Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử phonon quang)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 67 trang )
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
SA THỊ LAN ANH
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ
LƢỢNG TỬ CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
( TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
1
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Sa Thị Lan Anh
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ
LƢỢNG TỬ CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
( TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2012
2
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 4
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 4
CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ KHI CÓ MẶT CỦA TRƢỜNG BỨC XẠ
LASER TRONG BÁN DẪN KHỐI ............................................................................ 7
1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƢỢNG TỬ ..................................................................... 7
1.1. Khái niệm về hố lƣợng tử .................................................................................. 7
Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử. ............. 8
2. HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ KHI CÓ
MẶT TRƢỜNG BỨC XẠ LASER TRONG BÁN DẪN KHỐI. .......................... 9
2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối. .... 9
1.2. Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ phi tuyến ............................................... 14
CHƢƠNG 2 : HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIẾN TỬ
GIAM CẦM TRONG HỐ LƢỢNG TỬ KHI CÓ MẶT TRƢỜNG BỨC XẠ
LASER CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON. ........................ 23
2.1 Phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử khi có
mặt hai sóng trƣờng hợp phonon giam cầm......................................................... 23
Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong hố lƣợng tử bởi điện tử giam
cầm khi có mặt trƣờng bức xạ laser. ..................................................................... 37
CHƢƠNG 3 : TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO
HỐ LƢỢNG TỬ GaAs/ GaAsAl .............................................................................. 53
3.1 Tính toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hấp thụ
cho trƣờng hợp hố lƣợng tử
GaAs/GaAsAl: ......................................................................................................... 53
3.2 Thảo luận các kết quả thu đƣợc: ..................................................................... 57
KẾT LUẬN ................................................................................................................. 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 59
PHỤ LỤC .................................................................................................................... 61
3
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
MỞ ĐẦU
1.
Lý do chọn đề tài
Hệ bán dẫn thấp chiều trong đó có hệ hai chiều như: hố lượng tử, siêu mạng
hợp phần, siêu mạng pha tạp, … ngày càng được các nhà vật lý lý thuyết và thực
nghiệm quan tâm tìm hiểu và nghiên cứu. Việc chuyển từ hệ ba chiều sang các hệ
thấp chiều đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý cả về định tính lẫn định lượng của
vật liệu, Trong số đó, có bài toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên sóng
điện từ yếu trong các loại vật liệu.
Trong khi ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị
giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một (hoặc hai, ba) hướng tọa độ nào đó. Phổ năng
lượng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo phương này. Sự lượng tử hóa phổ
năng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng của vật liệu như:
hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương tác điện tử - phonon… Như
vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang hệ 2D, 1D đã làm thay đổi đáng kể những tính
chất vật lý của hệ.
Đối với hệ hai chiều (2D), cụ thể ở đây là hố lượng tử, Khi có sự tác dụng
của từ trường ngoài vào các hệ thấp chiều, trong trường hợp từ trường song song
với trục của hố, phổ năng lượng của điện tử trong trường hợp này trở nên gián
đoạn hoàn toàn. Chính sự gián đoạn hoàn toàn của phổ năng lượng một lần nữa lại
ảnh hưởng lên các tính chất phi tuyến của hệ.
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về sự ảnh hưởng của
sóng điện từ mạnh lên sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu khá
nhiều. Thời gian gần đây cũng đã những có công trình nghiên cứu về ảnh hưởng
sóng điện từ laze lên hấp thụ phi tuyến sóng điện tử yếu từ bởi điện tử giam cầm
trong các bán dẫn thấp chiều . Tuy nhiên, đối với hố lượng tử, sự ảnh hưởng của
trường bức xạ laze lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm vẫn còn là
4
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
một vấn đề mở, chưa được giải quyết. Do đó, trong luận văn này, tôi chọn vấn đề
nghiên cứu của mình là “Ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử có kể đến hiệu ứng giam
cầm của phonon (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon quang)”.
