Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Full bộ chg 6

Ths. NGUYỄN DANH TRƯỜNG

Chương 6

UỐN PHẲNG

10/15/20

1


6.1. Khái niệm chung
φ

-Tải trọng tác dụng lên thanh, khiến thanh bị cong đi, ta nói
thanh chịu uốn.
- Đg biểu diễn trục của thanh khi chịu uốn đc gọi là đg đàn hồi.
- K/c từ vị trí ban đầu của mỗi điểm trên trục tới vị trí điểm đó
trên đường đàn hồi được gọi là chuyển vị .
- Góc tạo bởi tiếp tuyến của đg đàn hồi với đường nằm ngang
được gọi là góc xoay φ. Xét chuyển vị bé ta có: φ=y’.
- Thanh chủ yếu chịu uốn được gọi là dầm.
10/15/20

UỐN PHẲNG

2


6.1. Khái niệm chung
-Nội lực xuất hiện trong dầm tồn tại cả lực cắt và mômen uốn.

Nếu chỉ tồn tại mômen uốn ta gọi dầm chịu uốn thuần túy.
- Trong chương này ta chỉ quan tâm tới dầm có mặt phẳng đối
xứng(Oyz) và các tải trọng tác động lên dầm đều thuộc mp đối
xứng Oyz thì khi đó ta gọi đó là dầm chịu uốn ngang phẳng.
Mặt phẳng đối xứng chứa tải trọng khi đó đc gọi là mp tải trọng.
y

x

z
10/15/20

UỐN PHẲNG

3


6.2. Uốn thuần túy
-Nội lực xuất hiện trong dầm chỉ tồn tại mômen uốn ta nói dầm
chịu uốn thuần túy.

M1

Q

10/15/20

UỐN PHẲNG

4

6.2. Uốn thuần túy
*) Thí nghiệm:
- Xét một mẫu thanh chịu uốn
thuần túy.
- Trước khi uốn: vạch lên mẫu các
đường thẳng // và ┴ trục thanh.
- Quan sát mẫu sau khi uốn:
M
M
Đường // trục trở thành đường
cong vẫn cùng // trục. k/c giữa
chúng không đổi.
Đường ┴ trục thanh vẫn ┴ .
Giả thuyết về biến dạng:
- Mặt cắt ngang: luôn phẳng và ┴ với trục thanh.
- Thớ dọc: luôn // trục thanh, ko chèn ép và ko tách xa nhau.
 Các góc vuông trước sau biến dạng vẫn vuông.
10/15/20

UỐN PHẲNG

5


6.2. Uốn thuần túy
*) Ứng suất dầm chịu uốn thuần túy:
- Từ giả thuyết rút ra từ thí nghiệm:
Các góc vuông sau BD vẫn vuông suy

ra không tồn tại ứng suất tiếp.
Các thớ tuy bị cong nhưng vẫn giữ k/c
ko đổi với nhau  σy=0.
Chỉ còn lại σz≠0  TTƯS phân tố chịu
uốn thuần túy là TTƯS đơn.
*) Tìm σz. Ta có:

σ z = E εz
Tìm ɛz sẽ suy ra được ứng suất.
10/15/20

UỐN PHẲNG

6


6.2. Uốn thuần túy
*) Ứng suất dầm chịu uốn thuần túy:
Mối quan hệ về biến dạng:
Quan sát mẫu ta thấy có các thớ co
lại, có thớ giãn ra, danh giới giữa hai
vùng đó là một thớ ko bị biến dạng
 thớ trung hòa.
- Giao tuyến thớ trung hòa với mcn
được gọi là đường trung hòa.
- Giả thiết biến dạng bé, ta coi các
mcn vẫn phẳng.Vậy ta có thể tưởng
tượng uốn thuần túy làm quay các
mcn quanh đường trung hòa.

