Một vài bài toán về sự va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi : Luận án PTS. Cơ học: 1 02 20

^^•
1^

^

^


Z2.l^
BO DAI HOC TRUNG HOC CHUYEN NGHIEP VA DAY NGHE
TRUONG DAI HOC TONG HOP HA NOI

Mguyln Dang T6

TRIÌN::'

, Y_ lAiJir
1109 VAI SAI IOAN 1^ TA ^AM OUA 7AS lAV

YAO nUìH SA» KOI
Chuyén ngành : Ce ly thuyét
Ma bifu : 1.02.20

LUAN AN PHO TIEW SI KHOA HOC TOAN

LY

Nguei hueng dan khoa hqc :
Giao su Tien si Pham Huyen
Giao su Pho tien si Nguyen Thùc An

HA NOI 1989

^ .


MUC

LUC

LOI NOI DAU
CHUONG I

Tong quan ve ly thuyet va cham dee cùa
vft ran vao thanh dan boi
. X

81.1. Sif phat trien cua ly thuyet va cham
d9c Cua thanh.

4

§1.2. Ce se ly thuyet va cham d9c cùa
thanh
CHUONG II

Va cham cùa vàt ran vao thanh dan boi co
ke den su hao tan nang lueng do chuyen
dong k£nh.
Ì2.1. Phueng trinh chuyln dOng cùa thanh

co ke din dieh chuyen kinh.

30

Ì2.2. Va cham cùa vft ran vao thanh dan
bèi ban v6 han.

32

Ì2.3. Va ch^m cùa v§t rln vao thanh dan
boi hmi han tya trén nen cung.
Tom tat chueng II.
CHUONG III

65

Va ch^m cùa vàt ran vao thanh dan boi co
ke den lue can nboHe mat ben.
Ì3e1e Phuong trinh chuyln dong cùa thanh
co ke din lue can nho't e m^t ben.

4^6

Ì3.2. Va ch^m cua vàt rln vao thanh ban
v6 h^n.
8 3 . 3 • Va chqira cùa v à t r a n vao t h a n h dan
h o i him h^n tura t r é n nen cumg.

425

Tom t l t chucmg I I I
KET LUAN CHUNG
TAI LIEU THAM KHAO

11-5


^ 4LOI

NOI

DAU

Vo'i phueng huéng phat trien nganh Co' h9c Viet Nam trong
thei gian qua va tuo'ng lai sap tc?i da duo'c néu ra trong cac
H9Ì nghi Co» h9e toàn quoe lan thu I, II, III va IV ; Ce h9C
d^ii cueng va Ce h9C v|t rln "bien deing la nhung chuyén nganh
dang duo'c quan tàm, trong do Ly thuyet va ehfm d9e cùa thanh
dang duee phat trien, hoan thien va co nhieu kha nang ung dung
trong ky thuàt.
Van de nay, tu hoTi ha muei nam tre l§ii day, da duo'c cac
nhà CO' h9e e nhieu nuo'c quan tàm va nghién cuu [^'fS^^i?^Z^^òi
J•
ó Viet Nam, ke tu Hoi nghi Ce h9c toan quoe lan thu II din nay,
da co mot SO tao già nghién cuu va da thu duo'c mot so kit qua
ve ly thuylt cùng nhu ve ung dung ky thu|it cùa ly thuyet nay

Noi dung cùa luan an la nghién cuu mot so bai toan ve sy»
va eh§m d9e cùa v%\ ran vao thanh dan hoi co ke din bo phan
giàm chan è dau thanh, cac lién kit d^t lén thanh va su hao tan

nang lueng do chuyen dong kinh.
PhiTO'ng phap nghién cuu la kit hQ»p phép biln dèi Laplatxe
va phueng trinh vi tich phàn, phuo'ng trinh tich phàn Venterà.
Ve bo cijie, luan an gom ba chuo*ng.
Chuo*ng thu nhat - tao già trinh bay tong quan ve lieh su
phat trien ly thuylt va eheun d9C cùa thanh dan hoi, co' se cùa
ly thuylt nay va cac phueng phap giai m9t so bai toan ce ben.
Dong thei rùt ra mot vai nh^Ln xet ; do cùng la ce se de tao già
thiet l§p mo hinh cac hai toan mo»i va eh9n phuo^ng phap giai e
cac chuong sau.
Chueng thu hai - nghién cuoi sy va cheim cùa vàt ran vao
thanh dan hoi co ke den hao tan nang luo'ng do d^ch chuyen th^
phueng ban kinh. Trong chu'o'ng nay da xet hai bai toan


-

^

-

Bai toan thu nhat - Va e h ^ co d|m cùa v|t ran vao thanh
dan hoi ban v6 hein.
Bai toan thu hai - Va ch§im co dem cua vft rixi vao thanh
d ^ bèi co do dai hJk h§in ti^a trén nln'ciJng.
Da dua ra vi du minh h9a. RÙt ra m9t so nh|n xet va kit
lu$n.
Chuo'ng thu ba - nghién cuu su va cheim cùa vàt ran vao
thanh dan hoi co kè din can nhéte m§t ben cùa thanh.
Trong chueng nay, xet hai bai toan

Bai toan thu nhat - va cham co dem cùa v|it ran vao thanh
dan hoi ban v6 han.
Bai toan thu hai - va chgm co dem cùa v%t ran vao thanh
dan hoi co d9 dai huu han tua trén nen cung.
Phàn cuoi ehireng co rùt ra kit lu§n.
Sau cùng, tac già néu kit lu^n chung ve nhung kit qua da
thu duo'c, y nghìa ce h9c cùng nhu ky thu|t cùa cac kit qua nay.

