Một số dạng bài toán về phương trình hàm : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 13
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (672.87 KB, 119 trang )
ÌÊ Æ
ÁÀ
ÁÀ
ÉÍ
Á À Æ Á
ÃÀÇ À
Ì ÆÀÁæÆ
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
Ì Î ÆÆ Å
Å ÌË
ÈÀ
Æ
Á ÌÇ Æ Îç
Æ ÌÊìÆÀ À Å
ÙÝòÒ Ò Ò
Å ×
ÄÍ
Æ
ÁÀ Æ
ÈÀ
Æ
Æ Î Æ ÌÀ
ÈÀ È ÌÇ Æ Ë
¼º º¼½º½¿
Ë
Æ ÃÀÇ À
À Æ
ÃÀÇ
À
È ËºÌË Î
Æ Ñ ¾¼½
È
ÄÇÆ
é
ặỵ
ẵ ỉ ì ỉựề
ỉ
ẵẵ
ề
ĩ
ẵắ
ề
ẵ
ẹ ì
ắ ẩ
ắ
ề
ẹì
ề á ỉể ề
ề á ìểề
ề
ề ỉệứề
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
ắẵ
ẹ ì
ắắ
ẹ ì
ỉề
ắ
ẩ
ề
ỉệứề
ẹ
ễ
ễ
ụề
ỉ ề
ắ
ẩ
ề
ỉệứề
ẹ
ễ
ễ
ụề
ễ
ắ
ữ ễ
ắ
ỉ ì
ề
ắ
ỉ ì
ề
ẩ
ềá
ề
ẹ ì
ể ề
ỉệứề
ễ
é
ẹ ẹ ỉ
ụề
ỉệứề
ẹ
ề
ỉể ề
ề ỉệứề
ẹ
ề
ỉệứề
ẹ
ắ
ỉể ề ễ
ề
ỉệứề
ẹ
ề
ỉệứề
ỉể ề ễ
ỉ ì
ốè ặ
è é ữ ỉ ẹ
ẹ ề
ề
ề
ề ỉíụề ỉựề
ề
ẵ
ắ
ỉ
ụề ỉ ể
ỉể ề ễ
ẩ
ề
ẵ
ỉ ụề
ẵẳ
ú
í
é
ề
ỉệề
ứề
ề
ẹ
ỉệứề
ẹ é
ề
ỉể ề
ẵẳ
ẵẵ
ẵẵ
ể
ẵ
ặỵ
ẩ
ề
ỉệứề
ỉệểề
ỉệ
é
ề
ề
ẹ é
ề
á ỉ
á ế
ỉụ
ề
ễ
ẻ
ỉ ụễ
ề
ỉ ì
ề
ẻ ữ
ễ
ề
ề
ỉ
ề í
ề
ĩ ỉ
ề
ẹểề
ẹ ề
ỉệứề
ề
ề
íũề ỉể ề
ỉệứề
ẹ
ề
ẹ ề ỉể ề
ễ ế
á
ề
ễ
ễ
ễ
ể
ề
ễ ểề
ễ
í ễ
ề
ỉệứề
á
ụỉ
ì ề
ễ ề
ẹ ềũề ỉ
ú
ỉ ử ề
ề
ề
ú ỉ
ẹ
ỉể ề
ú
ũề
ề
ú
ụề ễ
ề
ẹ ỉ ễ
ỉể ề ú ễ
ỉựề
ệ
ệ
ú
ỉể ề ú ễ
ụề ỉ
ỉệứề
é ễ ỉ
ứ
ề
ỉệứề
ẹ
ẹ ì á ệ ề éíữề ỉ
ỉệểề
ự
ỉ
ề
ề
è
ỉ
ề
ú
ẹ
é ề ề ề í é
ế
ữ
íá
ề
ề
ỉể ề ề
ẹ
ứ ỉ
ể
ề
é ề ề ề í é
íũề ỉể ề ỉệề
ễ
ỉ
é ữ ỉ
ỉ
ề
é ề ề ề í
èệểề
ề
ề
ề
ỳ
ề ề
ề
ề
ỉ
ỉ ửá
ể
ỉệểề
ề
ề í ỉệứề
ề ắ ẩ
èệểề
ỉệứề
ề á ỉể ề
ụề ỉ
í ễ ề
ỉể ề
ề í
ụề ỉ
ể ề
ụề
ỉ ề
ề ỉệứề
ỉ ụềá
ề
ề
í ẹ ỉ ì
ề á ìểề
ề
ỉ
ề
ề
ề
ẹ ì
ự
ể
ì ề á
ể ũề é ễ
ề
ẹ ì
ề
ẹì
ụề ỉ
ề
ể
ề á
ề
ề
ỉ ề
ề ĩ ỉá
ềá
ẹ ì
ể
ẹ
á
ỉ ú
éá
ẹ ì
ỉể ề ì
ể
ề
ĩ
ỉề
ỉệứề
í ỉệ
ề
ể ềá
í ể
ể
ì
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
í ẹ ỉ ì
ỉể ề ú
ề
ẹ
ẹ
ề ẵ ỉ ì ỉựề
ỉ
ề
ề
ể ẹ ỉ
ề
ỳ ỉ ỉ
ì ẹ ỉ ì
ì ề
ề
ì ề
ẹ ệ ỉ
ỉ ử
ề
ỉể ề ỉ
ữề
ễ ẹ ỉ ì
ề
é ũề ế ề
ứ ỉ
ỉệứề
ếíụỉ
ỉể ề ú ẩ
ỉ
ũề
ề
ềá
ễ ẹ
ề
ễ
ề
ỉể ề
ễ ỉệểề
ỉ ễ ú ễ
ề
ễ
ề
ú ế ề ỉệ ề
ầéíẹễ
ậ ề
ề
ề
ề
ẹ ỉ
íũề
èẩè
íũề
ỉ ễ
ữ ỉ
ề á
ề
ẹ ì
ễ
ỉể ề ễ
ềá
ễ
ắ
ẹ ì
ụề
ề
éá
ễ
ỉệứề
ẹ ì
ẹ ẹ
ĩ
ề ỉíụề ỉựề á
ỷ
ề
ữ ễ
ẹ ỉ
ễ
ề
ễ
ỉệứề
ặỵ
ẹá ễ
ề
ỉệứề
ề ẩ
èệểề
ể ề
ề
ề
ểề
ề
ạ è ề
ề
è
ễ
á ỉệ
í
ề
ỉ
ẹ ề
é
ề
ú
ề
ể ề ỉ
ề
ề
ỉể ề ễ
ẹ
íá
ềá ễ
ề
ề
ễ
á
í ỉ
é ề
ẹ
ì
ề
è
ề
ữề ỉ ề é
ể ỉ
ứề á
ề
ề
ềá
ỷ
ỉệểề
ỉ ỉ
ẹ
ỉ
ụề ề
ỉệểề
ỉệứề
ẩ
ặ
ề
ậèậ
è í
ì ỉ ế
ỉ í
ể ỉệểề
ì ỉ ế
é
ẫ
ề
ẫ
ỉ í
ũềá
ụề ỉ
ể ỉ ề ỉứề
ẹ
ề ì ì
ẹ
íửề
ũề ạ
ễ
ỉ
ụỉ
ỉệứề
ẹ é
ề
è
ề
ẹ ì
ỉệứề
ề ì ì
ỉ
ể
ỉ ể
ụề ỉ ể
ể
ĩ ề
ĩ ề
ẹ
ể ề ỉ
ề
ú ỉ
íá ỉ
ỉệứề
ẹ
é ẹ é ề ề è
ẫ
ề
ỉệứề
ạ ỉệ
í ẹ ỉ ì
ỉể ề ễ
ề ề ề í
ề
ẹ
ề í ỉệứề
ứề á ễ
ẻ
ỉ
ề ỉệứề
ỉệề
ẹ
ỉệứề
ẹứề
ể
ặ
èể ề ạ
ỉệ
ỉ ụễ
ỉ ễ
ế ề ỉ ẹá ỉ ể
ú
ữềá
é ề ề ề í
ặ á è ề ẵ ề ẹ ắẳẵ
ề ẵ
ỉ ì ỉựề
ỉ
ẵẵ
aAỉ
Bá
ẹì
ề ĩ
ề ề ỳ ẵẵ
ẹ
ề
ự
ề
ề
ể
ỉ ễ
ề
f : A B.
