KHÓA LUẬN TOÁN

LỜI CẢM ƠN
Thực tế luôn cho thấy, thành công nào cũng đều gắn liền với những sự hỗ trợ, giúp
đỡ của những người xung quanh dù cho sự giúp đỡ đó là ít hay nhiều, trực tiếp hay gián
tiếp. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu làm khóa luận đến nay, tôi đã nhận được sự quan
tâm, chỉ bảo, giúp đỡ của thầy cơ, gia đình và bạn bè xung quanh. Với tấm lịng biết ơn vơ
cùng sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất từ đáy lịng đến q Thầy Cơ của
trường Cao đẳng Sư phạm Bắc Ninh đã dùng những tri thức và tâm huyết của mình để có
thể truyền đạt cho tơi vốn kiến thức quý báu trong suốt thời gian học tập tại trường. Đặc
biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Th.s Nguyễn Thi ̣Thảo Nguyên đã tận tâm chỉ bảo, hướng
dẫn tôi qua từng buổi thảo luận về đề tài nghiên cứu. Nhờ có những lời hướng dẫn, dạy
bảo đó, bài khóa luận này của tơi đã hồn thành một cách suất sắc nhất.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hơ ̣p tác, giúp đỡ của BGH của trường Tiể u ho ̣c
thi ̣ trấ n Chờ số 1, huyê ̣n Yên Phong, tỉnh Bắ c Ninh đã ta ̣o mo ̣i điề u kiê ̣n và giúp đỡ tôi
trong suố t quá trình thực nghiê ̣m sư pha ̣m.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tác giả
Lan
Nguyễn Thị Thuý Lan

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài: "Rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh các lớp 4, 5 thơng
qua việc giải tốn có lời văn" là một cơng trình nghiên cứu độc lập khơng có sự sao
chép của người khác. Đề tài là một sản phẩm mà tôi đã nỗ lực nghiên cứu trong quá trình
học tập tại trường Cao đẳ ng sư pha ̣m Bắ c Ninh cũng như thực tập tại trường Tiể u ho ̣c thi ̣
trấ n Chờ sớ 1. Trong q trình viết bài có sự tham khảo một số tài liệu có nguồn gốc rõ
ràng, dưới sự hướng dẫn của Th.s Nguyễn Thi ̣ Thảo Ngun. Tơi xin cam đoan nếu có
vấn đề gì tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm.
Người cam đoan

Lan
Nguyễn Thi ̣Thuý Lan

2


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................................... 1
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................... 2
A. MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 5
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................................... 5
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................... 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................. 6
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................................. 6
5. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................................... 6
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................ 6
7. Cấu trúc đề tài ............................................................................................................. 7
B. NỘI DUNG ..................................................................................................................... 8
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. .... 8
1.1. Cơ sở lí luận .............................................................................................................. 8
1.1.1. Một số vấn đề về tư duy ................................................................................... 8
1.1.1.1. Tư duy là gì? ..................................................................................................... 8
1.1.1.2. Đặc điểm của tư duy ......................................................................................... 8
1.1.1.3. Các thao tác của tư duy ................................................................................... 10
1.1.2. Tư duy logic .................................................................................................... 14
1.1.2.1. Tư duy logic là gì? .......................................................................................... 14
1.1.2.2. Vấn đề rèn tư duy logic................................................................................... 14
1.1.2.3. Nguyên tắc tư duy logic .................................................................................. 16
1.1.2.4. Một vài nguyên tắc của việc phát triển tư duy logic ...................................... 18
1.1.3. Đặc điểm về tư duy logic của học sinh Tiểu học. ........................................... 22

1.1.3.1. Các giai đoạn phát triển tư duy logic của học sinh Tiểu học.......................... 22
1.1.3.2. Đặc điểm tư duy của học sinh tiểu học ........................................................... 23
1.1.4. Nội dung mạch giải tốn có lời văn trong chương trình Tốn lớp 4,5. .......... 27
1.1.4.1. Thế nào là giải tốn có lời văn? ...................................................................... 27
1.1.4.2. Đặc điểm của mạch giải tốn có lời văn trong chương trình Tốn lớp 4,5. ... 29
1.1.4.3. Nội dung mạch giải tốn có lời văn trong chương trình Tốn lớp 4,5. .......... 30
1.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................................ 30
1.2.1. Tầm quan trọng của hoạt động giải toán có lời văn đối với sự phát triển tư duy
logic cho học sinh lớp 4,5. ........................................................................................... 30
1.2.2. Thực trạng của việc rèn luyện tư duy logic đối với học sinh các lớp 4,5 thơng
qua hoạt động giải tốn có lời văn. .............................................................................. 31
CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN TƯ DUY LOGIC CHO HỌC SINH CÁC LỚP 4,5
THƠNG QUA VIỆC GIẢI TỐN CĨ LỜI VĂN......................................................... 32
2.1. Giáo viên hướng dẫn học sinh nắm chắc phương pháp chung về các bước giải
các bài toán có lời văn. .................................................................................................. 32
3


2.2. Rèn luyện các thao tác tư duy logic ...................................................................... 35
2.2.1. Rèn luyện thao tác phân tích .............................................................................. 36
2.2.2. Rèn luyện các thao tác tổng hợp ........................................................................ 47
2.2.3. Rèn luyện các thao tác so sánh .......................................................................... 53
2.2.4. Rèn luyện các thao tác trừu tượng hóa, khái quát hóa ....................................... 57
2.3. Rèn luyện các phẩm chất của tư duy .................................................................... 63
2.3.1. Hoạt động tìm ra cách giải phù hợp cho bài toán. ............................................. 64
2.3.2. Hoạt động giải các dạng toán đã học từ nâng cao đến phức tạp. ....................... 65
2.3.3. Hoạt động nghiên cứu giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau. ..................... 65
2.3.4. Hoạt động lập và sáng tác đề toán. .................................................................... 66
2.4. Rèn tư duy logic cho khả năng diễn đạt, cách sử dụng ngôn từ ........................ 68
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................... 72

3.1. Mô tả thực nghiệm ................................................................................................. 72
3.1.1 Mục đích thực nghiệm ........................................................................................ 72
3.1.2 Đối tượng thực nghiệm ....................................................................................... 72
3.1.3. Nội dung thực nghiệm ....................................................................................... 72
3.1.4. Thời gian thực nghiệm ....................................................................................... 73
3.1.5. Địa bàn thực nghiệm .......................................................................................... 73
3.1.6. Chuẩn bị thực nghiệm ........................................................................................ 73
3.2. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................. 74
3.2.1. Tiến hành thực nghiệm ...................................................................................... 74
3.2.2. Kết quả thực nghiệm .......................................................................................... 74
3.2.2.1 Các bình diện được đánh giá ........................................................................... 74
3.2.2.2. Phân tích kết quả thực nghiệm........................................................................ 75
3.2.2.3. Kết quả sau khi thực nghiệm .......................................................................... 77
C. KẾT LUẬN................................................................................................................... 82
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 83

