Phương pháp cực trị và ứng dụng: Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 13
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (643.02 KB, 76 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐÀO THỊ NGÂN
PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ
ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - NĂM 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐÀO THỊ NGÂN
PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ
ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN
Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60460113
Giảng viên hướng dẫn
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH SANG
HÀ NỘI - NĂM 2015
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU
1
DANH MỤC HÌNH VẼ
3
BẢNG KÝ HIỆU
4
1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)
1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số . . .
1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp . . .
1.2 Các điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
5
6
7
2 PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
2.1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số
2.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Nhận xét về phương pháp . . . .
2.1.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp miền giá trị . . . . . . . .
2.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Nhận xét về phương pháp . . . .
2.2.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . .
2.3.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Nhận xét về phương pháp . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
10
12
13
14
14
14
18
18
19
19
21
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
29
29
29
31
31
32
32
32
35
35
36
36
37
40
40
41
41
51
3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ
3.1 Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình . .
3.1.1 Phương pháp ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình và bất phương
trình có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Phương pháp ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Phương pháp ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
53
57
KẾT LUẬN
71
TÀI LIỆU THAM KHẢO
72
2.4
2.5
2.6
2.7
2.3.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Phương pháp lượng giác hóa . . .
2.4.1 Phương pháp . . . . . . .
2.4.2 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.4.3 Nhận xét về phương pháp
2.4.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Phương pháp hình học . . . . . .
2.5.1 Phương pháp . . . . . . .
2.5.2 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.5.3 Nhận xét về phương pháp
2.5.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Phương pháp vectơ . . . . . . . .
2.6.1 Phương pháp . . . . . . .
2.6.2 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.6.3 Nhận xét về phương pháp
2.6.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Ví dụ tổng quát . . . . . . . . .
2.7.1 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.7.2 Bài tập áp dụng . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
58
64
65
65
69
LỜI MỞ ĐẦU
Các vấn đề liên quan đến cực trị và ứng dụng của cực trị là những
bài toán rất quan trọng và có nhiều dạng toán gần với ứng dụng thực
tế nhất trong toán học phổ thông. Ví dụ bài toán tìm đường đi ngắn
nhất, diện tích lớn nhất, tổng chi phí ít nhất, lợi nhuận cao nhất... Đặc
biệt, các bài về cực trị thường là bài toán khó, tổng hợp trong mỗi kì
thi tốt nghiệp, cao đẳng - đại học.
Cực trị bao gồm cực trị tuyệt đối và cực trị tương đối. Trong luận
văn này khái niệm cực trị được đề cập đến là cực trị tuyệt đối (gồm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất). Trong chương trình phổ thông khái
niệm hàm nhiều biến chưa được đề cập đến, do đó trong luận văn này
dù có những bài toán nhiều biến nhưng sẽ được đưa về để giải theo bài
toán cực trị một biến hoặc của một tập hợp.
Luận văn "Phương pháp cực trị và ứng dụng" sẽ trình bày
các phương pháp cực trị để tìm các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số, biểu thức, tập hợp... và ứng dụng của các phương pháp
này. Tuy nhiên việc chia các phương pháp chỉ là tương đối, cùng với
đó các phương pháp có rất nhiều ứng dụng khác nhau, trong phạm
vi phương pháp toán sơ cấp và giới hạn của một bài luận văn thạc sĩ
không thể trình bày hết tất cả các phương pháp và ứng dụng được. Do
đó, luận văn sẽ đề cập và đi sâu vào 6 phương pháp cơ bản và 3 ứng
dụng thường gặp trong các bài toán toán phổ thông nhất.
Trên cơ sở đó, nội dung luận văn được chia làm ba chương:
1
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Gồm các kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Chương 2: Phương pháp tìm cực trị.
Trình bày 6 phương pháp: Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm
số; phương pháp miền giá trị; phương pháp bất đẳng thức; phương
pháp lượng giác hóa; phương pháp hình học; phương pháp vectơ. Cuối
chương là các ví dụ tổng quát vận dụng nhiều phương pháp khác nhau.
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp cực trị.
Trình bày 3 ứng dụng thường gặp trong toán học sơ cấp: Ứng dụng
cực trị để giải phương trình và bất phương trình; ứng dụng cực trị để
giải và biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số; ứng
dụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức. Mỗi ứng dụng có các ví dụ
chi tiết và bài tập áp dụng.
