Bài tập ôn tập lý thuyết thủy lực (Tập 1): Phần 1

TR Ư Ờ N G ĐẠI H Ọ C THỦY LỢl_

PGS. TS. HOÀNG VĂN QUÝ - GS. TS. NGUYÊN CẢNH CẦM

Bài tập

Thuỷ lực
TẬP 1
■

(Tái bản)

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DựNG
HÀ N Ô I -2 0 1 1




LỜI NÓI ĐẨU

Quốn Bài tập thủy lực xuất bản lần đầu vào năm 1973. Nội dung của nó tương
ứng với nội d ung cuốn Giáo trình thủy lực xuất bản năm 1968, 1969. Cuốn Bài tập
thủy lực đó được soạn thành hai tập: Tập I do đồng chí N guyễn cảnh cầm và Hoàng
Văn Quý biên soạn, đồng chí Hoàng Văn Quý chủ biên. Tập II do các đồng chí
N guyễn Cảnh cầm, Lưu Công Đào, N guyễn N h ư Khuê và Hoàng Văn Quý biên soạn,
dồng chí Nguyễn Cảnh cầm chủ biên.
Cuốn Giáo trinh thủy lực đã đưỢc tái bản (lần th ứ ba) có sửa chữa và hổ sung củng
n h ư sắp xếp lại sô'chương cho mỗi tập. Đ ể tương ứng với cuốn giáo trình đó, trong lần
tái bản th ứ hai này cuốn B ài tập Thủy lực củng được sửa chữa và hổ sung. L ần tái
hảìì này do đồng chí N guyễn Cảnh cầm chịu trách nhiệm và đưỢc chia làm hai tập
dương ứng với hai tập của cuốn Giáo trinh thủy lực tái bản lần th ứ ba). Tập I gồm 9

chương từ chương I tới chương IX; tập IIg ồ m 10 chương từ chương X t ă chương XIX.
Trong quá trinh chuăn bị cho việc tái bản, Bộ m ôn Thủy lực Trường Đại học Thủy
lợi đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn.
Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến nhận xét của bạn đọc.

N hữ ng người biên soạn
5/2005




Chương

NHŨNG TÍNH CHẤT

cơ

I

BẢN CỦA CHẤT LỎNG

VÀ CHẤT KHÍ

I. TÓM TẮT LÝ TH U Y ẾT
C hếí lỏng và chất kh í (gọi chung là chất chảy) khác với chất rắn ở chỗ có tính chảy.
Giữa chất lỏng và chất khí cũng có sự khác nhau: chất lỏng hầu như không nén được
(thể tích không thay đổi) và có hệ số giãn vì nhiột rất bé, còn chất khí có thể tích thay
đổi trong m ột phạm vi lớn khi áp suất và nhiệt độ thay đổi; vì th ế người ta còn gọi chất
lỏng là chất chảy không nén được. Những kết luận đối với chất lỏng có thể dùng cho cả
chất khí chỉ trong trường hợp; vận tốc chất khí không lớn (v < lOOm/í) và trong phạm vi

hiện tượng ta xét có áp suất và nhiệt độ thay đổi không đáng kể. Trong phạm vi tập sách
này ta chỉ xét những vấn đề về chất lỏng.
Trọng lượng riêng (y) là trọng lượng của 1 đơn vị thể tích chất chảy; đơn vị là N ln?.
Khối lượng riêng (p) là khối lượng của 1 đcm vị thế tích chất chảy, đom vị là kgỉrn^.
Giữa 2 đại lượng Y và p có quan hệ;
y = p g hay p = -■
g
trong đó: g là gia tốc trọng trưòìig (g = 9,8 Iw //).

(1-1)

Thông thường đối với nước, ta lấy y = 9810N/m^, p = 1000 k g /m \ Trị sô' y và p của
nước và không khí cho ở phụ lục 1-1.
Hệ s ố co th ể tích ( p

biểu thị sự giảm tưcíng đối của thể tích chất chảy w khi áp suất

p tăng lên 1 đcfn vị:

Thông thường đối với nước có thể coi

« 0, tức coi nước là không nén dược. Đại

(N/m^) gọi là môđun đàn hổi. Trong hiện tượng nước va

lượng nghịch đảo K =
Pw

(chương V II) phải coi nước là nén được; lúc đó thường ta lấy:
K s 2 .lO V / m ^

p,. s 5 ,1 0 - 'V ^ //V

Hệ s ố giãn vì nhiệt ( p j ) biểu thị sự biến đổi tương đối của thể tích chất chảy w khi
nhiệt độ thay đổi 1°C:




(1-3)
Đ ối với chất khí, khi nhiệt độ thay đổi từ T | đến T 2(°K), áp suất thay đổi từ Pi đến P 2 ;
các đại lượng Y và p thay đổi theo phương trình trạng thái tĩnh như sau;
72 = Yi •

P 2 Ti
Pi 'T 2
-4)

P2= Pl

ở phụ lục 1-1 cho trị s ế trọng lượng riêng của nước và không khí ứng với các nhiẹt độ
khác nhau. Đối với chất lỏng, p I rất bé và thông thường ta coi chất lỏng không co giãn
dưới tác dụng của nhiệt độ.
Tính nhớt của chất lỏng đóng vai trò rất quan trọng vì nó là nguyên nhân sinh ra lổn
thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động. D o có tính nhớt mà giữa các lớp chất lỏng
chuyển động tưoíng đối với nhau có lực m a sát gọi là ma sát trong T (hay lực nội ma
sát); lực này được biểu thị bâng định luật Niutơri (1686):
T = ^iS — - Œ )
dn
trong đó: s - diện tích tiếp