4


A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tư duy có vai trò rất quan trọng trong nhận thức và hoạt động thực tiễn của con
người. Trong cuộc sống hàng ngày, mọi hoạt động của con người đều thông qua tư duy;
khác với hoạt động mang tính bản năng của lồi vật, hoạt động của con người ln mang
tính tự giác, trước khi bắt đầu một hoạt động thực tiễn, con người đều đã chuẩn bị sẵn
những dự án, kế hoạch trong đầu. Sự khác biệt ấy là vì con người có tư duy và biết vận
dụng sức mạnh của tư duy vào thực hiện các mục đích của mình.
Hoạt động lao động sản xuất, quản lý xã hội và học tập của con người là thực tiễn
vô cùng sinh động, đa dạng và luôn luôn biến đổi; các hoạt động đó ln đặt ra những u
cầu, nhiệm vụ, tình huống cần phải giải quyết. Do vậy, đòi hỏi con người cần phải có một

tư duy chính xác, một tư duy lơgic để có khả năng phát hiện những quy luật và định
hướng hoạt động thực tiễn của chính mình; điều này đã được nhiều nhà nghiên cứu trong
và ngoài nước nghiên cứu và khẳng định.
Tư duy lôgic cũng giống như bất kỳ loại tư duy nào khác, cũng đều cần sự rèn
luyện và có thể phát triển được. Ở cấp Tiểu học có nhiều mơn học, mỗi mơn đều có một
vai trò khác nhau đối với sự phát triển tư duy lơgic của học sinh. Trong mơn Tốn, đặc
biệt là việc dạy - học giải tốn có lời văn khơng chỉ đơn thuần rèn luyện kỹ năng tính
tốn, giải tốn cho học sinh, mà quan trọng hơn là nhằm phát triển tư duy, rèn luyện
phương pháp suy luận cho học sinh.
Tốn có lời văn là mạch kiến thức tổng hợp của các mạch kiến thức toán học, bao
gồm các loại toán về số học, các yếu tố đại số, các yếu tố hình học và đo đại lượng. Có
thể nói tốn có lời văn là cầu nối giữa tốn học và thực tế đời sống, giữa tốn học với các
mơn học khác.
Thơng qua giải tốn có lời văn, học sinh đi sâu vào việc lập luận, tìm lời giải, chọn
lọc ngơn từ, tìm ra con đường ngắn nhất để đi đến mục đích bằng sự trình bày rõ ràng với
những lập luận chặt chẽ của mình. Hình thành phương pháp suy luận không những nâng
cao năng lực suy nghĩ, thúc đẩy học sinh phát triển sự thông minh sáng tạo, rèn luyện kỹ
năng đọc, viết, diễn đạt, tính tốn cho học sinh mà cịn làm cho q trình rèn luyện tư duy
ở học sinh diễn ra một cách tự nhiên, mang lại hiệu quả cao.
5


Thực tế giảng dạy và học các mạch kiến thức trong chương trình Tốn ở bậc Tiểu
học thì mạch kiến thức giải tốn có lời văn là mạch kiến thức khó khăn nhất đối với học
sinh vì học sinh tiểu học còn hạn chế về vốn từ, vốn hiểu biết, khả năng đọc hiểu, khả
năng tư duy lôgic. Một nét nổi bật hiện nay là nhìn chung học sinh Tiểu học chưa biết
cách tự học, chưa chủ động trong học tập; nhiều trường hợp, với một bài tốn có lời văn,
học sinh có thể đặt và tính đúng phép tính của bài nhưng không thể trả lời hoặc lý giải tại
sao các em lại có phép tính như vậy; một số học sinh chưa biết cách tóm tắt bài tốn, chưa
biết phân tích đề tốn để tìm ra cách giải, chưa biết tổng hợp để trình bày bài giải, diễn đạt

thiếu lơgic, ngơn ngữ tốn học sử dụng cịn rất hạn chế, tính tốn, trình bày thiếu chính
xác, thiếu khoa học; ở các em, phương pháp học và giải toán vẫn cịn máy móc, nặng nề
về dập khn, bắt chước.
Trước thực tiễn trên, yêu cầu cấp thiết đặt ra là phải nâng cao chất lượng việc dạy
và học mơn Tốn nói chung và giải tốn có lời văn nói riêng nhằm rèn luyện, phát triển và
bồi dưỡng tư duy lôgic cho học sinh. Từ lý do đó, tơi đã quyết định chọn và nghiên cứu
đề tài "Rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh các lớp 4, 5 thông qua việc giải tốn có lời
văn".
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm rèn luyện, phát triển tư duy lôgic cho học sinh tiểu học thơng qua hoạt động
giải tốn có lời văn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu về tư duy, tư duy lôgic và đặc điểm tư duy của học sinh tiểu
học, tìm hiểu nội dung mạch giải tốn có lời văn trong chương trình tốn ở bậc Tiểu học.
4. Đối tượng nghiên cứu
Hoạt động giải tốn có lời văn ở học sinh các lớp 4, 5 và việc rèn tư duy lôgic đối
với học sinh các lớp 4, 5 thông qua hoạt động giải tốn có lời văn .
5. Phạm vi nghiên cứu
Mạch tốn có lời văn trong chương trình toán Tiểu học lớp 4, 5 và việc rèn luyện
tư duy lôgic cho học sinh các lớp 4, 5 thông qua hoạt động giải tốn có lời văn.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu
6


Phương pháp phân tích, tổng hợp
Phương pháp điều tra khảo sát
Phương pháp quan sát, thử nghiệm sư phạm
7. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và phần danh mục tài liệu tham khảo, phần nội

dung của đề tài có 03 chương cụ thể sau:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu.
Chương 2: Rèn luyện tư duy logic cho học sinh các lớp 4, 5 thơng qua việc gải
tốn có lời văn
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

7


B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Một số vấn đề về tư duy
1.1.1.1. Tư duy là gì?
Tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối
liên hệ và quan hệ bên trong, có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực
khách quan mà trước đó ta chưa biết.
1.1.1.2. Đặc điểm của tư duy
1.1.1.2.1. Tính có vấn đề
Khơng phải bất cứ tác động nào của hồn cảnh đều gây ra tư duy.Tư duy chỉ xảy ra
khi con người gặp những “tình huống có vấn đề” đó là những hồn cảnh, những tình
huống mà bằng vốn hiểu biết, bằng phương pháp hành động đã có, con người không thể
giải quyết được nhiệm vụ đề ra cho họ trong tình huống đó. Địi hỏi con người phải vượt
ra khỏi phạm vi của những hiểu biết và phương thức hành động cũ, đi tìm cái mới,phương
thức hành động mới và đạt được mục đích mới – nảy sinh tư duy.
Như vậy, yếu tố kích thích con người tư duy chính là tình huống có vấn đề. Muốn
vậy, con người phải nhận thức được tình huống có vấn đề, có nhu cầu giải quyết ấn đề và
phải có những tri thức cần thiết liên quan đến vấn đề.Vì vậy, cùng một hồn cảnh nhưng
nó có thể trở thành “vấn đề” đối với người này mà không trở thành vấn đề với người kia.
Trong dạy học muốn học sinh nhận thức tích cực, động não người giáo viên cần

đưa các em vào những tình huống có vấn đề liên quan tới nội dung bài giảng nhằm mục
đích lơi cuốn và làm nảy sinh nhu cầu giải quyết vấn đề ở các em.
1.1.1.2.2. Tính gián tiếp của tư duy
Tư duy của con người mang tính gián tiếp. Tư duy phản ánh thế giới một cách gián
tiếp bằng ngôn ngữ.Tư duy được biểu hiện trong ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc, các sự
kiện, các mối liên hệ và sự phụ thuộc đều được khái quát và diễn đạt trong các từ. Nhờ đó
mà con người có thể hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà khơng thể tri
giác chúng một cách trực tiếp được, làm mở rộng không giới hạn những khả năng nhận
thức của con người.
8


