Phương pháp xây dựng khung sóng nhỏ dựa trên các nguyên lý mở rộng

✣❸■ ❍➴❈ ◗❯➮❈ ●■❆ ❍⑨ ◆❐■
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚Ü ◆❍■➊◆
✖✖✖✖✖✖✖♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙ß

P❍×❒◆● P❍⑩P ❳❹❨ ❉Ü◆● ❑❍❯◆● ❙➶◆●
◆❍➘ ❉Ü❆ ❚❘➊◆ ❈⑩❈ ◆●❯❨➊◆ ▲Þ ▼Ð ❘❐◆●
❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✷✳✵✶

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿

❈→♥ ❜ë ❤÷î♥❣ ❞➝♥✿
❍å❝ ✈✐➯♥✿

❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ P❤❛♥
❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

❍⑨ ◆❐■✱ ✽✴✷✵✷✵


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
✶ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❧þ t❤✉②➳t ❦❤✉♥❣

✷
✹
✺

✶✳✶

❙ì ❧÷ñ❝ ✈➲ ❝ì sð ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ✤✐➸♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❝ì sð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷

●✐î✐ t❤✐➺✉ ❧þ t❤✉②➳t ❦❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✸

▼ët ✈➔✐ ✈➼ ❞ö ❦❤✉♥❣ ❦❤➢❝ ♣❤ö❝ ✤✐➸♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❝ì sð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä
✷✳✶

●✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ ✲ ▼❘❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✾

✶✾

✷✹

✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➙② ❞ü♥❣ ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä ❞ü❛ tr➯♥ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ♠ð rë♥❣ ✸✶
✸✳✶

▼ët sè ❤↕♥ ❝❤➳ ❦❤✐ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▼❘❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✸✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤→❝ tr✐➸♥ ✤ì♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✸✳✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤→❝ tr✐➸♥ ♥❣❤✐➯♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✾
✹✾

✶

ớ õ
r ự ổ tỡ ởt tr ỳ q trồ
t ỡ s ớ õ ộ tỡ tr ổ õ t t ữ tờ ủ
t t ừ tỷ tr ỡ s tr t ỡ s
t ổ sỹ ử tở t t ỳ tỷ tr ỡ s
t ổ t ữủ ỡ s tọ ởt số ờ
s ỵ t t ởt ổ ử t ỡ ởt ổ
ử ữ t ộ tỷ tr ổ ữ ởt tờ ủ
t t ỳ tỷ tr ữ ổ ỏ ọ t ở t t
ỳ tỷ số ổ t tt t õ t õ ữ
ởt ỡ s ữ t õ t t tỷ ỡ ữủ ợ t
rr ừ s rss
r r ớ ỵ tt ợ t ữủ q t rở r õ
ự ử tr ỷ ỵ t ỵ tt t ỵ tt ữủ tỷ ỳ
ởt õ t ữ ởt ỡ s trỹ s rở {fi } , i I ởt
ừ ổ V t t tỡ f V ụ õ t t ữ ởt tờ ủ
t t ừ tỷ fi số ổ t tt t tr õ
ổ trỹ ớ t tứ õ ự ử q trồ tr
ỷ ỵ t õ ú t t ỳ t ữủ ừ t
ữ t ỡ õ t ỗ t õ t ổ ử tứ
õ ở tữỡ ố t
ỵ tt sõ ọ t q ừ sỹ ộ ỹ ừ õ
t ồ t ỵ sữ ỗ ợ ỳ ự ử ừ sõ ọ õ t
tr ỷ ỵ t tt t ữủ t
ố tữủ tt t ỗ t
sõ ọ ởt õ trú t ợ rt ỳ
tr ỷ ỵ t t õ trữ ồ ự t
ỹ sõ ọ õ ữỡ tr
ữỡ ỹ sõ ọ ỹ tr ỵ rở

ỗ ữỡ ữỡ ỗ tr sỡ ữủ ỡ s
ởt số t ừ s õ tr ử



ệ ệ
ừ ỡ s ỹ tr t tứ ừ ớ t tứ õ ự
ử q trồ tr ỷ ỵ t t ữủ ừ t t
ữ ỡ õ t ỗ t õ t ổ ử tứ õ ở
tữỡ ố t ữỡ ỗ ởt tr ỵ tt sõ
ọ trữ sõ ọ P tr ữỡ ỹ
ử ỹ t ữỡ ữỡ ở ừ
ỗ P ởt ữ r ởt số ỹ t
ữỡ tr tự ỹ sõ ọ
ỹ tr ữỡ t tr ỡ t P tr tự
ỹ sõ ọ ỹ tr ữỡ t tr
ũ rt ố ữ ổ tr ọ ữủ ỳ
t sõt ổ rt ữủ ỳ t õ ỵ tứ qỵ t ổ ồ
ữủ t ỡ

ổ t ỡ
ở t
ồ

ũ Pữủ

ũ Pữủ

ự ử


ớ ỡ
t ỳ sỹ ừ tổ ớ õ
sỹ t t ừ ữợ ổ tọ ỏ t ỡ
s s tợ ồ P ữớ trỹ t ữợ ú ù tổ
t ổ q t ở tổ õ
ỵ tổ sỷ ữủ ỡ
ổ ụ tọ ỏ t ỡ t ỡ Pỏ
ồ rữớ ồ ồ ỹ ồ ố ở ụ ữ
t t qỵ t ổ õ ồ ỡ t
ổ ú ù tổ tr sốt q tr ồ t t trữớ
t ỡ ỗ ổ ộ trủ ở
t tổ ồ t t
ở t
ồ

ũ Pữủ




ữỡ
ợ t ỵ tt
r ữỡ ú t s tr sỡ ữủ ỡ s ởt ừ
ỡ s ỹ tr õ t ữ r ỵ tt tr ổ
rt ỗ tớ tr ởt số ử ử ừ ỡ s

