Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – Bộ Giáo dục và Đào tạo (Mã đề 104)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019

________________

Bài thi: TỐN HỌC

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Mã đề 104

Câu 1. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là
A.  C82 .
B.  82 .

C.  A82 .

D.  28 .

Câu 2.  Trong khơng gian   Oxyz , cho mặt phẳng  ( P ) : 4 x + 3 y + z − 1 = 0 . Vectơ  nào dưới đây là một 
vectơ pháp tuyến của  ( P ) ?
r
r
r
r
A.  n4 = (3;1; −1) .
B.  n3 = (4;3;1) .
C.  n2 = (4;1; −1) .
D.  n1 = (4;3; −1) .

Câu 3. Nghiệm của phương trình  22 x −1 = 32  là
17
5
A.  x = 3 .
B.  x = .
C.  x = .
D.  x = 2 .
2
2
Câu 4. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy  B và chiều cao  h  là
4
1
A.  Bh .
B.  Bh .
C.  3Bh .
D.  Bh .
3
3
Câu 5. Số phức liên hợp của số phức  3 − 2i  là
A.  −3 + 2i .
B.  3 + 2i .
C.  −3 − 2i .
D.  −2 + 3i .
Câu 6. Trong khơng gian  Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm  M (3;1; −1) trên trục  Oy  có tọa độ là
A.  (0;1;0) .
B.  (3;0;0) .
C.  (0;0; −1) .
D.  (3; 0; −1) .
Câu 7. Cho cấp số cộng  ( un )  với  u1 = 1  và  u2 = 4 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.  5 .

B.  4 .
C.  −3 .
D.  3 .
Câu 8. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  f ( x ) = 2 x + 4  là
A.  2 x 2 + 4 x + C .
B.  x 2 + 4 x + C .
C.  x 2 + C .
D.  2x 2 + C .
Câu 9. Đô thi cua ham sô nao d
̀ ̣ ̉
̀
́ ̀ ưới đây co dang nh
́ ̣
ư đường cong trong hinh ve bên?
̀
̃

A.  y = 2 x3 − 3 x + 1 .
B.  y = −2 x 4 + 4 x 2 + 1 .
C.  y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 .
Câu 10. Cho ham sô 
̀
́ f ( x )  co bang biên thiên nh
́ ̉
́
ư sau: 

D.  y = −2 x 3 + 3x + 1 .

Ham sô đa cho nghich biên trên khoang nao d

̀
́ ̃
̣
́
̉
̀ ưới đây?
A.  ( 0;1) .
B.  ( 1; + ) .
C.  ( −1;0 ) .
D.  ( 0; + ) .
x − 3 y +1 z − 5
=
=
Câu 11. Trong không gian  Oxyz , cho đường thẳng  d :
. Vectơ nào dưới đây là một 
1
−2
3
vec tơ chỉ phương của  d .


ur
A.  u1 = ( 3; −1;5) .

uur
B.  u3 = ( 2;6; −4 ) .

uur
C.  u4 = ( −2; −4;6 ) .

Câu 12. Với  a  là số thực dương tùy ý,  log 3 a 2  bằng?
1
1
A.  2 log 3 a .
B.  + log 3 a .
C.  log 3 a .
2
2
Câu 13. Thể tích khối nón có chiều cao  h  và bán kính đáy r  là
1
A.  2π r 2 h .
B.  π r 2 h .
C.  π r 2 h .
3
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.  x = −2 .
B.  x = 1 .

C.  x = 3 .

1

1

1

0

0

0

f ( x)dx = 2; �
g ( x )dx = −4 . Khi đó 
Câu 15. Biết  �

uur
D.  u2 = ( 1; −2;3) .
D.  2 + log 3 a .
4
D.  π r 2 h .
3

D.  x = 2 .

[ f ( x) + g ( x)]dx  bằng

A. 6.
B. ­6.
C.  −2 .
D.  2 .
Câu 16.  Cho hai số  phức   z1 = 2 − i, z2 = 1 + i . Trên mặt phẳng tọa độ  Oxy, điểm biểu diễn số  phức 
2z1 + z2  có tọa độ là:
A.  ( 5; −1) .

B.  ( −1;5 ) .

C.  ( 5;0 ) .

D.  ( 0;5 ) .

Câu 17.  Cho hình chóp   S . ABC   có   SA   vng góc với mặt phẳng   ( ABC ) ,   SA = 2a , tam giác   ABC  
vng cân tại  B  và  AB = 2a .(minh họa như hình vẽ bên).
S

C

A
B

Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng  ( ABC )  bằng
A.  60 .
B.  45 .
C.  30 .
D.  90 .
2
2
2
Câu 18. Trong không gian  Oxyz , cho mặt cầu  ( S ) : x + y + z − 2 y + 2 z − 7 = 0 . Bán kính của mặt cầu 
đã cho bằng
A.  9 .
B.  3 .
C.  15 .
D.  7 .
Câu 19. Trong không gian  Oxyz , cho hai điểm  A ( 4;0;1) ,  B ( −2; 2;3) . Mặt phẳng trung trực của đoạn 
thẳng  AB  có phương trình là
A.  6 x − 2 y − 2 z − 1 = 0 . B.  3 x + y + z − 6 = 0 .
C.  x + y + 2 z − 6 = 0 .

D.  3 x − y − z = 0 .
2
Câu 20. Gọi  z1 , z2  là hai nghiệm phức của phương trình  z − 4 z + 7 = 0 . Giá trị của  z12 + z22  bằng
A. 10.
B. 8.
C. 16.
D. 2.
3
Câu 21. Giá trị nhỏ nhất của hàm số  f ( x ) = x − 3x  trên đoạn  [ −3;3]  bằng
A.  18 .
B.  −18 .
C.  −2 .
D.  2 .


Câu 22. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ  có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt  
bằng  1m  và  1,5m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể 
tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể  nước dự định làm gần nhất với kết 
quả nào dưới đây?
A.  1, 6m .
B.  2,5m .
C.  1,8m .
D.  2,1m .
Câu 23. Cho hàm số  y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.  2 .
B.  1 .
C.  3 .
D.  4 .

Câu 24. Cho hàm số   f ( x )  liên tục trên  R . Gọi  S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  
y = f ( x ) , y = 0, x = −2  và  x = 3  (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.  S =
C.  S =

1

3

−2
1

1
3

−2

1

1

3

−2
1

1
3

−2

1

f ( x ) dx .
�f ( x ) dx − �

f ( x ) dx + �
f ( x ) dx .
B.  S = − �

f ( x ) dx .
�f ( x ) dx + �

f ( x ) dx − �
f ( x ) dx .
D.  S = − �

Câu 25. Hàm số  y = 3x − x  có đạo hàm là
2

2
A.  3x − x.ln 3 .

(

)

2
x 2 − x −1

C.  x − x .3
.

2
B.  ( 2 x − 1) 3x − x .

2
D.  ( 2 x − 1) 3 x − x.ln 3 .

Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng  ABC. A B C  có đáy là tam giác đều cạnh  a  và  AA = 2a  (minh họa 
như hình vẽ bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A'

C'
B'

C

A
B


3
3
3
3
A.  6a .
B.  6a .
C.  6a .
D.  6a .