1.1.1.2.3. Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối liên hê, quan hệ
có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng. Nói cánh khác, tư duy mang tính trừu
tượng và khái qt.
1.1.1.2.4. Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Ngôn ngữ và tư duy có quan hệ mật thiết nhau, khơng thể tách rời. Ngôn ngữ được
xem là phương tiện cuả tư duy. Nhờ có ngơn ngữ mà con người nhận thức được tình
huống có vấn đề, phản ánh được cái bản chất, khái quát của vấn đề. Ngôn ngữ và tư duy
thực ra là hai mặt đối lập tồn tại ở trong cùng một thể thống nhất, ngơn ngữ là bộ phận
hình thức còn tư duy là bộ phận nội dung của thể thống nhất này. Tư duy không thể tồn
tại bên ngồi ngơn ngữ được, ngược lại ngơn ngữ cũng khơng thể tồn tại nếu khơng dựa
vào tư duy.
1.1.1.2.5. Tính chất lý tính của tư duy
Ở mức độ nhận thức của cảm tính, con người phản ánh trực tiếp các sự vật, hiện
tượng bằng các giác quan nên chỉ có được hình ảnh cảm tính về sự vật hiện tượng đó. Chỉ
có tư duy mới giúp con người phản ánh được bản chất của sự vật, hiện tượng, vượt qua
những giới hạn trực quan, cụ thể của nhận thức cảm tính. Nó mang tính chất lý tính.
Nhưng khơng có nghĩa là tư duy phản ánh đúng đắn, sâu sắc sự vật, hiện tượng – Điều đó

tùy thuộc vào chiến thuật và phương pháp tư duy.
1.1.1.2.6. Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tuy ở mức độ cao hơn hẳn nhận thức cảm tính nhưng tư duy khơng tách rời nhận
thức cảm tính. Mặc dù trong những điều kiện của khoa học hiện đại, việc nghiên cứu 1
hiện tượng hay q trình nào đó được bắt đầu từ những sự trừu tượng hóa cao nhất, từ
những giả thuyết tốn học,… nhưng cuối cùng nó vẫn phải được dựa trên tài liệu cảm
tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động. Nhận thức cảm tính là một khâu
của mối liên hệ trực tiếp giữa ý nghĩa, tư duy và hiện thực, là cơ sở của những khái quát
kinh nghiệm dưới dạng các khái niệm, quy luật. Ngược lại, tư duy và những kết quả của
nó cũng ảnh hưởng đến các q trình nhận thức cảm tính, ví dụ, đến tính lựa chọn, tính ý
nghĩa, tính ổn định của tri giác…

9


1.1.1.3. Các thao tác của tư duy
1.1.1.3.1. Thao tác phân tích
Phân tích là thao tác tư duy trong đó chủ thể của tư duy dùng trí não, tách đối
tượng thành những bộ phận, những dấu hiệu và những thuộc tính, những liên hệ và quan
hệ giữa chúng theo một hướng nhất định, nhằm mục đích nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc
hơn để nhận thức một cách trọn vẹn về đối tượng ấy.
Trong tốn học, phân tích là thao tác tư duy đi từ cái chưa biết đến cái đã biết, cần
tách bạch các bộ phận,thuộc tính của đối tượng để nhận thức. Từ đó, phát hiện mối liên hệ
giữa các thuộc tính, các dấu hiệu, tiến đến nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật,
hiện tượng.
Ví dụ: Để giải quyết bài toán “Tổng 2 số là 45. Số thứ nhất giảm đi 4 lần thì bằng số thứ
2. Tìm 2 số đó”.
Học sinh tiểu học cần thực hiện thao tác tư duy phân tích để tách bạch những yếu
tố đã biết, yếu tố cần tìm, nhận dạng bài tốn điển hình cần vận dụng.
Có thể nói phân tích ln ln là một việc làm có u cầu, diễn biến theo một

phương hướng nhất định nào đó. Sự phân tích bằng hoạt động thực tiễn, sự phân tích cảm
tính và sự phân tích trí tuệ được thực hiện và phát triển trong mối quan hệ tương hỗ với
nhau. Đối với học sinh tiểu học, sự phân tích bằng hành động thực tiễn và phân tích cảm
tính là chính, cịn sự phân tích trí tuệ mới chỉ dừng lại ở mức đơn giản.
Q trình phân tích phát triển từ phiến diện đến tồn diện được thực hiện thơng
qua hàng loạt các hình thức phân tích ngày càng phức tạp hơn. Phân tích thử, phân tích
từng phần, phân tích phức hợp và cuối cùng là phân tích có hệ thống.
1.1.1.3.2. Thao tác tổng hợp
Tổng hợp là một phương pháp tư duy trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc gộp
những thuộc tính, những thành phần của đối tượng tư duy thành một chỉnh thể, từ đó nhận
thức về đối tượng được bao quát hơn.
Thao tác tổng hợp thể hiện dưới nhiều hình thức và mức độ khác nhau. Đối với học
sinh tiểu học, các em chủ yếu tiến hành tổng hợp bằng hành động thực tiễn.
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết, bổ sung cho nhau trong quá trình
tư duy thống nhất. F.Ăng-ghen đã viết: “khơng có phân tích thì khơng có tổng hợp”. Phân
10


tích là cơ sở cho tổng hợp cịn tổng hợp chỉ diễn ra trên cơ sở phân tích.
Hoạt động tư duy phân tích – tổng hợp được thực hiện trong tất cả các khâu của
quá trình học tập của học sinh tiểu học. Song học sinh tiểu học thể hiện sự phân tích có
phần mạnh hơn và hồn thiện hơn tổng hợp.
Nhận thức của học sinh tiểu học bắt nguồn từ sự trực giác và sự nhận biết cái toàn
thể. Vì hiện thực cụ thể tồn tại trong các sự vật, hiện tượng nguyên vẹn. Những tri thức
tổng hợp ban đầu và sự tìm hiểu chỉ cung cấp tri thức tổng quát, một ấn tượng chung về
sự vật, hiện tượng. Dù sao sự tổng hợp ban đầu cũng xác định được phương hướng cho
hoạt động phân tích. Sự phân tích ban đầu xuất phát từ tri thức tổng hợp. Nó chỉ có ý
nghĩa trong mối tương quan với tổng hợp.
Như vậy, phân tích với tổng hợp là hai hoạt động có chức năng trái ngược nhau
nhưng khơng tách rời nhau trong một q trình tư duy thống nhất. Phân tích là cơ sở cho

tổng hợp còn tổng hợp được diễn ra dựa trên kết quả của phân tích I.P.Paplơp viết:
“Trong thực tế… trước khi phân tích thì đã có một hiện tượng thần kinh đặc biệt, một loại
hoạt động tổng hợp.”
Học sinh lĩnh hội bất cứ một khái niệm hay định luật nào trên cơ sở nghiên cứu,
phân tích những dấu hiệu của nhiều hiện tượng riêng lẻ, giống nhau từ đó tìm ra những
điểm chung của chúng và sau đó tổng hợp những dấu hiệu chung đã vạch ra.
Ví dụ: Khi học sinh thực hiện giải bài toán ở ví dụ trên, đầu tiên học sinh sử dụng thao tác
phân tích để phân tích đề bài:
+ Bài tốn cho biết điều gì?
+ u cầu của bài tốn là gì?
+ Số thứ nhất giảm đi 4 lần thì bằng số thứ 2, điều đó cho ta biết điều gì?
+ Bài toán trên thuộc dạng toán nào đã học?
Sau khi học sinh tiến hành phân tích bài tốn thì học sinh sẽ thực hiện thao tác tổng
hợp: Nêu lên quy trình, các bước giải bài toán trên:
+ Bước 1: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng (nếu số thứ 2 là 1 phần thì số thứ nhất là 4 phần
bằng nhau như thế).
+ Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau.
+ Bước 3: Tìm số thứ nhất (tương ứng với số lớn).
11