Về phƣơng pháp nghiên cứu: Có nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau
để giải quyết bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ như như lý thuyết hàm
Green, phương pháp phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp có một ưu
điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán
cụ thể. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động
lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai ta xây dựng
phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, áp dụng phương trình động
lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp
thụ. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn
thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Về đối tƣợng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của luận văn là cấu trúc
bán dẫn thấp chiều thuộc hệ hai chiều. Đối tượng đặc biệt đó là hố lượng tử.
Kết quả trong bài luận văn này đã đưa ra được biểu thức giải tích của hệ số
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt
trường bức xạ Laser có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ
điện tử - phonon quang). Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi
tuyến vào cường độ sóng điện từ E0 , phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào
nhiệt độ T của hệ, tần số của sóng điện từ và các tham số của hố lượng tử ( n,
L). Kết quả được đưa ra và so sánh với bài toán tương tự trong bán dẫn khối để
thấy được sự khác biệt. Ngoài ra một phần kết quả tính toán trong luận văn đã được
công nhận và gửi đăng tại PIERS Proceedings, Kuala Lumpur, MALAYSIA (2012)
1054-1059.
Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
phụ lục, khóa luận được chia làm 3 chương, 6 mục, 5 hình vẽ, tổng cộng là 52
trang:
Chƣơng I: Giới thiệu về hố lượng tử và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện từ
trong bán dẫn khối.
5
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
Chƣơng II: Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố
lượng tử khi có mặt trường bức xạ có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon.
Chƣơng III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho hố lượng tử
GaAs/ GaAsAl
Trong đó chương II và chương III là hai chương chứa đựng những kết quả chính
của luận văn.
6
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
CHƯƠNG I
GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƯỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ
YẾU BỞI ĐIỆN TỬ KHI CÓ MẶT CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER TRONG BÁN
DẪN KHỐI
1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƯỢNG TỬ
1.1. Khái niệm về hố lượng tử
Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,
được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc
tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độ
lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại
vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện
tử, làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn
bên cạnh. Và do vậy trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh,
chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hố thế lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt dị
tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Đặc điểm chung
của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là chuyển động của điện tử theo một
hướng nào đó (thường trọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của
điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lượng của điện
tử theo hướng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử
là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều,
mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật 1/2 (với là năng lượng
của điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng
thái bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và
quy luật khác 1/2 .
Các hố thế có thể được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy
hem
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong
hố lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt. Khi xây dựng
7
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
được cấu trúc hố thế có chất lượng tốt, có thể coi hố thế được hình thành là hố thế
vuông góc.
1.2Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử.
Xét phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử. Theo cơ học
lượng tử, chuyển động của điện tử trong hố lượng tử bị giới hạn theo trục của hố
lượng tử (giả sử là trục z), do đó năng lượng của nó theo trục z sẽ bị lượng tử hoá
và được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào đó n (n 0,1, 2) . Trong khi đó
chuyển động của các điện tử trong mặt phẳng (x,y) là tự do, phổ năng lượng của
điện tử sẽ có dạng Parabol thông thường:
( px2 p y2 )
2m
(1.1)
Với m: khối lượng hiệu dụng của điện tử; px , p y : các thành phần vectơ sóng của
điện tử theo các hướng x và y.
Phổ năng lượng tổng cộng của điện tử có dạng:
n
(1.2)
Để nghiên cứu sự hấp thụ sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng
tử, ta sử dụng mô hình lý tưởng hóa hố thế hình chữ nhật, có thành cao vô hạn.
Giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế này trong
trường hợp không có từ trường ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện
tử có dạng [2]:
2m
n
2
( px p y )
2
2
2
2
2
(1.3)
2mL
e (r ) 0ei p r sin( pzn z )
(1.4)
Với 0 : là hằng số chuẩn hóa; r , p : là vị trí và vectơ sóng của điện tử trong mặt
phẳng (x,y); p nz
n
: là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z.
