6 dao động điều hòa của con lắc lò xo

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CON LẮC LÒ XO

CHUYÊN ĐỀ
6

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m gắn vào đầu một lò xo có độ cứng k và khối lượng không đáng
kể. Đầu kia của lò xo được giữ cố định. Vật m có thể trượt trên một mặt phẳng nằm ngang không ma sát.
o Vị trí cân bằng của vật là vị trí lò xo không biến dạng.
o Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ, ta thấy vật dao động trên một đoạn thẳng
quanh vị trí cân bằng.
1. Dao động điều hòa của con lắc lò xo về phương diện động lực học
N

l0

l0

Fdh

O

x

O

x

P

Chọn trục Ox song song với trục của lò xo, chiều dương là chiều tăng độ dài của lò xo. Gốc tọa độ tại vị trí
cân bằng.
Ta có:
o P +N =0 .
o Fhl = Fdh
Lực đàn hồi luôn hướng về vị trí cân bằng nên ta gọi lực đàn hồi trong trường hợp này là lực kéo về
Fdh = Fkv = −kx
Phương trình động lực học cho chuyển động của con lắc
k
k
k
Fdh = ma ↔ x + x = 0 , ta đặt  2 =
hay  =
→ x +  2 x = 0 (*)
m
m
m
→ Phương trình (*) cho nghiệm có dạng x = A cos (t + 0 ) , vậy dao động của con lắc lò xo là dao động
điều hòa.
2. Dao động điều hòa của con lắc lò xo về phương diện năng lượng
Cơ năng của con lắc là tổng động năng của vật m và thế năng đàn hồi của lò xo
Động năng
Thế năng
l

v
m

1
Ed = mv 2

2

l0

x

1
Et = kx2
2

Cơ năng
1
1
E = Ed + Et = mv 2 + kx 2
2
2
hay
1 2 1
E = kA = m 2 A2
2
2
 Chú ý: nếu bỏ qua ma sát thì cơ năng của vật dao động điều hòa là một đại lượng bảo toàn.

HDedu - Page 1


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Tần số góc ω, tần số f, chu kì T và tỉ lệ hóa các bài toán liên quan
Con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m , lò xo có độ cứng k dao động điều hòa với tần số góc  , chu
kì T và tần số f được xác định bằng biểu thức

Tần số góc
Chu kì
Tần số
k
m
1 k
=
T = 2
f =
m
k
2 m
Mối liên hệ
1 2
T= =
f

 Bài toán tổng quát: Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k không đổi và vật nặng khối lượng m có thể
thay đổi được. Khi m = m1 thì chu kì dao động của con lắc là T1 ; khi m = m2 thì chu kì dao động của con lắc
là T2 . Xác định chu kì dao động của con lắc khi m = m1 + m2 .
 Phương pháp giải:
Chu kì dao động của con lắc được xác định bằng biểu thức T = 2

k

o

m = m1 → m1 =

o

m = m2 → m1 =

o

m = m1 + m2 → m =

( 2 )

2

k

( 2 )

2

m
k
→ m=
T 2 (1).
2
k
( 2 )

T12 .
T22 .
k

( 2 )

2

T2 .

Với m = m1 + m2 → T = T + T22 .
2

2
1

 Nhận xét: Nhận thấy rằng m T 2 với hệ số tỉ lệ

k

( 2 )

2

, hệ số này không ảnh hưởng đến kết quả của

bài toán. Do đó, ta có thể xây dựng một quy trình giải nhanh cho dạng toán này qua các bước sau:
o Bước 1: Xác định mối liên hệ tỉ lệ giữa các biến số.
o Bước 2: Dựa vào điều kiện toán học đã biết của một biến số trong các trường hợp biến đổi, xây
dựng mối liên hệ tương ứng của đại lượng cần tìm.
 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k và vật nặng khối lượng m1 dao động điều hòa với chu kì

T1 = 3 s, thay vật nặng bằng vật nặng khác có khối lượng m2 thì thấy con lắc dao động với chu kì T2 = 4 s.
Nếu treo đồng thời cả hai vật nặng vào lò xo thì hệ sẽ dao động với chu kì

A. 2 s.
B. 4 s.
C. 5 s.
D. 7 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o m T2.
o

m = m1 + m2 → T 2 = T12 + T22 hay T = T12 + T22 =

( 3) + ( 4 )
2

2

= 5 s.

