Chuỗi fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi fourier

Mục lục

MỞ ĐẦU

4

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1

1.2

Chuỗi số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Phần dư của một chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Chuỗi số dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.6

Chuỗi đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.7

Chuỗi số bất kì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1

Dãy hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2

Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 CHUỖI FOURIER
2.1

18

Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2

Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3

Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

2.2

2.3

2.1.4

Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.5

Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.6

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3

Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.4

Bổ đề (Riman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.5

Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.6

Công thức Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.8

Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier. . . . 28

2.2.9

Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức. . . . . . . . . . . . . 31

2.2.10

Tính chất của các hệ số Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.11

Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier. . . 36

2.2.12

Định lý (Đini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.13

Dạng phức của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . 42
2.3.1

Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. . . . . . . 42

2.3.2

Khai triển Fourier tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH
CHUỖI FOURIER.

53

3.1

Bài toán 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2

Bài toán 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2


3.3

Bài toán 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4

Bài toán 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5

Bài toán 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6

Bài toán 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7

Bài toán 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8

Bài toán 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.9

Bài toán 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.10 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

KẾT LUẬN

66

TÀI LIỆU THAM KHẢO

66

3


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
PHẦN MỞ ĐẦU

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích là một trong những ngành quan trọng của toán học và mang nhiều ứng dụng
trong thực tế cuộc sống.
Trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì.
Toán học gọi đó là các vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. Một trong
những loại hàm tuần hoàn thường xét là hàm số y = Asin(ωx + α). Việc trực tiếp xét các
hiện tượng nêu trên là tương đối khó. Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, các nhà toán
học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cos

nπx
nπx
và sin
.
n
n

Từ đó xuất hiện khái niệm chuỗi Fourier của một hàm số và khai triển một số hàm

số thành chuỗi Fourier.
Để làm sáng tỏ ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng là để làm quen nghiên cứu khoa
học, em đã chọn đề tài "Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier"
làm khóa luận tốt nghiệp của mình dưới sự hướng dẫn của Th.S Phạm Thị Thái.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
2.1. Mục đích nghiên cứu.
- Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành
chuỗi Fourier.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại
Học Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ số
Fourier.

4


- Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier.
- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hình
thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích.
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách khai triển
một số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Vấn đề nghiên cứu trong khóa luận là vấn đề còn mới mẻ so với sinh viên bậc đại học.
Vì vậy phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là:
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và

trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận.
5. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến sự mở rộng và
chuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗi Fourier. Hơn nữa, khóa luận cũng
đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một
số hàm số thành chuỗi Fourier.
6. CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi số, chuỗi
hàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu
mà không chứng minh.
Chương 2: Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗi Fourier.

5


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân của chuỗi Fourier và nghiên cứu
một số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.
Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier,
và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển của
một hàm xác định trong một đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ của một hàm. Dựa
vào đó để tính tổng của chuỗi Fourier.
Chương 3: Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Trong chương này cũng đưa ra một số bài tập đề nghị.

6


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
1.1.1

Chuỗi số thực.
Các định nghĩa.

Định nghĩa 1.1. Giả sử {un }+∞
n=1 là một dãy số thực. Ta gọi
+∞

u1 + u2 + ... + un + ... =

un

(1.1)

n=1

là chuỗi số thực (chuỗi số).
n

uk là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1). Nếu

Định nghĩa 1.2. Ta gọi Sn =
k=1

lim Sn = S ∈ R

(1.2)

n→+∞

+∞

thì ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết S =

un .
n=1

Trường hợp ngược lại, nếu không tồn tại lim Sn hoặc lim Sn = ±∞ thì chuỗi số (1.1)
n→+∞

n→+∞

được gọi là chuỗi phân kì.
+∞

Ví dụ 1.3. (i) Chuỗi số

1
hội tụ và có tổng bằng 1 vì tổng riêng thứ n của chuỗi là
n
n=1 2
Sn =

Do đó lim Sn = lim (1 −
n→∞

n→+∞

1 1
1
1
+ + ... + n = 1 − n .
2 4
2
2

1
) = 1.
2n

7


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
+∞

n phân kì vì tổng riêng thứ n của chuỗi là

(ii) Chuỗi
n=1

Sn = 1 + 2 + ... + n =

n(n + 1)
.
2

n(n + 1)
= +∞.
n→+∞
2

Do đó lim Sn = lim
n→+∞

1.1.2

Phần dư của một chuỗi số.

Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ và S là tổng của nó. Khi đó ta gọi

Rn = S − Sn

(1.3)

là phần dư thứ n của chuỗi số (1.1).
Chú ý: Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S thì lim Rn = lim (S − Sn ) = 0.
n→+∞

1.1.3

n→+∞

Tính chất.
+∞

+∞

un và chuỗi số

Tính chất 1.4. Giả sử chuỗi số
n=1

vn hội tụ có tổng tương ứng là I
n=1

và J. Khi đó:
+∞

(un ± vn ) cũng hội tụ có tổng tương ứng là I ± J.

(i) Chuỗi số
n=1

+∞

(ii) Nếu k ∈ R là hằng số thì chuỗi số

kun hội tụ có tổng là kI.
n=1

Tính chất 1.5. Trong một chuỗi, ta có thể thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số
hạng mà không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kì của nó.

1.1.4

Tiêu chuẩn hội tụ.

Định lý 1.6. (Tiêu chuẩn Cauchy)
+∞

un hội tụ khi và chỉ khi với mỗi số ε > 0 bất kì, tồn tại số nguyên dương N

Chuỗi số
n=1

sao cho:
∀n, p ∈ N∗ , n ≥ N ⇒ |un+1 + un+2 + ... + un+p | < ε

8


+∞

un hội tụ là lim un = 0.

Tính chất 1.7. Điều kiện cần để chuỗi
n=1

n→+∞

+∞

n

un hội tụ có tổng là S và Sn =

Chứng minh. Giả sử chuỗi số
n=1

uk là tổng riêng thứ
k=1

n của chuỗi. Khi đó
lim Sn = S và un = Sn − Sn−1 .

n→+∞

Do đó lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = S − S = 0(đpcm).
n→+∞

n→+∞

+∞

Nhận xét 1.8. Nếu lim un = 0 hoặc không tồn tại lim un thì chuỗi số
n→+∞

n→+∞

un phân
n=1

kì. Tuy nhiên, tính chất 1.7 chỉ là điều kiện cần nên một chuỗi số thỏa mãn điều kiện
lim un = 0 thì chưa kết luận được chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ.

n→+∞

+∞

Ví dụ: Chuỗi số

q n (q là hằng số) được gọi là chuỗi số nhân. Chuỗi này hội tụ khi

n=1

|q| < 1, phân kỳ khi |q| ≥ 1.

1.1.5

Chuỗi số dương.
+∞

un có các số hạng un ≥ 0 với mọi n được gọi là chuỗi số

Định nghĩa 1.9. Chuỗi số
n=1

dương.
+∞

Chú ý: Chuỗi số

1
(s là hằng số) được gọi là chuỗi Riemann. Chuỗi này hội tụ khi
s
n=1 n

s > 1 và phân kỳ khi s ≤ 1. Trong trường hợp s = 1 ta được chuỗi
+∞

n=1

1
1
1
= 1 + + ... + + ...
n
2
n

là chuỗi phân kì. Chuỗi số này còn gọi là chuỗi điều hòa.
Các dấu hiệu hội tụ:
+∞

un hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn

Định lý 1.10. Chuỗi số dương
n=1

trên.
Định lý 1.11. (Dấu hiệu so sánh 1.)
+∞

+∞

vn và un ≤ vn kể từ một chỉ số nào đó trở đi.

un và

Giả sử hai chuỗi số dương
n=1

n=1

9


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
Khi đó
+∞

+∞

vn hội tụ thì chuỗi số

(i) Nếu chuỗi số

n=1
+∞

un
n=1
+∞

un phân kỳ thì chuỗi số

(ii) Nếu chuỗi số

hội tụ.
vn phân kỳ.

n=1

n=1

Định lý 1.12. (Dấu hiệu so sánh 2.)
+∞

+∞

un và

Giả sử hai chuỗi số dương
n=1

un
= k (0 = k ∈ R). Khi đó hai chuỗi
n→+∞ vn

vn có lim
n=1

số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Định lý 1.13. (Dấu hiệu tích phân Cauchy.)
Giả sử f là một hàm số liên tục trên khoảng [1; +∞) , f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) và f giảm
với x đủ lớn. Đặt

u1 = f (1), u2 = f (2), ..., un = f (n), ...
+∞

un hội tụ nếu và chỉ nếu

Khi đó chuỗi số
n=1

y

lim

f (x)dx

y→+∞
1

là hữu hạn.

