Phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ VIẾT TRƢỜNG

PHƢƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM HỢP
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2020


i

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH. Nguyễn Văn
Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn
tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học-Đại học
Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các quý thầy, cô giáo đã trực
tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K12 đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập
và nghiên cứu trong suốt thời gian qua.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân, bạn
bè, đồng nghiệp luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao
học và viết luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và
hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2020
Tác giả

Vũ Viết Trường


ii

Mục lục
MỞ ĐẦU

1

Chương 1. Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số.
1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số và tập hợp . . . . . . . . .
1.2 Đặc trưng hàm và các tính chất liên quan . . . . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Đặc trưng của các hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . .
1.3.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . .
1.4 Dãy số sinh bởi hàm hợp f (αx + β) . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Phương pháp giải các phương trình hàm trên tập
2.1 Sử dụng nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ứng dụng bài toán dãy số vào giải phương trình hàm . . . .
2.2.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sử dụng đánh giá bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Một vài ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Sử dụng nguyên lý cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

rời
. .
. .
. .

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

2
2
3
3
5
6
8
8

13
17

rạc
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .

20
20
20
20
25
26
26
26
28
28
28

29
31
31
31

.
.
.
.
.
.
.
.
.


iii

2.5

2.6

2.4.2 Một vài ví dụ minh họa .
2.4.3 Bài tập áp dụng . . . . .
Hàm số sử dụng tính chất số học
2.5.1 Lý thuyết . . . . . . . .
2.5.2 Một vài ví dụ minh họa .
2.5.3 Bài tập áp dụng . . . . .
Hàm số và hệ đếm cơ số . . . . .
2.6.1 Lý thuyết . . . . . . . .

2.6.2 Một vài ví dụ minh họa .
2.6.3 Bài tập áp dụng . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

31
33
34
34
34
40
42
42
43
46

Chương 3. Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập
số nguyên qua các kỳ Olympic
49
3.1 Các dạng toán về xác định dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Một số dạng toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
KẾT LUẬN

68

TÀI LIỆU THAM KHẢO

69


1

Mở đầu

Luận văn nhằm cung cấp một số dạng toán và phương pháp giải phương trình
hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên.
Chuyên đề nằm trong chương trình bồi dưỡng HSG ở các lớp THPT phục vụ
các kỳ thi các tỉnh, quốc gia và khu vực.
Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan tới phương
trình hàm sinh bởi các hàm hợp thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này
thường được xem là thuộc loại rất khó vì phần kiến thức về chuyên đề này không
nằm trong chương trình toán lớp 12 bậc trung học phổ thông.
Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên
đề phương trình hàm, tôi chọn đề tài luận văn "Phương trình hàm sinh bởi hàm
hợp trên tập số nguyên".
Tiếp theo, khảo sát một số lớp bài toán từ các đề thi HSG Quốc gia và các tỉnh
thành trong cả nước những năm gần đây.
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số.
Chương 2. Phương pháp giải các phương trình hàm trên tập rời rạc.
Chương 3. Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên
qua các kỳ Olympic.
Tiếp theo, cuối các chương đều trình bày các bài tập áp dụng và các đề thi HSG
quốc gia và Olympic liên quan.


2

Chương 1. Một số kiến thức liên quan
đến đặc trưng hàm số
Trong chương này, tác giả hệ thống lại các tính chất cơ bản của hàm số, đặc
trưng hàm và các tính chất liên quan, khái niệm hàm số tuần hoàn, phản tuần
hoàn và các đặc trưng của hàm tuần hoàn. Các kết quả trong chương 1 được trích
dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [4] và [8].

1.1

Các tính chất cơ bản của hàm số và tập hợp

Định nghĩa 1.1 (xem [2]). Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt
tương ứng mỗi phần tử x của X với một (và chỉ một) phần tử của Y . Phần tử này
được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x).
- Tập X được gọi là tập xác định của f . Tập hợp Y được gọi là tập giá trị của
f.
- Ánh xạ f từ X đến Y được kí hiệu là

f :X→Y
x → y = f (x)
- Khi X và Y là các tập số thực, ánh xạ f được gọi là một hàm số xác định
trên X
- Cho a ∈ X, y ∈ Y . Nếu f (a) = y thì ta nói y là ảnh của a và a là nghịch ảnh
của y qua ánh xạ f .
- Tập hợp Y = {y ∈ Y |∃x ∈ X, y = f (x)} gọi là tập ảnh của f . Nói cách khác,
tập ảnh f (X) là tập hợp tất cả các phẩn tử của Y mà có nghịch ảnh.
Định nghĩa 1.2 (xem [2]). Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu với
a ∈ X, b ∈ X mà a = b thì f (a) = f (b), tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai
ảnh phân biệt.