+ Bước 4: Tìm số thứ hai
1.1.1.3.3. Thao tác so sánh
So sánh là một thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các
sự vật và hiện tượng của hiện thực. Khi so sánh các sự vật, hiện tượng của hiện thực
khách quan bao giờ cũng diễn ra theo một góc độ nhất định, xuất phát từ một điểm nào
đó, nhằm giải quyết một vấn đề nào đó. Trong dạy học, so sánh ln nhằm đáp ứng mục
đích nhận thức. Cho nên, các sự vật có thể giống nhau theo mục đích này và khác nhau
theo mục đích khác.
Đối với học sinh tiểu học, thao tác tư duy so sánh của các em mang tính chất đối

chứng:
Các em so sánh sự khác nhau có kết quả tốt hơn sự giống nhau.
Sự hoàn thiện thao tác tư duy so sánh được đánh dấu bằng việc học sinh bắt đầu
nhận thức thấy sự khác nhau ngày càng xa hơn và ngày càng ít giống nhau giữa các đối
tượng.
Thao tác tư duy so sánh được tiến hành ở cả ba giai đoạn trong sự phát triển của tư
duy. Khởi đầu là tư duy trực quan - hành động, rồi đến tư duy trực quan - hình ảnh và tư
duy trừu tượng. Thao tác tư duy so sánh có liên quan chặt chẽ với thao tác phân tích –
tổng hợp và rất quan trọng ở giai đoạn đầu khi đứa trẻ nhận thức thế giới xung quanh.
Ví dụ: Khi dạy bài tính chất kết hợp của phép cộng, giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét
các biểu thức, cụ thể (5 + 4) + 6 và 5 + (6 + 4).
Dựa trên kết quả phân tích, tổng hợp, học sinh tiến hành so sánh các dấu hiệu của
hai biểu thức: các số hạng trong hai biểu thức đều là 4 ,5 , 6. Ở biểu thức (5 + 4) + 6 dấu
ngoặc được đặt ở hai số hạng đầu. Ở biểu thức 5 + (4 + 6) dấu ngoặc được đặt ở hai số
hạng cuối.
Thao tác so sánh là nhân tố thúc đẩy quá trình nhận thức của học sinh. Trong hoạt
động tư duy của học sinh, so sánh giữ vai trị tích cực quan trọng trong việc nhận thức bản
chất sự vật, hiện tượng để tìm ra sự khác biệt sâu sắc, sự giống nhau của các sự vật, hiện
tượng. Cũng như tư duy phân tích, tổng hợp, so sánh có thể ở mức độ đơn giản (tìm tịi,
thống kê, nhạn xét) cũng có thể thực hiện trong q trình biến đổi và phát triển. Có thể
tiến hành so sánh những yếu tố, dấu hiệu bên ngồi có thể trực tiếp quan sát được nhưng
12


cũng có thể tiến hành so sánh những dấu hiệu, quan hệ bên trong không thể hiện nhận
thức trực tiếp được mà phải bằng hoạt động tư duy.
1.1.1.3.4. Thao tác trừu tượng hóa
Trừu tượng hóa là thao tác trí tuệ, trong đó chủ thể dùng trí óc gạt bỏ những thuộc
tính, những bộ phận, những liên hệ, quan hệ thứ yếu khơng cần thiết về phương diện nào
đó và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tư duy, những thuộc tính bản chất của đối

tượng đó.
Trừu tượng hóa có 2 mặt:
Thứ nhất là trừu tượng hóa tích cực: là tách những dấu hiệu bản chất ra khỏi những
dấu hiệu khác và nghiên cứu chúng.
Thứ hai là trừu tượng hóa tiêu cực: là loại trừ những dấu hiệu riêng lẻ, khơng bản
chất.
1.1.1.3.5. Thao tác khái qt hóa
Khái qt hóa là thao tác tư duy, trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc để bao qt
một số thuộc tính chung và một số bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của
nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm hoặc thành nhiều loại… kết quả của khái qt
hóa cho nhận thức về đặc tính chung của hàng loạt sự vật hiện tượng cùng loại.
Trừu tượng hóa và khái quát hóa là hai thao tác tư duy cơ bản đặc trưng cho tư duy
con người.Hai thao tác này có quan hệ mật thiết với nhau, chi phối và bổ sung cho nhau.
Trừu tượng hóa ở mức độ cao, lược bỏ những yếu tố riêng lẻ của sự vật, hiện tượng đạt
được sự khái quát hóa. Khái quát hóa chỉ thực hiện được trên cơ sở trừu tượng hóa .
Ví dụ: Khi dạy bài “Tính chất giao hốn của phép nhân”. Sau khi phân tích, so sánh 2
biểu thức : 7 x 5 = 35 và 5 x 7 = 35, học sinh tiến hành loại bỏ những dấu hiệu chung: Các
thừa số đều là số tự nhiên, cũng như các thừa số, tích cụ thể, mà giữ lại dấu hiệu bản chất:
“Có giá trị bằng nhau (bằng 35), các thừa số trong hai tích đều giống nhau” từ đây học
sinh khái qt thành tính chất giao hốn.
Có thể nói, các thao tác tư duy khơng tồn tại biệt lập mà có tác động tương hỗ lẫn
nhau. Trong quá trình tư duy các thao tác tư duy có mối quan hệ mật thiết đan chéo vào
nhau, xen kẽ và bổ sung cho nhau chứ khơng tn theo trình tự máy móc riêng rẽ. Nhờ
phân tích mà chủ thể tư duy mới có thể phát hiện được các dấu hiệu, thuộc tính của các sự
13


vật, hiện tượng. Dựa trên kết quả phân tích, tư duy tiến hành so sánh nhằm tìm ra những
dấu hiệu, thuộc tính giống và khác nhau.Trên cơ sở những thuộc tính giống nhau đó, chủ
thể loại bỏ những dấu hiệu, thuộc tính khơng cần thiết mà giữ lại những cái bản chất làm

cơ sở cho việc khái quát ở giai đoạn tiếp theo. Chính vì vậy, trong q trình dạy học, giáo
viên phải biết tạo ra các tình huống có vấn đề nhằm lơi cuốn, kích thích tư duy của các
em, từ đó hướng dẫn học sinh tiến hành các thao tác để giải quyết nhiệm vụ học tập, để
chiếm lĩnh tri thức mới.
1.1.2. Tư duy logic
1.1.2.1. Tư duy logic là gì?
Tư duy lơgic cịn được các nhà nghiên cứu giáo dục gọi với các tên khác là tư duy
trừu tượng, tư duy lý luận hay là tư duy lý thuyết. Tư duy trừu tượng phản ánh những quy
luật, những mối liên hệ bản chất mà nhận thức cảm tính cũng như các loại tư duy khác
không phản ánh được. Trình độ tư duy trừu tượng càng cao thì con người càng có thêm
năng lực thâm nhập vào bản chất của các sự vật, hiện tượng. Nếu một con người có năng
lực tư duy tốt, người đó sẽ xử lý các vấn đề nói chung và các vấn đề tốn học nói riêng rất
hiệu quả.
Tư duy lơgic là loại tư duy phát triển ở mức độ cao nhất, chỉ có ở con người. Đó là
loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm; các mối quan hệ lơgic, gắn
bó chặt chẽ với nhau và lấy ngôn ngữ làm phương tiện.
1.1.2.2. Vấn đề rèn tư duy logic
1.1.2.2.1. Rèn luyện tư duy logic là gì?
Theo R.S.Nickerson: “Dạy học sinh là làm cho họ có kĩ năng tư duy hiệu quả hơn,
có ý thức phê phán, logic sáng tạo và sâu sắc hơn. Nói cách khác, dạy cho người học có
kiến thức để tư duy tốt.”
Cịn M.Alec-xe-ep cho rằng: “việc bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh và hình
thành những kĩ năng và kĩ xảo suy luận hợp logic là nhất quán ”. Theo ông “trước khi đến
trường các em không biết cách suy luận đúng đắn, làm thế nào để bác bỏ những ý kiến sai
lạc, chưa biết khái quát hóa, trừu tượng hóa…khi đi học các em phải nắm được toàn bộ
những vấn đề ấy”.
1.1.2.2.2. Tầm quan trọng của việc rèn luyện tư duy cho học sinh tiểu học
14