Để hoàn thành luận văn, trước hết em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc
tới người thầy kính mến PGS. TS. Nguyễn Đình Sang. Người đã trực
tiếp hướng dẫn, truyền thụ kiến thức, hướng nghiên cứu giúp em hoàn
thành luân văn này.
Em cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin
học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội,
những người đã giảng dạy, hướng dẫn em trong quá trình học, cùng
các bạn bè đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến, động viên em trong học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã nỗ lực, cố gắng nhưng hiểu biết có hạn và thời gian hạn
chế mà vấn đề tương đối rộng nên em không tránh khỏi thiếu sót. Kính
mong các thầy cô, bạn bè góp ý để em hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2015
Học viên
Đào Thị Ngân
2
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1: Bảng biến thiên hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90|.
Hình 2: Tam giác ABC đều cạnh đơn vị 2.
Hình 3: Đồ thị x + y = 1 và x2 + y 2 = 1.
Hình 4: Đường tròn tâm O, đường kính AB, chứa
Hình 5: Đồ thị elip.
Hình 6: Bảng biến thiên hàm số f (x) =
3
√
4
2x +
√
CAB .
√
2x + 2 4 6 − x.
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập các số tự nhiên
N∗ Tập các số đếm
Z Tập các số nguyên
R Tập các số thực
C Tập các số phức
GTLN Giá trị lớn nhất
GTNN Giá trị nhỏ nhất
[a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
(a; b) = {x ∈ R|a < x < b}
[a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
(a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}
4
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1
1.1.1
Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ
nhất (GTNN)
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R. Số M được gọi là GTLN
của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:
f (x) ≤ M, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0 ) = M
Ký hiệu: M = max f (x).
x∈D
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R. Số M được gọi là GTNN
của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:
f (x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0 ) = m
Ký hiệu: m = min f (x).
x∈D
Chú ý: Ta có thể thay D ⊂ R là tập xác định của hàm f (x) bằng tập [a, b]
và dẫn đến khái niệm max f (x) , min f (x).
[a,b]
1.1.2
[a,b]
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp
• Cho U là một tập con của tập số thực R. Số α được gọi là cận trên đúng
của U , ký hiệu α = sup U , nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
α ≤ x, ∀x ∈ U
∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: α − ε < xε ≤ α
5
Nếu α ∈ U thì α là số lớn nhất của U , ký hiệu α = max U . Vậy:
α = max U ⇔
α ≥ x, ∀x ∈ U
α∈U
• Cho U là một tập con của tập số thực R. Số β được gọi là cận dưới đúng
của U , ký hiệu β = inf U , nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
β ≤ x, ∀x ∈ U
∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: β + ε > xε ≥ β
Nếu β ∈ U thì β là số nhỏ nhất của U , ký hiệu β = min U . Vậy:
β = min U ⇔
β ≤ x, ∀x ∈ U
β∈U
Sup và inf của một tập bao giờ cũng tồn tại nhưng có thể là ±∞.
Chú ý: Cho hàm f (x) xác định trên [a, b] (hay tổng quát hơn là f xác định
trên tập D). Gọi U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y}. Khi đó:
max U = max f (x) max f (x) ,
D
[a,b]
min U = min f (x) min f (x) .
D
[a,b]
1.2
Các điều kiện đủ
• Hàm số f liên tục trên [a, b] ⊂ R thì đạt GTLN, GTNN trên đoạn đó.
Ký hiệu: max f, min f .
[a,b]
[a,b]
• Hàm số f liên tục và đơn điệu trên [a, b] ⊂ R thì:
max f = max {f (a) , f (b)},
[a,b]
min f = min {f (a) , f (b)}.
[a,b]
• Điểm dừng: Các điểm thuộc tập xác định của hàm f (x) mà tại đó đạo
hàm của nó bằng 0 hoặc không tồn tại thì được gọi là điểm dừng (điểm tới hạn)
của hàm đã cho.
Giả sử f (x) là hàm số liên tục trên [a, b] ⊂ R và chỉ có một số hữu hạn điểm
tới hạn x1 , x2 , ..., xn thì:
6
max f = max {f (a) , f (x1 ) , f (x2 ) , · · · , f (xn ) , f (b)},
[a,b]
min f = min {f (a) , f (x1 ) , f (x2 ) , · · · , f (xn ) , f (b)}.
