Elíp_Nâng cao

Những hình ảnh về đường Elip trong
khoa học và đời sống


(E)
I . CÁC ĐỊNH NGHĨA
Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c (c > 0)
•
Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F
1
M + F
2
M = 2a
Trong đó a là hằng số cho trước lớn hơn c
•
Hai điểm F
1
và F
2
gọi là các tiêu điểm của elip.
•
Khoảng cách F

1
F
2
= 2c gọi là tiêu cự của elip.
•
Tỉ số gọi là tâm sai của elip.
c
e
a
=
M ∈ (E ) ⇔ F
1
M + F
2
M = 2a , (a > c > 0 )
° °
F
1
F
2
2c

M

II . Phương trình chính tắc của elip
y
x
O
°
(- c ; 0 ) ( c ; 0 )

( x ; y )
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có
gốc O là trung điểm của F
1
F
2
,
trục Oy là trung trực của
F
1
F
2
như hình vẽ.
Khi đó ta có tọa độ F
1
, F
2
là
Cho elip (E) có các tiêu điểm
F
1
, F
2
. Tiêu cự F
1
F
2
= 2c như
hình vẽ.
M ∈ (E) ⇔ F

1
M + F
2
M = 2a
với a > c > 0
F
1
( - c ; 0) F
2
( c ; 0)và
M
•
°
°
F
1
F
2

°
(E)
2c

x
y
F
1
F
2
O

-c
c
 
M
( x ; y )
(E)
°
Ta có
°
M(x ; y) ∈ (E) ⇔ F
1
M + F
2
M = 2a (1)
F
1
( - c ; 0) F
2
( c ; 0)
F
1
M
2

=
( x + c )
2
+ y
2
F

2
M
2

=
( x - c )
2
+ y
2
⇒ F
1
M
2
- F
2
M
2
=
và F
1
M
2
+ F
2
M
2
=
4cx (*)
2x
2

+ 2y
2
+ 2c
2
(**)
(*) ⇒ F
1
M

- F
2
M =
1 2
(2)
4 4 2
2
cx cx cx
F M F M a a
= =
+
(1) và (2) ⇒ F
1
M =

và F
2
M =

c
a x

a
+
c
a x
a
−
(3)

Các đoạn thẳng F
1
M và F
2
M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M
Độ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3)

Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình :

(a
2
- c
2
)x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a

2
- c
2
) (4)
Vì a > c > 0 nên a
2
> c
2
. Đặt b
2
= a
2
- c
2
(b > 0), ta có
( )
2 2
2 2
1 0b
x y
a b
a+ > >=
(5)
là phương trình chính tắc của elip đã cho.
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1
4 b x a y a b

x y
a b
⇔ + =
⇔ + =
Ta gọi phương trình :

GHI NHỚ
Định nghĩa : M ∈ (E ) ⇔ F
1
M + F
2
M = 2a , (a > c > 0 )
Trong đó F
1
, F
2
là hai tiêu điểm cố định, F
1
F
2
= 2c là tiêu cự
y
Phương trình chính tắc của elip :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Trong đó a > b > 0, c

2
= a
2
– b
2


x
F
1
F
2
O
-c
c
 
M
(E)
°
°
Tiêu điểm F
1
( - c ; 0) F
2
( c ; 0) tâm sai
Bán kính qua tiêu F
1
M = a + ex , F
2
M = a - ex

c
e
a
=

Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ?
NHÓM I: Có a = 6, c = 2
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 36 – 4 = 32. Do đó pt (E
1
) là:
2 2
1
36 32
x y
+ =
NHÓM II: Có a = 7, c = 4
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 49 – 16 = 33. Do đó pt (E
2

) là:
2 2
1
49 33
x y
+ =
NHÓM III: Có a = 7, c = 6
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 49 – 36 = 13. Do đó pt (E
3
) là:
2 2
1
49 13
x y
+ =
NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5
⇒ b
2
= a
2
– c
2
= 1056/25. Do đó pt (E
4

) là:
2 2
1
1056
49
25
x y
+ =