N
là A−nội xạ. Suy ra, tồn tại g : A → N là mở rộng của f , tức là g ◦ iB ◦ i = f.
Khi đó f ∗ = g ◦ iB . Vì f ∗ ◦ i = g ◦ iB ◦ i = f nên N là B−nội xạ.
(ii) Giả sử X/B là môđun con của A/B, ϕ : X/B → N là đồng cấu môđun.
Gọi π : A → A/B là toàn cấu tự nhiên và π = π|X . Khi đó, ϕ◦π : X → N là
đồng cấu môđun. Do N là môđun A−nội xạ nên tồn tại đồng cấu θ : A → N
mà θ ◦ i = ϕ ◦ π . Vậy nên ta có B ≤ Kerθ.
+ Xác định ψ : A/B → N với ψ(a + B) = θ(a). Dễ thấy ψ là ánh xạ, ψ
là đồng cấu, ψ|X/B = ϕ, do đó N là A/B−nội xạ.
Mệnh đề 1.3.4. (Tiêu chuẩn Baer tổng quát) Môđun N là A−nội xạ khi và
chỉ khi N là Ra−nội xạ với mọi a ∈ A .

13


Chứng minh. Dùng bổ đề Zorn.
Xét S = {(Bi , ψi ) |X ≤ Bi ≤ A, ψi là mở rộng ϕ, i ∈ I} Quan hệ thứ tự:
(B1 , ψ1 ) ≤0 (B2 , ψ2 ) ⇔ B1 ≤0 B2 và ψ2 mở rộng ψ1 . Theo bổ đề Zorn, suy
ra, tồn tại (B, ψ) tối đại.
X ≤ B ≤ A và ψ mở rộng ϕ. Ta chứng minh B = A.
Chứng minh B ≤ A. Nếu B≤e A ⇒ ∃0 = C ≤ A mà B ∩ C = 0 có
B ≤ B ⊕ C.
Xét
α:B⊕C →N

a + b → ψb + 0.
Khi đó α là đồng cấu và α là mở rộng của ψ. (B, ψ) ≤0 (B ⊕ C, α) vô lý với
tính chất tối đại của (B, ψ).
Nếu B = A ⇒ ∃a ∈ A − B ⇒ a = 0. Đặt
K = {r ∈ R|ra ∈ B} .
Khi đó Ka = 0 vì Ka = Ra ∩ B mà B≤e A, Ra = 0 suy ra Ra ∩ B = 0.
+ Ta xét ánh xạ sau
µ : Ka → N
ka → ψ(ka).
Do N là Ra−nội xạ nên tồn tại mở rộng của µ là ν : Ra → N.
+ Ta đã có B ≤ B + Ra, B + Ra = B
/ Ra

Ka
µ

 }

ν

N
Xác định

χ : B + Ra → N
b + ra → ψ(b) + ν(ar).

14


Kiểm tra χ đồng cấu. Lúc đó χ biến phần tử 0 thành phần tử 0. Nếu b+ra = 0

⇒ ra = −b ⇒ ra ∈ ka.
Suy ra
χ(b + ra) = ψ(b) + ν(ra)
=ψ(b) + µ(ra) = ψ(b) + ψ(ra)
=ψ(b + ra) = ψ(0) = 0.
Vậy (B + Ra, χ)0 ≥ (B, ψ) mâu thuẫn. Nên ta có B = A.
Mệnh đề 1.3.5. N là ⊕ Ai −nội xạ khi và chỉ khi N là Ai −nội xạ, với mọi
I