[a,b]
1.3
Định lý cơ bản
Định lí 1.1. Giả sử y = f (x) là hàm liên tục trên [a, b] ⊂ R. Khi đó:
1. Phương trình f (x) = c có nghiệm thuộc [a, b] khi và chỉ khi:
min f (x) ≤ c ≤ max f (x).
[a,b]
[a,b]
2. Bất phương trình f (x) ≥ c có nghiệm thuộc [a, b] khi và chỉ khi:
max f (x) ≥ c.
[a,b]
3. Bất phương trình f (x) < c có nghiệm thuộc [a, b] khi và chỉ khi:
min f (x) < c.
[a,b]
4. Bất phương trình f (x) > c nghiệm đúng ∀x ∈ [a, b] khi và chỉ khi:
min f (x) > c.
[a,b]
5. Bất phương trình f (x) ≤ c nghiệm đúng ∀x ∈ [a, b] khi và chỉ khi:
min f (x) ≤ c.
[a,b]
Chứng minh
1.Điều kiện cần: Đặt h (x) = f (x) − c. Theo định nghĩa, ∃x1 ∈ [a, b],
f (x1 ) = min f và ∃x2 ∈ [a, b] , f (x2 ) = min f . Khi đó h (x1 ) < 0, h (x2 ) > 0.
[a,b]
[a,b]
Vì h là hàm liên tục nên tồn tại nghiệm h (x) = 0 trên [a, b].
Điều kiện đủ: Ngược lại, nếu ∃x0 ∈ [a, b] mà c = f (x0 ) thì min f ≤ f (x0 ) ≤
max f . Do đó min f ≤ c ≤ max f .
2.Điều kiện cần: Vì f (x) ≥ c có nghiệm ∈ [a; b] nên ∃x0 ∈ [a; b] sao cho
f (x0 ) ≥ c. Ta luôn có max f (x) ≥ f (x) , ∀x ∈ [a; b], suy ra max f (x) ≥
[a,b]
[a,b]
f (x0 ) ≥ c.
7
Điều kiện đủ: Ngược lại, theo định nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1 ) =
max f (x). Vì max f (x) ≥ c nên f (x1 ) ≥ c. Vậy phương trình f (x) ≥ c có
[a,b]
[a,b]
nghiệm thuộc [a; b].
3.Điều kiện cần: Vì f (x) < c có nghiệm ∈ [a; b] nên ∃x0 ∈ [a; b] sao cho
f (x0 ) < c. Ta có min f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ [a; b] nên min f (x) ≤ f (x0 ) < c.
[a,b]
[a,b]
Điều kiện đủ: Ngược lại, theo định nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1 ) =
min f (x). Vì min f (x) < c nên f (x1 ) < c. Vậy bất phương trình f (x) < c
[a,b]
[a,b]
có nghiệm thuộc [a; b].
4.Điều kiện cần: Theo định nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1 ) = min f (x).
[a,b]
Vì giả thiết f (x) > c, ∀x ∈ [a; b] nên f (x1 ) > c. Suy ra min f (x) > c.
[a,b]
Điều kiện đủ: Ngược lại, min f (x) > c và f (x) ≥ min f (x) , ∀x ∈ [a; b],
[a,b]
[a,b]
nên f (x) > c, ∀x ∈ [a; b].
5.Điều kiện cần: Theo định nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1 ) = max f (x).
[a,b]
Vì giả thiết f (x) ≤ c, ∀x ∈ [a; b] nên f (x1 ) ≤ c. Suy ra max f (x) ≤ c.
[a,b]
Điều kiện đủ: Ngược lại, max f (x) ≤ c và f (x) ≤ max f (x) , ∀x ∈ [a; b]
[a,b]
[a,b]
nên f (x) ≤ c, ∀x ∈ [a; b].
Các định lý trên đây đã cho ta thấy tầm quan trọng của cực trị, tiếp ta sẽ
tập trung vào các nội dung chi tiết sau:
• Các phương pháp tìm cực trị: Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số,
phương pháp miền giá trị, phương pháp bất đẳng thức, phương pháp lượng giác
hóa, phương pháp hình học, phương pháp vectơ.