L
Như vậy trong hố lượng tử khi không có từ trường, phổ năng lượng của
điện tử là sự kết hợp giữa phổ liên tục và phổ gián đoạn, không giống trong bán
8
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
dẫn khối, phổ năng lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự biến đổi phổ
năng lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện
tử trong hố lượng tử so với các mẫu khối.
Bây giờ giả sử có một từ trường được định hướng song song với trục của hố
lượng tử nghĩa là B (0,0,B). Khi đó từ trường chỉ ảnh hưởng lên chuyển động của
điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của hố lượng tử (mặt phẳng (x,y)), dẫn
đến phổ năng lượng của điện tử có dạng [3]:
1
n , N ( p ) ( N )B 0 n 2
(1.5)
2
22
với 0
2mL2
Trong đó: n= 0,1,2,3….: là số lượng tử hóa theo trục z; N= 0,1,2,3….: là chỉ số
mức phân vùng Landaure; B
eB
: tần số cyclotron;
mc
Như vậy, phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử khi có mặt từ trường
ngoài là gián đoạn hoàn toàn. Cần chú ý rằng, chuyển động trong mặt phẳng xy
được mô tả bởi số lượng tử N (chỉ số mức phân vùng Landauer).
2. HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ KHI CÓ MẶT
TRƯỜNG BỨC XẠ LASER TRONG BÁN DẪN KHỐI.
2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối.
Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:
H H e H ph H e ph
Với : H e
e
p c A(t ) a
p
ap
p
H ph
q bq bq
q
(1.6)
9
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
H e ph
Cq ap q ap bq bq
q, p
(1.7)
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
i
n p (t )
t
a p a p , Hˆ
(1.8)
t
Trong đó:
ap , ap là toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái | p
bq , bq là toán tử sinh, hủy phonon âm ở trạng thái | q
p, q là xung lượng của điện tử và phonon trong bán dẫn
Từ Hamilton và mối liên hệ giữa các toán tử, sử dụng các hệ thức giao hoán, sau
một số phép biến đổi ta thu được:
i
n p (t )
t
Cq Fp , p q , q (t ) Fp* q , p , q (t ) Fp , p q , q (t ) Fp*, p q , q (t )
(1.9)
q
Với Fp1 , p2 , q (t ) a p1 a p2 bq
t
Để giải (1.3) ta cần tính Fp , p , q (t ) thông qua phương trình:
1
i
Fp , p , q (t )
1
2
t
2
a p a p bq ; H
1
2
(1.10)
t
Thay Hamilton H vào phương trình, tính toán từng số hạng ta thu được:
10
Sa Thị Lan Anh
i
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
Fp , p , q (t )
1
2
t
Cq a a p
p1
1
Cq a
p1 q 1
e
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) q Fp , p , q (t )
mc
1 2
q1
2
q1
b bq b
q1 q
1
1
q1
t
b
q1
a p bq b
2
1
(1.11)
q
t
Phương trình (1.9) là phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện
Fp , p , q (t ) 0 .
1
2
Để giải (1.9) trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng.