Cac kit qua nghién cuu viet trong n9i dung l u ^ an da
duD'c trinh bay trong cac Xémina "Ce h9c vàt ran bien dang"
thang 4/1987* "Giang deiy Ce hgc ly thuylt cùa cac tru-ò'ng d§i
hgc" thang 6/1987» "Nhung van de toan h9e cùa vllt ly va ky thuat'
e D^i h9c Tong ho'p Cracop Balan vao thang 2/1988. "Ce h9c dai
cuo'ng" vao thang 6/1989»

Da cong bo 3 bài bao dang trong "Tap ehi Ce h9e" so 1/1988,
so 3/1988 va so 1/1989 /T ^ ^ ? J^ J* I^iot bao cao trong H9Ì ngh4
Ce h9C toàn quoe lan thu IV vào thang 2/1988 / ^ _/.
Luan an ducj'c hoan thanh tai bo mon Co» h9c deii cuo'ng thuoe
khoa Toan-Ce-Tin h9c, truo'ng Dai hoc Tong hq'p Ha Noi; bg mon
Ce ly thuylt, khoa Co* khi, truòng Dsii h9C Thùy lei Ha Noi.

Chùng toi xin chàn thanh càm en Giao su tiln si Pham Huyen,


- 3 '
Giao su phó tiln si Nguyen Thùc An là cac thày huo'ng dan cxing
cac thay, co va cac b^n dong nghiep trong hai bo mon da chi
bao giùp do» chùng toi rat nhieu trong qua trinh hoan thanh
lu|n an nay ..•

Chuo'ng I
TONG QUAN VE LY THUYET
VA CHAM DOC CUA THANH DAN HOI

il.1. SU PHAT TRIEN CUA LY THUYET VA CHAM DOC
CUA THANH.
!• Ly thuyet va cham co diln>/~^ _.7
Ly thuylt va ehgm co di In da duo'c gin li In vo'i tén tuoi
cùa Gelile va Niuten. Ly thuylt nay da dutj'c trinh bay trong
cac giao trinh Ce ly thuylt ...
1. N9Ì dung cùa ly thuylt va chaon co dien.
Dua vào cac già thilt bo xung phàn anh d§LC trung ce ban
cùa hifn tueng va ch§m vft ly
a) Khoang thei gian va cham ^ la v6 cung bé.
b) Bo qua d^ch chuyen cùa nhung v§t the trong thod gian
va ch^m.
^
e) Xung lue va ch^m là huu h^n va co the bo qua xung lue
cùa nhuTig lue huu h ^ .
PhuDTig trinh ce ban cua ly thuylt nay là
/^s^ mV

=

mV - mV

=

J 1 dt.
o

Tu do, co t h e t h i l t l à p ducj'c dinh l y momen dong luoTig, phuo'ng
t r i n h tong quat cùa va ch^m, phuo'ng t r i n h Lagràng I I v . v . . .
De g i a i duo'c b a i t o a n va cham, can dua thém vào k h a i
ni§m h§ so k h o i phuc k
k =

V^l

^2

V2- v^

^1


- 5" 6 day v^,V2 va U^, U2 là ehilu v$n toc cùa hai v|t the theo
huc?ng phap tuyln truée va sau khi va eh§m ;
S^, S2 là xung lue va chgim e pha dau va pha cuoi ...
2. Nh§n xet : Ly thuylt va cheim co dien dong vai tro lo'n
lao trong viéc phat triin khoa h9c va cham va duec ap di^ng rong
rài trong thy?c ti. Song ly thuylt nay da khong giai thich duxj'c
hifn tueng biln deuig vi tri ó* vung tilp xùe Cua cac vft the va
chfun. Kit qua thu duo'c ehi la gan dung véi thifc ti, no phu thuoc
vào viec xacd^nh bang thue nghi§m h§ so khoi phuc k . Ly thuylt
nay bi giéi han bei vi§c xet hi fu ung tich phàn e pha dàu va
pha cuoi ma khóng xet din eà trong qua trinh va eh§im xay ra.
Nhung ton tfi Cua ly thuylt va ch^m co dien se duo'c nghién cuu

va giai quylt dua trén ce sé ly thuylt biln dang vi tri va ly
thuylt song.
II. Ly thuylt va cham dpc cùa thanh dan hoi.
1. Nhàn xet chung £/tO J• vào nam 1770, Beenuli dà chù y
den nhuTLg thieu xot cua ly thuyet va c h ^ co dien. Ong da chimg
to rang qua trinh dao dong tu do cùa vft the dà xay ra sau khi
va cheun. Bang vife nghién cuu bài toan cu the doi véi tljanh va
tinh toan tan so ce ban cùa dao dong, ong dà xac dinh du'o'c nang
luQTig cùa dao d9ng riéng chilm khoang 5/9 nang luo'ng truéc khi
va eh^m. Tu do ong ehi ra la dieu can thilt phài tinh toan din
sif dao dong cùa cac thanh dan hoi. Va ch§m d9c cùa cac vàt the
hinh lang tru là doi tuo'ng nghién cuu Cua nhieu tac già. Vao
nam 1823, Navi e da xet bài toan ve su va cham d9C cùa vat ran
vào thanh vo'i già thilt vft ran khong tàch dèi thanh it nhat
trong khoang tho*i gian nùa ehu ky dao d9ng co* ban cùa thanh .
Nghifm tim ducj*c khong thufn tien cho vifc àp di^ng vao thi^'c ti.
Ly thuylt va ch^m d9C cùa thanh dan hoi sau do dija vào
ce sé cac kit qua nghién cuu cùa Xanh-Venang va Butxinetxce.
Viec nghién cuu nay dà thu duec nghiem tong quàt cùa bài toàn
ma Navi e d^t ra duo'i dang cho phep àp dung vào thue ti. Tuy
vày, ly thuylt va cham d9C cùa Xanh-VenSng thuo»ng chua phù hep


