Dạy toán lớp 12 theo tiếp cận chương trình đánh giá quốc tế (PISA)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KHUẤT THỊ ĐÀO LIỄU

DẠY TOÁN LỚP 12 THEO TIẾP CẬN CHƯƠNG
TRÌNH ĐÁNH GIÁ QUỐC TẾ (PISA)

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH: VŨ ĐÌNH HOÀ

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, hội
đồng khoa học, ban giám hiệu và tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học Giáo
dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH. Vũ Đình Hòa người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, tôi đã hoàn thành đề tài nghiên
cứu của mình. Để có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực, tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu
của bản thân, tôi luôn nhận được sự ủng hộ, giúp đỡ nhiệt tình từ các thầy cô, bạn bè
và đồng nghiệp.
Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên và học
sinh trường THCS - THPT Trần Quốc Tuấn - Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi nhất
cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này chắc chắn không tránh khỏi
thiếu xót cần góp ý, sữa chữa. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý
báu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn này được hoàn
thiện.
Xin chân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 9 tháng 11 năm 2015
Tác giả

Khuất Thị Đào Liễu

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

ii

DANH MỤC HÌNH VẼ, BẢNG
Bảng 2.1. Tốc độ gia tăng GDP, gia tăng dân số và GDP/người của
Việt Nam qua các năm
Hình 2.1. Hoa có khung con diều hình bướm
Hình 2.2: n đường tròn đồng
Hình 2.3: Ly thủy tinh cocktail
Hình 2.4: Các ly thủy tinh với kích thước khách nhau
Hình 2.5: Phần thân li với đường kính và dung tích cho trước
Hình 2.6: Mô hình Bài toán pha chế cocktail
Hình 2.7: Mô hình viên kẹo hình cầu được gói trong hộp hình nón
Hình 2.8: Hình minh họa bài toán đóng thùng đựng nước
Hình 2.9: Khối rubik lập phương tiêu chuẩn 3x3x3
Hình 2.10: Hình mô phỏng Bài toán khối Rubic
Hình 2.11: Mô phỏng bán cầu

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
Sơ đồ 1.1. Biểu diễn các thành phần cấu trúc của năng lực
Sơ đồ 1.2. Các năng lực chuyên môn trong môn Toán
Sơ đồ 1.3. Quá trình toán học hóa
Sơ đồ 2.1. Quy trình thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán
thực tiễn

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN......................................................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT........................................................................................... ii
DANH MỤC HÌNH VẼ, BẢNG.................................................................................................. iii
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ............................................................................................................. iii

MỤC LỤC............................................................................................................................................. iv
MỞ ĐẦU................................................................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN............................................................. 5
1.1. Một số vấn đề lý luận........................................................................................................... 5
1.1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn và quá trình toán học hóa........................................ 5
1.1.2 Năng lực (Competence) và năng lực toán học (mathematical competence)
............................................................................................................................................................. 6

1.1.2.1 Năng lực (Competence).......................................................................................... 6
1.1.2.2. Năng lực toán (Mathematical competence)................................................... 7
1.1.3 Ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống................................................... 8
1.1.4 PISA và các bài toán PISA......................................................................................... 10
1.1.4.1 Tổng quan về PISA................................................................................................. 10
1.1.4.2 Các bài toán PISA.................................................................................................. 11
1.1.5 Ý nghĩa của việc khai thác những tình huống thực tế vào dạy học môn
Toán................................................................................................................................................. 20
1.2. Một số vấn đề thực tế........................................................................................................ 21
1.2.1. Tình hình dạy học môn Toán theo hướng liên hệ với thực tiễn...................21
1.2.2. Các vấn đề trong chương trình giáo dục phổ thông......................................... 22
1.2.3. Một số vấn đề về phương pháp dạy và phương pháp học.............................. 23
1.2.4. Các cách tiếp cận dạy học.......................................................................................... 24
1.2.4.1. Tiếp cận dạy học theo định hướng phát triển năng lực..........................24
1.2.4.2. Tiếp cận đánh giá năng lực toán học phổ thông của ECD/PISA........28
1.2.4.3. Tiếp cận một số phương pháp giải bài toán kinh điển............................ 29
1.2.4.4. Tiếp cận qui trình toán học hóa trong các bài toán của Pisa...............30
CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 12
VỚI CÁC BÀI TOÁN TIẾP CẬN CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH
QUỐC TẾ (PISA) ……………………………………………………………….34
iv

2.1. Xây dựng qui trình thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán tiếp cận
chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)........................................................... 34
2.1.1 Xác định nội dung, mục tiêu cần học và các năng lực cần đạt...................... 34
2.1.2 Thiết kế bài toán thực tiễn tương ứng..................................................................... 35
2.1.3 Thực hiện quy trình Toán học hóa 3 giai đoạn, 5 bước của PISA...............36
2.1.4 Xác định phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học phù
hợp................................................................................................................................................... 37
2.1.5 Tổ chức dạy học với các bài toán tiếp cận chương trình đánh giá học sinh
quốc tế ( PISA)........................................................................................................................... 38
2.1.6 Đánh giá bài học............................................................................................................. 40
2.2. Một số lưu ý khi thiết kế và tổ chức dạy học toán lớp 12 với các bài toán
tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)......................................... 40
2.3. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán tiếp cận chương trình đánh
giá học sinh quốc tế (PISA) chủ đề Giải tích.................................................................. 41
2.3.1 Bài toán ứng dụng đạo hàm vào tìm cực trị......................................................... 41
2.3.1.1 Bài toán 1_ Quản lý khách sạn......................................................................... 41
2.3.1.2 Bài toán 2_Bài toán cao huyết áp.................................................................... 46
2.3.2. Bài toán sử dụng hàm số mũ và hàm logarit....................................................... 51
2.3.2.1 Bài toán 3_ Bài toán mua hàng trả góp......................................................... 51
2.3.2.2 Bài toán 4_Mỗi quan hệ giữa dân số và phát triển kinh tế.................... 55
2.3.2.3 Bài toán 5_Năng lượng toả ra tại tâm chấn của trận động đất............60
2.3.3 Bài toán ứng dụng tích phân....................................................................................... 64
2.3.3.1 Bài toán 6_Con diều hình bướm....................................................................... 65
2.3.3.2 Bài toán 7_Mật độ dân số
......................................................................................................................................................