ữ é
ặụ
ể ề ĩ
ễ
A
B
ặụ
bB
ẹ ỉ ễ ề ỉ
ẩ ề ỉ
b
é
ề
f
ẹ ỉ ếí ỉ
ỉ ứ ỉ
a
f
ề
é
ề ể
ẹ ỉ
ì ể
ể
ề
ĩ
A
ỉ
ụề
b = f (a).
ụỉ é
ỉ ứ ỉ ỉ ề ế ề ỉ ẹ ụề ỉ ễ ễ ì í
è ễ ễ f (A) = {f (a)|a A} é ỉ ễ ề
ỉ ễ A, í é ỉ ễ ỉệ
ề
ĩ f à ỉ ễ ễ f 1(b) = {a A|f (a) = b} é ề
ề
bà
ẵắ
ề ề á ỉể ề ề á ìểề ề
ề ề ỳ ẵắ
ể
f : A B
a1 = a2
ỉ
ề ĩ
ề
aA
f : A B
ề
é
é ỉể ề ề
ự
ễ ề ỉ
ữ é
yB
f 1 .
ì
f : A B
ỉ ể
ề
ề
é
é
ề
ỉể ề
ỷ
f : A B
ĩ
ề ĩ f : A B é ìểề ề
ề ỉ a A ì ể
ể f (a) = b.
ẹ
f (a) = b.
ề
ề ề ỳ ẵ
é
ềụ
a1 , a2 A
ẹ
ì ể
ề ề ềụ f (a1) = f (a2) ỉ ứ a1 = a2.
f : A B
ĩ
f : A B
ề ề ỳ ẵ
ỉể ề
ề
ì ể
ể
ề ĩ
f : A B
f (a1 ) = f (a2 ).
ề ề ỳ ẵ
ỉ ề ỉ
ĩ
é
ìểề
ỷ
ẹ ỉ ìểề
x = f 1 (y)
ề
ề
ềụ
bB
ẹ
é ề
f (A) = B.
ề
ềụ
f
ẹ
ề
é
bB
ề
é
ề
ề
ĩ
ĩ
ề á
é
é ề ỉ ề ỉ
ể ỉ
ề
í
ề
ề
f
ỉ ì ỉựề
ỉ
ề
ề ẵ
ẹì
ẵ ẹ ì
ề ề ỳ ẵ
ẹ ì
ỉ
ỉ ễ
X
ể
XR
ụề ỉ ễ
Y R
Y.
ề
f : X Y
ĩ
é
ẹ ỉ
ể ẹ ì f : X Y.
ạèễX é ỉ ễĩ
ề
ẹ ì f.
ạ ặụ x0 X ỉ ứ f (x0 ) é
ỉệ
ẹ f ỉ x0.
ạ è ễ ễ f (X)
é
é ỉ ễ ỉệ
ẹ ì f.
ạ y0 é ẹ ỉ ỉệ
ẹ ì f
ỷ ễ ề ỉệứề f (x) = y0
ề ữẹ í
ề
é ễ ề ỉệứề f (x) = y0
ề ữẹ
ỷ y0 ỉ
ỉ ễ ỉệ
ẹ ì f.
ạ f é ỉể ề ề ễ ề ỉệứề ề xà y = f (x) x X, y Y à
ề ữẹ
ạ f é ìểề ề ễ ề ỉệứề ề xà y = f (x) x X, y Y à
ề ữẹ í
ề ỉ
ẵẵ ẹ ì
ềá ẹ ì é
ề ề ỳ ẵ
f : D R
à ẹ ì
Mà
ềụ
é
ẹ
x M x M
f : D R
à ẹ ì
é
ỉ ỉ é
ẹ
ề ỉệũề
ẹ é ỉệũề
M à ềụ
f (x) = f (x), x M.
ẹ é ỉệũề
x M x M
M D
ề ỉệũề
M D
ỉ ỉ é
f (x) = f (x), x M.
ẵắ ẹ ì ỉề ể ề ễ ề ỉề ể ề
ề ề ỳ ẵ
f : D R
à ẹ ì
M
ềụ
à
f
é
ẹ
f
ể
M D
ề
é
ẹ ỉề
ể ề
ề
a (a > 0)
ỉựề à
ỉệũề
x M x a M
f (x + a) = f (x), x M
ẹ ỉ
ềụ
f
ẹ ì
ỉề
ỉề
ể ề
ể ề ỉệũề
M.
T
T (T > 0)
ẹ
ề
ỉề
ể ề
é
ỉ
ì
ề ể
T.
ề ề ỳ ẵ
à ẹ ì
ỉệũề
M
f : D R
ềụ
M D
é
ẹ ễ
ề ỉề
ể ề
ề
x M x b M
f (x + b) = f (x), x M
ỉựề à
b (b > 0)
Å Ø × ØùÒ
Ø
Ò
Ò ½º
µ ÆôÙ
f
Ð
Ó Ò Ú
ØÙÒ
Ñ ×
Ø
Ó Ò
Ô
Ò ØÙÒ
Ù
f
ØÖòÒ
Ñ×
b0
Ó Ò
Ù
Ò Ó
b0
Ò
ØÖòÒ
M
M
ØÖòÒ
Ø ø
Ñ
b0
Ò
Ð
ØÖòÒ
M
ÒôÙ
ØÖòÒ
½º¿º À Ñ × Ð òÒ Ø
Ò Ò ú ½º½¾º
Ó
x0
öÑ
Ò Ò ú ½º½¿º
Ó Ò
(a; b)
[a; b]
ÒôÙ Ò
ÒôÙ
À Ñ ×
Ð òÒ Ø
ØÖòÒ
Ò Ò ú ½º½ º
Ò Ò ú ½º½ º
Ð
Ñ ØÙÒ
Ó Ò Ò
Ò ØùÒ
Ù
Ð
Ñ Ô
Ò ØÙÒ
Ó Ò Ò
Ò ØùÒ
Ú
Ü
ØÖòÒ
lim f (x) = f (x0 ).
D⊂R
x0 ∈ D.
Ú
f
À Ñ ×
x−→x0
f (x)
Ü
Ñ
f (x) Ü
Ó Ò
Ò
ØÖòÒ
öÑ
x ∈ (a; b).