1.1.6

Chuỗi đan dấu.

Định nghĩa 1.14. Chuỗi số có dạng
+∞

(−1)n−1 un = u1 − u2 + u3 − ...

(1.4)

(−1)n un = −u1 + u2 − u3 + ...

(1.5)

n=1

hoặc
+∞

n=1

với un ≥ 0, ∀n ∈ N∗ gọi là chuỗi số đan dấu.
Sau đây là định lí thường hay sử dụng đối với chuỗi số đan dấu:

10


Định lý 1.15. (Định lý Leibniz)
+∞

Nếu chuỗi số đan dấu

(−1)n−1 un thỏa mãn các điều kiện sau:

n=1

(i) u1 ≥ u2 ≥ ... ≥ un ≥ ...
(ii) lim un = 0
n→+∞

thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng u1 .
Ví dụ 1.16. Xét chuỗi số đan dấu
+∞

(−1)n−1
n=1

có

1
n

1
n

1
= 0. Do đó chuỗi số trên hội tụ.
n→+∞ n

là một dãy giảm và lim

+∞

Chú ý 1.17. (i) Định lý Leibniz phát biểu cho chuỗi đan dấu dạng

(−1)n−1 un và là

n=1
+∞

điều kiện đủ để chuỗi đó hội tụ. Đối với chuỗi đan dấu dang

(−1)n un ta chỉ áp dụng

n=1

định lý Leibniz sau khi nhân tất cả các số hạng của chuỗi với (−1). Do đó chỉ kết luận
+∞

được sự hội tụ của

(−1)n un mà không kết luận được chuỗi đó có tổng S ≤ u1 .

n=1
+∞

(ii) Đối với chuỗi đan dấu dạng

(−1)n−1 un mà các giả thiết của Đinh lý Leibniz chỉ

n=1

đúng khi n ≥ N (N là số nguyên dương nào đó) thì vẫn kết luận được sự hội tụ chuỗi
đan dấu đó nhưng không kết luận được chuỗi có tổng S ≤ u1 .

1.1.7

Chuỗi số bất kì.
+∞

+∞

|un |

un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương

Định nghĩa 1.18. Chuỗi số
n=1

n=1

hội tụ.
+∞

un hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ và

Định lý 1.19. Nếu chuỗi số
n=1

+∞

+∞

un ≤
n=1

|un |.
n=1

11

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
+∞

+∞

|un | hội tụ, theo

un hội tụ tuyệt đối. Khi đó chuỗi số

Chứng minh. Giả sử chuỗi số
n=1

n=1

tiêu chuẩn Cauchy, với ∀ε > 0, ∃N ∈ N ∗ , ∀n, p ∈ N∗ sao cho
∀n ≥ N ⇒ |un+1 | + |un+2 | + ... + |un+p | < ε.

Mặt khác
|un+1 + un+2 + ... + un+p | ≤ |un+1 | + |un+2 | + ... + |un+p |
Do đó ∀ε > 0, ∃N ∈ N ∗ sao cho ∀n, p ∈ N ∗ , n ≥ N

⇒ |un+1 + un+2 + ... + un+p | < ε.
+∞

un hội tụ.