 Ví dụ 2: (BXD – 2019) Khi lần lượt treo vật nặng vào các lò xo có độ cứng k1 , k2 thì thấy vật nặng dao
động với chu kì tương ứng lần lượt là T1 = 4 s và T2 = 3 s. Nếu treo vật nặng trên vào lò xo có độ cứng

k = k1 + k2 thì vật nặng sẽ dao động với chu kì
HDedu - Page 2


A. 2,4 s.
B. 4,4 s.
C. 5,4 s.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

1
o k
.
T2
( 4 ) . ( 3) = 2, 4 s.
TT
1
1
1
1 2
o k = k1 + k2 thì 2 = 2 + 2 → T =
=
2
2
T
T1 T2
T12 + T22
( 4 ) + ( 3)

D. 7,0 s.

 Ví dụ 3: Khi treo vật khối lượng m vào lò xo k1 thì chu kì dao động của vật là T1 = 0,8 s. Nếu treo vật
vào lò xo có độ cứng k2 thì vật dao động điều hòa với chu kì T2 = 0, 6 s. Treo vật m vào hệ hai lò xo ghép
song song thì chu kì dao động của vật là
A. 0,48 s.
B. 0,1 s.
C. 0,7 s.
D. 0,14 s.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

1
1
o T
→ k
.
T2
k
( 0, 6 ) . ( 0,8) = 0, 48 s.
TT
1
1
1
1 2
o k = k1 + k2 → 2 = 2 + 2 → Tss =
=
2
2
T
T1 T2
T12 + T22
( 0, 6 ) + ( 0,8)
Dạng 2: Năng lượng dao động
và bài toán liên quan đến vị trí động năng bằng n lần thế năng
Cơ năng của con lắc lò xo tại vị trí vật có li độ x và vận tốc v là
1
1
E = mv 2 + kx 2
2
2
Nếu bỏ qua ma sát thì cơ năng của con lắc là một đại lượng bảo toàn

1
1
1
1
E = mv 2 + kx 2 = kA2 = m 2 A2
2
2
2
2
Do đó:
1
o khi vật đi qua vị trí cân bằng động năng là cực đại E = Edmax = mv02 , thế năng là cực tiểu Et = 0 .
2
1 2
o khi vật đi qua vị trí biên thì thế năng là cực đại E = Etmax = kA , động năng là cực tiểu Ed = 0 .
2
→ Động năng và thế năng của vật tại một vị trí có thể được xác định bằng biểu thức:
1
1
Ed = k ( A2 − x 2 ) , Et = m ( v02 − v 2 )
2
2
 Bài toán tổng quát: Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k và vật nặng khối lượng m dao động điều
hòa với biên độ A . Xác định li độ x và vật tốc v của vật tại vị trí Ed = nEt .
 Phương pháp giải:
Ta có:
A

x=


 Ed = nEt
n +1

o 
→ ( n + 1) Et = E → 
.
 Ed + Et = E
v =  n v
max

n +1
Từ kết quả trên, ứng với các giá trị đặc biệt của n , ta có các trường hợp đáng nhớ sau:
A
3
vmax .
o n=3 → x= → v =
2
2

HDedu - Page 3


o
o

2A
2
→ v=
vmax .
2

2
1
1
3A
→ v =  vmax .
n= → x=
2
3
2

n =1 → x = 

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2012) Một vật dao động điều hòa với biên độ A và cơ năng E . Mốc thế năng của
2
vật ở vị trí cân bằng. Khi vật đi qua vị trí có li độ A thì động năng của vật là
3
5
4
2
7
A. E .
B. E .
C. E .
D. E .
9
9
9
9
 Hướng dẫn: Chọn A.