Ò
(a; b)
f (x)
∀x1 , x2 ∈ (a, b)
À Ñ ×
Ò
f (x)
Ú
ØÖòÒ
Ó Ò
Ó Ò
(a; b)
[a; b]
Ð
Ð
Ð òÒ Ø
ØÖòÒ
Ð òÒ Ø
ØÖòÒ
Ó Ò
lim f (x) = f (a), lim − f (x) = f (b).
x−→a+
Ð
x−→b
Ø Ò
ØÖòÒ
Ó Ò
(a; b)
ÒôÙ
x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Ñ
Ð
∀x1 , x2 ∈ (a, b)
Ñ
À Ñ ×
Ø Ò
Ó
À Ñ ×
f (x)
Ñ ØÖòÒ
Ó Ò
(a; b)
ÒôÙ
x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Ñ ØÖòÒ
Ó Ò
(a; b)
Ð
Ñ
Ò
(a; b).
Ò Ò ú ½º½ º
Ð
Ø Ò
Ø
×
´
Ò
ôÒµ ØÖòÒ
Ó Ò
ôÒµ ØÖòÒ
Ó Ò
ÒôÙ
Ò Ò ú ½º½ º
(a; b)
Ñ
Ú
M ⊂D
ÒôÙ
f
Ð òÒ Ø
Ø
À Ñ ×
(a; b)
M
Ñ ×
½º¿º À Ñ × Ò ÷Ù
Ò Ò ú ½º½ º
÷Ù ØÖòÒ
∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M
f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M.
À Ñ ×
ÒôÙ Ò
Ò Ò ú ½º½ º
M ⊂D
f : D −→ R
À Ñ ×
a (a ∈
/ {0, 1, −1})
Ð òÒ Ø
Ø
×
∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M
f (ax) = f (x), ∀x ∈ M.
Ò Ò ú ½º½½º
Ð
Ò ØÙÒ
M.
À Ñ ×
Ù
Ñ Ô
Ù
½º¿º¿ À Ñ × ØÙÒ Ó Ò Ú Ô Ò ØÙÒ Ó Ò Ò Ò ØùÒ
Ò Ò ú ½º½¼º
f : D −→ R
a (a ∈
/ {0, 1, −1})
Ð
∀x1 , x2 ∈ (a, b)
À Ñ ×
f (x)
Ñ
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
Ð
Ñ Ø
×
´Ò
ÒôÙ
∀x1 , x2 ∈ (a, b)
Ñ
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
Ò ½º
Å Ø × ØùÒ
Ø
Ò
Ò Ò ú ½º¾¼º
÷Ù Ø
×
ØÖòÒ
À Ñ ×
Ø Ò
Ñ×
Ý
(a; b)
Ñ Ø
Å Ø × ØùÒ
Ø
Ñ ×
Ò ÷Ù
¹ Å
Ó Ò
Ñ
Ò
÷Ù Ø
×
ØÖòÒ
(a; b)
¹ ÆôÙ
f (x)
Ú
g(x)
Ð
Ñ Ø Ò
´
ѵ Ø ø
¹ ÆôÙ
f (x)
Ú
g(x)
Ð
Ñ Ø Ò
Ú
Ò
¹ ÆôÙ
f (x)
Ð
Ñ
Ò
÷Ù ØÖòÒ
(a; b)
Ø ø
×
ØÖòÒ
óÙ Ð
(a, b)
Ò
f (x) + g(x)
Ñ Ø ø
f (f (x))
Ð
Ò
ØÖòÒ
Ò
f (x)g(x)
Ð
Ò
Ñ Ø Ò º
Ð
Ñ ×
Ó Ò
(a; b)
Ñ Ø Ò
Ð
´
Ñ Ø Ò º
Ò
º
ѵº
Ò ¾
È
Ò ØÖøÒ
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
¾º½ À Ñ ×
Ò¸ Ñ × Ðð
ØÓ Ò ¾º½º½º
º
ÌøÑ Ø Ø
f (x)
× Ó
Ó
f (x) = f (−x), ∀x ∈ R.
õ Ø
Ý ´½µ Ø
Ò
Ò
f (x) =
Ø
Ñ ×
´½µ
Ú
1
2 [f (x) + f (−x)], ∀x
∈ R.
´¾µ
Ñ ×
f (x) = 21 [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R
g
ØÖÓÒ
×
f
Ø
Ð
Ñ ×
Ø Ý
Ñ Ò ´½µ Ø ø
ØÖòÒ
Rº Ã
Ó ´¾µ ÒòÒ
f
õ Ø
Ò
Ý
f
Ø
´¿µ
Ñ Ò ´½µº Æ
´¿µº Î Ý
Ñ ×
Ð
Ò ØøÑ
ÒôÙ
Ñ
Ò
1
f (x) = [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R
2
g
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
ØÓ Ò ¾º½º¾º
º
Ø
f
Rº
ØÖòÒ
ÌøÑ Ø Ø
Ñ ×
f (x)
× Ó
Ó
f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R.
õ Ø
Ý ´½µ Ø
Ò
Ò
´½µ
Ú
f (x) = 12 [f (x) − f (−x)], ∀x ∈ R.
´¾µ
f (x) = 12 [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R
´¿µ
Ñ ×
g
ØÖÓÒ
×
Ø Ý
Ø
Ð
Ñ ×
Ø Ý
Ñ Ò ´½µ Ø ø
ØÖòÒ
Rº Ã
Ó ´¾µ ÒòÒ
f
õ Ø
Ò
Ý
f
Ø
Ñ Ò ´½µº Æ
´¿µº Î Ý
1
f (x) = [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R
2
Ñ ×
Ð
Ò ØøÑ
ÒôÙ
Ò
Ñ
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
g
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
Ø Ý
ØÓ Ò ¾º½º¿º
Ó
Rº
ØÖòÒ
x0 ∈ R.
Ò
Ø Ø
Ñ ×
f
× Ó
Ó
f (2x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R.
º
x = x0 − t(⇔ t = x0 − x)º
Ø
´½µ
2x0 − x = x0 + t
Ã
Ú
´½µ
Ò
f (x0 + t) = f (x0 − t), ∀t ∈ R.
Ø
g(t) = f (x0 + t)
Ã
´¾µ
ÃôØ ÐÙ Ò
g(−t) = f (x0 − t), f (t) = g(t − x0 ).
g(t) = g(−t), ∀t ∈ R.
Ò
f (x) = g(x − x0 ), ∀x ∈ R,
ØÓ Ò ¾º½º º
Ó
a, b ∈ R.
Î Ý
Ò
Ð
g(x)
ØÖÓÒ
g(t)
Ø Ø
Ñ
Ð
Ñ
Ò ØÖòÒ
Ò Ø Ý
f (x)
Ñ ×
a
2
Ø
´½µ
− x = t.
x=
Ã
a
2
Ò
−t
Ú
a−x=
a
2
f ( a2 + t) − b = g(t), ∀t ∈ R.
Ã
´¾µ
ØÖòÒ
R.
´½µ
+ t.
f ( a2 + t) + f ( a2 − t) = 2b, ∀t ∈ R.
Ø
R.
× Ó
Ó
f (a − x) + f (x) = 2b, ∀x ∈ R.
º
Ã
Ø ø
´¾µ
´¾µ
Ø ö Ú ôØ
Ò
g(t) + g(−t) = 0, ∀t ∈ R
⇔ g(t) = −g(−t), ∀t ∈ R.
Î Ý
g(t)
ÃôØ ÐÙ Ò
Ð
Ñ Ðð ØÖòÒ
f (x) = g(x − a2 ) + b
ØÓ Ò ¾º½º º
º
R.
ÌøÑ Ø Ø
g(x)
ØÖÓÒ
Ñ ×
Ð
f (x)
Ñ Ðð ØÖòÒ
R.
