Chuyên đề 18 hàm số mũ hàm số logarit đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

Chuyên đề 18

 
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Tính toán liên quan đến logarit dùng đẳng thức
 Định nghĩa logarit: 
Cho hai số thực dương  a , b  với  a  1, α  log a b  a α  b : 
 Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương  a, b, c  với  0  a, b, c  1  
log a b 

log c b
log a b
; log a b  log a c  log a bc; log a b  log a c 
;
log a a
log a c  

log a b.log b c  log a c.

0  a  1; b  0 . 

 Phương trình mũ cơ bản nhất  a x  b  x  log a b

 Cách giải phương trình mũ có dạng  α1a 2 x  α2 ab  α3b 2 x  0  trong đó  αi i  1, 2,3  là hệ số, 
x

cơ số  0  a , b  1  

2x
x
a
a
B1: Biến đổi phương trình về dạng:  2α1    α2    α3  0 * . 
 b 
 b 
x
a
B2: Đặt ẩn phụ    t , t  0 , phương trình *  trở thành  α1t 2  α2t  α3  0 . 
 b 

B3: Giải tìm t  thỏa mãn  t  0 . 
x
a
B4: Giải phương trình mũ cơ bản     t . Tìm được  x . 
 b 

Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho  x ,  y   là  các  số  thực  dương  thỏa  mãn 
log 9 x  log 6 y  log 4  2 x  y  . Giá trị của 

A. 2 . 

B.

1
. 
2

x
 bằng 
y
3
C. log 2   . 
2
Lời giải

D. log 3 2 . 
2

Chọn B
 x  9t

Đặt  t  log 9 x  log 6 y  log 4  2 x  y  . Khi đó   y  6t
   2.9t  6t  4t  
 2 x  y  4t


 3 t
   1
t
t
t
2
9 3
3 1

      . 

 2.       1  0   
 3 t 1
4 2
2 2


  
 2  2
t

Do đó: 

t

x 9 3 1
       . 
y 6 2 2

Facebook Nguyễn Vương  1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 2.

(Chuyên Lào Cai - 2020) các  số  thực  a ,  b ,  c   thỏa  mãn  (a  2)2  (b  2)2  (c  2)2  8   và 
2 a  3b  6  c . Khi đó  a  b  c  bằng

A. 2 .

B. 4 .

D. 8 . 

C. 2 2 .
Lời giải

Chọn A
Ta có  a  c log 2 6  và  b  c log3 6 . Suy ra 

1 1
1
1 1 1
   . Hay     0 . 
a b
c
a b c

Hay  ab  bc  ca  0 .Suy  ra  a 2  b2  c2  (a  b  c)2   nên  (a  b  c)2  4(a  b  c)  4  0. Vậy 

a  b  c  2 . 
Câu 3.

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho  4 x  4 x  7 . Khi đó biểu thức  P 
a
 là phân số tối giản và  a, b   . Tích  a.b  có giá trị bằng
b
A. 10 .
B. 8 .
C. 8 .

Lời giải
Chọn A
2

2

5  2 x  2 x
a
  với 
x
x
b
8  4.2  4.2

D. 10 . 

2

Ta có  4 x  4 x  7   2 x   2.2 x .2 x   2 x   2  7   2 x  2 x   9  2 x  2 x  3 . 

5   2 x  2 x 
5  2 x  2 x
53
2
1



 . 
Do đó  P 

x
x
x
x
8  4.2  4.2
8  4.  2  2  8  4.3 20 10
Suy ra  a  1, b  10 . 
Vậy  a.b  10 . 
Câu 4.

(Sở Ninh Bình 2019) Cho  a ,  b ,  c  là các số thực khác  0  thỏa mãn  4a  9b  6c . Khi đó 
bằng
1
A. .
2

B.

1
.
6

6.

C.

c c
  
a b

D. 2 .

Lời giải 
Chọn D

a  log4 t

Đặt  t  4  9  6  b  log9 t . 
c  log t
6

c c log6 t log6 t

 log6 t.logt 4  log6 t.logt 9  log6 t  logt 4  logt 9  
Khi đó   
a b log 4 t log9 t
a

b

c

 log6 t.logt 36  log6 36  log6 62  2 .
Câu 5.

Biết  a  log 30 10 ,  b  log 30 150  và  log 2000 15000 
nguyên, tính  S 
A. S 

1

. 
2

x1a  y1b  z1
 với  x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y 2 ; z 2  là các số 
x2 a  y2b  z2

x1
. 
x2
B. S  2 . 

C. S 

2
. 
3

D. S  1 . 

Lời giải
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Chọn A
Ta có  log 2000 15000 

log 30 15000 log 30 150  2 log 30 10


  1  
log30 2000
log 30 2  3log 30 10

Ta có  a  log 30 10  log 30 5  log 30 2  log 30 2  a  log 30 5   2  
b  log 30 150  1  log 30 5  log 30 5  b 1  thay vào  2  ta được  log 30 2  a  b  1  
b  2a
2a  b
 

a  b  1  3a 4a  b  1
x
2 1
Suy ra  S  1   . 
x2 4 2

Ta có  log 2000 1500 

log x y  log y x
Cho các số thực dương  x, y  khác 1 và thỏa mãn  
. 
log x  x  y   log y  x  y 

2
2
Giá trị của  x  xy  y bằng 

Câu 6.

A. 0. 

B. 3. 

C. 1. 
Lời giải

D. 2. 

Chọn D
ĐK:  x  y . 


1


y 
1




log x y  log y x
x
log x y  log y
Ta có  
 
 
 
x
 x  y

log x  x  y   log y  x  y  






log x  x  y   log y  x  y  


log x  x  y   log x1  x  y 
1


1


y
 xy  1
y  x


x


  2
 x 2  xy  y 2  2 . 
2




2
2


 x  y  1


log x  x  y   log x  x  y   0 log x  x  y   0

Câu 7.

Cho  các  số  thực  dương  a ,  b   thỏa  mãn 

log a  log b  log a  log b  100   và 

log a , 

log b ,  log a ,  log b  đều là các số nguyên dương. Tính  P  ab . 
A. 10164.  

B. 10100.  

C. 10 200.  
Lời giải

D. 10144.  

Chọn A
Ta có:  log a  log b  log a  log b  100  

 log a  log b  2 log a  2 log b  200   log a  1   log b 1  202  81  121   *  
2

2

Mà  log a ,  log b ,  log a ,  log b  đều là các số nguyên dương nên 






*  









a  1064

log a  64



 b  10100

log b  1  11 
log
b

100


 
 
 
100


log a  1  11 log a  100 a  10


64



 log b  64
log b  1  9
b  10
log a  1  9

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Vậy:  P  ab  1064.10100  10164.  
Câu 8.

mb  nac
.Tính  A  m  2n  3 p  4q  
pc  q
C. 23  
D. 29  
Lời giải

Cho  log 9 5  a; log 4 7  b; log 2 3  c .Biết  log 24 175 
A. 27  

B. 25  

Chọn B
Ta có  log 24 175  log 24 7.52  log 24 7  2 log 24 5 

1
2


3
log 7 3  log 7 2
log5 3  log 5 23
1
1
3

log 2 7.log3 2 log 2 7



1
2

 
log 7 24 log 5 24

1
1
3

log3 7 log 2 7

2

2
1
3

log3 5 log 2 5

1

3

1 2b
2b.
c

1
2
2b
4ac
2b  4ac
. 




c
3
c
3
c

3
c

3
c

3


2b 2b 2ac 2ac
A  m  2n  3 p  4 q  2  8  3  12  25.  
Câu 9.