- 5 -

vei thifc te, dieu nay da duQ'c Timosenco chi ra bang thue nghiem
cùa Phoi. Nguyen nhàn là o* cho Xanh-Venàng cùng nhu Navié dà coi
m^t tiep xue giua cac v§t the la nhan ly tuo'ng, vuong góc vo'i
true Cua thanh. S\f go ghe cùa cac ra§t tilp xue gay ra su sai
lech len cùa hien tuo'ng va eh§im é trueng hiyp eàc thanh ngan. De

thue hifn gan dung se do nghiem bai toàn doi vo'i dieu kien thiyc
t^e Cua thyc nghiem va eàc tai li§u ly thuyet, Siere dà xet su?
va ch^un cùa thanh dàu hinh càu vc'i thanh dàu phang. Siere dà
chi ra bang thue nghifm la e gan dàu hai thanh va eh^m, su phàn
bo ung suat duq'c xàc dinh tu ly thuylt biln d§ng v4 tri cùa
GeexD* va e tu khoang eàch nao do so vo'i nhung dau cùa hai thanh,
su phàn bo ung suat duo'c xàc dinh theo ly thuylt cùa Xanh-Venang^
Nhu vfy la Sio're dà giai quylt tr9n v§n bai toàn nay vi ong dà
kit ho'p duo'c ly thuylt biln dang vi tri va ly thuylt dao d9ng
dàn hoi cùa thanh.
2. Ly thuylt dao dong dqc cùa thanh / ^^J*
Ly thuylt va ch§m dgc cùa thanh co lién quan ch^t che véi
ly thuylt dao dong d9C cùa thanh vi v|iy ta se se luq'c ve sif
phàt trien cùa ly thuylt nay.
a) Ly thuylt co dien. Ly thuylt co diin dao dong d9e cùa
thanh dua trén già thilt la thilt difn ngang cùa thanh du-o'c giù
nguyen trong m§t phang biln d^ing. Theo ly thuylt này su phàn bo
ung suat phap d9C trijic la nhu nhau trong moi thilt dien.
Phueng trinh dao d9ng d9C cùa thanh dong nhat, ding huo'ng,
thilt di§n khong doi là

-^

=3^4%- (a. lOI)

(4,i) •

trong do U(x,t) là dich chuyln d9c truc ; E - modtm dàn hoi ;
P - difn tfch thiet dien.
Trirò-ng hq-p thanh khong dong nhat, phuo-ng trinh si co dfing

31

3x

3X


-

?' -

b) Càc ly thuylt hoàn thien hen : Viéc hoàn thifn li
thuylt dao dong d9c cùa thanh ban dàu muon hen khà nhieu so
véi viec hoan thien ly thuylt dao dong ngang. Dieu nay nhu
chùng ta dà bilt, co su lién quan la phu-eng trinh cùa ly thuylt
dao d9ng d9C co dien thu9C lép phuo'ng trinh d§ng hypecbolic con
phueng trinh cùa ly thuylt co dien ve dao dong uon l§i thuoc
lop phira'ng trinh parabolie. Chi tilt va ti mi nhat la nhung
nghién cuu ve su lan truyen song chsiy trong thanh tru tron ban
v6 hsin.
Pochame (1876) va Cri (1889) da tim duq'c nghifm chinh
xàc bang ly thuylt d9ng lue h9c cùa dan hoi doi vo'i tru tron.
Trong trueng hq^p doi xung true, dà dua din phuxj'ng trinh tan
sac. Tuy nhién eàc kit qua nay rat cong kenh din mùc trong suot
mot thei gian dai sau do khong co nhung su khào sàt bang so.
Si^ ra dò'i cùa eàc ly thuylt gàn dung nhung hoan thifn
hen ly thuylt co dien da cho khà nang tinh toàn cu the va co
the àp di^ng duq'c trong thue ti. Van dua trén càc già thilt la
thilt difn ngang van con giù nguyen trong melt phang cùa no va

su phàn bo ung suat dqc true la deu trong moi thiet dien, nhung
khi co tinh din eà quan tinh cùa chuyln d9ng ngang, Love; dà dàn
ra phuo'ng trinh dao dong la
[39]

^'U .(^R)2J4U
at^

ax^at^

.,2ÌÌU

(^.3)