71
2.4 Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán tiếp cận chương trình đánh
giá học sinh quốc tế (PISA) chủ đề Hình học…………………………………74

2.4.1 Bài toàn 8_ Bài toán pha chế cocktail.................................................................... 74
2.4.2 Bài toán 9 Bài toán Cách gói kẹo............................................................................ 79
2.4.3 Bài toán 10_ Bài toán đóng thùng đựng nước..................................................... 84
2.4.4 Bài toán 11 _Bài toán khối Rubic............................................................................. 89
2.4.5 Bài toán 12 _Bài toán thể tích bán cầu................................................................... 94

v


KẾT LUẬN CHƯƠNG 2............................................................................................................. 99
CHƯƠNG 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM……………………………………..100
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thử nghiệm.......................................................................... 100
3.1.1. Mục đích thử nghiệm................................................................................................. 100
3.1.2. Nhiệm vụ thử nghiệm................................................................................................ 100
3.2. Kế hoạch và nội dung thử nghiệm........................................................................... 100
3.2.1. Kế hoạch và đối tượng thử nghiệm...................................................................... 100
3.2.1.1. Kế hoạch thử nghiệm......................................................................................... 100
3.2.1.2. Đối tượng thử nghiệm....................................................................................... 100
3.2.2. Nội dung thử nghiệm................................................................................................. 101
3.3. Đánh giá kêt quả thực nghiệm................................................................................... 102
3.3.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm............................................................. 102
3.3.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm............................................................................... 102
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3........................................................................................................... 103
KẾT LUẬN....................................................................................................................................... 104
KIẾN NGHỊ.................................................................................................................................... 105

vi


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong thời đại phát triển mạnh mẽ như vũ bão của khoa học công nghệ, của
nền kinh tế tri thức, của xu hướng toàn cầu hóa và hội nhập, giáo dục đã trở thành
quốc sách hàng đầu của nhiều quốc gia. Quá trình thực hiện công nghiệp hóa, hiện
đại hóa đất nước hiện nay đòi hỏi phải có con người lao động tự chủ, năng động và
sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề do thực tiễn đề ra, tự lo liệu được việc làm,
lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống. Do vậy vấn đề đổi mới, nâng cao hiệu quả
và chất lượng giáo dục được đặt lên hàng đầu.
Một trong những mục tiêu lớn hiện nay của giáo dục nước ta hiện nay đó là
hoạt động giáo dục phải gắn liền với thực tiễn. Điều này được cụ thể hóa và quy
định trong Luật giáo dục nước ta (năm 2005) tại chương 1, điều 3, khoản 2: “Hoạt
động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp
với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp
với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy, với việc dạy học nói chung
và dạy học bộ môn Toán nói riêng, vai trò của việc vận dụng kiến thức vào thực tế
là cấp thiết và mang tính thời sự.
Tuy nhiên, một thực tế trong dạy học môn Toán ở các trường THPT hiện nay
là những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn chưa được quan tâm một cách đúng
mức và thường xuyên. Vì nhiều lý do khác nhau, giáo viên Toán thường tập trung
vào những vấn đề, những bài toán trong nội bộ toán học mà chưa chú ý nhiều đến
những nội dung liên môn và thực tế. Vì vậy mà việc rèn luyện cho học sinh năng
lực vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế còn
hạn chế.
Trong bối cảnh đó, nhận thức được vai trò và ý nghĩa vô cùng quan trọng của
các chương trình đánh giá quốc tế trong việc hoạch định các chiến lược và chính
sách phát triển giáo dục quốc gia nên Việt Nam đã quyết định tham gia vào một
trong những chương trình đánh giá quốc tế có uy tín và phổ biến nhất hiện nay đó là
PISA (viết tắt của cụm từ tiếng Anh “Programme for International Student
Assessment”, được dịch là “Chương trình đánh giá HS quốc tế” do Tổ chức Hợp

