Chuyên đề 1 đại số 12 khảo sát hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số
Bài 1

HDedu - Page 1


HDedu - Page 2


HDedu - Page 3


HDedu - Page 4


HDedu - Page 5


HDedu - Page 6


HDedu - Page 7


HDedu - Page 8


I. CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM.
1. Bài toán về hàm số đơn điệu: Đề MH2 có 2 câu về chủ đề này (1NB, 1VD)
A. Lý thuyết:

Có 2 hướng các em hs cần nắm vững:
Hướng 1: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

( )

( )

+ Nếu f ' x ≥ 0 với mọi x ∈ K và f ' x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f
đồng biến trên K .
+ Nếu f ' x ≤ 0 với mọi x ∈ K và f ' x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f

( )

( )

nghịch biến trên K .
Chú ý:

ax + b 
d
 x ≠ −  thì dấu " = " khi xét dấu đạo hàm y ′ không xảy ra.
cx + d 
c
Hướng 2: Giúp hs nhìn bảng biến thiên (hoặc bảng dấu y’) mà trả lời.

Đối với hàm phân thức=
hữu tỉ y

B. Các ví dụ:

Ví dụ 1. (C10 MH2 2020)

Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞; −1) .
B. (0;1) .
C. ( −1; 0) .
D. ( −∞; 0) .
Hướng dẫn
NX: BT này là BT về đọc BBT.

Ví dụ 2. Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào

dưới đây?

A. ( −2; 2 ) .
NX: BT này là BT về đọc đồ thị.

B. ( −∞; 0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2; + ∞ ) .

Hướng dẫn

HDedu - Page 9

Ví dụ 3. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng ( −∞; + ∞ ) ?

A. y =

x +1
.
x+3

B. y =− x3 + x + 1 .

C. y =

x −1
.
x−2

D. y =
− x3 + 3x 2 − 9 x .

Hướng dẫn
NX: Đây là BT cần tính toán đạo hàm cấp 1 để chỉ ra sự đơn điệu của hàm số. Vì tập xác định của hàm
phân thức nên hs cần biết để loại nhanh chúng.

Ví dụ 4. (C41 MH2 2020)

f ( x) =

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

1 3

x + mx 2 + 4 x + 3 đồng biến trên  ?
3
A. 5.
B. 4.

C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn
NX: Bài này thuộc cấp VD. HS cần hiểu về điều kiện HS đồng biến và điều kiện tam thức không đổi dấu
trên  .

Ví dụ 5. (C39 MH1 2020) Cho hàm số f ( x ) =

hàm số đã cho đồng biến trên ( 0; +∞ ) ?
A. 5 .

mx − 4
(m là số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
x−m

B. 4 .

C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn
NX: là bài xét sự đơn điệu trên 1 miền nào đó của hàm phân thức 1/1. Vì vậy chú ý 2 điều: Đk tồn tại cho
hs và đạo hàm không có dấu bằng.

C. Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ôn)
1. (C4 MH1 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
A. (1; +∞ ) .
B. ( −1;0 ) .
C. ( −1;1) .

D. ( 0;1) .

HDedu - Page 10


2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞; −1) .

B. ( −1; +∞ ) .

C. ( 0;1) .

D. ( −1;0 ) .

3. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2; 2 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 3; + ∞ ) .

D. ( −∞;1) .

4. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số luôn đồng biến trên  .

B. Hàm số nghịch biến trên (1; +∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên ( −1; +∞ ) .

D. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; −1) .

5. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. ( 0; 2 )
3

B. ( −2; 2 )

C. ( −∞;0 )

D. ( 2; +∞ )

2

6. Hàm số y = x − x − x + 3 nghịch biến trên khoảng

1


A.  −∞; −  .
3


B. (1; + ∞ ) .

 1 
C.  − ;1 .
 3 

Hàm số y =
− x 4 + 8 x 2 + 6 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −∞; −2 ) và ( 2;+∞ ) .

B. ( −2;2 ) .

1

D.  −∞; −  và (1; + ∞ ) .
3


C. ( −∞; −2 ) và ( 0;2 ) .

D. ( −2;0 ) và ( 2;+∞ ) .

7. Tìm tất cả các giá thực của tham số m để hàm số y = 2 x − 3 x − 6mx + m nghịch biến trên ( −1;1) .
3

2

1
1
C. m ≤ − .
D. m ≥ .
4
4
3
2
8. Cho hàm số y = x + 3 x − mx − 4 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên
A. m ≥ 2 .

B. m ≥ 0 .

khoảng ( −∞;0 ) là

HDedu - Page 11


B. ( −∞; − 4] .

A. ( −1; + ∞ ) .

C. ( −∞; − 3] .

D. ( −1;5 ) .

9. Cho hàm số: y = ( m − 1) x + ( m − 1) x − 2 x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
3

2

hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?
A. 5 .
B. 6 .
C. 8 .
D. 7 .
4
2
2
2
10. Hàm số y =
−3 x − ( 3m − 3m + 1) x + 5m − 2m + 2 nghịch biến trong khoảng nào?
A. ( 2; +∞ ) .

B. ( 0;+ ∞ ) .

C. ( −∞;0 ) .

D. ( −4;+ ∞ ) .

HDedu - Page 12


Bài 2

HDedu - Page 13

HDedu - Page 14


HDedu - Page 15


HDedu - Page 16


HDedu - Page 17


HDedu - Page 18


HDedu - Page 19


HDedu - Page 20


HDedu - Page 21


HDedu - Page 22


HDedu - Page 23

HDedu - Page 24


2. Bài toán về cực trị: Đề MH2 có 2 câu về chủ đề này (1NB, 1TH)
A. Lý thuyết: (HS cần nắm các quy tắc sau)
Quy tắc 1:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ′ x .
• Bước 2: Tìm các điểm x i

( )
(i = 1;2;...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục

nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ′ x . Nếu f ′ x đổi dấu khi đi qua x i thì hàm số

( )

( )

đạt cực trị tại x i .

Quy tắc 2:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ′ x .

(

( )

( )

)

• Bước 2: Tìm các nghiệm x i i = 1;2;... của phương trình f ′ x = 0.

( )

( )

• Bước 3: Tính f ′′ x và tính f ′′ x i .

( )
Nếu f ′′ ( x ) > 0 thì hàm số f

∗ Nếu f ′′ x i < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x i .
∗

i

đạt cực tiểu tại điểm xi .

B. Các ví dụ:
Ví dụ 6. (C13 MH2 2020) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = −2 .

B. x = 2 .

C. x = 1 .

D. x = −1 .

Hướng dẫn
NX: là bài hướng dẫn HS đọc bảng BBT để tìm điểm CĐ hs. HS căn cứ vào QT1 để tìm.

Ví dụ 7. (C27 MH2 2020) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của f ′( x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn
NX: là bài hướng dẫn HS đọc bảng dấu f '( x ) để tìm số điểm cực trị hs. HS căn cứ vào QT1 để tìm.

HDedu - Page 25