4
6
12
2
Câu 27. Nghiệm của phương trình  log 3 ( 2 x + 1) = 1 + log 3 ( x − 1)  là
A.  x = 4 .
B.  x = −2 .
C.  x = 1 .
D.  x = 2 .
3
Câu 28. Cho  a, b  là hai số thực dương thỏa mãn  ab = 8 . Giá trị của  log 2 a + 3log 2 b  bằng
A.  8 .
B.  6 .
C.  2 .
D.  3 .
Câu 29. Cho hàm số  f ( x )  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình  2 f ( x ) + 3 = 0  là
A.  3 .
B.  1 .

Câu 30. Cho hàm số   f ( x )  có đạo hàm  f

C.  2 .

( x ) = x ( x + 1)

2

, ∀x ﾡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho 

là
A.  0 .
B.  1 .
C.  2 .
Câu 31. Cho số phức  z  thỏa  (2 − i) z + 3 + 16i = 2( z + i ) . Môđun của  z bằng
A.  5 .

B.  13 .

D.  0 .

C.  13 .

D.  3 .
D.  5 .
π
4

2
Câu 32. Cho hàm số  f ( x) . Biết  f (0) = 4 và  f '( x) = 2sin x + 3, ∀x ﾡ , khi đó  f ( x) dx  bằng
0

π −2
π + 8π − 8
π + 8π − 2
3π 2 + 2π − 3
.
B. 
.

C. 
.
D. 
.
8
8
8
8
Câu 33.  Trong không gian   Oxyz , cho các điểm   A ( 2; − 1;0 ) ,   B ( 1; 2;1) ,   C ( 3; − 2;0 )   và   D ( 1;1; − 3 ) . 
A. 

2

2

2

Đường thẳng đi qua  D  và vng góc với mặt phẳng  ( ABC )  có phương trình là
x=t
A.  y = t
.
z = −1 − 2t

x=t

x = 1+ t

x = 1+ t

B.  y = t

.
z = 1 − 2t

C.  y = 1 + t .
z = −2 − 3t

D.  y = 1 + t .
z = −3 + 2t

Câu 34. Cho hàm số  f ( x ) , có bảng xét dấu  f

( x )  như sau:

Hàm số  y = f ( 5 − 2 x )  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  ( − ; − 3) .

B.  ( 4;5 ) .

C.  ( 3; 4 ) .
D.  ( 1;3) .
3x - 2
Câu 35. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  f ( x) =
2  trên khoảng  ( 2;+ﾡ )  là
( x - 2)
4
2
+C .
+C .
B.  3ln ( x - 2) +
x- 2

x- 2
2
4
+C .
+C .
C.  3ln ( x - 2) D.  3ln ( x - 2) x- 2
x- 2
2
Câu 36. Cho phương trình  log 9 x − log3 ( 4 x − 1) = − log 3 m  ( m  là tham số  thực). Có tất cả  bao nhiêu 
giá trị ngun của  m  để phương trình đã cho có nghiệm?

A.  3ln ( x - 2) +


A.  5 .
B.  3 .
Câu 37.  Cho hàm số   f ( x ) , hàm số   y = f

C. Vô số.
D.  4 .
( x )   liên tục trên   R   và có đồ  thị  như  hình vẽ  bên. Bất 

phương trình  f ( x ) > 2 x + m  ( m  là tham số thực) nghiệm đúng với mọi  x

( 0; 2 )  khi và chỉ khi

A.  m f ( 2 ) − 4 .
B.  m f ( 0 ) .
C.  m < f ( 0 ) .
D.  m < f ( 2 ) − 4 . .

Câu 38. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ  23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để  chọn được  
hai số có tổng là một số chẵn bằng
11
1
265
12
A.  .
B.  .
C. 
.
D.  .
23
2
529
23
Câu 39. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và  
cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của  
hình trụ đã cho bằng
A.  6π 3 .
B.  6π 39 .
C.  3π 39 .
D.  12π 3 .
Câu 40. Cho hình chóp S . ABCD  có đáy là hình vng cạnh  a , mặt bên SAB  là tam giác đều và nằm 
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa như  hình vẽ  bên). Khoảng cách từ   B  
đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

S

A

B

C

a 21
a 21
a 21
.
C. 
.
D. 
.
28
7
14
3
y = x  va parabol 
Câu 41. Cho đương thăng 
̀
̉
̀
̀
́ ực dương). Goi 
̣ S1  va ̀ S2  lâǹ  
y = x 2 + a  (  a  la tham sô th
2
S1 = S 2  thi ̀ a  thuôc khoang
lượt la diên tich cua 2 hinh phăng đ
̀ ̣ ́
̉

̀
̉
ược gach cheo trong hinh ve bên. Khi 
̣
́
̀
̃
̣
̉  
nao sau đây
̀

A. 

a 2
.
2

D

B. 


�1 9 �
�2 9 �
�9 1 �
� 2�
0; �.
A.  � ; �
.

B.  � ; �
.
C.  � ; �
.
D.  �
�2 16 �
�5 20 �
�20 2 �
� 5�
Câu 42. Cho hàm số bậc ba  y = f ( x )  có đồ  thị  như  hình vẽ  bên. Số  nghiệm thực của phương trình 
2
f ( x3 − 3 x ) =  là
3

A.  6 .
B.  10 .
C.  3 .
D.  9 .
Câu 43. Cho số phức  z  thỏa mãn  z = 2 . Trên mặt phẳng tọa độ   Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn 
5 + iz
của số phức  w  thỏa mãn  w =
 là một đường trịn có bán kính bằng
1+ z
A.  52 .
B.  2 13 .
C.  2 11 .
D.  44 .
1

Câu 44.  Cho hàm số   f ( x )   có đạo hàm liên tục trên   ﾡ . Biết   f ( 3) = 1   và   xf ( 3 x ) d x = 1 , khi đó 

0
3

x2 f

( x ) d x  bằng

0

25
.
3
Câu 45. Trong không gian  Oxyz ,  cho điểm  A ( 0;3; − 2 ) .  Xét đường thẳng  d  thay đổi, song song với 
trục  Oz  và cách trục  Oz  một khoảng bằng  2.  Khi khoảng cách từ   A  đến  d  lớn nhất,  d  đi qua 
điểm nào dưới đây?
A.  Q ( −2;0; − 3) .
B.  M ( 0;8; − 5 ) .
C.  N ( 0; 2; − 5 ) .
D.  P ( 0; − 2; − 5 ) .
Câu 46. Cho hình lăng trụ   ABC. AﾡB ﾡC ﾡ  có chiều cao bằng  4  và đáy là tam giác đều cạnh bằng  4 . 
Gọi  M , N  và  P  lần lượt là tâm của các mặt bên  ABB ﾡAﾡ ,  ACC ﾡAﾡ  và  BCC ﾡB ﾡ . Thể tích của khối 
đa diện lồi có các đỉnh là các điểm  A, B, C , M , N , P  bằng

A.  3 .

A. 