Điều trên chứng tỏ chuỗi số
n=1

Sau đây là một số dấu hiệu về sự hội tụ của chuỗi.
Định lý 1.20. (Dấu hiệu D’Alembert.)
+∞

|un+1 |
= k. Khi đó
n→+∞ |un |

un có lim

Cho chuỗi số
n=1

(i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
(iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số.
Định lý 1.21. (Dấu hiệu Cauchy.)
+∞

un có lim

Giả sử chuỗi số
n=1

n→+∞

n

|un | = k. Khi đó

(i) Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(i) Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ.
(iii) Nếu k = 1 thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi số.
Trong trường hợp không sử dụng được Dấu hiệu D’Alembert hoặc Dấu hiệu Cauchy thì
có thể sử dụng định lí tổng quát sau:

12


+∞

un là một chuỗi số với lim sup

Định lý 1.22. Giả sử

n

n→+∞

n=1

|un | = l. Khi đó

(i) Nếu l < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(i) Nếu l > 1 thì chuỗi phân kỳ.
(iii) Nếu l = 1 thì chưa thể nói gì về tính chất của chuỗi số.
Chứng minh. Ta biết rằng với một dãy số thực {an } bất kì, ta có
lim sup an = lim sup {an , an+1 , ...}.

n→+∞

n→+∞

Do đó nếu lim sup an = α và β là một số thực lớn hơn α thì an ≤ β với n đủ lớn.
n→+∞

a) Gọi r là một số thực sao cho l < r < 1. Vì lim sup
n→+∞

n

|un | = l < r nên

n

|un | ≤ r với

n đủ lớn. Do đó |un | ≤ rn với n đủ lớn.
+∞

Vì chuỗi số

rn hội tụ nên, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số

n=1

+∞

|un | hội tụ.

n=1

b) Tồn tại một dãy con {ukn } của dãy {un } sao cho lim

n→+∞

n

n

|ukn | = l > 1. Do đó

|ukn | > 1 với n đủ lớn. Vậy chuỗi đã cho phân kì.
+∞

un là một dãy số thực.

Định lý 1.23. Giả sử
n=1

|un+1 |
= l < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.
n→+∞
|un |
|un+1 |
(ii) Nếu lim inf
= l > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.
n→+∞
|un |
(i) Nếu lim sup

1.2

Chuỗi hàm số.

1.2.1

Dãy hàm số.

a. Miền hội tụ.
Định nghĩa 1.24. Giả sử {un (x)}+∞
n=1 là dãy hàm số thực xác định trên một tập hợp
X ⊂ R. Với mỗi x0 ∈ X, {un (x0 )} là một dãy số thực. Nếu dãy số thực {un (x0 )} hội tụ
thì ta nói rằng dãy hàm số {un (x)} hội tụ tại điểm x0 . Điểm x0 được gọi là điểm hội tụ
của dãy hàm số {un (x)}. Tập hợp các điểm hội tụ của dãy hàm số {un (x)} gọi là miền
13


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
hội tụ của dãy hàm số đó.
Nếu dãy hàm số {un (x)} không hội tụ tại điểm x0 ∈ X thì x0 gọi là điểm phân kì của
dãy {un (x)}.
Ví dụ 1.25. Xét dãy hàm số
un (x) = (x)n , n = 1, 2, ...
xác định trên R. Ta có

lim un (x) =

n→+∞






1 với x = 1




0 với

−1
và dãy hàm phân kì tại điểm x = −1 và tại các điểm x mà |x| > 1. Vậy miền hội tụ của
dãy hàm số đã cho là (−1; 1].
Hội tụ

f (x) =






1 với x = 1





0 với

−1
gọi là hàm số giới hạn của dãy hàm số đã cho.

b. Hội tụ điểm.
Định nghĩa 1.26. Giả sử u, u1 , u2 , ... là những hàm số xác định trên tập hợp X. Ta nói
rằng dãy hàm số {un } hội tụ điểm (hoặc hội tụ) đến u trên X nếu với mọi x ∈ X, ta đều
có
lim un (x) = u(x).

n→+∞

Như vậy dãy hàm số un hội tụ điểm đến hàm số u trên X khi và chỉ khi với mọi x ∈ X
và với mọi ε > 0, tồn tại một số nguyên dương N sao cho
n ≥ N ⇒ |un (x) − u(x)| < ε.
14


Số nguyên dương N phụ thuộc vào ε và nói chung phụ thuộc vào x.
Nếu với mỗi ε > 0 cho trước đều tìm được một số nguyên dương N chung cho mọi x ∈ X
thì ta nói rằng dãy hàm số un hội tụ đều đến u trên tập hợp X.