× Ó
Ó
f (x) − f (−x) = 2014 sin x, ∀x ∈ R.
Ì
Ø
Ý ´½µ Ø
Ò
Ò
´½µ
Ú
f (x) − f (−x) = 1007 sin x − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R
⇔ f (x) − 1007 sin x = f (−x) − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R.
Ø
g(x) = f (x) − 1007 sin x, ∀x ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
g(x) = g(−x), ∀x ∈ R.
´¾µ
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
Î Ý
g(x)
ÃôØ ÐÙ Ò
Ð
Ñ
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
R.
Ò ØÖòÒ
f (x) = g(x) + 1007 sin x, ∀x ∈ R,
ØÓ Ò ¾º½º º
ÌøÑ Ø Ø
f (x)
Ñ ×
f (x) + f (−x) =
º
Ì
´½µ Ø
Ò
Ò
g(x)
ØÖÓÒ
Ð
Ñ
Ò Ø Ý
ØÖòÒ
Rº
× Ó
Ó
2 cos x
√
, ∀x
x2 +1
∈ R.
´½µ
Ú
cos x
cos x
f (x) + f (−x) = √
+√
, ∀x ∈ R
x2 + 1
x2 + 1
⇔ f (x) −
Ø
g(x) = f (x) −
cos(−x)
], ∀x ∈ R.
= −[f (−x) − √
2
√cos x
x2 +1
√cos x , ∀x
x2 +1
´¾µ
(−x) +1
∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
g(x) = −g(−x), ∀x ∈ R.
⇔ g(−x) = −g(x), ∀x ∈ R.
Î Ý
g(x)
ÃôØ ÐÙ Ò
Ð
Ñ Ðð ØÖòÒ
cos x
, ∀x ∈ R,
f (x) = g(x) + √
x2 + 1
g(x)
ØÖÓÒ
R.
Ð
Ñ Ðð Ø Ý
ØÖòÒ
R.
¾º¾ À Ñ × ØÙÒ Ó Ò
ØÓ Ò ¾º¾º½º
º
Ò
Ø Ø
f
Ñ ×
Ø
Ñ Ò
óÙ
÷Ò
f (x + π) − f (x) = 2 cos x, ∀x ∈ R.
Ì
´½µ Ø
Ò
Ò
´½µ
Ú
f (x + π) + cos(x + π) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R.
Ø
g(x) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R
Ø ø
f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ Rº
g(x + π) = g(x), ∀x ∈ R.
Æ
Ú Ý
ÃôØ ÐÙ Ò
g
Ð
Ñ ØÙÒ
Ó Ò
Ù
π
ØÖòÒ
R.
f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ R,
ØÖÓÒ
g
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
Ó Ò
Ù
π,
Ø Ý
½¼
ØÖòÒ
R.
´¾µ
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
ØÓ Ò ¾º¾º¾º
º
Ò
Ø Ø
Ì
Ø
Ñ Ò
óÙ
÷Ò
g(x) = f (x) −
x
2π
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
Ú Ý
ÃôØ ÐÙ Ò
´½µ
x+2π
2π
f (x + 2π) −
Æ
f
x + 2π
x
(x + 2π) − x
sin(x + 2π) =
sin(x + 2π) −
sin x
2π
2π
2π
f (x + 2π) − f (x) =
Ì
Ñ
Ý Ú Ó ´½µ Ø
Ø
f (x + 2π) − f (x) = sin x, ∀x ∈ R.
sin x =
Ì
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
g
Ð
Ñ ×
x
x + 2π
sin(x + 2π) −
sin x, ∀x ∈ R
2π
2π
sin(x + 2π) = f (x) −
sin x, ∀x ∈ R
Ø ø
x
2π
f (x) = g(x) +
x
2π
g(x + 2π) = g(x), ∀x ∈ R.
ØÙÒ
2π
Ó Ò
Ù
ØÖòÒ
sin x, ∀x ∈ R.
´¾µ
sin x, ∀x ∈ Rº
R.º
x
sin x, ∀x ∈ R,
2π
2π ¸ Ø Ý ØÖòÒ R.
f (x) = g(x) +
g
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
ØÓ Ò ¾º¾º¿º
º
Ì
ØÙÒ
Ò
Ó Ò
Ù
Ø Ø
Ñ ×
f
Ø
Ñ Ò
óÙ
÷Ò
f (x + 1) − f (x) = 2x, ∀x ∈ R.
Ì
´½µ
2x = [(x + 1)2 − (x + 1)] − (x2 − x)
Ý Ú Ó ´½µ Ø
f (x + 1) − f (x) = [(x + 1)2 − (x + 1)] − (x2 − x), ∀x ∈ R
⇔ f (x + 1) − [(x + 1)2 − (x + 1)] = f (x) − (x2 − x), ∀x ∈ R.
Ø
Ø
g(x) = f (x) − (x2 − x), ∀x ∈ R
Ø ø
f (x) = g(x) + (x2 − x), ∀x ∈ R.
g(x) = g(x + 1), ∀x ∈ R.
Æ
Ú Ý
ÃôØ ÐÙ Ò
g(x)
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
Ó Ò
Ù
1
ØÖòÒ
R.
f (x) = g(x) + (x2 − x), ∀x ∈ R,
ØÖÓÒ
g(x)
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
Ó Ò
Ù
1
½½
Ø Ý
ØÖòÒ
R.
´¾µ
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
ØÓ Ò ¾º¾º º
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
Ò
Ø Ø
f
Ñ ×
Ø
Ñ Ò
óÙ
÷Ò
f (x + 1) − f (x) = 2.3−x , ∀x ∈ R.
º
Ì
´½µ
2.3−x = 3.3−x − 3−x = 31−x − 3−x = 31−x − 31−(x+1) .
Ì
Ý Ú Ó ´½µ Ø
f (x + 1) − f (x) = 31−x − 31−(x+1) , ∀x ∈ R
⇔ f (x + 1) + 31−(x+1) = f (x) + 31−x , ∀x ∈ R.
Ø
Ì
g(x) = f (x) + 31−x , ∀x ∈ R
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
Ø ø
´¾µ
f (x) = g(x) − 31−x , ∀x ∈ R.
g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ R.
Æ
Ú Ý
ÃôØ ÐÙ Ò
g(x)
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
1
Ó Ò
Ù
ØÖòÒ
R.
f (x) = g(x) − 31−x , ∀x ∈ R,
g(x)
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
ØÓ Ò ¾º¾º º
ØÙÒ
Ò
1¸
Ó Ò
Ù
Ø Ø
Ø Ý
f
Ñ ×
ØÖòÒ
Ø
R.
Ñ Ò
óÙ
òÒ
f (3x) = f (x), ∀x ∈ R.
º
x > 0¸
¹ Î
Ø
x = 3u (u = log3 x)º
Ì
´½µ
Ý Ú Ó ´½µ Ø
f (3u+1 ) = f (3u ), ∀u ∈ R.
Ø
g(u) = f (3u ), ∀u ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
´¾µ
g(u + 1) = g(u), ∀u ∈ R.
Æ
Ì
Ú Ý
Ð
f (x) =
Ì
g
Ð
Ñ ×
f (3u )
∀x > 0,
ØÙÒ
1
Ó Ò
Ù
ØÖòÒ
R.