• Ứng dụng của các phương pháp tìm cực trị: Ứng dụng cực trị để giải phương
trình và bất phương trình, ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình
và bất phương trình có chứa tham số, ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳng
thức.
8
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
Các bài toán tìm cực trị rất đa dạng và phức tạp. Mỗi bài toán có thể áp dụng
các phương pháp khác nhau để giải quyết hoặc có những bài toán lại cần phối
hợp nhiều phương pháp khác nhau. Chương này sẽ trình bày một số phương
pháp cực trị để giải các bài toán tìm cực trị.
2.1
2.1.1
Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số
Phương pháp
. Xác định tập xác định của hàm số. Đùng đạo hàm để khảo sát chiều biến
thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng các giá trị đặc biệt trên tập
xác định của hàm số để suy ra GTLN, GTNN.
Bài toán
2.1. Cho hàm số y = f (x) có tâp xác định D. Tìm GTLN và
GTNN của hàm số.
Cách giải
Tính y . Tìm các nghiệm x1 , x2 , . . . , xn ∈ D tại đó y = 0 hoặc y không xác
định.
Cách 1 : Lập bảng, xác định chiều biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên tìm
GTLN, GTNN.
Cách 2 : Nếu D = [a; b]. Tính f (a) , f (x1 ) , f (x2 ) , . . . , f (xn ) , f (b) được:
max f (x) = max {f (a) , f (x1 ) , f (x2 ) , . . . , f (xn ) , f (b)} ,
x∈[a,b]
min f (x) = min {f (a) , f (x1 ) , f (x2 ) , . . . , f (xn ) , f (b)} .
x∈[a,b]
9
2.1.2
Ví dụ
Ví dụ 2.1.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos2n x + sin2n x, n ∈ N∗ .
Cách giải
Hàm y là hàm tuần hoàn với chu kì π nên ta chỉ cần xét trên [0; π]. Đặt
t = cos2 x, 0 ≤ t ≤ 1, ta có:
n
y (t) = tn + (1 − t) , t ∈ [0; 1].
n−1
Suy ra y = n tn−1 − (1 − t)
Tính y (0) = 1; y (1) = 1; y
1
2
. Cho y = 0 ⇔ t = .
1
2
=
1
2n−1
Kết luận:
Vậy max y = y (0) = 1; min y = y
.
π
1
= n−1 .
4
2
Ví dụ 2.1.2. (HV Quan hệ Quốc tế 1999) Cho các số x ≥ 0, y ≥ 0 và
x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
y
x
+
.
P =
y+1 x+1
Cách giải
Đặt y = 1 − x. Khi đó P có dạng:
P =
x
1−x
+
, x ∈ [0; 1].
2−x x+1
Suy ra:
2
2
2 (x + 1) − 2 (2 − x)
P =
, ∀x ∈ [0; 1].
2
2
(2 − x) (x + 1)
1
2
1
2
Cho P = 0 ⇔ x = , y = . Tính P (0; 1) = P (1; 0) = 1, P
Kết luận:
Vậy max P = P (0; 1) = P (1; 0) = 1; min P = P
1 1
;
2 2
1 1
;
2 2
2
= .
3
2
= .
3
Ví dụ 2.1.3. Tìm GTLN, GTNN của S , biết:
S = {s = (4x2 + 3y) (4y 2 + 3x) + 25 | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1} .
10
Cách giải
Đây là bài toán tìm GTLN, GTNN của tập hợp, nhưng bằng phương pháp
đặt ẩn phụ, ta đưa về bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số. Ta biến đổi:
S = 16x2 y 2 + 12 (x3 + y 3 ) + 34xy = 16x2 y 2 − 2xy + 12.
1
1
Đặt t = xy , 0 ≤ t ≤ . Ta có S (t) = 16t2 − 2t + 12, t ∈ 0; .
4
4
1
Suy ra S (t) = 32t − 2. Cho S (t) = 0 ⇔ t =
.
16
1
25
1
191
Tính S (0) = 12, S
= ,S
=
.
4
2
16
16
Kết luận:
Vậy max S =
25
191
; min S =
.
2
16
Ví dụ 2.1.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| trên
[−5; 5].
Cách giải
Xét f (x) = x3 + 3x2 − 72x + 90, x ∈ [−5; 5].
Ta có f (x) = 3 (x2 + 2x − 24). Cho f (x) = 0 ⇔ x1 = 4, x2 = 6(loại).