c. Hội tụ đều.
Định nghĩa 1.27. Giả sử u, u1 , u2 , ... là những hàm số xác định trên tập hợp X. Ta nói
rằng dãy hàm số un hội tụ đều đến hàm số u trên tập hợp X nếu với một số ε > 0 cho
trước bất kì, tồn tại một số nguyên dương N sao cho

n ≥ N ⇒ |un (x) − u(x)| < ε

với mọi x ∈ X.
Khi đó ta viết
un ⇒ u trênX
Định lí sau đây cho một điều kiện tương đương của định nghĩa 1.27.
Định lý 1.28. Giả sử u, u1 , u2 , ... là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó
un ⇒ u trên X nếu và chỉ nếu
lim sup |un (x) − u(x)| = 0

n→+∞ x∈X

d. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều.
Định lý 1.29. Giả sử {un (x)} là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X. Khi đó un
hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất kì, tồn tại một số nguyên
dương N sao cho
m ≥ N, n ≥ N ⇒ |um (x) − un (x)| < ε
với mọi x ∈ X.

15


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
1.2.2

Chuỗi hàm số.

Định nghĩa 1.30. Giả sử {un (x)}+∞
n=1 là một dãy hàm số xác định trên tập hợp X ⊂ R.
Khi đó
+∞

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... :=

un (x)
n=1

được gọi là chuỗi hàm số.
+∞

ln

Ví dụ 1.31.
n=1

x
x
x
= ln x + ln + ... + ln + ... là một chuỗi hàm trên (0; +∞).
n
2
n

+∞

sin nx = sin x + sin 2x + ... + sin nx + ... là chuỗi hàm trên (−∞; +∞).
n=1
+∞

+∞

un (x) các hàm xác định trên X, x0 ∈ X thì

Định nghĩa 1.32. Cho chuỗi
n=1

un (x0 )
n=1

+∞

un (x) được gọi là hội tụ tại

là một chuỗi số. Nếu chuỗi số này hội tụ thì chuỗi hàm
n=1
+∞

x0 và điểm x0 được gọi là điểm tụ của chuỗi hàm

un (x). Tập hợp tất cả các điểm tụ
n=1

của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó.

1.2.2.1. Chuỗi hàm số hội tụ đều.
a. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm số.
Định lý 1.33. Giả sử u1 , u2 , ..., un , ... là những hàm số xác định trên tập hợp X. Khi
+∞

un hội tụ đều trên X nếu và chỉ nếu với một số ε > 0 cho trước bất

đó, chuỗi hàm số

n=1

kỳ, tồn tại một số nguyên dương N sao cho: ∀n, p ∈ N∗ , n ≥ N
Suy ra |un+1 (x) + un+2 (x) + ... + un+p (x)| < ε, ∀x ∈ X.
+∞

un (x) hội tụ đều trên tập X là

Định lý 1.34. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm
n=1

lim sup |rn (x)| = 0.

n→+∞ x∈X

16


b. Dấu hiệu Weierstrass.
+∞

+∞

un (x) hội tụ đều trên tập X nếu tồn tại chuỗi số dương

Chuỗi hàm
n=1

an hội tụ
n=1

sao cho:
|un (x)| ≤ an , ∀x ∈ X, ∀n ∈ N∗ .

1.2.2.2. Tính chất của tổng của một chuỗi hàm.
Định lý 1.35. (Tính liên tục).
+∞

un hội tụ đều trên khoảng I của R. Nếu các hàm số un đều liên

Giả sử chuỗi hàm số
n=1

tục tại điểm x0 ∈ I thì tổng S của chuỗi hàm số liên tục tại điểm x0 . Vậy ta có:
+∞

lim

x→x0

+∞

un (x) =
n=1

+∞

un (x0 ) =

lim un (x).

n=1

n=1

x→x0

Định lý 1.36. (Đổi thứ tự dấu tổng và dấu tích phân)
+∞

Cho chuỗi hàm xác định trên [a; b] là

un (x). Giả sử:
n=1

(i) Các hàm un liên tục trên [a; b].
(ii) Chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b]. Khi đó, tổng chuỗi là hàm khả tích trên [a; b]
và
b +∞

+∞

un (x)dx =
a

n=1

b

un (x)dx.

n=1 a

Định lý 1.37. (Đạo hàm từng số hạng)
+∞

un (x) xác định trên [a; b]. Giả sử:

Cho chuỗi hàm
n=1

(i) {un } là dãy các hàm khả vi liên tục trên [a; b].
+∞

un (x) hội tụ tại một điểm c nào đó trên [a; b].

