Cách giải các bài tập toán cơ bản ứng dụng trong phân tích kinh tế: Phần 2

C hư ơ ng 3

ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHẢN, TÍCH PHÂN
HÀM MỘT BIỂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TỂ
A. ĐỀ BÀI
Bài 3.1. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa:

Qs = 4 P - l
Qd = 4 - P 2

1) Tìm điều kiện của p để hàm cung, hàm cầu cùng dương.
2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán)
của người mua (bán)
3) Tìm giá và lượng cân bằng (P ,Q ).
Bài 3.2. Cho mô hình thị trường
Hàm cung: Qs = 0,1 p 2 + 5P +10
Hàm câu: Qn = -—
P-2
Chứng tò rằng mô hình trên có giá cân bàng thuộc khoảng
(3; 5).
Bài 3.3. Cho mô hình thị trường
Qs = 6 P -4
Q d = 3 -P 2; p > 0


Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân...

61

1) Tìm hàm cầu đảo.
2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người

bán) chấp nhận là bao nhiêu?
3) Chứng minh tồn tại điểm cân bằng thị trường này.
Bài 3.4. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu:
TR = 4000Q - 33Q 2 và hàm chi phí TC = 3Q 3 - 3Q 2 +
400Q + 500. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa.
Bài 3.5. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu:
p = 40 - 0,03Q và hàm chi phí TC = 10Q + 120. Hãy xác
định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
Bài 3.6. Cho hàm chi phí trung bình
AC = — - 0,5Q + 0,25Q2 +10
1) Tìm hàm chi phí cận biên.
2) Với p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi
nhuận.
Bài 3.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR.
2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 2Ọ 2 + 0,25Q3
Xác định lợi nhuận cận biên Mn và tính Mn tại điểm
Qj =
3

2 0 ; Q 2= 1 0 .

) Có tồn tại hay không điểm hòa vốn thuộc (10; 20)


62_________ ________ Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so UTỊ£ dụng...

Bài 3.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Ọ - 0.5Ọ: (Q>0)
1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh
thu trung bình.

2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình.

0.1

Bài 3.9. Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 + ———
F
&
0.2 + Q
1) Tính chi phí cận biên MC tại Qo = 10.
2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phi
cận biên; cho nhận xét về hàm này.
3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại
Q o -1 0 .
Bài 3.10. Cầu về hàng hóa A là: Qu = 200P '0 5, thị trường hàng
hóa A có 2 hàm cung là: Qsi = 5P ° 5 và Q S2 = 4P° 5.
1) Hãy lập mô hình thị trường hàng hóa A.
2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bang khône?
Bài 3.11. Cho mô hình thị trường 1 hàng hóa như sau:
p = 1 8 0 -0 ,5Q ị
p =30 + 2Ọ^
1)

Hãy xác định trạne thái cân bàng cùa thị trườna.

2) Chính phù đánh thuế t/đơn vị hàng hóa. phái định t la bao
nhiêu đê tôna thuế thu được là lớn nhất.
3) Khi t tăng 1% thì g iá cản b àna c ó tăna 1% k h ô n 2 °


Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân...

63

Bài 3.12. Hàm cầu vể ngô có dạng:
Q o

= 200 - 50p.

Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi phí tại đó mỗi cơ sở là
TC = Q (Q - sản lượng ngô ở mỗi cơ sờ). Xác định mức sản
lượng Q đê tôi đa hóa lợi nhuận và giá cân bàng của thị trường.
Bài 3.13. Cho hàm cung Qs, hàm cầu ỌD về 1 loại hàng hoá:
Q s = 0 ,2 p 2 + 5 p -1 0

50
Qd = —
với p là giá hàng hoá
P -2
1) Với điều kiện nào của p thì cung và cầu đều dương? Với
điều kiện trên hãy viết phương trình cân bằng thị trường
2) Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm
này. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong
khoảng (3,5).
Bài 3.14. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - ọ 2 (Ọ > 0)
1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q).
2)

Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh
thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.
3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giai thích ý

nghĩa kết quả nhận được.
Bài 3.15. Cho hàm tồng chi phí TC = 2Q 2 +3Q + 100 (Q > 0)
1)

Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q).

2) Tính chi phí cận biên lại mức sản lượng Q 0 = 2 và giải
thích V nghĩa kết qua nhận được.


64__________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà m tg d ụ n g ...

Bài 3.16. .Cho hàm cầu QD = 8 p - p 2 (p > 0), Po = 5
Tại mức giá Po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi
một lượng xấp xỉ bằng bao nhiêu %
Bài 3.17. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân
AC(Q) và hàm chi phí cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí
TC = Q 2 + 8 Q + 1 8 ( Q > 0 )
Bài 3.18. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình
quân APL và hàm sản xuất cận biên MPL, biết hàm sản xuất
ngắn hạn có dạng: Q = 60L - 3L 2 (L > 0).
Bài 3.19. Cho biết hàm sản xuất ngẩn hạn Q = 100-v/ l (L > 0)
và giá của sản phẩm p = 4ƯSD, giá thuê lao động bàng
p L = 20ƯSD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi
nhuận tối đa.
Bài 3.20. Cho hàm tổng chi phí TC = Q 3 - 120Q 2 + 14Ọ (Ọ > 0).
Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhò nhất.
Bài 3.21. Cho biết hàm chi phí TC = Q 3 -7Ọ 2 + 49Ọ - 4 (Ọ > ])
và hàm cầu đảo p = 40 - Q. Hãy xác định mức sàn lưcmg ọ
cho lợi nhuận đạt cực đại.