3

Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với a ∈ X, b ∈ X
mà f (a) = f (b), ta phải có a = b.
Định nghĩa 1.3 (xem [2]). Ánh xạ f : X → Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi

phần tử y ∈ Y đều tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x). Như vậy f là
toàn ánh nếu và chỉ nếu Y = f (X).
Định nghĩa 1.4 (xem [2]). Ánh xạ f : X → Y được gọi là song ánh nếu nó vừa
là đơn ánh vừa là toàn ánh. Như vậy ánh xạ f : X → Y là song ánh nếu và chỉ
nếu với mỗi y ∈ Y , tồn tại và duy nhất một phần tử x ∈ X để y = f (x) .
Định nghĩa 1.5 (xem [2]). Ánh xạ ngược của f , được kí hiệu bởi f −1 , là ánh
xạ từ Y đến X gán cho mỗi phần tử y ∈ Y phần tử duy nhất x ∈ X sao cho
y = f (x).
Như vậy f −1 (x) = y ⇔ f (x) = y.
Nếu f không phải là song ánh thì ta không thể định nghĩa được ánh xạ ngược
của f . Do đó chỉ nói đến ánh xạ ngược khi f là song ánh.
Nhận xét 1.1. Một số lưu ý khi áp dụng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh
giải phương trình hàm
+) Nếu f : R → R là đơn ánh thì từ f (x) = f (y) suy ra x = y .
+) Nếu f : R → R là toàn ánh thì với mọi y ∈ R, luôn tồn tại x ∈ R để cho
f (x) = y , tức là phương trình (ẩn x) y = f (x) luôn có nghiệm.
+) Nếu f là một hàm số mà đơn ánh thì ta rất hay dùng thủ thuật tác động f
vào hai vế, hoặc tạo ra f (ϕ (x)) = f (φ (x)) suy ra ϕ (x) = φ (x) .
+) Nếu f là toàn ánh thì ta hay dùng: Tồn tại một số b sao cho f (b) = 0 , sau
đó tìm b. Nếu quan hệ hàm là hàm bậc nhất của biến ở vế phải thì có thể nghĩ
đến tính đơn ánh, toàn ánh.
+) Nếu f : R → R là toàn ánh và f (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ T, ở đây T là tập giá trị
của hàm f thì f (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ R.
Về sau, trong luận văn này ta chỉ xét các ánh xạ là các hàm số xác định và
nhận giá trị trên tập hợp các số thực.

1.2
1.2.1

Đặc trưng hàm và các tính chất liên quan

Khái niệm phương trình hàm

Phương trình hàm được hiểu là các phương trình mà hai vế của phương trình
được xây dựng từ một số hữu hạn các hàm chưa biết (của một số hữu hạn các


4

biến) và từ một số hữu hạn các biến độc lập. Phép xây dựng này được thực hiện
từ một số hữu hạn các hàm đã biết (một hay nhiều biến) và bởi một số hữu hạn
các phép thay thế các hàm đã biết hoặc các hàm chưa biết thành các hàm đã biết
hoặc chưa biết khác.
Trong bài báo của Kuczma [8] đã trình bày rất chi tiết về lý thuyết phương
trình hàm như sau:
Định nghĩa 1.6 (Định nghĩa ”từ” trong phương trình hàm). Một từ được định
nghĩa theo các điều kiện sau đây:
1◦ Các biến độc lập được gọi là các từ.
2◦ Nếu t1 , . . . , tp là các từ và f (x1 , . . . , xp ) là hàm p biến, thì f (t1 , . . . , tp ) cũng
là các từ.
3◦ Không tồn tại các từ khác.
Khi đó, phương trình hàm có thể định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.7 (Định nghĩa phương trình hàm). Phương trình hàm là một đẳng
thức t1 = t2 giữa hai từ t1 và t2 trong đó chúng chứa tối thiểu một hàm chưa biết
và một số hữu hạn các biến số độc lập xác định.
Vấn đề phân loại phương trình hàm là rất khó và hiện nay vẫn chưa được giải
quyết thỏa đáng.
Định nghĩa 1.8. Phương trình hàm trong đó mọi hàm ẩn là hàm một biến được
gọi là phương trình hàm thông thường.
Định nghĩa 1.9. Số biến độc lập xuất hiện trong phương trình hàm được gọi là
bậc của phương trình này.

Thông thường, các phương trình vi phân, tích phân, phương trình đạo hàm
riêng, các bài toán biên,.. cũng là những dạng toán cần xác định hàm số. Tuy
nhiên, các dạng toán này có chứa thêm yếu tố không phải là từ nên biểu thức
tương ứng không thể hiện sự bằng nhau của hai từ theo nghĩa đã nêu ở trên.
Như vậy, một phương trình hàm tổng quát đã cho thường không kèm theo các
giả thiết chính quy (có đặc trưng giải tích lên các hàm như tính đo được, tính bị
chặn, khả tích, khả vi, đơn điệu, liên tục, lồi, lõm,...).