i ∈ I.
Chứng minh. N là ⊕ Ai −nội xạ thì N là Ai −nội xạ. Do N là ⊕ Ai −nội xạ
I

I

mà Ai ≤ ⊕ Ai nên theo Mệnh đề 1.3.3 suy ra N là Ai −nội xạ với ∀i ∈ I.
I

Ngược lại, giả sử N là Ai −nội xạ với. Đặt
Ai = ⊕Ai , X ≤ A và ϕ : X → N là đồng cấu môđun.
Tương tự cách chứng minh Mệnh đề 1.3.4, bằng Bổ đề Zorn ta giả sử
ϕ không mở rộng thành một đồng cấu từ X vào N với bất kỳ môđun con
X ≤ A mà X chứa X. Khi đó, X là môđun con cốt yếu của A.
Do X = A nên tồn tại j ∈ I và a ∈ Aj sao cho a ∈
/ X, mà N là Aj −nội xạ
nên j ∈ I ⇒ N là aR−nội xạ, với mọi a ∈ A (Mệnh đề 1.3.4).
Tương tự Mệnh đề 1.3.4, ta có thể mở rộng đồng cấu ϕ thành đồng cấu
ψ : X + aR → N, điều này mâu thuẫn với tính tối đại của χ. Vậy N là A−nội
xạ hay N là ⊕ Ai −nội xạ.
I

1.4

Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ

Định nghĩa 1.4.1. Cho môđun M , M được gọi là nội xạ nếu M là A−nội
xạ với mọi môđun A. Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M −nội xạ.
Ví dụ 2. (1) Mỗi không gian vectơ V trên một trường K là một K môđun
nội xạ vì mỗi ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ con của W đến V đều
có thể mở rộng ra toàn không gian W .
15


(2) Cho n > 1, khi đó ta có Zn là Zn −môđun nội xạ.
Để chứng minh tính nội xa, chúng ta sẽ dùng tiêu chuẩn Baer. Giả sử I
là một iđêan của Zn , khi đó I có dạng I = dZn , trong đó d là ước của n và
giả sử n = dm. Xét α : I → Zn và giả sử α d = k. Khi đó, α(0) = α(n) =
α(dm) = mα(d) = mk = 0.
.
Suy ra mk ..n hay mk = en = edm và do đó k = ed. Bây giờ ta định nghĩa
β : Zn → Zn sao cho β(x) = xe. Khi đó, β(d) = de = k = α(d).
(3) Ta có môđun Z−môđun Zpn với p là số nguyên tố là tựa nội xạ vì nó
bất biến hoàn toàn trong bao nội xạ của nó là Zp∞ .
Tổng quát hơn, ta có Z−môđun Zn là tựa nội xạ với mỗi n ∈ Z.
Thật vây, ta có Zn = Zp1 n1 ⊕ ... ⊕ Zpk nk với pi là các số nguyên tố
khác nhau, mặt khác, mỗi Z−môđun Zpi ni là tựa nội xạ (theo ví dụ trên) và
HomZ (Zp∞ , Zq∞ ) = 0 nếu p và q là các số nguyên tố khác nhau.
Định nghĩa 1.4.2. (xem [3], Định nghĩa 3.4.9) Một nhóm Aben X được gọi
là chia được nếu và chỉ nếu với mọi phần tử x của X và mọi số nguyên, tồn
tại một phần tử sao cho n.a = x.

Ví dụ 3. (1) Q là Z môđun chia được vì phương trình n.a = x trên Q luôn
có nghiệm x ∈ Q, ∀x ∈ Q, a ∈ Q, n ∈ N∗ .
(2) Z là Z môđun không chia được vì không phải mọi phương trình n.x = a
đều có nghiệm x trên Z với ∀a ∈ Z, n ∈ N∗
Mệnh đề 1.4.3. (xem [3], Định lý 3.4.10) Một Z môđun D là chia được khi
và chỉ khi D là nội xạ.
Chứng minh. Trước hết, nếu Z môđun D là chia được thì D là môđun nội
xạ. Cho ϕ : D → B là một đơn cấu của hai nhóm Aben, trong đó D là nhóm
chia được.
Ta sẽ chứng minh rằng ϕ chẻ ra và do đó D là môđun nội xạ. Thật vậy,
do ϕ đơn cấu nên D đẳng cấu với ảnh Im (ϕ). Bởi vậy, không mất tính tổng
quát ta có thể xem D là nhóm con của B và ϕ là đơn cấu chính tắc. Gọi U
là tập hợp tất cả các nhóm con A của B sao cho D ∩ A = 0.
16