(ii) Chuỗi hàm
n=1

Khi đó, chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên [a; b]. Hơn nữa, tổng chuỗi là hàm khả vi liên
tục trên [a; b] và
+∞

+∞

un (x)
n=1

un (x), ∀x ∈ [a; b] .

=

n=1

17


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Chương 2
CHUỖI FOURIER
2.1
2.1.1

Chuỗi lượng giác.
Định nghĩa.

Định nghĩa 2.1. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng
+∞

a0
(an cos nx+bn sin nx), x ∈ R
+
2
n=1
trong đó {an } , {bn } là hai dãy số thực.
Với mỗi n, hàm số un (x) = an cos nx + bn sin nx có các đạo hàm mọi cấp trên R và có
chu kỳ 2π.
Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đến hàm số f (x) thì f là một hàm số có chu kỳ 2π trên R.
Các hằng số an , bn gọi là các hệ số của chuỗi.
Chuỗi lượng giác không phải bao giờ cũng có đạo hàm mọi cấp trên khoảng hội tụ của nó.
Tổng của một chuỗi lượng giác có thể không liên tục trên miền hội tụ của nó. Có những

chuỗi lượng giác mà tổng liên tục nhưng không có đạo hàm tại mọi điểm của miền hội tụ.

2.1.2

Định lý.
+∞

+∞

an ,

Định lý 2.2. Nếu các chuỗi số
n=1

bn hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lượng giác
n=1

+∞

a0
+
(an cos nx+bn sin nx)
2
n=1
18

(2.1)


hội tụ đều trên R và tổng của nó là một hàm liên tục trên R.

Chứng minh. Ta có:

|an cos nx + bn sin nx| ≤ |an | + |bn | , ∀x ∈ R, n ≥ 1.
+∞

(|an | + |bn |) hội tụ nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi (2.1) hội tụ đều

Vì chuỗi số
n=1

trên R nên tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R.

2.1.3

Định lý.

Định lý 2.3. Giả sử dãy {an } và {bn } là hai dãy số dương giảm đến không khi n → +∞.
Khi đó, chuỗi lượng giác
+∞

a0
+
(an cos nx+bn sin nx)
2
n=1
hội tụ tại mọi điểm x ∈ R\2πZ và hội tụ đều trên mỗi đoạn [2kπ + α; 2(k + 1)π − α] ,
k ∈ Z, α > 0. Do đó tổng của chuỗi là một hàm số liên tục trên R\2πZ.
Ví dụ 1:
+∞

Chuỗi lượng giác

cos nx
hội tụ tại mọi x = 2kπ, k ∈ Z và phân kì tại x = 2kπ, k ∈ Z.
n
n=1

Ví dụ 2:
+∞

Chuỗi

sin nx
hội tụ tại mọi x ∈ R vì với x = 2kπ, mỗi số hạng của chuỗi đều bằng 0.
n
n=1

Tuy nhiên tổng của chuỗi chỉ liên tục trên R\2kπ, k ∈ Z.

2.1.4

Định lý.
+∞

(|an | + |bn |) < +∞ thì tổng f của chuỗi lượng giác

Nếu
n=1

+∞

a0
+
(an cos nx+bn sin nx)
2
n=1

19

(2.2)


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
là một hàm số khả vi liên tục trên R và f (x) nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng
hạng tử của chuỗi (2.2), tức là
+∞

(−nan sin nx + nbn cos nx), ∀x ∈ R.

f (x) =
n=1

+∞

(|an | + |bn |) < +∞

Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra:
n=1

Do đó chuỗi (2.2) và chuỗi đạo hàm của nó:

−a1 sin x + b1 cos x + ... + (−nan sin nx + nbn cos nx) + ...

(2.3)

đều hội tụ đều trên R.
Vậy f có đạo hàm trên R và f (x) bằng tổng của chuỗi (2.3) với mọi x ∈ R.