5

1.2.2

Phép lặp

Định nghĩa 1.10 (Phép lặp). Phép lặp f n (x) của hàm f (x) được định nghĩa như
sau:
f 0 (x) = x,
f n+1 (x) = f (f n (x)), x ∈ R, n = 0, 1, 2, . . .
(Các hàm f n (x) (n = 0, 1, 2, . . . ) được xác định trên R).
x
Ví dụ 1.1. Cho hàm số f (x) = √
. Hãy xác định hàm số
1 + x2

f n (x) = f [f [f [· · · [f (x)] · · · ]]].
Lời giải. Ta giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy Với n = 2 ta có
x
√
f (x)

x
1 + x2
f 2 (x) = f [f (x)] =
=
=√
.
2
2
1
+
2x
1 + (f (x))2
x
1+
1 + x2
Giả sử ta chứng minh được f k (x) = √

f

k+1

k

(x) = f [f (x)] =

f k (x)
=
1 + (f k (x))2

suy ra

f k+1 (x) =
Vậy f n (x) = √

x
. Khi đó,
1 + kx2
x
1 + kx2
x
1+ √
1 + kx2
√

,
2

x
.
1 + (k + 1)x2

x
.
1 + nx2

Ví dụ 1.2. Giả sử f : R+ → R+ là hàm liên tục, nghịch biến sao cho

f (x + y) + f (f (x) + f (y)) = f (f (x + f (y)) + f (y + f (x))), ∀x, y ∈ R+ . (1.1)
Chứng minh rằng f (f (x)) = x.
Lời giải. Với y = x ta có

f (2x) + f (2f (x)) = f (2f (x + f (x)))

(1.2)

Thay x bởi f (x) vào (1.1) ta được

f (2f (x)) + f (2f (f (x))) = f (2f (f (x) + f (f (x)))).

(1.3)


6

Từ (1.2) và (1.3) suy ra

f (2f (f (x))) − f (2x) = f (2f (f (x) + f (f (x)))) − f (2f (x + f (x))).
Nếu f (f (x)) > x thì do hàm f giảm thực sự nên vế trái của phương trình trên
nhận giá trị âm, vì vậy

f (f (x) + f (f (x))) > f (x + f (x))
và f (x) + f (f (x)) < f (x) + x, điều này mâu thuẫn với giả sử f (f (x)) > x.
Ta chứng minh được điều tương tự với giả sử f (f (x)) < x. Do đó ta có f (f (x)) = x.

1.2.3

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Xét hàm số f (x) xác định trên tập D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R.
Định nghĩa 1.11 (xem [1]). Giả sử M ⊂ D(f ). Khi đó

a) f (x) được gọi là hàm số chẵn tại x0 trên tập M , nếu

∀x ∈ M, ta có 2x0 − x ∈ M và f (2x0 − x) = f (x).
b) f (x) được gọi là hàm số lẻ tại x0 trên M , nếu

∀x ∈ M, ta có 2x0 − x ∈ M và f (2x0 − x) = −f (x).
Nhận xét 1.2. Như vậy, hàm chẵn, lẻ thông thường là các hàm chẵn, lẻ tại 0 trên
R.
Ví dụ 1.3. Mọi hàm số f (x) xác định trên R đều có thể biểu diễn dưới dạng

f (x) = f1 (x) + f2 (x),
trong đó, f1 (x) là một hàm số chẵn và f2 (x) là một hàm số lẻ.
1
1
Lời giải. Đặt f1 (x) = [f (x) + f (−x)] và f2 (x) = [f (x) − f (−x)]. Rõ ràng
2
2
f1 (x) là một hàm chẵn, f2 (x) là một hàm lẻ và ta có

f (x) = f1 (x) + f2 (x).
Ví dụ 1.4. Mọi hàm số f (x) là hàm chẵn tại x0 trên M ⊂ R khi và chỉ khi có thể
biểu diễn dưới dạng

1
f (x) = [g(x) + g(2x0 − x)], ∀x ∈ M, Với g là hàm xác định trên M .
2

(1.4)

7

Lời giải. Thật vậy, ứng với mọi hàm g tùy ý xác định trên M, từ (1.4) ta có
ngay
f (2x0 − x) = f (x), ∀x ∈ M.
Ngược lại, khi f là hàm chẵn tại x0 trên M thì

1
f (2x0 − x) = f (x) ⇔ f (x) = [f (x) + f (2x0 − x)], ∀x ∈ M.
2
Vậy f có dạng (1.4) với g = f.
Ví dụ 1.5. Hàm số f (x) là hàm lẻ tại x0 trên M ⊂ R khi và chỉ khi biểu diễn
dưới dạng

1
f (x) = [g(x) − g(2x0 − x)], ∀x ∈ M, Với g là hàm xác định trên M .
2

(1.5)

Lời giải. Thật vậy, ứng với mọi hàm g tùy ý xác định trên M, từ (1.5) ta có
ngay
f (2x0 − x) = −f (x), ∀x ∈ M.
Ngược lại, khi f là hàm lẻ tại x0 trên M thì

1
f (2x0 − x) = −f (x) ⇔ f (x) = [f (x) − f (2x0 − x)], ∀x ∈ M.
2
Vậy f có dạng (1.5) với g = f.
Nhận xét 1.3. Như vậy, theo định nghĩa thì hàm chẵn tại x0 là hàm bất biến đối

với phép lấy đối xứng qua điểm x0 . Từ đó, ta cũng có lớp hàm tương ứng bất biến
qua phép nghịch đảo tại x0 như sau.
Định nghĩa 1.12 (xem [1]). Giả sử M ⊂ D(f ).
a) f (x) được gọi là hàm số chẵn nhân tính tại x0 = 0 trên tập M , nếu

x20
x20
∀x ∈ M, ta có
∈ M và f
= f (x).
x
x
b) f (x) được gọi là hàm số lẻ nhân tính tại x0 trên M , nếu

x20
x20
∀x ∈ M, ta có
∈ M và f
= −f (x).
x
x
Ví dụ 1.6. Mọi hàm số f (x) là hàm chẵn nhân tính tại x0 = 0 trên M ⊂ R khi
và chỉ khi có thể biểu diễn dưới dạng

1
x20
f (x) = g(x) + g
2
x

, ∀x ∈ M.