Ta có:
2
1
1  2 2   5
2
2
o Ed = E − Et = k ( A − x ) = k  A −  A   = E .
2
2 
 3   9
 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2017) Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ và con lắc có độ cứng 20 N/m dao động



thì vận tốc của vật là −20 3 cm/s. Lấy  2 = 10 . Khi vật đi
2
qua vị trí có li độ 3 cm thì động năng của con lắc là
A. 0,03 J.
B. 0,36 J.
C. 0,72 J.
D. 0,18 J.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
2 2
=
=  rad/s.
o =
T ( 2)
điều hòa với chu kì 2 s. Khi pha dao động là

o khi  = +



→ vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm
2
→ v = − A = −20 3 cm/s → A = 2 3 cm.
2
1
1
2
o ( Ed ) x =3 = k ( A2 − x 2 ) = ( 20 )  2 3 − ( 3 )  . (10−4 ) = 0, 03 J.



2
2

(

)

 Ví dụ 3: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì 2
s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ngắn nhất khi
1
chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng lần thế năng là
3
A. 26,12 cm/s.
B. 7,32 cm/s.
C. 14,64 cm/s.

D. 21,96 cm/s.
 Hướng dẫn: Chọn D.
M2

M1

N2

N1

−A

+A
x

S
N3

N4
M3

M4

Ta có:

HDedu - Page 4


o
o

o
o

1
Ed = 3Et → x =  A → M 1 , M 2 , M 3 và M 4 trên đường tròn.
2
3
1
A → N1 , N 2 , N 3 và N 4 .
Ed = Et → x = 
2
3
300 )
(

1
0
T=
. 2 = s.
t = tmin →  = N1OM1 = 30 → tmin =
0
0 ( )
360
360
6
vtb =

( )

5 3 − ( 5)

x2 − x1
=
= 21,96 cm/s.
tmin
1
 
6
 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 

I. Chinh phục lý thuyết
Câu 1: (Quốc gia – 2015) Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là m dao động điều hòa theo phương
ngang với phương trình x = A cos (t ) . Mốc tính thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của con lắc là
A. m A2 .

B.

1
m A2 .
2

C. m 2 A2 .

D.

1
m 2 A2 .
2

 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:

1
o E = m 2 A2 .
2
Câu 2: (Quốc gia – 2015) Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng m và lò xo có độ cứng k . Con
lắc dao động điều hòa với tần số góc là
m
k
m
k
A. 2
.
B. 2
.
C.
.
D.
.
k
m
k
m
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
k
=
m.
o
Câu 3: (Quốc gia – 2016) Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương nằm ngang. Nếu biên độ dao
động tăng gấp đôi thì tần số dao động của con lắc
A. tăng gấp 2 lần.

B. giảm 2 lần.
C. không đổi.
D. tăng 2 lần.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o f không phụ thuộc vào biên độ.
o do đó việc thay đổi biên độ không làm thay đổi tần số dao động của con lắc.
Câu 4: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O . Khi vật nặng của con
lắc đi qua O thì
A. vận tốc của vật bằng 0.
B. thế năng của vật cực đại.
C. động năng của vật cực đại.
D. lực kéo về tác dụng lên vật cực đại.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì động năng là cực đại.
Câu 5: (BXD – 2019) Con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m , lò xo có độ cứng k đang dao động
quanh vị trí cân bằng với biên độ A . Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, khi vật nặng của con lắc có li
độ x thì động năng của nó được xác định bằng biểu thức
1
1
1
1
A. Ed = kx 2 .
B. Ed = k x 2 − A2 .
C. Ed = k A2 − x 2 .
D. Ed = kA2 .
2
2
2
2

 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:

(

)

(

)

HDedu - Page 5


1
Ed = k ( A2 − x 2 ) .
2
Câu 6: (BXD – 2019) Trong dao động điều hòa của con lắc lò xo. Khi vật nặng chuyển động từ vị trí cân
bằng ra vị trí biên thì
A. động năng của vật tăng, thế năng của vật giảm.
B. cơ năng của vật luôn giảm, thế năng của vật luôn tăng.
C. thế năng của vật tăng còn động năng của vật giảm.
D. cơ năng của vật luôn tăng, thế năng của vật luôn giảm.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Khi vật chuyển động từ vị trí cân bằng ra vị trí biên thì động năng của vật giảm, thế năng của vật tăng.
Câu 7: (BXD – 2019) Trong dao động điều hòa của con lắc lò xo. Khi vật nặng chuyển động từ vị trí biên
âm đến vị trí biên dương thì
A. động năng của vật luôn tăng.
B. động năng của vật luôn giảm.
C. động năng của vật giảm rồi lại tăng.