Tư duy chỉ nảy sinh trên cơ sở hoạt động thực tiễn trong môi trường cụ thể, yếu tố
chi phối mạnh mẽ sự nảy sinh, hình thành và phát triển của tư duy con người đó là các tác
động xã hội. Như vậy, muốn có một xã hội với những cơng dân tư duy tốt, khơng phải tự
nhiên mà có mà cần tạo ra được mơi trường xã hội có lợi thế cho sự phát triển của tư duy
– tức là phải rèn luyện, mặt khác, tư duy là giai đoạn cao của hoạt động nhận thức, để
hoàn thành tư duy phải có q trình rèn luyện với các mức độ và cấp độ khác nhau
Theo M.Alec-xe-ep thì việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh cho vai trò hết sức
quan trọng, được thể hiện ở các điểm:
Thứ nhất. bằng việc phát triển tư duy logic của học sinh trước hết giáo viên thực
hiện được nhiệm vụ của mình là đào tạo được con người phát triển toàn diện.
Thứ hai, tư duy logic phát triển có lợi về mặt nhận thức so với một tư duy kém
phát triển. Nó dẫn đến những hậu quả nhận thức quan trọng hơn đạt được kết quả đó bằng
con đường ngắn nhất và mất ít sức lực nhất, trong q trình nhận thức ít sai sót thực tế
hơn.
Thứ ba, tư duy của học sinh càng được phát triển bao nhiêu thì kết quả hoạt động
của các em càng mang lại hiểu biết bấy nhiêu, vì tư duy đi kèm với hoạt động và nó đóng
vai trị trong hoạt động như là kim chỉ nam độc đáo giúp học sinh lựa chọn những phương
thức hợp lý nhất nhằm đạt đến mục đích và kiểm tra cả những kết quả hoạt động đã đạt
được. Một học sinh biết tư duy tốt có hoạt động tốt trong mọi trường hợp khác tương tự
như vậy. Tính logic trong tư duy của các em đã tạo ra tính logic trong hành động của các
em. Ngược lại, một học sinh không biết suy nghĩ sẽ không thể nào hành động tốt được.
Thứ tư, tư duy lúc nào cũng gắn bó với ngơn ngữ và được thực hiện trong ngơn
ngữ cho nên tư duy khơng phát triển thì ngơn ngữ cũng không phát triển được. Ngôn ngữ
của học sinh mạch lạc, có kết cấu chặt chẽ, trước hết đó là do tư duy của các em mạch lạc,
có kết cấu chặt chẽ của logic học.Vì vậy, nếu các em học sinh tư duy tốt, đúng đắn, các
em có triển vọng nắm vững ngôn ngữ trong sáng và xuất sắc về mặt tu từ.
Còn theo tác giả R.S.Nickerson, bốn lý do dưới đây giúp chúng ta hiểu thêm một
cách lý giải sự cần thiết rèn luyện tư duy cho học sinh trong dạy học nói chung:
Thứ nhất, học sinh phải được trang bị đủ kiến thức để thi đua giành các cơ hội
trong học tập, việc làm, được thừa nhận và trọng đãi trong thế giới ngày nay. Nói đúng

15


hơn là người học sẽ có điều kiện tốt hơn để thành cơng (đây là một lý do có tính thực
dụng đòi hỏi việc dạy tư duy và rèn kĩ năng tư duy phải được thực hiện tốt hơn).
Thứ hai, học sinh được rèn luyện tư duy tốt sẽ là điều kiện tiên quyết giúp họ trở
thành công dân tốt, khả năng tư duy phê phán của công dân giúp tạo nên những quyết
định thông minh đối với các vấn đề xã hội.Việc dân chủ bàn bạc giải quyết mọi vấn đề xã
hội yêu cầu mỗi thành viên có trách nhiệm và có ý thức suy nghĩ sâu sắc để tìm ra giải
pháp thích hợp.
Thứ ba, nhờ có tư duy tốt người ta ln điều chỉnh để có trạng thái tâm lý tốt, tâm
lý tốt giúp người ta có thái độ tích cực đối với cuộc sống, nhiệt tình, thiện cảm với mọi
người.
Thứ tư, chúng ta đều mong muốn học sinh trở thành những người có đầu óc tư duy
tốt vì lý do tồn tại. Cuộc sống ln đối mặt với quá nhiều vấn đề phức tạp, thách thức khả
năng của chúng ta. Trở ngại chủ yếu làm hạn chế sự tiến bộ chính là thái độ phi lí của con
người. Con người có đủ thơng minh để tồn tại và đủ thơng minh để tự hủy diệt. Vì thế cần
có tư duy tốt, tức là có một bộ óc thông minh, tỉnh táo để phục vụ cá nhân, cộng đồng và
thế giới.
Tóm lại, trong dạy học nói chung và dạy học Tốn nói riêng, việc trang bị kiến
thức, kĩ năng cho học sinh xét đến cùng cũng nhằm mục đích phát triển tư duy, đặc biệt là
tư duy logic. Nội dung dạy học, phương pháp dạy học và quá trình phát triển trí tuệ cho
học sinh có mối quan hệ biện chứng, tuân theo các quy luật nhất định. Vì vậy chúng ta
cần phải rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, phương pháp suy nghĩ, phương pháp
suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề đó...
1.1.2.3. Nguyên tắc tư duy logic
1.1.2.3.1. Tập trung suy nghĩ vào mục đích
Khi suy nghĩ về một vấn đề cần phải xác định mục đích của vấn đề ấy và tập trung
suy nghĩ vào mục đích ấy. Từ đó dùng những thao tác tư duy để vạch ra một đường lối đi
tới kết luận hay vạch ra một chương trình thực hiện để chứng minh định lý đó.

Khi giải một bài tốn cần phải tập trung suy nghĩ vào yêu cầu của bài toán, rồi huy
động kiến thức, vận dụng các giả thiết đã cho trong bài toán để giải được bài tốn.
1.1.2.3.2. Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời cho câu hỏi
16


Khi cần tìm hiểu về một vấn đề hoặc giải một bài toán ta nên đặt ra những câu hỏi
liên tiếp và suy nghĩ tìm câu trả lời cho đúng, chẳng hạn:
+ Bài tốn cho biết gì?
+ u cầu của bài tốn là gì?
+ Để đạt được u cầu ấy cần có hoặc cần biết những gì?
Những điều cần có và cần biết ấy đã có chưa hay có thể suy nghĩ ra từ đâu?
Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời cho câu hỏi là một nguyên tắc của tư duy nhưng
cũng là một phương pháp rèn luyện và phát triển tư duy.
Quá trình tư duy để tìm hiểu một vấn đề hoặc giải quyết một bài toán được thể hiện
ở những câu hỏi đặt ra liên tiếp và ở việc huy động kiến thức và kinh nghiệm để trả lời
những câu hỏi ấy.
1.1.2.3.3. Đánh giá khả năng của phương án giải quyết
Để giải quyết một vấn đề đặt ra (có thể là một bài tốn, một định lý cần chứng
minh hay một điều dự đoán cần được khẳng định), ta có thể có nhiều phương án. Cần suy
xét thấu đáo để đánh giá được phương án nào có nhiều khả năng, phương án nào sát với
đích hơn. Muốn làm được điều đó cần có kiến thức vững vàng, cần có kinh nghiệm qua
rèn luyện nhiều và thường xuyên, cần có kĩ năng vận dụng các thao tác tư duy.
Ví dụ: Khi học sinh giải một bài tốn có nhiều cách giải. Nhờ có kinh nghiệm và kiến
thức, học sinh tìm ra lời giải bằng nhiều cách khác nhau. Sau đó học sinh biết nhận xét,
đánh giá xem cách giải nào ngắn gọn nhất, phù hợp nhất và lựa chọn trình bày.
1.1.2.3.4. Phải biết thăm dị
Đối với những bài toán tổng quát phải biết cách thử những trường hợp riêng từ đó
hi vọng rút ra được điều gì chung. Đối với vấn đề có thể đề ra nhiều phương án giải quyết
nếu chưa khẳng định được phương án nào có nhiều triển vọng thì cần biết cách thăm dị

để phát hiện được những khả năng hiện thực hoặc trở ngại không thể vượt qua. Trong
những trường hợp vấn đề có liên quan đến nhiều kiến thức, phải biết thăm dị vùng kiến
thức gần nhất với mục đích của vấn đề, phải thử vận dụng kiến thức này hay kiến thức
khác. Đối với những bài có nhiều giả thiết, cần thử để có thể sử dụng giả thiết nào trước,
giả thiết nào sau.
1.1.2.3.5. Phải biết nghi ngờ
17


