Hệ phương trình phi tuyến và giải thuật di truyền - Phương pháp nghiên cứu khoa học

MỤC LỤC


DANH MỤC BẢNG

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Trang 2


MỞ ĐẦU
Hệ phương trình phi tuyến được biểu diễn rất phức tạp và thuật toán để giải 
các hệ phương trình này là các phương pháp thông thường có độ phức tạp tính toán  
cao. Các phương pháp như  chia đôi (Bisection), Regula Falsi, Newton ­ Raphson,  
Secant, Muller, ...  được sử dụng để giải quyết những vấn đề như vậy. Bài báo này 
đã tìm được những hạn chế trong các phương pháp hiện có và giải thích cho việc sử 
dụng giải thuật di truyền để giải quyết vấn đề này. Một phương pháp dựa trên giải  
thuật di truyền đã được đề  xuất, phương pháp này hiệu quả  hơn và mang lại kết 
quả tốt hơn so với các phương pháp hiện có.
Từ khóa:
­ Phương trình phi tuyến 
­ Kỹ thuật tính toán mềm 
­ Giải thuật di truyền

Trang 3


Chương 1. TỔNG QUAN VỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN VÀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
Hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến được sử dụng nhiều trong ứng dụng  
kỹ  thuật. Việc tìm một giải pháp mạnh mẽ  và hiệu quả  cho những hệ như  vậy là 

một công việc tẻ nhạt và đôi khi quá phức tạp để được xử lý bằng các phương pháp 
thông   thường   như   phương   pháp   của   Newton,   phương   pháp   băm,   phương   pháp 
Regula Falsi, ... Các phương pháp thông thường hiện có để giải quyết vấn đề trên có 
thể được phân loại như sau:
Loại 1: Các phương pháp dựa trên tính toán, bao gồm các phương pháp thường gặp 
như:   phương   pháp   Newton,   phương   pháp   Secant,   phương   pháp   chia   đôi 
(Bisection), ... 
Loại 2: Các phương pháp mang tính kinh nghiệm (Heuristic), bao gồm các kỹ  thuật 
tính toán tiến hóa như tối ưu hóa dòng hạt, Giải thuật di truyền, ...
Độ phức tạp tính toán cao cả về thời gian và không gian cùng với những ràng 
buộc phức tạp trong các phương pháp thông thường làm cho việc giải các hệ  phi 
tuyến gặp nhiều khó khăn. Điều này mở  ra khả  năng của Giải thuật di truyền cho 
thế  giới toán học đầy mê hoặc. Lưu ý rằng, Giải thuật di truyền là quá trình tìm  
kiếm mang tính kinh nghiệm dựa trên lý thuyết tiến hóa của Darwin. Nó đã được tìm 
thấy qua những ứng dụng của Giải thuật di truyền đã tạo ra một kết quả mạnh mẽ 
và hiệu quả  trong thời gian ngắn. Ngoài ra, nó có thể  giải quyết những vấn đề  rất 
lớn. Việc tìm ra giải pháp cho một phương trình hay của một bộ  các phương trình  
cho trước cũng là một vấn đề cần tìm kiếm. Hơn nữa, một trong những yếu tố giúp 
Giải thuật di truyền  được ứng dụng nhiều trong giải quyết vấn đề là có không gian  
tìm kiếm rộng lớn.
Công việc này đề  xuất một kỹ  thuật tính toán mềm cho việc tìm kiếm các  
giải pháp hiệu quả  để  giải quyết hệ  phương trình đã cho. Cách tiếp cận này sử 
dụng nguyên tắc tính toán tiến hóa và đã được áp dụng hiệu quả  trong việc tìm ra  
các giải pháp gần đúng trong giải phương trình. Những phân tích từ thực nghiệm đã 
được thực hiện và đạt được kết quả  trong khi giải quyết vấn đề. Trong khi công  
việc đang diễn ra, tỷ lệ chéo, đột biến được thực hiện trong các thí nghiệm, những 
hằng số được giữ nguyên và các biến thể của chúng cũng đang được phân tích. Quá 
trình đã được thực hiện thành công và kết quả  rất đáng khích lệ.  Ưu điểm của 
phương pháp này là không yêu cầu thêm ràng buộc nào liên quan đến sự  khác biệt 
của phương trình. Do  đó,  phương pháp này cũng có thể  được  sử  dụng cho các 

phương trình không liên tục.
Trang 4


Cấu trúc của bài báo như sau: 
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về  hệ  phương trình phi tuyến và Giải thuật di 
truyền. Chương 2: Đánh giá ngắn gọn các tài liệu tham khảo đã cung cấp những 
giải pháp đã được đề cập trước đó. 
Chương 3: Cung cấp kiến thức tổng quan về Giải thuật di truyền. 
Chương 4: Đề xuất công việc cần thực hiện.
Chương 5: Thí nghiệm và kết quả.
Chương 6: Trình bày kết luận, ứng dụng và khả năng trong tương lai.

