Một số giải pháp giúp học sinh giải một dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

HỒ SƠ XÉT CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải một dạng toán
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

- Tác giả: Đặng Thị Lý
- Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Trung Mỹ
- Chức vụ: Giáo viên
- Trình độ chuyên môn: Đại học toán


Trung Mỹ, tháng 01 /2019

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

2


ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến huyện Bình Xuyên
a) Tác giả sáng kiến: Đặng Thị Lý
- Ngày tháng năm sinh: 21/07/1979

Nam, nữ: Nữ

- Đơn vị công tác: Trường TH &THCS Trung Mỹ
- Chức danh: Giáo viên

- Trình độ chuyên môn: Đại học Toán
- Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến (ghi rõ đối với từng đồng
tác giả, nếu có): 100%.
b) Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Đặng Thị Lý
c) Tên sáng kiến; lĩnh vực áp dụng; mô tả bản chất của sáng kiến; các thông tin
cần được bảo mật (nếu có):
- Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải một dạng toán
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Lĩnh vực áp dụng: Khoa học Tự nhiên;
- Mô tả sáng kiến:
+ Về nội dung của sáng kiến: Để hình thành cho học sinh cách giải dạng
toán rút gọn biểu thức cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến hằng
đẳng thức của lớp 8,bình phương của một tổng,bình phương của một hiệu, tôi đã
thực hiện các bước và giải pháp như sau:
- Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa căn viết được thành dạng
bình phương của một biểu thức qua các bài tập đơn giản.
- Hướng dẫn học sinh biến đổi các biểu thức dạng c ± 2 (c ≥ 0;d ≥ 0)
thành dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu (nếu có
thể).

3


- Vận dụng giải pháp 2 và hằng đẳng thức = để giải quyết bài toán rút
gọn.
- Vận dụng giải pháp 3 vào giải các bài đơn giản chứa nhiều dấu căn
- Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành bình phương
của một biểu thức.
5.1. Giải pháp 1: Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa căn viết
được thành dạng bình phương của một biểu thức qua các bài tập đơn giản.

Bài 1: Tính:
a. ( + 1)2

b. - )2

c. + )2

Giải
a. ( + 1)2 = (2 + 2 .1 + 12 = 2 + 2 + 1= 3 + 2
b. - )2 = (2 - 2 . + ()2 = 8 - 2
c. + )2 = (2 + 2 . + ()2 = 5 + 2
Học sinh sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình
phương của một hiệu thực hiện khai triển biểu thức rồi thu gọn sau đó quan sát
dạng của biểu thức thu được.
Bài 2: Chứng minh đẳng thức
9+ 4 = + 2)2
4 - 2 = - 1)2
23 - = )2
14 - 2 = ( - )2
Giải
Học sinh có thể sử dụng cách làm của bài 1 để giải quyết dạng của bài tập 2:
a. Biến đổi vế phải ta được:
+ 2)2 = (2 + 2 .2+ 22 = 5 + 4 + 4 = 9 + 4
a.
b.
c.
d.

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế phải ta được:

- 1)2 = (2 - 2 .1+ 12 = 3- 2 + 1 = 4 - 2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế phải ta được:
)2 = 42 - 2.4 +(2 = 16- 8 + 7 = 23 - 8
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d. Biến đổi vế phải ta được:

- )2 = (2 - 2 . + ()2 = 3- 2 +11 =14 - 2
4


Vậy đẳng thức được chứng minh.
Vậy vấn đề đặt ra muốn chứng minh bằng cách biến đổi vế trái thành
vế phải ta làm như thế nào?
5.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh biến đổi các biểu thức dạng c ± 2 (c ≥
0;d ≥ 0) thành dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một
hiệu (nếu có thể):
*Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình
phương của một hiệu theo chiều từ phải sang trái để biến đổi.
• a2 + 2ab + b2= (a + b)2

hoặc ở dạng
a+2+b = (2 +2 + ()2= + )2
a+2+1 = (2 + 2. +12= +)2
• a2 - 2ab + b2= (a + b)2

hoặc ở dạng
a - 2+ b = (2 - 2 . + ()2= - )2
a - 2+ 1 = (2 - 2. +12= - )2
• Các bước thực hiện