XUC

giữa cấc lởp

chẫt

(1-5)

long;

u = f(n) - vận tốc (n là phưofng thẳng góc với phương chuyển động);
du
dn

= f(n ) - gradien vận tô'c theo phương n (hình l- ì) \

|a- hệ số nhớt động lực, có đơn vị N s ln t hay kg/s.m-, đcfn vị ứng với 0,1 N.s/m^ gọi là
poazơ.
Đại lượng:

( 1-6 )

gọi là ứng suất tiếp (hay ứng suất ma sát).
Hệ số:

v = — (rn'ls)

(1-7)

p

trong đó p - khối lượng riêng;

V

được gọi là hệ s ố

nhớt động học. Đơn vị cm 'Is dược gọi là stốc.
Do cấu tạo nội bộ của chất lỏng và chất khí khác
nhau nên khi nhiệt độ tăng lẽn, hệ số nhớt của chất
khí sẽ tãng lên, còn của chất lỏng lại giảm xuống:

Hình 1-1




Đối với khí:

1+

c
a-8)

‘ ■"t
trong đó:

- độ nhớt của khí ở 0°C;
T- nhiệt độ tuyệt đối (°K);

c - hằng số, lấy như sau: không khí c - 114; khinh khí - 74; khí CO 2 - 260;
hơi nước - 673.
Đối với nước:
V = ----------l

0,01775
2/ 1
/«
■
---------- 7 , (cm ys)
(1-9)
+ 0,0337t + 0,00022 It^

trong đó: t - nhiệt độ nước (®C).
ở phụ lục 1-2 cho trị số V của nước và không khí ứng với các nhiệt độ khác nhau. Trong
thực tế, hộ số nhớt V còn biểu thị bằng độ Engle (^E), đổi ra đơn vị cm^/s theo hệ thức:
V = 0,0731 °E -

, (cm^/sj

(1-10)

"E
C ác lực tác dụng vào chất chảy có thể chia làm 2 loại: ¡ực khối lượng (hay lực thể
tích) và lực mặt.
Lực m ặt tác dụ n g lên các m ặt bao quanh khối chất chảy ta xét (ví dụ: áp lực, phản
lực của thành rắn, lực m a sát). M uốn tính lực m ặt cần biết luật phân bô' của nó trên
m ặt cần tính.
Lực khối lượng tác dụng lên từng phần tử chất lỏng (ví dụ: trọng lực, lực quán tính).

M uốn tính lực khối lượng phải biết luật phân bố của gia tốc lực khối trong thể tích chất
lỏng ta xét. Gọi lực khối là F thì 3 thành phần của nó tính như sau:
F x = mX
Fy=m Y

(1-11)

F ^= m Z
trong đó: m - khối lưọììg;
X, Y, z - hình chiếu của gia tốc lực khối lên 3 trục tọa độ.
Hệ thống đơn vỊ: Theo bảng đofn vị đo lường hçfp pháp của nước Cộng hòa xã hội chủ
nghĩa Việt N am , các đơn vị lấy như sau:
chiều dài:

m ét (m);

thời gian;

giây (í);




kilogam (kgy,

khối lượng;

lực, áp lực, trọng lương; niulơn (N); \N = —^
9,81

kG

áp suất, ứng suất: N,'m^ v.v...
II - BÀI TẬP
l.

T rọ n g lưựng riéng, khói lưựng riêng

Bài 1-1. Trọng lượng riêng cúa nước là y = 9SỈ0N/m-'\ tính khối lượng riêng cúa nó
V

Giải:

in

p =^
%

VịO1

= 1000 kg/m^

B ài 1-2. Khối lượng rièng cúa thúy ngân là Pin = 13600 kg lm \ tính trọng lượng riêng
của nó:

/ = p ,ng = 13600 X 9,81 = 133500 Nlm'

Giải:

B ài 1-3. So sánh khối lượng nêng cúa không khí ớ nhiệt độ t = I v V và áp suất

p = lế ồ m m cột thủy ngân với khối lượng riêng của nước (lấy

- 1000Ấ:^/w').

Giải: khối lượng riêng của không khí:
p

273 + 15

760

273+15

27? + t'*C

760

273 + 17

pLi , = 1,217 X —Î - - X - - — —— = .2 7 x -— X —- - — — =

760
tý số:

k=

,

,192 k ọ m

^

^ 840.
Pkk

1’ 192

Bài 1-4. Tý trọng của nước biến là ỗ = 1,03. Tính trọng lượng nêng và khối lượng
riêng của nó:

10104,3 A / W ;

Đáp sấ:

Bài 1-5. Xác đinh

= ịOĨOkg/m'

khối lượng riêng cúa một chài khí ớ 800”c , nếu dưới áp suâì

160mm cột thủy ngân và nhiệt đò o ^ c trọng lượng riêng nó là y = \ 2 J6 N lm ^

Dáp số: p = 0,332 kglm^
Bàí
nên ớ

1-6.

Nhiệt độ cúa một

cuối đường dẫn, nhiệt

chãi khí ớ
độ khí chỉ

đàu đường dẩn là 900‘’c . Do dược làm nguội cho
còn 500®c. Xác định khốilượng riêng của khí ơ

đầu và cuối đường dẫn nếu áp suất giữ không đổi và trọng lượng riêng của khí ớ 0*^c là
= \2 A lN lm \

Đáp số:

= 0,298 kglm '-.

= 0,45 1 kịịlm'

8



2.

Tính thay đổi thể tích

Bài 1-7. Tính m ôđun đàn hồi của nước, nếu khi tăng áp suất lên 5at, thể tích nước ban
đầu là w = 4nP sẽ giảm đi ìdrri^.
Giải:
B ài 1-8. Thể lích nước sẽ giảm đi m ột lượng bao nhiêu khi áp suất từ ìa t lên lO lar,
nếu thể tích ban đầu w = 5 0 d m \ Cho biết ị3 ^ = 5,1.10 ' V / N.