Trang 5


Chương 2. CÔNG NGHỆ TIÊN TIẾN
Một đánh giá có hệ  thống cung cấp một nguồn tài liệu tuyệt vời để  hiểu,  
đánh giá và diễn giải tất cả  các công việc liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu. Nó 
cũng giúp cho việc áp dụng công nghệ  tiên tiến trong giải quyết các vấn đề  đạt  
hiệu quả. Ngoài ra, nó cũng giúp giải thích cho các giải pháp được đề xuất.
Theo quan điểm này, một đánh giá tài liệu rộng rãi đã được thực hiện. Kết 
quả của đánh giá này đã được trình bày trong bảng 1. 1. Mặc dù, nhiều bài báo khác  
đã được nghiên cứu và phân tích, phương pháp này ít nhiều cũng giống với phương 
pháp được đề  cập trong các bài báo được nhắc tới trong bảng sau. Các điểm quan  
trọng và các vấn đề liên quan đến các phương pháp này cũng đã được xem xét trong  
khi tiến hành thí nghiệm. Tuy nhiên, việc đánh giá những bài báo này chưa được đề 
cập trong bảng [1] [4] [5] [7] [9] [11] [12] [14] [20].
Bảng 1.  Công nghệ tiên tiến

ST
T
1

2

3

Năm

Công việc đề xuất

Kiểm tra

2001 Công   trình   sử   dụng   phương  Công việc được đề  xuất đã kiểm 
pháp   giảm   độ   dốc   để   giải   hệ  tra các vấn đề:
phương trình phi tuyến [2]
­ Mở rộng chức năng Rosenbrock 
­ Chức năng tam giác Broyden
200 Tác   giả   trình   bày   một   phương  Công trình đã xác minh được vấn 
5
pháp   để   sắp   xếp   các   phương  đề   mô   phỏng   chu   trình   kết   hợp 
trình   từ   hệ   phương   trình   phi  Tuabin với khí ga.
tuyến,   có   thể   được   giải   bằng 
phương   pháp   điểm   cố   định. 
Công   việc   liên   quan   đến   việc 
kết hợp giữa học máy trên cơ sở 
di   truyền   và   Giải   thuật   di 
truyền, giúp quản lý một quần 
thể  của quá trình với giải pháp 

khả thi [19]
200 Trong bài báo này, Giải thuật di  Công việc được đề  xuất đã kiểm 
6
truyền đa mã hóa đã được phát  tra các vấn đề:
triển   để   ước   tính   các   tham   số  ­ Đơn hàng đầu tiên cộng với hệ 
khác nhau của hệ phi tuyến [3]
thống thời gian chết
Trang 6


4

5

6

­ Vấn đề  hệ  phi tuyến và không 
ổn định
200 Trong bài báo, lần đầu tiên việc  Để   kiểm  tra   cách   giải   này,   một 
6
giải hệ phương trình phi tuyến  vài ví dụ  về  hệ  phương trình phi 
ở mỗi bước được chuyển thành  tuyến  bậc   hai   hai   biến   đã   được 
một vấn đề lập trình có điều 
xem xét.
kiện ràng buộc và cùng với 
chiến lược tìm kiếm dòng, hệ 
được giải quyết bằng thuật toán 
SQP [15]
200 Đề xuất một yêu cầu mới là coi  Công việc này đã kiểm tra được 
8

hệ phương trình phi tuyến là bài  các vấn đề:
toán tối ưu hóa đa mục tiêu [6]
­ Đo khoảng cách chuẩn trong Số 
học
­ Ứng dụng thần kinh
­ Ứng dụng động học
­ Ứng dụng đốt
­ Ứng dụng cân bằng hóa học
2011 Trong công việc được đề  xuất,  Phương   pháp   đã   được   xác   minh 
tác giả  kết hợp hai công cụ  tối  với   một   bộ   gồm   17   vấn   đề   đã 
ưu hóa dựa trên kinh nghiệm đó  được kiểm tra
là   Giải   thuật   di   truyền   và   Tối 
ưu   hóa   dòng   hạt   để   giải   hệ 
phương trình phi tuyến phức tạp 
[1]