- Tách hạng tử có chứa căn 2 thành dạng 2 :
- Thử tính có bằng c không?
- Nếu được ta tách c = a + b

*Hướng dẫn học sinh làm cách 2 của bài 2 bằng cách biến đổi vế trái
thành vế phải:
a. 9+ 4 = + 2)2
- Tách hạng tử có chứa căn 4

4 = 2= 2 =2 =2 = 2
- Nhẩm tính:
= 20 + 1 = 21
=2+10=12
= 4 + 5= 9
Ta thấy = 4 + 5 = 9 ta tách 9 thành tổng của hai số 4 và 5. Khi đó ta có: 9+ 4 = +
2
= + 2+
5


=
=
Ta biến đổi vế trái thành vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
b. 4 - 2 = - 1)2

Ta thấy 2 và (= 3+1=4
Biến đổi vế trái, ta được:
4 - 2 = (= - 1)2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
c. 23 - = )2

Ta thấy : =2.4. và 42 +()2 = 16 + 7 = 23
Biến đổi vế trái, ta được:
23 - = (=)2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
d. 14 - 2 = ( - )2

Ta thấy 2 = 2 và (2 +()2=3 + 11=14
Biến đổi vế trái, ta được:
14 - 2 = (=)2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
5.3 Giải pháp 3: Vận dụng giải pháp 2 và hằng đẳng thức = để giải quyết
bài toán rút gọn.
• Sử dụng hằng đẳng thức = =

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
b.
Giải

d. với a <2

a. ==
()
b. == -( = - (vì
c. ==

=6
d. == - ()= 2 – a (Vì )
• Biến đổi biểu thức bên dưới dấu căn thành bình phương của một tổng

hoặc bình phương của một hiệu và hằng đẳng thức = để giải quyết bài

toán rút gọn.
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
a. A= b. B = - +

c. C = d. D = (2+).
6


Giải
a. A -

Ta nhận thấy và đều có và (=6 nên chúng đều có thể viết được dưới dạng
bình phương của một biểu thức .
A A= A= A= A=
A=
A = -2
b. B = - +

Ta có 2 và (= 3+1=4
22=2. nhưng chỉ có (
B=– +
B= - +
B= - +
B= - +
B= –(+
B= – +
B = -1
Tương tự học sinh tự vận dụng làm câu c; câu d
c. C = C= C= C= C=
C=2-1

d. D = (2+).
D = (2+).
D = (2+).
D= (2+)
D= (2+).()
D = 22D=4–3
D=1
*Lưu ý học sinh khi phá giá trị tuyệt đối cần chú ý tới dấu của biểu thức
trong giá trị tuyệt đối để vận dụng đúng trương hợp.
7


* Ngoài cách làm trên ta cũng có thể giải câu a,c của bài toán trên
bằngcách bình phương hai vế:
a. A A2 = ( - )2
A2=
A2 = 12 - 2
A2 = 12- 2
A2= 12-2
A2= 12-8
A2= 4 và A < 0 nên A = -2
c. C = -

C2= ( - )2
C2= + - 2
C2= 9 - 22
C2= 9 - 2- 2
C2 = 9 – 4 = 8 - 2.2.1 +1 = (2)2 - 2.2.1 +12 = (2)2
C2= (2)2 và C > 0 nên C = 2
* Lưu ý học sinh khi lấy căn hai vế phải luôn nhớ xác định dấu của của

biểu thức để lựa chọn kết quả phù hợp.
* So sánh hai cách làm thì cách làm thứ nhất biến đổi đơn giản hơn cách
làm bình phương hai vếta phải. Vì với cách bình phương hai vế phải kết hợp
nhiều cách biến đổi hơn.
Bài 5. Rút gọn biểu thức :
E=
Ta thấy biểu thức bên dưới dấu căn chưa có dạng c ± 2 vậy ta cần làm xuất
hiện hệ số 2 trước căn của biểu thức bên dưới dấu căn. Vậy làm thế nào để làm
xuất hiện hệ số 2 để giá trị của biểu thức bên dưới dấu căn không thay đổi?
* Nhân biểu thức dưới dấu căn với
Khi đó biểu thức
8