Fp , p , q (t )
e
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) q Fp , p , q (t )
t
mc
1 2
dF
i
e
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) q dt
F
mc
i
1
2
( p ) ( p ) mc p
i
t
ln F
e
2
1
2
p1 A(t1 ) q dt1
t i
e
F o p1 , p 2 , q (t ) exp ( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t1 ) q dt1
mc
Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:
F M (t ).F o (t )
F
M ' (t ).F o (t ) M (t ) F o ' (t )
t
Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiêm ta được:
i
Fp , p , q (t ) Cq a p q a p bq bq bq
1
2
1
1
1
2
1
1
q1
t
t2
a p a p
1
2
t
i
ie
exp p p q t t2
p
p
A
(
t
)
dt
1
2
1
1 dt2
1
2
mc t 2
Thay (1.12) vào (1.8) ta được:
11
b bq bq
q1 q
1
1
t2
(1.12)
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
t
i
ie
exp p q p q t t2
q
A
(
t
)
dt
1
1 dt 2
mc t2
i
Cq ap q ap q bq bq b q
1
1
1
1
q1
t
t2
ap q q ap bq b q bq
1
1
1
t2
t
i
ie
exp
p p q q t t2
q
A
(
t
)
dt
1
1 dt 2
mc t2
i
n p (t )
t
1
2
| C
2
q
|
q
t
i
ie
dt ' n pq (t ' ) N q n p (t ' )( N q 1) exp p pq q t t '
q
A
(
t
)
dt
1
1
mc t '
t
i
ie
n p (t ' ) N q n p q (t ' )( N q 1) exp p pq q t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
t
i
ie
n p (t ' ) N q n p q (t ' )( N q 1) exp p q p q t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
t
i
ie
n p q (t ' ) N q n p (t ' )( N q 1) exp p q p q t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
t
(1.13)
cEo1
cEo 2
cos 1t
cos 2t
Thay: A(t )
1
2
và áp dụng khai triển: exp( iz sin )
J ( z) exp(i ) ta có:
ie Eo1 q
ie t
ie Eo 2 q
exp
q
A
(
t
)
dt
exp
sin
t
'
sin
t
sin
t
'
sin
t
1
1
1
1
2
2
2
m 22
mc t '
m1
eE q eE q
J l o1 2 J s o1 2 exp(is1t ' ) exp( il 1t )
l , s
m1 m 2
eE q eE q
J f o 22 J m o 22 exp(if 2t ' ) exp( im 2t )
f ,m
m1 m 2
12
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
e Eo1
;
m12
Đặt: a1
a2
e Eo 2
thì:
m 22
ie t
exp
q
A
(
t
)
dt
J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q
1
1
mc
t'
l ,s ,m, f
expi( s l )1 (m f ) 2 texp i ( s1 m 2 )(t t ' )
Thay kết quả này vào (1.7) và đưa vào thừa số: e-δ(t-t’) (δ→+0) ta có:
i
n p (t )
t
1
2
| Cq |
q
J a q J
2
l
l , s ,m , f
1
s
a q J a q J a q exp i(s l ) (m f ) t
1
m
2
f
2
1
2
i
dt ' n p q (t ' ) N q n p (t ' )( N q 1) exp p p q q s1 m 2 i t t '
t
n
i
1) exp
i
n p (t ' ) N q n p q (t ' )( N q 1) exp p p q q s1 m 2 i t t '
i
n p (t ' ) N q n p q (t ' )( N q 1) exp p q p q s1 m 2 i t t '
(t ' ) N q n p (t ' )( N q
pq
(1.14)
pq
p q s1 m 2 i t t '
Phương trình (1.14) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không
cân bằng của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ E1 (t ) và E 2 (t ) Ta
giải (1.8) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n p (t ) n p và tính các tích
phân sau:
exp
t
K1
i
p
p q q s1 m 2 i
t
K2
exp i (s l )1 (m f )2 t ' dt '
13
t t ' dt '
exp i ( s l )1 (m f ) 2 t '
i ( s l )1 (m f ) 2
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
Với các tích phân K1 và K2 đã tính được:
1
n p (t ) 2
| C
q
q
|
J a q J
2
l
l , s ,m , f
1
a q J a q J a q expii(s(sl )l) (m(mf f)) t '
1
s
1
m
2
f
2
2
1
2
n p q N q n p ( N q 1)
n p N q n p q ( N q 1)
s
m
i
s
m
i
1
2
1
2
p q
q
p
p q
q
p
n p N q n p q ( N q 1)
n p q N q n p ( N q 1)