Khi các phương án đề ra chưa thể hiện triển vọng rõ ràng hoặc đã suy nghĩ nhiều
mà chưa có phương án thì có thể nghi ngờ lật ngược vấn đề và suy nghĩ về bài toán lật
ngược ấy. Rất có thể ta sẽ phát hiện được những điều vơ lý của bài toán lật ngược và
nhiều khi nhờ phát hiện ấy mà tìm được những thiếu sót trong cách tư duy ban đầu. Do đó
có thể tìm được những phương án giải quyết bài toán đã đặt ra.
1.1.2.3.6. Phải kiên trì mềm dẻo
Khi đã có một phương án giải quyết mà ta cho là hợp lý thì ta cần kiên trì theo đuổi
và mỗi khi gặp trở ngại ngăn cản bước tiến ta cần suy nghĩ để tìm ra thiếu sót, nhược
điểm để hồn thiện dần dần phương án ấy.
Ở trường hợp phương án gặp trở ngại mà không thể khắc phục ta cần mềm dẻo, có
thể tạm bỏ qua phương án ấy hoặc gạt bỏ hoàn toàn để tìm một phương án khác, thậm chí
có thể tạm gác bài toán ấy trong một thời gian để tránh đường mòn tư duy cũ.
1.1.2.3.7. Những quy tắc ưu tiên khi tư duy về một vấn đề theo Polya đúc kết như
sau:
Cái dễ đi trước cái khó. Khâu nào dễ của vấn đề ta giải quyết trước, kiến thức nào
dễ vận dụng ta dùng trước. Rất có thể từ chỗ giải quyết xong những khâu dễ ta lại có được
những gợi ý đẻ giải quyết những khâu khó hơn.
Cái tồn bộ đi trước cái bộ phận. Khi nghiên cứu cách giải quyết một vấn đề, ta
cần nghiên cứu nó một cách tổng thể trước, không để những chi tiết làm ta phân tán sự tập
trung vào mục đích của vấn đề. Sau khi đã thấu hiểu vấn đề, ta sẽ suy nghĩ về các chi tiết
để sắp đặt một trình tự nghiên cứu của chúng, tìm hiểu vai trị của mỗi chi tiết đối với vấn

đề đặt ra.
Người giáo viên phải ln ln quan tâm, rèn luyện cho học sinh có thói quen tư
duy theo những nguyên tắc và quy tắc nêu trên.
1.1.2.4. Một vài nguyên tắc của việc phát triển tư duy logic
1.1.2.4.1. Hiểu thấu và nắm vững kiến thức
Thứ nhất, hiểu thấu và nắm vững kiến thức là nền tảng của tư duy trong việc giải
tốn.
Ví dụ: Khi học sinh học dạng tốn “tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số đó”. Nếu như
học sinh chưa nắm được khái niệm “tỉ số của 2 số” thì học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn,
18


trở ngại trong q trình giải tốn, học sinh khơng hiểu được và không nắm được bản chất
của vấn đề.
Thứ hai, hiểu thấu và nắm vững kiến thức đã học là cơ sở của việc tiếp nhận tri
thức mới và để phát triển tư duy.
Ví dụ: Khi tham gia giải tốn, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tóm tắt đề tốn từ bằng
lời rồi đến dùng sơ đồ, hình vẽ mơ tả, tóm tắt, giúp tư duy của học sinh phát triển hơn,
mức độ trừu tượng hóa, khái quát hóa của tư duy thêm phát triển.
Hoặc học sinh được làm quen với việc giải toán từ những bài toán đơn, đơn giản
dần đến giải những bài toán phức hợp có nhiều bước giải, những bài tốn điển hình, mở
rộng hơn là những bài tốn suy luận logic. Do đó, sẽ thúc đẩy quá trình hình thành và phát
triển các năng lực tư duy logic, trí tượng tượng, khả năng diễn đạt (bằng ngơn ngữ nói và
viết) của học sinh.
Chính vì lẽ đó mà người thầy cần ln trau dồi nghiệp vụ, thường xuyên đổi mới
phương pháp dạy học để học sinh tiếp nhận kiến thức mới một cách dễ dàng, nhanh chóng
và khắc sâu được kiến thức ấy.
1.1.2.4.2. Phát triển tư duy dựa trên sự thực hành vận dụng kiến thức thường xuyên
Muốn hiểu thấu và nắm vững kiến thức cần phải thực hành vận dụng kiến thức
thường xuyên. Nếu làm nhiều bài tập thì kiến thức thường xuyên được huy động, do đó

được củng cố ngày càng vững chắc; đồng thời luyện tập giải bài tập là cơ hội để học sinh
tập luyện tư duy, tạo dựng được kĩ năng tư duy và vì thế tư duy ngày càng được phát
triển.
Nếu giáo viên yêu nghề, dày công nghiên cứu, chọn lọc được một hệ thống bài tập
đa dạng, đào sâu được mọi khía cạnh của kiến thức để cho học sinh thực hành thì những
bài tập ấy địi hỏi học sinh phải rèn luyện một phong cách suy nghĩ sâu sắc hơn. Hệ thống
những bài tập ấy cũng đòi hỏi học sinh phải luyện tập, huy động kiến thức đã học một
cách triệt để và nhờ đó học sinh sẽ dần dần hình thành được kĩ năng huy động kiến thức.
Một học sinh khơng có q trình luyện tập giải nhiều bài tập, không biết cách huy
động kiến thức khi giải bài toán sẽ mất nhiều thời gian đắn đo để xác định phương hướng,
thậm chí cịn khơng xác định được bài toán ấy nằm ở vùng kiến thức nào. Do đó, dù rằng
học sinh ấy học thuộc mọi kiến thức đã học thì mọi suy nghĩ vẫn còn tản mạn, vẫn còn
19


mất nhiều thời gian mới tìm được cách giải hoặc rơi vào tình trạng mơng lung giữa một
mớ bịng bong mà khơng tìm được cách giải.
Trái lại, một học sinh được rèn luyện qua thực hành một cách có hệ thống, có kĩ
năng huy động kiến thức thì có thể nhanh chóng hiểu rõ bài tốn hơn, nhanh chóng
khoanh vùng kiến thức cần thiết. Do đó học sinh này có nhiều triển vọng giải được bài
toán và thời gian đi tới kết quả chắc chắn ngắn hơn nhiều so với học sinh thứ nhất.
Ví dụ: Với cùng một bài tốn. Với học sinh hiểu được các kiến thức nhưng ít được vận
dụng thực hành luyện tập thì quá trình giải toán đi tới kết quả sẽ diễn ra chậm hơn, ngoài
theo những quy tắc chung, những bước làm đã được học thuộc lịng thì học sinh chưa có
sự nhanh nhạy, linh hoạt, sáng tạo tìm ra những hướng giải mới.
Với học sinh có q trình rèn luyện qua thực hành, ngoài những điều học sinh kia
nghĩ đến,đối tượng học sinh này cịn có những hướng suy nghĩ mới, linh hoạt tìm ra
những cách giải khác nhau cho bài tốn.
1.1.2.4.3. Tích lũy kinh nghiệm để phát triển tư duy
Mỗi thao tác của tư duy đều phải do rèn luyện, học tập mà có. Mỗi thao tác ấy

cũng cần phải được củng cố thường xuyên. Tuy nhiên nếu chỉ củng cố mà thiếu ý thức,
khơng biết cách tích lũy kinh nghiệm thì thời gian dùng để củng cố những thao tác ấy sẽ
tốn kém và sự vận dụng các thao tác ấy sẽ chậm chạp, thiếu linh hoạt.
Giải một bài toán theo một cách khác đó chính là để rút ra những kinh nghiệm về
việc vận dụng các thao tác tư duy và cũng là để hoàn thiện phương pháp tư duy. Sau mỗi
bài tốn khó hoặc một bài tốn hay nên dành thời gian để học sinh nhìn lại cách giải. Mỗi
lần xem xét lại cách giải là cơ hội tốt giúp học sinh nhìn lại cách giải, nhận biết những
cách giải tốt, phê phán những chỗ vụng về, rườm rà, tìm cách cải tiến phương pháp giải,
ghi nhớ những cách giải hay, sắp xếp lại các khâu trong quá trình tư duy sao cho bước
đường đi tới đích ngắn hơn, là có cơ hội giúp ta mài dũa kĩ năng tư duy sắc bén hơn, tinh
tế hơn. Và nhờ đó khả năng tư duy của ta được phát triển. Ngược lại, người có tư duy sâu
sắc ln ln coi trọng sự tích lũy kinh nghiệm để ngày càng nâng cao khả năng tư duy
của mình.
Vì lẽ đó người thầy cần ln ln khích lệ học sinh tích lũy kinh nghiệm và giúp
học sinh phương pháp tích lũy kinh nghiệm. Sự khích lệ này khơng phải chỉ bằng lời nói
20