E=
E=
E=
Đến đây ta có thể sử dụng biến đổi câu a bài 4 để làm tiếp.
E= = = = =
Với bài tập này ta cũng có thể dùng cách bình phương hai vế của biểu thức:
E2 =)2
E2= 6 2
E2= 62
E2= 6
E2= 64 = 2
Vì E > 0 nên E =
*Trong biến đổi ta cần linh hoạt lựa chọn cách biến đổi phù hợp thì việc biến
đổi đơn giản hơn.
5.4 Giải pháp 4: Vận dụng giải pháp 3 vào giải các bài đơn giản chứa nhiều
dấu căn hoặc biểu thức phức tạp

Để giải dạng toán này ta bắt đầu từ căn thức bậc hai trong cùng biến đổi
dần ra căn thức bậc hai ngoài cùng.
Đối với biểu thức phức tạp ta cần có sự quan sát phân tích để biểu diễn
dưới dạng bình phương rồi vận dụng linh hoạt biến đổi để đơn giản biểu thức.
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:
F=
F= =
==
==
==
===
Bài 7. Chứng tỏ các số G ,H, K sau đây đều là các số nguyên
G=

H=

K=
Giải:
9


G=
Đặt I = =
= =
= =
= = = =
=
Khi đó G =

= =1

Vậy G là số nguyên.
H=
H==
H ==
H = = =1
Vậy H là số nguyên.
K=
K=
K=
K=
K=
K=
K=

=1

Vậy K có giá trị nguyên.
Dùng cách đơn giản biểu thức bằng cách biến đổi linh hoạt biểu thức dưới
dấu căn thức bậc hai thành bình phương của một biểu thức ta có thể giải quyết
bài toán chứng minh biểu thức chứa căn phức tạp là số nguyên hay thực chất là
đơn giản biểu thức chứa căn.
5.5 Giải pháp 5: Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành
bình phương của một biểu thức.
Bài 8. Rút gọn biểu thức:
P= + nếu 1≤ a ≤ 2

10

Nhận xét =2. .1 nếu ta coi số thứ nhất là thì số thứ hai là 1. Như vậy ta cần có
số thứ nhất bình phương ()2 = a1 (vì a ≥ 1) và
12 = 1. Ta biến đổi biểu thức dưới dấu căn như sau:
= a1 +.1 +12 = ()2+.1+12
= ( +1)2
= a1 -.1 +12 = ()2.1+12
= ( 1)2
P=+
P= +
P= +
Với 1≤ a ≤ 2 thì và nên :
P = -=2
Ta có thể sử dụng rút gọn biểu thức như trên vận dụng vào bài toán liên
quan.
Bài 9. Giải phương trình:
+ =1
ĐKXĐ: x ≥ 1
 + =1
 + =1
 + =1
 + =1
Đặt y = (y ≥ 0) khi đó phương trình trở thành:
 + =1 (*)
+ Nếu 0 ≤ y <2 x <5 thì (*)=12y = 4 y = 2 (không thỏa mãn)
+Nếu 2≤ y <3 5≤ x <10 thì (*)=11 = 1, hiển nhiên đúng.
+ Nếu y = 3, suy ra x 1 = 9
Vậy phương trình có nghiệm 5≤ x ≤ 10.
Bài tập tự luyện
Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:
L= (4+).(.