14 3
.
3

B.  7 .

C.  −9 .

D. 

B.  8 3 .

C.  6 3 .

D. 

20 3
.
3


x- 2 x- 1
x
x +1
+
+
+
 và  y = x +1 - x - m  (  m  là tham số  thực) 
x- 1
x
x +1 x + 2
có đồ thị lần lượt là  ( C1 )  và  ( C2 ) . Tập hợp tất các các giải trịcủa  m  để   ( C1 )  và  ( C2 )  cắt nhau tại 
đúng  4  điểm phân biệt là 

A.  ( −3; + ) .
B.  ( − ; −3) .
C.  [ −3; + ) .
D.  ( − ; −3] .

Câu 47. Cho hai hàm số   y =

Câu 48. Cho phương trình  ( 2log 22 x − log 2 x − 1) 4 x − m = 0  ( m  là tham số thực). Có tất cả  bao nhiêu 
giá trị ngun dương của  m  để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. Vơ số.
B.  62 .
C.  63 .
D.  64 .
2
Câu 49.  Trong không gian   Oxyz , cho mặt cầu   ( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 1) = 5 . Có tất cả  bao nhiêu điểm 

A ( a; b; c )  (  a, b, c  là các số nguyên ) thuộc mặt phẳng  ( Oxy )  sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của 

( S )  đi qua  A  và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau.

A. 12.
B. 16.
C. 20.
Câu 50. Cho hàm số  f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số  f ( x )  như sau:

D. 8.

2
Số điểm cực trị của hàm số  y = f ( 4 x + 4 x )  là

A.  5 .

B.  9 .

C.  7 .

D.  3 .

­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­
ĐÁP ÁN
1.A
11.D
21.B
31.C
41.B

2.B
12.A
22.C
32.C
42.B

3.A
13.C
23.C
33.A
43.B

4.D
14.C

24.A
34.B
44.C

5.B
15.C
25.D
35.D
45.D

6.A
16.A
26.A
36.B
46.C

7.D
17.B
27.A
37.A
47.D

8.B
18.B
28.D
38.A
48.B

9.B
19.D

29.A
39.D
49.C

10.A
20.D
30.B
40.C
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là
A.  C82 .
B.  82 .
C.  A82 .
Lời giải

D.  28 .
Đáp án A

Câu 2: Trong không gian  Oxyz , cho mặt phẳng  ( P ) : 4 x + 3 y + z − 1 = 0 . Vectơ  nào dưới đây là một 
vectơ pháp tuyến của  ( P ) ?
r
r
A.  n4 = (3;1; −1) .
B.  n3 = (4;3;1) .

r
C.  n2 = (4;1; −1) .
Lời giải

r
D.  n1 = (4;3; −1) .
Đáp án B


Câu 3: Nghiệm của phương trình  22 x −1 = 32  là
17
A.  x = 3 .
B.  x = .
2

C.  x =
Lời giải

5
.
2

D.  x = 2 .
Đáp án A

Ta có:  22 x −1 = 32 � 22 x −1 = 25 � 2 x − 1 = 5 � x = 3 .
Câu 4: Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy  B và chiều cao  h  là
4
1
A.  Bh .
B.  Bh .
C.  3Bh .
3

3
Lời giải

D.  Bh .
Đáp án D

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy  B và chiều cao  h  là:  Bh .
Câu 5: Số phức liên hợp của số phức  3 − 2i  là
A.  −3 + 2i .
B.  3 + 2i .

C.  −3 − 2i .
Lời giải

D.  −2 + 3i .
Đáp án B

Theo định nghĩa số phức liên hợp ta chọn  3 + 2i
Câu 6: Trong khơng gian  Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm  M (3;1; −1) trên trục  Oy  có tọa độ là
A.  (0;1;0) .
B.  (3;0;0) .
C.  (0;0; −1) .
D.  (3; 0; −1) .
Lời giải
Đáp án A
Hình chiếu của điểm  M ( x; y; z )  trên trục  Oy  là điểm có tọa độ   (0; y; 0)  nên theo đề  ta chọn đáp 
ánA.
Câu 7: Cho cấp số cộng  ( un )  với  u1 = 1  và  u2 = 4 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A.  5 .
B.  4 .

C.  −3 .
D.  3 .
Lời giải
Đáp án D

Ta có  u2 = u1 + d � d = u2 − u1 = 3 .
Câu 8: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  f ( x ) = 2 x + 4  là
A.  2 x 2 + 4 x + C .
B.  x 2 + 4 x + C .
C.  x 2 + C .
Lời giải

D.  2x 2 + C .
Đáp án B

f ( x ) dx = �
( 2 x + 4 ) dx = x 2 + 4 x + C .
Ta có  �

Câu 9: Đô thi cua ham sô nao d
̀ ̣ ̉
̀
́ ̀ ưới đây co dang nh
́ ̣
ư đường cong trong hinh ve bên?
̀
̃

A.  y = 2 x3 − 3 x + 1 .

B.  y = −2 x 4 + 4 x 2 + 1 .
C.  y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 .
Lơi giai
̀ ̉

Do nhanh cuôi đi xuông nên hê sô 
́
́
́
̣ ́ a < 0 , loai 
̣ A, C .

D.  y = −2 x 3 + 3x + 1 .
Đáp án B


Đô thi co ba c
̀ ̣ ́
ực tri, loai 
̣
̣ D.
Câu 10: Cho ham sô 
̀
́ f ( x )  co bang biên thiên nh
́ ̉
́
ư sau: 

Ham sô đa cho nghich biên trên khoang nao d
̀

́ ̃
̣
́
̉
̀ ưới đây?
A.  ( 0;1) .
B.  ( 1; + ) .
C.  ( −1;0 ) .
Lơi giai
̀ ̉

D.  ( 0; +

).
Đáp án A

Câu 11: Trong không gian   Oxyz , cho đường thẳng  d :
một vec tơ chỉ phương của  d .
ur
uur
A.  u1 = ( 3; −1;5) .
B.  u3 = ( 2;6; −4 ) .

x − 3 y +1 z − 5
=
=
. Vectơ  nào dưới đây là 
1
−2
3

uur
C.  u4 = ( −2; −4;6 ) .

uur
D.  u2 = ( 1; −2;3) .

Lời giải
Đáp án D
2

Câu 12: Với  a  là số thực dương tùy ý,  log3 a  bằng?
1
1
A.  2 log 3 a .
B.  + log3 a .
C.  log 3 a .
2
2
Lời giải

D.  2 + log 3 a .

Câu 13: Thể tích khối nón có chiều cao  h  và bán kính đáy r  là
1
A.  2π r 2 h .
B.  π r 2 h .
C.  π r 2 h .
3
Lời giải

4
D.  π r 2 h .
3

Đáp án A

Đáp án C
Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.  x = −2 .
B.  x = 1 .