p q p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
(1.15)
1.2. Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ phi tuyến
Véc tơ mật độ dòng: J (t )
Hay: J (t )
với
n
p
e e
p c A(t ) n p (t )
m p
e2
e
e 2 no
e
A
(
t
)
n
(
t
)
p
n
(
t
)
A(t ) pn p (t )
p
p
mc p
m p
mc
m p
(1.16)
(t ) no
p
Ta xét số hạng thứ hai:
2
e
e
exp i( s l )1 (m f ) 2 t '
p
n
(
t
)
|
C
|
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
q
l
1
s
1
m
2
f
2
p
q
m p
m q
i( s l )1 (m f ) 2
l , s ,m , f
n p q N q n p ( N q 1)
n p N q n p q ( N q 1)
p
s
m
i
s
m
i
1
2
1
2
p
p
p q
q
p
p q
q
n p N q n p q ( N q 1)
n p q N q n p ( N q 1)
pq p q s1 m 2 i pq p q s1 m 2 i
(1.17)
k l s l k s
r l m f r m
Đặt
k :
r :
ta có:
14
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
2
e
e
exp ik1 r 2 t '
p
n
(
t
)
|
C
|
J k s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q
p
q
m* p
m* q
ik1 r 2
l , s ,m , f
n pq N q n p ( N q 1)
n p N q n pq ( N q 1)
p
p
p pq q s1 m 2 i p pq q s1 m 2 i
n p N q n pq ( N q 1)
n p q N q n p ( N q 1)
pq p q s1 m 2 i pq p q s1 m 2 i
Thực hiện các bước chuyển đổi: q q, m m và sử dụng tính chất hàm
Bessel J ( x) J ( x) (1) J ( x)
exp i k 1 r 2 t '
e
e
2
(t )
|
pn
|
C
p q n p q N q n p ( N q 1)
p
q
m* p
m* q
i k 1 r 2
k , s , m , r
p
J s k a1 q J s a1 q J m a2 q J mr a2 q
J k s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q
p q p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
p n p q N q n p ( N q 1)
J k s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q
J s k a1 q J s a1 q J m a2 q J mr a 2 q
p q p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
(1.18)
2
e
e
exp ik1 r 2 t '
p
n
(
t
)
|
C
|
q
p
q
k1 r 2
m* p
m * q, p
k , s ,m ,r
J a q J a q
J s a1 q J m a2 q n pq N q n p ( N q 1)
s k
1
mr
2
pq p q s1 m 2 i
(1.19)
pq
J k s a1 q J r m a2 q
p q s1 m 2 i
Áp dụng công thức sau:
exp ik1 r2 t cos(k1 r2 )t i sin(k1 r2 )t
Và
1
i ( x)
x i x
15
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng J (t ) , ta có:
e
e
2
n p q N n p ( N 1) J k s a1 q J r m a2 q
|
pn
(
t
)
|
C
qJ
a
q
J
a
q
s
1
m
2
q
q
m * p p
m * q , p q k , s ,m,r
cos (k 1 r 2 )t
sin (k 1 r 2 )t
J s k a1 q J mr a2 q
(i )
k 1 r 2 s1 m 2
k
r
1
2
pq
p
q
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q (i ) p q p q s 1 m2
Suy ra:
n p q N q n p ( N q 1)
2
e
e
pn p (t )
| Cq | q
J s a1 q J m a2 q
k1 r 2
m* p
m * q, p
k , s ,m ,r
cos(k1 r 2 )t
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
s
m
1
2
pq
p
q
(1.20)
s m
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q sin(k1 r 2 )t
pq
p
q
1
2
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.10) ta thu được:
J (t )
n pq N q n p ( N q 1)
e 2 no
2
e
A(t )
|
C
|
q
J s a1 q J m a2 q
k1 r 2
mc
m * q , p q k ,s ,m ,r
cos(k1 r 2 )t
J k s a1 q J r m a2 q J sk a1 q J mr a2 q
pq p q s1 m 2
(1.21)
s m
J k s a1 q J r m a2 q J sk a1 q J mr a2 q sin(k1 r 2 )t
pq
p
q
1
2
Tính hệ số hấp thụ phi tuyến
Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với
giả thiết 2 1 như sau:
16
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
8
J (t ) E o 2 sin 2t
c Eo22
(1.22)
t
Thay (1.21) vào (1.22) ta được:
8 e 2 no
e
A
(
t
)
E
o 2 sin 2t
pn p (t )E o2 sin 2t
m
c Eo22 mc
p
t
t
Ta tính số hạng thứ nhất.