M =(3 -) +(3 +)
N=
11


Q = - nếu 3≤ a ≤ 4
Bài 11 Giải phương trình:
- =
+ Khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sáng kiến của tôi được nhà trường dùng làm tài liệu bồi dưỡng cho các
giáo viên nhóm toán trong nhà trường.
Có khả năng áp dụng cho các trường khác trong huyện.
Các em học sinh sử dụng làm tài liệu học tập, ôn tập để thi vào 10.
- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải
pháp trong đơn theo ý kiến của tác giả với các nội dung sau: Qua việc kiểm
chứng so sánh kết quả học tập của học sinh tôi nhận thấy. Khi chưa áp dụng sáng
kiến tôi thường mất nhiều thời gian dạy dạy phần kiến thức này, mà hiệu quả đạt
được không cao học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các dạng bài tập về rút
gọn biểu thức chứa căn thức đặc biệt là những biểu thức chứa nhiều dấu căn khi
gặp dạng này các em thường ngại làm, không có định hướng hoặc bỏ qua dẫn
đến kết quả không cao.
Khi áp dụng các giải pháp mới trong sáng kiến thời gian dạy được rút
ngắn lại, tiết kiệm được thời gian, sức lực và kinh tế của nhà trường và các bậc
phụ huynh. Học sinh không còn ngại khi gặp phần kiến thức này mà thể hiện rõ
sự tự tin linh hoạt khi giải, những học sinh được học theo chuyên đề có kết quả
tốt hơn ,biểu hiện số học sinh khá tốt tăng lên số học sinh trung bình giảm rõ rệt.
Học sinh làm quen với những bài tập rút gọn biểu thức chứa căn phức tạp nên
học sinh không những không thấy sợ mà ngược lại còn say mê hứng thú với các
dạng bài tập này. Cụ thể như sau:
Đối tượng

HS trước khi tham gia
học chuyên đề
HS sau khi tham gia học
chuyên đề

Số
lượng

Chất lượng điểm khảo sát
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu

30

2

10

18

0

30

6

16

8

0

- Các thông tin cần được bảo mật (nếu có);
d) Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Học sinh có học lực từ trung bình trở lên tham gia học chuyên đề.
12


- Có thể áp dụng giảng dạy đại trà lồng ghép từ tiết 3 đến tiết thứ 18 theo
phân phối chương trình.
- Đảm bảo về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phòng học đầy đủ.Sự quan tâm
ủng hộ của BGH nhà trường.
đ) Về khả năng áp dụng của sáng kiến cho những đối tượng, cơ quan, tổ
chức nào hoặc những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có
Sáng kiến có khả năng ứng dụng trong điều kiện nhà trường đạt kết quả cao
nâng cao chất lượng học sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi,làm tài liệu bồi
dưỡng có chất lượng cho đồng nghiệp tham khảo trong quá trình giảng dạy. Tài
liệu cho học sinh ôn thi vào10, các trường trong toàn huyện dùng làm tài liệu bồi
dưỡng học sinh giỏi, và bồi dưỡng cá nhân giáo viên.
Tôi làm đơn nay trân trọng đề nghị Hội đồng sáng kiến xem xét và công
nhận sáng kiến. Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực,
đúng sự thật, không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn
chịu trách nhiệm về thông tin đã nêu trong đơn.

Trung Mỹ, ngày16 tháng 01 năm 2019
NGƯỜI VIẾT ĐƠN

Đặng Thị Lý

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
13


TRƯỜNG TH & THCS TRUNG MỸ

Số: 05/TM

Trung Mỹ, ngày 19 tháng 01 năm 2019.

BẢN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ
VÀ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến huyện Bình Xuyên

Trường THCS Trung Mỹ nhận được đơn đề nghị công nhận sáng kiến của
bà: Đặng Thị Lý.
- Ngày tháng năm sinh: 21/07/1979

Nam, nữ: Nữ.

- Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Trung Mỹ
- Chức danh: Giáo viên.
- Trình độ chuyên môn: Đại học toán.
- Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến (ghi rõ đối với từng đồng

tác giả, nếu có):100%.
- Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến (nếu có):
- Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải một dạng toán
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
- Lĩnh vực áp dụng:
+ Kiến thức về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
+ Áp dụng giảng dạy học sinh lớp 9 từ trung bình trở lên và ôn luyện học
sinh vào 10 trong toàn huyện.
14


+ Phục vụ cho việc bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên và
làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp.
Sau khi nghiên cứu đơn đề nghị công nhận sáng kiến.
-

Tôi tên là: Trần Văn Chiến

-

Chức vụ: Hiệu trưởng

-

Thay mặt trường TH &THCS Trung Mỹ nhận xét, đánh giá như sau:

1. Đối tượng được công nhận sáng kiến: Là giải pháp tác nghiệp trong
hoạt động giảng dạy bộ môn toán 9 trong trường THCS.
2. Nhận xét, đánh giá về nội dung sáng kiến:
a) Đảm bảo tính mới, tính sáng tạo vì:

- Không trùng với nội dung của giải pháp trong đơn đăng ký sáng kiến
nộp trước;
- Chưa bị bộc lộ công khai trong các văn bản, sách báo, tài liệu kỹ thuật
đến mức căn cứ vào đó có thể thực hiện ngay được;
- Không trùng với giải pháp của người khác đã được áp dụng hoặc áp
dụng thử, hoặc đưa vào kế hoạch áp dụng, phổ biến hoặc chuẩn bị các điều kiện
để áp dụng, phổ biến;
- Chưa được quy định thành tiêu chuẩn, quy trình, quy phạm bắt buộc
phải thực hiện.
b) Giải pháp có khả năng mang lại lợi ích thiết thực:
- Mang lại hiệu quả kinh tế: Học sinh hiểu biết cách vận dụng linh hoạt
trong giải toán
- Mang lại lợi ích xã hội: Nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 9
trong nhà trường.
c) Về khả năng áp dụng của sáng kiến cho cho học sinh lớp 9, giáo viên
THCS.
3. Kiến nghị đề xuất:
- Đề nghị công nhận sáng kiến của bà Đặng Thị Lý.
15


-Trường TH & THCS Trung Mỹ đề nghị Hội đồng sáng kiến xét công
nhận sáng kiến.
Xin trân trọng cảm ơn./.

HIỆU TRƯỞNG

Trần Văn Chiến

Mã số

16


- Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải một dạng toán
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

- Lĩnh vực áp dụng: Khoa học Tự nhiên
- Họ tên tác giả: Đặng Thị Lý
- Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Trung Mỹ

17


Trung Mỹ, tháng 01/2019

Họ tên, chữ ký người chấm điểm

Điểm

Số phách

Người số 1:……………………………………….
Người số 2:……………………………………….
Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải một dạng toán
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
- Mô tả sáng kiến:
+ Về nội dung của sáng kiến: Để hình thành cho học sinh cách giải dạng
toán rút gọn biểu thức cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến hằng
đẳng thức của lớp 8,bình phương của một tổng,bình phương của một hiệu, tôi đã
thực hiện các bước và giải pháp như sau:

- Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa căn viết được thành dạng
bình phương của một biểu thức qua các bài tập đơn giản.
- Hướng dẫn học sinh biến đổi các biểu thức dạng c ± 2 (c ≥ 0;d ≥ 0)
thành dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu (nếu có
thể).
- Vận dụng giải pháp 2 và hằng đẳng thức = để giải quyết bài toán rút
gọn.
18


- Vận dụng giải pháp 3 vào giải các bài đơn giản chứa nhiều dấu căn
- Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành bình phương
của một biểu thức.
5.1. Giải pháp 1: Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa căn viết
được thành dạng bình phương của một biểu thức qua các bài tập đơn giản.
Bài 1: Tính:
a. ( + 1)2

b. - )2

c. + )2

Giải
a. ( + 1)2 = (2 + 2 .1 + 12 = 2 + 2 + 1= 3 + 2
b. - )2 = (2 - 2 . + ()2 = 8 - 2
c. + )2 = (2 + 2 . + ()2 = 5 + 2
Học sinh sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình
phương của một hiệu thực hiện khai triển biểu thức rồi thu gọn sau đó quan sát
dạng của biểu thức thu được.
Bài 2: Chứng minh đẳng thức

9+ 4 = + 2)2
4 - 2 = - 1)2
23 - = )2
14 - 2 = ( - )2
Giải
Học sinh có thể sử dụng cách làm của bài 1 để giải quyết dạng của bài tập 2:
b. Biến đổi vế phải ta được:
+ 2)2 = (2 + 2 .2+ 22 = 5 + 4 + 4 = 9 + 4
e.
f.
g.
h.