2.1.5

Định lý.
+∞

+∞

an và

Nếu hai chuỗi số
n=1

bn đều hội tụ tuyệt đối thì tổng f của chuỗi lượng giác:
n=1
+∞

a0
(an cos nx+bn sin nx)
+
2
n=1

(2.4)

liên tục trên R và tổng của chuỗi lượng giác
+∞

a0
+
2
n=1

an
bn
sin nx − cos nx
n
n

nhận được nhờ lấy nguyên hàm từng hạng tử của chuỗi (2.4) là một nguyên hàm của f
trên R.

2.1.6

Bổ đề

Hệ thống các hàm:
1
ϕ0 (x) = √ ,
2

ϕ1 (x) = cos x,

ϕ2k−1 (x) = cos kx,

ϕ2 (x) = sin x, ...
(2.5)

ϕ2k (x) = sin kx.

20


có tính chất là:
2

π

−π

1
√
2

π

cos2 kx dx =

dx =
−π
π

π

−π

π

1
√ cos kx dx =
2

−π
π

=

sin2 kx dx = π.
−π
π

1
√ sin kx dx =
2

cos kx. cos lx dx
−π
π

sin kx. sin lxdx =
−π
π

=

sin kx. cos lxdx
−π

sin kx. cos kxdx = 0 với k = l .
−π

2.2

Chuỗi Fourier

2.2.1

Định nghĩa.

Định nghĩa 2.4. Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] gọi là liên tục từng khúc nếu tồn
tại một phép phân hoạch π:
a = x0 < x1 < ... < xn = b
của đoạn [a; b] có tính chất: Với mỗi i, hàm số f liên tục trên khoảng (xi−1 ; xi ) , i = 1, ..., n,
có giới hạn phải hữu hạn tại điểm xi−1 và giới hạn trái tại điểm xi . Nói cách khác, f là
liên tục từng khúc trên đoạn [a; b] nếu nó chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và
liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn.

2.2.2

Định nghĩa.

Định nghĩa 2.5. Giả sử f là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ 2π, liên
tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn. Chuỗi lượng giác:

+∞

a0
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
trong đó các hệ số được cho bởi công thức:
π

1
an =
π

f (x)sin nxdx, n = 0, 1, 2, ...
−π

21


Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
π

1
bn =
π

f (x)sin nxdx, n = 1, 2, ...
−π

gọi là chuỗi Fourier của hàm số f , an , bn được gọi là các hệ số Fourier của f . Các công
thức tính an , bn được gọi là công thức Euler.
Vì f là một hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π nên nhờ một phép đổi biến số, dễ dàng chứng
minh được:
α+2π

1
an =
π

f (x)cos nxdx, n = 0, 1, 2, ...
α

α+2π

bn =

1
π

f (x)sin nxdx, ∀α ∈ R, n = 1, 2, ...
α

Đặc biệt ta có:
π

1
an =
π

f (x)cos nxdx, n = 0, 1, 2, ...
−π
π

1
bn =
π

f (x)sin nxdx, n = 1, 2, ...
−π

Nếu f là một hàm số chẵn thì f (x)cos nx là những hàm số chẵn và f (x)sin nx là những
hàm số lẻ. Do đó
π

2
an =
π

f (x)sin nxdx, n = 0, 1, 2, ... và bn = 0, n = 1, 2, ...
−π

Vì thế chuỗi Fourier của f có dạng:
+∞

a0
+
an cos nx.
2
n=1

Tương tự, nếu f là một hàm số lẻ thì f (x)cos nx là những hàm số lẻ và f (x)sin nx là
những hàm số chẵn. Do đó
π

2
an = 0, n = 0, 1, 2, ... và bn =
π

f (x)sin nxdx, n = 1, 2, ...
−π

Khi đó chuỗi Fourier của f có dạng:
+∞

bn sin nx
n=1

22


Chuỗi Fourier của f có thể hội tụ và có thể phân kỳ. Trong trường hợp chuỗi Fourier của
f hội tụ, tổng của nó có thể khác f .
Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. Vấn đề đặt ra là trong những trường
hợp nào tồn tại một chuỗi lượng giác hội tụ trên R và có tổng bằng f ?

2.2.3

Định lý.