10/15/20

UỐN PHẲNG

M

M

7


6.2. Uốn thuần túy
*) Ứng suất dầm chịu uốn thuần túy:
- Xét phân tố tạo bởi 2 mcn (mn-pq)
sau khi chịu uốn thuần túy, chúng tạo
với nhau góc dφ, bán kính cong ρ ta
có:
ρdφ=dz
- Xét thớ e-f có tung độ y so với trục
trung hòa. sau biến dạng:

(

)

SauBD
ef = dz = ρdϕ 
→ e'f' = ρ + y dϕ

⇒ εz

10/15/20

ρ + y) dϕ − ρdϕ y
(
=
=
ρdϕ

ρ

y
⇒ εz =
ρ

UỐN PHẲNG

8


6.2. Uốn thuần túy
*) Ứng suất dầm chịu uốn thuần túy:
-Ta có:
E 2
E
M x = ∫ yσ z dF = ∫ Eε z ydF = ∫ y dF = J x
ρF
ρ
F
F

Mx
y
1 Mx
⇒ =
⇒ σ z = E εz = E  ÷ = E
y
ρ EJ x
EJ x
ρ
⇒ σz =

10/15/20

Mx
J

y

x

UỐN PHẲNG

9


6.2. Uốn thuần túy
*) Ứng suất dầm chịu uốn thuần túy:
Mx
σz =

y
Jx
Trong đó:
Mx là mômen uốn, quy ước dấu “+” khi làm căng thớ dương và
ngược lại.
y là tung độ của điểm đang xét tới trục trung hòa.
Jx là mômen qtính của mcn với trục trung hòa Ox.
*) Ứng suất lớn nhất trên mcn:
Ta nhận thấy σz là đường bậc nhất theo y.
n
y
m
ax
σz đạt min, max tại điểm xa trục trung hòa nhất.
σ min =
Wx =

J

x

ymax

Mx
Jx

ymn ax =

Mx

Wxn

; σ max =

Mx
Jx

ymk ax =

Mx

Wxk

được gọi là mômen chống uốn của mcn.

10/15/20

σmin

UỐN PHẲNG

ymk ax
σmax
10


6.2. Uốn thuần túy
*) Mômen qtính và mômen chống uốn của một số mcn:

J

x

x

bh3
=
;
12

J

x

Wx =

=

10/15/20

(

Wx =

64
J
D

UỐN PHẲNG

x

2

=

x

h

π D 4 − d4

D
d

J

2

bh2
=
6

)

(

π D 4 − d4

)

32D
11


6.2. Uốn thuần túy
*) Vị trí đường trung hòa:
Đường trung hòa tại đó σz=0. Ta có:
Mx
Mx
N z = ∫ σ zdF = ∫
ydF =
ydF = 0
∫
Jx
Jx F
F
F
⇒ ∫ ydF = Sx = 0
F

 Đường trung hòa đi qua trọng tâm của mcn.

10/15/20

UỐN PHẲNG

12


6.2. Uốn thuần túy

*) Kiểm tra bền:
VL dẻo:
VL giòn:

10/15/20

UỐN PHẲNG

13


6.2. Uốn thuần túy
*) Mặt cắt ngang tiết kiệm vật liệu:
Dựa trên công thức ứng suất dầm chịu uốn các điểm càng
xa đường trung hòa thì chịu ứng suất càng lớn.
Từ đây người ta thấy với cùng lượng vật liệu, nên đưa chúng
ra xa đường trung hòa để có hiệu quả tốt nhất.

Vật liệu giòn
10/15/20

Vật liệu dẻo
UỐN PHẲNG

14


6.3. Uốn ngang phẳng
ζ

- Nội lực xuất hiện trong dầm bao gồm cả lực cắt Qy và mômen
uốn Mx ta nói dầm chịu uốn ngang phẳng.
- Lúc này ngoài ƯS pháp:
Mx
σz =
y
Jx
Còn có thêm cả ứng suất tiếp.
Tìm ứng suất tiếp bằng cách xét phân tố chiều dài dz.
10/15/20

UỐN PHẲNG

15


6.3. Uốn ngang phẳng
- Xét phân tố theo phương ngang ta có các lực:
Q

dz

F1 = ∫ σ z1dF =
F

F2 = ∫ σ z2dF =
F

F3 = τ .bdz
.

10/15/20

Mx

∫J

F

∫

F

Q+dQ

dz

ydF

x

M x + dM x
J

ydF

x

dz

Phân tố CB  F3 = F2 - F1

UỐN PHẲNG

16


6.3. Uốn ngang phẳng
Ta có:
F3 = τ .bdz
. = F2 − F1 =

∫

F

⇒τ =

dM x

∫ dzbJ
..

F

ydF =
x

dM x
Jx
Qy

∫ bJ.

F

ydF

ydF

⇒τ =

x

QyS
J x .b

Trong đó:
Q là lực cắt trên mcn.
S là mômen tĩnh của diên tích cắt,
b là chiều dài cắt.