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế phải ta được:
- 1)2 = (2 - 2 .1+ 12 = 3- 2 + 1 = 4 - 2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế phải ta được:
)2 = 42 - 2.4 +(2 = 16- 8 + 7 = 23 - 8
Vậy đẳng thức được chứng minh.
e. Biến đổi vế phải ta được:

- )2 = (2 - 2 . + ()2 = 3- 2 +11 =14 - 2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
19


Vậy vấn đề đặt ra muốn chứng minh bằng cách biến đổi vế trái thành
vế phải ta làm như thế nào?
5.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh biến đổi các biểu thức dạng c ± 2 (c ≥

0;d ≥ 0) thành dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một
hiệu (nếu có thể):
*Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình
phương của một hiệu theo chiều từ phải sang trái để biến đổi.
• a2 + 2ab + b2= (a + b)2

hoặc ở dạng
a+2+b = (2 +2 + ()2= + )2
a+2+1 = (2 + 2. +12= +)2
• a2 - 2ab + b2= (a + b)2

hoặc ở dạng
a - 2+ b = (2 - 2 . + ()2= - )2
a - 2+ 1 = (2 - 2. +12= - )2
• Các bước thực hiện
- Tách hạng tử có chứa căn 2 thành dạng 2 :
- Thử tính có bằng c không?
- Nếu được ta tách c = a + b

*Hướng dẫn học sinh làm cách 2 của bài 2 bằng cách biến đổi vế trái
thành vế phải:
e. 9+ 4 = + 2)2
- Tách hạng tử có chứa căn 4

4 = 2= 2 =2 =2 = 2
- Nhẩm tính:
= 20 + 1 = 21
=2+10=12
= 4 + 5= 9
Ta thấy = 4 + 5 = 9 ta tách 9 thành tổng của hai số 4 và 5. Khi đó ta có: 9+ 4 = +

2
= + 2+
=
20


=
Ta biến đổi vế trái thành vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
f. 4 - 2 = - 1)2

Ta thấy 2 và (= 3+1=4
Biến đổi vế trái, ta được:
4 - 2 = (= - 1)2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
g. 23 - = )2
Ta thấy : =2.4. và 42 +()2 = 16 + 7 = 23
Biến đổi vế trái, ta được:
23 - = (=)2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
h. 14 - 2 = ( - )2

Ta thấy 2 = 2 và (2 +()2=3 + 11=14
Biến đổi vế trái, ta được:
14 - 2 = (=)2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
5.3 Giải pháp 3: Vận dụng giải pháp 2 và hằng đẳng thức = để giải quyết
bài toán rút gọn.
• Sử dụng hằng đẳng thức = =

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:

b.
Giải

d. với a <2

e. ==
()
f. == -( = - (vì
g. ==

=6
h. == - ()= 2 – a (Vì )
• Biến đổi biểu thức bên dưới dấu căn thành bình phương của một tổng

hoặc bình phương của một hiệu và hằng đẳng thức = để giải quyết bài
toán rút gọn.
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
e. A= f. B = - +

g. C = h. D = (2+).