C.  x = 3 .
Lời giải

D.  x = 2 .
Đáp án C

Quan sát bảng biến thiên ta thấy điểm cực tiểu của hàm số là  x = 3 .
1

1

1

0

0

0

f ( x )dx = 2; �
g ( x)dx = −4 . Khi đó 
Câu 15: Biết  �
A. 6.

B. ­6.

[ f ( x) + g ( x)]dx  bằng

C.  −2 .
Lời giải

D.  2 .


Đáp án C
1

1

1

0

0

0

f ( x )dx + �
g ( x )dx = 2 − 4 = −2 .
[ f ( x) + g ( x)]dx = �
�

Câu 16: Cho hai số  phức  z1 = 2 − i, z 2 = 1 + i . Trên mặt phẳng tọa độ  Oxy, điểm biểu diễn số  phức 
2z1 + z2  có tọa độ là:
A.  ( 5; −1) .

B.  ( −1;5 ) .

C.  ( 5;0 ) .
Lời giải

D.  ( 0;5 ) .

Đáp án A

Ta có  2 z1 + z2 = 5 − i . Nên điểm biểu diễn là  ( 5; −1) .

Câu 17: Cho hình chóp  S . ABC  có  SA  vng góc với mặt phẳng  ( ABC ) ,  SA = 2a , tam giác  ABC  
vuông cân tại  B  và  AB = 2a .(minh họa như hình vẽ bên).
S

C

A
B

Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng  ( ABC )  bằng
A.  60 .
B.  45 .
C.  30 .
Lời giải

D.  90 .
Đáp án B

S

C

A
B
Ta có: 

SC �( ABC ) = { C}
SA ⊥ ( ABC )

(

)

ﾡ , ( ABC ) = ( SC
ﾡ , AC ) = SCA
ﾡ
� SC
.

Mà:  AC = AB 2 + BC 2 = 2a 2 + 2a 2 = 2a = SA .
ﾡ
Vì  ∆SAC  vng cân tại  A  nên ta có  SCA
= 45 .
2
2
2
Câu 18: Trong khơng gian  Oxyz , cho mặt cầu  ( S ) : x + y + z − 2 y + 2 z − 7 = 0 . Bán kính của mặt 
cầu đã cho bằng
A.  9 .
B.  3 .
C.  15 .
D.  7 .
Lời giải

Đáp án B
Ta có:  x + y + z − 2 y + 2 z − 7 = 0 � x + ( y − 1) + ( z + 1) = 9 .
2

2

2

( S )  có bán kính  R =

2

9 = 3.

2

2


Câu 19:  Trong không gian   Oxyz , cho hai điểm   A ( 4;0;1) ,   B ( −2; 2;3) . Mặt phẳng trung trực của 
đoạn thẳng  AB  có phương trình là
A.  6 x − 2 y − 2 z − 1 = 0 . B.  3 x + y + z − 6 = 0 .
C.  x + y + 2 z − 6 = 0 .
D.  3 x − y − z = 0 .
Lời giải
Đáp án D
uuur
M ( 1;1; 2 )  là trung điểm của đoạn thẳng  AB  và  AB = ( −6; 2; 2 ) .
r
Mặt phẳng  ( P )  là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng  AB , có VTPT  n = ( 3; −1; −1) , đi qua điểm 
M  là:  ( P ) : 3 ( x − 1) − ( y − 1) − ( z − 2 ) = 0 � ( P ) : 3x − y − z = 0 .

Câu 20: Gọi  z1 , z2  là hai nghiệm phức của phương trình  z 2 − 4 z + 7 = 0 . Giá trị của  z12 + z22  bằng
A. 10.
B. 8.
C. 16.
D. 2.
Lời giải
Đáp án D
z1 + z2 = 4
Theo Vi­ét nên ta có 
.
z1 z2 = 7
Do đó  z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − 2 z1 z 2 = 42 − 2.7 = 2 .
2

3
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  f ( x ) = x − 3x  trên đoạn  [ −3;3]  bằng
A.  18 .
B.  −18 .
C.  −2 .
Lời giải

Ta có:  f
Có:  f

( x ) = 3x

( x) = 0

D.  2 .
Đáp án B

2

−3
x = −1 �[ −3;3]
x = 1 �[ −3;3]

Mặt khác:  f ( −3) = −18; f ( 3 ) = 18; f ( −1) = 2; f ( 1) = −2 .
f ( x ) = f ( −3 ) = −18 .
Vậy  min
[ −3;3]

Câu 22: Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt 

bằng  1m  và  1,5m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể 
tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể  nước dự định làm gần nhất với kết 
quả nào dưới đây?
A.  1, 6m .
B.  2,5m .
C.  1,8m .
D.  2,1m .
Lời giải
Đáp án C
Gọi  r  là bán kính bể dự định làm,  h  là chiều cao các bể.
Ta có  π r 2 h = π ( 12 + 1,52 ) h � r = 12 + 1,52 �1,8 ( m ) .

Câu 23: Cho hàm số  y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.  2 .
B.  1 .
C.  3 .

D.  4 .


Lời giải

Đáp án C

Dựa vào bản biến thiên ta có
lim+ y = +�� x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x

0

lim y = 0 � y = 0  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x

−

lim y = 3 � y = 3  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x

+

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là  3
Câu 24: Cho hàm số   f ( x )  liên tục trên  R . Gọi  S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = f ( x ) , y = 0, x = −2  và  x = 3  (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.  S =
C.  S =

1

3

−2
1

1
3

−2

1

1

3

−2
1

1
3

−2

1

f ( x ) dx .
�f ( x ) dx − �

f ( x ) dx + �
f ( x ) dx .
B.  S = − �

f ( x ) dx .
�f ( x ) dx + �

f ( x ) dx − �

f ( x ) dx .
D.  S = − �
Lời giải
Đáp án A

Ta có  S =

3

1

3

1

3

−2

1

−2

1

f ( x ) dx
�f ( x ) dx = �f ( x ) dx + �f ( x ) dx = �f ( x ) dx − �

−2

Câu 25: Hàm số  y = 3x − x  có đạo hàm là
2

2
A.  3x − x.ln 3 .

2
B.  ( 2 x − 1) 3x − x .

(

)

2
x 2 − x −1
C.  x − x .3
.

Lời giải

2
D.  ( 2 x − 1) 3 x − x.ln 3 .

Đáp án D

Câu 26: Cho khối lăng trụ đứng  ABC. A B C  có đáy là tam giác đều cạnh  a  và  AA = 2a  (minh họa 
như hình vẽ bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng


A'

C'
B'

C

A
B
3
A.  6a .
4

3
B.  6a .
6

Ta có:  VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC = a 2.