ỡ ữủ ỡ s ởt ừ ỡ s

V ổ tỡ ỳ ữủ tr ởt t ổ ữợ ợ
r ởt {ek }m
k=1 tr V ỡ s s tọ
V = s{ek }m
k=1
m

ck ek = 0 ợ ổ ữợ {ck }m
k=1 ck = 0

{ek }m
1 ở t t
k=1

ợ ồ k = 1, ..., m.
ợ ộ f V ữủ q tỷ ừ ỡ s ỗ t t
m

ổ ữợ

{ck }m
k=1

s f =

ck ek



k=1

{ek }m
k=1 ởt ỡ s trỹ t

1 k = j
.
0 k = j

ek , ej = k,j =
ợ ộ ej tú ỵ t õ
m

f, ej

m

ck ek , ej
k=1

ck ek , ej cj
k=1

õ
m

f, ek ek

f=
k=1

ị
trữ ừ ởt ỡ s {ek }m
k=1 tr ổ tỡ V ợ ộ f V
õ t ữủ ữ ởt tờ ủ tỷ ek tr ỡ s
m

ck (f ) ek

f=
k=1

ợ số ck (f ) t õ ởt ỡ s rt

ổ ỹ ữủ ỡ s ợ tở t t
ởt t ờ ọ ụ õ t ừ tở t ỡ ừ ỡ s
ỡ s ữủ ỹ t tr ợ số ck (f ) t
ọ t r sỹ t õ õ tỹ sỹ tr ớ ổ ổ tữớ
t t sỹ tỗ t ừ ởt số số ũ ợ ởt ổ tự t r ú ừ
õ tr q tr ờ tứ ỡ s s ớ t s ợ t
ừ tr ổ H

ợ t ỵ tt
ởt {f } tr H ữủ ồ ởt ss tỗ t

k k=1

ởt số B > 0 s



| f, fk |2 B f

2

f H

k=1

B ữủ ồ ss ừ {fk }
k=1

{f }


k k=1

ởt ừ H trữợ B > 0 õ {fk }
k=1

ởt ss ợ B


T :

{ck }

k=1



ck f k
k=1

ởt t tỷ tứ l2 (N) H T

ự


{ck }
k=1


B

t sỷ r {fk }
k=1 ởt ss ợ ss B


l (N) ố r T
2

{fk }
k=1

tốt t

ck fk ở tử
k=1

ũ Pữủ



ự ử


✶✳✷✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❑❍❯◆●
❱î✐ n, m ∈ N, n > m t❛ ❝â
n

m

n

ck f k −
k=1

ck f k

=

k=1

ck f k
k=m+1
n

= sup

ck f k , g

g =1

k=m+1
n

≤ sup

|ck fk , g |

g =1 k=m+1
1/2

n

≤

|ck |

≤

2

| fk , g |

sup

g =1

k=m+1

k=m+1

1/2

n

√

1/2

n

2

2

|ck |

B

.

k=m+1
∞

n

❱➟②

❧➔ ♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ H ♥➯♥ ♥â ❤ë✐ tö✳ ❑❤✐ ✤â T {ck }∞
k=1

ck f k
k=1

k=1

= sup | T {ck }∞
k=1 , g | ✈➔ T ❧➔ ❜à

①→❝ ✤à♥❤ tèt✳ ❱➻ T ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➯♥ T {ck }∞
k=1
√
❝❤➦♥ ✈î✐ T ≤ B ✳

g =1

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ T ①→❝ ✤à♥❤ tèt ✈➔ T ≤
♠✐♥❤

{fk }∞
k=1

√

B ✱ t❛ ❝❤ù♥❣

❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ B ✳

❚❤➟t ✈➟②✱ ①➨t t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥
∞

T : l (N) → V ✱ T
2

{ck }∞
k=1

ck f k ✳

=
k=1

❚❛ ❝â t♦→♥ tû T ∗ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

T ∗ : V → l2 (N)✱ T ∗ f = { f, fk }∞
k=1
❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ T = T ∗ ✱ ❞♦ ✤â

T ∗f

2

≤ T

2

f

2

✱ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ V ✳

❱➟② {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ B ✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✸✳ ◆➳✉

∞

{fk }∞
k=1

❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ H ✈➔

∞
2
{ck }∞
k=1 ∈ l (N) t❤➻ {fk }k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✹✳ ◆➳✉ {f }

∞
k k=1

∞

❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ tr♦♥❣ H✱ t❤➻

ck fk ❤ë✐ tö ✈æ ✤✐➲✉
k=1

2
❦✐➺♥ ✈î✐ ♠å✐ {ck }∞
k=1 ∈ l (N)✳

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

ck fk ❤ë✐ tö ✈î✐ ♠å✐ ❞➣②
k=1

✼

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


ị

ờ sỷ {f }


k k=1

ởt tỷ tr H tỗ t số B > 0

s

| f, fk |2 B f

2



k=1

ợ ồ f tr t ừ V ừ H õ {fk }
k=1 ởt ss ợ B

ự ự ss tọ ợ ồ tỷ tr
H g H sỷ ự r


| g, fk |2 > B g 2
k=1

õ tỗ t t ỳ F N

| g, fk |2 > B g 2
kF

V t ừ tr H tỗ t h V s

| h, fk |2 > B h 2
kF

t {fk }
k=1 ss ợ B

ởt tỷ {fk }m
k=1 ộ tỷ f H ữủ t ữ ổ tự
ợ số tữỡ ự ổ t tt t tỷ õ t
ổ ởt ỡ s ởt ợ õ

ởt ữủ tỷ {f }

k kI

tr V ởt ừ

V tỗ t số A, B > 0 s
A f

2

| f, fk |2 B f



2

.