Bx^

<3 day A - he so Poatxong ; R - ban kinh quan tinh cùa thilt
di§n doi véi treng tàm cùa thilt dien do.
Day là d^ng xap xi mot mode.
Ly thuylt hoàn thien hen ve dao d9ng d9e cùa thanhthilt
difn ngang là tron dà duo'c xay dijng bei Mindlin va Hereman
(1952). Ho xuat phàt tu viec xap xi doi vd-i ung lue d9e N, ung
lifc ngang Q, ung lue kinh ve truc kinh P^ va Pg cùng nhu dich
chuyen kinh ; dà dàn din h§ hai phuo'ng trinh de xàc dinh dich
chuyen d9e truc va dich chuyen kinh. Day la d ^ g xap xi hai
mode •


-

^

-

Tilp din là càc ly thuyet cùa Dachemanogelàu va Venterà
(1958), Péterenco va Kinchinxki (1960) v.v...
3e Ly thuylt va ch§m d9C cùa thanh dàn hoi.
Nhu chùng ta dà bilt, phuo'ng trinh cùa ly thuylt ba chieu
cùa dan hoi la rat phuc tap doi vo'i viéc giai eàc bài toàn ve
chuyln dong khong dung é trong thanh. Doi vo'i bài toàn va chsun
cùa thanh dan hoi, ngoai bai toàn tilp xue khà phuc t§p con
phài dong thei giai bai toàn ve chuyen dong khong dung. Chinh
vi v|y, trong ly thuylt va cham, nguèi ta d^c biet quan tàm va
van con tilp ti^e su dijtng ly thuylt co diln va càc ly thuylt gàn
dùng hoan thifn hen ve dao dong doe cùa thanh. Ve bài toàn va
c h ^ d9e cùa v|t ran vao thanh dan hoi dà duq'c Xanh-Venang giai
bang phuo'ng phàp cùa Butxinetxce ZJ*/_7-Vo'i phu-o-ng phàp này cho
nghifm cùa bpi toàn duo'i dang hàm lién tue tùng khùe nào do.
Xanh-Venang dà tim duec bilu thue giai tich cùa hàm này doi véi
mot vài khoang già tri bilnso. Nicolai dà tim duq'c bilu thue
giai tich cùa ham chua bilt doi véi khoang tuy y lién tue.
Bai toàn ve su va ch§m dqc cùa vàt ran vào thanh den hoi
co do dai huu han, m9t dau ty do dà duo'c giai quylt bei /^8,^7,

Bai toàn xa cham cùa v§.t ran vào thanh dàn hoi co do dai
huu han, mot dau gan cùng da duQ'c mot so tàc già nghién cuu nhu
Timosenco, Kinchepxki, Nicolai va Bidero'man / i?^3i^^^2^53
J .

Nghién cuu ve va cham cùa vàt ran vào thanh dka hoi co

lue ma sàt kho phàn bo dèu e m^t ben dà duxj'c thue hien bei
L^9j.
Miclovit (1954-1957) xuat phàt tu ly thuylt gàn dùng cùa Mindlin
va Hereman ... dà nghién cim su truyen song nen trong thanh bàn
v6 h^n hinh tru tron, m§t ben tu do doi vo'i \SXÌ^ suat, e dàu
thanh tàe dijng lue dgc dang hàm Khevisaide.

N(0,t) = I 0
N^

khi t < 0
khi t > 0

Gion va No-ut (196?) eia xet dao dong khong dùng cùa tru bàn v6
han véi m§.t ben tu do vei ung suat, con e dau tru d^t ra^t buéc


-3 nhày ve àp ly'c holLc ve v|in toc. Xuat phàt tu phuo'ng trinh dong
lue hqc ba chieu cùa ly thuylt dkn hoi, càc tàe già này dà xày
difng cong thùc tiem (^^ doi véi biln dang va ung suat cùa càc
thilt dièn e xa dàu tru.
Nhieu nha khoa h9C lén cùa Lién X6 dà co nhung cong hiln
rat lén lao cho su phàt trien khoa h9e va ch^m nhu Raematulin
lan dau tién da thilt l§p va giài càc bai toàn ve su va cham
cùa thanh dan dee va dà co nhieu già tri ung di^g thue ti
L^^J'
Bagraep dà co nhieu dong góp trong vifc nghién cùu càc bài toàn
ve v|it the dan hoi va cheim, ngoai nghiem giài tich ong don dùng
phueng phàp so de nghién cùu càc bai toàn nay v.v...
Ngoai

Xocolopxki,
dang kl cho
va chfm cùa
giàm chan e

ra con co the ke din càc e3ng trinh cùa Sapiro,
Gerxévanop ... va nhieu tàe già khàe da dong gop
lình vue khoa h9e này Z ^^^ ^^-7- l^ghién cùu ve su
vflt ran vao thanh dan hoi bàn v6 hfin co d§t d§m
dau thanh da duec thue hi|n bei
L^^J*

Bai toàn va cheim cùa vat ran vao thanh co d9 dai hùu han
tija trén nen cùng, co d§t dfm giam chan e dau thanh dà ducye
nghién cùu
L^'^J^
Va cham co dem cùa v|t ran vào thanh co d9 dai hu-u h^n
tya trén nen tu biln da duec nghién cuoi
l_^'ij*^*
Tu do din nay, càc bai toàn ve va cheim co dem cùa vàt ran
vao thanh dan hoi do dai hùu h ^ tua trén nen dan hoi, co lue
chong khong doi é dau kia cua thanh, co ly'c ma sàt kho phàn bo
e m^t ben ho^c va cham giùa càc thanh dan hoi véi nhau da diro'c
mot so tàc già nghién CUTI Z '^^ ^ J v.v...