1


tác và Phát triển Kinh tế (“Organization for Economic Co-operation and
Development”, thường được viết tắt là OECD) khởi xướng và triển khai.
Chương trình sẽ được triển khai ở 9 tỉnh, thành phố của nước ta: Tây Ninh,
Bà Rịa - Vũng Tàu, Hồ Chí Minh, Gia Lai, Kon Tum, Ninh Bình, Thái Bình, Hưng
Yên, Nam Định vào năm 2012. Đây sẽ là một dịp để giáo dục Việt Nam được tiếp
cận với nội dung chương trình quốc tế đánh giá trình độ học sinh đồng thời cho
phép so sánh việc học tập và môi trường học tập của học sinh Việt Nam với các
nước trên thế giới. Tuy nhiên, đó cũng là thách thức lớn với giáo dục Việt Nam bởi
nhiều lí do như: lần đầu tiên Việt Nam tham gia một kì đánh giá học sinh mang tính
quốc tế nên chưa có một đội ngũ chuyên gia chuyên nghiệp, giáo viên và học sinh
chưa từng được làm quen với các dạng đề thi của PISA, tài liệu tham khảo có rất ít
chủ yếu là tiếng Anh…
Một đặc điểm nổi bật trong đánh giá của PISA là nội dung đánh giá được xác
định dựa trên các kiến thức, kĩ năng cần thiết cho tương lai, không dựa vào các
chương trình giáo dục quốc gia. Đây chính là điều mà PISA gọi là “năng lực phổ
thông”. Một trong các năng lực được đánh giá trong PISA là năng lực toán học phổ
thông. Trong PISA, các tình huống được đưa ra để đánh giá năng lực này có liên
quan mật thiết đến những vấn đề trong cuộc sống của cá nhân hàng ngày, những vấn
đề của cộng đồng và toàn cầu.
Từ những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài: “Dạy toán lớp 12 theo tiếp cận
chương trình đánh giá quốc tế (PISA)” làm đề tài nghiên cứu.

2. Lịch sử nghiên cứu
Trong xu hướng đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay, đã có
nhiều công trình nghiên cứu Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA). Hiện
đã có một số bài báo khoa học về PISA đăng trên một số tạp chí chuyên ngành hoặc
Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia cụ thể là:

-

Giới thiệu về PISA: “Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) (Mục

đích, tiến trình thực hiện, các kết quả chính” của Nguyễn Thị Phương Hoa trên Tạp
chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội số 25/2000; “Góp phần tìm hiểu về chương
trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)” của Nguyễn Ngọc Sơn trên Tập san Giáo
dục - Đào tạo số 3/2010; “Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA” của Đỗ

2


Tiến Đạt trên Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia về giáo dục Toán học phổ thông năm
2011…
- Khai thác tiêu chuẩn của PISA nhằm rèn luyện khả năng toán học hóa (“Rèn
luyện học sinh trung học phổ thông khả năng toán học hóa theo tiêu chuẩn của
PISA” của Nguyễn Sơn Hà trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội số
4/2010) hay để nâng cao hiểu biết toán học cho học sinh (“ Sử dụng toán học hóa
để nâng cao hiểu biết định lượng cho học sinh trung học phổ thông” của Trần Vui
trên Tạp chí Khoa học Giáo dục số 43/2009)…
-

Hiện chưa có công trình nghiên cứu nào nghiên cứu Dạy toán lớp 12 theo

tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA).

3. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng bài giảng cho một số chủ đề Giải tích, Hình học lớp 12 với các bài
toán tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) phù hợp với điều kiện
giáo dục và định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở Việt Nam góp phần phát

triển năng lực toán học cho học sinh lớp 12.

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) về mục đích,
nội
dung, tác động của nó đến nền giáo dục của các nước tham gia…
-

Thiết kế và tổ chức hoạt động dạy học cho một số chủ đề Giải tích, Hình học

lớp 12 với các bài toán tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA).
-

Tiến hành thử nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính

hiệu quả của những biện pháp đề xuất trong luận văn.

5.
-

Phạm vi nghiên cứu.

Nội dung sách giáo khoa giải tích 12, hình học 12 trung học phổ thông.

6.

Mẫu khảo sát, địa bàn khảo sát

Một số chủ đề trong giải tích 12, hình học 12, các bài toán PISA, các bài
giảng với các bài toán theo cách tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế
(PISA); học sinh khối 12, giáo viên trường THCS - THPT Trần Quốc Tuấn – Hà
Nội.

3


7. Giả thuyết khoa học
Dạy toán lớp 12 theo hướng tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế
(PISA) có tính cấp thiết và khả thi cao, phù hợp với điều kiện giáo dục và định
hướng đổi mới phương pháp dạy học ở Việt Nam, đáp ứng yêu cầu năng lực toán
học phổ thông của người lao động trong thời đại mới.

8.
-

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu và phân tích tài liệu về lí luận dạy

học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu liên quan đến môn học. Nghiên cứu
các tài liệu liên quan đến chương trình PISA, các luận văn có nội dung phù hợp với
hướng nghiên cứu của đề tài.
-

Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy tại cơ sở giáo dục.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường

THPT Trần Quốc Tuấn; cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm.

9.

Những đóng góp của Luận văn

9.1 Về mặt lý luận.
Luận văn đề xuất một cách thức đổi mới phương pháp dạy học toán trong xu
hướng đổi mới của thời đại và nỗ lực đổi mới của toàn ngành giáo dục hiện nay.