(1.6)


8

Lời giải. Thật vậy, ứng với mọi hàm g tùy ý xác định trên M, từ (1.6) ta có

x20
= f (x), ∀x ∈ M.
f
x
Ngược lại, khi f là hàm chẵn nhân tính tại x0 trên M thì

x20
1
x20
= f (x) ⇔ f (x) = f (x) + f
x
2
x

, ∀x ∈ M.

Vậy f có dạng (1.6) với g = f.
Ví dụ 1.7. Mọi hàm số f (x) là hàm lẻ nhân tính tại x0 = 0 trên M ⊂ R khi và
chỉ khi biểu diễn dưới dạng

x2

1
f (x) = [g(x) − g 0 ], ∀x ∈ M.
2
x

(1.7)

Lời giải. Thật vậy, ứng với mọi hàm g tùy ý xác định trên M, từ (1.7) ta có
ngay
x2
f 0 = −f (x), ∀x ∈ M.
x
Ngược lại, khi f là hàm lẻ nhân tính tại x0 trên M thì

x20
1
x20
= −f (x) ⇔ f (x) = f (x) − f
x
2
x

, ∀x ∈ M.

Vậy f có dạng (1.7) với g = f.

1.3
1.3.1

Đặc trưng của các hàm tuần hoàn

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.13 (xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính)
chu kỳ a (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M, ta có x ± a ∈ M
f (x ± a) = f (x), ∀x ∈ M.
Định nghĩa 1.14 (xem [1]). Cho f (x) là một hàm tuần hoàn trên M . Khi đó T
(T > 0) được gọi là chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà
không là hàm tuần hoàn với bất cứ chu kỳ dương nào bé hơn T .


9

Ví dụ 1.8. f (x) = C , C là hằng số, là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là số dương
bất kỳ nhưng không có chu kỳ cơ sở.
Ví dụ 1.9. f (x) = {x} = x − [x] là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 1.
Ví dụ 1.10. Hàm sin x, cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2π .
Hàm tan x, cot x là các hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là π .
2π
Các hàm sin(ax + b), cos(ax + b), a = 0, tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là
.
|a|
π
.
Các hàm tan(ax + b), cot(ax + b), a = 0, tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là
|a|
Ví dụ 1.11. Hàm số f (x) = (−1)[x] {x} là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là 2. Thật
vậy,
f (x + 2) = (−1)[x+2] {x + 2} = (−1)[x] (−1)2 {x}

= (−1)[x] {x} = f (x), ∀x ∈ R.
Dễ thấy f (x + α) ≡ f (x) với 0 < α < 2, nên 2 là chu kỳ cơ sở của hàm số đã
cho.
Tính chất 1.1 (xem [1]). Tồn tại những hàm tuần hoàn trên R nhưng không có
chu kì cơ sở.
Ví dụ 1.12. Hàm Dirichle

0 khi x ∈ Q
f (x) =
1 khi x ∈ Q
là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q∗ tùy ý.
Vì trong Q∗ không có số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở.
Tính chất 1.2 (xem [1]). Hàm tuần hoàn liên tục trên R là hàm bị chặn.
Tính chất 1.3. Cho f1 , f2 , . . . , fn : R → R là các hàm tuần hoàn liên tục thỏa
n

fi là hàm tuần hoàn và không có tổng của m hàm số nào trong

mãn điều kiện
i=1

đó là hàm hằng với 0 < m < n. Khi đó, các hàm fi sẽ có chung một chu kì.
Chứng minh. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy,
*) Với n = 2
Giả sử f, g là hai hàm tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là t và s, f + g là hàm
tuần hoàn với chu kỳ k .


10

Khi đó, ta có

f (x + k) + g(x + k) = f (x) + g(x), ∀x ∈ R.
Suy ra

f (x + k) − f (x) = g(x) − g(x + k) = ϕ(x).
t
Nếu ϕ ≡ const thì ϕ tuần hoàn với chu kỳ t, s nên ∈ Q, suy ra f, g có cùng chu
s
kỳ.
Nếu ϕ = a (const) thì ta chia làm 2 trường hợp:
+) Nếu a = 0 thì f, g có cùng chu kỳ k .
+) Nếu a = 0 thì
f (x + k) − f (x) = a ⇒ f (x + nk) − f (x) = na.
Cố định x ta có lim f (x + nk) = +∞.
n→+∞