(1.3)

kI

số A, B ữủ ồ

tr tố ữ tr ọ t tr tr
ữợ tố ữ tr ợ t tr ữợ
ữủ ồ õ f

2

= 1

ởt ữủ ồ t A = B
ũ Pữủ



ự ử


✶✳✷✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❑❍❯◆●
• ❑❤✉♥❣

P❛rs❡✈❛❧ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝â A = B = 1✳

❚❛ ①➨t ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû {fk }m
k=1 ✈î✐ m ∈ N✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲
❙❝❤✇❛r③✬ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷ s❛✉
m

m
2

| f, fk | ≤
k=1

fk

2

f

2

✈î✐ ♠å✐ f ∈ V ✳

k=1

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✳ ❈❤♦ {f }

m
k k=1

❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ V ✳ ❑❤✐ ✤â {fk }m
k=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì W = s♣❛♥ {fk }m
k=1 ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱î✐ f

m

k

= 0✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ tr➯♥ ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈î✐

fk 2 ✳ ❚❛ ①➨t →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝

B=
k=1

m

φ : W → R✱ φ (f ) =

| f, fk |2 ✳
k=1

❍➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ W ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷ñ❝ g ∈ W ✈î✐ g

2

= 1 s❛♦

❝❤♦
m

m

| g, fk | = ✐♥❢

2

A=
k=1

| f, fk |2 | f ∈ W, f

2

=1 ✳

k=1

❘ã r➔♥❣ A > 0✱ ✈î✐ f ∈ W ✈➔ f = 0✱ t❛ ❝â
m

m

f
, fk
f

| f, fk |2 ❂
k=1

k=1

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✽✳ ▼ët ❤å ❝→❝ ♣❤➛♥ tû {f }

m

k k=1

❦❤✐ V =

2

f

2

≥A f

2

✳

tr♦♥❣ V ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ V ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾

s♣❛♥ {fk }m
k=1 ✳

◆❤÷ ✈➟②

• ▼ët ❦❤✉♥❣ ❝â t❤➸ ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉ ♣❤➛♥ tû ❤ì♥ ♠ët ❝ì sð✳
n
• ◆➳✉ {fk }m
k=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ V ✈➔ {gk }k=1 ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ✈➨❝ tì ❜➜t
n
❦➻ tr♦♥❣ V ✱ t❤➻ {fk }m
k=1 ∪ {gk }k=1 ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ V ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✿ ❈❤♦ {e }

∞
k k=1

❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ H✳

✭✐✮ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➦♣ ❧↕✐ 2 ❧➛♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❞➣② {ek }∞
k=1 t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝✿

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✾

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


✶✳✷✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❑❍❯◆●
{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}
❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ A = 2✳ ❚❤➟t ✈➟②
∞

∞
2

| f, ek |2 = 2 f

| f, fk | = 2

k=1

2

✈î✐ ♠å✐ f ∈ H✳

k=1

◆➳✉ ❝❤➾ ❧➦♣ ❧↕✐ e1 t❤➻ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...}
❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ ❧➔ A = 1, B = 2✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â✿
∞

∞

| f, fk |2 = | f, e1 |2 +
k=1

| f, ek |2
k=1

∞

∞
2

≤

| f, ek |2

| f, ek | +
k=1
∞

k=1

| f, ek |2 = 2 f

=2

2

.

k=1

▼➦t ❦❤→❝✱
∞

∞
2

2

| f, e1 | +

| f, ek |2 = f

| f, ek | ≥
k=1

2

.

k=1

∞

❉♦ ✤â f

2

| f, ek |2 ≤ 2 f

≤

2

✳ ❱➟② {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝➟♥ ❞÷î✐

k=1

A = 1 ✈➔ ❝➟♥ tr➯♥ B = 2✳
✭✐✐✮ ❈❤♦ {fk }∞
k=1 =
tì

√1 ek
k

e1 , √12 e2 , √12 e2 , √13 e3 , √13 e3 , ...

❧➔ ♠ët ❞➣② ♠➔ tr♦♥❣ ✤â ♠é✐ ✈➨❝

✤÷ñ❝ ❧➦♣ ❧↕✐ k ❧➛♥✳ ❱î✐ ♠é✐ f ∈ H✱ t❛ ❝â
m

m

| f, fk |2 =
k=1

k
k=1

1
f, √ ek
k

2

= f

2

✳

◆➯♥ {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ❝õ❛ H ✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ A = 1✳
❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì V ✤÷ñ❝ tr❛♥❣ ❜à ♠ët ❦❤✉♥❣ {fk }m
k=1 ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥
t➼♥❤
m

T :C→V✱ T

{ck }m
k=1

ck f k ✳

=

✭✶✳✹✮

k=1

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✶✵

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


✶✳✷✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❑❍❯◆●
❚♦→♥ tû T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣✳ T ∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

❝æ♥❣ t❤ù❝

T ∗ : V → C✱ T ∗ f = { f, fk }m
k=1 ✳

✭✶✳✺✮

❚❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣
m

S : V → V ✱ Sf = T T f =

f, fk fk ✳

∗

✭✶✳✻✮

k=1

❚❛ ❝â✿
m

| f, fk |2 ✱ f ∈ V ✳

Sf, f =

✭✶✳✼✮

k=1

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✾✳ ❈❤♦ {f }

m
k k=1

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ V ✈î✐ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ S ✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ ♥❤➟♥

①➨t s❛✉ ✤➙②✿

✭✐✮ S ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✈➔ tü ✤➥♥❣ ❝➜✉✳
✭✐✐✮ ▼é✐ f ∈ V ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷ s❛✉
m

m

f, S

f=

−1

f, fk S −1 fk .

fk fk =

(1.8)

k=1

k=1
m

ck fk ù♥❣ ✈î✐ ♠é✐ ❞➣② ✈æ ❤÷î♥❣ {ck }m
k=1 t❤➻ t❛ ❝â✿

✭✐✐✐✮ ◆➳✉ f ∈ V ✈➔ f =
k=1
m

m

k=1

m

k=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❛ ❝â S = T T

|ck − f, S −1 fk |2 ✳

| f, S −1 fk |2 +

|ck |2 =
∗

k=1

♥➯♥ S ❧➔ tü ✤➥♥❣ ❝➜✉✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ S ❧➔

s♦♥❣ →♥❤✳ ❈❤♦ f ∈ V ✈➔ ❣✐↔ sû r➡♥❣ Sf = 0✳ ❚❤➻
m

| f, fk |2 ✳

0 = Sf, f =
k=1

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤✉♥❣ tr♦♥❣

❤➺ q✉↔ ✶✳✷✳✽ ❧➔ V = s♣❛♥{f }

m
k k=1 ✱

❞♦ ✤â t♦→♥ tû T ❧➔ ♠ët

t♦➔♥ →♥❤✳ ❈❤♦ f ∈ V ✱ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷ñ❝ g ∈ Cm s❛♦ ❝❤♦ T g = f ✳ ❈❤å♥ g ∈ NT⊥ = RT ∗
❦❤✐ ✤â RS = RT T ∗ = V ✳ ▼é✐ f ∈ V ❝â ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
m