9.2 Về mặt thực tiễn.
Luận văn chứng tỏ: Thiết kế và tổ chức dạy học môn toán lớp 12 với các bài
toán tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) là một phương pháp
khả thi, mang lại hiệu quả trong việc phát triển một số yếu tố của năng lực toán học
cho học sinh lớp 12, phù hợp với điều kiện giáo dục nhà trường và định hướng đổi
mới phương pháp dạy học; đồng thời góp phần đáp ứng yêu cầu đào tạo tiếp cận
năng lực cần thiết của người lao động trong thời đại mới.
Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, Nội dung
chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Thiết kế và tổ chức dạy học môn toán lớp 12 với các bài toán tiếp
cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA).
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề lý luận
1.1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn và quá trình toán học hóa
Toán học là môn học đòi hỏi tư duy, suy luận logic, phân tích và sự tổng quát
hóa. Những yếu tố đó thường được thể hiện trong các bài toán được đưa vào chương
trình giảng dạy và học tập ở các trường học mọi cấp bậc. Tính tư duy, khả năng suy
luận logic, phân tích và mức độ tổng quát hóa tùy vào các cấp bậc khác nhau. Theo
G.Polya định nghĩa: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần thiết phải tìm
kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ
ràng nhưng không thể đạt được ngay” [11, trang 119]. Bài toán xuất phát từ nhu cầu
mà ta gọi là vấn đề, không phải nhu cầu nào cũng nảy sinh ra bài toán. Chỉ những
nhu cầu mà tìm ra được một phương tiện thỏa mãn nhu cầu đó mới trở thành bài
toán, những nhu cầu mà không cần đầu tư một chút cố gắng nào đã có thể đạt được
ngay mục đích thì sẽ không làm nảy sinh bài toán. Một vấn đề có thể là bài toán với
người này nhưng không phải là bài toán đối với người khác, tùy thuộc vào trí tuệ,
trình độ, cũng như vốn kinh nghiệm của mỗi người.
Bài toán thực tiễn là bài toán mà nhu cầu cần đạt được xuất phát từ trong
thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: “Mối quan hệ giữa dân số và phát triển kinh tế” là bài
toán thực tiễn. Tuy nhiên, hiện nay chúng ta vẫn thấy rằng trong chương trình giảng
dạy, những bài toán này thực sự không nhiều, chủ yếu là các bài toán mang tính trừu
tượng và lý thuyết thuần túy hoặc những bài toán về hình thức giống với những bài
toán thực tiễn nhưng về bản chất thì hoàn toàn khác, có thể gọi đây là “bài toán
ngụy thực tiễn”. Việc xây dựng các bài toán thực tiễn không khó nhưng đòi hỏi sự
đầu tư, tìm hiểu và nghiên cứu một cách nghiêm túc của người dạy và sự nỗ lực của
người học. Trên nhiều phương diện, các bài toán thực tế khác xa so với các bài toán
thuần túy toán học. Những bài toán thực tiễn nói chung có bao gồm một phần toán
học nhưng các ẩn, các dữ kiện, điều kiện là phức tạp hơn không được xác định rõ
ràng như trong một bài toán thuần túy toán học. Giải một bài toán thực tiễn đòi hỏi
năng lực giải quyết vấn đề cao hơn khi giải một bài toán thuần túy toán học. Tóm

5


lại, “trong các bài toán thực tế, tất cả đều phức tạp hơn và không rõ ràng như trong
các bài toán thuần túy toán học. Đó là điều khác nhau cơ bản giữa hai loại bài toán
đó và từ đó dẫn đến nhiều sự khác nhau nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương
pháp cơ bản để đạt được lời giải thì đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [11,
trang 119].
Vì lẽ đó, khi giải một bài toán thực tế, để đơn giản hóa người ta chuyển về
bài toán thuần túy toán học rồi giải. Quá trình đó gọi là quá trình “Toán học hóa”.
Đây là quá trình chuyển đổi tình huống từ thực tế vào môi trường toán học, đưa ra
kết quả và giải thích kết quả đó trong ngữ cảnh thực tế ban đầu. Đây là quá trình
giúp học sinh thấy được sự liên kết, mối quan hệ giữa kiến thức toán và kiến thức
thực tế, phát triển khả năng áp dụng toán học vào vấn đề thực tế. Từ một bài toán
thực tế thông qua quá trình toán học hóa có thể biến thành một bài toán hoặc nhiều
bài toán thuần túy toán học mà mỗi bài toàn giải quyết một nhiệm vụ của bài toán
thực tế đó. Điều đó phụ thuộc vào tính phức tạp của bài toán thực tế, bản chất của
lĩnh vực thực tế và khả năng của người thực hiện toán học hóa. Để biến một bài toán
thực tế thành một bài toán thuần túy toán học thường phải đặt ra một số điều kiện lý
tưởng cho ẩn. Vì vậy, kết quả của bài toán thuần túy toán học nhiều khi không phản
ánh đúng kết quả thực tế. Cho nên cần phải đánh giá, phê phán lời giải của bài toán
thuần túy toán học và làm cho nó có ý nghĩa thực tế. Để có quá trình toán học hóa
tốt, chúng ta cần xây dựng qui trình đảm bảo sự tương ứng chặt chẽ của hai bài
toán. PISA – Chương trình đánh giá học sinh quốc tế đã đưa ra quy trình toán học
hóa gồm 3 giai đoạn và 5 bước trong các bài toán của mình. Đây cũng là quy trình
mà chúng ta sử dụng trong luận văn này.
1.1.2 Năng lực (Competence) và năng lực toán học (mathematical
competence)

1.1.2.1 Năng lực (Competence)

Theo tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân
phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo
cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao”

6


Theo nhà tâm lí học Nga V.A.Cruchetxki thì: “Năng lực được hiểu như là:
Một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu
của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”.
Theo Nguyễn Văn Cường [tr 44]: “Năng lực là khả năng thực hiện có trách
nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình
huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở
hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động.”
Như vậy có thể hiểu: “Năng lực là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo
thực hiện được một dạng hoạt động nào đó”