7

8

2013 Bài   viết   mô   tả   một   ứng   dụng 
riêng   biệt   của   Giải   thuật   di 
truyền để  giải quyết gần đúng 
các   vấn   đề   tối   ưu   bằng   cách 
giới   thiệu   các   cặp   cá   thể   phù 
hợp và đối xứng [18]
2013 Trong bài báo này, lần đầu tiên 
tác   giả   đã   chuyển   đổi   hệ 
phương   trình   đơn   tuyến   thành 
bài toán tối ưu hóa không bị ràng 

Trang 7

Một   số   ví   dụ   liên  quan  đến  hai 
biến  đã   được   sử   dụng   để   kiểm 
chứng giải pháp đưa ra

Công việc được đề  xuất đã kiểm 
tra được các vấn:
­   Ứng   dụng   chất   lỏng   trong   cơ 
học


9

10

buộc   và   tập  hợp  các   hệ   thống 
phức tạp thành bài toán tối  ưu 
hóa   bị   ràng   buộc.   Sau   đó,   sử 
dụng   Giải   thuật   di   truyền   để 
giải quyết hệ thống [16] 
2014 Bài   báo   ước   tính   nghiệm   gốc 
của   phương   trình   phi   tuyến 
bằng Giải thuật di truyền thông 
qua kích thước quần thể, tỷ  lệ 
chéo và mức độ đột biến [10]

­ Ứng dụng số học
­ Ứng dụng đốt
­ Ứng dụng sinh lý thần kinh

Công   việc   đề   xuất   đã   kiểm   tra 
được các vấn đề sau:
­ Vấn đề  nhân viên bán hàng du 
lịch
­ Ứng dụng sinh lý thần kinh
­ Hệ thống bể Reactor
2015 Tác giả  đã phát triển một cách  Công việc đã được xác minh trên 
tiếp cận mới, trong đó giải pháp  một tập hợp gồm 20 phương trình 
tối  ưu của hệ  phương trình phi  phi tuyến một biến khác nhau
tuyến   thu   được   bằng   phương 
pháp dựa trên các biến thể  của 
Giải thuật di truyền, sử dụng kỹ 
thuật tính toán tiến hóa [17]

Trang 8


Chương 3. GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
Giải thuật di truyền là một quá trình tìm kiếm dựa trên lý thuyết chọn lọc tự 
nhiên và tỷ  lệ sống của cá thể  [5] [13]. Chúng được phát triển bởi John Holland [8] 
vào năm 1960, tại trường đại học Michigan, Hoa Kỳ. Nhiều vấn đề  tính toán yêu 
cầu phải có giải pháp tối ưu trong một không gian tìm kiếm lớn. Đối với những vấn 
đề  như vậy, Giải thuật di truyền đã được chứng minh là một thuật toán mạnh mẽ 
và hiệu quả để trở thành một giải pháp tối ưu. Do đó, Giải thuật di truyền đã được 
áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như trí tuệ nhân tạo, phân tích tài chính, xử 
lý hình ảnh, tối ưu hóa đa phương tiện, robot, quản lý danh mục đầu tư, …
Cơ chế của Giải thuật di truyền [8]:
Trong Giải thuật di truyền, một nhóm các ứng cử viên cho một vấn đề tối ưu 
hóa cụ  thể  được tạo ngẫu nhiên. Mỗi cá thể  trong giải thuật di truyền được đại 

diện như  một nhiễm sắc thể, là một  ứng cử  viên của giải pháp. Việc lựa chọn  
nhiễm sắc thể  được thực hiện theo cách cạnh tranh dựa trên tính chất của chúng. 
Tiếp theo là các toán tử tìm kiếm di truyền, chọn lọc, trao đổi chéo và đột biến được 
áp dụng trên các nhiễm sắc thể được chọn để tạo ra một thế hệ nhiễm sắc thể mới 
với chất lượng như mong đợi và giá trị độ bền của chúng tốt hơn thế hệ trước. Quá 
trình này được lặp lại cho đến khi các tiêu chí được đáp ứng, loại nhiễm sắc thể tốt  
nhất được tạo ra và quá trình này được xem là giải pháp tốt cho vấn đề liên quan.