= g(u) = g(log3 x), ∀x > 0.
f (3x) = g(log3 (3x)) = g(1 + log3 x) = g(log3 x) = f (x)
x>0
Î Ý
ØÖòÒ
¹ Î
Ø ø
f (x) = g(log3 x),
g
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
Ó Ò
Ù
1,
Ø Ý
R.
x<0
Ø
−x = 3u (u = log3 (−x)).
f (−3u+1 )
=
Ì
Ý Ú Ó ´½µ Ø
f (−3u ), ∀u
½¾
∈ R.
´¿µ
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
h(u) = f (−3u ), ∀u ∈ R.
Ø
Ì
Ý Ú Ó ´¿µ Ø
h(u + 1) = h(u), ∀u ∈ R.
Æ
h
Ú Ý
Ì
Ñ ×
ØÙÒ
f (−3u )
f (x) =
Ì
Ð
∀x < 0¸
Ð
1
Ó Ò
Ù
R.
ØÖòÒ
= h(u) = h(log3 (−x)), ∀x < 0.
f (3x) = h(log3 (−x)) = h(1 + log3 (−x)) = h(log3 (−x)) = f (x)
x<0
Î Ý
ØÖòÒ
Ø ø
f (x) = h(log3 (−x)),
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
Ó Ò
Ù
1¸
Ø Ý
Rº
ÃôØ ÐÙ Ò
f (x) =
g, h
ØÖÓÒ
Ð
ØÓ Ò ¾º¾º º
º
h
ØÖÓÒ
Ñ ×
Ò
g(log3 x)
x>0
Ò
c´
Ð
h(log3 (−x))
ØÙÒ
Ø Ø
×
Ñ ×
x=0
µ
x<0
1
ØÖòÒ
R,
f
Ø
Ñ Ò
Ó Ò
Ù
Ø Ý
Ø Ý
º
óÙ
÷Ò
f (−2014x) = f (x), ∀x ∈ R.
Ì
Ó ´½µ Ø
´½µ
f (20142x) = f [(−2014)2 x] = f [−2014(−2014x)] = f (−2014x) = f (x), ∀x ∈ R.
Ó
´½µ Ø
Ò
Ò
Ú
f (x) = 21 [f (x) + f (−2014x)], ∀x ∈ R
f (x) = f (20142 x), ∀x ∈ R.
Ø
´¾µ
Ñ ×
f (x) = 12 [g(x) + g(−2014x)], ∀x ∈ R
g
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
Ó Ò Ò
Ò ØùÒ
20142
Ù
´¿µ
ØÖòÒ
R
g(x) = g(20142x), ∀x ∈ R.
Ã
Ø
õ Ø
Ò
Ò
g
ØÖÓÒ
¾º¾º
Ð
Ý
Ú
f
Ø
Ñ Ò ´½µº Æ
Ð
ÒôÙ
f
Ø
Ñ Ò ´½µ Ø ø
Ò
´¿µ Úø ´¾µ
´½µº Î Ý
Ñ ×
1
f (x) = [g(x) + g(−2014x)], ∀x ∈ R
2
ØÙÒ Ó Ò Ò
Ò ØùÒ
Ù
20142 ØÖòÒ R. Ì
Ø ø
g(x) =
g1 ( 21 log2014 x)
Ò × Ø
c´
Ð
1
g2 ( 2 log2014 (−x))
½¿
x>0
Ý
µ
x<0
x=0
Ó
ôØ ÕÙ
ØÓ Ò
ẩ ề ỉệứề
ề ắ
g1 , g2
ỉệểề
é
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
ẹ ì
ặ ềĩ ỉ è ề ỉ ề
ỉề
ỉể ề ắắ á ắắ ỉ
f (ax) = f (x), x R
ỉể ề ắắ
1
ể ề
èứẹ ỉ ỉ
é
ề
f
ẹ ì
ỉề
R,
ỉệũề
ì
ỉ í
ễ
ề ỉệứề
ẹ
a = 0, a = 1 à.
á
ể ề
2
ỉệũề
Rỉ
ẹ ề
ú
ữề
f
f (x + 1) = 2f (x) + 3, x R.
é
ẹ ì
ỉề
2
ể ề
ỉệũề
R
ẵà
ỉ
é
f (x + 2) = f (x), x R.
èệểề
ẵà ỉ
í
x
x+1
ỉ
ắà
f (x + 2) = 2f (x + 1) + 3, x R.
ụỉ
ễ
ắà ỉ
f (x) = 2f (x + 1) + 3, x R.
ẵà
à ỉ
à
f (x) = 1, x R.
è
é
ỉ
ụỉ é ề
ỉ
í ỉ
ẹ ề ẵà
f (x) 1.
ỉể ề ắắ
ỉề
ể ề
f (x)
ề é
ề
ỉ ỉ
ể
h(x)
ỉ
é
ẹ ỉ
ẹ ề
ẹ ĩ
ú
ề
R.
ỉệũề
èứẹ ỉ ỉ
f (x) + f (x + 1) + f (x + 2) = h(x), x R.
é
ẹ ì
í
x
ỉề
Rỉ
f (x + 3) = f (x), x R.
ể ề
x + 1, x + 2
3
ỉệũề
f (x)
ể ẵà
ì
ề
ẵà
é
ắà
ắà ỉ
ú
ữề
ử ẵà
ữẹ é
ú
ữề à
ỉ
ẹ ề ỉ ứ ỉ
ẵà á ắà
à ỉ
à
ỉ ử ụỉ
h(x) = 31 [h(x) + h(x + 1) + h(x + 2)], x R.
è
ẹ ì
ữề
h(x) = h(x + 1) = h(x + 2), x R.
ìí ệ
ẵ
à
ề ắ
ẩ ề ỉệứề
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
g(x) = g(x + 3)
g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) = 0, x R
à
ỉệểề
g(x) = f (x) 31 h(x), x R.
è
à ỉ
ề
ề
à
g(x) = g(x + 3)
g(x) = 13 (2g(x) g(x + 1) g(x + 2)), x R.
ỉ
à
ẹ ì
g(x) = 31 (2q(x) q(x + 1) q(x + 2)), x R.
q(x)
ỉệểề
ẻ
é
xR
ẹ
ẹ ì
ỉ
ỉề
3
ể ề
ỉệũề
à
R
1
g(x + 1) = (2q(x + 1) q(x + 2) q(x))
3
1
g(x + 2) = (2q(x + 2) q(x) q(x + 1))
3
1
g(x + 3) = (2q(x) q(x + 1) q(x + 2)) = g(x).
3
g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) = 0 g(x + 3) = g(x) ẻ í g(x) ỉ
ể
ặ
é
ềụ
g(x)
q(x + 3), x R
ỉ
ỉ
ẹ ề à ỉ ứ ỉ
ỷ
ề
ề
ẹ ề à
q(x) = g(x)á
1
1
(2q(x) q(x + 1) q(x + 2)) = (2g(x) g(x + 1) g(x + 2))
3
3
1
= (3g(x) (g(x) + g(x + 1) + g(x + 2))) = g(x).
3
ẻ í à ỉ
ụỉ é ề
ú
ữề
ề
ề
ử ẵ à
ề
à
ữẹ é
h(x) = h(x + 1) = h(x + 2), x R.
ẹ
ề
ữẹ
ẵà
ú
ề
1
f (x) = g(x) + h(x),
3
ỉệểề
q(x)
é
ẹ ì
1
g(x) = (2q(x) q(x + 1) q(x + 2)), x R.