Tính f (−5) = 400, f (4) = −86, f (5) = −70.
Phương trình f (x) = 0 có nghiệm x0 nào đó. Ta lập bảng biến thiên:
Kết luận:
Vậy max y = max |f (x) | = 400; min y = min |f (x) | = 0.
11
sin5 x √
Ví dụ 2.1.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
+ 5 cos x.
2
Cách giải
Hàm y là hàm tuần hoàn chu kì 2π nên ta chỉ cần xét trên [0; 2π].
sin2 x √
Trước hết ta xét hàm phụ u =
+ 5 cos x. Đặt t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1.
2
Ta có:
u (t) =
Suy ra u =
√
√
1
(1 − t2 ) + 5t, t ∈ [−1; 1].
2
5 − t > 0, ∀t ∈ [−1; 1]. Hàm đồng biến trên [−1; 1] nên:
√
√
max u = u (1) = 5; min u = u (−1) = − 5.
√
sin2 x √
+ 5 cos x ta sẽ có max v = v (1) = 5 và
Tương tự với hàm v = −
2
√
min v = v (−1) = − 5.
Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên −1 ≤ sin3 x ≤ 1. Suy ra − sin2 x ≤ sin5 x ≤ sin2 x.
Do đó:
sin5 x √
sin2 x √
sin2 x √
+ 5 cos x ≤
+ 5 cos x ≤
+ 5 cos x, ∀x ∈ [0; 2π] .
−
2
2
2
Ta được:
√
max y = max u = 5 tại t = 1 ⇒ x = 2kπ ,
√
min y = min v = − 5 tại t = −1 ⇒ x = π + 2kπ .
Kết luận:
Vậy max y =
2.1.3
√
√
5 tại x = 2kπ ; min y = − 5 tại x = π + 2kπ .
Nhận xét về phương pháp
Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số đã được giảng dạy và áp dụng trong
toán Giải tích 12. Đây là một phương pháp rất hiệu quả để vận dụng giải hầu
hết các dạng bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số trong toán học sơ cấp.
Nhiều bài toàn ta cần có những bước biết đổi như đặt ẩn phụ, biến đổi tương
đương, . . . rồi sau đó mới áp dụng phương pháp này.
12
2.1.4
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2cos 2x − 4cos x .
7
4
Đáp số : min y = −2, max y = .
Bài 2: C ho các số thực x, y thỏa mãn:
x2 − xy + 3 = 0
2x + 3y ≤ 14
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3x2 y − xy 2 − 2x (x2 − 1).
Đáp số : min P = −4,max P = 4.
Bài 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 − xy + y 2 = 1. Tìm GTLN, GTNN
của biểu thức:
x4 + y 4 + 1
P = 2
x + y2 + 1
√
11
Đáp số : min P =
, max P = 6 − 2 6.
15
Bài 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x2 + y 2 = 1. Tìm GTNN của
biểu thức:
x2 + xy + 2y 2
.
P =
y2 + 1
√
√
4− 2
4+ 2
Đáp số : min P =
, max P =
.
4
4
Bài 5: (Học sinh giỏi Quốc gia, 1998) Cho x, y thỏa mãn 2x − y = 2. Tìm
GTNN của biểu thức:
P =
2
x2 + (y + 1) +
√
2
3
2
x2 + (y − 3) .
2
3
Đáp số : min P = 2 5 tại x = , y = − .
Bài 6: (Đề thi Đại học 1012 - D) Cho các số thực x, y thỏa mãn:
2
2
(x − 4) + (y − 4) + 2xy ≤ 32.
Tìm GTNN của biểu thức√A = x3 + y 3 + 3 (xy
√− 1) (x + y − 2).
Đáp số: min A =
17 − 5 5
1+ 5
tại x = y =
.
4
4
13
2.2
2.2.1
Phương pháp miền giá trị
Phương pháp
Giả sử f (x) là hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó phương trình f (x) = y0 có
nghiệm trên [a, b] khi và chỉ khi min f ≤ y0 ≤ max f .
[a,b]
[a,b]
Nói một cách khác: Cho y = f (x) liên tục và xác định trên [a, b] và có tập
giá trị là [c, d]. Khi đó min f = c và max f = d.