10/15/20

UỐN PHẲNG

17


6.3. Uốn ngang phẳng
*) Ứng suất tiếp trên mcn hình chữ nhật:

6Qy  h2 2 
τ =
-y ÷
3 
bh  4


τ max =

3Qy
2F

*) Ứng suất tiếp trên mcn hình tròn:

τ =

Qy
3J

x

(r

2

−y

2

)

τ max =

4Qy
3F

*) Mở rộng cho hình vành khăn: τ max
10/15/20

r

4Qy  r12 + r1r2 + r22 
=

÷
2
2

÷
3F  r1 + r2


UỐN PHẲNG

18


6.3. Uốn ngang phẳng
*) Ứng suất tiếp trên mcn hình chữ I :
- Phần lòng hẹp:

τ zy =

- Phần chân đế: τ zx =
10/15/20

UỐN PHẲNG

(

Qy Sx − 0,5d.y2

)

J xd

(

Qy h − t
2J x

)x
19


6.3. Uốn ngang phẳng
*) Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng :

.N
..BK

- Tại K, N: TTUS đơn: σmin ≤ [σ]n; σmax ≤ [σ]k;
- Tại O: TTUS trượt thuần túy: ζ ≤ [ζ]

σ 
USTLN : τ  ≤
2
σ 
TNB§ HD : τ  ≤
3

- Tại B: TTUS phẳng đặc biệt. Áp dụng các thuyết bền:
USTLN : σ 2 + 4τ 2 ≤ σ 
10/15/20

TNB§ HD : σ 2 + 3τ 2 ≤ σ 
UỐN PHẲNG

20


6.3. Uốn ngang phẳng
Ví dụ 1: Tìm σmax , ζmax?
Dầm có mcn tròn d=7 cm.
YA

d=7cm

YB

ymax = 3,5cm
J

x

π d4
=
= 117,8cm4
64

13,2 (kN)

*) Tìm phản lực liên kết :
YA=13,2 (kN);YB=8,4 (kN)
*) Tìm σmax , ζmax :
Mmax=7,26 (kNm)=726kNcm
Qmax=13,2 (kN)
10/15/20

2,4 (kN)

0,5m
6 (kN)

1,1m

3,84(kNm)

5,76(kNm)

7,26(kNm)

τ max =

σ max =

UỐN PHẲNG

M max
J

ymax

4Qmax

3F
= 21,57(kN / cm2)

x

21


6.3. Uốn ngang phẳng

Dầm mcn vành khăn.
2
F=35,3cm
m
c

6
d=

D=9cm

J

x

ymax = 4,5cm YA

YB

π (D 4 − d4)
=
= 258,3cm4
13,2 (kN)
64

σ max =

M max

ymax

Jx
726
kN
=
4,5 = 12,6( 2 )

258,3
cm

1,1m

6 (kN)

5,76(kNm)

Dầm mcn vành khăn cho khả
năng chống uốn tốt hơn.
7,26(kNm)
Tiết diện nhỏ hơn.
 Kinh tế hơn.
10/15/20

2,4 (kN)

0,5m

UỐN PHẲNG

3,84(kNm)

Mmax=7,26 (kNm)
22


6.3. Uốn ngang phẳng
*) Ví dụ 2: Tìm σmax , ζmax trong dầm:

q=5,8 (kN/m)
L=4 (m)
b=140 (mm)
h=240 (mm)

M max

bh3
Jx =
12
h
ymax =
2

qL2
qL
=
; Qmax =
8
2

σ max =

M max

τ max =
10/15/20

J

ymax

x

3qL2
=
4bh2

3Qmax
2F
UỐN PHẲNG

23


6.3. Uốn ngang phẳng
*) Ví dụ 3: Tìm σmax ?
D=7cm

J

x

=

ymax

(

π D 4 − d4

64
= 3,5cm

d=6cm

) = 54,2cm

4

Mmax= 3,6 (kNm)
σ max =

M max

10/15/20

Jx

ymax = 23,24(kN / cm2)

UỐN PHẲNG

24


6.3. Uốn ngang phẳng
*) Ví dụ 4: Cho [σ]=110 Mpa. Hỏi d=? hoặc a=? để dầm đủ bền.
Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.

d

a

*) Gợi ý: vẽ biểu đồ tìm Mmax σmaxCho σmax<[σ]  a và d

10/15/20

UỐN PHẲNG

25