Ngoai ra con phài ke den mot so tac già nhu Sumlianxki, Gè]
xévanop, Bakhondin, Maverin, Vaxinepxki, Béliaep v.v... dà co
nhieu dong góp cho vifc nghién cuu cac mo hinh bai toàn va cham
này va ung dung ky thuàt cùa chùng.
il.2. CO SO LY THUYET VA CI-IAIu DOG QUA THAMI.

!• Phuo'ng trinh chuyen dpng va bai toàn bien./"^-^^7


1. Phuo'ng trinh chuyen d9ng.
De nghién cùu càc bài toàn va ch^m truo'c day, ngu'o'i ta
thueng su dung phuo'ng trinh chuyen dong, duo'c thilt l^Lp trén
ce se già thiet la càc thilt difn cùa thanh vuong góc véi true
Cua theinh la phang, bó qua nang luoTig cùa càc phàn tu trong
chuyen d9ng vuong góc véi true.

»n m^
X

'//,
^//

PCx)

m

n

n n

vt\

m

pCx+dx)
—>

1^'

Hinh 1.1.
G9Ì U(x,t) la dich chuyen d9e true cùa thilt dien co t9a d9 x
t^i thò'i diem t. Xet can bang cùa mot phàn to cùa thanh co do
dai dx nhu trén hinh 1.1 , ta co
Lue keo d9C e thiet difn mn la
P(x) = P ^ ( x )

= EP

3u

Lue keo d9e e thiet dien m*n' se la
P(x + dx) = P(x) + - | ^ dx = E P ( - ^ + 1 - | - dx)
OS.

3X

OH

Lue quàn tinh cùa phàn to thanh mnn'm» là .

^

3 t^

Trong do P là dien tich thilt dien ngang ; y là khoi luo'ng
riéng v%X liéu cùa thanh.

ip dyng nguyen ly Dalambe ta co


- /i _ p^eix ^

- EP l i L ^ EP l i L ., EP i i f dx = 0
OH

^t

ò X

OX

Tu do suy ra
^ \

= ^2Ì^

^*

^ -

0
(^.^)

t >0

E •

Trong do' 2a = -—(1.4) chinh la phueng trinh chuyen d^ng cùa càc thilt difn
trong thanh.
2. Thilt làp bai toàn bién.
De xàc d4nh chuyen dfng cùa thanh, ta phài thilt l§p bai
toàn bién; cv the la giài phueng trinh ( i.'¥ ) véi dieu kien
dàu va càc dieu kien bién.
a) Dieu kien dau - cho bilt vi tri va vfn toc cùa càc
thilt dien trong thanh teii thei diem dau t = 0

U(x,0) = f(x) ; 4^^'^^ = fAx)

{d.S)

b) Dieu kien bién - chang h§n vc'i bién x = 0 co mot so
detng ce ban cùa dieu kien bién nhu sau
Cho truxrc chuyen dong Cua bién
U(o,t) =

{li.6)

^(t)

Truò-ng hq»p riéng bién gan cùng thi

u(o,t) = 0

{i.eV

Che trutte l u e d^t e b i é n

Eplilio^ll

.

OX

Truò'ng hcyp r i é n g - b i é n t u do

X
Bién gan dan ^hoi

p(t)

id.T)


- iZ ^
\^^Q^^^
o

(,d.8)

= h Z"U(o,t) - © ( t ) ^

X

Trong do h > 0 ; 9 (t) là do Ifch so véi vi tri eàn bang cùa
diem gan.
Bién gan tai tr9ng khoi luq'ng m

0 \f-

0 X

va co the eó mot so d^ng khàe nùa.
Dieu kifn bién tueng tu doi vo'i bién x = 1 . To hcyp càc
dieu kifn bién co dang nhu e trén, ta se co càc bai toàn bién
khàe nhau •.•
II. càc phuo'ng phàp toàn hoc.
Gió^i han trinh bay mot vài phueng phàp dà su dung di
nghién cùu ly thuylt va cham truo'c day cùng nhu phuo'ng phàp se
BXi dyng di giài quylt càc bai toàn mc'i sau nay.
1. Phueng phàp song lan truyen (nghiem Dalambe) C3i

J*
*

Su dung phep biln doi
^

= at - X ;

t = at + X

,

phuo'ng trinh (/.-f ) se dua den phuo'ng trinh
31 ^ l
TU' do suy ra

-r^-

^U

=

( i'. 4^ )'

0

khong ph^ thuoc vào \

.

