ĐƯỜNG THẲNG_01

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170-+=,
dxy
2
:50+-=. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với dd
12
, một tam
giác cân tại giao điểm của dd
12
, .

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:

xyxy
xy ()
xy ()
1
2222
2
7175

3130
340
1(7)11
D
D
-++-
é
+-=
=Û
ê
--=
ë
+-+

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1
D
hoặc
2
D
.
KL: xy330+-= và xy310-+=

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250-+=.
dxy
2
:36–70+=. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d

1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.

·
d
1
VTCP a
1
(2;1)=-
r
; d
2
VTCP a
2
(3;6)=
r

Ta có: aa
12
.2.31.60=-=
uuruur
nên dd
12

^ và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: dAxByAxByAB:(2)(1)020-++=Û+-+=
d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3

2(1)
-
é
=
Û=Û--=Û
ê
=-
ë
++-

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng dxy:350+-=
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng dxy:350--=
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. dxy:350+-=; dxy:350--=.
Câu hỏi tương tự:
a) dxy
1
:7170-+=, dxy
2
:50+-=, P(0;1) . ĐS: xy330+-=; xy310-+=.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350++=, dxy
2
:310++= và điểm
I(1;2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt dd
12
, lần lượt tại A và B sao cho
AB 22= .

·
Giả sử AaadBbbd
12
(;35);(;31)--Î--Î ; IAaaIBbb(1;33);(1;31)=---=--+
uuruur

I, A, B thẳng hàng
bka
IBkIA
bka
1(1)
31(33)
ì
-=-
Þ=Û
í
-+=--
î
uuruur


·
Nếu a 1= thì b 1=
Þ
AB = 4 (không thoả).

·
Nếu a 1¹ thì
b
baab

a
1
31(33)32
1
-
-+=--Û=-
-

ABbaabtt
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với tab=-).
tttt
2
2
512402;
5
Û++=Û=-=-
+ Với tabba220,2=-Þ-=-Þ==- xy:10ÞD++=
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

--
=ị-=ị== xy:790ịD--=

Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10++= ,
dxy
2
:210= . Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d
2
) tng
ng ti A v B sao cho MAMB20+=
uuuruuurr
.

ã
Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1).
T iu kin MAMB20+=
uuuruuurr
tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0

Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:10,:220++=+= ln lt ti A, B sao cho
MB = 3MA.

ã

Ad
AaaMAaa
BdBbb
MBbb
1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
--=---
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v MBMA3=
ị

MBMA3=
uuuruuur
(1) hoc MBMA3=-
uuuruuur
(2)
(1)
ị

A
dxy
B
21
;
():510
33
(4;1)
ỡ
ổử
--
ù
ỗữ
ị--=
ớ
ốứ
ù
--
ợ
hoc (2)
ị

( )
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị--=
ớ
ợ


Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40--=+-= ln lt ti A, B sao cho
MAMB230= .

ã
Gi s Aaad
1
(;35)-ẻ, Bbbd
2
(;4)-ẻ.
Vỡ A, B, M thng hng v MAMB23= nờn
MAMB
MAMB
23(1)

23(2)
ộ
=
ờ
=-
ở
uuuruuur
uuuruuur

+
ab
a
AB
ab
b
5
55
2(1)3(1)
(1);,(2;2)
2
2(36)3(3)
22
2
ỡ
ổử
ù
ỡ
-=-
=
ị

ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra dxy:0-=.
+
aba
AB
abb
2(1)3(1)1
(2)(1;2),(1;3)
2(36)3(3)1
ỡỡ
-=--=
ị-
ớớ
-=--=
ợợ
. Suy ra dx:10-= .
Vy cú dxy:0-= hoc dx:10-= .

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho OAOB(3)+ nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):

xy
ab
1+= (a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị.
M OAOBabab332312+=+=
ab
a
OAOB
b
ab
min
3
6
(3)12
311
2
2
ỡ
=
ù
ỡ

=
ị+=
ớớ
=
==
ợ
ù
ợ

Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy1360
62
+=+-=
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng OAOB+ nh nht.

ã
xy260+-=

Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.

ã
ng thng (d) i qua M(1;2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn
AaBb(;0);(0;) vi ab.0ạ
ị
Phng trỡnh ca (d) cú dng
xy
ab
1+=.
Vỡ (d) qua M nờn
ab
12
1+=. p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú :

abab
ab
22
22
12132194
1.1.1
39
ổửổửổửổử
=+=+Ê++
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ



ab
22

949
10
+



OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1+=

ab
20
10,
9
==
ị
dxy:29200+-=.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).

ã
xyxy360;20+-=--=

Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua M(2;1) v to
vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng S 4= .