Điều này vô lý vì hàm tuần hoàn liên tục là hàm bị chặn.
Do đó a = 0. Vậy f, g có cùng chu kỳ. Hay bài toán đúng với n = 2.
*) Giả sử khẳng định đúng với mọi số k < n (n ≥ 3). Ta sẽ chứng minh khẳng
định đúng với k = n.
Giả sử f1 + f2 + · · · + fn tuần hoàn với chu kỳ T > 0. Khi đó
n

n

fi (x + T ) =
i=1

fi (x).
i=1

Đặt gi (x) = fi (x + T ) − fi (x). Ta có
n−1

gi (x) = −gn (x) = fn (x) − fn (x + T ).
i=1

Lại có gi (x) là hàm tuần hoàn liên tục có cùng chu kỳ với fi (x) với i < n. Nếu
không có bất kỳ tổng bé hơn n − 1 hàm số nào là hàm hằng thì suy ra gi (x) có
cùng chu kỳ k , (1 ≤ i ≤ qn − 1).
Gọi t1 , t2 , . . . , tn lần lượt là chu kỳ cơ sở của các hàm f1 , f2 , . . . , fn .
ti
k
Suy ra
∈ Q, 1 ≤ i ≤ n − 1. Suy ra
∈ Q. Suy ra f1 , f2 , . . . , fn−1 có cùng
ti
tj
chu kỳ L.
L
Ta cũng có
∈ Q nên f1 , f2 , . . . , fn có cùng chu kỳ.
tn
Nếu có tổng một số hàm gi là hàm hằng, giả sử g1 + g2 + · · · + gk = const,
(k ≥ 1) thì

[f1 (x + T ) + f2 (x + T ) + · · · + fk (x + T )] − [f1 (x) + f2 (x) + · · · + fk (x)] = a.

11
k

fi giới nội nên a = 0. Suy ra

Do
i=1

f1 (x + T ) + f2 (x + T ) + · · · + fk (x + T ) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fk (x).
Vì k < n nên theo giả thiết quy nạp, f1 , f2 , . . . , fk có cùng chu kỳ. Suy ra
g1 , g2 , . . . , gk có cùng chu kỳ.
Lại có
g1 (x) + g2 (x) + · · · + gn (x) = 0, ∀x ∈ R.
Như vậy tập {gi }ni=1 được chia thành từng tập con có số lượng phần tử nhỏ nhất
mà tổng tất cả các hàm trong mỗi tập con là hằng số. Nếu tập con có một phần
tử gi thì rõ ràng gi tuần hoàn với chu kỳ T còn với các tập con còn lại, theo giả
thiết quy nạp, các hàm fk cũng tuần hoàn với chu kỳ T .
Tính chất 1.4. Cho hai hàm f (x), g(x) liên tục và tuần hoàn trên R với chu kỳ
cơ sở lần lượt là a và b.
Khi đó F (x) = f (x) + g(x) tuần hoàn khi và chỉ khi a b là thông ước, tức
a
∈ Q.
b
a
a m
Chứng minh. Nếu ∈ Q, tồn tại một cặp số (m, n) = 1, m, n ∈ N∗ để = .
b
b
n

Đặt T = n.a = m.b. Ta có

F (x + T ) = f (x + T ) + g(x + T )
= f (x + n.a) + g(x + m.b) = f (x) + g(x) = F (x).
Vậy F (x) = f (x) + g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T .
Ngược lại, ta có f và g có cùng chu kỳ T . Khi đó, chọn T = na = mb với
a m
m, n ∈ Z∗ . Suy ra =
∈ Q.
b
n
Tính chất 1.5. Cho các hàm số tuần hoàn f, g : R → R thỏa mãn điều kiện
lim (f − g)(x) = 0. Khi đó

x→+∞

f (x) = g(x), ∀x ∈ R.
Chứng minh. Gọi T, S lần lượt là các chu kì nào đó của các hàm số f, g . Ta có
∀x ∈ R, n ∈ N, thì

g(x) − f (x) = [f (x + nT + nS) − g(x + nT + nS)]
− [f (x + nS) − g(x + nS)] + [g(x + nT ) − f (x + nT )].


12

Cố định x ∈ R, cho n → ∞ ta có

g(x) − f (x) = lim [g(x) − f (x)]
x→+∞

= lim {[f (x + nT + nS) − g(x + nT + nS)]
n→∞

− [f (x + nS) − g(x + nS)] + [g(x + nT ) − f (x + nT )]} = 0.
Suy ra g(x) = f (x), ∀x ∈ R.
Tiếp theo, ta xét lớp hàm phản tuần hoàn cộng tính.
Định nghĩa 1.15 (xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn (cộng
tính) chu kỳ b (b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M, ta có x ± b ∈ M
f (x ± b) = −f (x), ∀x ∈ M.
Định nghĩa 1.16 (xem [1]). Cho f (x) là một hàm phản tuần hoàn trên M . Khi
đó T (T > 0) được gọi là chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) phản tuần hoàn với chu
kỳ T mà không là hàm tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T .
Ví dụ 1.13. f (x) = sin(3x) − sin x là hàm phản tuần hoàn cộng tính với chu kỳ
cơ sở là π . Thật vậy,

f (x + π) = sin(3x + 3π) − sin(x + π) = − sin 3x + sin(x) = −f (x), ∀x ∈ R.
Tính chất 1.6. Mọi hàm phản tuần hoàn trên M đều là hàm tuần hoàn trên M .
Chứng minh. Giả sử f (x) là hàm phản tuần hoàn với chu kỳ b ∈ M , ta có

f (x + 2b) = −f (x + b) = f (x), ∀x ∈ M.
Ngoài ra, vì x ± b ∈ M nên x ± 2b ∈ M.
Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b.
Tính chất 1.7. f (x) là hàm phản tuần hoàn với chu kỳ b trên M khi và chỉ khi
f (x) có dạng
f (x) = g(x + b) − g(x)
với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b.