=Q(U

u = J Q(|)d| + - t d ) = T(5) + i ' ( i )
Tré' l§i biln cu, ta co duo'c nghiem tong quàt cùa (^-^ )
U(x,t) =

?(at-x) +

-fCat+x)

(d.iO)


-43

-

Trong do T , ^
là càc hàm so tuy y cùa bién so ; { i^^O )
duo'c ggi là nghiem Dalambe. Doi véi moi bài toàn cu thi, su
dung dieu kifn dau va eàc dieu kien bién, ta se xàc dinh duo'c
càc hàm song V^ va r ,
•f nghia vàt ly hàm j (at-x) mo tà song cùa dich chuyen
truyen d9c theo thanh theo huéng cùa trijc Ox véi v$n toc a.
Con ham ^ (at+x) m6 tà song dich chuyln truyen dqc theo thanh
theo hud'ng nguo'c l?i véi cung van toc a.
2. Phuo'ng phàp tàch biln (nghifm Phurié) Z 33
De trinh bay phueng phàp này ta xet
véi dieu kifn bién la 2 dau tu do.
^U(Oit) ^ 0
3 X

;

CTJL

J•

the mot bai toàn

^^^^^^) = 0
^X

(/,//)

Tim nghifm cùa ( '^. ^^ ) duo'i dang

U(x,t) = X(x).T(t)
Thay nghifm này vào { d.^
ta dua din hai phuo'ng trinh

trong do

), sau khi biln doi va ly lu|n,
•

x"(x) + X X(x) = 0

X(x) Z 0

{ i.iZ)

5ì"(t) + f^XT(t) = 0

T(t) ^ 0

{ÌJ3 )

A- là hàng so.

Tu dieu kifn {i.ii
X'(o) = 0

) ta dua din dieu kien
;

X»(l) = 0

Giài {i.iZ)
vo'i dieu kifn {i,iH)
co nghiem khong tàm thuò'ng thi
A = A^

= (nTT/l)^

Nghiem riéng tuo'ng ung se la

x^;(x) = cos(-^32L x)

( y.i^)
ta nhfn thay de {^d.iZ )

n - 1,2 ...


- d^ > do
- ^nghiem riéng cua { i,^3
Tu

) se la

T„(t)
= A„.cos(^i^^^
t) + B nsin(^?^!^
t)
n
n

^
^
Cuoi cung, nghiem cùa bai toàn thu du^'c la
U(x,t) = Z

Z-A^cos(a2Iat)^ B^sin(S^Lat)_7cos(S^)

n=1

^

•

'

•

•

'

•

( i.^s-)
STJ dung d i e u k i e n dau {d-S" ) t a co t h e xac d^nh diro'c cac hf
sé '
'
1
1
A, = - ^ t f(x)cos(2^)dx ; B„ = - ^ \ f.(x)sin(ìl^x)dx.

1 «
1
^ 1 ; / ^
1
o
o
An', B
^n cùng chinh la he. so trong
« khai trien Phurié cùa
hàm f(x) va f^(x).
3» Phep biln doi Laplatxo» va phueng trinh tich phàn
Venterà.
a) Phep biln doi LaplatxD'

C3Sj^

1°- Dinh nghia già su hàm so f (t) cùa biln so thue, thóa
man eàc dieu kifn sau
Lién tue loai tru mot so hùu h§n diem giàn do^in loai mot
trén mot do§n hùu h§in bit ky cùa true t.
f(t) = 0

véi t < 0

Ton t^i càc hàng so e va
t > 0 thi
|f(t)| ^ ee"^*.

'^ di voa tat cà càc già tri

Khi do hàm biln phuc P(p) duo'c xac dinh theo c6ng thùc

P(p) =

j f(t)e"P*.dt
o

duo'c ggi là hàm anh cua ham ban dau f(t). Ky hifu là
P(p) • f(t) hay là

f(t) f F(p) .

{i.i7 )


2 ° - Tinh c h a t .
Tuyen t i n h - neu f ( t ) • P ( p ) , g ( t ) *• G(p) t h i rso phirc «^ va f" , t a co
^f(t)

+ ^g(t)

•

o
^G(p)

Tinh dong d^ng
neu f(t) • P(p) thi vo'i mgi °< > 0, ta co

f(llt) * ^

P(-l-) .

Vi phàn Cua hàm ban dàu - nlu f(t) <- P(p)
f(t) lién tue cùng vo'i f»(t), f"(t),..., f(^^(t) thi ta se co
f(^)(t) t p^F(p) - p''"''f(o) - ... - f^^"''*^(o)
Vi phàn cùa hàm anh - nlu P(p) t f(t)
khi do
P^''^(p) •

(-l)"" t^ f(t)

Tich phàn cùa ham ban dau - nlu f(t) ••P(p)
khi do
( f ( ^ )dZ

P
Tich phàn cùa ham anh - nlu P(p) • f(t)
co
va nlu
C P(p)dp h9i tu thi
o
00

i

P(p)dp

t

liti.
t

Sy cham cua hàm ban dau - neu f(t) «• P(p) va f(t) = 0
vai t < t , trong do' ^ > 0 thi
f(t - ^ )

«• e-P^ P(p)

Dich chuyln cùa ham anh - neu P(p) • f(t) khi do doi vo'i
so phuc A. bat ky, ta co


P(p - A ) • e-^* f(t).

•

Anh cùa tich chflp - doi vei 2 hàm s6 f(t) va g(t) nào
do, tich chfp Z^ ky hi fu là (f A g) (t)_7 duec xàc d^nb
t
(fa g)(t) =
\ f(|)g(t - ^ ) d^ .
o
Neu f(t) f P(p) ;

g(t) • G(p) thi

(f* g) (t) * P(p).G(p).

b) Phtieng t r i n h t i c h phàn V6ntera

C^7j.