Với thế vectơ trường sóng điện từ: A(t )
Eo1c
E c
cos 1t o 2 cos 2t
1
2
T
e2 no
e 2 no 1 Eo1c
Eo 2c
E o 2 sin 2tdt
A(t ) E o 2 sin 2t
cos
t
cos
t
1
2
o 1
mc
mc
T
2
t
Trong đó: T1
2
2
và T2
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội
1
2
chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Sử dụng tích phân:
sin(ax) cos(bx)dx
cos(a b) x cos(a b) x
với a 2 b 2
2(a b)
2(a b)
e 2 no
A(t ) E o 2 sin 2t
Suy ra:
mc
0
(1.23)
(1.24)
t
Ta tính số hạng thứ hai. Theo (1.24) ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa
cos(k1 r2 )t sẽ cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:
17
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
e
pn p (t ) E o 2 sin 2t
m p
e E o 2
m
q | Cq |
2
q, p
J a qJ a q J a qJ a q
k s
r m
1
t
sk
2
mr
1
2
pq
n
pq
k , s , m , r
N q n p ( N q 1)
k1 r2
J a qJ a q
s
1
p q s1 m 2
T
1
sin(k1 r 2 )t sin 2tdt
T 0
T
0
khi k1 r 2 2
0
2
khi k1 r 2 2
Lưu ý: sin(k1 r 2 )t sin 2tdt T
Suy ra:
e
pn (t ) E o 2 sin 2t
m p p
J a qJ a q J a qJ a q
k s
1
r m
t
sk
2
2
e E o 2
q
|
C
|
q , s,m,r n p q N q n p ( N q 1) J s a1 q J m a2 q
2m 2 q , p
mr
1
2
pq
p q s1 m 2
(1.25)
Với k1 r2 2
(1.26)
Thay (1.25) vao (1.22) ta được hệ số hấp thụ:
4 2 e
c m 2 Eo 2
q | Cq |
q, p
2
s ,m
n
pq
N q n p ( N q 1) J s a1 q J m a2 q
J a qJ a q J a q J a q
k s
1
r m
2
s k
1
mr
2
pq
p q s1 m 2
Từ biểu thức hàm Bessel:
2 s k
2 s
a1 q
a1 q
(1)
( 1)
0 !( s k 1) 2
0 !( s 1) 2
k
k
( s 1)
( s 1) a1 q a1 q
J s (a1 q)
( s k 1) 2 2
0 ( s k 1)
J s k (a1 q)
18
m
2
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
Vậy
a q k a q r ( s 1)
(m 1)
a2 q 1 2
2 2 0 ( s k 1) (m r 1)
J a q J a q J a q J
k s
r m
1
a q
1
2
k
s k
2
a2 q
2
2 k r
(a1 q) k (a2 q) r
r
mr
1
( s 1)
(m 1)
J s (a1 q ) J m (a2 q)
0 ( s k 1) ( m r 1)
a q 2 k a q 2 r
( s 1)(m 1)
( s 1)(m 1)
1 2
( s k 1)(m r 1) ( s k 1)(m r 1)
0 2 2
J s (a1 q) J m (a2 q)
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1 Eo 2 ta cho r=1;k=0
(thoả mãn giả thiết k1 r2 2 ta được:
J
m1
(a2 q) J m1 (a2 q) J s (a1 q)
2m
J s (a1 q) J m (a2 q)
(a2 q)
Suy ra:
4 2e
c m 2 Eo 2
q | Cq | n pq N q n p ( N q 1)
2
q, p
pq p q s1 m 2
8 2 2
c Eo22
q , p s , m
2m 22 2
mJ s a1 q J m2 a2 q
s ,m E o 2 q
(1.27)
Cq | n p q N q n p ( N q 1) mJ s2 a1 q J m2 a2 q
2
p q p q s1 m 2
(1.28)
Viết dãy theo k, l trong công thức (1.28) dễ thấy các thành phần ứng với
s1 m2 0 tương hỗ triệt tiêu. Trong trường hợp khi 1 ,2 lớn so với năng
lượng trung bình điện tử ( p ) thì hàm trong (1.28) được viết lại là:
q2
pq p q s1 m 2
q s1 m 2
2m
19
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
Từ đó ta tìm được thứ tự của k1, 2 1 / 2 theo các giá trị của q.