1.1.2.2. Năng lực toán (Mathematical competence)
Theo Nguyễn Hữu Châu, năng lực toán: “Là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai
trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; khả năng vận dụng tư duy toán học để
giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai
một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, lập luận khái quát hoá, trao đổi
thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề
toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau…”
Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những thành
phần sau:
a) Về mặt thu nhận thông tin
b) Về mặt chế biến thông tin
c) Về mặt lưu trữ các thông tin
d) Về thành phần tổng hợp chung

*

Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán:
Yếu tố tự nhiên – sinh học: Năng lực toán của học sinh được di truyền từ cha

mẹ, mà chúng ta hay gọi là năng khiếu toán. Thực tế có nhiều học sinh được thừa
hưởng những thuộc tính sinh học (gen), những phẩm chất toán học từ cha mẹ là
những người có năng lực toán học tốt. Di truyền tạo ra những điều kiện ban đầu để
học sinh có triển vọng phát triển năng lực toán tốt. Tuy nhiên, điều đó chỉ tạo nên
những tiền đề vật chất cho sự hình thành và phát triển năng lực toán sau này.
Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục: Mỗi học sinh đều sống (hoạt động)
trong một môi trường xã hội nhất định. Môi trường góp phần tạo nên động cơ, mục

7


đích, phương tiện, hành động của cá nhân, trong đó giáo dục đóng vai trò chủ đạo.
Chính vì thế, trên thế giới có những nước toán học rất phát triển, là mỗi trường ươm
mầm cho những tài năng toán học xuất chúng. Hay trong một quốc gia, có những
địa phương có phong trào học toán vượt trội so với những nơi khác, mà người ta
hay gọi là đất học toán.
Yếu tố nội dung của toán học: Chính trong bản thân môn toán học với nội
dung có đặc tính trừu tượng, logic đã góp phần hình thành và phát triển các năng lực
toán học cho học sinh. Việc học tập toán một cách có hệ thống, phương pháp phù
hợp là điều kiện quan trọng để học sinh phát triển năng lực toán một cách bền vững.
Yếu tố hoạt động của học sinh: Hoạt động của học sinh đóng vai trò quyết
định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển năng lực toán. Muốn hình thành và
phát triển năng lực toán, học sinh cần phải được trực tiếp thao tác, hoạt động với các
đối tượng, nội dung toán học một cách tích cực, say mê, cộng với ý chí, nghị lực và
sự kiên trì để vượt qua các trở ngại, dần dần chiếm lĩnh các tri thức toán học. Trong

quá trình hoạt động đó, tùy vào sự nỗ lực của bản thân mà năng lực toán học sẽ
được hình thành và phát triển ở các mức độ khác nhau ở mỗi học sinh. Điều đó
khẳng định, năng lực, tài năng của mỗi con người chỉ có thể được hình thành “trong
hoạt động, thông qua hoạt động và bằng hoạt động” của mỗi cá nhân.
1.1.3 Ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống
Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa
bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay. Ở
thời đại chúng ta những phát minh mới mẻ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất
nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay toán học không
chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hoá học, sinh học
và nhiều ngành khoa học xã hội nữa.
Như ta đã biết, nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học.
Ngược lại toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, sản xuất
và các ngành khoa học kỹ thuật khác. Về nguyên tắc không những nó có thể áp
dụng vào các ngành khác nhau của khoa học tự nhiên mà còn có thể áp dụng vào
các ngành khoa học xã hội nữa.

8


Ngày nay cũng như trước đây một bộ phận của toán học được áp dụng vào
sản xuất và kỹ thuật thông qua vật lý và cơ học. Rất nhiều tiến bộ của khoa học kỹ
thuật chỉ giải quyết được trên cơ sở những tiến bộ của vật lý và cơ học, thế mà hai
ngành này lại liên hệ mật thiết với toán học. Phương pháp của toán học đã giúp cho
học cơ học vật lý và thiên văn đi sâu vào bản chất các quy luật của tự nhiên, có thể
đoán trước được các kết quả còn ẩn sau giới hạn của sự hiểu biết. Những thành tựu
to lớn của thời đại của chúng ta như năng lượng nguyên tử, động cơ phản lực, vô
tuyến điện ... đều gắn liền với sự phát triển của ngành toán học khác nhau, như hình
học phi Ơclid, đại số, hàm phức, hàm thực, phương trình vi phần, xác suất thông kê
v.v... Chẳng hạn như lý thuyết về các dạng không gian của không gian hình học

được áp dụng trong điện động học và điện kỹ thuật. Những định lý tổng quát của
hàm phức là cơ sở của lý thuyết thủy động học và khí động học mà đây là hai ngành
lý thuyết cơ sở của kỹ thuật hàng hải và hàng không.
Trong giai đoạn hiện nay, cách mạng khoa học kỹ thuật trên thế giới đang
diễn ra rất sôi nổi với tốc độ phát triển rất nhanh và quy mô rất lớn. Toán học ngày
càng có ứng dụng sâu sắc và rộng rãi. Cùng với ứng dụng thông qua cơ học và vật
lý, những ứng dụng thông qua điều khiển học tăng lên không ngừng và ngày càng
quan trọng. Có thể nói bất kỳ tiến bộ nào của tự động hoá cũng không thể tách rời
những thành tựu của toán học.
Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng phong phú trong các vấn đề tổ chức
và quản lý sản xuất. Thông thường trước mọi vấn đề quản lý sản xuất người ta có
thể đưa ra nhiều phương án. Làm thế nào để có thể chọn được phương án tốt nhất
(Optiman).
Một nét nổi bật nữa là ngày nay toán học đã xâm nhập vào nhiều ngành khoa
học mà trước đây người ta không hề nghĩ tới, kể cả khoa học và xã hội nữa. Như
hoá học và sinh học là hai ngành trước đây ít sử dụng đến toán học thì nay nhiều bộ
phận của chúng đã sử dụng nhiều ngành hiện đại của toán học, như thông tin, tô pô,
máy tính điện tử
Như vậy, ta thấy một xu hướng rõ ràng là toán học ngày càng xâm nhập vào
các khoa học khác. Đặc điểm đó nằm trong đặc điểm chung của tình hình khoa học