3
ỉề ể ề
3 ỉệũề Rá ỉ í
ẵ
q(x) =
ẩ ề ỉệứề
ề ắ
ắ ẩ
èệểề
ề
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
ề ỉệứề
ẹ
ề í ỉ
ẹ
ễ ễ ụề
ì
ể ì ỉ é ễ ễ
ề
ỉệứề
f (ax + b) = cf (x) + d,
ỉể ề ắẵ
èứẹ ỉ ỉ
f (x)
ẹ ì
ỉ ề ỉ ụề
ẹ
ề
ề
a = 0, c = 0.
ì ể
ể
f (x + 1) = f (x) + 3, x R.
ỉ
f (x) = 3x + g(x), x R.
è
ẵà
í ể ẵà ỉ
3(x + 1) + g(x + 1) = 3x + g(x) + 3, x R
g(x + 1) = g(x), x R.
ặ
í
ể
è
é
g(x)
ẹ ì
ỉề
ỉ
ỉ
R.
í ỉ
1
ể ề
f (x) = 3x + g(x), x R,
ụỉ é ề
ỉệũề
é
ỉệũề
g(x)
ỉệểề
R.
é
ẹ ì
f (x) = 3x + g(x), x R,
g(x)
ỉệểề
1
ỉệũề
R.
é
ẹ ì
ỉề
1
ể ề
ỉ í
ỉứẹ ệ ề ì è ẵà ỉ ỉ ề
ỉ ề ệề
ể
ể ề
ẹ ề ẵà
ặ ề ĩ ỉ ẩ ễ ỉ f (x) = 3x + g(x), x R
ỉề
f (x + 1) = f (x) + f (1), x R
f (1) = 3
ậí ệ f (x) = ax, x R. è
f (1) = 3 a.1 = 3 a = 3.
ẵà
ẹ ỉ ề ữẹ é f (x) = 3x. è ỉ ỉ f (x) = 3x + g(x).
ỉể ề ắắ
ề
ẹ ì
f (x)
ì ể
ể
f (x + 103) = f (x) 515, x R.
ỉ
f (x) = 5x + g(x), x R.
è
í ể ẵà ỉ
ẵà
5(x + 103) + g(x + 103) = 5x + g(x) 515, x R
g(x + 103) = g(x), x R.
ặ
í
ể
R. è
g(x)
é
ẹ ì
ỉề
f (x) = 5x + g(x), x R,
é
ụỉ é ề
ỉ
ỉ
í ỉ
103
ể ề
ỉệũề
g(x)
ỉệểề
R
é
ẹ ì
ỉề
ể ề
103
ỉệũề
ẹ ề ẵà
f (x) = 5x + g(x), x R,
ỉệểề
ẵ
g(x)
é
ẹ ì
ỉề
ể ề
103
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
Ø Ý
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
Rº
ØÖòÒ
Æ ÒÜ Ø Ì Ò Ø Ø
Ô
Ò ØÖøÒ
Ñ× Ù
f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R.
ØÓ Ò ¾º¿º¿º
P (1) = 2
º
Ø
Ò
Ø Ø
Ø
÷ ×
Ø
P (x)
Ø
Ñ Ò
óÙ
÷Ò
Ú
P (x + 4) = P (x + 1) + 2, ∀x ∈ R.
Ì
x−1
x
Ý
P (x) = 32 x + Q(x).
Ú Ó ´½µ Ø
´½µ
P (x + 3) = P (x) + 2, ∀x ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
Q(x)
´¾µ
Ð
Ø
Ø
Ñ Ò
2
2
(x + 3) + Q(x + 3) = x + Q(x) + 2, ∀x ∈ R
3
3
⇔ Q(x + 3) = Q(x), ∀x ∈ R
⇔ Q(x) = c, ∀x ∈ R
Î Ý
Ì
P (x) = 32 x + c, ∀x ∈ R.
Ð
Ø
Ø
ÃôØ ÐÙ Ò
Ý Ø
Ó
P (1) = 2
´
Ð
ÒòÒ
Ñ Ò ´½µº
Ò
×
µº
2 = 23 .1 + c ⇔ c = 34 .
P (x) = 32 x + 34 , ∀x ∈ R.
ØÓ Ò ¾º¿º º
Ò
Ñ ×
f (x)
× Ó
Ó
f (x − 3) = −f (x) + 2, ∀x ∈ R.
º
Ø
f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´½µ Ø
´½µ
1 + g(x − 3) = −1 − g(x) + 2, ∀x ∈ R
⇔ g(x − 3) = −g(x), ∀x ∈ R.
⇔ g(x) = −g(x + 3), ∀x ∈ R.
Æ
Ú Ý
Ó
R. Ì
g(x)
Ñ ×
Ô
Ò ØÙÒ
f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R,
Ð
ÃôØ ÐÙ Ò
Ø Ý
Ð
ØÖòÒ
Ø
Ø
Ý Ø
3
Ó Ò
Ù
ØÖÓÒ
g(x)
ØÖòÒ
R.
Ñ ×
Ô
Ð
Ò ØÙÒ
3
ØÖòÒ
Ó Ò
Ù
3
Ó Ò
Ù
Ñ Ò ´½µº
f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R,
g(x)
ØÖÓÒ
Rº
Æ Ò Ü Ø È Ô Ø f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R
½
Ð
Ñ ×
Ô
Ò ØÙÒ
ØøÑ Ö Ò × Ù Ì × ØøÑ Ñ Ø
ề ắ
ẩ ề ỉệứề
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
ề ữẹ ệ ũề
ẵà á ỉ ỉ ề ỉ é ỉứẹ ẹ ề ềụ
à ỉ ẹ ề ẵà è ẵà ỉ
ẹ f é c = 1 ể ỉ ỉ
ĩ ỉ ễ ề ỉệứề c = c + 2 ẻ í ửẹ ỉ ề
f (x) = 1 + g(x), x R. ẻ ễ ễ ỉ ề í ỉ
ửẹ ỉ ề 2 ú ửẹ ỉ ề
0
ặ ềĩ ỉ è ề ỉ ỉ
ễ ề ỉệứề ẹ ì
f (x + a) = f (x) + b, x R
ỉể ề ắ
ề
ỉ ỉ
ẹ ì
f
é
ề
ì à
ì ể
ể
f (x + 2) = 2f (x) + 3, x R.
f (x) = 3 + g(x), x R.
ỉ
è
í ể ẵà ỉ
ẵà
3 + g(x + 3) = 6 + 2g(x) + 3, x R
g(x + 2) = 2g(x), x R.
ỉ
g(x) = ( 2)x h(x), x R.
è
í ể ắà ỉ
ắà
( 2)x+2 h(x + 2) = 2( 2)x h(x), x R
h(x + 2) = h(x), x R.
ặ
í
ụỉ é ề
2
ỉ í
h(x)
é
ẹ ì
ỉề
f (x) = 3 + (
ỉệũề
R.
2
ể ề
2)x h(x), x
R,
ỉệũề
ỉệểề
ặ ề ĩ ỉ ẩ ễ ỉ g(x) = (2)xh(x), x R
ỉ ề ệề
g(2) = 2.
ậí ệ
h(x)
2.
ì 2.
ặ ềĩ ỉ è ề ỉ ỉ
ửẹ ụề ỉ ề ỉ ề ỉự
á ể
í ềụ ỉ
ễ
ề ỉệứề
ẹì
f (x + a) = f (x) + b, x R
, a, b
é
ẹ ì
ỉề
ể ề
ỉứẹ ệ ề ì è ắà ỉ ỉ ề
g(x) = ( 2)x h(x), x R
ỉ ứì
é
g(x + 2) = g(x)g(2), x R
ẹ ì g
g(2) = 2 a2 = 2 a =
R.