[a,b]
[a,b]
Phương trình f (x) = y0 xác định trên R sẽ có các trường hợp sau:
1. c ≤ y0 ≤ d thì min f = c, max f = d.
R
R
2. c ≤ y0 thì min f = c, max f = +∞ (không xác định).
R
R
3. y0 ≤ d thì min f = −∞, max f = d.
R
R
4. ∀y0 thì min f = −∞, max f = +∞.
R
R
Hai dạng phương trình thường được biến đổi áp dụng ở phương pháp này:
1. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a = 0) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0.
2. Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 .
2.2.2
Ví dụ
x2 − 2ax − 1
đạt GTNN.
Ví dụ 2.2.1. Tìm a để GTLN của hàm y =
x2 + 1
Cách giải
x2 − 2ax − 1
Tập xác định D = R. Xác định y0 để phương trình y0 =
có
x2 + 1
nghiệm, ta biến phương trình về dạng:
(1 − y0 ) x2 − 2ax − (1 + y0 ) = 0.
Để phương trình trên có nghiệm thì ∆ ≥ 0, suy ra:
√
√
a2 + (1 − y02 ) ≥ 0 ⇔ − a2 + 1 ≤ y0 ≤ a2 + 1.
√
GTLN của y là a2 + 1 ≥ 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Kết luận:
Vậy a = 0 thì GTLN của hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất.
14
3x2 + x − 1
Ví dụ 2.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2
.
x −x+1
Cách giải
Tập xác định D = R. Xác định y0 để phương trình sau có nghiệm:
3x2 + x − 1
y0 = 2
.
x −x+1
Ta biến đổi về phương trình bậc hai của x:
(y0 − 3) x2 − (y0 + 1) x + (y0 + 1) = 0.
Nếu y0 = 3 thì x = 1. Nếu y0 = 3, phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0 nên:
2
(y0 + 1) − 4 (y0 − 3) (y0 + 1) ≥ 0.
13
. Dấu bằng xảy ra:
Suy ra −1 ≤ y0 ≤
3
• Khi y0 = −1, phương trình có dạng −4x2 = 0 ⇔ x = 0.
13
• Khi y0 = , phương trình có dạng (x − 2 )2 = 0 ⇔ x = 2.
3
Kết luận:
13
tại x = 2, min y = −1 tại x = 0.
3
ax + b
Ví dụ 2.2.3. Tìm a, b để hàm số y = 2
có max y = 4, min y = −1.
R
R
x +1
Vậy max y =
Cách giải
ax + b
= y0 có tập xác định R, biến đổi phương trình về
x2 + 1
dạng y0 x2 − ax + y0 − b = 0. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Xét phương trình
y0 = 0
∆ = a2 − 4y0 (y0 − b)
⇔
√
y0 = 0
y02
√
a2 + b2
b + a2 + b2
Suy ra
≤ y0 ≤
.
2
2
Để max y = 4, min y = −1 thì:
R
R
√
b − √a2 + b2 = −2
⇔
b + a2 + b 2 = 8
b−
Kết luận:
Vậy a = ±4, b = 3.
15
a2
− by0 −
≤0
4
a = ±4
b=3
Ví dụ 2.2.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
cos 2x + 2 sin 2x + 3
.
2 cos 2x − sin 2x + 4
Cách giải
cos 2x + 2 sin 2x + 3
về dạng:
2 cos 2x − sin 2x + 4
(1 − 2y0 ) cos 2x + (2 + y0 ) sin 2x = 4y0 − 3.
Biến đổi phương trình y0 =
Để phương trình trên có nghiệm thì:
2
2
2
(1 − 2y0 ) + (2 + y0 ) ≥ (4y0 − 3) .
2
≤ y0 ≤ 2. Dấu bằng xảy ra:
11
2
7
24
α π
• Khi y0 =
thì
cos 2x + sin 2x = −1 ⇔ x = − − + kπ, k ∈ Z
11
25
25
2 4
7
24
với sin α =
, cos α = .
25
25
−3
4
β π
• Khi y0 = 2 thì
cos 2x + sin 2x = 1 ⇔ x = − + + kπ, k ∈ Z với
5
5
2 4
−3
4
sin β =
, cos β = .
5
5
Suy ra
Kết luận:
Vậy max y = 2; min y =
2
.
11
Ví dụ 2.2.5. Trong các cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình:
5x2 + 5y 2 − 15x − 5y + 8 ≤ 0.