13

Chứng minh. Ta có

f (x + b) = g(x + b + b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −f (x), ∀x ∈ M.
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M .
Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M .
Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M .
1
Chọn g(x) = − f (x), Khi đó ∀x ∈ M, ta có x ± 2b ∈ M và
2

1
1
g(x + 2b) = −( )f (x + 2b) = ( )f (x + b) =
2
2
và

g(x + b) − g(x) =
1.3.2

−

−

1
f (x) = g(x)
2

1
1
f (x + b) +
f (x) = f (x), ∀x ∈ M.
2
2

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.17 (xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính
chu kỳ a; (a > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M, ta có a±1 x ∈ M
f (a±1 x) = f (x), ∀x ∈ M.
Ví dụ 1.14. Xét f (x) = sin(2π log2 x). Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính
chu kỳ 2 trên R+ . Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì 2±1 x ∈ R+ và
f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π(1 + log2 x)) = sin(2π log2 x) = f (x).
Tính chất 1.8. Nếu f (x) và g(x) là hai hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ tương
m
ln |a|
ứng là a và b trên M và
=
, m, n ∈ N∗ thì F (x) = f (x) + g(x) và
ln |b|
n
G(x) = f (x).g(x) là các hàm tuần hoàn nhân tính trên M .
ln |a|
m
Chứng minh. Từ giả thiết

=
suy ra |a|n = |b|m . Ta chứng minh
ln |b|
n
2n
2m
T := a = b là chu kỳ của F (x) và G(x). Thật vậy, ta có

F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ;
G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M.
Hơn nữa, ∀x ∈ M, T ±1 x ∈ M . Do đó, F (x), G(x) là các hàm tuần hoàn nhân
tính trên M .


14

Tính chất 1.9. Nếu f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a, a > 0 trên R thì
g(t) = f (ln t), (t > 0) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R+ .
Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a > 1) trên R+ thì
g(t) = f (et ) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R.
Chứng minh. Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a, a > 0 trên R.
Xét g(t) = f (ln t), (t > 0).
Ta có

g(ea t) = f (ln(ea t)) = f (ln ea + ln t)
= f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), ∀t ∈ R+ .
Vậy g(t) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R+ .
Ngược lại, giả sử f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a
(0 < a = 1) trên R+ .
Xét g(t) = f (et ), ∀t ∈ R. Ta có

g(t + ln a) = f (et+ln a ) = f (et .eln a )
= f (aet ) = f (et ) = g(t), ∀t ∈ R.
Vậy g(t) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R.
Tiếp theo, ta xét lớp hàm phản tuần hoàn nhân tính.
Định nghĩa 1.18 (xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân
tính chu kỳ a (a > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M, ta có a±1 x ∈ M
f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M.

√
1
[sin(2π log2 ( 2x)) − sin(2π log2 x)]. Khi đó f (x) là
2
√
hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên R+ .
√
Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì ( 2)±1 x ∈ R+ và
Ví dụ 1.15. Xét f (x) =

√
√
1
f ( 2x) = [sin(2π log2 (2x)) − sin(2π log2 ( 2x))]
2
√
1
= [sin(2π(1 + log2 x)) − sin(2π log2 ( 2x))]
2

√
1
= [sin(2π log2 x) − sin(2π log2 ( 2x))] = −f (x).
2


15

Tính chất 1.10. Mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M đều là hàm tuần
hoàn nhân tính trên M .
Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại b > 1 sao cho ∀x ∈ M thì b±1 ∈ M và

f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M.
Suy ra, ∀x ∈ M thì b±1 ∈ M và

f (b2 x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M.
Như vậy, f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M .
Tính chất 1.11. f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b (b > 1) trên M
khi và chỉ khi f (x) có dạng:

1
f (x) = (g(bx) − g(x)),
2
trong đó, g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M .
Chứng minh. (i) Giả sử f là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M .
Khi đó g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và

1
1
(g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x)))

2
2
1
= (−(−f (x)) + f (x)) = f (x), ∀x ∈ M.
2
1
(ii) Ngược lại, f (x) = (g(bx) − g(x)), thì
2
1
1
f (bx) = (g(b2 x) − g(bx)) = (g(x) − g(bx))
2
2
1
= − (g(bx) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M.
2
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì b±1 x ∈ M . Do đó, f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân
tính trên M .
Ví dụ 1.16. Cho a > 1. Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (ax) = f (x), ∀x ∈ R+ .
Lời giải.
Đặt x = at và f (at ) = h1 (t). Khi đó t = loga x và

f (ax) = f (x) ⇔ h1 (t + 1) = h1 (t), ∀t ∈ R,


16

trong đó h(t) = f (at ).