ề ì á = 1.
ẵ
g(x) = ax .
è
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
ØÓ Ò ¾º¿º º
º
Ì
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
Ò
Ø Ø
f
Ñ ×
× Ó
Ó
f (x + 2) + 3f (x) = x, ∀x ∈ R.
Ì
´½µ
1
1
1
1
x = [ (x + 2) − ] + 3( x − )
4
8
4
8
Ý Ú Ó ´½µ Ø
1
1
1
1
f (x + 2) + 3f (x) = [ (x + 2) − ] + 3( x − ), ∀x ∈ R
4
8
4
8
1
1
1
1
⇔ f (x + 2) − [ (x + 2) − ] = −3[f (x) − 3( x − )], ∀x ∈ R
4
8
4
8
1
⇔ g(x + 2) = −3g(x), ∀x ∈ R ´Ú g(x) = f (x) − ( 4 x − 81 )µ º
Ø
√
g(x) = ( 3)x h(x), ∀x ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
´¾µ
√
√
( 3)x+2 h(x + 2) = −3( 3)x h(x), ∀x ∈ R
⇔ h(x + 2) = −h(x), ∀x ∈ R.
Æ
Ú Ý
ÃôØ ÐÙ Ò
h(x)
Ð
Ñ ×
f (x) =
2
Ó Ò
Ù
Ø Ý
ØÓ Ò ¾º¿º º
º
( 41 x
Ô
Ò ØÙÒ
−
ØÖòÒ
2
Ó Ò
Ù
√
1
8)
+ ( 3)x h(x), ∀x ∈ R,
ØÖòÒ
R.
h(x)
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
Ò ØÙÒ
R.
ÌøÑ Ø Ø
Ñ ×
f
Ø
Ñ Ò
óÙ
÷Ò
f (3x) = f (x) − 2, ∀x > 0.
Ø
Ô
f (x) = log √1 x + g(x), ∀x > 0.
Ì
Ý Ú Ó ´½µ Ø
´½µ
3
log √1 (3x) + g(3x) = log √1 x + g(x) − 2, ∀x > 0
3
3
⇔ g(3x) = g(x), ∀x > 0.
Ø
x = 3u (u = log3 x).
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
´¾µ
⇔ g(3u+1 ) = g(3u), ∀u ∈ R.
Ø
Æ
Ì
h(u) = g(3u ), ∀u ∈ R.
Ú Ý
h
Ð
Ñ ×
ØÙÒ
Ì
Ý Ú Ó ´¿µ Ø
Ó Ò
Ù
1
ØÖòÒ
´¿µ
h(u + 1) = h(u), ∀u ∈ R.
R.
f (x) = log √1 x + g(x) = log √1 x + g(3u ) = log √1 x + h(u) = log √1 x + h(log3 x), ∀x > 0
3
3
3
½
3
ẩ ề ỉệứề
ề ắ
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
í
f (x) = log 1 x + h(log3 x), x > 0.
3
è
é
ỉ
ỉ
ụỉ é ề
ỉệũề
Rỉ
í ỉ
ẹ ề ẵà
f (x) = log 1 x + h(log3 x), x > 0
ỉệểề
h
é
ẹ ì
ỉề
ể ề
í
ỉể ề ắ
èứẹ ỉ ỉ
ẹ ì
f
ỉ
ẹ ề
ú
ữề
f (5x) = f (x) + 2, x > 0.
1
3
ỉ
f (x) = log5 x + g(x), x > 0.
è
ẵà
í ể ẵà ỉ
log5 (5x) + g(5x) = log5 x + g(x) + 2, x > 0
g(5x) = g(x), x > 0.
ỉ
x = 5u (u = log5 x).
è
í ể ắà ỉ
ắà
g(5u+1 ) = g(5u), u R.
ỉ
ặ
h(u) = g(5u ), u R.
í
è
h
é
ẹ ì
ỉề
è
í ể à ỉ
ể ề
1
ỉệũề
à
h(u + 1) = h(u), u R.
R.
f (x) = log5 x + g(x) = log5 x + g(5u) = log5 x + h(u) = log5 x + h(log5 x), x > 0
í
f (x) = log5 x + h(log5 x), x > 0.
è
é
ỉ
ỉ
í ỉ
ẹ ề ẵà
ụỉ é ề f (x) = log5 x + h(log5 x), x > 0 ỉệểề
ỉệũề
Rỉ
í
ặ ề ĩ ỉ ẩ ễ ỉ f (x) = log5 x + g(x)
ệề
h
é
ẹ ì
ỉề
ể ề
ỉứẹ ệ ề ì ỉ ẵà ỉ ỉ ề ỉ ề
f (5x) = f (5) + f (x), x > 0.
ề ỉ
ỉệũề ụề ỉự
ỉ ề ỉ ề à ụề ỉ é ũề ỉ ề ụề ẹ ì é ệ ỉá ể
ể ề f (x) = loga x, x > 0 f (5) = 2. ậí ệ
loga 5 = 2 a2 = 5 a =
ắẳ
1
5.
ẩ ề ỉệứề
ề ắ
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
ẻíỉ
ỉ f (x) = log5 x + g(x), x > 0.
ặ ềĩ ỉ è ề ỉ ỉ
ễ ề ỉệứề
f (ax) = f (x) + b, x > 0
ỉể ề ắ
ề
ỉ ỉ
é
ẹ ì
ẹì
f
ỉ
ề
ì
a > 0, a = 1
á
ẹ ề
ú
à
ữề
f (2x 1) = f (x) + 2.x R.
ỉ
f (x) = 1 + g(x), x R.
è
í ể ẵà ỉ
ẵà
g(2x 1) + 1 = g(x) 1 + 2, x R
g(2x 1) = g(x), x R.
ỉ
x=1+t
ỉ ứ
2x = 2t + 1
t=x1
ỉ
ắà
í ể ắà ỉ
g(2t + 1) = g(t + 1), t R.
ỉ
h(t) = g(t + 1), t R
ỉ
í ể à ỉ
à
h(2t) = h(t), t R.
è
f (x) = 1 + g(x) = 1 + g(1 + t) = 1 + h(t) = 1 + h(x 1), x R.
è
é
ỉ
ỉ
ụỉ é ề
í ỉ
ẹ ề ẵà
f (x) = 1 + h(x 1), x R
h
ỉệểề
é
ẹ ì
ỉể ề ắẵẳ
ỉ í
ỉ
ề
ẹ ề
ỉ ỉ
h(2t) = h(t), t R.
ẹ ì
f
ỉ
ẹ ề
ú
f (2x + 1) = 3f (x) + 2, x R.
ỉ
f (x) = 1 + g(x), x R.
è
í ể ẵà ỉ
ữề
ẵà
1 + g(2x + 1) = 3.(1 + g(x)) + 2, x R.
g(2x + 1) = 3g(x), x R.
ắẵ
ắà
Ò ¾º
Ø
È Ò ØÖøÒ
x = −1 + t
Ø ø
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
2x + 1 = 2t − 1
t=x+1
Ú
Ø
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
g(2t − 1) = 3g(t − 1), ∀t ∈ R.
Ø
h(t) = g(t − 1), ∀t ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´¿µ Ø
´¿µ
h(2t) = 3h(t), ∀t ∈ R.
