Bai giang XSTK-Phan1-Chuong2.pdf

Bai giang XSTK-Phan1-Chuong2.pdf

Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê II.1CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Nội dung  Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) và phân loại cácĐLNN. Quy luật phân phối xác suất (PPXS) của ĐLNN.  Bảng PPXS của ĐLNN rời rạc. Hàm PPXS của ĐLNN ( rời rạc hay liên tục). Hàm mật độ xác suất của ĐLNN liên tục.  Các phép tốn trên các ĐLNN. Hàm của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc  Các đặc trưng số cơ bản của ĐLNN.  Các phân phối thơng dụng: Nhị thức, Siêu bội, Poisson, Chuẩn.  Phương pháp tính xấp xỉ giữa các phân phối xác suất. 1. ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN - QUYLUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN Ví dụ 2.1. Bảng dưới đây ghi kết quả khảo sát số xe máy hiện có ở 6.487 hộ gia đình tại Tp. Hồ Chí Minh năm 2003. Số xe máy (X) Số hộ (ni) Tần suất 0 27 0,004 1 1422 0,219 2 2865 0,442 3 1796 0,277 4 324 0,050 5 53 0,008 6487 1,000 Giả sử ta chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình trong 6487 hộ trên, gọi X là số xe máy của hộ đã chọn tại thời điểm khảo sát. Khi đó X là một đại lượng vì nó có thể nhận các giá trị số (0, 1, …, 5); tuy nhiên ta khơng thể biết trước một cách chắc chắn giá trị của X bằng bao nhiêu vì nó tùy thuộc vào hộ được chọn. Nói cách khác X có thể nhận một giá trị ngẫu nhiên thuộc tập {0, 1, …, 5}. Ta bảo X là một đại lượng ngẫu nhiên. Ví dụ 2.2. Một xạ thủ bắn một viên đạn trúng vào bia hình tròn bán kính 50cm. Gọi K là khoảng cách ( đo bằng cm) từ tâm của bia đến điểm chạm của viên đạn vào bia. Khi đó T cũng là một đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị thuộc tập [0, 50]. Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê II.21.1. MÔ TẢ KHÁI NIỆM ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN – PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN  Đại lượng ngẫu nhiên (còn gọi là biến ngẫu nhiên) là một đại lượng (tức là cân, đong, đo hoặc đếm được) mà có thể nhận giá trị bất kỳ thuộc một tập hợp số xác định một cách ngẫu nhiên với xác suất nhất định. ĐLNN thường được ký hiệu bởi các chữ X, Y, Z , … Còn các giá trị của ĐLNN thường được ký hiệu bởi x, y, z, … Trong ví dụ 2.1, đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị một cách ngẫu nhiên thuộc tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}, ta viết X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Khả năng (xác suất) để X nhận giá trị 3 là 27,7%. Trong ví dụ 2.2, đại lượng ngẫu nhiên K nhận giá trị một cách ngẫu nhiên thuộc tập [0, 50cm]. Căn cứ vào tập giá trị của ĐLNN, ta phân chúng thành hai loại: rời rạc và liên tục. Cụ thể, ta có phân loại dưới đây.  Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có của nó là một tập rời rạc, tức là có thể đánh số thành một dãy (hữu hạn hay vơ hạn).  Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có của nó là một đoạn hay khoảng (hữu hạn hay vơ hạn). Nhận xét quan trọng • Cần phân biệt ĐLNN với BCNN. ĐLNN thì nhận giá trị này khác một cách ngẫu nhiên nhưng khơng có xác suất, BCNN là một sự kiện có thể xẩy ra sau khi thực hiện phép thử với xác suất xác định nhưng BCNN khơng có giá trị. • Tuy nhiên ĐLNN và BCNN có mối quan hệ khăng khít với nhau. Cụ thể, khi gán cho mỗi ĐLNN một giá trị cụ thể hoặc một ràng buộc nào đó về giá trị, ta sẽ nhận được một BCNN với xác suất xác định. Về mặt hình thức, có thể hình dung ĐLNN như là hàm của BCNN trên khơng gian các biến cố sơ cấp • Trở lại ví dụ 2.1. Ta có (X=3) là một BCNN với P(X=3) = 0,277. Tương tự (X<3), (X>3), (X≤3), (X≥3) cũng là những BCNN mà có thể dễ dàng tính xác suất của chúng theo bảng số liệu đã cho. • Một cách tổng qt, với mỗi ĐLNN X tùy ý và x, y là hai số thực bất kỳ (x<y), (X<x), (X=x), (X>x), (X≤x), (X≥x), (x<X<y), . đều là các BC mà nói chung là ngẫu nhiên. Qua xác suất của các BC này, ta sẽ biết được những giá trị nào hoặc những khoảng giá trị nào X dễ nhận, những giá trị nào hay những khoảng giá trị nào X ít nhận hay khơng thể nhận. Nói một cách khác, xác suất của những BC đó (khi cho x, y chạy khắp tập số thực) phản ánh quy luật phân phối xác suất của X. 1.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN RỜØI RẠC Đối với ĐLNN rời rạc, quy luật PPXS thường được cho bằng bảng.  Bảng phân phối xác suất: Đó là bảng liệt kê tất cả các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X cùng với xác suất để X nhận từng giá trị đó. Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ X x1 x2 … xn … (nếu vơ hạn) XS tương ứng P(X = xi) p1 p2 … pn …  Tính chất đặc trưng: Các xác suất tương ứng pi trong bảng PPXS có hai tính chất đặc trưng sau đây. (i) 0 ≤ pi ≤1; (ii) 1pn. 1ii=∑=  Các tính chất khác (i) P(a ≤ X < b) = iiax bp≤<∑; (ii) P(a < X < b) = iiax bp<<∑. Tương tự cho các BCNN với các dấu bất đẳng thức khác. Ví dụ 2.3. Xét lại ví dụ 2.1. Chọn ngẫu nhiên một hộ, đặt X là số xe máy của hộ được chọn. Khi đó X là ĐLNN có các giá trị là thuộc tập{ }0,1, 2,3, 4,5. a) Tìm quy luật PPXS của đại lượng ngẫu nhiên X (tức là lập bảng PPXS của X). b) Tính xác suất để của BCNN (2<X<5). Giải a) Chúng ta sẽ tính xác suất tương ứng để X nhận từng các giá trị của nó. Bảng PPXS của X như sau: X 0 1 2 3 4 5 P(X=i) 0,004 0,219 0,442 0,277 0,050 0,008 b) P(2<X<5) = 0,277 + 0,050 = 0, 327. Ví dụ 2.4. Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn. Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều 0,8. Gọi X là số viên đạn anh ta bắn trúng bia. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. Giải Ta có X = {0, 1, 2, 3}. Ta cần tìm P(X = k), k = 0, 1, 2, 3. Xem phép thử là bắn 1 viên đạn và A là biến cố viên đạn đó trúng mục tiêu. Ta có P(A) = 0,8 khơng đổi ở mỗi lần bắn nên đây là một dãy 3 phép thử Bernoulli với p = 0,8 ; q = 1 – p = 0,2. Áp dụng cơng thức Bernoulli, ta được P(X = 0) = P3(0 ; 0,8) = 0,80.0,23 = 0,008 ; 03CII.3Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ P(X = 1) = P3(1 ; 0,8) = 0,81.0,22 = 0,96 ; 13CP(X = 2) = P3(2 ; 0,8) = 0,82.0,21 = 0,384 ; 23CP(X = 3) = P3(3 ; 0,8) = 0,83.0,20 = 0,512. 03CVậy, bảng phân phối xác suất của X là X 0 1 2 3 P 0,008 0,096 0,384 0,512 1.3. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN  Hàm phân phối xác suất của ĐLNN tùy ý X (rời rạc hay liên tục) là hàm số F(x) xác định trên tập số thực bởi cơng thức sau F(x) = P(X < x) , x ∈ . \ Tính chất : Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau (1) F(x) là hàm khơng giảm và liên tục trái; (2) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀ x ∈ \; (3) 0)(lim =−∞→xFx 1)(lim =+∞→xFx; (4) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a), với mọi a, b ∈ \, a < b. F(x) đặc trưng cho loại của ĐLNN X theo nghĩa sau (5) F(x) gián đoạn khi và chỉ khi X rời rạc; (6) F(x) liên tục trên \khi và chỉ khi X liên tục.  