ã
Gi AaBbab(;0),(0;)(,0)ạ l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1+= .
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ

baab
ab
2
8
ỡ
+=
ớ
=
ợ
.

ã
Khi ab 8= thỡ ba28+=. Nờn: badxy
1
2;4:240==ị+-=.

ã
Khi ab 8=- thỡ ba28+=- . Ta cú: bbb
2
440222+-==- .
+ Vi
( ) ( )
bdxy222:1221240=-+ị-++-=
+ Vi
( ) ( )
bdxy222:1221240=--ị++-+=.
Cõu hi tng t:
a) MS(8;6),12= . S: dxy:32120--=; dxy:38240-+=

Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh
xy230+=. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
10
= .

ã
PT ng thng (
D
) cú dng: axby(2)(1)0++=

axbyab20++= ab
22
(0)+ạ
Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+
7a
2
8ab + b
2

= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

ị
(
D
1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 4

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng dxy:2340++=.
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc
0
45 .

·
PT đường thẳng (
D
) có dạng: axby(–2)(1)0+-=
Û
axbyab–(2)0++= ab
22
(0)+¹.
Ta có:
ab

ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450--=
Û

ab
ab
5
5
é
=
ê
=-
ë

+ Với ab5= . Chọn ab5,1==
Þ
Phương trình xy:5110
D

+-=.
+ Với ab5 =- . Chọn ab1,5==-
Þ
Phương trình xy:530
D
-+=.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng dxy:220--= và điểm I(1;1) .
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng
d một góc bằng
0
45 .

·
Giả sử phương trình đường thẳng
D
có dạng: axbyc0++= ab
22
(0)+¹.
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2

1
2
.5
-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với ab3=
Þ

D
: xyc30++=. Mặt khác dI(;)10
D
=
c4
10
10

+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với ba3=-
Þ

D
: xyc30-+=. Mặt khác dI(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8

12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm: xy360;++= xy3140+-=; xy380;--= xy3120-+=.

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d
1
, d
2
có
phương trình lần lượt là xy320++=và xy340-+=. Gọi A là giao điểm của d
1
và d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt tại B , C
( B và C khác A ) sao cho
ABAC
22
11
+

đạt giá trị nhỏ nhất.

·
AddA
12
(1;1)=ÇÞ- . Ta có dd
12
^ . Gọi
D
là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên
D
. ta có:
ABACAHAM
2222
1111
+=³
(không đổi)
Þ
ABAC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM
2
1
khi H º M, hay
D
là đường thẳng đi qua M

và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
: xy20+-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2)- , dxy
1
:350++=, dxy
2
:350-+=. ĐS: xy:10
D
++=.

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng dxy():–3–40= và đường
tròn Cxyy
22
():–40+=. Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).

·
M
Î
(d)
Þ
M(3b+4; b)
Þ
N(2 – 3b; 2 – b)
N
Î

(C)
Þ
(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D: xy2340++=. Tỡm
im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45 .

ã

D
cú PTTS:
xt
yt
13
22
ỡ
=-
ớ
=-+
ợ
v VTCP u (3;2)=-
r
. Gi s Btt(13;22)
D
--+ẻ.
AB
0
(,)45
D
=
ị
ABu
1
cos(;)
2
=

uuurr

ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169156450
3
13
ộ
=
ờ
--=
ờ
ờ
=-
ở
.

Vy cỏc im cn tỡm l: BB
12
3242232
;,;
13131313
ổửổử
--
ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy:360--= v im N(3;4) .
Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch
bng
15
2
.

ã
Ta cú ON (3;4)=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON: xy430-=. Gi s Mmmd(36;)+ẻ.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1

(,).(,)3
2
D
D
===



mm
mmm
4.(36)313
3924151;
53
+--
=+==-=
+ Vi mM1(3;1)=-ị- + Vi mM
1313
7;
33
ổử
--
=ị-
ỗữ
ốứ


Cõu 19. Trong mt phng to Oxy, cho im A(0;2) v ng thng dxy:220-+=. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC .

ã

Gi s BbbCccd(22;),(22;)--ẻ.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
ABu.0=
uuur
r


B
26
;
55
ổử
ỗữ
ốứ

ị
AB
25
5
=
ị
BC
5

5
=
BCcc
2
1
125300180
5
=-+=
5
5



cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ở

Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30+-=, dxy
2
:90+-= v
im A(1;4) . Tỡm im BdCd
12
,ẻẻ sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã
Gi BbbdCccd
12
(;3),(;9)-ẻ-ẻ
ị
ABbb(1;1)=---
uuur
, ACcc(1;5)=--
uuur
.

D
ABC vuụng cõn ti A


ABAC
ABAC
.0
ỡ
=
ớ

=
ợ
uuuruuur



bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)
ỡ
---+-=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ c 1= khụng l nghim ca (*) nờn