Phuo*ng t r i n h t i c h phàn Vontera l o ^ 2 co deing
X

9(x) -

\ \

K(x,s)

4?(s)ds

= f(x)

kd.i&)

a
trong do ^(x) là an hàm, A là hàng so, K(x,s) va f(x) là
càc hàm dà biet.
1^- D^nh ly ton t^i va duy nhat n^ifm.
Neu hàm nhàn K(x,s) giéi noi ve già tr^ tuyft doi trong
mien tam giàc a ^ x ; s ^ h ; x > s va chi eó hùu h^in dilm
giàn do^n doi vo'i 1 va chi mot tqa df x ho^c l^a s, K(x,s) ^ 0
khi s > X . Con so heing tu do f (x) là hàm lién tue ; khi do
tèn t^i duy nhat nghifm lién ti^c cùa phueng trinh (^i.i8 ).
2^- PhuoTig phàp giài.
Co nhieu phueng phàp giài phuo'ng trinh {dA8

chi trinh bay phueng phàp gan dùng lién tiep.
Ta eó the xày dung day nghifm gàn dùng
phueng trinh {i^iS ) theo cong thùc sau

) ; e day

{^^Cx)) cùa

^(x) = f(x)
^
(p^Cx) = f(x) + AJ K(x,s)?^(s)ds
a
^^(x) = f(x) + AJ K(x,s) fn.i(s)ds
a

{:/,i9.)


•JM

i7 Khi do doi v é i m9i A , day { ^ n ^ ^ M
^® ^^^ "*^^ ^^ ^®^
nghifm dùng
^ ( x ) cùa {d,ì^
) , ho^c eó t h i su dijing phep l ^ p
ham n h à n . D^t
K^(x,s)

=

K(x,s).
X

K^^^(x,s) =

f K(x,z) K^(z,s)d2

n = 1,2

...

khi do nghifm gàn dùng cùa ( d.'tS ^ ^n^^^ duo'c xàc dinh theo
cong thùc
X

n

f^(x) = f(x) + ] Z" Z
XX(x,s)J7f(s)ds
a
v=1
( i.ZO )
va nghifm dung
X

Y(x) = f(x) Trong do

:?

X J pXx,s,A) f(s)ds

{d.Zt'i

00

H(x,s, A ) = - ^
v=o
e day doi véi mqi \

XK^^^(x,s)

, chuoi này deu h9i tij.
»

?

^
^
III. Mot vai
bai
toan ce ban cua ly thuyet va chem.

1. Va ch§m cùa v%\ ran vao thanh dan hoi tu do

[J.Tjòij

Hinh 1.2
a) Phuo'ng trinh chuyen dong d9e true cua thanh la

^t^

ax^ fc:^^:^^:j:.-™;l^-:^-Ì


b) Dieu kien dau - chgn thei diem ban dàu t = 0 trung
véi thei diem vat ran bat dàu ch§m vào thanh, V la van toc
cùa vàt ran tgi thei diem này, ta eó
3U(x.o)

U(x,o) = 0 ;

Q

{d.£3

)

vo'i 0 ^ X < 1

au (1; +o) = - V

at

( d.M )

0

e) Dieu k i e n b i e n

aucx.t)

ax

0

(

i.SS)

Khi X = 0 ; t > 0

Q a^u
" " g a t^

dX

( d.26)

Khi X = 1 ; t > 0
t r o n g dò Q l a t r q n g luoTig cùa v f t r a n . KÌ h i f u Q- l a t r 9 n g
l u e n g cùa t h a n h , t a eó Q^ = j ^ P l . KÌ h i f u m = —— , k h i dò
( i,Z6 ) s e duQ'c v i l t
^1
mi

^ ^ U ( l . t ) , , ^2 ^ U ( l , t )
^ ^

òt^

.

t > 0

{^.Z7)

a^ X

Nghi§m t i m duo'i dang nghifm Dalambe
U(x,t) =

^ ( a t - x ) + 'tCat+x)

U.!lS

Tir do

au

= - (f'(at-x) + -f'(at+x) .

ax
Su* dung ( ^ ' ^ ) t a t h u duo'c

=

-t'(at)

V t ^ O

; suy r a

'>|''(at-x) = 4"(at-x), tich phan len ta duxj'c
tfCat-x) =

-fCat-x)

Thay ket qua này vào ( :/.2i" ) ta se co

)


-:19 U(x,t) = t(at-x) + t(at+x)
Tvr day, su? dung {4,^3

{429)

) , t a co

^ ^ ^ ^ * ° ^ = a £"^l-^)

+ ^tx)_7 = 0

Bt

-fC-x) + ' ^ U ) = 0

vo'i o ^ X < 1 ; suy r a

vo'i o ^ x < 1 .

Hay t a co the v i e t
-^X-z)

+ -tCz) = 0

voà - 1 < z < 1

v i U(x,o) = 0 v a i o ;^x < 1
^^(^1°)

tixc l à

=0

(*)

nen
vo'i o ^ X < 1

- 1^(-x) + Ì^(x) B 0

vo'i o ^ X < 1

hay t a co the v i e t
-

Yi-z)

+ 1"(z) = 0 vo'i - 1 < z < 1

TÙ (A) va (* Jc) ta thu duo'c
Do do
't(z) = const = S^(o).
Tu- ( 4.25)

(* it)

"t(z) = 0 vo'i -1 < z < 1 .

ta co' U(o,o) = 2 i'(o) = 0, do v^y

Ì'(z) = 0

vo'i -1 < z < 1

( 430)

1^ ( 4.23 ) va ( 4.S7 ) ta co'
mla^Z" -f "(^t-l) + 't"(at+l)_7 = -a^/"- -fCat-Dn- 't'(at+l)_7.
D|t z = at+1 ; phuo'ng trinh tren si la
Ì/"(z) + -!- 1"(z) = - 't"(z-2 1)+ -!- ^•(z-2 1) ( 4.34 )
' m i
mi
K h i l < z < 3 1
thi
- l < ' z - 2 1 < l .
Thay ( 4-30 ) vào ve phài cùa ( 4,Si

) ta duo-c phuo'ng trinh

i^"(z) + —'- 't'(z) = 0 vo'i 1 <: z < 3 1. Tu do
mi

-y'(z) = c^e-^/^l .