Giải
21


e. A -

Ta nhận thấy và đều có và (=6 nên chúng đều có thể viết được dưới dạng
bình phương của một biểu thức .
A A= A= A= A=

A=
A = -2
f. B = - +

Ta có 2 và (= 3+1=4
22=2. nhưng chỉ có (
B=– +
B= - +
B= - +
B= - +
B= –(+
B= – +
B = -1
Tương tự học sinh tự vận dụng làm câu c; câu d
g. C = C= C= C= C=
C=2-1
h. D = (2+).
D = (2+).
D = (2+).
D= (2+)
D= (2+).()
D = 22D=4–3
D=1
*Lưu ý học sinh khi phá giá trị tuyệt đối cần chú ý tới dấu của biểu thức
trong giá trị tuyệt đối để vận dụng đúng trương hợp.

22


* Ngoài cách làm trên ta cũng có thể giải câu a,c của bài toán trên

bằngcách bình phương hai vế:
a. A A2 = ( - )2
A2=
A2 = 12 - 2
A2 = 12- 2
A2= 12-2
A2= 12-8
A2= 4 và A < 0 nên A = -2
d. C = -

C2= ( - )2
C2= + - 2
C2= 9 - 22
C2= 9 - 2- 2
C2 = 9 – 4 = 8 - 2.2.1 +1 = (2)2 - 2.2.1 +12 = (2)2
C2= (2)2 và C > 0 nên C = 2
* Lưu ý học sinh khi lấy căn hai vế phải luôn nhớ xác định dấu của của
biểu thức để lựa chọn kết quả phù hợp.
* So sánh hai cách làm thì cách làm thứ nhất biến đổi đơn giản hơn cách
làm bình phương hai vếta phải. Vì với cách bình phương hai vế phải kết hợp
nhiều cách biến đổi hơn.
Bài 5. Rút gọn biểu thức :
E=
Ta thấy biểu thức bên dưới dấu căn chưa có dạng c ± 2 vậy ta cần làm xuất
hiện hệ số 2 trước căn của biểu thức bên dưới dấu căn. Vậy làm thế nào để làm
xuất hiện hệ số 2 để giá trị của biểu thức bên dưới dấu căn không thay đổi?
* Nhân biểu thức dưới dấu căn với
Khi đó biểu thức
23

E=
E=
E=
Đến đây ta có thể sử dụng biến đổi câu a bài 4 để làm tiếp.
E= = = = =
Với bài tập này ta cũng có thể dùng cách bình phương hai vế của biểu thức:
E2 =)2
E2= 6 2
E2= 62
E2= 6
E2= 64 = 2
Vì E > 0 nên E =
*Trong biến đổi ta cần linh hoạt lựa chọn cách biến đổi phù hợp thì việc biến
đổi đơn giản hơn.
5.4 Giải pháp 4: Vận dụng giải pháp 3 vào giải các bài đơn giản chứa nhiều
dấu căn hoặc biểu thức phức tạp
Để giải dạng toán này ta bắt đầu từ căn thức bậc hai trong cùng biến đổi
dần ra căn thức bậc hai ngoài cùng.
Đối với biểu thức phức tạp ta cần có sự quan sát phân tích để biểu diễn
dưới dạng bình phương rồi vận dụng linh hoạt biến đổi để đơn giản biểu thức.
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:
F=
F= =
==
==
==
===
Bài 7. Chứng tỏ các số G ,H, K sau đây đều là các số nguyên
G=

H=

K=
Giải:
24


G=
Đặt I = =
= =
= =
= = = =
=
Khi đó G =

= =1

Vậy G là số nguyên.
H=
H==
H ==
H = = =1
Vậy H là số nguyên.
K=
K=
K=
K=
K=
K=

K=

=1

Vậy K có giá trị nguyên.
Dùng cách đơn giản biểu thức bằng cách biến đổi linh hoạt biểu thức dưới
dấu căn thức bậc hai thành bình phương của một biểu thức ta có thể giải quyết
bài toán chứng minh biểu thức chứa căn phức tạp là số nguyên hay thực chất là
đơn giản biểu thức chứa căn.
5.5 Giải pháp 5: Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành
bình phương của một biểu thức.
Bài 8. Rút gọn biểu thức:
P= + nếu 1≤ a ≤ 2

25