Tập U = φ, do A = 0 ∈ U . Áp dụng bổ đề Zorn ta thấy trong U có phần
tử tối đại, chẳng hạn V . Khi đó: D + V = D ⊕ V .
Mặt khác, đối với phần tử tùy ý b ∈ B, ta xét iđêan: I = {x ∈ Z|bx ∈ D + V }.
Do Z là vành chính nên I = mZ. Hơn nữa I = 0, vì nếu I = 0 thì nhóm con H
sinh bởi b thỏa mãn điều kiện: H ∩(D + V ) = 0, từ đó suy ra: (H + V )∩D = 0
trái với tính tối đại của V .
Giả sử bm = d0 +V0 . Do D chia được nên tồn tại d1 ∈ D sao cho md1 = d0 .
Khi đó, V0 = (b − d1 ) m, ta có: D ∩ (V + (b − d1 ) Z) ⇒ bx = d − v + d1 x ∈
D + V suy ra x ∈ I ⇒ x = m.x1 ⇒ d = v + (b − d1 ) .m.x1 . Mà D ∩ V = 0
nên d = 0. Từ tính tối đại của V suy ra: (b − d1 ) Z là môđun con của V, nên
b − d1 ∈ V ⇒ b ∈ D + V . Như vậy B = D + V .
Ngược lại, giả sử Z môđun D là nội xạ và giả sử d ∈ D, 0 = m ∈ Z. Xét
các biểu đồ các đồng cấu: trong đó, i là phép nhúng chính tắc, còn f được
xác định bởi công thức f (m) = d. Do tính nội xạ của D nên tồn tại đồng

cấu h : Z → D sao cho f = h.i. Ta có d = f (m) = h(m) = h(1.m) = h(1).m.
Điều này chứng tỏ rằng D là nhóm chia được.
Ví dụ 4. (1) Q là Z−nội xạ vì Q là Z môđun chia được.
(2) Các Z−môđun Z và Zn không phải là Z−môđun nội xạ (vì chúng
không chia được).
(3) Cho R = 

và N = 

0 0

F F
0 F





 trong đó F là một trường. Lấy M = 

F F
0

0





 thì M và N là các R−môđun. Khi đó, môđun N không

0 F
phải là M −nội xạ.


Thật vậy, ta lấy một môđun con của M là A = 
một đồng cấu

ϕ:A=

0 F
0 0





→

17

0 0
0 F




0 F
0 0


 và định nghĩa


thỏa mãn


ϕ 

0 1
0 0





 = 

0 0
0 1


.

Khi đó, ϕ là đẳng cấu.
Tuy nhiên, giả sử α là một đồng cấu bất kì từ





F F
0 0

→

0 0
0 F

và giả sử α 

1 0
0 0


α 





 = 

a b
0 0



0 0
0 x


 với một x nào đó thuộc F. Thế thì,



 = α 

1 0
0 0




a b




0 0
 

1 0
a b
 

= α 
0 0
0 0



 

0 0
a b
0 0

=
.
=
0 x
0 0
0 0


Vậy α là đồng cấu không. Điều này có nghĩa là đồng cấu ϕ không mở rộng
được đến đồng cấuϕ nên môđun
N không phải
 là M −nội xạ.

 n x

 : n ∈ Z, x ∈ Z2 là vành giao hoán không nội
(4) Vành R = 
 0 n

xạ.
Thật vây, xét




 2n 0



I=
:n∈Z


0 2n
là một iđêan của vành R và một đồng cấu f : I → R xác định bởi

 

2n 0
0 n
 = 
.
f 
0 0
0 2n
Giả sử f : R → R là một đồng cấu mở rộng của đồng cấu f. Khi đó tồn tại

18




n1 x1



0 n1


 ∈ R sao cho

f 


với mọi 

n x
0 n

n x
0 n





 = 

n1 x1
0 n1




n x

0 n





 ∈ R.