1

3

log3 5 log 2 3.log3 5





1



 

2
1
3

2a c.2a

Cho  x ,  y  là các số thực lớn hơn  1 thoả mãn  x 2  6 y 2  xy . Tính  M 

1
. 
4

A. M 

B. M  1 . 

C. M 

1
. 
2

 

1  log12 x  log12 y
. 
2 log12  x  3 y 
1
D. M  . 
3

Lời giải
Chọn B 
Ta có  x 2  6 y 2  xy  x 2  xy  6 y 2  0 * . 
Do  x ,  y  là các số thực dương lớn hơn  1 nên ta chia cả 2 vế của  *  cho  y 2  ta 
 x
được  
 y 

2

x
 3
 x  3 y n
y
x

 
 6  0  
 
x
y
x


2
y
l




  2
 y

Vậy  x  3 y  (1). 
Mặt khác  M 

1  log12 x  log12 y
log12 12 xy
 (2). 

2
2 log12  x  3 y 
log12  x  3 y 

Thay (1) vào (2) ta có  M 

log12 36 y 2
1.
log12 36 y 2





Câu 10. Cho  f  x  a ln x  x 2  1  b sin x  6   với  a ,  b   .  Biết  f log log e  2 .  Tính 

f log ln10 . 
A. 4 . 

B. 10 . 

C. 8 . 

D. 2 . 

Lời giải 
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Chọn B 
Đặt  x0  log log e  





Có:  f  x0   a ln x0  x02  1  b sin x0  6  2  

  1 
  f  log log e  f x0   
Ta có  f log ln10  f log 



  log e 
f  x0   a ln









x02  1  x0  b sin  x0   6  a ln x0  x02  1  b sin x0  6  







   a ln x0  x02 1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10 . 



Câu 11. Cho  9 x + 9-x = 14  và 
A. P  10.  

a
6+3(3x +3-x ) a
=  với   là phân số tối giản. Tính  P  a.b.
x+1 1-x
b
2-3 -3
b
B. P  45.  
C. P  10.  
D. P  45.  
Lời giải 

Chọn B 
Ta có 

9 x  9 x  14  32 x  2.32 x.32 x  32 x  16
 3x  3 x   16  3x  3 x  4.
2

 

6  3(3x  3 x ) 6  3(3x  3 x )
6  3(3x  3 x )



2  3x1  31x
2  3.3x  3.3 x 2  3.3x  3 x 


 
6  3.4
18
a
9
      ab  45.
2  3.4
10
b
5

a
Câu 12. Cho hai số thực dương  a, b  thỏa  log 4 a  log 6 b  log9  a  b  . Tính  . 
b
A.

1
. 
2

B.

1 5
. 
2

1  5
. 
2
Lờigiải
C.

D.

1  5
. 
2

Chọn D
Đặt  t  log 4 a  log6 b  log9  a  b  . 

  2  t 1  5
a  4t
  
2t
t

2
 3
2
 2
t
t
t
t
 b  6

 4  6  9       1  0  
. 
t

3
 3
2

1

5


a  b  9t
  
( L)

2
 3 
t

a 4 t  2  1  5
. 
   
b 6t  3 
2

Câu 13. Cho các số thực dương  x, y  thỏa mãn  log 6 x  log 9 y  log 4  2 x  2 y  . Tính tỉ số 

x

? 
y

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A.

x 2
 . 
y 3

B.

x
2
. 

y
3 1

C.

x

y

2

. 
3 1

D.

x 3
 . 
y 2

Lờigiải
Chọn B

 x  6t

Giả sử  log 6 x  log 9 y  log 4  2 x  2 y   t . Ta có:   y  9t
 2 x  2 y  4t


(1)
(2) . 
(3)

t

x 6t  2 

    0 . 
y 9t  3 
Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có 

Khi đó 

  2 t
2
(thoûa)
   1  3 
2t
t
3 1
3
2
2


t
t
t

. 
2.6  2.9  4     2.    2  0 
 2 t
3
3


   1  3
(loaïi)
 3 
Câu 14. Cho  x ,  y  là các số thực dương thỏa mãn  log 25

b  là các số nguyên dương, tính  a  b . 
A. a  b  14 . 
B. a  b  3 . 

x
x y
x a  b
 log15 y  log9
 và  
, với  a , 
y
2
2
4

C. a  b  21 . 
Lờigiải

D. a  b  34 . 

Chọn D
x
log 25

2
y

15

x

x y
x
Ta có  log 25  log15 y  log 9
 

log 25
2
4
log x  15 2  log x
25
 9
4
2
2t

Đặt  t  log 25

t

x
5
5
 x  2.25t , ta được  2.25t  15t  4.9t  2       4  
2
3
3
t

 t  log 5
3

1  33
x 2.25t
 5  1  33
. 
 
 2.   
t
4
y
15
2
3

Do đó  a  1 ,  b  33  nên  a  b  34 . 
Câu 15. Cho dãy số   un   thỏa mãn  log3  2u5  63  2log 4  un  8n  8 ,  n   * . Đặt 
S n  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất  n  thỏa mãn 
A. 18 . 

B. 17 . 

C. 16 . 
Lờigiải

un .S2 n 148

. 
u2n .Sn 75
D. 19 . 

Chọn A
Ta có  n   * ,  log3  2u5  63  2log 4  un  8n  8  log 3  2u5  63  log 2  un  8n  8  . 
 2u  63  3t
 2u5  63  3t
Đặt  t  log 3  2u5  63     5
( với  n  5 ) 


t
t
un  8n  8  2
u5  32  2
 1  3t  2.2t  t  2  un  8n  4 . Khi đó  u5  36  
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Với  un  8n  4  và  u5  36 , ta có: 
log 3  2u5  63  2 log 4  un  8n  8   log 3  2.36  63  2 log 4  8n  4  8n  8 

 log 3 9  2 log 4 4  2  2  đúng  n   * . 
Ta có:  un 1  un  8  n  1  4   8n  4   8 . Vậy   un   là cấp số cộng có số hạng đầu  u1  4 , công 
sai  d  8 . 
 S n  u1  u2  ...  u n 

 u1  un  .n  4n 2 . 
2

2

Do đó 

un .S 2 n  8n  4  .16n 148
 n  19 . 


u2 n .S n 16n  4  .4n 2 75

Dạng 2. Bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất mũ – loagrit (sử dụng phương pháp
bất đẳng thức – biến đổi)
 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
       a, b  0,  thì  a  b  2 ab .  Dấu  "  "  xảy ra khi:  a  b.  
 

    a, b, c  0,  thì  a  b  c  3. 3 abc .  Dấu  "  "  xảy ra khi  a  b  c.  
2

3

 ab
 abc
  Nhiều trường hợp đánh giá dạng:  a.b  
  và  a.b.c  
  
3
 2 


 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
a b

      a, b, x, y,  thì:  (a.x  b. y ) 2  (a 2  b 2 )( x 2  y 2 ) .  Dấu  "  "  khi     
x y
 

    a, b, c, x, y, z  thì:  (a.x  b. y  c.z ) 2  (a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) .   

Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi: 

a b c
   
x y z

    Nhiều trường hợp đánh giá dạng:  a.x  b. y  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ).  
Hệ quả.  Nếu  a, b, c  là các số thực và  x, y, z  là các số dương thì: 
 

a 2 b 2 (a  b) 2
a 2 b2 c 2 (a  b  c) 2
 và 
: bất đẳng thức cộng mẫu số. 
 
  
x
y
x y
x
y z
x y z

 

Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét  các  số  thực  dương  a, b, x, y   thoả  mãn a  1, b  1   và
 
 
a x  b y  ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  2 y  thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. 1;2 .

 5
B.  2;  .
 2

C. 3; 4  .

5 
D.  ;3  .
2 

Lời giải 
Chọn D
Đặt  t  log a b . Vì  a, b  1  nên  t  0 . 

1
1
1  log a b   1  t  . 
2
2
1
1  1
b y  ab  y  logb ab  1  log b a   1   . 

2
2 t 
1
1 3 t 1 3
Vậy  P  x  2 y  1  t   1       2 . 
2
t 2 2 t 2
Ta có:  a x  ab  x  log a ab 

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

t 1
  b  a 2 . 
 2 t
3
5 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  2 y bằng  2  thuộc nửa khoảng  ;3  .
 2
  2 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Câu 2.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên  x  sao cho tồn tại số thực  y  thỏa mãn 

log 3 ( x  y )  log 4  x 2  y 2  ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. Vô số.

Chọn B
Cách 1:
 x  y  3t
Đặt  t  log 3 ( x  y )  log 4  x 2  y 2    2
1 . 
2
t
 x  y  4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 
2

9t   x  y   2  x 2  y 2   4t 

9t
 2  t  log 9 2
4t
2

 

Như vậy, 
x 2  y 2  4 t  x 2  4t  4

log 9 2

 1,89  x  1; 0;1

4

t
t  0
 y  3
 Trường hợp 1:  x  0   2
. 

t
y 1
 y  4

 

t
t  0
 y  3  1
 Trường hợp 2:  x  1   2
. 

t
 y  4  1  y  0
t
t  0
 y  3  1

 Trường hợp 3:  x  1   2

 x 2  y 2  5  mâu thuẫn với 
t
t
y

3

1

2
 y  1  4  1 

x2  y 2  4

log 3 2

 suy ra loại  x  1 . 

2

Vậy có hai giá trị  x  0;1  
Cách 2:
 x  y  3t
Đặt  t  log 3 ( x  y )  log 4  x 2  y 2    2
1 . 
2
t
 x  y  4

Suy ra  x, y  là tọa độ của điểm  M  với  M  thuộc đường thẳng  d : x  y  3t  và đường tròn 

 C  : x2  y 2  4t . 
Để tồn tại  y  tức tồn tại  M  nên  d ,  C   có điểm chung, suy ra  d  O, d   R  trong đó 
t

O  0;0  , R  2  nên 

3t
2

 2t  t  log 3 2 . 
2


0  x  y  3
Khi đó  1  
log
 x 2  y 2  4 32


log 3 2
2

2

. 

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Minh họa quỹ tích điểm  M  như hình vẽ sau 

 
Ta thấy có 3 giá trị  x    có thể thỏa mãn là  x  1; x  0; x  1 . 
Thử lại: 
 y  3t
t  0
 Trường hợp 1:  x  0   2
. 

t
 y  4
y 1
t
t  0
 y  3  1
 Trường hợp 2:  x  1   2
. 

t
 y  4  1  y  0
t
t  0
 y  3  1
 Trường hợp 3:  x  1   2

 x 2  y 2  5  mâu thuẫn với 

t
t
y

3

1

2
y

1

4

1



x2  y 2  4
Câu 3.

log 3 2
2

 suy ra loại  x  1 . 

(Mã 103 2018) Cho  a  0, b  0  thỏa mãn  log 4 a 5b1 16a 2  b 2  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 . Giá 
trị của  a  2b  bằng
A. 6

B.

27
4

20
3
Lời giải
C.

D. 9  

Chọn B
Từ giả thiết suy ra  log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  0  và  log 8ab 1  4a  5b  1  0 . 
Áp dụng BĐT Côsi ta có 

log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 log 4 a 5b1 16a 2  b 2  1 .log8ab1  4a  5b  1  
 2log 8ab1 16a 2  b2  1 . 
2

Mặt khác  16a 2  b 2  1   4a  b   8ab  1  8ab  1 a, b  0  , 
suy ra  2 log 8 ab1 16a 2  b 2  1  2 . 
Khi đó  log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  log8ab 1  4a  5b  1  2  

log
8ab  1  log8ab1  4a  5b  1
  4 a 5b 1
 
b  4a

3

log 24 a 1  32a 2  1  1
32a 2  24a
a 



4 . 
b  4a
b  4a
b  3
Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Vậy  a  2b 
Câu 4.

3
27
6 
.
4
4

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm  x  và  y  thỏa mãn  2 x  y.4 x  y 1  3 . Giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức  P  x 2  y 2  4 x  6 y  bằng 
A.

33
. 
4

B.

65
. 
8

49
. 
8
Lời giải
C.

D.

57
. 
8

Chọn
B.
Cách 1:
Nhận xét: Giá trị của  x, y  thỏa mãn phương trình  2 x  y  4 x  y 1  3 1  sẽ làm cho biểu thức  P  
nhỏ nhất. Đặt  a  x  y , từ  1  ta được phương trình 
2
3

4a 1  .a  2   0 . 
y
y

2
3
Nhận thấy  y  4a 1  .a  2   là hàm số đồng biến theo biến  a , nên phương trình trên có 
y
y
nghiệm duy nhất  a 

3
3
 x  y  . 
2
2

65
1  1 65
2

Ta viết lại biểu thức  P   x  y   4  x  y   2  y     . Vậy  Pmin  . 
4 8 8
8

Cách 2:
Với mọi  x, y  không âm ta có 
2 x  y.4 x  y 1  3  x  y.4

x y 

3
2



 x y  3

3
3

  x  y    y.  4 2  1  0  (1) 
2
2




 x y  3

3
3

 0  thì   x  y    y.  4 2  1  0  y.  40  1  0  (vô lí) 
2
2



3

Vậy  x  y  . 
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được 

Nếu  x  y 

2

2

P  x2  y 2  4 x  6 y   x  3   y  2   13  
2

1
13
65
2

  x  y  5   13    5   13 
 
2
22
8


5

3
y



x  y 

4

Đẳng thức xảy ra khi  
. 
2
 x  3  y  2
x  1

4
65
Vậy  min P 
. 
8
Câu 5.

Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn  2 x

2

 y 2 1

  x 2  y 2  2 x  2  4 x .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức 

4y
 gần nhất với số nào dưới đây? 
2x  y 1
A. 2 . 

B. 3 . 
C. 5 . 
Lời giải
P

D. 4 . 

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Chọn B
Ta có  2 x
 2

2

 y 2 1

2

x 1  y 2

  x2  y2  2 x  2 4x  2x

2

 y 2 1 2 x

 x2  y2  2x  2  

2

2

  x  1  y 2  1 . Đặt  t   x  1  y 2  t  0  , ta được BPT:  2t  t  1 . 

Đồ thị hàm số  y  2t  và đồ thị hàm số  y  t  1  như sau: 

 
Từ đồ thị suy ra  2  t  1  0  t  1   x  1  y  1 . Do đó tập hợp các cặp số   x; y   thỏa 
2

t

2

mãn thuộc hình tròn   C  tâm  I 1;0  , R  1 . 
Ta có  P 

4y
 2 Px   P  4  y  P  0  là phương trình của đường thẳng  d . 
2x  y 1

Do  d  và   C   có điểm chung   d  I ,  d    R 

3P
2

4P   P  4

2

 1  4 P 2  8 P  16  0  

 1  5  P  1  5 , suy ra giá trị nhỏ nhất của  P  gần nhất với  3 . 
Câu 6.

Cho  các  số  thực  x , y   thỏa  mãn bất  đẳng  thức  log 4 x2 9 y2  2 x  3 y   1 .  Giá  trị  lớn  nhất  của  biểu 
thức  P  x  3 y  là 
A.

3
. 
2

B.

2  10
. 
4

5  10
. 
4
Lời giải
C.

D.

3  10
. 
4

Điều kiện  4 x 2  9 y 2  1 . 
Trường hợp 1:  4 x 2  9 y 2  1 . 

1
3
2 x  1
2
2
 x  3 y   1  P  .  1  
Ta có   2 x    3 y   1  
2
2
3 y  1
Trường hợp 2: 4 x 2  9 y 2  1. 
 
2
2
1 
1 1

Khi đó  log 4 x2 9 y2  2 x  3 y   1  2 x  3 y  4 x 2  9 y 2   2 x     3 y    . 
2 
2 2

1
1 

1 3
P  x  3 y   2 x     3 y    . 
2
2 
2 4
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta được: 

Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
2
2
2
1 
1 
1    1  
1 
1  5
 2  2 x  2    3 y  2     4  1  2 x  2    3 y  2    8 . 
 
 
 
 
 
 

1
1 
1  3 3  10

Suy ra  P   2 x     3 y    
.   2   
2
2 
2 4
4
 
1
1

5  10
x
2  2 x  2   3 y  2

8
x

6
y

1




20
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi   
. Từ 



 4 x  12 y  3  10
3  10

 y  5  2 10
 x  3 y 
30

4

1  và   2   suy ra giá trị lớn nhất của  P  là 
Câu 7.

3  10
. 
4

1
(Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực  a, b  thay đổi, thỏa mãn  a  , b  1.  Khi 
3
biểu thức  P  log 3a b  log b  a 4  9a 2  81  đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng  a  b  bằng 
A. 3  9 2  

B. 9  2 3  

C. 2  9 2  
Lời giải

D. 3  3 2  

Chọn A

2
1
Do  a 4  9a 2  81  9a 2   a 2  9   0  đúng  a  ;  Dấu bằng xảy ra khi  a  3  
3

2

Suy ra  P  log3a b  log b  3a   log3a b  2 logb 3a  2 2  

 a  3
a  3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  
 
2
b  9
log 3a b  2 logb 3a
Vậy, khi  P  đạt giá trị nhỏ nhất thì  a  b  3  9 2.  
Câu 8.

(Chuyên  Trần  Phú  Hải  Phòng  2019)  Cho  các  số  thực 

a, b, c   thỏa  mãn 

1
3
0  a  1;    b  1;    c  1 .  Gọi  M   là  giá  trị  nhỏ  nhất  của 
8
8
3

b 1  1
c 3  1
P  log a     logb     log c a . Khẳng định nào sau đây đúng? 
16
 2 16  4
 2 16  3
A.

3  M  2 . 

B. M  2 . 

C.

2  M  3 . 

D. M  2 . 

Lời giải 
2

b 1 8b  1 1 8b  1  2b 
    b2 . 
 .
Ta có:   
2 16
16
4 4
 2 
4

c 3 8c  3 1 1 1 8c  3  4c 
    c 4 . 
 
 . . .
2 16
16
2 2 2 2
 4
3
b 1  1
c 3  1
Suy ra  P  log a     log b     log c a  
16
 2 16  4
 2 16  3


3
1
1
2 3
log a b 2  log b c 4  log a c    3. 3
 . 
16
4
3
16 2

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

biểu 

thức 


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Vậy  Pmin

Câu 9.


1

b  4
8b  1  1


3
1

    8c  3  1
 c 
. 
2
2
3

1
 log a b  log b c  log c a


2
3
8
a 

4

Cho các số thực  a, b, m, n  sao cho  2m  n  0  và thoả mãn điều kiện: 
log 2  a 2  b 2  9   1  log 2  3a  2b 

 
4

2
9  m.3 n.3 2 m  n  ln  2m  n  2   1  81



2

 a  m  b  n

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P 
B. 2 . 

A. 2 5  2 . 

2

C. 5  2 . 
Lời giải

D. 2 5

   log 2  a 2  b 2  9   1  log 2  3a  2b   a 2  b2  9  6a  4b  a 2  b2  6a  4b  9  0 1  
Gọi  A  a; b  . Từ  1  ta suy ra điểm  A  thuộc điểm đường tròn   C   có tâm  I  3; 2  , bán kính 

R  2 . 
4

 2 m n 

2
2
   9 m.3 n.32 m n  ln  2m  n  2   1  81  ln  2m  n  2   1  81  3





4
2 m n

   
4

 2 m n  
4
4

2 m n
 81 . 
 2   2m  n  .
 4 3
2m  n
2m  n
4
 2m  n  2 ) 
(Đẳng thức xảy ra khi:    2m  n  
2m  n

Theo bất đẳng thức Cô-si:    2m  n  

2
2
2
Từ     ln  2m  n  2   1  0   2m  n  2   1  1   2m  n  2   0  



 2m  n  2  0   2  . 

Gọi  B  m; n  . Từ   2   ta suy ra điểm  B  thuộc đường thẳng   :  2 x  y  2  0  

 
Ta có:  P 

2

 a  m  b  n 

2

 AB  

 min P  min AB  d  I ;    R 

3.2  2  2
22  12

 2  2 5  2.  

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

1
3
Câu 10. Cho  các  số  thực  a, b, c   thỏa  mãn  0  a  1;    b  1;    c  1 .  Gọi  M   là  giá  trị  nhỏ  nhất  của 
8
8
3
b 1  1
c 3  1
biểu thức  P  log a     logb     log c a . Khẳng định nào sau đây đúng? 
16
 2 16  4
 2 16  3
A.