D. động năng của vật tăng rồi lại giảm.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Khi vật chuyển động từ vị trí biên âm sang vị trí biên dương thì động năng của vật tăng rồi lại giảm.
Câu 8: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m đang dao động điều hòa quanh vị trí
cân bằng O . Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng, biết rằng tốc độ của vật khi qua vị trí này là v0 . Tại vị trí
vật có vận tốc v thì thế năng của nó được xác định bằng biểu thức
1
1
1
1
A. Et = mv 2 .
B. Et = mv02 .
C. Et = m ( v 2 − v02 ) .
D. Et = m ( v02 − v 2 ) .
2
2
2
2
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
1
o Et = m ( v02 − v 2 ) .
2
Câu 9: (BXD – 2019) Chọn đáp án sai. Trong dao động điều hòa của con lắc lò xo
A. cơ năng của con lắc luôn không đổi.
B. động năng của con lắc cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng.
C. thế năng của con lắc cực đại khi vật đi qua vị trí biên.
D. cơ năng của con lắc biến thiên điều hòa cùng tần số li độ.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Cơ năng của con lắc lò xo dao động điều hòa luôn không đổi theo thời gian → D sai.

Câu 10: (BXD – 2019) Trong dao động điều hòa của con lắc lò xo. Nếu ta tăng gấp đôi khối lượng của vật
nặng đồng thời giản độ cứng của lò xo xuống còn một nửa thì chu kì dao động của con lắc sẽ
A. tăng lên 2 lần.
B. giảm đi 2 lần.
C. tăng lên 4 lần.
D. giảm đi 4 lần.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Nếu ta tăng gấp đôi khối lượng của vật nặng đồng thời giản độ cứng của lò xo xuống còn một nửa thì chu
kì dao động của con lắc sẽ tăng lên 2 lần.
o

II. Bài tập vận dụng
Câu 1: (Quốc gia – 2014) Một vật có khối lượng 50 g, dao động điều hòa với biên độ 4 cm và tần số góc 3
rad/s. Động năng cực đại của vật là
A. 7,2 J.
B. 3, 6.10−4 J.
C. 7, 2.10−4 J.
D. 3,6 J.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
2
1
1
2
o ( Ed )cb = E = m 2 A2 = . 50.10−3 . ( 3) . 4.10−2 = 3,6.10−4 J.
2
2
Câu 2: (Quốc gia – 2009) Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ
có khối lượng 100 g. Lấy  2 = 10 . Động năng của con lắc biến thiên theo thời gian với tần số
A. 6 Hz.

B. 3 Hz.
C. 12 Hz.
D. 1 Hz.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:

(

)

(

)

HDedu - Page 6


o

f =

1
2

k
1
=
m 2

( 36 ) = 3 Hz →

( 0,1)

f d = 2 f = 2. ( 3) = 6 Hz.

Câu 3: (Quốc gia – 2015) Một vật nhỏ khối lượng 100 g, dao động điều hòa theo phương trình
x = 8cos (10t ) ( x tính bằng cm, t tính bằng s). Động năng cực đại của vật bằng
A. 32 mJ.
B. 16 mJ.
C. 64 mJ.
D. 128 mJ.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
2
1
1
2
o ( Ed )cb = E = m 2 A2 = . 100.10−3 . (10 ) . 8.10−2 = 32 mJ.
2
2
Câu 4: (BXD – 2019) Con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ A = 9 cm, khi vật đi qua vị trí động
năng bằng 8 lần thế năng thì li độ của vật có giá trị là
A. x = 3 cm.
B. x = 3 2 cm.
C. x = 3 3 cm.
D. x = 4 2 cm.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
A
9
=

= 3 cm.
o x=
n +1
(8) + 1

(

)

(

)