Vậy

f 

2n

0





 = 

n1 x1




2n

0

0 2n
0 n1
0 2n
 


2n1 x 0
0 n
=
, điều này mâu thuẫn.
và do đó 
0 0
0
0




Định lí 1.4.4. Cho M . Lúc đó M là nội xạ khi và chỉ khi mọi iđêan phải I
của R và mọi đồng cấu f : I → M đều tồn tại đồng cấu h : R → M sao cho
hi = f trong đó i là phép nhúng từ I vào R.
Chứng minh. Xem [2], Định lý 4.5
Mệnh đề 1.4.5. Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là một hạng tử
trực tiếp của mọi môđun chứa nó.
Chứng minh. Nếu A là nội xạ thì A là hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa
nó. Thật vậy nếu A là nội xạ và A ≤ B, một ánh xạ đồng nhất trên A mở
rộng thành đồng cấu f : B → A. Khi đó
B = A ⊕ Kerf
Điều đó có nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của môđun B chứa A.

Ngược lại, giả sử ta có các môđun A và B sao cho B = A ⊕ Kerf . Khi đó
A ≤ B và tồn tại đồng cấu f : B → A là mở rộng của phép đồng nhất idA .
Vậy A là nội xạ.
Mệnh đề 1.4.6. Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R là nội
xạ.
19


Chứng minh. Giả sử X là tổng trực tiếp của U và V trên R, X nội xạ. Để
chứng minh mệnh đề, ta chứng minh U cũng là nội xạ. Cho đơn cấu g : A → B
và đồng cấu f : A → V gọi j : U → X là phép nhúng tự nhiên và h : X → U
là phép chiếu tự nhiên. Khi đó vì X là nội xạ nên tồn tại đồng cấu k : B → X
sao cho k ◦ g = j ◦ f . Xét đồng cấu hợp thành h ◦ k : B → U ta có
h ◦ k ◦ g = h ◦ j ◦ f = f.
Suy ra U là nội xạ.
Định lí 1.4.7. Với một môđun tùy ý X trên R và tự đồng cấu đồng nhất của
nó i : X → X, các phát biểu sau tương đương:
a) X nội xạ.
/

b) Mọi dãy khớp ngắn 0

f

X

/

g

U

/

/

V

0 chẻ ra.

c) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R.
d) Với mọi đơn cấu g : A → B ta có
g ∗ = Hom(g, i) : Hom(B, X) → Hom(A, X)
là toàn cấu.
f

/A

e) 0
0

/

/

g

B

/

/

C

Hom(C, X)

f∗

/

0 là dãy khớp ngắn thì

Hom(B, X)

g∗

/

Hom(A, X)

/

0

cũng là dãy khớp ngắn, với f ∗ = Hom(f, i), g ∗ = Hom(g, i).
Chứng minh. a) ⇒ b) : Giả sử X nội xạ và xét biểu đồ sau
XO `

∃h

i

/

0

X

f

/

U

Theo định nghĩa, tồn tại h : U → X thỏa mãn h ◦ g = i theo kết luận dãy
khớp điều này kéo theo dãy khớp ngắn sau chẻ ra
0

/

f

X

/

U

g

/V

/

0.