3
C.  6a .
12
Lời giải

3
D.  6a .
2

Đáp án A

a 2 3 a3 6

. 
=
4
4

Câu 27: Nghiệm của phương trình  log 3 ( 2 x + 1) = 1 + log 3 ( x − 1)  là
A.  x = 4 .
B.  x = −2 .
C.  x = 1 .
Lời giải

D.  x = 2 .
Đáp án A

Điều kiện  x > 1 .
log 3 ( 2 x + 1) = 1 + log 3 ( x − 1) � 2 x + 1 = 3 ( x − 1) � x = 4 .
Câu 28: Cho  a, b  là hai số thực dương thỏa mãn  ab3 = 8 . Giá trị của  log 2 a + 3log 2 b  bằng
A.  8 .
ab = 8 � log 2 ( ab
3

B.  6 .

3

) = log

C.  2 .
Lời giải

D.  3 .
Đáp án D

2

8 � log 2 a + 3log 2 b = 3 .

Câu 29: Cho hàm số  f ( x )  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình  2 f ( x ) + 3 = 0  là
A.  3 .
B.  1 .
C.  2 .
Lời giải

D.  0 .
Đáp án A

3
3
2 f ( x ) + 3 = 0 � f ( x ) = − . Từ bảng biến thiên ta thấy f ( x )  đạt giá trị  −  tại ba giá trị  x khác 
2
2
nhau. Suy ra phương trình có 3 nghiệm.
Câu 30: Cho hàm số  f ( x )  có đạo hàm  f
là

( x ) = x ( x + 1)

2

, ∀x ﾡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho 


A.  0 .

B.  1 .

C.  2 .
Lời giải

D.  3 .
Đáp án B

Ta có:  f

( x ) = x ( x + 1)

2

chỉ đổi dấu đúng một lần khi qua nghiệm x = 0 . Suy ra, hàm số có đúng một 

điểm cực trị là  x = 0 .
Câu 31: Cho số phức  z  thỏa  (2 − i ) z + 3 + 16i = 2( z + i ) . Môđun của  z bằng
A.  5 .

B.  13 .

C.  13 .
Lời giải

D.  5 .
Đáp án C

Gọi  z = x + yi với  ( x, y ﾡ ) .
Khi đó:  (2 − i ) z + 3 + 16i = 2( z + i) � ( y + 3) + ( − x + 2 y + 16)i = (2 − 2 y )i .
�y + 3 = 0
�x = 2
��
��
� z = 2 − 3i � z = 13 .
− x + 2 y + 16 = 2 − 2 y
�
�y = −3
π
4

Câu 32: Cho hàm số  f ( x) . Biết  f (0) = 4 và  f '( x) = 2sin 2 x + 3, ∀x ﾡ , khi đó  f ( x )dx  bằng
0

A. 

π −2
.
8
2

B. 

π + 8π − 8

.
8
2

C. 
Lời giải

π + 8π − 2
.
8
2

D. 

3π 2 + 2π − 3
.
8

Đáp án C
Ta có  f '( x) = 2sin x + 3, ∀x ﾡ .
2

1
� f ( x) = �
( 4 − cos 2 x ) dx = 4 x − sin 2 x + C
( 2sin 2 x + 3) dx = �
2
1
Vì  f (0) = 4 � C = 4 � f ( x ) = 4 x − sin 2 x + 4 .
2

π
4

π
4

π

2
1
1
� � 2
�4 π + 8π − 2 .
Khi đó  f ( x)dx = �
4
x
−
sin
2
x
+
4
dx
=
2
x
+
4
x
+

cos
2
x
=
�
� �
�
�
�
2
4
8
� �
�0
0
0�

Câu 33: Trong khơng gian  Oxyz , cho các điểm  A ( 2; − 1;0 ) ,  B ( 1; 2;1) ,  C ( 3; − 2;0 )  và  D ( 1;1; − 3 ) . 
Đường thẳng đi qua  D  và vng góc với mặt phẳng  ( ABC )  có phương trình là
x=t
A.  y = t
.
z = −1 − 2t

x=t

x = 1+ t

x = 1+ t

B.  y = t
.
z = 1 − 2t

C.  y = 1 + t .
z = −2 − 3t

D.  y = 1 + t .
z = −3 + 2t

Lời giải
Đáp án A

uuur uuur
uuur
uuur
AB, AC �
Ta có  AB = ( −1;3;1) ,  AC = ( 1; − 1;0 ) � �
�
�= ( 1;1; − 2 ) .

x=t

Đường thẳng đi qua  D  và vng góc với mặt phẳng  ( ABC )  có phương trình là  y = t
.
z = −1 − 2t
Câu 34: Cho hàm số  f ( x ) , có bảng xét dấu  f

( x )  như sau:

Hàm số  y = f ( 5 − 2 x )  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  ( − ; − 3) .

B.  ( 4;5 ) .

C.  ( 3; 4 ) .
Lời giải

D.  ( 1;3) .
Đáp án B

Ta có  y = −2 f ( 5 − 2 x ) .

Hàm số  y = f ( 5 − 2 x )  đồng biến � −2 f ( 5 − 2 x ) �0 � f ( 5 − 2 x ) �0
5 − 2 x < −3
−1 < 5 − 2 x < 1
Vậy chọn đáp ánB.

x>4
.
2< x<3

Câu 35: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  f ( x ) =
4
+C .
x- 2
2
+C .
C.  3ln ( x - 2) x- 2

3x - 2

( x - 2)

2

=

2
( x - 2)

 trên khoảng  ( 2;+ﾡ

)  là

2
+C .
x- 2
4
+C .
D.  3ln ( x - 2) x- 2
Lời giải

A.  3ln ( x - 2) +

Ta có  f ( x ) =

3x - 2

B.  3ln ( x - 2) +

4

( x - 2)

2

+

Đáp án D

3
x- 2

� 4
3 �
4
ﾡﾡ
ﾡﾡ
+ C , do  x �( 2; +�) � x - 2 > 0 .
ﾡﾡ dx = 3ln ( x - 2) �f ( x) dx =�ﾡﾡ�( x - 2) 2 + x - 2 �
x- 2
ﾡ
2
Câu 36: Cho phương trình  log 9 x − log3 ( 4 x − 1) = − log 3 m  ( m  là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu  
giá trị ngun của  m  để phương trình đã cho có nghiệm?
A.  5 .
B.  3 .
C. Vơ số.

D.  4 .
Lời giải
Đáp án B
1
x>
ĐK: 
4 . Khi đó ta có:
m>0
4x −1
4 x − 1  (1).
log 9 x 2 − log 3 ( 4 x − 1) = − log 3 m
log3 m = log 3
m=
x
x
4x −1
�1
�
Xét hàm  f ( x ) =
 trên khoảng  � ; + �
.
x
�4
�
1
ﾡ f ( x ) = 2 > 0 . Ta có bảng biến thiên:
x

�1
�

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình  f ( x ) = m  có nghiệm trên khoảng  � ; + �
 khi  0 < m < 4 .
�4
�


ﾡ0ﾡ phương trình đã cho có nghiệm  ﾡﾡ
� m �{ 1; 2;3}
ﾡﾡ m ﾡ ?
Vậy có  3  giá trị ngun của  m  để phương trình đã cho có nghiệm là  m

{ 1; 2;3} .