Định lý 2.6. Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π. Giả sử chuỗi lượng giác:

+∞

a0
+
(an cos nx + bn sin nx, )
2
n=1

(2.6)

hội tụ đều trên đoạn [−π, π] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là f (x). Khi đó ta có
π

1
a0 =
π

f (x)dx
−π

π

1
ap =
π

f (x)cos pxdx,
−π

π

bp =

1
π

f (x)sin pxdx, p = 1, 2, ...
−π

Chứng minh. Vì chuỗi (2.6) hội tụ đều trên R nên chuỗi nhận được bằng cách nhân từng
hạng tử của chuỗi (2.6) với một hàm số bị chặn trên R cũng hội tụ trên R. Do đó các
chuỗi hàm:
+∞

a0
f (x)cos px = cos px +
(an cos nx + bn sin nx)cos px,
2
n=1
+∞

a0
f (x)sin px = sin px +
(an cos nx + bn sin nx)sin px,
2
n=1
p = 1, 2,...
hội tụ đều trên R. Vì vậy có thể lấy tích phân từng hạng tử của các chuỗi hàm đó trên
[−π, π] :
π

π

a0
f (x)cos pxdx =
2
−π

cos pxdx +
−π

π

+∞

[an
n=1

−π

π

cos nxcos pxdx + bn

sin nxcos pxdx],

−π

(2.7)
23

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
π

π

a0
f (x)sin pxdx =
2
−π

π

+∞

sin pxdx +

[an
n=1

−π

π

cos nxsin pxdx + bn

−π

sin nxsin pxdx],

−π

(2.8)
Từ các công thức
2cos nxcos px = cos (n − p)x + cos (n + p)x
2sin nxsin px = cos (n − p)x + cos (n + p)x
2sin nxcos px = sin (n − p)x + sin( n + p)x
Ta chứng minh được
π

π

cos nxsin pxdx = 0, ∀n, p ∈ N

sin nxcos pxdx =
−π

−π

π

π

cos nxcos pxdx =
−π

sin nxsin pxdx =
−π






0

Với n = p





π

Với n = p

Do đó từ (2.7), (2.8) suy ra
π

f (x)dx = πa0
−π
π

f (x)cos pxdx = πap , p ≥ 1
−π
π

f (x)sin pxdx = πbp , p ≥ 1
−π

Từ đó suy ra các công thức cần chứng minh.

2.2.4

Bổ đề (Riman).

Nếu f là một hàm số liên tục từng khúc trên đoạn [a, b] thì
b

lim

b

f (x)cos λxdx = 0,

λ→+∞
a

lim

f (x) sin λxdx = 0

λ→+∞
a

24


Chứng minh. Có thể xem f liên tục trên đoạn [a, b].

Hàm số f bị chặn trên [a, b], tồn tại một số M sao cho |f (x)| ≤ M , với mọi x ∈ [a, b].
Cho ε > 0 bất kỳ, vì f liên tục đều trên [a, b] nên tồn tại một số δ > 0 sao cho

∀x , x ∈ [a, b], |x − x | < δ ⇒ |f (x ) − f (x )| < ε.

Gọi π:
a = x0 < x1 < ... < xn = b
là một phép phân hoạch đoạn [a, b] có đường kính d(π) < δ. Khi đó

b

+∞

xi

f (x) cos λx dx =

I(λ) =
a

xi

+∞

=

f (x) cos λx dx
i=1 x

xi

n

[f (x) − f (xi )] cos λx dx

cos λx dx +

f (xi )
i=1

i−1

i=1 x

xi−1

i−1

Do đó
xi

n

|I(λ)| ≤ M

|

n

(xi − xi−1 )

cosλxdx| + ε
i=1

i=1 x
i−1

Vì
xi

|

1
2
cosλxdx| = | (sinλxi − sinλxi=1 )| ≤ , λ > 0
λ
λ

xi−1

nên
|I(λ)| ≤
Với λ >

2M n
+ ε(b − a), ∀λ > 0
λ

2M n
, ta có |I(λ)| < ε(1 + b − a).

ε

Vậy lim I(λ) = 0.
λ→+∞

Đẳng thức thứ 2 được chứng minh tương tự.

25