Câu 5: (BXD – 2019) Con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ A , khi vật đi qua vị trí có li độ x =

4A
5

thì tỉ số giữa động năng và thế năng của vật là
4
8
9
16
A. .
B. .
C.
.
D.
.
7

5
16
6
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có tỉ số:
1
2
2
2
2
Ed 2 k ( A − x )  A 
9
5
=
=   −1 =   −1 = .
o
1 2
Et
16
x
4
kx
2
Câu 6: Động năng của con lắc lò xo biến thiên tuần hoàn với chu kì Td = 0,3 s. Trong một chu kì, khoảng
thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp thế năng bằng ba lần động năng là
A. 0,1 s.
B. 0,2 s.
C. 0,3 s.
D. 0,4 s.
 Hướng dẫn: Chọn A.

−A

−

3
2

+A
x

min

A

+

3
2

A

Ta có:

3
A
2
T ( 0,6 )
= 0,1 s.
o tmin = =

6
6
Câu 7: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 100 g, lò xo có độ cứng k = 100
N/m. Lấy  2 = 10 . Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí biên âm đến vị trí biên dương là
A. 0,05 s.
B. 0,2 s.
C. 0,1 s.
D. 0,25 s.
o

xEt =3 Ed = 

HDedu - Page 7


 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o T = 2
o

t =

m
= 2
k

( 0,1) = 0, 2
s.
(100 )

T ( 0, 2 )
=
= 0,1 s.
2
2



Câu 8: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos  2 t −  cm, t được tính
2

bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, quãng đường mà vật đi được cho tới khi vật đi qua vị trí động năng
bằng ba lần thế năng lần đầu tiên là
A. 10 cm.
B. 5 cm.
C. 20 cm.
D. 25 cm.
 Hướng dẫn: Chọn B.

−A

S
+ A
1
2

+A
x

Ta có:

o t = 0 → điểm M trên đường tròn.
A
o xEd =3Et =  → t = tmin → điểm N trên đường tròn.
2
o S = 5 cm.
Câu 9: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 100 g và lò xo có độ cứng k = 100
N/m đang dao động điều hòa. Lấy  2 = 10 . Thế năng của con lắc biến thiên tuần hòa với chu kì
A. 0,3 s.
B. 0,2 s.
C. 0,1 s.
D. 0,4 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
o T = 2

m
= 2
k

( 0,1) = 0, 2
s.
(100 )

T ( 0, 2 )
=
= 0,1 s.
2
2
Câu 10: Hai lò xo L1 và L2 có cùng chiều dài. Khi treo vật m vào lò xo L1 thì chu kì dao động của vật là
T1 = 0,3 s, khi treo vật m vào lò xo L2 thì chu kì dao động của vật là T2 = 0, 4 s. Ghép hai lò xo này song

song với nhau, tiếp tục treo vật m lên hệ thì chu kì dao động của vật là
A. 0,12 s.
B. 0,24 s.
C. 0,36 s.
D. 0,48 s.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
1
o k
.
T2
( 0,3) . ( 0, 4 ) = 0, 24 s.
T1T2
1
1
1
=
o kss = k1 + k2 → 2 = 2 + 2 → Tss =
2
2
Tss T1 T2
T12 + T22
( 0,3) + ( 0, 4 )
o

Tt =

HDedu - Page 8

Câu 11: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T = 1 s và biên độ A = 5 cm. Vật
nặng của con lắc có khối lượng m = 400 g. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng, khi vật có vận tốc v = 6
cm/s thì thế năng của con lắc là
A. 0,013 J.
B. 0,226 J.
C. 0,045 J.
D. 255,7 J.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
2
2
A=
. ( 5) = 10 cm/s
o vmax =  A =
T
(1)

1
1
2
Et = m ( v02 − v2 ) = . ( 400.10−3 ) (10 ) − ( 6 ) 2  .10−4  0,013 J.


2
2
Câu 12: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo với vật nặng có khối lượng m = 800 g dao động điều hòa với
biên độ A = 10 cm. Biết rằng tốc độ trung bình của vật nặng trong một chu kì là 40 cm/s. Lò xo của con lắc
có độ cứng gần nhất giá trị nào sau đây?
A. 32 N/m.
B. 35 N/m.