Giải:
A W = p ^ W A p = 5 ,l . 1 0 ' X 0,05 x(101 - 1) X 9,81.1

= 0,00025/71^ = 0,25^/«^

B ài 1-9. Khi đem thí nghiệm thủy lực m ột ống có đường kính d = AOOmm và chiều dài
/ = 2000/n, áp suất nước trong ống tăng lên đến A5at. M ột giờ sau, áp suất giảm xuống
chỉ còn 40ứ/. Cho biết p ^ = 5,1.10 ■

m^lN.

Bỏ qua sự biến dạng của ống, tính xem thể tích nước đã rỉ ra ngoài là bao nhiêu ?
tìá p s ố : W = 62,8dm^
lià i 1-10. ở m ột m áy dùng kiểm tra các áp kế, m ột
thanh có ren ngang đường kính d = Acm và bước răng t
= 1,2cm được cắm vào bình tích năng hình trụ tròn qua
M

m ột lỗ kín. H ình trụ c h ứ a đ ầ y n ư ớ c , đưcmg kính
trong D = 3 0 c m , c h i ể u

c a o H = 20cm. Hộ số co

thể tích của nước lấy là p ^ = 5.10 ■

Coi thành

¿ZZ2L

hình trụ là không biến dạng, xác định áp suất của nước

sau 5 vòng của thanh.
Đ áp số: A p = 107 at «10 ,5 .1 0 ^ N/m^

Bài 1-10

B ài 1-11. M ột bể chứa đầy dầu dưới áp suất 5at. Khi tháo ra ngoài 40lít dầu, áp suất
trong bể giảm xuống chỉ còn lat.
Xác định dung tích của bể chứa, nếu hệ số co thể tích của dầu là

= 7,55.10''° m/N.

Đ áp số: w = 135m^

3. Tính nhót
B ài 1-12. Xác định hệ số nhớt động của dầu ( y = 8829 N/m^) ở t = 5 0 °c, nếu
ụ = 0,00588 N s /m \
,
K jiã i:

V =

)i

fig

— = —

y

0,00588x9,81

= -------------------------^—

8829

= 0 , 0 6 4 . 1 0 ' 0,064(cm^/s)

9



B ài 1-13. T ính ứng suất tiếp tại mặt trong của m ột ống dẫn nhiên liệu, cho biết:
- H ệ sô' nhớt động V = 7,25.10' ^m^ls
- K hối lượng riêng p = 932 kglm^
- G radien lưu tốc — = 4 •dn
s
Giải: Hệ số nhớt động lực của nhiên liệu:
= v p = 7,25.10'^ X 932 = 6 ,1 1 .

N s ỉm \

ú h g suất tiếp tại m ặt trong của ống;
X= ^ ệ i = 6,77.10' ^ X 4 = 0,27 Nlm^
dn
B ài 1-14. X ác định hệ số nhớt động lực của không khí ở 150°c, nếu ờ 0°C:
= Q,\2>lcm^ls; yĐ áp số: ^ « 2,5.10"^ A / W .
B ài 1-15. X ác định ứng suất tiếp trên bề mặt m ột tàu thủy đang chuyển động, nếu sự
thay đổi lưu tốc dòng nước theo phương pháp tuyến với mặt này được biểu thị bằng
phưoíng trình u = 516 y - 13400y“, với y < 1,93 . \ữ ^ m . Nhiêt đỏ nước t = 15 °c.

Đ áp số: X = 0,588 N ln ỉ
B ài 1-16. X ác định lực ma sát tại mặt trong của một ống dẫn dầu có đường kính
d = 'èữmm, chiều dài / = 10w, nếu lưu tốc trên mặt cắt ngang của ống thay đổi theo luật
u = 25y - 3 12y^, trong đó y là khoảng cách tính từ m ặt trong ống ( 0 < y < — ; y tính bằng
mét, u tính bằng m is). Hộ số nhớt động lực của dầu ỊO, = 0,0599 N .sln ỉ. Lưu tốc lớn nhất
của dầu trong ống là bao nhiêu ?

Bài 1-16

10



Chưomg II

THỦY TĨNH HỌC

1. TÓ M TẮT LÝ THUYẾT
Chưcmg thủy tĩnh nghiên cứu những vấn đề chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là ở
trạng thái không có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng.
§2-1. ÁP SUẤT THỦY TĨNH
Yếu tô' thủy lực cơ bản của trạng thái cân bằng của chất lỏng là áp suất thủy tĩnh.
•

Á p suất thủy tĩnh tại một điểm (hay nói gọn hơn; áp suất thủy tĩnh) trong chất lỏng

được xác định theo công thức:
p = lim
Acừ-»()

'A P '
\

A(ủ /

dco

trong đó p là áp lực thủy tĩnh tác dụng lên diện tích (0 .
Áp suất thuỷ tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy;
trị sô' của nó tại m ột điểm bất kỳ trong chất lỏng không phụ tỈỊUỘc vào hướng đặt của
diện tích chịu lực tại điểm đó.
Áp suất thuỷ tĩnh có đơii vị là N/m^ hoặc kG/m^-, trong kỹ thuật còn dùng đơn vị là
atm ôtphe (at):
1

a/ = 9,81.10'‘ /VW

Áp lực có đơn vị là N (Niutơn).
• Phương trình vi phân cơ bản (tổng quái) của chất lỏng cân bằng:
d p = p(X dx + Y d y + Zdz)

(2-2)

trong đó: p - khối lưcrng riêng của chất lỏng;
X, Y, z - hình chiếu của gia tốc lực khối lên các trục toạ độ vuông góc X, y, z.
Tích phân phương trình này ta được biểu thức biểu thị luật phân b ố áp suất thuỷ tĩnh
trong chất lỏng:
p = p j[(Xdx + Ydy + Zdz)] + c

(2-3)

• M ặt đẳng áp trong chất lỏng là mặt mà tại mọi điểm trên đó có cùng 1 trị số áp suất
(p = const); phương trình vi phản của mặt đẳng áp là dp = 0 hay:
Xdx + Ydy + Zdz = 0