3  M  2 . 

B. M  2 . 

C.

2  M  3 . 

D. M  2 . 

Lời giải 
Chọn C
2

b 1 8b  1 1 8b  1  2b 
    b2 . 
 .
Ta có:   
2 16
16
4 4
 2 
4

c 3 8c  3 1 1 1 8c  3  4c 
    c 4 . 
 
 . . .
2 16

16
2 2 2 2
 4
3
b 1  1
c 3  1
Suy ra  P  log a     logb     log c a  
16
 2 16  4
 2 16  3


3
1
1
2 3
log a b 2  log b c 4  log a c    3. 3
 . 
16
4
3
16 2

Vậy  Pmin

Câu 11.


1


b  4
8b  1  1


3
1

 c 
. 
    8c  3  1
2
2
3

1
 log a b  log b c  log c a

2
3
8
a 

4

(Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét  các  số  thực  dương  a , b, c   lớn  hơn  1  (  với  a  b )  thỏa  mãn 

4  log a c  logb c   25log ab c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  log b a  log a c  log c b  bằng 
A. 5 . 

B. 8 .   

17
. 
4
Lời giải
C.

D. 3 . 

Chọn A 
Đặt  log c a  x, log c b  y . 
Vì  a, b, c  1  và  a  b  nên suy ra  log c a  log c b  hay  x  y  0 . 

 1
1 
1
4 4
25

Từ giả thiết suy ra:  4 
 
   
  25.
log c ab
x y x y
 log c a log c b 
x
2
y 4
x  y


25
x y 17
     x  4 y  ( vì  x  y ). 

 
        
y x 4
xy
4
x 1
y  4

Ta có:  log b a  log a c  log c b 

 

x 1
log c a
1

 log c b        y  
log c b log c a
y x

x 1
1

 y  42
. y  5 . 

y 4y
4y

1
 và  x  2 , tức là  a  c 2 ; c  b 2  
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng  5 . 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  y 

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Cách khác 
Từ giả thiết suy ra:  4  log a b.log b c  log b c   25.log ab b.log b c  
 log b c  0
log b c
   
. 
   4 log b c  log a b  1  25
25
 4  log a b  1 
log b ab
log b a  1

Do  a, b, c  1  nên  log b c  0 ; suy ra  4 1  log a b 1  log b a   25      log a b 

1
. 

4

Khi đó:  log b a  log a c  log c b  4  2 log a c.log c b  4  2 log a b  5 . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng  5  đạt được khi và chỉ khi  a  b 4 , a  c 2 , c  b 2 . 
Câu 12. (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét  các  số  thực  dương  a ,  b ,  x , y   thỏa  mãn 

a  1 ,  b  1 và  a 2 x  b 3y  a 6 b 6 .  Biết  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  P  4 xy  2 x  y có  dạng 
m  n 165 (với  m, n là các số tự nhiên), tính  S  m  n . 
A. 58 . 

B. 54 . 

C. 56 . 
Lời giải

D. 60

Chọn C
Theo bài ra ta có:  a

2x

b

3y








2x  log a a 6 b 6
a 2x  a 6 b 6
 2x  6  6log a b


 a b   3y

 
6 6
6 6
 b  a b
3y  6  6log b a
3y  log b a b
6

6

 x  3 1  log a b 

 
 y  2 1  log b a 
Vì  a ,  b  1 nên  log a b  log a 1  0 . 
Do đó: 
 
P  4 xy  2 x  y  24(1  log a b)(1  log b a )  6  6 log a b  2  2 log b a  
 52  30 log a b  22 log b a  52  2 30 log a b.22 log b a  52  4 165  

11

ba
Vậy  P  đạt giá trị nhỏ nhất là  m  n 165  khi  30 log a b  22 logb a  log a b 
15
m  52
 m  n  56 . 
Ta có:  
n  4
Câu 13.

11
15

 

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn 

log 2  x  1  log 2  y  1  1 . Khi biểu thức  P  2 x  3 y  đạt giá trị nhỏ nhất thì  3x  2 y  a  b 3  
với  a, b  . Tính  T  ab ? 
A. T  9 . 

B. T 

7
. 
3

C. T 

5
. 

3

D. T  7 . 

Lời giải
Chọn C 
x 1  0
x  1
Điều kiện:  

 
 y 1  0
y 1
Khi đó:  log 2  x  1  log 2  y  1  1   x  1 y  1  2  y  1 

2
2
 y
 1 
x 1
x 1

Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

6
6
 3  2  x  1 

5 
x 1
x 1
Cách 1: Dùng bất đẳng thức 
Suy ra:  P  2 x  3 y  2 x 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:  2  x  1 

 2  x  1 

6
 4 3  P  4 3 5 
x 1

Dấu “=” xảy ra   2  x  1 

y

6
6
 2 2  x  1 .
 
x 1
x 1

x  1 3  N 
6
2
  x  1  3  x  1  3  
 

x 1
 x  1  3  L 

2
2 3 3
. 
1 
3
3

 2 3 3
5
5
5
3  a  1; b   T  ab  . 
Do đó:  3x  2 y  3 1  3  2 
  1 
3
3
3
 3 
Cách 2: Dùng bảng biến thiên 
6
6
 3  P'  2 
Ta có:  P  2 x 
 
2
x 1
 x  1





x  1 3  N 
P'  0  
 
 x  1  3  L 
Bảng biến thiên 

 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  Pmin  4 3  5  x  1  3  y 

2 3 3
. 
3

 2 3 3
5
5
5
3  a  1; b   T  ab  . 
Do đó:  3x  2 y  3 1  3  2 
  1 
3
3
3
 3 



Câu 14.

(Chuyên

Phan



Bội

Châu

-

Nghệ

An

-

2020)

Cho 

a  0, b  0   thỏa  mãn 

log 4 a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 . Giá trị của  a  2b  bằng
2

A.

2

27
. 
4

B. 6 . 

20
. 
3
Lời giải 

C.

D. 9 . 

Chọn
A.
Ta có:  a  0, b  0  

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 





2
2
4a  5b  1  1 log 4a 5b1 16a  b  1  0
Nên  
 

8ab  1  1
log8ab1  4a  5b  1  0

P  log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  log 8 ab 1  4a  5b  1  2 log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1 .log 8 ab 1  4a  5b  1
 P  2 log 8 ab 1 16a 2  b 2  1

Mặt khác: 
16a 2  b 2  1  2 16a 2b 2  1  8ab  1  P  2 log 8 ab 1  8ab  1  2  
3

16a 2  b 2
 4a  b
a 


4 
 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:  
8ab  1  4a  5b  1  2b  1  6b  1 b  3


Do đó  a  2b 
Câu 15.