Sử dụng điều kiện tần số phonon q
n
p
rút ra 1, 2
p
ms 2
với s là tốc độ
p không còn phụ thuộc vào phần đối số của , ta
sóng âm. Như vậy tổng theo
thực hiện lấy tổng
p
(t ) no
p
Xét tán xạ điện tử - phonon quang ta có: q o và
2
Cq
2o
oq2
1
1
và N 1 N k BT
q
q
o
o
Từ (27) ta được:
8 2 2 2o 1
1 k BT
1
n pq n p
2
o o o q q 2
c E
pq p q s1 m 2
o2
16 3e 2 k BTno 2 1
1 1
2
2
c Eo o o q q
s ,m
mJ a q J a q
2
s ,m
s
2
1
m
2
mJ s2 a1 q J m2 a2 q pq p q s1 m 2
(1.29)
Áp dụng gần đúng: 1, 2 p , ta có:
q2
16 3e 2 k BTno 2 1 1 1
2
2
mJ
a
q
J
a
q
s
m
1
2
o
1
2
2
2m
m
c E o2 o o q q s ,m s
(1.30)
Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu 2 (m=1) và hạn chế gần
đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:
J1 ( x)
x (1) k x 2 k
2 k 0 2 2 k k!(k 1)!
a2 q
mJ
a
q
m
2
2
2
m
2
x x2
1
2
8
a q 2
1 2
2
Thay vào (24) ta được:
16 3e 2 k BTno 2 1 1 1
2
c E o2 o o q , p q s
a2 q
2
chỉ tồn tại các giá trị q và s thoả mãn:
20
2
a q 2
q2
1 2 J 2 a1 q o s1 m 2
2 s
2m
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
q2
o s1 m 2 0 suy ra:
2m
s o
q 2ms1 m 2 o 2m 2 1 1
2
Và lưu ý:
a q
mJ m2 a2 q 2
m
2
2
1 eE q 2
a q 2 eE q 2
1 2 o 22 cos 2 1 o 22 cos 2
2 m 2
2 m 2
Vậy:
16 3e 2 k BTno 2 eEo 2
2
c E o2 o 2m 2
2
1
1 1
2
o q q
2
s
o
eE 2m 1 1
o2
2
2
s1 o
1
4 2
cos2
cos
J
a
2
m
1
cos
s 1
2
2
2
2
m
s
2
2
Đặt: 1 ; 2m 2 suy ra:
2
4 3e 4 k BTno
c o 2 m 2 32
1
1
o s
e 2 E o22 1 o s
2
1
2
4
cos
cos
3
2
4m 2
J s2 a1 1 o cos
2
Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, hem ay thế:
1 2 eEo q
2 eE q
Jm
J m
2
0 m2 y dy
m
Suy ra:
21
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
o
2 2
e
E
1
s
o2
2
4 3e 4 k BTno 1
1 2
4
cos
cos
4m32
c o 2 m 2 32 o s
e 2 E o22 1 o s
2
2
2
4
o
J s a1 1
s y dy cos
cos
3
4
m
s
2
2
0
1
1
J
0
2
s
a1 1 o s y dy
2
(1.31)
22
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
CHƯƠNG II
HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIẾN TỬ GIAM CẦM TRONG
HỐ LƯỢNG TỬ KHI CÓ MẶT TRƯỜNG BỨC XẠ LASER CÓ KỂ ĐẾN HIỆU
ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON.
2.1 Phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong hố lượng tử
khi có mặt hai sóng trường hợp phonon giam cầm.
Với mục đích thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm
trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ laser, chúng ta thiết lập phương trình
lượng tử cho toán tử số hạt (hàm phân bố electron).