(2-4)

11



Tích phân (2-4) ta được phương trình của m ặt đẳng áp;
(Xdx + Ydy + Zdz) = const

(2-5)

M ột trong các m ặt đẳng áp là mặl tự do của chất lỏng (mặt thoáng).
• Á p suất thủy tĩnh trong chất lỏng trọng lực cân bâng (hình 2-1)
Tích phân (2- 2) với điều kiện X = Y = 0, z = - g, ta được phương trình cơ bản của
thủy tĩnh học:
p = const
z+ —
Y

( 2- 6)

trong đó: z - độ cao của điểm ta xét (điểm M, có áp suất p) tứih đến m ặt phẳng so sánh
(mặt phẳng nằm ngang, vị trí lùy ý chọn).
Ỵ

- trọng lượng riêng của chất lỏng.

M ật phẳng so sánh

H ình 2-1
Hình 2-2
Từ (2- 6) suy ra công thức áp suất tại 1 điểm trong chất lỏng:
p = Po + yh

(2-7)

trong đó: Po - áp suất tại m ặt tự do;
h - độ sâu của điểm ta xét tính từ mặt tự do.
• Á p suất thủy tĩnh trong chất lỏng cân bằng chịu tác dụng của trọng lực và lực quán
tính nằm ngang với giơ tốc a không đổi (hỉnh 2-2).
Tích phân (2-2) với điều kiện X = - a , Y = 0 ; Z = - g t a được:
p = Po - p (ax + gz)

(2-8)

ax + gz = const

(2-9)

Phương trình m ặt đẳng áp:

12

xác
Đó là nhũnsĩ mặt phẳng nầm nghiêng song song với nhau. Góc nghiêng ị3 được x;
định bằng công thức:
(2 -10 )

tglP| = g
• Áp sitííl tliíiỴ tĩnh trong chất lỏng quay đều quanh trục thẳng đứng (hình 2-3).
Tích phân (2-2) với điều kiện: X = co^x; Y = co^y; z = - g, ta được:
2 7
0) r

( 2- 11)

P = P0+ p
trong đó:
co - vận tốc góc quay;
r - bán kính quay của phần tử chất lỏng ta xét.
Mặt đắng áp là những mật parabôlôit tròn xoay, có phưcmg trình:
- yz = const

( 2 - 12 )

co

co^r

//ìn h 2-3

H ình 2-4

• Áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng quay đều quanh trục nằm ngang (hình 2-4}
Nếu co khá lớn sao cho M

»

g, tích phân (2-2) với điều kiện bỏ qua g, ta được:

p = Po + p
kể cả g thì:

(2-13)

c o '( r '- r , ; )
P = Po + ----- ......
+ y(zo -z)

110115 đ ó : P q và p lần lượt là áp suất tại các mặt trụ có bán kính là ĨQ và r.

13



• Áp siiđt tuyệt đối, áp suất dư. cliùii kìiôììiị:
Á p s u ấ t t u y ệ t đ ố i là á p suâì toàn p h ầ n tại m ộ t đ i ế m (P().

Áp suất dư

là áp suất lại 1 điểm không kể đến áp suấtkhònơ khí (p,,):
Pd = P t-P a

( - - '4 )

Áp suất chân không (p^,|^) - eọi tắt là chân khôn« (trườns hợp Pi
của

áp suất tuvệt đối để bằng áp suất không khí:
(2-15)

Pck = Pa - Pl
Khi P( =

(như trên mặt nước ử sõns, hồ, ao,...), ta có:
Pd = Pck = 0

Áp suất không khí được lấy chần là 1 af.
p, = lứ/ = 98100 Nlm'
Có thể biểu diỗn quan hệ giữa p,. p.ị \'à p^.^. (so vứi p.,) qua dồ thị hình 2-5.
,Pa

Po,
M•----

'Pd'
\ 7I

ck

p.> Pa

(h.k/M
■í.

p,t. a

Hình 2-5

Hừìh 2-7

Hỉììh 2-6

Đo áp suất thủy tĩnh
Dụng cụ đơn giản nhất đé đo áp suất dư là ỐIIÍỈ đo áp (hình 2-6). Áp suất được biếu Ihị
bằng cột chất lỏng có chiều cao h. Chiều cao này phụ
lượng riêng của chất lỏng (y ) ;

t liLiộc

trị số áp suất (p) vù uọng

(2-16)
Để đo chân không, ngưòi ta dùiiíi chàn khôns kế (hình 2-7). Độ cao chân không (1\|.)
chính là:
l\-k -

p.k

(2-17)

y

Người la còn dùng các loại áp ké' (do áp suất dư) và chân khôna kế khác.
14



Từ chiều cao cột chất lỏng, có thể đổi ra đơn vị của áp suất theo hệ thức:
p = y h , {Nlnr)

(2-18)

Như vậv, \aí tưcíng đương với cột nước có chiều cao 10/77, với cột thủy ngân có chiều
cao 735/?;»;.
•

Đồ plìâii hò' áp suất thủy tĩnh biểu thị luật phàn bố của áp suất thủy tĩnh theo chiều

sâu li (hình 2-8a, b).

(0 ,

H ỉnh 2-9

•
Định liiật Paíscuìi nói về sự truyền áp suất trong chất lỏng trọng lực cân bằng, ở
hình 2-9. nếu bỏ qua độ chênh h, ta có:
Ap suất truyền vào mặt w ị!