27
. 
4

(Chuyên Sơn La - 2020) Cho  a, b, c   là  các số  thực  lớn  hơn  1 .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức 
P

4040
1010
8080


 bằng
log bc a log ac b 3log ab 3 c

A. 2020 .

B. 16160 .

C. 20200 .
Lời giải

D. 13130 . 

Chọn C

4040

1010
8080
4040
1010
8080
 





3
1
1
log bc a log ac b 3log ab c 2 log bc a
log ac b 3. log ab c
2
3
 2020 log a bc  2020 log b ac  8080 log c ab  

Ta có  P 

 2020  log a b  log a c   2020  log b a  log b c   8080  log c a  log c b   

 2020 log a b  2020 log b a  2020 log a c  8080 log c a  2020 log b c  8080 log c b  
Vì  a, b, c  1  nên các số  log a b, log b a, log a c, log c a, log b c, log c b  0  
Khi đó ta có 
2020 log a b  2020 log b a  2 20202 log a b log b a  4040  
2020 log a c  8080 log c a  2 40402 log a c log c a  8080  

2020 log b c  8080 log c b  2 4040 2 log b c log c b  8080  

Suy ra  P  4040  8080  8080  20200  
Câu 16.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho  a, b, c   là  các  số  thực  dương  khác  1  thỏa  mãn 

c
c
 2 log b  3 . Gọi  M , m   lần  lượt là  giá trị  lớn  nhất, giá  trị  nhỏ  nhất  của 
b
b
P  log a b  log b c . Giá trị của biểu thức  S  3m  M  bằng 

log 2a b  log b2 c  log a

A. 16 . 

B. 4 . 

C. 6 . 
Lời giải

D. 6 . 

Chọn C
Biến đổi đẳng thức đề bài ta được 
c
c
log 2a b  log b2 c  log a  2 logb  3  log 2a b  logb2 c  log a c  log a b  2 logb c  1

b
b
 
2
2
                                                           log a b  logb c  log a b.logb c  log a b  2 logb c  1
Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Đặt  u  log a b; v  log b c  ta có phương trình 

u 2  v 2  uv  u  2v  1  
 u 2  2uv  v 2  u 2  2u  1  v 2  4v  4  3  
 (u  v)2  (u  1)2  (v  2)2  3       (*)  
Ta có bất đẳng thức quen thuộc  x 2  y 2 

1
( x  y ) 2  dấu bằng xảy ra khi  x   y , áp dụng bất 
2

đẳng thức này ta có 

1
1
(u  1) 2  (v  2) 2  (u  1  v  2)2  (u  1) 2  (v  2)2  (u  v  1)2  (**) 
2
2
1

Từ (*) và (**) ta có  3  (u  v )2  (u  v  1) 2  hay 
2
1
5
3  P 2  ( P  1)2  3P 2  2 P  5  0  1  P   
2
3
5
Vậy  m  1, M   suy ra  S  m  3M  6 . 
3
Câu 17.

(Sở Hưng Yên - 2020) Cho  các  số  thực  x, y  1   và  thỏa  mãn  điều  kiện  xy  4 .  Biểu  thức 

P  log 4 x 8 x  log 2 y 2
sau đây đúng 
A. T  131 . 

y2
4
4
đạt  giá  trị  nhỏ  nhất  tại  x  x0 , y  y0 .  Đặt  T  x0  y0   mệnh  đề  nào 
2
B. T  132 . 

C. T  129 . 
Lời giải 

D. T  130 . 

Chọn D

Ta có  P  log 4 x 8 x  log 2 y 2

y2
y 2 log 2 8 x log 2 2
3  log 2 x 2log 2 y  1


. 


2
2  log 2 x 2log 2 y  1
2 log 2 4 x log 2 2 y

3  a 2b  1
1
2
. 



2  a 2b  1 2  a 2b  1
Vì  xy  4  suy ra  log 2 x  log 2 y  2  a  b  2  0  a  2  b  
Đặt  log 2 x  a ,  log 2 y  b  ( a, b  0 ), ta được  P 

1
2
1

2
. 



2  a 2b  1 4  b 2b  1
1
2
Xét hàm  f (b) 
 trên   0; 2 ,ta có: 

4  b 2b  1
1
4
 
f (b) 

2
2
 4  b   2b  1
Suy ra  P 

2

f   b   0   2b  1  4(4  b) 2  0  b 
Ta có:  f  0  

7
. 
4

9
9
7 8
, f  2   , f    . 
4
10  4  9

1
1
1



log 2 x 
4
4

x

2
x

2
8
 0

4 
Suy ra trên đoạn   0; 2  ta có:  min P   
 




7
7
7
9
 y  24
 y  24
log y 

 0
 2
4
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 



1
4



4



7

4



4

Vậy  T  x04  y04   2    2   130 . 



Câu 18.







(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương  a , b , c  thỏa mãn  abc  10 . Biết giá trị lớn nhất của 
biểu thức  F  5 log a.log b  2 log b.log c  log c.log a  bằng 
giản. Tổng  m  n  bằng
A. 13.
B. 16.

m
m
 với  m , n  nguyên dương và   tối 
n
n

C. 7.
Lời giải

D. 10.

Chọn C
x
log a  x a  10


Đặt  log b  y  b  10 y , mà  abc  10  10 x.10 y.10 z  10  x  y  z  1 * . 
log c  z

z

c  10
Ta có  F  5log a.log b  2 log b.log c  log c.log a  5 xy  2 yz  zx . 

Từ  *  y  1  x  z , thay vào biểu thức  F , ta được: 

F  5 x 1  x  z   2 1  x  z  z  xz  2 z 2  5 x 2  6 xz  2 z  5 x  
9 2 1
1
5
x   6 xz  2 z  3x  x 2  2 x  2   
2
2
2
2
9

1
3  1
5

 2  z 2  x 2   3xz  z  x    x 2  4 x  4    
4
4
2  2
2


 2 z 2 

2

3
1 1
5 5
2

 2  z  x     x  2    . 
2
2 2
2 2


3

x  y  z  1
y  2

 3

1
5

Vậy  max F   khi và chỉ khi   z  x   0   x  2 . 
2
2
 2

5
 x  2  0
z  
2

Vậy  m  5, n  2  m  n  5  2  7.
Câu 19.

(Lê

Lai

-

Thanh

Hóa

-

2020)

Cho 

a  0, b  0  

thỏa 

mãn 

log10 a 3b 1  25a 2  b 2  1  log10 ab 1 10a  3b  1  2 . Giá trị biểu thức  a  2b  bằng? 

A. 6. 

B.

11
. 
2

5
. 
2
Lời giải

C.

D. 22. 

Chọn B

Với  a  0, b  0  ta có  25a 2  b 2  1  10ab  1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  b  5a . 
Suy ra  log10 a 3b 1  25a 2  b 2  1  log10 a 3b 1 10ab  1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  b  5a . 
Mặt khác, ta lại có với  a  0, b  0  thì  log10 a 3b1 10ab  1  0,log10 ab1 10a  3b  1  0 . 
Do đó: 
log10 a 3b 1  25a 2  b 2  1  log10 ab 1 10a  3b  1  log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1  

 2 log10 a 3b1 10ab  1 .log10 ab1 10a  3b  1  2  
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

5

b

b  5a
b

5
a


2 



log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1
10a  3b  1  10ab  1

a  1

2
11
 a  2b 
2  
Câu 20.