Câu 37: Cho hàm số   f ( x ) , hàm số   y = f ( x )   liên tục trên   R   và có đồ  thị  như  hình vẽ  bên. Bất  
phương trình  f ( x ) > 2 x + m  ( m  là tham số thực) nghiệm đúng với mọi  x

A.  m

f ( 2) − 4 .

B.  m

f ( 0) .

C.  m < f ( 0 ) .
Lời giải

Xét hàm số  g ( x ) = f ( x ) − 2 x  với  x
� g ( x) = f

( 0; 2 )
( 0; 2 )

( 0; 2 )
( 0; 2 )

( x ) − 2 �0  với mọi  x
 hàm số nghịch biến trên  ( 0; 2 ) .
Để  m < f ( x ) − 2 x  nghiệm đúng với mọi  x ( 0; 2 )  thì  m

D.  m < f ( 2 ) − 4 . .
Đáp án A

Ta có  f ( x ) > 2 x + m  nghiệm đúng với mọi  x
� m < f ( x ) − 2 x  nghiệm đúng với mọi  x

( 0; 2 )  khi và chỉ khi

g ( 2) = f ( 2) − 4

Câu 38: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được  
hai số có tổng là một số chẵn bằng
11
1
265
12
A.  .
B.  .
C. 

.
D.  .
23
2
529
23
Lời giải
Đáp án A
2
Ta có:  Ω = C23
Gọi  A  là biến cố: “Chọn được 2 số có tổng là số chẵn”.
TH1: Chọn 2 số lẻ:  C122
TH2: Chọn 2 số chẵn:  C112
� Ω A = C122 + C112

Ω A C122 + C112 11
=
=
Vậy  P ( A ) =
.
Ω
C232
23
Câu 39: Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục 
và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh 
của hình trụ đã cho bằng
A.  6π 3 .
B.  6π 39 .
C.  3π 39 .
D.  12π 3 .

Lời giải
Đáp án D


A

r
O

I

B

h
l
D

O'
C

* Thiết diện thu được là hình chữ nhật  ABCD , gọi  I  là trung điểm của  AB  ta có:
OI ⊥ ( ABCD ) � d ( OO '; ( ABCD ) ) = d ( O; ( ABCD ) ) = OI = 1 , 

S ABCD = AB.BC = AB.h = 18 � AB = 2 3 � AI = 3 � r = OA = OI 2 + AI 2 = 2

* Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là  S xq = 2π rl = 12π 3 .
Câu 40: Cho hình chóp S . ABCD  có đáy là hình vng cạnh  a , mặt bên SAB  là tam giác đều và nằm 
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa như  hình vẽ  bên). Khoảng cách từ   B  
đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

S

A

D

B
A. 

a 2
.
2

B. 

C

a 21
.
28

C. 
Lời giải

a 21
.
7

D. 

a 21
.
14

Đáp án C

S

S

H
A
I
B

A
D

G

I

O
C

K
O
C

* Gọi  O = AC

BD  và  G  là trọng tâm tam giác  ABD ,  I  là trung điểm của  AB  ta có

SI ⊥ ( ABCD )  và 

d ( D; ( SAC ) )
d ( I ; ( SAC ) )

=

DG
= 2 � d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) .
IG

* Gọi  K  là trung điểm của  AO ,  H  là hình chiếu của  I  lên  SK  ta có  IK ⊥ AC ;  IH ⊥ ( SAC )
� d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) = 2.IH

* Xét tam giác  SIK  vng tại I ta có:  SI =

a 3
BO a 2
;  IK =
=
2
2
4

1
1

1
4
16
28
a 3
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 � IH =
2
IH
SI
IK
3a
2a
3a
2 7
� d ( D; ( SAC ) ) = 2.d ( I ; ( SAC ) ) = 2.IH =

a 21
.
7

* Do  O  trung điểm của  BD  nên ta có:
d ( B; ( SAC ) )

d ( D; ( SAC ) )

= BO = 1 � d ( B; ( SAC ) ) = d ( D; ( SAC ) ) =

a 21
.
7

Cách 2. 

Do  H  là trung điểm  AB   � d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) )  
Ta có tứ diện vng  HSOB  vuông tại  H  nên :

( d(

1
H ,( SBD ) )

)

d( H ,( SBD ) ) =

2

=

1
1
1
4
4
4
28
+
+
2
2

HS
HO
HB 2   = 2 + 2 + 2 = 2  
3a
a
a
3a

a 21
a 21
 . 
� d ( A,( SBD ) ) =
14
7

3
x  va parabol 
̀
̀
́ ực dương). Goi 
̣ S1  va ̀ S2  
y = x 2 + a  (  a  la tham sô th
2
lân l
̀ ượt la diên tich cua 2 hinh phăng đ
̀ ̣ ́
̉
̀
̉
ược gach cheo trong hinh ve bên. Khi

̣
́
̀
̃
  S1 = S 2   thì  a   thuôc̣  
khoang nao sau đây
̉
̀

y=
Câu 41: Cho đương thăng 
̀
̉


�1 9 �
A.  � ; �
.
�2 16 �

�2 9 �
B.  � ; �
.
�5 20 �

�9 1 �
C.  � ; �
.
�20 2 �
Lơi giai

̀ ̉

� 2�
0; �.
D.  �
� 5�

Đáp án B

3
3
Xet ph
́ ương trinh t
̀ ương giao:  x = x 2 + a � x 2 − x + a = 0 ( 1)
2
2
Đê ph
̉ ương trinh 
̀ ( 1)  co hai nghiêm d
́
̣
ương phân biêṭ x1 , x2  ( x2 > x1 > 0)
9
− 4a > 0
4
3
9
� x1 + x2 = > 0 � 0 < a < .
2
16

x1.x2 = a > 0
∆=

x1

x1

3
� 3
� �1 3 3 2
� 1
dx = � x − x + ax � = x13 − x12 + ax1
Ta co: 
́ S1 = �x 2 − x + a �
2
4
4
� �3
�0 3
0�
x2

x

2
3
3
3
� 3
�

�1
�
�1
� �1
�
S 2 = − �x 2 − x + a �
dx = − � x 3 − x 2 + ax � = − � x23 − x22 + ax2 �+ � x13 − x12 + ax1 �
2
4
4
4
�
�3
�x1
�3
� �3
�
x1 �
1
3
Do  S1 = S 2 � x23 − x22 + ax2 = 0
3
4
3
3
ma ̀ x2  la nghiêm cua 
̀
̣
̉ ( 1)  nên  x22 − x2 + a = 0 � a = − x22 + x2 ( 2 )
2