9


hiện nay là song song với việc phân hoá theo chuyên môn đang hình thành xu
hướng tổng hợp thống nhất các khoa học lại.
1.1.4 PISA và các bài toán PISA.

1.1.4.1 Tổng quan về PISA
PISA là viết tắt của "Programme for International Student Assessment Chương trình đánh giá học sinh quốc tế" do Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế

(OECD) khởi xướng và chỉ đạo từ năm 1997, đến năm 2000 cuộc thi PISA được tổ
chức lần đầu tiên với 43 nước tham gia trong đó có 14 nước không thuộc khối
OECD. Đến năm 2015, hơn 70 quốc gia tham gia để theo dõi tiễn bộ của mình
nhằm phấn đấu đạt được các mục tiêu giáo dục cơ bản.
PISA không kiểm tra kiến thức thu được tại trường học mà đưa ra cái nhìn
tổng quan về khả năng phổ thông thực tế của học sinh. Bài thi chú trọng khả năng
học sinh vận dụng kiến thức và kĩ năng của mình khi đối mặt với nhiều tình huống
và những thử thách liên quan đến các kĩ năng đó. Nói cách khác, PISA đánh giá khả
năng học sinh vận dụng kiến thức và kĩ năng đọc để hiểu nhiều tài liệu khác nhau
mà họ có khả năng sẽ gặp trong cuộc sống hàng ngày; khả năng vận dụng kiến thức
Toán học vào các tình huống liên quan đến toán học; khả năng vận dụng kiến thức
khoa học để hiểu và giải quyết các tình huống khoa học. [6, 6-7]
Mục đích của PISA
Theo [13, tr7], mục tiêu tổng quát của chương trình PISA nhằm kiểm tra
xem, khi đến độ tuổi kết thúc giai đoạn giáo dục bắt buộc, học sinh đã được chuẩn
bị để đáp ứng các thách thức của cuộc sống sau này ở mức độ nào. Ngoài ra chương
trình đánh giá PISA còn hướng vào các mục đích cụ thể sau:
(1)

Xem xét đánh giá các mức độ năng lực đạt được ở các lĩnh vực Đọc hiểu,

Toán học và Khoa học của học sinh ở độ tuổi 15.
(2)
Nghiên cứu ảnh hưởng của các chính sách đến kết quả học tập của
học sinh.
(3)

Nghiên cứu hệ thống các điều kiện giảng dạy – học tập có ảnh hưởng đến kết

quả học tập của học sinh.

Đặc điểm của PISA
PISA nổi bật nhờ quy mô toàn cầu và tính chu kỳ. Cho tới nay PISA là cuộc
khảo sát giáo dục duy nhất chỉ chuyên đánh giá về năng lực phổ thông của học sinh

10


ở
độc

độ tuổi 15, độ tuổi kết thúc giáo dục bắt buộc ở hầu hết các quốc gia. Tính

đáo của PISA thể hiện ở những vấn đề được đánh giá. Đó là chính sách công (public
policy); năng lực phổ thông (literacy); học tập suốt đời (lifelong learning).
Vậy PISA là chương trình đánh giá giáo dục lớn nhất trên thế giới, ảnh
hưởng của PISA đến việc hoạch định các chiến lược phát triển giáo dục của mỗi
quốc gia ngày càng sâu rộng, cho phép xác định các đánh giá của người học trong
thời kỳ hội nhập quốc tế, nó tạo cơ sở để hoạch định chiến lược phát triển giáo dục
một cách toàn diện nhằm phát huy tối đa các năng lực cho người học đồng thời nó
cũng đặt ra các thách thức cho nền giáo dục của mỗi quốc gia.

1.1.4.2 Các bài toán PISA
Đặc điểm các bài toán của PISA
Các bài toán của PISA đều xuất phát từ bối cảnh, tình huống và những vấn đề
thực tiễn của cuộc sống cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu có thể xảy ra hàng ngày.
Các bài toán PISA bao phủ toàn bộ nội dung toán cơ bản phổ thông, được thiết kế
dưới dạng các bài tập rất sinh động, có hình ảnh, bảng biểu, đồ thị minh họa và
thách thức người giải bởi lời dẫn và cách đặt các câu hỏi từ dễ đến khó. Đặc điểm
nổi trội của các bài toán PISA là thế giới thực và thế giới toán học
* Thế giới thực tiễn