Tìm GTNN, GTLN của P = 3x + y .
Cách giải
Ta có y = P − 3x thế vào bất phương trình đã cho ta được:
2
5x2 + 5 (P − 3x) − 15x − 5 (P − 3x) + 8 ≤ 0.
Tương đương:
50x2 − 30P x + (5P 2 − 5P + 8) ≤ 0.
Vì hệ số a = 50 > 0 để bất phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 nên:
−P 2 + 10P − 16 ≤ 0.
16
Suy ra 2 ≤ P ≤ 8.
3
5
1
5
Khi P = 2 thì x = , y = . Khi P = 8 thì x =
Kết luận:
Vậy min P = 2 tại (x, y) =
12
4
,y= .
5
5
3 1
;
; min P = 8 tại (x, y) =
5 5
12 4
;
.
5 5
Ví dụ 2.2.6. Cho (xy + yz + zx) = 1. Tìm GTNN của M = x2 + 2y 2 + 5z 2
Cách giải
√
√
• Khi z = 0, khi đó xy = 1 và M = x2 + 2y 2 2 2|xy| = 2 2.
√
x
y
• Khi z = 0. Ta chỉ xét 0 < M < 2 2. Đặt = α và = β . Khi đó:
z
z
2
x = αz
z (αβ + β + α) = 1
⇒
y = βz
M = (α2 + 2β 2 + 5)z 2
Thực hiện giảm biến, ta được:
M=
α2 + 2β 2 + 5
.
αβ + β + α
Suy ra có phương trình:
α2 − M (β + 1)α + 2β 2 − M β + 5 = 0.
Phương trình trên có nghiệm khi:
∆ = M 2 (β + 1)2 − 4(2β 2 − M β + 5)
0.
Suy ra
(M 2 − 8)β 2 + (2M 2 + 4M )β + M 2 − 20 0.
√
Vì 0 < M < 2 2 nên M 2 − 8 < 0. Ta chỉ cần xét ∆
0. Ta có:
∆ = (M 2 + 2M )2 − (M 2 − 8)(M 2 − 20)
= 4M 3 + 32M 2 − 160
= 4(M − 2)(M 2 + 10M + 20)
Để ∆
0 thì M
2.
Từ hai trường hợp, ta có GTNN của M = 2. Dấu bằng xảy ra khi:
−(M 2 + 2M ) −8
β =
=
=2
∆ =0
∆=0
⇒
M2 − 8
M (β + 1)
α =
=3
2
17
−4
Thế lại vị trí đặt, ta có:
2
z (6 + 2 + 3) = 1
⇔
x = 3z
y = 2z
1
√
z
=
±
11
3
x = ±√
11
2
y = ± √
11
Kết luận:
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 2 tại (x; y; z) =
2.2.3
3
2
1
±√ ; ±√ ; ±√
.
11
11
11
Nhận xét về phương pháp
Phương pháp này cần lợi dụng ràng buộc của tập xác định từ đó giới hạn
được tập giá trị. Với một số bài toán cần biến đổi về phương trình có điều kiện
đặc biệt để tìm cực trị.
2.2.4
Bài tập áp dụng
Bài 1:(ĐH Sư phạm TP HCM 2000) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3x2 + 10x + 20
y=
.
x2 + 2x + 3
5
Đáp số: max y = 7 và min y = .
2
Bài 2:(ĐH Sư phạm Quy Nhơn 1999) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
y=
√
sin x
với x ∈ [0; π].
2 + cos x
3
và min y = 0.
3
Bài 3: Biết x2 + y 2 + xy = 1, tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:
Đáp số: max y =
M = x2 − xy + 2y 2 .
√
√
7+2 7
7−2 7
Đáp số : min M =
, maxM =
.
3
3
18
2.3
2.3.1
Phương pháp bất đẳng thức
Phương pháp
a. Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình cộng và nhân - AG
Cho ai ≥ 0, ∀i = 1, 2, . . . , n ta có:
a1 + a2 + · · · + an
√
≥ n a1 a2 . . . an .
n
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an .
Bất đẳng thức AG cho hai, ba số không âm:
• Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ta có:
a+b √
≥ ab.
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
• Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có:
a+b+c √
≥ 3 abc.
