Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Full bộ chg 4

Ths. NGUYỄN DANH TRƯỜNG
Chương 4

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT
NGANG

10/15/20

1


Trường hợp nào dễ uốn hơn?tại sao?

(a)

P
P

(b)
10/15/20

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

2


4.1. Mômen tĩnh
*) Định nghĩa:
- Mô men tĩnh của
hình
F đối với điểm O:

uuuu
r

r
So = ∫ OM idF
F

- Mô men tĩnh của hình F đối với trục Ox, Oy:

Sx = ∫ ydF ;Sy = ∫ xdF
F

F

Thứ nguyên của S là [chiều dài]3 . S có thể >0,=0 hoặc <0.
Nếu trục x có Sx=0 thì trục x được gọi là trục trung tâm.
Nếu điểm G có SG=0 thì G được gọi là trọng tâm.
Giao hai trục trung tâm được là trọng tâm.
10/15/20

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

3


4.1. Mômen tĩnh
*) Công thức xác định trọng tâm:


Sy

Sx = yG .F
xG = F
⇒

Sy = xG .F
y = Sx
 G
F
*) Cách xđ trọng tâm hình được ghép từ các hình đơn giản:
Bước 1: Chọn một hệ trục tạo độ ( bất kỳ), sau đó tính các
mômen tĩnh của từng hình nhỏ đối với hệ trục vừa chọn, và
tính diện tích các hình nhỏ.
Bước 2: Tính tọa độ trọng tâm G trong hệ trục tọa độ vừa chọn
theo công thức sau:
xG =

10/15/20

Sy ∑
F∑

S
∑
=
∑F

y(i )
(i )

;yG =

Sx ∑
F∑

S
∑
=
∑F

x(i )
(i )

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

4


4.1. Mômen tĩnh

y

*) Ví dụ 1: xác định trọng tâm.
a
- Chọn hệ trục tọa độ.
1
- Tính mômen tĩnh S của từng hình.
Hình vuông:
a
2
3

Sx1 = yG .F = 0,5aa
. = 0,5a
 1
2
3
S
=
x
.
F
=
0
,5
aa
.
=
0
,5
a
G
 y
 2
1 1
Tam giác: Sx = yG .F = a. ab = 0,5a3
3 2

S 2 = x .F = (a + 1b). 1ab = 3a3
G
 y
3 2

Suy ra trọng tâm:
10/15/20

ΣF=2,5a2
2

x
b=3a

Sy

Sx
3,5a3 7
a3
2
xG =
=
= a;yG =
=
= a
2
2
F∑ 2,5a
5
F∑ 2,5a
5
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

5

4.1. Mômen tĩnh
*) Ví dụ 2: xác định trọng tâm.
Hình khoét rỗng coi như hình
bình thường với diện tích âm.

Sx1 = yG .F

Sy1 = xG .F

Sx2 = yG .F

S = x .F
G
 y2

y
a
a/2

= 0,5aa
. 2 = 0,5a3

3

2

a

x

b=3a

= 0,5aa
. 2 = 0,5a3

1 1
= a. ab = 0,5a3
3 2
1 1
= (a + b). ab = 3a3
3 2

Sx3 = yG .F = −0,5a.π (0,25a)2 ; −0,1a3

2
3
S
=
x
.
F
=
−
a
.
π
(0
,25
a
)

;
−
0
,2
a
G
 y3
10/15/20

1

xG =
yG =

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Sy ∑
F∑
Sx ∑
F∑

= ...
= ...

6


4.2. Mômen quán tính
*) Định nghĩa:
- Mômen quán tính độc cực của hình F đối

với điểm O:
2

J

p

= ∫ ri dF
F

- Mômen quán tính của hình F đối với trục
Ox, Oy:
2
2

J

x

= ∫ y dF ;J y = ∫ x dF
F

F

- Mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục Oxy:

J

xy

= ∫ xydF
F

Nếu Jxy=0 thì hệ trục Oxy đc gọi là hệ trục qt chính.
Nếu hệ trục qt chính có gốc O≡G thì đc gọi là hệ trục qt chính
trung tâm.
10/15/20