Dễ dàng nhận thấy các bài bài toán của PISA có một đặc điểm rất đặc thù và
nổi bật đó là đều xuất phát từ các tình huống, các vấn đề của thực tiễn, rất gần gũi
với đời sống hằng ngày của cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu như: người đi bộ, tham
quan ở trường, băng chuyền, xây dựng hình khối, khúc côn cầu trên băng, tốc độ
đua xe, trồng táo, trang trại, diện tích lục địa,... Kèm theo lời dẫn khá lôi cuốn và
thách thức, nêu ra các dữ kiện của bài toán là các hình ảnh, mô hình, bảng biểu, biểu
đồ, đồ thị,... làm cho người đọc có cảm giác là mình đang đứng trước thực tiễn đó,
đó là vấn đề của mình, tạo hứng thú và động cơ thúc đẩy giải bài toán. Điều này
khác xa các bài toán khô khan mà học sinh của chúng ta đang học. Vì các bài toán
của PISA rất gần với thực tế nên ngoài mục đích là đưa ra vấn đề cần giải quyết cho
học sinh, bài toán còn cung cấp rất nhiều thông tin bổ ích từ thực tiễn như các môn
thể thao, các công nghệ ứng dụng trong đời sống, địa lí thế giới, lịch sử, thời tiết,
sản xuất, quản lý nhân sự, điều khiển máy móc,... Do đó, có thể nói các bài toán

11


PISA ngoài là đề thi còn là một hình thức truyền tải bài học đầy kiến thức cho học
sinh. Không cần phải bắt các em học, để làm được bài toán các em phải đọc đi, đọc
lại, nghiên cứu kỹ bài toán chính là một cách học hết sức hiệu quả của các em rồi
mà ngay bản thân các em cũng không biết là mình đang học. Hơn nữa, các bài toán
PISA phản ánh các vấn đề thực tiễn gần gũi với học sinh nên tạo cho các em ý thức
xung quanh mình lúc nào cũng tồn tại các bài toán mà mình hoàn toàn có thể giải
quyết được, giúp các em tiếp cận với nghiên cứu khoa học và học tập suốt đời.
*Thế giới toán học
Các bài toán của PISA bao phủ hầu như toàn bộ các nội dung toán học cơ
bản ở phổ thông: số học, đại số, giải tích, hình học phẳng, hình học giải tích, tập
hợp thống kê, tọa độ, đồ thị,... Một bài toán PISA có thể chứa nhiều đơn vị kiến
thức của các phân môn khác nhau, nên khi giải cần có kiến thức tổng hợp và phải
rất thận trọng khi thực hiện quá trình toán học hóa để giải quyết bài toán. Về độ

khó, các bài toán PISA không yêu cầu cao về kiến thức toán cũng như các kỹ năng
biến đổi toán học. Xét thuần túy về mặt toán học thì chúng không khó và rất cơ bản.
Nếu bài toán đã được toán học hóa thành một bài toán học thuần túy thì đối với học
sinh trung bình trở lên ở Việt Nam việc giải chúng không có gì khó khăn. Nhưng
các bài toán PISA lại đòi hỏi kỹ năng phán đoán, phân tích, suy luận và đặc biệt là
kỹ năng giải quyết vấn đề. Cái khó trong các bài toán này đó là phải thấy được “thế
giới toán học trong bài toán” và vận dụng những kiến thức nào của toán học để giải
quyết chúng. Như vậy, để giải được các bài toán PISA học sinh cần có kiến thức
toán cơ bản và khá tổng hợp; đồng thời, phải thừờng xuyên được rèn luyện khả
năng giải quyết vấn đề và thực hiện thành thục quá trình toán học hóa.
Các bài toán ví dụ (Các bài toán trong bộ OECD) [4, tr73-79],
Ví dụ 1. Diện tích lục địa
Dưới đây là bản đồ châu Nam Cực

12


Châu Nam Cực
Điểm cực nam

Núi Menzies

Ki-lô-mét

Bản đồ Châu Nam Cực

Câu hỏi 1- Diện tích lục địa: Ước tính diện tích của châu Nam Cực bằng cách
sử dụng tỉ lệ bản đồ. Trình bày cách tính và giải thích cách ước tính của bạn. (Bạn
có thể vẽ trên bản đồ nếu điều đó giúp cho việc ước tính của bạn).
Yêu cầu: Học sinh phải biết cách ước lượng diện tích của một hình “không

tiêu chuẩn“ bằng cách chọn ra một hoặc nhiều hình “tiêu chuẩn” có thể tính được
diện tích (như hình chữ nhật hay hình tam giác) có thể “bao phủ” được toàn bộ hình
đã cho; sau đó chỉ việc tính diện tích của những hình này để từ đó tìm ra diện tích
hình cần phải tìm.
Cách chấm điểm:
Mức Đầy đủ:
Ghi mã 2: Đạt được cả 5 yêu cầu sau:
1.
So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho với diện tích một hình
vuông
2

hoặc hình chữ nhật. Diện tích hình đã cho ở vào khoảng giữa 12 000 000 km và
18 000 000 km

2

13


2.
So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho với diện tích một hình
tròn. Diện
2

tích hình đã cho ở vào khoảng giữa 12 000 000 km và 18 000 000 km

2

3.