Chú ý: Ba tính chất đầu đặc trưng cho hàm PPXS theo nghĩa sau đây: nếu F(x) là hàm số xác định trên \và có các tính chất (1), (2), (3) thì F(x) là hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó. Hàm PPXS còn gọi là hàm tích lũy xác suất.  Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hữu hạn có bảng phân phối xác suất như sau X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn ( x1 < x2 < … < xn), thì hàm phân phối xác suất của X là 121112 10( ) 1nnnnxxx xxpFxx xxpp pxx−−≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨⎪< ≤+++⎪>⎪⎩,nếu,nếu .,nếu,nếu II.4Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ 1.4. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC Khác với bảng PPXS của ĐLNN rời rạc, hàm PPXS khơng cho ta biết rõ PPXS của ĐLNN trong lân cận của bất kỳ điểm nào trên trục số. Hơn nữa, cần chú ý rằng nếu X là ĐLNN liên tục thì P(X=x) = 0 với mọi số thực x. Ta sẽ dưa vào khái niệm hàm mật độ xác suất cho ĐLNN liên tục.  Hàm mật độ xác suất của ĐLNN liên tục X là hàm f(x) định nghĩa như sau f(x): = 0()limxPx X x xxΔ→+≤≤+ΔΔ = 0()limxPx x X xxΔ→+− Δ≤ ≤Δ; Tất nhiên là trong giả thiết rằng cả hai giới hạn đó tồn tại hữu hạn.  Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) khả vi thì hàm mật độ XS chính là đạo hàm của hàm PPXS: f(x) = F’(x), x∈ \.  Tính chất: Hàm mật độ xác suất có các tính chất sau (1) f(x) ≥ 0, x ∈ \; (2) ; ∫+∞∞−= 1)( dxxf Ngược lại , một hàm số f(x) có các tính chất (1), (2) phải là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó. (3) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = ∫ ; abdxxf )((a,b ∈ , a < b) \(4) F(x) = ∫, x ∈ \. ∞−xdttf )( 1.5. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ĐLNN – HÀM TRÊN ĐLNN 1.5.1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ĐLNN Để đơn giản, ta chỉ xét phép cộng và nhân trên các ĐLNN rời rạc. Giả sử X và Y là các ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xácsuất như sau X x1 x2 … xm P p1 p2 … pm Y y1 y2 … yn P p’1 p’2 … p’n Khi đó X + Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là X + Y z1 z2 … zs P p”1 p”2 … p”s II.5Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ Trong đó zk là các giá trị khác nhau của các tổng xi + yj và p’’k = ,ijkijxyp pz+=∑. Còn XY là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là X Y z1 z2 … zs P p”1 p”2 … P”s Trong đó zk là các giá trị khác nhau của các tích xiyj và p’’k = ,ij kijxyp pz=∑ 1.5.2. HÀM TRÊN ĐLNN Nếu ta có một hàm số ϕ được xác định trên tập tất cả các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X thì Y = ϕ(X) trở thành một đại lượng ngẫu nhiên mới có cùng luật PPXS với X. Giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Y được xác địnhtheo giá trị của X thơng qua hàm ϕ. Giả sử ta có quy luật phân phối xác suất của X như sau X x1 x2 … xj … xn P(X = xi) P1 P2 … Pj … Pn Khi đó, , ta xác định các giá trị yi của Y=ϕ(X) bởi nixyii,1),(==ϕ Y ϕ(x1) ϕ(x2) … ϕ(xj) … ϕ(xn) P(Y = yi) p1 p2 … pj … pn Chú ý nếu ϕ(xi)= ϕ(xj) thì ta đặt y*= ϕ(xi)= ϕ(xj) và cộng dồn xác suất của chúng lại: p(Y = y*) = pi + pj. Ví dụ 2.5. Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất lần lượt là X 0 1 2 Y -1 1 2 P 0,2 0,3 0,5 P 0,4 0,3 0,3 Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng X+Y, XY. Giải Đối với từng phép tốn đã cho ta lập bảng ghi các giá trị và xác suất tương ứng. a) Trường hợp X+Y X Y 0 1 2 XY 0,2 0,3 0,5 -1 -1 0 1 0,4 0,008 0,12 0,20 1 1 2 3 0,3 0,06 0,09 0,15 2 2 3 4 0,3 0,06 0,09 0,15 Bảng 1 Bảng 2 II.6Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ Từ Bảng 1 và Bảng 2 suy ra X+Y = {} ,4,3,2,1,0,1−P (X+Y = -1) = 0,08 , P (X+Y = 0) = 0,12 , P (X+Y = 1) = 0,20 + 0,06 = 0,26 , P (X+Y = 2) = 0,09 + 0,06 = 0,15 , P (X+Y = 3) = 0,15 + 0,09 = 0,24 , P (X+Y = 4) = 0,15. Vậy, bảng phân phối xác suất của X+Y là X+Y -1 0 1 2 3 4 P 0,08 0,12 0,26 0,15 0,24 0,15 b) Trường hợp XY Ta chỉ cần lập lại bảng giá trị của tích XY tương tự như Bảng 1, nhưng kết quả ở mỗi ơ giữa trong bảng mới sẽ là tích các giá trị thuộc dòng 1 lần lượt với các giá trị thuộc cột 1 (xem Bảng 3). X Y 0 1 2 -1 0 -1 -2 1 0 1 2 2 0 2 4 Bảng 3 Từ Bảng 3 và Bảng 2 suy ra XY = {} ,4,2,1,0,1,2 −−P (XY = -2) = 0,20 , P (XY = -1) = 0,12 , P (XY = 0) = 0,08 + 0,06 + 0,06 = 0,20 , P (XY = 1) = 0,09 , P (XY = 2) = 0,15 + 0,09 = 0,24 , P (XY = 4) = 0,15. Vậy, bảng phân phối xác suất của XY là XY -2 -1 0 1 2 3 P 0,20 0,12 0,20 0,09 0,24 0,15 II.7Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê II.8Lưu ý: Bảng 1 và Bảng 2 có thể ghi chung thành một bảng (xem Bảng A) ; Bảng 3 và Bảng 2 có thể ghi chung thành một bảng (xem Bảng B). Trong hai bảng này, góc trái của mỗi ơ ghi giá trị, góc phải ghi xác suất tương ứng. X Y 0 0,2 1 0,3 2 0,5 XY 0 1 2 -1 0,4 -1 0,08 0 0,12 1 0,20 -1 0 0,08-1 0,12 -2 0,201 0,3 1 0,06 2 0,09 3 0,15 1 0 0,061 0,09 2 0,152 0,3 2 0,06 3 0,09 4 0,12 2 0 0,062 0,09 4 0,15 Bảng A Bảng B Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 [1] Có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên (có hồn lại) 3 sản phẩm từ 10 sản phẩm này. Gọi X là số phế phẩm có trong 3 sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. [2] Có 2 hộp, mỗi hộp đựng 25 sản phẩm. Hộp thứ nhất có 2 sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn. Hộp thứ 2 có 5 sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn. Lấy 2 sản phẩm để kiểm tra nếu: a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm. Tìm luật phân phối của số sản phẩm đạt tiêu chuẩn có trong 2 sản phẩm được lấy ra? b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm (khơng hồn lại). Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 2 sản phẩm được lấy ra? [3] Có 100 bóng đèn trong đó 10 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 bóng (khơng hồn lại). Gọi X là số bóng hỏng có trong 5 bóng được lấy ra. Tìm số bóng hỏng trung bình. [4] Một lơ hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%. Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại100 sản phẩm để kiểm tra. Tìm kỳ vọng của số phế phẩm (số phế phẩm trung bình) có trong 100 sản phẩm được lấy ra. [5] Có 4 lơ hàng L1, L2, L3, L4 lần lượt có tỷ lệ phế phẩm là 5%, 2%, 6%, 4%. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lơ hàng 2 sản phẩm. Tính kỳ vọng của phế phẩm có trong 8 sản phẩm được lấy ra. [6] Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau đây X 0 1 2 3 4 5 6 7 P 0 a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2 + a a) Tính a. b) Tính P(X ≥ 5), P(X < 3). c) Tìm giá trị bé nhất của k sao cho P(X ≤ k) ≥ 21. [7] Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất của X. Vẽ đồ thị hàm số đó. [8] Một túi chứa 10 tấm thẻ đỏ và 6 tấm thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ. a) Gọi X là số thẻ đỏ lấy được. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. b) Giả sử rút mỗi tấm thẻ đỏ được 5 điểm, thẻ xanh được 8 điểm. Gọi Y là số điểm tổng cộng trên 3 thẻ rút ra. Hãy tìm hàm phân phối xác suất của Y. [9] Có hai hộp bi, hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 1 bi đỏ, hộp thứ hai có 2 bi xanh và 2 bi đỏ. Từ hộp thứ nhất lấy ra 2 viên bi bỏ vào hộp thứ hai. Sau đó lại lấy 2 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ nhất. Gọi X, Y là số bi đỏ tương ứng ở hai hộp đó sau hai lần chuyển bi. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, Y. II.9Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê II.10[10] Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y độc lập với các bảng phân phối xác suất như sau X -1 0 1 2 Y -1 0 1 P 0,2 0,3 0,3 0,2 P 0,3 0,4 0,3 Hãy lập bảng phân phối xác suất của X2, X + Y, 2Y, X – Y, XY. [11] Gieo đồng thời hai con súc sắc. Gọi X1, X2 lần lượt là số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc đó. Tìm bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau đây a) Y1 = X1 + X2 b) Y2 = X1 – X2 c) Y3 = max(X1, X2). [12] Một người có một chùm chìa khóa gồm 5 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa. Người đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong bỏ ra ngồi) cho đến khi tìm đúng chìa mở được cửa. Gọi X là số lần thứ cần thiết. Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X. [13] Một ơtơ đi trên đoạn đường có 3 đèn tín hiệu giao thơng hoạt động độc lập. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch của số lần ơtơ dừng khi đi trên đoạn đường đó, biết rằng chỉ tín hiệu xanh mới được phép đi và a) cả 3 đèn đều có thời gian tín hiệu xanh là 30 giây, tín hiệu vàng là 5 giây, tín hiệu đỏ là 15 giây. b) ở đèn thứ nhất thời gian dành cho ba tín hiệu đó lần lượt là : 40 giây, 10 giây, 30 giây ; ở đèn thứ hai : 25 giây, 5 giây, 10 giây ; ở đèn thứ ba 20 giây, 5 giây, 35 giây. [14] Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 4 P 0,4 0,3 0,2 0,1 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Tìm bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X + Y, XY. [15] Xác suất để một máy đóng hộp sản xuất ra phế phẩm là 0,005. Tính xác suất để trong 800 sản phẩm do máy đóng hộp có khơng q 10 phế phẩm. [16] Theo kinh nghiệm, một loại thóc giống nào đó có tỷ lệ nảy nầm là 99%. Gieo thử 5 hạt thóc. Gọi X là số hạt thóc nảy mầm trong 5 hạt thóc gieo thử. a) Lập bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X b) Tính số hạt thóc nảy mầm trung bình và độ lêch chuẩn của 5 hạt thóc. [17] Xác suất để một khách hàng của một cơng ty bảo hiểm hàng khơng gặp tai nạn máy bay là 0,02. Tính xác suất để 100 người được cơng ty này bảo hiểm có đúng 1 người bị tai nạn máy bay. [18] Một tổng đài điện thoại nào đó nhận được trung bình 300 cuộc gọi đến trong 1 giờ. Tính xác suất để tổng đài này nhận được đúng 3 cuộc gọi đến trong 1 phút.