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Một số dạng khác của bất đẳng thức trên:
√
√
a
1. a + b ≥ 2 ab và a + b + c ≥ 3 abc, ∀a, b, c ≥ 0.
2. a2 + b2 ≥ 2ab và a3 + b3 + c3 ≥ 3abc, ∀a, b, c ≥ 0.
a+b 2
a+b+c 3
3. ab ≤
và abc ≤
, ∀a, b, c ≥ 0.
2
3
a3 + b3 + c3
a2 + b2
4. ab ≤
và abc ≤
, ∀a, b, c ≥ 0.
2
3
1 1
4
1 1 1
9
5. + ≥
và + + ≥
, ∀a, b, c > 0. Tổng quát hơn:
a b
a+b
a b c
a+b+c
1
1
1
n2
+ + ··· +
≥
, ∀a1 , a2 , . . . , an > 0.
a1 a2
an
a1 + a2 + · · · + an
b. Bất đẳng thức Cauchy
Cho hai bộ số (a1 ; a2 ; . . . ; an ) và (b1 ; b2 ; . . . ; bn ), ta có:
2
(a21 + a22 + · · · + a2n ) · (b21 + b22 + · · · + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) .
a1
a2
an
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
=
= ··· =
(bi = 0, ∀i).
b1
b2
bn
19
Bất đẳng thức Cauchy cho 2 cặp số, 3 cặp số:
2
• (a2 + b2 ) (x2 + y 2 ) ≥ (ax + by) .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bx = ay .
2
• (a2 + b2 + c2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax + by + cz) .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bx = ay và cx = az .
c. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cho các số a, b, c tùy ý, ta có:
• |a| ≥ 0, ∀a ∈ R.
• |a + b| ≤ |a| + |b|.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
• |a − b| ≥ ||a| − |b||.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
• |a − b| ≤ |a − c| + |c − b|.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (a − c) (c − b).
d. Bất đẳng thức tích phân
• Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên [0; b] và a ∈ [0; b]. Ta có:
a
b
b f (x)dx ≥ a f (x)dx.
0
0
• Cho hàm số f (x) liên tục và đồng biến trên [0; b] và a ∈ [0; b]. Ta có:
a
b
b f (x)dx ≤ a f (x)dx.
0
0
Chứng minh
Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên [0; b] và a ∈ [0; b]. Ta có:
a
b
a
b
b f (x)dx ≥ a f (x)dx ⇔ (b − a) f (x)dx ≥ a f (x)dx.
0
0
0
a
Do f (x) nghịch biến trên [0; a] và [a; b] nên:
a
b
b
(b − a) f (a)dx = (b − a) af (a) = a f (a)dx ≥ a f (x)dx.
0
a
Chứng minh tương tự với trường hợp đồng biến.
20
a
2.3.2
Ví dụ
Ví dụ áp dụng bất đẳng thức AG.
Ví dụ 2.3.1. Tìm GTNN của hàm số y = 55x−1 + 53−5x .
Cách giải
Áp dụng bất đẳng thức AG cho hai số không âm 55x−1 và 53−5x được:
√
55x−1 + 53−5x ≥ 2 55x−1 .53−5x = 10.
2
5
Dấu bằng xảy ra ⇔ 55x−1 = 53−5x ⇔ 5x − 1 = 3 − 5x ⇔ x = .
Kết luận:
2
5
Ví dụ 2.3.2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn a ≥ 9, b ≥ 4, c ≥ 1. Tìm GTLN của
Vậy min y = 10 tại x = .
biểu thức:
√
P =
c−1
+
c
√
a−9
+
a
√
b−4
.
b
Cách giải
Ta biến đổi biểu thức P :
1 c−1
1 a−9
1 b−4
·
+
·
+
·
.
c
c
a
a
b
b
x+y
√
Áp dụng bất đẳng thức AG dạng xy ≤
, ta được:
2
1
1 c−1
1 1
9 a−9
1 1
4 b−4
+
+ · ·
+
+ · ·
+
.
P ≤ ·
2
c
c
2 3
a
a
2 4
b
b
1 1 1 11
Suy ra P ≤ + + =
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2 6 4 12
1 c−1
=
c
9c
c = 2
a−9
⇔ a = 18
=
a
a
b=8
4
b
−
4
=
b
b
P =
Kết luận:
Vậy max P =
11
, tại a = 18, b = 8, c = 9.
12
21