Su di^g dieu ki§n dàu ( 4,Zh- ) ta co :
^^^^'•^°^ = aZ'i^'C-l+o) + i^'(1+0)7" = -V«. 3uy ra

at

°
V

'>\''(l+o) =

2. . Mat khac
a
_ J.
-V
'S'd+o) = c.,e~ mi = c-e "" = - — 2 . ^én
1
a
Ci = - - ^ e ^ . Tu do'
a
V
- (^-1)
-t'Cz) =
2. e

"Il
(:^.je )
a
Suy ra
^^^
_ i z ^
-tCz) =
2_ e
"^l H- cp .
a
Dìj'a vào tinh lién tue cùa hàm U(t,l) va dieu kien dàu,
ta eó
U(l,+o) = 1^(-l+(r)+'t(l+o) = 1^(1+0) = U(l,-o) = 0
S^y ^^

i'd+o) =

mlV.
.
mlV.
^ + c^ = 0 va c

""^ "^^

mlV
- -^^
2.(i.e
°^1 ) véi 1 < z < 3 1( ^.Ì3 )
a
Khi 3 1 < z < 5 1 lue này 1 < z - 2 1 <3 1.

't(z) =

Thay {d.3Z ) vào vi phài cùa id-Sd ) sau do tich phàn
phuo'ng trinh dò, su dung tinh lién tue cùa vàt toc tai x = 1,
ta thu duxj'c
^.(z) = - — a e
a

•"! + - ^ ^ 1 - — ( z - 3 l)_7e
a
mi
véi 3 1 <: z < 5 1

T§i thilt difn X = 1, bien dang tuo'ng doi là

^^^
^ ^•^'?' ^
.

^


.

.Zi
^^(^1^?

= - i^'(at-l) + f

(at+1) =

ax
^•(z) Khi t

^ • ( z - 2 1)

{4.35

)

< ^ - i , t a co' 1 < z < 3 1 va -1 < z-2 1 < 1 .
a

Thay {4.30

) , {d.3Z ) vào {4.35)
^U(l.t)

= _ _!o g

aX

t a duo'c

mi

< Q

a

tue la trong khoang tho'i gian nay vat the va chsim va thanh con
tiep xue vo'i nhau.
Khi t > ^-i , ta co 3 1 < z < 5 1 , 1 ^ z-2 1 < 3 1.
a
Thay {4.3Z ), (/,5^ ) vào {4.35)
ta thu dux^'c
aX

V
- («t-2 1)
^
_ at
lo. _
mi
_!_o, - mi
e
-—- e
+
a
a
^
_ (at-2 1)
+ - ^ Z"1 - — (at-2 \)J
e
""l
a
mi

Khi t = •^-^ + 0 ta co

a
^X

a

a

a

a

Dieu này eó nghia là teii thei diem t = — ~ vf.t dà tàch dò'i khoi
thanh, hifn tuo'ng va ch§m da kit thùc.
Nhu vày là sau khi da xàc dinh du-q'c ^ (z) véi -1 < z <, 1
va 1 <' z ^ 3 1 nhu ó' trén, ta se xàc dinh duec d^ch chuyen dgc
truc U(x,t) tu dò xàc dinh duq'c ù'ng suat va bien d§ng tai mgi
thiet difn trong thanh.
2. Va cham cùa vat ran vào thanh dan hoi mot dau gàn

cùng Od ,

^^J.


, zz ^

X

ifa

M

Hinh 1.3
a) Phueng trinh chuyen dong
{:l.3è

)

b) Dieu kién dàu
U(x,o) = 0 ; ^J^i^^
^*
^U(l.+o)
^t

=0
vai o 4 X < 1

{ 4.38 )

- V.

e) Dieu kién bién U(o,t) = 0
mi

V t :^ 0

( 4.33)

^^U(l.t) _ -2 au(l.t) ; t > 0

ax

at^

( 4jr )

{4.^0)

Nghiem tim du-o'i dang Dalambe
U(x,t) =

{1.^4)

'^(at-x) + 't (at+x)

Tà' ( 4.39 ) ta co'
^(at) = - Ì'(at)

Vt ; suy ra

Y(at+x) = - 1^(at+x) .
Thay dang thue này vào {4.^1
U(x,t) =
Tu ( 4.31)

) ta thu duxj'c
( 4k-Z)

Y(at-x) - -^(at+x)

va {4.^Z),\B.

co'

U(x,o) = Y(-x) - ^(x) = 0

vo'i o ^ x < 1 •

tu do
- T'(-x) - ?'(x) = 0 vo'i o ^ x < 1 .