f = SS

−1

S −1 f, fk fk ✳

f=
k=1

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✶✶

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


ị
m

S tỹ t õ f =

f, S 1 fk fk ữỡ tỹ ợ f = S 1 Sf t
k=1

m

õ f =

f, fk S 1 fk ứ õ t t ữủ
k=1

m

ự t sỷ r f =

ck fk
k=1
m

m

m
1
{ck }m
fk }k=1 + { f, S 1 fk }k=1
k=1 = {ck }k=1 { f, S

ồ {ck }m
k=1 t õ
m

ck f, S 1 fk

fk = 0

k=1
m

m

m

1
{ck }m
fk }k=1 NT = RT { f, S 1 fk }k=1 = { S 1 f, fk }k=1 RT
k=1 { f, S

t ữủ

ộ tr ổ ỳ ỗ ởt ồ ỡ s {fk }m
k=1
ởt ữ ổ ỡ s t tỗ t ởt {dk }m
k=1 0 s
m

dk fk = 0 t ợ ộ tỷ t f V õ t t
k=1
m

f=

m

m

f, S

1

fk fk +

k=1

f, S 1 fk + dk fk

dk f k =

r số { f, S

1

m

{ck }m
k=1

f =



k=1

k=1

m

fk }k=1 õ l2 ọ t tr

ck fk ỳ số f, S 1 fk k = 1, ...m ữủ ồ số

ú ỵ S : V V s {S f } ụ ởt t
q {S f } ữủ ồ t ừ {f }
q sỷ r {f } ởt ỡ s ừ V ỗ t t {g }
k=1

1

1

m
k k=1

m
k k=1

m
k k=1

m
k k=1

m
k k=1

tr V s

m

f, gk fk ợ ồ f V

f=
k=1
m

1
õ {gk }m
fk }k=1 f, gk = j,k
k=1 = {S

{f }

m
k k=1

ởt ừ ổ tỡ ỳ V

ợ ộ f V tỗ t số

m

{dk }m
k=1

C

m

s f =

dk fk
k=1

ũ Pữủ



ự ử

ị
m

m

|dk | =

m

ck f k

|ck | | f =

k=1

k=1



k=1

ự ố f V t ồ ởt số {c }
m

m
k k=1

m

ck fk ợ r =

f=
k=1

s

|ck | t t t
k=1
m
M = {{dk }m
k=1 C | |dk | r, k = 1, ...m}
m

õ t

{dk }m
k=1

M |f =

dk f k

t t

k=1
m

: C R
m

{dk }m
k=1

|dk |

=
k=1

tử

r số õ ọ t l

ừ f t ử tở t t ỏ

2

tr tr tữớ

r sỹ tỗ

t ừ số õ l õ õ t ổ t õ t
1

t õ t ổ ử tở t t
tỡ {fk }m
k=1 ởt

sỷ {fk }k=1 ởt ss t

s ừ õ

q ộ t ỳ

õ t tỷ


T : l2 (N) H, T {ck }
k=1 =

ck , fk
k=1

ữủ ồ t tỷ t

T : H l2 (N), T f = { f, fk }
k=1
ữủ ồ t tỷ t ủ t ừ T T t t ữủ t tỷ


f, fk fk



S : H H, Sf = T T f =
k=1

{fk }
k=1 ởt ss S ở tử ổ ợ ồ f H

q {f }


k k=1

ởt ợ t tỷ S A, B

õ t s

S tỹ ủ t tỷ ữỡ
ũ Pữủ



ự ử


✶✳✷✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❑❍❯◆●
∞

✭✐✐✮ {S −1 fk }k=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝➟♥ B −1 , A−1 ✳ ◆➳✉ A, B ❧➔ ❝→❝ ❝➟♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛
∞

−1
−1
{fk }∞
❝ô♥❣ ❧➔ ❝➟♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ {S −1 fk }k=1 ✳ ❚♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ ❝õ❛
k=1 t❤➻ B , A
∞

{S −1 fk }k=1 ❧➔ S −1 ✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✶✸✳ ●✐↔ sû {f }

∞
k k=1

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ S ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
∞

f, S −1 fk fk ✱

f=
k=1

✈➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ H✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐↔ sû f ∈ H✱ t❛ ❝â
∞

f = SS

−1

f=

∞

S

−1

f, S −1 fk fk ✳

f, fk fk =

k=1

k=1
∞

−1
fk }k=1 ∈ l2 (N) ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉
❉♦ {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈➔ { f, S

❦✐➺♥✳

✣à♥❤ ❧þ tr➯♥ ❝❤➾ r❛ ♥➳✉ {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ H t❤➻ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ H ❝â
t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈æ ❤↕♥ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤✉♥❣✳ ❉♦ ✤â t❛ ❝â
t❤➸ ①❡♠ ❦❤✉♥❣ ♥❤÷ ♠ët ❞↕♥❣ ❝ì sð s✉② rë♥❣✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✶✹✳ ▼ët ❞➣② {f }

∞
k k=1

tr♦♥❣ H ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ H ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
∞

T : {ck }∞
k=1 →

ck , fk
k=1

❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ tø l2 (N) ✈➔♦ H✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐↔ sû r➡♥❣ {f }

∞
k k=1 ❧➔
2

♠ët ❦❤✉♥❣✳ ❚❤❡♦

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✾ ✱ T ❧➔ ♠ët

t♦→♥ tû ①→❝ ✤à♥❤ tèt ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tø l (N) ✈➔♦ H✳ ❚♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ S = T T ∗ ❧➔ ♠ët t♦➔♥
→♥❤ ♥➯♥ T ❝ô♥❣ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû T ❧➔ t♦→♥ tû ①→❝ ✤à♥❤ tèt tø l2 (N) ✈➔♦ H✱ ❦❤✐ ✤â T
❜à ❝❤➦♥ ✈➔ {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧✳
❳➨t T + : H → l2 (N) ❧➔ →♥❤ ①↕ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ T ✱ ✈î✐ ♠é✐ f ∈ H t❛ ❝â
∞

T +f

f = T T +f =

k

fk ✳

k=1

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✶✹

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


✶✳✷✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❑❍❯◆●
Ð ✤➙②✱ (T + f )k ❧➔ tå❛ ✤ë t❤ù k ❝õ❛ T + f ✈➔
2