(Liên trường Nghệ An - 2020) Cho  các  số  thực  dương  a; b; c   khác  1  thỏa  mãn 

c
c
 log a 3 . Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
b
ab
P  log a ab  log b bc . Tính giá trị biểu thức  S  2m2  9M 2 .

log 2a b  log b2 c  2 log b

A. S  28 .

B. S  25 . 

C. S  26 .
Lời giải

D. S  27 .

Chọn D
Đặt  x  loga b; y  logb c,  x; y  0  loga c  xy  P  loga ab  logb bc  x  y  x  P  y  

log 2a b  logb2 c  2logb

c
c
 log a 3  x 2  y 2  2 y  2  xy  3  x
b
ab

2

Khi đó ta có   P  y   y 2  2 y  2   P  y  y  3   P  y 

. 

 y 2   P  3 y  P 2  P  1  0
Phương trình có nghiệm khi    0  3P 2  2 P  5  0  1  P 

5
5
 m  1; M   S  27  
3
3

1
1
1




log 2 x 
4
4

x

2
x

2
8


 0
4
Nên giá trị nhỏ nhất của  P  là   


 T  x0 4  y0 4  130  

7
7
9
log y  7

 y  24
4
y  2
 0
 2

4
Câu 21.

(Lý

Nhân

Tông

-

Bắc

Ninh

-

2020)

Cho 

a  0, b  0  

thỏa 

mãn 

log 4 a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  2 . Giá trị của  a  2b  bằng 
A. 9 . 

B. 6 . 

27
. 
4
Lời giải 
C.

D.

20
. 
3

Chọn C
Theo bất đẳng thức Côsi với  a  0, b  0  ta có: 

16a2  b2  1  2 16a2 b2  1  8ab  1  16a2  b2  1  8ab  1  (*) 
Do  4a  5b  1  1  nên từ (*) có: 
log 4 a5 b1 (16a2  b2  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)  log 4 a5b1 (8ab  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)  

 log 4 a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  log4 a5b1 (8ab  1) 
Mặt khác  4a  5b  1  1  và  8ab  1  1 nên:  log 4 a5b1 (8ab  1) 

1
 
log 4 a5 b1 (8ab  1)

1
 2 . 

log4 a5 b1 (8ab  1)

Suy ra  log 4 a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  2 . 

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

16a2  b2
b  4a

a  3

 2
Đẳng thức xảy ra khi  4a  5b  1  8ab  1  2b  6b  0  
4 . 



a, b  0
a, b  0
b  3
Vậy  a  2b 
Câu 22.

27
. 
4

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét  các  số  thực  a , b, x, y   thỏa  mãn  a  1, b  1   và 

ax  by 

a
. Giá trị lớn nhất của biểu thức  P  x  2 y  thuộc tập nào dưới đây?
b

 1
A.  0;  .
 2

1

B.  1;   .
2


 3
C. 1;  .
 2
Lời giải 

3 5 
D.  ;  .
2 2 

Chọn A
1
 x



a
a
a 
 x  log a
 x  2 1  log a b 
b
b



Từ giả thiết ta có:  


 


b y  a
 y  log a
 y  1  1  1
b



2  log a b 
b
b
Đặt  t  log a b . Vì  a  1, b  1 , nên  t  0 . 
Khi đó: P 

1

1
3 t 1 3
t 1
3
t 1 32 2
 
1  t     1           2.  
2
t
2
2
t
2
2
t
2
2
t
2





Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Câu 23.

3 2 2
t 1
 1

 0, 086   0;  .
  t  2    t  0  .  Pmax 
2
2 t
 2

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho  biểu  thức  P  3 y  2 x 3 (1  4 2 x  y 1 )  2 2 x  y 1   và  biểu  thức 
Q  log y 3 2 x 3 y . Giá trị nhỏ nhất của y để tồn tại x đồng thời thỏa mãn  P  1  và  Q  1  là số  y0 . 

Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. 4 y0  1 là số hữu tỷ. B. y0 là số vô tỷ. 
C. y0 là số nguyên dương.

D. 3 y0  1 là số tự nhiên chẵn. 
Lời giải

Chọn A
 y  2x  3  0
Điều kiện  
. 
y  0
P  3 y  2 x 1.(1  42 x  y 1 )  22 x  y 1  3 y  2 x 1.(1 

Đặt  t  y  2 x  1  ta có  P  3t (1 
Cho  P  1  3t (1 

1
4

2 x  y 1

)

1
2

y  2 x 1

. 

1
1
) t . 
t
4
2

1
1
)  t  1  12t  3t  4t  2t (1).  
t
4
2

* Với  t  0  thỏa mãn (1). 
* Với  t  0  ta có 

12t  4t 
t
t

t
t
  12  3  4  2  (1) thỏa mãn. 
t
t
3  2 
Facebook Nguyễn Vương 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

12t  4t 
t
t
t
t
* Với  t  0  ta có 
  12  3  4  2  (1) không thỏa mãn. 
t
t
3  2 
Vậy  (1)  t  0  hay  y  2 x  1  0 (a). 
Vì 

y  2x 1  0   

y  2x  3  2  1 

nên 

Q  log   y  2 x 1 3 y  1  3 y  y  2 x  3  2 x  2 y  3 (b). 

 y  2x 1  0

Từ (a), (b) và điều kiện ta có   2 x  2 y  3 .  
y  0


Cặp số  ( x; y)  thỏa mãn hệ được biểu diễn ở miền không bị gạch ở hình bên. Điểm A thuộc miền 
2
không bị gạch và có  ymin  .  
3

 
2
11
Vậy  y0  .  Do đó  4 y0  1   .  
3
3

Câu 24.

(Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  dãy  số   un    có  số  hạng  đầu  u1  1   thỏa  mãn 

log 22  5u1   log 22  7u1   log 22 5  log 22 7   và  un 1  7un   với  mọi  n  1.  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  n   để 
un  1111111  bằng: 
A. 11 . 

B. 8 . 

C. 9 . 
Lời giải

D. 10 . 

Chọn D 
Ta có  un 1  7un , n  1   un   là một cấp số nhân với số hạng đầu là  u1 , công bội  q  7 . 
2

2

log 22  5u1   log 22  7u1    log 2 5  log 2 u1    log 2 7  log 2 u1   

 log 22 5  2.log 2 5.log 2 u1  log 22 u1  log 22 7  2.log 2 7.log 2 u1  log 22 u1  

 2log 22 u1  2.  log 2 5  log 2 7  .log 2 u1  log 22 5  log 22 7  
 2 log 22 u1  2.log 2 35.log 2 u1  log 22 5  log 22 7  log 22 5  log 22 7  

 2log 22 u1  2.log 2 35.log 2 u1  0  2log 2 u1.  log 2 u1  log 2 35  0  
u1  1  loai 
log 2 u1  0
1


 u1 
 nhan  . 
35
log 2 u1  log 2 35  0
log 2 u1   log 2 35
Số hạng tổng quát của dãy số là  un  u1.q n 1 

1 n 1
1 n 1 1 n  2
.7 
.7  .7 . 
35
5.7
5

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

1
un  1111111  .7 n  2  1111111  7 n  2  5555555  n  2  log 7 5555555  
5
 n  log 7 5555555  2 . Vì  n     nên giá trị nhỏ nhất của  n  bằng  10 . 