Xét Hamiltonian của hệ điện tử-phonon quang trong hố lượng tử khi có mặt
sóng điện từ dưới dạng hình thức luận lượng tử hóa lần thứ hai:
H H e H oph H eoph
(2.1)
Ở đây:
Năng lượng của điện tử không tương tác:
He
n (k
n ,k
e
A(t )) an ,k an ,k
c
(2.2)
Năng lượng của phonon không tương tác:
H oph
m ,q
m ,q
bm ,q bm ,q
(2.3)
Năng lượng tương tác điện tử-phonon quang:
H eoph
Cm,q mn,n ' (qz )a a (bm,q bm,q )
n ,n ',k m ,q
n ',k q
n ,k
(2.4)
Trong đó:
an,k an,k : toán tử sinh (hủy) điện tử giam cầm trong trạng thái n, k
bm ,q bm,q : toán tử sinh (hủy) phonon giam cầm ở trạng thái
23
m, q
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
e
n (k A(t )) : năng lượng của điện tử
c
m,q : năng lượng của một phonon giam cầm
A(t ) : thế vectơ của trường điện từ.
Cm,q : hệ số tương tác điện tử-phonon quang:
2
C
m ,q
2
2 e
mq
V0
(
1
1
0
)
1
m 2
q 2 (
)
L
(2.5)
Với là hệ số điện môi cao tần, 0 là hệ số điện môi tĩnh, 0 hằng số điện
môi trong chân không, V là thể tích của vật liệu.
I
m
2L
n ' z iqz z
n z
dz
n,n ' ( q z ) L sin( L ) sin( L )e
0
(2.6)
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử có dạng:
i
nn,k (t )
t
an,k an,k , H
(2.7)
t
Số hạng thứ nhất:
e
'
sht1 t a n,k a n ,k ,
A
(
t
)
a
a
' k
'
'
n' , k n' ,k
n
c
n' ,k '
t
Ta có:
e
sh1 n' k ' A(t ) an,k an,k , a ' ' a ' '
c
n ,k n ,k
e
'
0
k
A
(
t
)
a
a
' ' a ' ' a ' '
'
' '
n
,
k
n
,
n
n ,k
k ,k
n ,k n , k n ,n k ,k
n
' '
c
n ,k
24
Sa Thị Lan Anh
Luận văn thạc sỹ 2010 – 2012
sh1 t 0
Vậy:
(2.8)
Số hạng thứ 2:
sht 2
t
,
b b
a
a
m , q m ,q m ,q
n , N , k n , N , k m ,q
m ,q an , N ,k an , N ,k , bm ,q bm ,q
m ,q
t
(2.9)
0
t
Số hạng thứ 3:
1
sh3 t an,N ,k an,N ,k , Cm,q I m n1 ,n1 ' (qz ) ac2 q2 ) an ',N ',k1 q an ,N ,k (bm,q b m,q )
1 1
1 1
2
n1 ,n1 ',k1 m ,q
Cm,q I mn ,n ' (qz ) an,N ,k an,N ,k , an ',N ',k
n1 ,n1 ',k1 m,q
1 1
1
1
1 q
an ,N ,k1 (bm,q b m,q )
1 1
t
t
(2.10)
Sử dụng các hệ thức đại số toán tử, ta có :
a a , a a
n,k n,k n1 ',k1 q n1 ,k1
an,k an ,k1 n,n' k ,k q an' ,k1 q an ,k n,n1 k k1
1
1
1
1
an' ,k an ,k q an' ,k q an ,k
1
1
1
1
Từ đó suy ra:
C
sh3 t
n1 ,n1 ',k m ,q
=
m ,q
C
n ,n ',k
m ,q
I m n1 ,n1 ' (qz ) a n' ,k an ,k q a
m ,q
,
1
a
n1 , k
(b b )
m ,q
m , q
I m n,n ' (q z )
Fkn',nq,m k , q (t ) Fk*n,,kn',mq
1
n1' , k q
,q
(t ) Fkn',,nk,mq
, q
(t ) Fk*n,nq',m,k , q (t )
(2.11)
25