∞

f

4

2

+

= | f, f | =

T f

fk , f

k

k=1
∞

∞

| T +f

≤

k

|2

k=1

| f, fk |2
k=1

∞

≤ T+

2

f

2

| f, fk |2 .
k=1

❚❛ ❦➳t ❧✉➟♥ r➡♥❣
∞

| f, fk |2 ≥
k=1

1
T+ 2

f

2

✳

∞
❱î✐ ♠é✐ ❞➣② {fk }∞
k=1 ❜➜t ❦➻ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ s♣❛♥ {fk }k=1 ❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
❈→❝ t♦→♥ tû tr➯♥ L2 (R) s❛✉ ✤➙② ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❦❤✉♥❣✿

• a ∈ R✱ t♦→♥ tû

Ta : L2 (R) → L2 (R)✱ (Ta f )(x) = f (x − a), x ∈ R✳
• b ∈ R✱ t♦→♥ tû
Eb : L2 (R) → L2 (R)✱ (Eb f )(x) = e2πibx f (x), x ∈ R✳
• ◆➳✉ a = 0✱ t♦→♥ tû
1
x
Da : L2 (R) → L2 (R)✱ (Da f )(x) = √ f ( ), x ∈ R✳
a a
• D : L2 (R) → L2 (R)✱ (Df )(x) = D1/2 f (x) = 21/2 f (2x), x ∈ R✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✺✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➡♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
Tk Dj = Dj T2j k ✳
Ta Eb f (x) = e−2πiba Eb Ta f (x)✳
Tb Da f (x) = Da Tb/a f (x)✳
Da Eb f (x) = Eb/a Da f (x)✳
❈❤♦ φ ∈ L2 (R)✱ ✈➔ φˆ ❧➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝õ❛ φ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ Φ ♥❤÷ s❛✉✿

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✶✺

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


✶✳✸✳ ▼❐❚ ❱⑨■ ❱➑ ❉Ö ❑❍❯◆● ❑❍➁❈ P❍Ö❈ ✣■➎▼ ❨➌❯ ❈Õ❆ ❈❒ ❙Ð
Φ : R → R, Φ(γ) =
k∈Z

γ+k
φˆ

b

2

.

(1.11)

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✶✻✳ ❈❤♦ φ ∈ L (R) ✈➔ b > 0✳ ❱î✐ A, B > 0 ❜➜t ❦➻ t❛ ❝â ❝→❝ ❦➳t ❧✉➟♥ s❛✉
2

✭✐✮ {Tkb φ}k∈Z ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ B ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

Φ(γ) ≤ bB ✈î✐ γ ∈ [0, 1]✳
✭✐✐✮ {Tkb φ}k∈Z ❧➔ ♠ët ❞➣② trü❝ ❣✐❛♦ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

Φ(γ) = b ✈î✐ γ ∈ [0, 1]✳
✭✐✐✐✮ {Tkb φ}k∈Z ❧➔ ♠ët ❞➣② ❘✐❡s③ ✈î✐ ❝➟♥ A, B ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

bA ≤ Φ(γ) ≤ bB ✈î✐ γ ∈ [0, 1]✳
✭✐✐✮ {Tkb φ}k∈Z ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝➟♥ A, B ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

bA ≤ Φ(γ) ≤ bB ✈î✐ γ ∈ [0, 1] \ N ✱
✈î✐ N = {γ ∈ [0, 1] | Φ(γ) = 0}✳

✶✳✸ ▼ët ✈➔✐ ✈➼ ❞ö ❦❤✉♥❣ ❦❤➢❝ ♣❤ö❝ ✤✐➸♠ ②➳✉ ❝õ❛
❝ì sð
❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì X ❝â ♠ët ❝ì sð {ek }✱ ❦❤✐ ✤â ♠é✐ f ∈ X ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷
m

♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ q✉❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❝ì sð f =

ck ek ✳

✭✶✳✶✷✮

k=1

◆➳✉ {ek } ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ X ✈➔ φ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❜➜t ❦➻ tr♦♥❣ X t❤➻ {ek } ∪ φ ❦❤æ♥❣
m

❧➔ ♠ët ❝ì sð ♠➦❝ ❞ò ✈î✐ ♠é✐ f ∈ X ❝â ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞↕♥❣ f =

ck ek + dφ✳

✭✶✳✶✸✮

k=1

❚❤ü❝ t➳✱ ❞➣② {ek } ∪ φ ❦❤æ♥❣ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ♠ët sè ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❞➣② sè {ck } ✈➔

d ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈â t❤➸ ❝❤å♥ ❝❤♦ d = 0 ✈➔ ❝❤♦ {ck } ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ f
m

tr♦♥❣ ❝ì sð {ek } ❤♦➦❝ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ❝→❝❤ ❦❤→❝ ❧➔ ❝❤♦ {ck } s❛♦ ❝❤♦ f − φ =

ck ek ✈➔
k=1

d = 1✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ t❤✉ë❝ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝ì sð ❜à ♣❤→ ✈ï ❦❤✐ ♠ët t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝→❝ ✈➨❝ tì ❜➜t

❦➻ ✤÷ñ❝ t❤➯♠ ✈➔♦ {ek } ♥❤÷♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♠ð rë♥❣ ✈➝♥ ✤÷ñ❝ ❜↔♦ t♦➔♥✳
❚↕✐ s❛♦ ♠✉è♥ t❤➯♠ ♣❤➛♥ tû ✈➔♦ ❝ì sì❄ ❈→❝ ❤➺ sè tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✷✮ ❧➔ ❞✉②
♥❤➜t ♥❤÷♥❣ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✸✮ t❤➻ t❛ ❝â ♠ët sè ❧ü❛ ❝❤å♥✳ ❱✐➺❝ ❝â ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ❝→❝
♣❤➛♥ tû ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ♠ët ❝ì sð ❝â t→❝ ❞ö♥❣ ❦❤û ♥❤✐➵✉ ♥❤➜t ✤à♥❤✳