Xét x < 0. Đặt −x = at và f (−at ) = h2 (t). Khi đó

t = loga |x|
và

f (ax) = f (x) ⇔ h2 (t + 1) = h2 (t), ∀t ∈ R.
Kết luận: f (x) = h(loga |x|) trong đó h(t) là hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý
chu kỳ 1 trên R.
Ví dụ 1.17. Cho a < 0, a = −1. Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều
kiện
f (ax) = −f (x), ∀x ∈ R.
Lời giải. Từ điều kiện của bài toán suy ra

f (a2 x) = f (x), ∀x ∈ R.
Vậy, mọi nghiệm của bài toán có dạng

1
f (x) = [g(x) − g(ax)],
2
trong đó

g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R.
Thật vậy, nếu f (x) có dạng trên thì ta có

1
f (ax) = [g(ax) − g(a2 x)]
2
1
[g(ax) − g(x)] = −f (x), ∀x ∈ R.
2

Ngược lại, với mỗi f (x) thỏa mãn điều kiện bài toán, chọn g(x) = f (x). Khi đó
g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R.
và

1
1
[g(x) − g(ax)] = [f (x) − f (ax)]
2
2
1
= [f (x) + f (x)] = f (x), ∀x ∈ R.
2
Suy ra nghiệm cần tìm là

1
f (x) = [g(x) − g(ax)],
2


17

trong đó

1


h
log|a| x khi x > 0

1



2
g(x) = d tùy ý khi x = 0



1

h2 log|a| |x| khi x < 0
2
với h1 (t), h2 (t) là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.

1.4

Dãy số sinh bởi hàm hợp f (αx + β)

Bài toán 1.1. Xác định các dãy phản tuần hoàn chu kỳ 2: xn+2 = −xn , n ∈ N.
Lời giải. Nhận xét rằng, theo giả thiết thì x2 = −x0 và x3 = −x1 và

x0 = x4 = x8 = x12 = . . .
x1 = x5 = x9 = x13 = . . .
x2 = x6 = x10 = x14 = . . .
x3 = x7 = x11 = x15 = . . .
Từ bảng liệt kê trên, ta thu được



a





 b
xn =


−a




−b

khi n = 0

(mod 4)

khi n = 1

(mod 4)

khi n = 2

(mod 4)

khi n = 3

(mod 4)

trong đó a, b ∈ R tùy ý.
Tiếp theo, xét phương trình hàm dạng f (t + β) = af (t) + b, t ∈ N để khảo sát
các dãy số xn+k = axn + b, n ∈ N.
Bài toán 1.2. Xác định các dãy {xn } thỏa mãn điều kiện

xn+2 = −axn + b, n ∈ N, a > 0.
Lời giải. Đặt xn =

b
+ yn . Thế vào (1.8), ta thu được
a+1

b
b
+ yn+2 = −a(
+ yn ) + b, n ∈ N
a+1
a+1

(1.8)


18

hay

yn+2 = −ayn , n ∈ N

(1.9)

n

Đặt yn = a 2 un . Thế vào (1.9), ta thu được

a

n+2
2

n

un+2 = a × (−a 2 un ), n ∈ N

hay

un+2 = −un , n ∈ N.
Tiếp theo, xét áp dụng phương pháp giải phương trình hàm dạng f (t + β) =
af (t) + b, t ∈ N để khảo sát các dãy số xn+k = axn + b, n ∈ N.
Bài toán 1.3. Xác định các dãy {xn } thỏa mãn điều kiện

xn+2 = −axn + b, n ∈ N, a > 0.
Lời giải. Đặt xn =

(1.10)

b
+ yn . Thế vào (1.10), ta thu được
a+1

b

b
+ yn+2 = −a(
+ yn ) + b, n ∈ N
a+1
a+1
hay

yn+2 = −ayn , n ∈ N.

(1.11)

n

Đặt yn = a 2 un . Thế vào (1.11), ta thu được

a

n+2
2

n

un+2 = a × (−a 2 un ), n ∈ N

hay

un+2 = −un , n ∈ N.
Vậy {un } là dãy số phản tuần hoàn chu kỳ 2 nên




a
khi n = 0




 b
khi n = 1
un =


−ca
khi n = 2




−d
khi n = 3

(mod 4)
(mod 4)
(mod 4)
(mod 4)

trong đó c, d ∈ R tùy ý.
Trong phần cuối này ta áp dụng phương pháp giải phương trình hàm dạng f (αt) =
a f (t) + b, t ∈ N để khảo sát các dãy số xsn = a xn + b, n ∈ N.

19

Bài toán 1.4. Xác định các dãy {xn } tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2

x2n = xn , n ∈ N∗ .
Lời giải. Sử dụng kết quả trong số học

∀n ∈ N∗ , ∃s, k ∈ N sao cho n = 2s (2k + 1).
Khi s = 0 thì n là một số nguyên lẻ.
Đáp số:

a
2k+1 tùy ý, khi n = 2k + 1, k ∈ N, )
xn =
a
khi n = 2s (2k + 1), s ∈ N∗ , k ∈ N.
2k+1

Bài toán 1.5. Xác định các dãy {xn } thỏa mãn điều kiện

x2n = 3xn + 2, n ∈ N∗ .

(1.12)

Lời giải. Đặt xn = −1 + yn . Thế vào (1.12), ta thu được

y2n = 3yn , n ∈ N.