Trang 9


Chương 4. ĐỀ XUẤT CÔNG VIỆC
Hệ phương trình phi tuyến: Một hệ phương trình phi tuyến có thể được định nghĩa  
như sau:                     f1(x) = 0
f2(x) = 0
.
.
.
fn(x) = 0
trong đó mỗi hàm fi là hàm phi tuyến, đóng vai trò ánh xạ một vectơ x = (x 1, x2, ..., xn) 
t
 của không gian n chiều Rn  thành đường thẳng thực. Một số  hàm có thể  là tuyến 
tính và một số hàm khác là phi tuyến. Giải pháp cho hệ phi tuyến bao gồm giải pháp 
tăng dần theo cách sao cho mỗi hàm trên fi (x) bằng 0.
Công việc dưới đây trình bày một giải pháp cho hệ  thống phi tuyến như vậy bằng  
cách sử dụng kỹ thuật tính toán mềm gọi là Giải thuật di truyền. 
Giải thuật như sau:
Bước 1: Chuyển đổi từng hàm fi (x) thành zi (x) dưới dạng:
zi = abs fi (x) với mỗi i = 1, 2,..., n.
Do đó, hệ trên trở thành một vấn đề tối ưu hóa đa mục tiêu:  min z1, min z2, ..., min 

zn
Bước 2: Một thế hệ dân số ban đầu được tạo ra hoạt động như một nhiễm sắc thể 
trong Giải thuật di truyền.
Bước 3: Trên cơ  sở  giá trị  phù hợp, một số nhiễm sắc thể được chọn từ  quần thể 
ban đầu. Sử dụng tỷ lệ và đột biến chéo (được xác định trước), một thế hệ hậu thế 
được tạo ra cho đến khi nó không vượt quá số lượng thế hệ trước. 
Bước 4: Sự phù hợp giá trị cho mỗi cá thể từ thế hệ con được đánh giá dựa trên tính 
khách quan và tính khả thi của giải pháp.
Bước 5: Kết thúc tiêu chí là tối thiểu hóa hàm z, là tổng của các hàm số riêng lẻ:
z = z1 + z2 +∙∙∙+ zn
Nếu kết thúc tiêu chí đạt yêu cầu thì chuyển sang bước 6, ngược lại đến bước 3.
Bước 6: Báo cáo giải pháp.
Có thể lưu ý rằng dân số ban đầu được tạo ra theo yêu cầu nhất định và tính 
hợp lý của giải pháp trong thời gian cụ  thể. Quần thể  ban đầu không thể  có quá  
nhiều hoặc quá ít nhiễm sắc thể. Một số  lượng nhiễm sắc thể thích hợp đã được 
tìm thấy trong phân tích thực nghiệm và kể  từ  đây chúng được sử  dụng trong thí  

Trang 10


nghiệm. Các giá trị của các tham số khác nhau và thiết lập thử nghiệm đã được báo 
cáo trong phần tiếp theo.

Trang 11


Chương 5. THÍ NGHIỆM VÀ KẾT QUẢ
Để xác nhận hiệu quả của giải thuật, một phân tích thực nghiệm mở rộng đã 
được thực hiện. Thử nghiệm được thực hiện bằng cách đặt các tham số  khác nhau  
cho  Giải thuật  di truyền như  được mô tả  trong bảng 5.1. Để  xác nhận và kiểm  

chứng phương pháp này, các phương trình sau đây đã được chọn sao cho một số 
nghiệm gốc của nó là không thể  thiếu và phạm vi của các nghiệm gốc không thay 
đổi đáng kể.
4x3 – 7x2 + 0.578 = 0                   (1)
8x3 – 6x2 – 3x – 54 = 0                (2)
x4 – 5x3 + 5x2 + x ­20 = 0            (3)
x4 – 19x3 ­21x2 + 400 = 0             (4)
x3 ­ 977x2 + 975x + 976 = 0         (5)
x2 + 105x + 500 = 0                      (6)
3x2 + 3001x + 1000 = 0                (7)
x2 ­ 9999x ­ 1000 = 0                    (8)
              Bảng 5.  Các thông số của giải thuật di truyền
Các thông số
Quy mô dân số
Chức năng mở rộng
Chức năng lựa chọn
Chức năng đột biến
Chức năng chéo
Các thế hệ
Tỷ lệ / Phân số