C. 100 N/m.
D. 60 N/m.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
( 40 ) = 1
v
o T = tb =
s.
4 A 4. (10 )
o

 2 
 2 
k = m
 = 0,8 
 = 32 N/m.
 T 
 1 
Câu 13: (Quốc gia – 2009) Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao động điều hòa
theo một trục cố định nằm ngang với phương trình x = A cos (t ) . Cứ sau những khoảng thời gian 0,05 s thì
2

2

o

động năng và thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy  2 = 10 . Lò xo của con lắc có độ cứng bằng
A. 50 N/m.
B. 100 N/m.
C. 25 N/m.

D. 200 N/m.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
2
o xEd = Et = 
A.
2
T
o t = = 0,05 s → T = 0, 2 s.
4
2
2
 2 
−3  2 
o k = m
 = ( 50.10 ) 
 = 50 N/m.
 T 
 0, 2 
Câu 14: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo được cấu tạo bởi một lò xo đồng chất và có chiều dài tự nhiên là
l , vật nhỏ có khối lượng m . Chu kì dao động riêng của con lắc là 3,0 s. Nếu cắt ngắn lò xo đi 30 cm thì chu
kì dao động riêng của con lắc là 1,5 s. Biết độ cứng của các lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài tự nhiên của nó.
Độ dài ban đầu của lò xo là
A. 30 cm.
B. 50 cm.
C. 40 cm.
D. 60 cm.
 Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có:
2

2
l
 3 
T 
2
=
l →   =
o T
 → l = 40 cm.
 T   l − 30  1,5 
Câu 15: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo khi được kích thích dao động với biên độ A1 thì cơ năng của con
lắc là 16 mJ, khi được kích thích dao động với biên độ A2 thì cơ năng của con lắc là 64 mJ. Khi được kích
thích dao động với biên độ A = A1 + A2 thì cơ năng của con lắc gần nhất giá trị nào sau đây?
A. 80 mJ.
B. 16 mJ.
C. 64 mJ.
D. 144 mJ.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
o E A2 .

HDedu - Page 9


o

A = A1 + A2 , ta có

E = E1 + E2 hay E =

(

E1 + E2

) =(
2

(16 ) + ( 64 ) )

2

= 144 mJ.

Câu 16: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có thể thay thế được.
Khi lò xo có độ cứng k1 , tiến hành kích thích cho con lắc dao động với biên độ A thì cơ năng của con lắc là
16 mJ. Thay lò xo trên bằng một lò xo khác có độ cứng k2 , kích thích cho con lắc vẫn dao động với biên độ
A thì cơ năng của con lắc là 36 mJ. Nếu thay thế lò xo trên bằng một lò xo có độ cứng k = k1 + k2 và kích
thích con lắc dao động vẫn với biên độ A thì cơ năng của con lắc lúc này là
A. 80 mJ.
B. 16 mJ.
C. 36 mJ.
D. 52 mJ.
 Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có:
o E k.
o k = k1 + k2 → E = E1 + E2 = (16 ) + ( 36 ) = 52 mJ.
Câu 17: (BXD – 2019) Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k không đổi và vật nặng m có thể thay thế
được. Khi m = m1 thì chu kì dao động của con lắc là T1 = 1 s, khi m = m2 thì chu kì dao động của con lắc là
T2 = 4 s. Khi m = m2 − m1 thì chu kì dao động của con lắc là
A. 1,45 s.

B. 3,87 s.
C. 2,62 s.
D. 1,25 s.
 Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có:
m hay T 2 m .
o T
o

m = m2 − m1 → T = T22 − T12 =

( 4) − (1)
2

2

= 3,87 s.