Pi

Áp lực thu được ở mặt co2 :

?2

co
co
= Pi . COo = Pị “
0)

> > P] (nếu

« 2

»

(0

|)

§2.2. ÁP Lực THỦY TĨNH TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG v à t h à n h c o n g
• Áp lực thủy tĩnh tác clụnq lên thcình pliẳng
Trị số của áp lực thủy tĩnh lên thành phẳng bằng áp suất thủy tĩnh tại trọng tâm c của
thành nhân với diện tíchcocủa thành đó (hình 2-lOa):
P = p,co = ( P 0 + y h ,) c o

(2-19)

trong đ ó : P{) - á p suất tại m ặ t tự do của chất lỏng;
hj. - độ sâu của trọng tâm c tính từ mặt chất lỏng.

Trường hợp P„J = p.,, tức Ppj = 0 (mặt nước thông với không khí) (hình 2-lOc) thì áp

lực dư tá c d ụ n g lên d i ệ n t í c h Cù s ẽ là;
p = yh^,co

15



Hình 2-10
Trường họp

ÍÉ 0 (hìiih 2-lOb:

> p,,, P,,J > 0 , áp lưc dư vẫn lính theo (2-?,0)

nhưng irong đó h^, phải kổ từ diôin c đến niụt a - a chứ không phải đến mặt cliất lỏng.
Trong thực tế la thường chi can lính áp lực dư vì phần áp lực cùa khõng khí tác dung lên
hai phía của thành phắng cân bằim nhau.

Điểm đặt của áp lực (aọi là làm áp lực). Vị (rí của tâm áp lực dư - khoáne cách
V|) (điểin D, hình 2-lOb, c) xác định theo công thức:
>'d = Yc +

( 2- 21 )

trong đó: y^, , y[j - khoảng cách tính theo chiều nehiêng của thành từ điểm c, điếm D đến
mặt a - a (ở hình 2-lOc, mặt a - a chính là mặt chất lỏng);
I,; - mômen quán tính cua diện lích thành đối \'ới irục nằm ngang đi qua irọnẹ lâm c.
Trường hợp thành phầno là liình chữ nhật hoặc hình vuông có cạnh nằm ngang, có Ihế

dùng phương pháp đồ giải ất thuận tiện (hình 2-11): dựa vào đồ phân bố áp suất ihủy
tĩnh, ta có:
■>

Áp lực dư;

p = Sh , b =

ỵH-

2 .sin a

,b

16



Tâm áp lực (D):
2

H

3

s in a

Hình 2-12

H ỉnh 2-11

• Á p lực thủy tĩnh tác dụng lên thảnh cong
Trị

số của áp lực p lên

ngang (phưcmg n - n

thành cong theo m ột phương bất kỳ nhưng không phải nằm
, hình 2-12)

xác định theo công thức:

p„ = Po® n + G c o s a

(2 -2 2 )

trong đó:
co ^ - diện tích của m ặt phẳng abcd - hình chiếu của thành cong ABCD lên mặt phẳng
đặt thẳng góc với phương n - n;
G = y W - trọng lượng khối chất lỏng hình trụ có thể tích w , được giới hạn bởi: một
phía là thành cong ABCD, m ột phía là m ặt chất lỏng (có áp suất Po), bao quanh là mặt
trụ có đường sinh song song với phương n - n và tựa lên chu vi thành cong:
a - góc lập bởi phưcíng n - n và phương thẳng đứng.
Đ ối với thành hình trụ cong hai chiều AB (hình 2-13) có đường sinh nằm ngang, áp
lực p bằng tổng hình học của các thành phần nằm ngang và thẳng đứng:
p = VP x + p '

(2-23)

trong đó: Py = 0 vì ta chọn phưofng trục y// đưcíng sinh;

p , = y h „(0 ,

(2-24)

ở đây; co X- diện tích hình chiếu của thành cong lên mặt phẳng đặt thẳng góc với trục x;
- độ sâu trọng tâm của co

17



P , = yW

(2-25)

là trọng lượng của vật áp lực W;
Thể tích w trong trường hợp này được xác định như sau; phía dưới là thành cong AB
tiếp xúc với chất ỉỏng, phía trên là mặt tự do của chất lỏng, còn m ặt bao quanh là mặt trụ
đứng, dựa vào chu vi của thành cong ta xét.
Vật áp lực w có thể là dương (hình 2-13), có thể là âm (hình 2-14) nếu nó ở về phía
thành cong không tiếp xúc với chất lỏng - trường hợp này p sẽ hướng lên trên.

H inh 2-13

H inh 2-14

Phương của áp lực p được xác định bởi góc p hợp thành giữa véctơ p và m ặt phẳng
nằm ngang:
p
(2-26)

•

Đ iểm đặ t của lực P: vectơ p đi qua giao điểm K (hình 2-13) của các đường tác dụng

của Px và

và hợp vói m ặt phẳng nằm ngang g ó c p . G iao điểm D giữa p và thành cong

chính là tâm áp lực cần tìm.
Đối với thành cong ba chiều (chẳng hạn một phần của m ặt cầu), áp lực p tính theo
công thức :
p=

+ p ;+ p /

(2-27)

trong đó:
Px =yhcx®,
Py = yhcyCOy

(2-28)

p =yW

18



§2-3. ĐỊNH LUẬT ÁCSIMÉT - VẬT N ổ l

• Đ ịnh luật Ácsimét: Lực Á csim ét là hợp lực của tất cả áp lực tác dụng lên mặt bao
quanh của vật rắn nhúng chìm trong chất lỏng trọng lực cân bằng. Nó được đặc trưng
bằng các tính chất sau đây:
' Hướng từ dưới lên trên, đặt tại trọng tâm của khối chất lỏng bị vật choán chỗ.
' Có trị số bằng trọng lượng của khối chất lỏng nói trên (thể tích W):
P =