(1.13)

n

Đặt yn = 3 2 un . Thế vào (1.13), ta thu được

u2n = un , n ∈ N.
Sử dụng kết quả Bài toán 1.4, ta thu được đáp số của bài toán.
Nhận xét 1.4. Các dạng toán tổng quát sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2 và
chương 3.


20

Chương 2. Phương pháp giải các
phương trình hàm trên tập rời rạc
2.1
2.1.1

Sử dụng nguyên lý quy nạp
Nhận xét

Phương pháp quy nạp không hề xa lạ trong môn toán, nó là công cụ hiệu quả
để giải các bài toán xác định trên tập số nguyên. ( Tất nhiên vẫn có quy nạp trên
tập số thực, quy nạp hình học, nhưng ta chỉ xét đến những dạng quen thuộc của
phương pháp quy nạp mà thôi ). Điều quan trọng là việc thiết lập giá trị hàm số
tại các điểm lớn hơn về các điểm đã biết giá trị hàm số(theo giả thiết quy nạp),
cụ thể ta cần để ý đến những đẳng thức truy hồi đã biết.

2.1.2

Một vài ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1 (Việt Nam TST 2005). . Tìm tất cả các hàm số f : Z −→ Z thỏa mãn:

f (x3 + y 3 + z 3 ) = f (x)3 + f (y)3 + f (z)3 .
Lời giải. Kí hiệu P (x, y, z) là cách cho bộ (x, y, z) ∈ Z3 vào phương trình
P (0, 0, 0) ⇒ f (0) = 0
P (x, −x, 0) ⇒ f (x) = −f (−x) ⇒ f (−x) = −f (x)
P (1, 1, 0) ⇒ f (2) = 2f (1)
P (1, 1, 1) ⇒ f (3) = 3f (1)
Ta chứng minh bằng quy nạp mệnh đề sau f (n) = nf (1), ∀n ∈ Z.
Với n = 1 hiển nhiên đúng.
Giả sử với n = k ≥ 0 đúng, ta chứng minh với n = k + 1 cũng đúng.
Với k = 2t, sử dụng đẳng thức :

(2.1)


21

(2t + 1)3 + 53 + 13 = (2t − 1)3 + (t + 4)3 + (4 − t)3
và khi k = 2t − 1 thì:
(2t)3 = (2j )3 .(2i + 3)3 , 2i + 1 < 2t, j ∈ N
Ta có:
f (2t + 1)3 + f (5)3 + f (1)3 = f ((2t + 1)3 + 53 + 13 )
= f (2t − 1)3 + (t + 4)3 + (4 − t)3 = f (2t − 1)3 + f (t + 4)3 + f (4 − t)3
( vì f lẻ nên f (4 − t) = −f (t − 4) = −(t − 4)f (1) ).
Hay:f (2t + 1) = (2t + 1)f (1)
Tương tự cho f (2t) = 2tf (1). Vì thế ta có với ∀n ∈ Z thì f (n) = nf (1).
Thay vào phương trình ta nhận được 3 nghiệm: f (x) = 0, f (x) = x, f (x) = −x.

Ví dụ 2.2. Tìm tất cả các hàm f : N −→ N thảo mãn điều kiện:
1) f (m2 + n2 ) = f 2 (m) + f 2 (n) với ∀m, n ∈ N
2) f (1 > 0).
Lời giải. Cho m = n = 0 vào phương trình hàm, ta được f (0) = 2f 2 (0). Nếu
1
f (0) = 0 thì từ đây suy ra f (0) = , điều này mâu thuẫn vì f nhận giá trị dương
2
trong N. Vậy f (0) = 0 và điều này dẫn đến f (m2 ) = f 2 (m). Ta có thể viết dưới
dạng
f (m2 + n2 ) = f 2 (m) + f 2 (n) = f (m2 ) + f (n2 )
Ta cũng chú ý rằng f (1) = f (12 ) = f 2 (1). Vì f (1) > 0 nên f (1) = 1. Từ đây suy
ra:
f (2) = f (12 + 12 ) = f 2 (1) + f 2 (1) = 2
f (4) = f (22 ) = f 2 (2) = 4
f (5) = f (22 + 12 ) = f 2 (2) + f 2 (1) = 5
f (8) = f (22 + 22 ) = f 2 (2) + f 2 (2) = 8
Hơn nữa, ta thấy rằng:
25 = f 2 (5) = f (52 ) = f (32 + 42 ) = f 2 (3) + f 2 (4) = f 2 (3) + 16
Từ đó suy ra f (3) = 3. Từ đây ta lại có:
f (9) = f (32 ) = f 2 (3) = 9
f (10) = f (32 + 12 ) = f 2 (3) + f 2 (1) = 10
Sử dụng đẳng thức 72 + 12 = 52 + 52 , và đã biết f (5) = 5, f (1) = 1, ta có thể
tính được f (7) = 7. Cuối cùng, ta sử dụng đẳng thức 102 = 62 + 82 để thu được
f (6) = 6.
Như vậy ta có f (n) = n với ∀n ≤ 10. Ta sử dụng các hằng đẳng thức sau:

(5k + 1)2 + 22 = (4k + 2)2 + (3k − 1)2