b) ⇒ c) : Gọi U là một môđun nội xạ chứa X khi đó ta có dãy khớp ngắn
0

/X

f

/

U
20

g

/

U/X

/

0

trong đó g : U → U/X là phép chiếu tự nhiên.
Theo chứng minh a) ⇒ b) thì dãy trên là chẻ ra và do đó X là hạng tử trực
tiếp của U .
c) ⇒ a) : Từ Mệnh đề 1.3.3.
a) ⇔ d) : Theo định nghĩa g ∗ = Hom(g, i) là toàn cấu nếu và chỉ nếu mọi
phần tử f : A → X trong Hom(A, X) tồn tại phần tử h : B → X trong
Hom(B, X) sao cho g ∗ (h) = ihg = hg = f . Tức a) xảy ra khi và chỉ khi X
nội xạ.
Bổ đề 1.4.8. Môđun N là A−nội xạ nếu và chỉ nếu mọi đồng cấu
ψ : E(A) → E(N ) luôn có ψ(A) ≤ N .
Chứng minh. Vì E(N ) là môđun nội xạ nên chỉ cần xét đối với ψ ∈ Hom(A, E(N )).
Điều kiện cần. Đặt
X = {a ∈ A|ψ (a) ∈ N } .
Vì N là môđun A−nội xạ nên ψ|X mở rộng được thành một đồng cấu
ν: A → N . Ta sẽ chứng minh
N ∩ (ν−ψ) (A) = 0.
Thật vậy, giả sử n ∈ N và a ∈ A sao cho n = (ν−ψ) (a) khi đó ψ (a) = ν (a)−n
là một phần tử của N . Do đó a ∈ X. Từ đó
n =ν (a) − ψ (a) = ψ (a) − ψ (a) = 0
thế thì
N ∩ (ν − ψ) (A) = 0.
Do đó (ν − ψ) (A) = 0 vì N ≤e E(N ). Vậy ψ(A) =ν(A) ≤ N .
Điều kiện đủ: Giả sử X ≤ A và ϕ: X → N là một đồng cấu vì E(N ) nội
xạ nên ϕ mở rộng được thành một đồng cấu ψ : A → E(N ). Theo giả thiết
ψ(A) ≤ N , do đó ψ là đồng cấu từ A đến N mở rộng của ϕ.
Vậy N là A−nội xạ.

21

Hệ quả 1.4.9. Môđun Q là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi ϕ ∈ End(E(Q))
luôn có ϕ(Q) ≤ Q.
Hệ quả 1.4.10. Giả sử A và B là các môđun nội xạ lẫn nhau (tức A là
B−nội xạ và B là A−nội xạ). Nếu E(A) ∼
= E(B) thì A ∼
= B. Hơn nữa nếu
f : E(A) → E(B) là một đẳng cấu thì f |A là đẳng cấu từ A lên B; ngoài ra
A và B là tựa nội xạ.
Chứng minh. Giả sử f : E(A) → E(B) là một đẳng cấu thì f (A) ≤ B và
f −1 (B) ≤ A (Bổ đề 1.4.8). Do đó
B = f f −1 (B) = f f −1 (B) ≤ f (A) ≤ B
hay f (A) = B. Vì vậy f |A là một toàn ánh. Từ đó suy ra f |A là đẳng cấu từ
A lên B. Do A là B−nội xạ và A ∼
= B nên A là A−nội xạ, vậy nên A là tựa
nội xạ.
Mệnh đề 1.4.11. M1 ⊕ M2 là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là Mj nội xạ với
i, j = 1, 2. Nói riêng, hạng tử trực tiếp của môđun tựa nội xạ là tựa nội xạ.

1.5

Bao nội xạ

Ta đã biết rằng mỗi môđun M là môđun con của một môđun nội xạ. Bây
giờ ta sẽ chứng minh rằng trong số các mô đun nội xạ chứa A có môđun tối
tiểu; hơn nữa, môđun nội xạ như vậy là duy nhất theo nghĩa sai khác một
đẳng cấu.
Định nghĩa 1.5.1. Đơn cấu ϕ : A → M được gọi là cốt yếu nếu Im(ϕ) là
môđun con cốt yếu trong M .
Bổ đề 1.5.2. Nếu α : A → B và β : B → C là những đơn cấu cốt yếu thì
β.α là cốt yếu.

Chứng minh. Giả sử U ≤ C và Im (βα) ∩ U = 0. Do β là đơn cấu, nên ta có:
0 = β −1 (0) = β −1 (Im (βα) ∩ U ) = β −1 (Im (βα)) ∩ β −1 (U ) = Imα ∩ β −1 (U ).
22