ỵW

(2-29)

trong đó: Y - trọng lượng riêng của chất lỏng.
Như vậy, một vật rắn nhúng chìm trong chất lỏng trọng lực cân bằng chịu tác dụng
của hai lực: lực Á csim ét p (lực đẩy lên) hướng lên trên, và trọng lượng của vật G (đật tại
trọng tâm vật rắn C) hướng xuống dưới. Tùy theo lực p bé hơn, bằng hoặc lón hơn lực G
mà vật rắn hoặc là chìm xuống đến đáy (bể chứa...), hoặc chìm lơ lửng trong chất lỏng,
hoặc nổi lên trên m ặt chất lỏng.
• V ật nổi: Trường hợp p > G, vật rắn sẽ ló một phần ra khỏi mặt chất lỏng - ta có vật
nổi (hình 2-15). Vật nổi sẽ cân bằng khi thoả mãn điều kiện cần:
p=yW ' =G

(2-30)

trong đó; W ' là thể tích khối chất lỏng bị phần ngập của vật choán chỗ (phần gạch gạch).
Đ iểm đặt của P' là D'. Từ đó suy ra rằng trọng lượng của vật nổi (tàu, thuyền, phao,...)
bằng trọng lượng khối chất lỏng bị nó choán chỗ. Thể tích W' thường được gọi là lượng
giãn nước.
N goài điều kiện cần (2-30), vật nổi m uốn cân bằng phải có thêm điều kiện đủ: 2 điểm

c và D' phải cùng nằm trên m ột đường thẳng đứng z - z tức trục nổi (hình 2- lóa).

z
G
-------ư

b)

a)
H ình 2-15

H ình 2-16

Nếu lý do nào đó, trục nổi z - z nghiêng đi (hình 2.16b) thì P '(đ iể m đặt lúc này là D")
và G sẽ tạo thành m ôm en có khuynh hướng hoặc là làm cho vật quay trở lại trạng thái

19



ban đầu, hoặc làm cho vật tiếp tục nghiêng đi. Khả năng của vật trở lại vị trí cân bằng
ban đầu khi trục nổi z - z bị nghiêng được gọi là tinh ổn định của vật nổi. Ta thấy ngay:
vật nổi sẽ cân bằng ổn định khi điểm c nằm dưới điểm D'. Trong trường hợp điểm c
nằm trên điểm D', vật nổi cũng sẽ cân bằng ổn định nếu điểm M - được gọi là tâm định
khuynh (giao điểm giữa trục nổi và phưcmg của P ') nằm cao hem điểm c (hình 2-16b).
K hoảng cách p = M D ' gọi là bán kính định khuynh. Đặt e = CD' thì khoảng cách
h(^ = p - e được gọi là độ cao định khuynh,

càng lớn thì vật càng ổn định; vật mất ổn

định khi h|^ < 0.
Bán kính định khuynh xác đ ịn h theo công thức:

p =

I
W'

(2-31)

trong đó;
I

- m ôm en quán tính của mặí nổi (tức mặt phẳng mà m ặt chất lỏng cắt vật nổi ở vị trí

cần bằng ban đầu) đối với trục dọc của nó;
W ' - lượng giãn nước.
Trong kỹ thuật đóng tàu thuyền, tùy theo hình dạng, kích thước và tính chất sử dụng,
thưèmg lấy hf^ = 0,3 H- l,5m.

II - BÀI TẬP
1. Áp su ất thủy tĩnh
Bài 2-1. Tính áp suất tuyệt đối và áp suất dư tại độ sâu h = Ì5m ở dưới m ặt nước biển.
Trọng lượng riêng của nước biển lấy là

Y =

10 '* N / m ^ .

Giải : Áp suất tuyệt đối:

p, = p, + yh = 98100 + lo'* X 15 = 248100 N / m ^ .

-V
------- h -------(T) ~

Bài 2-1

Bái 2-2

Áp suất dư;
Pd

- Pi ■Pa

yh

= 10

X

15 = 150000 N /m ^ .

20



Bài 2-2. Xác định độ cao cúa cột nước dâng lén trong ống đo áp (h). Nước trong bình
kín chịu 1 áp suất tại m ặt tự do là P(,, = 1,06 at. Xác định áp suất

nếu h = 0,80m.

G i ả i ; Vì mặt o - o là mặt đẳng áp nên ta có:

Pal

Pol

Mặt khác, từ ống đo áp, ta có:
Pa. = Pa+ yh
Từ 2 đắng thức trên ta rút ra:
_ p ol

pa

Thay: Pa = lứ í = 98100 N/m^:
Po, =

\ .06at

=

và

y =98lO/V/m^

ta tính được:

h = 0,6w

1,06

X

98100 N/m^

Nếu h = 0,Sm, ta có:
+

yh

= 98100

+ 9810

X 0 ,8

=

1 0 5 9 4 8 N im ^

Bài 2-3. Xác định độ cao nước dâng lên trong chân không kế, nếu áp suất tuyệt đối
của khí trong bình cầu là

Po,

= 0,95at.
G iả i: Vì mặt a - a là mật đẳng áp nên ta có:
Pai ” Pa

Mặt khác, từ ống chân không kế;
PA. = Po,+ yh
Từ 2 đẳng thức trên ta rút ra:
h=

Bài 2-3
Thay:

Pot

p, = 98100 N lm '
Po,

= 0,95

X

98100 /V/m^

và:

ỵ=mON/rn^

ta được:

h = 0,5m

Ta thấy y h = Pj, - Pq( =

Pa

là áp suất chân không của môi trường khí trong bình cầu;

vì vậy, chỉ số của chân không kế (h) cho ta biết áp suất chân khổng đó.