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

7


4.2. Mômen quán tính
*) Tính chất:
-Thứ nguyên của J là [chiều dài]4
- Jp, Jx, Jy luôn >0. nhưng Jxy có thể >0, =0, <0.
- Hình có trục đối xứng thì trục đối xứng cùng với một trục
vuông góc tạo nên hệ trục quán tính chính.
- Hình được gồm từ nhiều hình đơn giản thì tính J, S hình lớn
bằng tổng từ các hình nhỏ:
y
x

10/15/20

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

8

4.3. Công thức chuyển trục song song

Su = Sx + aF ;Sv = Sy + bF

v

J u = J x + 2aSx + a2F

2
J
=
J
+
2
bS
+
b
F
 v
y
y
J = J + aS + bS + abF
xy
x
y
 uv

u

Nếu hệ ban đầu oxy có gốc o≡G trọng tâm:

J u = J x + a2F

2
J v = J y + b F
J = J + abF
xy
 uv
10/15/20

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

9


4.4. Công thức xoay trục
u=xcosα+ysinα

v=ycosα -xsinα
Su = ∫ vdF = ∫ ycosα -xsinα dF = Sxcosα − Sysinα
F

Sv = ∫ udF
F

(
)
= ∫ ( xcosα + y sin α )dF
F

= Sx sinα + Sycosα

F


J x +J y J x −J y
+
cos2α − J xy sin2α
J u =
2
2

J x +J y J x −J y

+
cos2α + J xy sin2α
J v =
2
2

J x −J y

sin2α + J xycos2α
J uv =
2

10/15/20

u

v

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

α

10


4.5. Đặc trưng hình học một số hình đơn giản
*) Hình chữ nhật:

J

x

ab3
=
;
12

J

y

ba3
=
12

*) Hình tròn:

π R 4 π d4
JP =
=
2
32
π R 4 π d4
Jx =Jy =
=
4
64
h

*) Hình tam giác:

J

x

(a + b)h3
h(a3 + b3)
=
;J y =
12
12

10/15/20

y

x

a

b

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

11


4.6. Ví dụ tìm đặc trưng hình học
Tìm mômen qt chính trung tâm JX, JY ?

y

(a)

J
x

h
=
d

2h

X

=

JY =

b

J

y

(b)
d

10/15/20

d

x

X

JY

( )

b 2h

3

12
3
2h b

( )

12

π h4
−
64
π h4
−
64

π d4 π d4 π d4
=
+
=
64
64
32
 π d4  d 2 π d2  5π d4
=
= 2
+ ÷
32
 64  2  4 



ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

12

4.6. Ví dụ tìm đặc trưng hình học
Tìm mômen qt chính trung tâm Jx, Jy ?
Tìm trọng tâm: 2
y
yG =
0,5d

Sx ∑
F∑

d πd
d π d2 5d 2
+
+ d
π +5
2 4
4
= 2 4
=
d ≈ 0,792d
2
2π + 4
πd
2
2
+d
4

X

d

d

yG
x

J
10/15/20

JY =J y

( )

 π d4  d 2 π d2  0,5d. 2d
+
= 2
+ ÷
12
 64  2  4 



(

X

2
 π d4 
d  π d2  2d. 0,5d

+
= 2
+  yG − ÷
2 4 
12
 64 



)

3

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

2

3

 5d
 2
+
− yG ÷ d
 4

13


J

4.6. Ví dụ tìm đặc trưng hình học
Tìm mômen qt chính trung tâm Jx, Jy ?
b y
Tìm trọng tâm:
h=2 cm
h

yG =

Sx ∑
F∑

b=10 cm
X

yG
h

x

JY =J y

h
2h + b
2b + 3h
2bh +
bh +
bh
2
2

= 2
2bh + bh + bh
7h + 3b
=
= 5,5cm
8

( )

bh
hb h 2b
=
+
+
12 12
12
3

3

3

bh3 + 9hb3
=
12

2b

X

2

( )

 5 h + b 
2b h
hb  h + b 
bh


÷ bh +
=
+
+
÷ bh +
÷
12  8 
12 
8
12


3

10/15/20

2

3

3

2

 3 h + b 
 ÷ 2bh
+ 

÷
8



ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

14


Thank you for your attention !

10/15/20

Ths.NguyÔn Danh Trêng

15