So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho bằng cách cộng diện tích
một vài
hình “tiêu chuẩn” cũng có kết quả như trên.
4.
khác

So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho bằng các phương pháp

5.
Trả lời đúng nhưng không chỉ ra được cách làm hoặc chỉ ra được
cách làm
đúng nhưng kết quả tính không chính xác hoặc không đầy đủ.
Mức Không đầy đủ:
Ghi mã 1: Chỉ đạt được nhiều nhất 4 yêu cầu sau
1.
So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho với diện tích một hình
vuông
hoặc hình chữ nhật - phương pháp đúng nhưng kết quả không chính xác hoặc không
đầy đủ.
2.
tròn -

So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho với diện tích một hình

phương pháp đúng nhưng kết quả không chính xác hoặc không đầy đủ.
3.
một

So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho bằng cách cộng diện tích

vài hình “tiêu chuẩn” - phương pháp đúng nhưng kết quả không chính xác hoặc
không đầy đủ.
4.
So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho bằng các phương pháp
khác phương pháp đúng nhưng kết quả không chính xác hoặc không đầy đủ.
Không tính điểm:
Ghi mã 0:
1.

Nhầm lẫn diện tích với chu vi

2.

Các trường hợp sai khác

Ghi mã 9: Không làm bài
Ví dụ 2. Trồng táo
Một người nông dân trồng táo theo cách bố trí hình vuông. Để tránh gió cho cây,
anh ta trồng những hàng cây tùng xung quanh vườn táo đối với bất kỳ số hàng cây
táo (n) theo các hình vẽ dưới đây.


14


cây tùng
cây táo

Cho bảng sau
n

1
2
3
4
5
2

Câu hỏi 1: Có 2 công thức dùng để tính số cây táo và cây tùng: Số cây táo = n ,
số cây tùng = 8n. Có một giá trị của n để cho số táo bằng số tùng. Tìm giá trị đó của
n và chỉ ra cách tính.

15


Yêu cầu: Giải thích các biểu thức chứa chữ, kết nối với các cách biểu diễn
khác (sơ đồ tranh, bằng lời hoặc bằng đại số) của 2 mối quan hệ đã cho, tìm cách
xác định khi nào thì 2 hàm sẽ có cùng giá trị (bằng cách thử - sai hoặc bằng công cụ
đại số), giải thích cách làm.
Cách chấm điểm:
Mức Đầy đủ:
Ghi mã 1: Được toàn bộ điểm: nếu trả lời được theo một trong các phương
án sau: a) Tìm ra n = 8 nhờ sử dụng công cụ đại số; b) Tìm ra n = 8 nhưng trình bày
chưa rõ; c) Tìm ra n = 8 bằng cách mở rộng mẫu/dùng sơ đồ; d) Trả lời tương tự
phương án một nhưng lấy cả 2 đáp số: n = 8 và n = 0; e) Trả lời tương tự phương án
2 nhưng lấy cả hai đáp số: n = 8 và n = 0.
Không tính điểm
Ghi mã 0: những trường hợp khác, bao gồm cả n = 0.
Câu hỏi 2: Nếu người ta muốn làm một vườn cây rộng hơn với nhiều hàng cây hơn.
Khi đó loại cây nào sẽ tăng nhanh hơn? Giải thích.
Yêu cầu: Học sinh phải nhận biết được tính chất biến thiên của đồ thị hàm số

bậc 1 và bậc 2; hình dung trong óc đồ thị của 2 hàm này; sử dụng công thức biểu
diễn của 2 hàm; sau đó, viết câu trả lời.
Cách chấm điểm:
Mức Đầy đủ:
Mã 2: tính đúng số cây táo và đưa ra một vài giải thích đại số dựa trên các
2

công thức n và 8n.
Mức Không đầy đủ:
Mã 1: tính đúng số táo dựa trên những trường hợp đặc biệt hoặc dựa trên một
bảng mở rộng. Hoặc tính đúng số táo và có một vài chứng cứ chứng tỏ đã hiểu được
2

mối liên hệ giữa n và 8n nhưng không rõ ràng như trong trường hợp đúng tuyệt
đối.
Không tính điểm:
Mã 0: tính đúng số táo nhưng câu trả lời chỉ có tính chất cảm tính hoặc giải
thích sai hoặc không có giải thích.

16


Ví dụ 3. Vận tốc của xe ô-tô đua
Biểu đồ này cho thấy sự thay đổi vận tốc của một chiếc xe đua dọc theo
quãng đường dài 3 km trong chặng đua thứ hai.

Vận tốc của xe ô-tô đua trên quãng đường 3 km (chặng đua thứ hai)
Tốc độ
(km/giờ)

Vạch xuất phát

Nguồn: Để tưởng nhở Claude Janvier (mất năm 1998), bài tập đã được chỉnh sửa
dựa trên ý tưởng của ông trong Janvier C. (1978): Việc diễn giải các biểu đồ phức
tạp – kinh nghiệm nghiên cứu và giảng dạy. Tài liệu đi kèm luận án. Đại học
Nothingham, Trung tâm giáo dục Toán học, Mục C-2.
Hình ảnh các đường lấy trích dẫn từ Fischer, R&Malle, G. (1985): Mensch and
Mathematik,, Trung tâm lưu trữ tài liệu: Mannheim Wien Zurich, 234-238

Câu hỏi 1- Vận tốc xe ô-tô đua: Ước lượng khoảng cách vạch xuất phát của
chặng đua tới điểm bắt đầu vào quãng đường có đoạn thẳng dài nhất trên cả chặng
đua thứ hai nói trên.
A. 0,5 km;
B. 1,5 km;
C. 2,3 km;
D. 2,6 km;
Yêu cầu:
Học sinh nhìn vào đồ thị và giải thích được quan hệ giữa khoảng cách và vận tốc
của xe đua trong cả chặng đua. Trong đó có một trường hợp đồ thị là đường thẳng còn

17