động viên mà nó cịn được thể hiện ở việc thiết kế bài giảng của mình sao cho trong đó có
nhiều cơ hội để học sinh xem xét lại các kiến thức đã học, các bài tập đã giải xong. Cần
rèn luyện cho học sinh độc lập suy nghĩ, tự đặt câu hỏi và tự tìm cách giải đáp đúng. Hơn
nữa, sự khích lệ này cịn hàm chứa ngay trong hệ thống các bài tập được chọn lọc khéo
léo, gây nhiều hứng thú cho học sinh tập luyện dần dần từng bước tạo thành một thói
quen tích lũy kinh nghiệm.
1.1.2.4.4. Huy động các kiến thức và kinh nghiệm - Tổ chức vận dụng kiến thức và
kinh nghiệm vào việc phát triển tư duy.
Đã thấu hiểu và nắm vững kiến thức, lại thường xuyên vận dụng chúng, đó là
những cơ sở vật chất cho sự phát triển của tư duy. Qúa trình tích lũy kinh nghiệm là cơ
hội để phát triển tư duy, bản thân những kinh nghiệm tích lũy được lại là một trong những
công cụ để phát triển tư duy. Nhưng có vật liệu và cơng cụ mà khơng huy động và tổ chức

được chúng lại để vận dụng chúng thì việc tích lũy kiến thức và kinh nghiệm chưa mang
lại được hiệu quả. Kiến thức đã học được có thể rất nhiều, chúng ở trong trí nhớ của ta và
kinh nghiệm đúc kết được có thể cũng lắm. Nhưng khi phải tìm hiểu, học hỏi một điều
mới mẻ hoặc phải giải một bài tập, cần phải biết huy động những kiến thức và những kinh
nghiệm thích hợp. Muốn huy động được kiến thức ta phải biết hồi tưởng lại những kiến
thức liên quan hay cách giải một bài tập tương tự. Nếu ta đã có một q trình học tập với
phong cách thường xuyên rút kinh nghiệm thì quá trình huy động kiến thức càng mau lẹ
và những kiến thức được huy động là những kiến thức thực sự cần thiết.
Theo Polya, muốn huy động và tổ chức vận dụng được kiến thức vận dụng được
kiến thức và kinh nghiệm phải biết cách:
Khoanh vùng kiến thức tương ứng với điều mới mẻ hay bài tập đang quan tâm.
Nhận biết được điều mới mẻ ấy liên quan đến những khái niệm, tính chất hay định
lý nào, bài tốn ấy thuộc dạng nào hoặc có liên quan đến một dạng bài tập nào đã biết.
Hồi tưởng lại những khái niệm, tính chất, định lý hay những dạng bài tập tương tự
và phương pháp giải chúng.
Sau khi đã hồi tưởng lại những khái niệm, tính chất, định lý hay những dạng bài
tập tương tự và cách giải chúng nhiều khi ta cần:
Bổ sung thêm một vài yếu tố nào đó để hiểu rõ hơn con đường đi tới điều mới mẻ
21


hoặc hiểu rõ hơn q trình giải bài tốn.
Đối với những vấn đề hoặc những bài tốn phức tạp có thể có những chi tiết mà ta
có thể nghĩ rằng đó là điểm mấu chốt, ta có thể:
+ Cách ly tạm thời yếu tố đó để tập trung nghiên cứu nó, rồi sau đó lại liên kết nó
lại với tồn bộ bài tốn
Ví dụ: giải bài tốn: “Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 120m, chiều dài gấp 2 lần
chiều rộng. Tính diện tích thửa ruộng đó.”
Ở bài này:
+ Khoanh vùng: Diện tích thửa ruộng (diện tích hình chữ nhật)

+ Nhận biết: Muốn tính được diện tích thửa ruộng ta phải tính được chiều dài,
chiều rộng. Để tìm được chiều dài, chiều rộng, ta nhận thấy bài tốn thuộc dạng tốn “tìm
2 số khi biết tỏng và tỉ số của 2 số” đã được học.
Ở bài toán này, tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là yếu tố tường minh, còn tổng
giữa chiều dài và chiều rộng là yếu tố khơng tường minh, do đó:
+ Cách ly: chu vi thửa ruộng là 120
+ Hồi tưởng: đã tìm nửa chu vi để từ đó suy ra được tổng của chiều dài và chiều
rộng.
+ Liên kết: tìm ra hướng giải của bài toán
Trên đây là một vài nguyên tắc của tư duy, của việc phát triển tư duy logic. Đó
cũng là một trong những cơ sở để giúp giáo viên căn cứ vào đó lựa chọn những nội dung,
phương pháp,cách thức trong dạy học (đặc biệt là trong hoạt động dạy học giải tốn có lời
văn cho học sinh lớp 4,5), để có thể tạo điều kiện tốt nhất nhằm phát triển tư duy logic
cho học sinh.
1.1.3. Đặc điểm về tư duy logic của học sinh Tiểu học.
1.1.3.1. Các giai đoạn phát triển tư duy logic của học sinh Tiểu học.
Nhìn chung ở học sinh tiểu học, nhất là học sinh ở các lớp dưới (lớp 1,2,3), hệ
thống tín hiệu thứ nhất cịn chiếm ưu thế so với hệ thống tín hiệu thứ hai.
Trong giai đoạn 4,5 tuổi (trước tuổi đến trường), ở trẻ đã hình thành các thao tác
logic tổng quát nhất của tư duy. Ở trẻ dần hình thành cơng cụ nhận thức mới: Từ tư duy
với hành động trực tiếp (ở bên ngoài), chuyển thành tư duy bên trong (trí óc), thành hành
22


động nội hiện nhờ chức năng kí hiệu (tức khả năng diễn đạt, biểu thị các đồ vật,sự kiện tri
giác được bên ngồi bằng những kí hiệu, hình ảnh thay thế và gợi lại băng biểu tượng
những cái khơng cịn ở trước mắt). Các hành động nội hiện lúc đầu còn rời rạc dần dần
được kết hợp thành hệ thống, được thực hiện theo hai chiều thuận nghịch. Đó chính là các
thao tác logic tổng quát nhất của tư duy
Giai đoạn (tư duy cụ thể), từ 6 đến 11 tuổi, đây là giai đoạn mới phát triển của tư