Câu 18: (BXD – 2019) Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k không đổi và vật nặng m có thể thay thế
được. Khi m = m1 thì chu tần số dao động của con lắc là f1 = 3 Hz, khi m = m2 thì tần số dao động của con
lắc là f 2 = 6 Hz. Khi m = m1 + m2 thì tần số dao động của con lắc là
A. 2,68 Hz.
B. 3,87 Hz.
C. 3,00 Hz.
D. 1,25 Hz.
 Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có:
1
o m
.

f2
( 3) . ( 6 ) = 2, 68
f1 f 2
1
1
1
=
o m = m1 + m2 → 2 = 2 + 2 → f =
Hz.
2
2
f
f1
f2
f12 + f 22
3
+
6
( ) ( )
Câu 19: (Quốc gia – 2010) Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong
T
một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là . Lấy
3
2
 = 10 . Tần số dao động của vật là
A. 4 Hz.
B. 3 Hz.
C. 2 Hz.
D. 1 Hz.
 Hướng dẫn: Chọn D.

M1

M2
1
3



− 2 A

− 12  2 A

M3

+ 12  2 A

+ 2 A
a

M4

Ta có:
o a1 = 100 cm/s2 → M 1 đến M 4 trên đường tròn.
HDedu - Page 10


o

a  a1 tương ứng t =

T
→  = 600
3

1
→ a1 =  2 A →  = 2 rad/s.
2
 ( 2 )
o f =
=
= 1 Hz.
2
2
Câu 20: (Quốc gia – 2012) Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 250 g và lò xo nhẹ có độ cứng
100 N/m dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất để vận tốc của
vật có giá trị từ −40 cm/s đến 40 3 cm/s là
A.


s.
40

B.



120

s.

C.


s.
20

D.


s.
60

 Hướng dẫn: Chọn A.
M1
N1

+ A
v

− A
v1

v2

N2
M2

Ta có:
o

=

k
=
m

(100 )

( 250.10 )
−3

= 20 rad/s → vmax =  A = ( 20 ) . ( 4 ) = 80 cm/s.

Biểu diễn dao động trên đường tròn:
v
o v1 = − max = −40 cm/s → M 1 và M 2 trên đường tròn.
2
3
o v=+
vmax = +40 3 cm/s → N1 và N 2 trên đường tròn
2
o

t = tmin →  = M 2ON 2 .


= 2 =
.
 ( 20 ) 40
Câu 21: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 100 g, lò xo có độ cứng

k = 100 N/m dao động điều hòa với biên độ A . Lấy  2 = 10 . Tại thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí cân
bằng theo chiều dương, vật đi qua vị trí động năng bằng thế năng lần thứ 2020 vào thời điểm
A. 201,175 s.
B. 205,165 s.
C. 100,975 s.
D. 200,145 s.
 Hướng dẫn: Chọn C.
→ t=





HDedu - Page 11


M2

M1

−A

x

x

M4

M3

Ta có:
o T = 2
o
o
o

m
= 2
k

+A
x

(100.10 ) = 0, 2 s.
−3

(100 )

2
A tương ứng M 1 → M 4 trên đường tròn.
2
t = 0 thì x = 0 và v  0 → N thuộc nửa dưới của đường tròn.
2020 = 2016 + 4 . Vật đi qua vị trí động năng bằng thế năng lần thứ 4 khi chuyển động trên cung
xE d = Et = 

NM1M 3 .

3150 )
(


T = 504. ( 0, 2 ) +
.0, 2 = 100,975 s.
o t = 504T +
3600
3600
Câu 22: (BXD – 2019) Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 400 g và lò xo có độ cứng
k = 100 N/m. Lấy  2 = 10 . Trong một chu kì, khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật đi qua vị trí động
năng bằng ba lần thế năng là
1
1
1
1
A.
s.
B.
s.
C. s.
D.
s.
30
20
3
15
 Hướng dẫn: Chọn D.
M2

M1


−A

− 12 A

M3

Ta có:

m
= 2
o T = 2
k
o

xEd =3Et = 

o

t = tmin

o

+ A
1
2

+A
x

M4

( 400.10 ) = 0, 4 s.
−3

(100 )

A
tương ứng bằng M 1 → M 4 trên đường tròn.
2
→ vật chuyển động tương ứng trên các cung M1M 2 hoặc M 3 M 4 .

600 )
(

1
t=
T=
. 0, 4 ) = s.
0
0 (
360
360
15

HDedu - Page 12