2
1
3
2
3
9
� 2 3 �
� x23 − x22 + �
− x2 + x2 �
.x2 = 0 � − x23 + x22 = 0 � x2 =  ( loai nghiêm 
̣
̣ x2 = 0 )
3
4
2 �
3
4
8
�
27 �2 9 �
�� ; �.
Thay vao 
̀ ( 2) � a =
64 �5 20 �

Câu 42: Cho hàm số bậc ba  y = f ( x )  có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 
2
f ( x 3 − 3 x ) =  là
3

A.  6 .

B.  10 .

C.  3 .
Lời giải

D.  9 .
Đáp án B

Cách 1
3
Đặt  t = g ( x ) = x − 3x  (1)

2
Ta có  g ' ( x ) = 3 x − 3 = 0 ۱ x 1
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có
Với  t �( −2; 2 )  phương trình  t = x 3 − 3x  có 3 nghiệm phân biệt.
Với  t �{ −2; 2}  phương trình  t = x 3 − 3x  có 2 nghiệm phân biệt

Với  t �( −�; −2 ) �( 2; +�)  phương trình  t = x 3 − 3x  có 1 nghiệm.
Phương trình  f ( x 3 − 3 x ) =

2
2
 (2) trở thành  f ( t ) =
3

3

f ( t) =

2
3

f ( t) = −

2
3

Dựa vào đồ thị ta có:
+ Phương trình f ( t ) =
phân biệt.

2
 có 3 nghiệm thỏa mãn  −2 < t1 < t2 < 2 < t3
3

2
+ Phương trình  f ( t ) = −  có 3 nghiệm thỏa mãn  t4 < −2 < 2 < t5 < t6
3
nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.
Cách 2.
2
Xét phương trình  f x3 − 3x =
3
3

2
Đặt  t = x − 3x, t ' = 3x − 3, t ' = 0 � x = �1
Bảng biến thiên:

(

)

 phương trình (2) có 7 nghiệm 

 phương trình (2) có 3 


2
Phương trình trở thành:  f (t ) = , t ﾡ
3
Từ đồ thị  f ( x )  ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số  y = f (t)  như sau:

Suy ra: phương trình  f (t) =

2
 có các nghiệm  t1 < −2 < t2 < t3 < 2 < t4 < t5 < t6 .
3
x 3 − 3x = t1  co 1 nghiem x1
x 3 − 3x = t4  co 1 nghiem x 2

Từ bảng biến thiên ban đầu, ta có: 

x 3 − 3x = t2  co 3 nghiem x 3 , x4 , x5
x 3 − 3x = t3  co 3 nghiem x 6 , x7 , x8

 đều là các nghiệm phân biệt.

x 3 − 3x = t5  co 1 nghiem x 9
x 3 − 3x = t6  co 1 nghiem x10
Vậy  f ( x3 − 3 x) =

2
 có 10 nghiệm phân biệt.
3

Câu 43:  Cho số  phức   z   thỏa mãn   z = 2 . Trên mặt phẳng tọa độ   Oxy , tập hợp các điểm biểu 
5 + iz
diễn của số phức  w  thỏa mãn  w =
 là một đường trịn có bán kính bằng
1+ z
A.  52 .
B.  2 13 .
C.  2 11 .
D.  44 .
Lời giải
Đáp án B
Ta có  w =

5 + iz
� w ( 1 + z ) = 5 + iz � z ( w − i ) = − w + 5 .
1+ z

Lấy mô đun hai vế ta được  2. w − i = − w + 5
2

2
2
x 2 + ( y − 1) �= ( 5 − x ) + ( − y )
Giả sử  w = x + yi , với  x, y R  ta có  2 �
�
�

� x 2 + y 2 + 10 x − 4 y − 23 = 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức  w  đường trịn có bán kính  R = 2 13 .


1

Câu 44:  Cho hàm số   f ( x )   có đạo hàm liên tục trên   ﾡ . Biết   f ( 3) = 1   và   xf ( 3x ) d x = 1 , khi đó 
0
3

x2 f

( x ) d x  bằng

0

A.  3 .

C.  −9 .

B.  7 .

Lời giải

D. 

25
.
3

Đáp án C
1

Xét tích phân  I = xf ( 3x ) d x = 1 .
0

1
1
Đặt  t = 3 x � d x = d t  và  x = t .
3
3
Khi  x = 0  thì  t = 0 . Khi  x = 1  thì  t = 3 .
3
3
1
1
1
tf ( t ) d t ,
Do đó  I = �tf ( t ) . d t = �
3
3
90
0

3

3

3

3

1
tf ( t ) d t = 1 � �
tf ( t ) d t = 9 � tf ( t ) d t = 9 � xf ( x ) d x = 9 .
suy ra  �
90
0
0
0
3

2
Xét tích phân  J = x f

( x) d x .

0

u=x
�
Đặt  �
dv = f

d u = 2x d x
�
, ta có
�
v = f ( x)

2

3

J= x f
0

2

( x) d x

3

( x) d x = x f ( x) 0 −
2

= 3 . f ( 3) − 0 . f ( 0 ) − 2.9 = −9 .
2

3

0

3

3

2 xf ( x ) d x = x f ( x ) − 2 xf ( x ) d x
2

0

0

2

Câu 45: Trong không gian  Oxyz ,  cho điểm  A ( 0;3; − 2 ) .  Xét đường thẳng  d  thay đổi, song song với 
trục  Oz  và cách trục  Oz  một khoảng bằng  2.  Khi khoảng cách từ   A  đến  d  lớn nhất,  d  đi qua 
điểm nào dưới đây?
A.  Q ( −2;0; − 3) .
B.  M ( 0;8; − 5 ) .
C.  N ( 0; 2; − 5 ) .
D.  P ( 0; − 2; − 5 ) .
Lời giải
Đáp án D

Do đường thẳng  d / /Oz  nên  d  nằm trên mặt trụ có trục là  Oz  và bán kính trụ là  R = 2.
Gọi  H  là hình chiếu của  A  trên trục  Oz , suy ra tọa độ  H ( 0; 0; − 2 ) .
Do đó  d( A, Oz ) = AH = 3.


uuur 3 uuur
Gọi  B  là điểm thuộc đường thẳng  AH  sao cho  AH = AB
5

� B ( 0; − 2; − 2 ) .

Vậy  d ( A, d ) max = 5

d là đường thẳng đi qua  B  và song song với  Oz.

x=0
d
:
y = −2 .
Phương trình tham số của 
z = −2 + t
Kết luận:  d  đi qua điểm  P ( 0; − 2; − 5 ) .
Câu 46: Cho hình lăng trụ   ABC. AﾡB ﾡC ﾡ  có chiều cao bằng  4  và đáy là tam giác đều cạnh bằng  4 . 
Gọi  M , N  và  P  lần lượt là tâm của các mặt bên  ABB ﾡAﾡ ,  ACC ﾡAﾡ  và  BCC ﾡB ﾡ . Thể tích của khối 
đa diện lồi có các đỉnh là các điểm  A, B, C , M , N , P  bằng
A. 