21



Bài 2-4. Xác định độ chênh áp suất tại 2 điểrr. A, B của một ống dẫn nước bằng áp k ế
chữ u. Cho biết: chiều cao cỏt thủy ngân Ihg = hị - h 2 = 20cm, trọng lượng riêng của thủy
ngân Y,n= 133416

Bài 2-4

Bài 2-5

G iả i: Từ bên trái:
Po'-Ó = Pa - Vnh,
Từ bên phải:

Po ■o ~ Pfỉ ' Yii ^2

Ta lại'có:

p o - o -■ P'o’ o’

YIn ^0

Nên cuối cùng ta có:
P b - P a = Y.nho- Y „ ( h , - h 2 ) =(Y, „- y j h „ = ( i ; w i 6 - 9810)0,2 = 2 ,4 72 .l o " / v w
Bài 2-5. Để đo áp suât, người la nối vào niột bình đựng dầu xăng (tỷ trọng 5^ = 0,7)
tới độ cao a + b = ì,9 m bằng ba thiết bị khác nhau; 1 áp kế kim loại ở nắp, 1 ống đo áp
ở đáy, và 1 áp k ế 3 khuỷu ở thành bên tại đô sâu b = l,3m dưới mực dầu xăng đựng đáy
thủy ngân ( ô(„ = 13,6), nước (ỏn = 1) và không khí (ỗ ~ 0).

Xác định chỉ số của áp kẽ (M) và của ô'n,g đo áp (H) nếu mức các chất lỏng trong áp
kế 3 khuỷu cho như ở hình vẽ (cho bằng mét).
G ỉđ i:
Chỉ sô' của áp k ế M chmh là áp suất dư của môi trường khí trên mặt dầu xăng trong bình.
Dùng cách túứi truyền theo áp kế 3 khuỷu (từ bên phải sang), ta túih lần lượt như sau:
Pcl m ~ P d n “ Yn ( 3 ■ 1 ) 2 )

Pclr =Pdn + y ,n (2 ,8 -l,0 )
(a)
Pds =Pdr - Yn (2,6-1,0)
Pdv

=Pds +Y .n(2.6-2,0)

22



và:

M = Pd, - Ỵ, b

(b)

Thay p^iv ở (b) bằng các đẳng thức (a), ta có:

M = 0,6ỵ,„ - l,6y„ + 1,8ỵ,„ + l,8y„ - l,3 y , =
= y„ (0 ,6 + l,8 ) + y J 1 . 8 - l , 6 ) - l , 3 y , =
= 2,4 ỵ,„ + 0 ,2 ỵ„ - 1 .3 y ,=
= (2 ,4

X

1 3 ,6 + 0 ,2

X

1 - 1 ,3

x 0 ,7 ) 9 8 1 0 =

= 3,193 X 98100 = 3,193 aí.
Chỉ số của ống đo áp:
M
3,19 3 x 9 8 1 0 0
H = — + a + b=
_ " ----- + 1,9 = 47,50 m
y,
0 ,7 x 9 8 1 0

Bài 2-6. Cách m ặt biển m ột độ cao h là bao nhiêu thì áp suất không khí chỉ còn
lOữm m cột thủy ngân ? N hiệt độ không khí coi là không đổi và lấy bằng 20°c. Áp suất
không khí trên m ặt biển lấy 135m m cột thủy ngân.
Giải: Chọn trục z hướng thẳng đứng lên trên thì hình chiếu
của gia tốc lực khối (chỉ có trọng lực) như sau:

X = Y = 0; z = - g

Mặt biển

O (x.y)

Thay vào (2-2) ta được:
dp = - p gdz

(a)

Từ phưoíig trình trạng thái đối với khí dưới nhiệt độ không đổi:
Bài 2-6
p =

gR T

atrong đó: R - hằng số chất khí (R = 29,3);
T - nhiệt độ tuyệt đối.
Thay p vào phương trình (a), ta được;

hay:

d p = -ỉí
RT
dp _
dz
p “ ~RT

Tích phân lên ta được:
In p = - - ^ + C
^
RT

(b)

H ằng số c xác định từ điều kiện: khi z = 0 thì p = P a ; do đó;

c=lnp.
23



Thay trị sô' c vào (b), ta được:
(c)

RT
hay, cuối cùng ta được;
2

(d)

P = Pa - e

Biểu thức (d) biểu thị quy luật phân bô' của áp suất khí theo độ cao. dưới nhiệt độ
không đổi.
Từ (c). ta rút ra;
z = 2 ,3 R T lg - ^
p
Vậy;

h = 2,3

X

29,3 (273 + 20) Ig—

= 2,3

X

29,3

X

293

X

0,021 = 420/^2.

Bài 2-7. Xác định vị trí của mặt dầu trong
một khoang đựng dầu hở của tàu thủy khi nó
chuyển động chậm dần đểu trước lúc dừng hẳn
với gia tốc a = 0,30m/s^. Kiểm tra xem dầu có

Mực dẩu lúc táu chuyển động đều
Mụt đấu lúc tấu chuyển động

—4___________) chàm dắn

bị tràn ra khỏi thành không, nếu khi tàu
chuyển động đều, dầu ở cách mép thành một
khoảng e = I6cm. Khoang tàu dài / = Sm.

Giải: Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, ta có;
x = a; Y = 0 ; Z = - g .
Mặt tự do của dầu là một mặt đẳng áp.
Thay giá trị của X, Y, z vào (2-4), ta có:

Bài 2-7

adx - gdz = 0
Tích phân lên ta được;
ax - gz = c
Vì mặt tự do của dầu đi qua gốc tọa độ (x = 0, z = 0) nên c = 0. do đó phương trình
của mặt tự do sẽ là:
ax - gz = 0
hay:
z = xtg(3
trong đó:

tg p = -

8

24



Như vậy, mặt dầu trong khoang là một mặt phắng nằm nghiêng vế phía trước, đi qua
gốc tọa độ o .
Mức dầu dâng lên thêm ở thành trước so với lúc chuyển động đều:
a
z = —X

g x = -=4m

_

0 ^
9,81

X

4 = 12,24 cm

Ta thấy z < e nên dầu không tràn ra ngoài được.
Bài 2-8. Một bình hở có đường kính d = 450/77/7? đựng đầy nước, quay xung quanh
trục thẳng đứng với số vòng quay không đổi n = ISOvglph (xem hình 2 - 3).
Xác định áp suất tại một điểm ở thành bình cách đáy bình m ột khoảng z = 300mm,
nếu mực nước tại trục quay của bình nằm cách đáy một độ cao Zq = 700mm?
Tim dạng các mặt đẳng áp?
Giai : Lấy gốc tọa độ ở tâm đáy bình và các trục như hình vẽ, lúc đó hình chiếu của
gia tốc lực khối (gồm trọng lực và lực ly tâm) lên các trục tọa độ sẽ là:
X = co^x; Y = (O^y; z = - g
trong đó: 0) - tốc độ góc quay:
_ 7tn