Câu 25.

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn 
log 2  x  1  log 2  y  1  1 . Khi biểu thức  P  2 x  3 y  đạt giá trị nhỏ nhất thì  3x  2 y  a  b 3  

với  a, b   . Tính  T  ab .
B. T 

A. T  9 . 

7
.

3

C. T 

5
. 
3

D. T  7 . 

Lời giải
Chọn C

 x, y  1
x  1


Ta có  log 2  x  1  log 2  y  1  1  

2

2 . 
y

1

y

1




x 1
x 1

6
 2

 1  2  x  1 
 5  2 12  5 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ 
Khi đó  P  2 x  3 y  2 x  3 
x 1
 x 1 
khi 

x  1
x 1  3

6
2 
5 3




 1
. 
2  x  1 
2  3x  2 y  3 1  3  2 1 


x 1
3
3


 y  1
3

2

y

1


x 1
5
5
Vậy  a  1, b   nên  T  . 
3
3





Câu 26. Xét  các  số  thực  a ,  b ,  c  0   thỏa  mãn  3a  5b  15 c .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức 

P  a 2  b2  c2  4(a  b  c)  thuộc tập hợp nào dưới đây? 
A.  1; 2  . 

C.  2; 4  . 

B.  5; 1 . 

D.  4;6  . 

Lời giải 
Chọn B
a

b

Đặt  3  5  15

c

 a  log 3 t

 t  0  b  log 5 t . Khi đó 
 c   log t
15


2
P  log32 t  log52 t  log15
t  4(log3 t  log5 t  log15 t )  





2
 log 32 t 1  log 52 3  log15
3  4 log 3 t 1  log5 3  log15 3  





2
 X 2 1  log 52 3  log15
3  4 X 1  log 5 3  log15 3 , (với  X  log3 t ) 

 2 1  log5 3  log15 3 
Pmin  P 
  4 , 
2
2
 1  log5 3  log15 3 
khi  log3 t 

2 1  log5 3  log15 3
2
1  log52 3  log15
3

t

21log5 3log15 3

2 3
1log52 3log15
3

 

Suy ra 
Facebook Nguyễn Vương 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

a

2 1  log5 3  log15 3
2
1  log52 3  log15
3

b  log5

21log5 3log15 3
2 3
1log52 3log15
3

c   log15

21log5 3log15 3
2 3

1log52 3log15
3

. 

Câu 27. Xét các số thực dương  a ,  b ,  c ,  x , y ,  z  thỏa mãn  a  1 ,  b  1 ,  c  1  và  a x  b y  c z  abc . 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  z 
A. 10;13 . 

B.  7;10  . 

1
 thuộc tập hợp nào dưới đây? 
2
C. 3;5  . 
D. 5;7  . 

Lời giải 
Chọn D
Từ giả thiết ta có 
1
1
1
x  1  log a b  loga c  ,  y  1  log b a  log b c  ,  z  1  logc b  logc a  . Khi đó ta có 
2
2
2
2 P  4  log a b  log b a  log a c  log c a  log b c  log c b . 
Vì  a  1 ,  b  1 ,  c  1 nên  log a b  0 ,  log b c  0 ,  log c a  0 ,  log b a  0 ,  log c b  0 ,  log a c  0 . 
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được 

loga b  logb a  2 loga b.logb a  hay  log a b  log b a  2 . 
Tương tự  log a c  logc a  2  và  log b c  logc b  2 . 
Do đó  2P  10  hay  P  5 . Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi  a  b  c . 
Vậy giá trị nhỏ nhất  Pmin  5 . 
2

2

Câu 28. Xét  các  số  thực  dương  a, b, x, y   thỏa  mãn  a  1, b  1   và  a x  b y  a.b .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của 
biểu thức  P  x. y  là 
A. P 

9
.
4

B. P 

6
.
2

C. P 

3
.
2

D. P 

4
. 
9

Lời giải 
Chọn B
1
 2 1
x  log a b 


2
2 
a x  b y  a.b  
1
 y 2  log a  1
b

2
2
2

2

1  1
1 1 1
1
2
1

+)  xy    log a b    log b a         log a b  log b a     
2  2
2 4 2
4
2
3
  ( a, b  1  log a b  0,logb a  0 ). 
2

Vì  x  0, y  0  xy 

6
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a  b .
2

Câu 29. Xét các số thực dương  a , b, x, y  thỏa mãn  a  1, b  1  và  a

x2
y

y2

 b x  ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu 

thức  P  x. y  là 
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

A. P  2 .

B. P  4 .

C. P  3 .
Lời giải 

D. P  1 . 

Chọn B
x

2

y2

a y b x

 x2
 y  1  log a b

. 
 ab  
2
y
  1  log a
b
 x

Ta có  xy 

x2 y 2
.  1  log a b 1  log a b   
y x

 1  1  log a b  log b a  

 4 ( a, b  1  log a b  0, logb a  0 ). 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a  b . 
Câu 30. Xét các  số  thực  dương  a , b, c , x, y , z   thỏa  mãn  a  1, b  1, c  1, y  2   và  a x 1  b y  2  c z 1  abc . 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  z  là 
A. P  13 .

B. P  3 .

C. P  9 .
Lời giải 

D. P  1 . 

Chọn C
a

x 1

b

y 2

c

z 1

 x  1  1  log a b  log a c

 abc   y  2  1  log b a  log b c . 

 z  1  1  log c b  log c a

Ta có:  x  1  y  2  z  1  3  log a b  log a c  logb c  logb a  log c b  log c a  
 x  y  z  3 6 

 P  9 ( a, b, c  1  log a b  0,log a c  0,logb a  0,logb c  0,logc a  0,logc b  0 ). 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a  b  c . 
Dạng 3. Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit
1. Định lý: Nếu hàm số  y  f  x   đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên   a; b   thì 
*  u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v . 
* Phương trình  f  x   k  k  const   có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng   a; b  . 
2. Định lý: Nếu hàm số  y  f  x   đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên   a; b  , đồng thời 
lim f  x  . lim f ( x)  0  thì phương trình  f  x   k  k  const   có duy nhất nghiệm trên   a; b  . 

xa

x b

3. Tính chất của logarit:
1.1. So sánh hai logarit cũng cơ số:
Cho số dương  a  1  và các số dương  b, c . 

1.2. Hệ quả:

Cho số dương  a  1  và các số dương  b, c . 

  Khi  a  1  thì  log a b  loga c  b  c . 

  Khi  a  1  thì  log a b  0  b  1 . 

  Khi  0  a  1  thì  log a b  loga c  b  c . 

  Khi  0  a  1  thì  log a b  0  b  1 . 

 

   log a b  loga c  b  c .

Facebook Nguyễn Vương 25