14 3
.
3

B.  8 3 .

C.  6 3 .

D. 

20 3
.

3

Lời giải

Cách 1:

Chia đơi khối lăng trụ bằng mặt phẳng  ( MNP ) .  Khi đó ta có  ( MNP ) BB = { F }  thì 
1
VABC . EFG = VABC . A B C
2
Lại có  VABC .MNP = VABC .EFG − VB.MPF − VA. EMN − VC . NPG
1
1 1
1
Dễ thấy  VB.MPF = VA. EMN = VC . NPG = VABC . EFG = . VABC . A B C = VABC . A B C
4
4 2
8
2
3
3 4.4 3
�1 1 �
Tức là  VABC .MNP = � − �
VABC . A B C = VABC . A B C = .
= 6 3.
8
8
4
�2 8 �
Cách 2

Đáp án C


S ABC

42 3 
=
= 4 3 ;  VABC . A B C = V
4
Hạ  M 1 , N1 , P1  lần lượt vng góc  AB, AC , BC ,

khi đó  M 1 , N1 , P1  lần lượt là trung điểm các cạnh  AB, AC , BC
Khi đó  VABCMNP = VMNP.M1N1P1 + VB.MPP1M1 + VC . NPP1N1 + VA.MNN1M1

1
1
1
1
S ABC ; MM 1 = AA  nên  VMNP.M1N1P1 = VABC . A B C = V
4
2
8
8
Do đáy là tam giác đều nên  VB.MPP1M1 = VC . NPP1N1 = VA.MNN1M1
Dễ thấy  S MNP =

1
1
d ( B; ( ACC A ) ) ;  S MPP1M1 = S ACC A  nên 

2
4
1
1 2
1
VB.MPP1M1 = VB . ACC A = . V = V .
8
8 3
12
1
1
1
1
3
3
Do đó  VABCMNP = V + V + V + V = V = .4.4 3 = 6 3 .
8
12
12
12
8
8
x- 2 x- 1
x
x +1
+
+
+
Câu 47: Cho hai hàm số  y =
 và  y = x +1 - x - m  (  m  là tham số thực) 

x- 1
x
x +1 x + 2
có đồ thị lần lượt là  ( C1 )  và  ( C2 ) . Tập hợp tất các các giải trịcủa  m  để   ( C1 )  và  ( C2 )  cắt nhau tại 
đúng  4  điểm phân biệt là 
Ta có  d ( B; ( MPPM
1
1) ) =

A.  ( −3; +

).

B.  ( − ; −3) .

C.  [ −3; +

).

D. ( − ; −3] .

Lời giải

Đáp án D

x- 2 x- 1
x
x +1
+
+

+
= x +1 - x - m .
x- 1
x
x +1 x + 2
Tập xác định:  D = ? \ { 1;0; - 1; - 2}  .
Với điều kiện trên, phương trình trở thành :
1
1
1
1
4- = x +1 - x - m ( *)  
x - 1 x x +1 x + 2
1
1
1
1
�
+ +
+
- 4 + x +1 - x = m
x - 1 x x +1 x + 2
1
1
1
1
+ +
+
- 4 + x +1 - x  với tập xác định  D , ta có:
Xét hàm số  f ( x ) =

x - 1 x x +1 x + 2
1
1
1
1
x +1
f ﾡ( x) = - 2+
- 1 < 0, " x ﾡ D.  
2
2
2
x +1
( x - 1) x ( x +1) ( x + 2)
Phương trình hồnh độ giao điểm : 

Bảng biến thiên: 

Để   ( C1 )  và  ( C2 )  cắt nhau tại đúng  4  điểm phân biệt thì phương trình  ( *)  có 4 nghiệm phân biệt. 
Từ bảng biến thiên suy ra tất cả các giá trị  m  cần tìm là  m ﾡ - 3  .
Câu 48: Cho phương trình  ( 2 log 22 x − log 2 x − 1) 4 x − m = 0  ( m  là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu  
giá trị ngun dương của  m  để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt


A. Vô số.

( 2log

2
2

B.  62 .

D.  64 .
Đáp án B

x − log 2 x − 1) 4 x − m = 0  (*)

�x > 0

x>0
�

C.  63 .
Lời giải

4x = m

�

4x − m > 0
2 log 22 x − log 2 x − 1

( 1)

x = log 4 m
x > log 4 m
−

x = 3 �x = 3

1
2

( 2)

•  Nế u  m = 1  thì phương trình (1) vơ nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt. Do đó  m = 1  
thỏa.
•  Nế u  m > 1  thì phương trình (1) ln có nghiệm  x = log 4 m , nghiệm này ln là nghiệm của (*). 
Do đó, (*) có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm.
1
§ Với  m = 2  thì  log 4 2 =  như vậy phương trình (2) có hai nghiệm nên ta loại trường hợp này
2
1

§ Với  m 3  thì  x = 3− 2

0,577 , trong khi đó 

log 4 3 0, 79  nên ta loại nghiệm 

chỉ cịn nghiệm  x = 3.
Xét  log 4 m < 3 � m < 64 .

Các giá trị  m  ngun dương cần tìm thuộc tập  S = { 1}

−

x=3

1

2

, như vậy (2) 

[ 3, 64 ) .Vậy có tất cả 62 giá trị  m.

Câu 49: Trong không gian  Oxyz , cho mặt cầu  ( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 1) = 5 . Có tất cả  bao nhiêu điểm 
2

A ( a; b; c )  (  a, b, c  là các số ngun ) thuộc mặt phẳng  ( Oxy )  sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của 

( S )  đi qua  A  và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau.
A. 12.

B. 16.

C. 20.
Lời giải

D. 8.
Đáp án C

Do  A ( a; b; c ) �( Oxy ) � c = 0 . Gọi  I  là tâm mặt cầu.
Từ  A  kẻ được hai tiếp tuyến nên ta có  IA

R = 5 . Gọi hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là  M , N  

do hai tiếp tuyến vng góc với nhau nên  MN = =AM
−� 2

2 ( IA2

R2 )

2R

IA R 2

Từ đó ta có  5 ��
IA + +10
�+ �
5 a 2 b 2 1 10 4 a 2 b 2 9 .
Các cặp số nguyên  ( a; b )  thỏa mãn là:  ( 0; 2 ) , ( 0; 3) , ( 2;0 ) , ( 1; 2 ) , ( 2; 1) , ( 2; 2 ) , ( 3;0 )
Vậy 20 điểm  A  thỏa mãn điều kiện đã cho.
Câu 50: Cho hàm số  f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số  f

( x )  như sau:

2
Số điểm cực trị của hàm số  y = f ( 4 x + 4 x )  là

A.  5 .

B.  9 .

C.  7 .
Lời giải

D.  3 .