Thiết lập
200
Xếp hạng
Cuộc tuyển chọn 
Gaussian
Điểm đơn
50
Mặc định

Trang 12


Hình 5.  Kết quả thử nghiệm
Bảng 5.  Giá trị khách quan
Số phương 
trình

Phương trình

Giá trị hàm mục tiêu

1

4x3 – 7x2 + 0.578 = 0                   
8x3 – 6x2 – 3x – 54 = 0               
x4 – 5x3 + 5x2 + x ­20 = 0            
x4 – 19x3 ­21x2 + 400 = 0             
x3 ­ 977x2 + 975x + 976 = 0         
x2 + 105x + 500 = 0                      
3x2 + 3001x + 1000 = 0                
x2 ­ 9999x ­ 1000 = 0                    

4.02E – 06

2
3
4
5
6

7
8

6.96E – 04
5.47E – 05
5.92E – 04
3.20E – 03
4.96E – 04
1.48E – 02
1.20E – 02

                 
Việc giải phương trình có ít nhất một giải pháp. Tuy nhiên, phương pháp tiếp 
cận không tìm thấy tất cả  các giải pháp và nó dừng lại ngay khi tìm ra một giải  
pháp. Các thí nghiệm đã được thực hiện, 25 lần chạy cho mỗi hàm lựa chọn đã  
được thực hiện và kết quả  đã được ghi nhận trong hình 5.1. Bảng 5.2 cho thấy giá 
trị hàm mục tiêu của mỗi phương trình và giá trị tốt nhất tương ứng. Các giá trị này  
có được bằng cách lấy tối thiểu các giá trị  tốt nhất tương  ứng, kết quả  cho mỗi  
phương trình đã được hiển thị trong hình 5.1.
Trang 13


Chương 6. KẾT LUẬN
Bài viết này trình bày một cách tiếp cận mới để có được một giải pháp gần 
đúng cho hệ phương trình phi tuyến bằng kỹ thuật tính toán mềm được gọi là Giải 
thuật di truyền. Giải thuật di truyền tối  ưu hóa sự  phức tạp về  thời gian để  giải  
quyết những hệ phi tuyến như vậy. Giải pháp bao gồm một giả định ban đầu về các 
thông số khác nhau của Giải thuật di truyền, đó là quy mô dân số, chức năng chéo và 
chức năng đột biến, cùng với số lượng các thế hệ. Việc lựa chọn tham số giúp cải 
thiện tính hiệu quả  của giải thuật. Chi phí tính toán có thể  được giảm bằng cách  

xem vấn đề  là vấn đề  tối  ưu hóa đa mục tiêu và do đó, việc áp dụng kỹ  thuật tìm  
kiếm được dựa trên kinh nghiệm. Ngoài ra, người ta còn đề xuất sử dụng các biến  
thể của Giải thuật di truyền như giải thuật di truyền Diploid để giải quyết các vấn 
đề này [21] [22]. Trong quá trình làm việc, tỷ lệ chéo và tỷ lệ đột biến đã được thay  
đổi để kiểm tra sự ảnh hưởng của các tỷ lệ này đến chất lượng kết quả thu được  
của giải pháp. Ngoài ra, trong tương lai, giải pháp có thể được cải tiến để xử lý các  
hệ thống phi tuyến phức tạp và có kích thước lớn hơn.

Trang 14


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

[2]

[3]
[4]
[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]
[12]

M. A. E.­S. W.F. Abd­El­Wahed, A.A. Mousa, “Integrating particle swarm optimiza­
tion with genetic algorithms for solving nonlinear optimization problems.” Journal of 
Computational and Applied Mathematics 235, pp. 1446–1453, 2011.
M.   Bianchini,   S.   Fanelli,   and   M.   Gori,   “Optimal   algorithms   for   well­conditioned 
nonlinear systems of equations,” IEEE Transactions on Computers, vol. 50, no. 7. pp. 
689–698, 2001.
W.­D. Chang, “An improved real­coded genetic algorithm for parameters estimation of 
nonlinear systems.” Mechanical Systems and Signal Processing 20, pp. 236–246, 2006.
S. Effati and A. R. Nazemi, “A new method for solving a system of the nonlinear 
equations,” Applied Mathematics and Computation, vol. 168, no. 2. pp. 877–894, 2005.
D.   E.   GOLDBERG,   “Genetic   Algorithms   in   Search,   Optimization   and   Machine 
Learning.”
 