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✶✻

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


ệ Pệ ế é
ỡ t tr t ồ số tỹ số t ờ
ợ t ộ số ữủ t t ởt số ợ ỳ ỳ số
t trữợ ỷ ỵ r tỹ t tt số tr ởt
ử [1, 1 + 108 ] ũ ởt số tr trữớ ủ số 1
ởt s số ữủ ồ s số ữủ tỷ õ
ỡ sỷ ử t q t ý ỷ ỵ t


tỹ tr số ỳ õ f =

f, fk S 1 fk , ợ
k=1

ồ f H s t ửt õ t t tr t t ởt số ỳ


số {

f, fk }m
k=1

f =

f, fk S 1 fk , ợ ồ f H
k=1

m

ữủ t t f

f, fk S 1 fk t t số f, fk
k=1

õ õ t ợ ở ỳ t ừ ởt t t s
f, fk + ck ợ ởt ck õ ồ ọ t tr ỷ ỵ
s s r t
rt r r t tứ ừ t ỳ
ú t õ t ữ trỳ số ợ ở t õ t
ổ ử t ợ ở ỡ
sỷ t ố tr ởt t f tở ổ tỡ V tứ ởt t

A ởt t R ỷ số { f, fk }m
k=1 õ số s
m
ữ ởt {ck }m
k=1 R s ữủ số { f, fk + ck }k=1

R s t ữủ t
m

m

m

f, fk S 1 fk + S 1

( f, fk + ck ) S 1 fk =
k=1

k=1

ck f k
k=1

m

= f + S 1

ck f k
k=1

t f
F, F t tỷ t tữỡ ự ợ {fk } ố

{S 1 fk } ừ õ RF tr ừ t tỷ F õ
F F = Id = F F F F = F F
ởt ỡ s trỹ t

F : H l2 (N) , F f = { f, fk }
k=1
ởt t F (H) = l2 (N)

ũ Pữủ



ự ử


✶✳✸✳ ▼❐❚ ❱⑨■ ❱➑ ❉Ö ❑❍❯◆● ❑❍➁❈ P❍Ö❈ ✣■➎▼ ❨➌❯ ❈Õ❆ ❈❒ ❙Ð
◆➳✉ {fk }m
k=1 ❧➔ ❦❤✉♥❣ t❤ø❛ tù❝ ❧➔ ❝→❝ fj ❦❤æ♥❣ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤➻ F (H) = RF
❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ l2 (N)✳ ❑❤✉♥❣ ❝➔♥❣ t❤ø❛ t❤➻ RF ❝➔♥❣ ♥❤ä✳ ❚❛ ❝â
f = F˜ ∗ F f ✈➔ F˜ ∗ c = 0 ✈î✐ c ∈ RF⊥ ✳ ◆➳✉ f, fk ✤➣ ❜à ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ♥❤✐➵✉ ck t❤➻
❤➔♠ ✤÷ñ❝ ❦❤æ✐ ♣❤ö❝ s➩ ❧➔

f˜ = F˜ ∗ (F f + c) = f + F˜ ∗ c
tr♦♥❣ ✤â c = {cj }j ✱ ❦❤✐ ✤â

f − f˜ = F˜ ∗ c ≤ c ✳
◆➳✉ RF ❝➔♥❣ ♥❤ä tù❝ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝➔♥❣ t❤ø❛ t❤➻ f − f˜ ❝➔♥❣ ♥❤ä✳ ❚❛ ①❡♠ ♠é✐ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ck ♥❤÷ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ♠é✐ ck ❝â tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❜➡♥❣ 0
✈➔ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐ σ 2 ✳ ❑➼ ❤✐➺✉

E[ck ] = 0, E[ck cl ] = σ 2 δk,l ✈î✐ k, l = 1, ...m.
❙❛✐ sè t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝

M SE =

1
E f − f˜ 2 ✳
n

❚➼♥❤ t❤ø❛ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❝â t❤➸ ❣✐↔♠ ❜ît ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ❦❤✐ s♦ s→♥❤ ✈î✐ ✈✐➺❝ sû
❞ö♥❣ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥✱ t❛ ①➨t ✈➼ ❞ö s❛✉
1
0
❈❤♦ u1 =
✱ u2 =
✱
0
1
√
√
1
1
3
3
❱➔ e1 = u1 ✱ e2 = −
u1 − u2 ✱ e3 =
u1 − u2 ✳
2
2
2
2
❍å {u1 , u2 } t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ R2 ✳ ❍å {e1 , e2 , e3 } ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣

❱➼ ❞ö ✶✳✷✿

❝❤➦t tr♦♥❣ R2 ✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ ❧➔ 23 ✳ ◆➳✉ t❛ t❤➯♠ αj ε ✈➔♦ ❝→❝ ❤➺ sè (f, uj ) tr♦♥❣ ✤â αj ❧➔
❝→❝ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ 0 ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐ 1✱ t❤➻ s❛✐ sè t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣
tr✉♥❣ ❜➻♥❤ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❦❤æ✐ ♣❤ö❝ t➼♥ ❤✐➺✉ s➩ ❧➔
2

E

f−

2

((f, uj ) + αj ε) uj

2

= ε2 E

j=1

αj uj

2

= ε2 E (α12 + α22 ) = 2ε2 ✳

j=1

◆➳✉ t❛ t❤➯♠ αj ε ✈➔♦ ❝→❝ ❤➺ sè (f, ej ) t❤➻

3

2

2
4
((f, ej ) + αj ε) ej 2 = ε2 E
αj e j 2
E
f−
3 j=1
9
j=1
4 2
4
= ε E (α12 + α22 + α32 − α1 α2 − α2 α3 − α1 α3 ) = ε2 ✳
9
3
❚ø ✤â ❝❤♦ t❤➜② s❛✐ sè t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❦❤æ✐ ♣❤ö❝ t➼♥ ❤✐➺✉ ❦❤✐
sû ❞ö♥❣ ❦❤✉♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ❦❤✐ sû ❞ö♥❣ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥✳

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✶✽

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


❈❤÷ì♥❣ ✷
●✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä

Ð ❝❤÷ì♥❣ 1 ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤✉♥❣ tê♥❣ q✉→t tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì V ✳
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❧î♣ ❦❤✉♥❣ ❝â ❝➜✉ tró❝ ✤➦❝ ❜✐➺t
tr♦♥❣ L2 (R)✱ ✤â ❧➔ ❧î♣ ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä✳ ▲î♣ ❦❤✉♥❣ ♥➔② r➜t ❤ú✉ ➼❝❤ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ①û ❧þ
❝→❝ t➼♥ ❤✐➺✉ ♥❣➢♥✱ ❝→❝ t➼♥ ❤✐➺✉ ❝â ✤➦❝ tr÷♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣✳

✷✳✶ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ a > 1, b > 0 ✈➔ ψ ∈ L (R)✳ ▼ët ❦❤✉♥❣ tr♦♥❣ L (R) ❝â ❞↕♥❣
2

{ψj,k }j,k∈Z = aj/2 ψ (aj x − kb)

j,k∈Z

2

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä✳

❚r÷î❝ t✐➯♥ t❛ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤♦ ♠ët ❦❤✉♥❣ sâ♥❣ ♥❤ä✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔② ❞♦
❉❛✉❜❡❝❤✐❡s ✤÷❛ r❛ ♥➠♠ ✶✾✾✵✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✷✳ ❈❤♦ a > 1, b > 0 ✈➔ ψ ∈ L (R) ❝❤♦ tr÷î❝✳ ◆➳✉
2

aj/2 (aj x − kb)

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝➟♥ A, B t❤➻

|ψˆ aj γ |2 ≤ bB, γ ∈ R.

bA ≤

(2.1)

j∈Z

◆❤➟♥ ①➨t✿ ❚❛ ❧➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
A
1
≤
|ω|
b

j∈Z

ˆ −j ω)|2
|ψ(a
B
≤
|ω|
|ω|

tr➯♥ ♠✐➲♥ 1 ≤ |ω| ≤ a t❛ ✤÷ñ❝

2A ln a ≤

1
b

j∈Z

1≤|ω|≤a

ˆ −j ω)|2
|ψ(a
dω ≤ 2B ln a✳
|ω|

❚ø ✤â

A≤

1
2b ln a

∞
−∞

2
ˆ
|ψ(ω)|
dω ≤ B ✳
|ω|

✶✾

j,k∈Z



ớ t t ừ {j,k }j,kZ ởt ừ L2 (R) t q s ữủ

t tổ q s

j )(a
j + k/b)| ợ R
|(a

j )|2 , G1 () =
|(a

G0 () =
jZ

k=0 jZ

ố a, b t s ổ ữ a, b G0 , G1 ú ỵ r

G0 (a) = G0 (), G1 (a) = G1 ()
t ồ õ ỗ t ừ G0 , G1 ợ || [aj , aj+1 ]
ừ ỗ t õ ợ || [aj1 , aj ] ứ õ t õ

sup Gk () = sup Gk (), inf Gk () = inf Gk (), k = 0, 1
R

R

[1,a]

[1,a]

a > 1, b > 0 L (R) sỷ r

2

B=

1
j )(a
j + k/b)| < .
sup
|(a
b ||[1,a] j,kZ

(2.2)

õ aj/2 (aj x kb) ss ợ B ợ f L2 (R) f

Cc (R) t õ
|(f, Daj Tkb )| =
j,kZ

+

1
b
1
b



j )|2 d
|(a

|f()|


jZ


j )(a
j k/b)d.
f()f( aj k/b)(a
k=0 jZ

(2.3)



ỡ ỳ

A=

1
inf
b ||[1,a]

j )(a
j + k/b)|
|(a

j )|2
|(a

t aj/2 (aj x kb)

> 0,

(2.4)

k=0 jZ

jZ

j,kZ

ừ L2 (R) ợ A, B

ờ x, y R õ ợ ồ [0, 1] t õ
1
2
1 + (x + y)2

1 + x2
1 + y2





ờ L (R) sỷ r tỗ t số C > 0 s
2

|()|
C

||
ợ ồ R.
(1 + ||2 )3/2

(2.5)

õ ợ ồ a > 1 b > 0 t õ
ũ Pữủ



ự ử


✷✳✶✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ❑❍❯◆● ❙➶◆● ◆❍➘
ˆ j γ)ψ(a
ˆ j γ + k/b)| ≤ 16C 2 b4/3
|ψ(a
k=0 j∈Z

a2
a
+ 2/3
a−1 a −1

.

(2.6)

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿
❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✺✮ t❛ ❝â

|aj γ|
|aj γ + k/b|
(1 + |aj γ|2 )3/2 (1 + |aj γ + k/b|2 )3/2
|aj γ|
(1 + |aj γ + k/b|2 )1/2
≤ C2
(1 + |aj γ|2 )3/2 (1 + |aj γ + k/b|2 )3/2
|aj γ|
1
2
=C
.
j
2
3/2
j
(1 + |a γ| ) 1 + |a γ + k/b|2

ˆ j γ)ψ(a
ˆ j γ + k/b)| ≤ C 2
|ψ(a

❉ò♥❣ ❜ê ✤➲ ✭✷✳✶✳✹✮ ❝❤♦ (1 + |aj γ + k/b|2 )−1 ✈î✐ δ = 2/3✱ ❦❤✐ ✤â

|aj γ|
(1 + |aj γ|2 )3/2

1 + |aj γ|2
1 + |k/b|2

2/3

ˆ j γ)ψ(a
ˆ j γ + k/b)| ≤ 2C 2
|ψ(a

|aj γ|
(1 + |aj γ|2 )5/6

1
1 + |k/b|2

2/3

≤ 2C 2

.

❱➻ tr♦♥❣ ✤→♥❤ ❣✐→ tr÷î❝ j, k ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♥➯♥

ˆ j γ)ψ(a
ˆ j γ + k/b)|
|ψ(a
k=0 j∈Z

≤ 2C

2
j∈Z

|aj γ|
(1 + |aj γ|2 )5/6

1
1 + |k/b|2

k=0

2/3

.

(2.7)

❚❛ ❝â

k=0

1
1 + |k/b|2

∞

2/3

b4/3
(b2 + k 2 )2/3

=2
k=1

∞

≤ 2b

4/3

≤ 8b

4/3

k=1

1
k 4/3

.