duy. Ở lứa tuổi này, nhận thức đã có nhiều tiến bộ so với lứa tuổi trước nhưng vẫn còn
những hạn chế. Các thao tác tư duy trong giai đoạn này còn dựa trực tiếp vào các đồ vật,
hiện tượng thực tại, chưa tác động tốt trên lời nói và các giả thiết bằng lời. Trong một
chừng mực nào đó, hành động trên các đồ vật, sự kiện bên ngồi cịn là chỗ dựa hay điểm
xuất phát cho các hành động trong óc.Sự tiến bộ thể hiện ở trong các thao tác tư duy đã
liên kết với nhau thành tổng thể nhưng sự liên kết đó chưa hồn tồn tổng qt, mặc dù
vậy, bước đầu chúng ta đã gắn bó với nhau bằng tính thuận nghịch. Tuy nhiên, hạn chế
của tư duy ở giai đoạn này là việc tổ hợp các thao tác mới được thực hiện dần dà, nối từng
bộ phận mà chưa hình dung được cùng một lúc tồn bộ các tổ hợp có thể có, vì vậy yếu tố
mị mẫm, thử sao cịn có vai trị quan trọng trong nhận thức.
Về cuối giai đoạn này (khoảng 10-11 tuổi), các em đã đạt được những tiến bộ về cả
lĩnh vực nhận thức khơng gian. Nói cách khác, các em đã nhận thức được các quan hệ
giữa các đối tượng với nhau ngoài các quan hệ trong nội bộ một đối tượng như ở giai
đoạn đầu. Có thể coi, đây là giai đoạn đầu của tư duy hình thức, một bước tiến mới của tư
duy. Bước đầu có thể tách khỏi cái cụ thể và đạt thực tế trong một số trường hợp đơn
giản. Tập hợp các biến đổi (đơn giản) theo logic hình thức có khả năng xảy ra. Nó khơng
cịn bị ràng buộc q chặt chẽ vào hình ảnh hiện thực mà có thể thao tác với các mệnh đề
bằng lời nói và với các giả thiết, các yếu tố tiền logic hình thành.
1.1.3.2. Đặc điểm tư duy của học sinh tiểu học
Tư duy của học sinh tiểu học còn đang trong giai đoạn phát triển mới nên tư duy cụ
thể cịn chiếm ưu thế. Vì trong chừng mực nhất định chúng còn dựa trực tiếp trên đồ vật,
hiện tượng thực tại mà chưa tác động được trên lời nói và cả giả thiết bằng lời, hành động
với các đồ vật, sự kiện bên ngồi cịn là chỗ dựa hay là điểm xuất phát cho hành động trí
óc.
23


1.1.3.2.1. Đặc điểm của sự phát triển phân tích và tổng hợp
Ở học sinh tiểu học, thao tác phân tích tổng hợp phát triển khơng đồng đều. Phân tích đơi
khi cịn rời rạc phiến diện khơng đi kèm với tổng hợp. Dần dần phân tích và tổng hợp có

gắn bó như cả dấu hiệu bản chất và không bản chất trong q trình giải tốn có lời văn.
Ví dụ: khi giới thiệu với học sinh dạng tốn: “tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó”, Học sinh khó loại trừ được những dấu hiệu khơng bản chất như khi vẽ sơ đồ đoạn
thẳng số lớn, số bé, số nào đặt trên, số nào đặt dưới, phần hiệu biểu diễn như thế nào?
Phần cần tìm biểu diễn như thế nào cho phù hợp …đó với tư cách là những dấu hiệu rời
rạc. Cũng chính vì vậy, tổng hợp nhiều khi không đúng, học sinh thường mắc sai lầm khi
trình bày cách giải bài tốn.
Các em thường phân tích dưới dạng phân tích để sàng lọc, loại bỏ những dấu hiệu
hay trường hợp không thuộc lĩnh vực xem xét. Cịn phân tích thơng qua tổng hợp khi
phân tích và tổng hợp được gắn với nhau trong một quá trình, liên hệ và tác động lẫn nhau
thì tương đối khó với các em.
1.1.3.2.2. Đặc điểm của sự phát triển trừu tượng hóa và khái quát hóa
Có 2 dạng trừu tượng hóa: Sự trừu tượng hóa từ các đồ vật, hiện tượng cảm tính và
sự trừu tượng hóa từ các hành động, thao tác thực hiện đối với các đồ vật, hiện tượng đó.
Khi thực hiên trừu tượng hóa thường nhằm:
Một là, rút được cái dấu hiệu bản chất ra khỏi các dấu hiệu khác không cần quan tâm.
Hai là, loại bỏ được những dấu hiệu không bản chất để làm bộc lộ dấu hiệu quan tâm.
Hai mặt này có quan hệ chặt chẽ với nhau.Khi hình thành khái niệm thì mặt (1) nổi
lên hàng đầu nhưng khi giải tốn thì mặt (2) chiếm ưu thế. Trừu tượng hóa theo cách (2)
thường khó hơn so với học sinh tiểu học.
Khi so sánh, các em dễ thấy sự khác nhau mà khó thấy sự giống nhau. Do đó cũng
khó khái quát, hay dựa vào các dấu hiệu bề ngoài nên dẫn đến sai lầm trong khái quát.
Với học sinh tiểu học cần lưu ý, khi dạy một khái niệm toán học nếu dấu hiệu khơng bản
chất nào đó được diễn tả nhiều lần (nhất là dưới dạng trực quan) thì sẽ dễ làm cho học
sinh coi là dấu hiệu bản chất. (Ví dụ như, trong hình tam giác đường cao ln là đường vẽ
thẳng đứng, cạnh đáy hình tam giác ln được vẽ nằm ngang, khi gặp hình vẽ tam giác có
cạnh đáy hình xiên, học sinh vẫn vẽ đường cao là đường thẳng đứng; dó đó sẽ dẫn đến
24

việc nhận thức sai và khái quát hóa sai).
1.1.3.2.3. Đặc điểm của sự phát triển phán đoán, suy luận và của tư duy logic ở học
sinh tiểu học.
Hoạt động trí tuệ được thể hiện ở 3 mặt:
Thứ nhất, có những thắc mắc (câu hỏi) trước một vấn đề (tình huống)
Thứ hai, tìm ra giải pháp cho tình huống
Thứ ba, kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp đó
Nhưng tư duy logic cuả học sinh chỉ được thể hiện thông qua việc phát triển khả
năng trình bày, diễn đạt và suy luận. Việc phát triển trí tuệ học sinh, ngay từ bậc tiểu học
phải nhằm vào cả ba mặt nói trên thơng qua việc rèn luyện kĩ năng trình bày, diễn đạt và
lập luận logic. Trong dạy học Toán ở Tiểu học,việc giáo viên đặt câu hỏi lật lại vấn đề đã
được giải quyết hoặc yêu cầu học sinh giải thích ý nghĩa các bước tính đã trình bày hoặc
kiểm tra lại để phát hiện các sai lầm có thể có trong cách giải tốn, đó cũng chính là biện
pháp kích thích hoạt động nhận thức của học sinh trên cơ sở vận dụng đặc điểm này.
Học sinh tiểu học thường phán đốn theo cảm nghĩ riêng, kinh nghiệm riêng của
mình nên suy luận thường mang tính chất tuyệt đối (một chiều), ít khi thể hiện sự tương
đối, do trường chú ý hạn hẹp, nhất là thiếu khả năng tổng hợp nên các em khó nhận thức
đầy đủ về các quan hệ tốn học trong các tình huống thực tiễn (dưới dạng bài tốn có lời
văn)
Đến cuối lứa tuổi tiểu học, các khó khăn trên bình diện hành động và tri giác có thể
vượt qua nhưng chúng cịn tồn tại trên bình diện lời nói (các em khó diễn tả tình huống
bằng lời). Trong học toán, học sinh tiểu học rất khó nhận thức về quan hệ kéo theo (quan
hệ nhân quả trong suy diễn). Vì vậy trong nhiều trường hợp, trong suy luận, quan hệ kéo
theo giữa giả thuyết và kết luận được học sinh dùng từ “và” để nối giả thiết và kết luận.
Chẳng hạn, các em thường hiểu và nói “35=7x5 và
“35=7x5 nên (suy ra)

35
7

35
7

= 5” thay vì phải hiểu

= 5” hoặc phát biểu: “các số có tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho

5” (thay cho việc phát biểu “các số có tận là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5”). Thực chất
nhứng sai lầm ở trên là do học sinh chưa biết cách diễn đạt. Tuy nhiên, nếu không được
sửa chữa, rèn luyện sẽ trở thành sự hạn chế trong các kết quar tư duy sau này.
25