¹ ÆôÙ
t=0
¹ ÆôÙ
t = 0,
Ø ø
´ µ
h(0) = 0.
Ø
h(t) = |t|log2 3 .k(t).
Ì
Ý Ú Ó ´ µ Ø
|2t|log2 3 .k(2t) = 3|t|log2 3 .k(t) ⇔ k(2t) = k(t)
ÃôØ ÐÙ Ò
2
3 ÒôÙ x = −1
2
log2 3 k(x
3 |x + 1|
f (x) =
k
ØÖÓÒ
Ð
Ñ ×
ØÓ Ò ¾º¿º½½º
º
Ø Ý
Ø
Ò
Ñ Ò
Ø Ø
+ 1)
ÒôÙ
x = −1
k(2t) = k(t), ∀t = 0.
Ñ ×
f
Ø
Ñ Ò
óÙ
÷Ò
f (−2x + 3) = 3f (x) − 5, ∀x ∈ R.
Ø
f (x) =
5
2
+ g(x), ∀x ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´½µ Ø
´½µ
5
5
+ g(−2x + 3) = 3.( + g(x)) − 5, ∀x ∈ R
2
2
⇔ g(−2x + 3) = 3g(x), ∀x ∈ R.
Ø
x=1+t
Ø ø
−2x + 3 = −2t + 1, t = x − 1
Ø
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
g(−2t + 1) = 3g(t + 1), ∀t ∈ R.
Ø
h(t) = g(t + 1), ∀t ∈ R.
Ì
Ý Ú Ó ´¿µ Ø
´¾µ
´¿µ
h(−2t) = 3h(t), ∀t ∈ R
⇔ h(4t) = 9h(t), ∀t ∈ R.
¹ ÆôÙ
t=0
¹ ÆôÙ
t = 0,
Ø ø
´ µ
h(0) = 0.
Ø
h(t) = |t|log2 3 .k(t).
Ì
Ý Ú Ó ´ µ Ø
|4t|log2 3 .k(4t) = 9|t|log2 3 .k(t) ⇔ k(4t) = k(t)
¾¾
ề ắ
ẩ ề ỉệứề
ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể
ụỉ é ề
5
2 ềụ x = 1
5
log2 3 k(x
2 |x 1|
f (x) =
k
ỉệểề
é
ẹ ì
ỉ í
ỉ
ẹ ề
ặ ề ĩ ỉ ẩ ễ ỉ x = 1+t
1)
ềụ
x=1
k(4t) = k(t), t = 0.
ỉứẹ ệ ề ì è ỉứẹ ửẹ ỉ ề ũề ỉệểề
ửẹ ỉ ề ũề ỉệểề x = 1 ú
ỉ ễ ề ỉệứề ì 2x + 3 = x x = 1. ử
ửẹ ỉ ề t = 0, ỉ
ề ỉ x = 1 + t í x 1 = t. è à ỉ ỉ ề ỉ ề ệ ề
h(4t) = h(4)h(t), t R h(4) = 9. ậí ệ h(t) = ta . è h(4t) = 9h(t), t R ỉ
(4t)a = 9ta 4a = 9 a = log2 3.
ẻíỉ
ỉ h(t) = |t|log 3 .k(t), t = 0.
ặ ềĩ ỉ è ề ỉ ỉ
ễ ề ỉệứề
2
ẹì
f (ax + b) = f (x) + c, x R,
ỉể ề ắẵắ ú ỉ
ỉ ễ
ễ
ì
ỉ
ề
ẹ
f (0) = 0
è
ể ỉ
é ữ ì
ỉ
ệ ì é ạ ẵ à
ỉ
ẹ ề
a = 1, = 1.
èứẹ ẹ ỉ
ú
ẹ ì
f
ĩ
ề
ỉệũề
ữề
f (2x + 1) = 3f (x) + 5, x 0.
ẵà
ắ à
f (x) =
5
2
+ g(x), x 0.
è
í ể ẵà ỉ
5
5
+ g(2x + 1) = 3.(
+ g(x)) + 5, x 0
2
2
g(2x + 1) = 3g(x), x 0.
ỉ
x = 1 + t
ỉ ứ
2x + 1 = 2t 1, t = x + 1
ỉ
í ể ắà ỉ
g(2t 1) = 3g(t 1), t 1.
ỉ
h(t) = g(t 1), t 1.
è
í ể à ỉ
h(t) = tlog2 3 .k(t), t 1.
è
í ể à ỉ
à
h(2t) = 3h(t), t 1.
ỉ
ắà
à
tlog2 3 .k(2t) = 3|t|log2 3 .k(t) k(2t) = k(t).
ẻ
ẹ
f (x) =
x0
ỉ
5
5
5
5 log2 3
5
+g(x) =
+g(t1) =
+h(t) =
+t
.k(t) =
+(x+1)log2 3 .k(x+1)
2
2
2
2
2
ắ
È Ò ØÖøÒ
Ò ¾º
k
ØÖÓÒ
Ò
Ì
Ð
Ð
Ñ ×
Ñ Ñ Ø ôÒ Ø Ó
Ø
k(t) = 25 , ∀t ≥ 1.
Ø
ÃôØ ÐÙ Ò
Ø
Ý Ø
Å Ø
5
f (0) = 0 ⇔ k(1) = .
2
5
−5
f (x) = 2 + 2 .(x + 1)log2 3 , ∀x ≥ 0.
Ã
Ñ Ò
f
Ñ ×
k(2t) = k(t), ∀t ≥ 1.
Ñ Ò
ó
º
Ø
Ñ Ò
Ó
Ò ØÖøÒ
Ñ Ú
Ô Ô ôÒ
Ñ ×
ω(x) =
ÌÖÓÒ
Ñ
Ò Ý Ø
Ð
−5 5
+ .(x + 1)log2 3 , ∀x ≥ 0.
2
2
f (x) =
¾º È
ó
Ü Ø
Ô
Ò
Ô Ò ØÙÝôÒ ØùÒ
ax + b
, c = 0, ad − bc = 0.
cx + d
ØÖøÒ
Ò
f (ω(x)) = αf (x) + β.
ØÓ Ò ¾º º½º
ÌøÑ Ø Ø
f(
º
Æ
Ñ ×
f
Ü
Ò
ØÖòÒ
R\{−2} ×
Ó
Ó
−1
) = 3f (x) − 4, ∀x = −2.
x+2
´½µ
Ò Ü Ø Ö Ò
−1
= x ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
x+2
ÌÖÓÒ
´½µ Ð Ý
Ý
Ø
Ø
x = −1
Ü Ø
Ø
x = −1, x = −2.
2 + g(
Ñ
Ø
f (x) = 2 + g(x), ∀x = −1, x = −2.
Ì
Ý Ú Ó ´½µ
−1
) = 3.[2 + g(x)] − 4, ∀x = −1, x = −2
x+2
⇔(
Î
f (−1) = 2.
x = −1, x = −2,
Ø
−1
) = 3g(x), ∀x = −1, x = −2.
x+2
Ø
1
x+1
= tº
Ã
x = −1 +
´¾µ
1
t Ú
−1
1
−t
−1
=
= −1 +
.
=
1
x+2
t−1
t+1
1+ t
Ì
Ý Ú Ó ´¾µ Ø
g(−1 +
1
1
) = 3g(−1 + ), ∀t = −1, t = 0.
t+1
t
¾
´¿µ