✣➸ ✤→♥❤ ❣✐→ tê♥❣ t❤❡♦ j ∈ Z tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✼✮ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠

f (γ) =
j∈Z

|(aj γ)|

, ✈î✐ ♠å✐ γ ∈ R.
(1 + |aj γ|2 )5/6

❉♦ f (aγ) = f (γ) ✈î✐ ♠å✐ γ ✱ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ①➨t |γ| ∈ [1, a]✳ ❚❛ ❝â

|aj γ| ≤ aj+1 , 1 + |aj γ|2 ≥ 1 + a2j ✳
❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✷✶

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣



õ

jZ

|(aj )|

(1 + |aj |2 )5/6

jZ

aj+1
(1 + a2j )5/6


0

aj+1

+
2j )5/6
(1
+
a
j=


0



a

j+1

a



j+1

+

j=

j=1

aj+1
(1 + a2j )5/6

j=1



a
=a
aj + a
(a2/3 )j
5j/3
a
j=0
j=1

a
a2/3
a2
1
+
.
+
a
=
1 a1
1 a2/3
a 1 a2/3 1

f ứ ổ tự t õ

j )(a
j + k/b)| 2C 2
|(a
k=0 jZ

jZ

|aj |
(1 + |aj |2 )5/6

1
1 + |k/b|2

k=0

2/3

2

a
a
+ 2/3
a1 a 1

16C 2 b4/3

.

L (R) a > 1 sỷ r

2

j )|2 > 0
|(a

inf ||[1,a]
jZ

ỗ t số C > 0 s


|()|
C
õ aj/2 (aj x kb)

j,kZ

ự

3/2
||
R.
(1 + ||2 )

(2.8)

ừ L2 (R) ợ ồ b > 0 ừ ọ

rữợ t t ự aj/2 (aj x kb)

j,kZ

ss ợ ồ b > 0

tữỡ tỹ ữ tr ự ờ t ữủ

j )|2
|(a
jZ

1
a4
+
a4 1 a2 1

C 2.

(2.9)

õ

j )(a
j + k/b)|
|(a
kZ jZ

16C 2 b4/3

a2
a

+ 2/3
a1 a 1

ứ ỵ aj/2 (aj x kb)

ũ Pữủ

j,kZ

+

1
a4
+
a4 1 a2 1

C 2.

ss ợ b ừ ọ t õ



ự ử


✷✳✶✳ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ❑❍❯◆● ❙➶◆● ◆❍➘

|γ∈[1,a]

a

a2
+ 2/3
a−1 a −1

ˆ j γ)|2 − 16C 2 b4/3
|ψ(a

inf

j∈Z

> 0.

(2.10)

❍❛②

ˆ j γ)|2 −
|ψ(a

inf

|γ∈[1,a]

❱➟② aj/2 ψ(aj x − kb)

j∈Z

ˆ j γ)ψ(a
ˆ j γ + k/b)|

|ψ(a

> 0.

k=0 j∈Z

j,k∈Z

❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ L2 (R)✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✿ ❈❤♦ a = 2✳ ❳➨t ❤➔♠ ●❛✉ss g(x) = e

− 21 x2

✳ ❚❛ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ✤÷ñ❝

1 2

g (x) = −xe− 2 x ✱
1 2

g (x) = −(1 − x2 )e− 2 x ✱
∞
3 1
|g (x)|2 dx = π − 2 ✳
4
−∞
❙❛✉ ❦❤✐ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ g tr♦♥❣ L2 (R) ❝❤♦ t❛ ❤➔♠ ♠ô ▼❡①✐❝♦

ψ(x) =

1
√2 π − 4 (1
3

1 2

− x2 )e− 2 x ✳

✣➸ t➻♠ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝õ❛ ψ t❛ sû ❞ö♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥ ❤❛✐ ❧➛♥ ♥❤÷ s❛✉
∞

g (x)e−2πiγx dx

(Fg )(γ) =
−∞

∞

x=+∞
x=−∞

g(x)e−2πiγx dx
+ 2πiγ
−∞
√
2 2
2
2 −2π 2 γ 2
= 4π γ gˆ(γ) = −4π 2πγ e

.

= g (x)e−2πiγx

❑❤✐ ✤â

√ 9
√
1
2 2
2 2
ˆ
ψ(γ)
= √8 2 π 2 2ππ − 4 γ 2 e−2π γ = 8 3π 4 γ 2 e−2π γ ✳
3

❈→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣

ˆ j γ)| > 3.27✳ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ ✤ó♥❣ ✈î✐
|ψ(2

inf

|γ|∈[1,2]

j∈Z

C = 4✳ ❙û ❞ö♥❣ ✭✷✳✶✵✮ t❛ ❝â 2j/2 ψ(2j x − kb) j,k∈Z ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ♥➳✉ b < 0.0084✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥ ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ tr♦♥❣
❝❤➾ r❛ 2j/2 ψ(2j x − kb) j,k∈Z ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✸

♥➳✉ b < 1.97✳
❜
❆
❇

❇ò✐ ❚❤à P❤÷ñ♥❣

✵✳✷✺
✶✸✳✶
✶✹✳✷

✵✳✺
✻✳✺✺
✼✳✶

✵✳✼✺
✹✳✸✻
✹✳✼✸

✶
✸✳✷✻
✸✳✺✼

✷✸

✶✳✷✺
✷✳✸✸

✸✳✵✾

✶✳✺
✶✳✷✺
✸✳✶✸

✶✳✼✺
✵✳✹✷✷
✸✳✺

✶✳✾✼
✵✳✵✵✻✾
✸✳✺✹

❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣


Pì PP P P



ụ

Pữỡ t
ởt L2 (Z) ợ j, k Z t

j,k (x) = 2j/2 (2j x k), x R
t j,k = Dj Tk ợ j, k Z t r ợ t
ữỡ t ữ ởt ổ ử ỹ ỡ s sõ ọ trỹ

ởt t ừ ổ L (R) ỗ ởt
2

ổ õ Vj , (j Z) ừ L2 (R) ởt V0 tọ
...V1 V0 V1 ..., ổ Vj ỗ
jZ Vj = L2 (R) jZ Vj = {0}
f (x) Vj f (2x) Vj+1
f V0 Tk f V0 , k Z
{Tk }kZ ởt ỡ s trỹ ừ V0

tr ởt ữỡ ỹ sõ ọ õ t
ữủ ữ sỹ ừ t sõ ọ sỷ r
tr

tọ ợ j Z W

j

ũ trỹ

ừ Vj tr Vj+1 Qj trỹ tr Wj

ũ Pữủ



ự ử