(0 =

30

3,14x750

,70 ^

= --- ----- = 78,5 raa/s
30

Thay giá trị của X, Y, z vào (2- 2), ta được:
dp = p (co^xdx + (O^ydy - gdz).
Sau khi tích phân, ta được:
+c

p= p

Hẳng sô' c xác định từ điều kiện: khi X = y = 0, z = Z(, thì Pi = Pa (áp suất không khí),
do đó:
C = Pa+ pgZo
Thay giá trị của c vào phương trình trên, ta được:
P, = Pa+ y h + p
trong đó:

2

r =X +y

2

h = z„ - z
Từ đó ta thấy rằng, trong trường hợp bình quay, áp suất sẽ tăng lên khi tăng bán kính
t|uay và số vòng quay.

25

ở điểm có tọa độ đã cho (r = 2 ’ ^ “ 3Q0mm = 0,3m ), áp suất dư sẽ là:

Pd = P t - P a = y h + p

= 9 8 1 0 (0 ,7 -0 ,3 ) + 1000x

2
= 0,20ứ/.

Phương trình vi phân của các m ặt đẳng áp (phương trình 2-4):
Ũ3^xdx + co^ydy - gdz = 0
Tích phân lên ta có:
- gz = const
Như vậy, các m ặt đẳng áp ở đây (gồm cả mặt tự do) là những mặt parabôlôit tròn xoay
đối với trục z.
Bài 2-9. Người ta đúc ống gang bằng cách quay khuôn quanh m ột trục nằm ngang với
tốc độ quay không đổi n = \5ồồvglph. X ác định áp suất dư tại m ật trong của khuôn, nếu
trọng lượng riêng của gang lỏng là y = 68670 N/m^. Cho biết thêm: đường kính trong
của ống d = 200m m , chiều dày thành ống ô = 20mm.
Tim hình dạng của các m ặt đẳng áp.
G iả i: Tốc độ góc quay:
_ Tcn 3,14x1500
„
eo = - ^ = ------—f----- = 157 radỉs
30
30

Do đó, gia tốc của lực li tâm trên mặt

khuôn là:
a = ( 0 ^ r = 157^ X 0 ,1 2 = 2 9 5 0

Bài 2-9

trong đó: r = Tq + ô = 2 ^ ^ = 0 ,1 0 + 0,02 = 0 ,ỉ2 m là bán kính m ặt trong của khuôn.
Vì g = 9,81m/í^ < < a nên trong tính toán ta bỏ qua gia tốc trọng trường g (g chỉ bằng
0,33% a). Chọn gốc tọa độ trên trục ống, trục X trùng với trục ống, ta có:

x = 0; Y= 0) ^ y ;Z = Cù^z.
Thay vào (2-2), ta được:
dp = p (co ^ydy + co ^zdz)
Sau khi tích phân, ta có:
P = P ^ ( y ' + z2) + c = p ^ + c

26



Hằng số c xác định từ điều kiện: khi r = Tj, (mặt trong của ống) thì Pt = P a ; do đó:
C = Pa- p
Vậy:
p = Pa + p

c o '( r '- r o ')

Ta thấy: áp suất trong gang lỏng thay đổi theo luật parabôn theo phương bán kính.
Với các điều kiện đã cho (ĩq = 0,1 Om; r =
của khuôn là:

+ 6 = 0,12m), áp suất dư trên m ặt trong

c o '( r '- r o ') _ y c o '^ ( r '- r o ') _ 6 8 6 7 0 , , , ^ ^ 2 . . ( 0 , 1 2 '- 0 , 1 0 ') _
Pd

Pl ■ Pa

—p

p

------------- _

—

2

g

■

'■"
2V------------— — 9,81

X iD /

X

"""V

*“

= 380000 Nlm^ = 3,87a/
Phưcrng trình vi phân của m ặt đẳng áp:
(co^ydy + co^zdz) = 0
Sau khi tích phân, ta được:
= const
Ta thấy các m ặt đẳng áp là những m ặt trụ tròn có ữục trùng với trục quay.
B ài 2-10. M ột áp k ế vi sai gồm có m ột ống chữ u đường kính d = 5mm nối 2 bình có
đưèrng kmh D = 50m m với nhau. M áy đựng hai chất lỏng không ữ ộn lẫn vód nhau, có
trọng lượng riêng gần bằng nhau: dung dịch rượu êtylen trong nước (y, = 8535 Nlm^) và
dầu hỏa (y 2 = 8 1 4 2
Lập liên hệ giữa độ chênh áp suất A p = Pi - P2 của khí mậ áp k ế phải đo với độ dịch
chuyển của m ặt phân cách các chất lỏng (h) tứứi từ vị trí ban đầu của nó (khi A p = 0).
X ác định A p khi h = 280m/n.

11

- Trong m áy không có các bình;
- Không có bình bên trái.

ĩ>2

I Pi

Chỉ rõ chỉ số của m áy sẽ giảm xuống bao nhiêu lần, với A p
cho trước, nếu:

__ 1 l.... —-

D

---------

—~

Đ áp số:

Yi

I
1) Ap = h Y i- Ĩ 2 +

(Yi + Y 2 )

Yi

A p= 157 N/m^
2) G iảm xuống 30,5 lần và 15,4 lần.

Bài 2-10

27