Addion­Vesley,
 
Reading,
 
p.
 
[1] 
“Goldberg_Genetic_Algorithms_in_Search.pdf.” ., 1989.
C. Grosan and A. Abraham, “A new approach for solving nonlinear equations systems,” 
IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part A:Systems and Humans, 
vol. 38, no. 3. pp. 698–714, 2008.
A. N’Guessan, “Analytical existence of solutions to a system of nonlinear equations 
with application.” Journal of Computational and Applied Mathematics 234, pp. 297–
304, 2010.

J.   Holland,   “An   Introductory   Analysis   with   Applications   to   Biology,   Control,   and 
Artificial   Intelligence.”   Adaptation   in   Natural   and   Artificial   Systems.   MIT   Pres, 
Cambridge, 1975.
Z. J. Zhigang Ji, Zhenyu Li, “Research on Genetic Algorithm and Data Information 
based on Combined Framework for Nonlinear Functions Optimization.” a Engineering 
23, pp. 155–160, 2011.
G. Joshi and M. B. Krishna, “Solving system of non­linear equations using Genetic 
Algorithm,”  Proceedings   of   the   2014   International   Conference   on   Advances   in  
Computing, Communications and Informatics, ICACCI 2014. pp. 1302–1308, 2014.
A. E. S. Abdullah Konak, David W. Coit, “Multi­Objective Optimization Using Genetic 
Algorithms: A Tutoria.” Reliab. Eng. Syst. Saf. 91, pp. 992–1007, 2006.
N.   E.   Mastorakis,   “Solving   non­linear   equations   via   genetic   algorithms,”  WSEAS  
Transactions   on   Information   Science   and   Applications,   vol.   2,   no.   5.   pp.   455–459, 
2005.
Trang 15


[13]
[14]

[15]
[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]
[22]

J.   McCall,   “Genetic   algorithms   for   modelling   and   optimisation,”  Journal   of 
Computational and Applied Mathematics, vol. 184, no. 1. pp. 205–222, 2005.
A. A. Mousa and I. M. El­Desoky, “GENLS: Co­evolutionary algorithm for nonlinear 
system of equations,” Applied Mathematics and Computation, vol. 197, no. 2. pp. 633–
642, 2008.
P. Y. Nie, “An SQP approach with line search for a system of nonlinear equations,” 
Mathematical and Computer Modelling, vol. 43, no. 3–4. pp. 368–373, 2006.
M. S. C. Abolfazl Pourrajabian, Reza Ebrahimi, Masoud Mirzaei, “Applying genetic 
algorithms   for   solving   nonlinear   algebraic   equations.”   Applied   Mathematics   and 
Computation 219, pp. 11483–11494, 2013.
• M. A. Z. R. • Z. S. • N. M. • E. S. A.­A. and J. A. Khan, “Design of stochastic solvers 
based on genetic algorithms for solving nonlinear equations.” The Natural Computing 
Applications Forum. 26, pp. 1–23, 2015.
H. Ren, L. Wu, W. Bi, and I. K. Argyros, “Solving nonlinear equations system via an 
efficient   genetic   algorithm   with   symmetric   and   harmonious   individuals,”  Applied  
Mathematics and Computation, vol. 219, no. 23. pp. 10967–10973, 2013.
A.   Rovira,   M.   Valdés,   and   J.   Casanova,   “A   new   methodology   to   solve   non­linear 
equation systems using genetic algorithms. Application to combined cycle gas turbine 
simulation,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 63, no. 
10. pp. 1424–1435, 2005.
Z.   W.   Xin   Zhang,   “Study   neighborhood   field   optimization   algorithm   on   nonlinear 
sorptive barrier design problems.” The Natural Computing Applications Forum, 2015.
M. S. Harsh Bhasin, “On the Applicability of Diploid Genetic Algorithms.” AI Soc 
31(2), pp. 265–274, 2015.
H. Bhasin, G. Behal, N. Aggarwal, R. K. Saini, and S. Choudhary, “On the applicability 
of   diploid   genetic   algorithms   in   dynamic   environments,”  Proceedings   ­   2014 
International Conference on Soft Computing and Machine Intelligence, ISCMI 2014. 

pp. 94–97, 2014.

Trang 16