Bài 3.22. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu:
TR = 58Q - 0,5Q 2
và hàm tồng chi phí TC = - ọ 3 - 8,5Q 2 + 97Q + FC . trong đó
Ọ là sản lượng (Q > 0) và FC là chi phí cổ định.


Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân...

65

1) Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa
lợi nhuận.
2) Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức
sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa.
Bài 3.23. Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí
TC = Q 3 - Ọ 2 +

1

(Q >

1 ).

1) Với giá thị trường p, hãy viết phương trình xác định hàm
cung của công ty.
2) Hãy phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hóa
lợi nhuận và tới mức lợi nhuận tối đa của công ty.
Bài 3.24. Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu đảo:
p = 490 - 2Q và hàm chi phí TC = 0,5Q 2A D °5;
Trong đó: Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.

1) Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán
tối ưu.
2) Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức
sản lượng và giá bán toi ưu.
Bài 3.25. Cho hàm tổng chi phí:
TC = Q 3 - 5Q 2 + 14Q + 144 (Q > 0)
1)

Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q, từ đó cho
nhận xét về mở rộng sản xuất.
2) Tírìh hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2.


66

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ưn? dụng.

Bài 3.26. Cho hàm chi phí TC = 5000+ 4 ^ Q+3
(Ọ là sản lượng, ọ > 0)
1) Tìm hàm chi phí cận biên MC.
2) Tính chi phí trung bình AC tại Qo = 100.
Bài 3.27. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một sản
phẩm:
AC = Ọ 2 - 12Ọ + 60 (Q là sản lượng, Q>0)
1) Xác định các biểu thức tính sự thay đổi tuyệt đổi và tương
đối của AC theo Q và cho các nhận xét.
2) Xác định hàm chi phí cận biên MC và mô tà trên cùng
mặt phẳng tọa độ đồ thị hai hàm MC, AC. Từ đó hãv nêu các
nhận xét quan hệ giữa MC và AC.
Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí cùa nhà sản

xuất như sau:
TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q 3 - 6 Q 2 + 140Q + 750
(Q > 0)
Hãy chọn múc sản lượng để lợi nhuận tối đa.
Bài 3.29. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sán xuất
độc quyền, biết:
Hàm chi phí cận biên MC = 3Q 2 - 6 Q + 96
2
Hàm câu đôi với sản phâm: Q = 148 - - p


Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân.

67

Bài 3.30: Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá
Qs = 0,3pa(0 < a < 1 )
Qd=

0,1

pbMcqd ( b < 0 , 0 < c < l , d * 0 )

Trong đó: Qs, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p
hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng B

làgiá

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a?
2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay

bổ sung?
3) Tìm mối liên hệ giữa b, c, d để khi p, M, q thay đổi cùng
1 tỉ lệ thì cầu D không đổi.
4) Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.
Bài 3.31: Hàm cung Qs và hàm cầu Qo của hàng A có dạng
Qs = 0 ,7 p -1 5 0
Qd= 0,3M - 0,5p +120
Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhập khả dụng
1) Có ý kiến cho rằng lượng cân bàng không phụ thuộc vào
thu nhập, ý kiến này đúng hay sai?
2) Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân
tích tác động của thuế tới mức giá cân bàng.
Bài 3.32. Cho mô hình thị trường hàng A dạng:
Q p = D( p , Y 0)

( D p < 0 ; D y >0)


68

Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ

Qs = S (p ,T 0)

I/Tiff dụtĩỹ.

(S p> 0 ;S To< 0 )

Trong đó: p là giá hàng A, Y 0 là thu nhập, T 0 lả ihuẻ
1) Phân tích ảnh hưởng của Y0, T 0 tới giá cản băng, giải

thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận được.
2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y 0 tới lượng cân
bằng, dùng hàm cầu phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cản
bằng.
Bài 3.33. Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập,
T là thuế. Mô hình thị trường có dạng
Da = 0,8M°’4p'0’5q 0,1
Sa = 5,4p°’3T '0,05
1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hoá A, B.
2) Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.
3) Lượng cung Sa thay đổi thế nào khi giá hàne A lảng 7%
và thuế cũng tăng 7%.
Bài 3.34. Cho hàm tổng chi phí: TC = Q 3 - 5Q 2 + 14Q +75 với
Q là sản lượng (Q > 0)
1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC.
2) Tìm hệ số co giãn của c theo ọ tại mức Qo = 10 và giải
thích ý nghĩa kinh tế của nó
3) Tìm các hàm MC và AC, chứng minh MC cắt AC lại
điêm AC cực tiểu.


Chương 3. ứ n g dung phép tính vi phản, tích phân...

69

Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 -3Ọ. Tìm
hàm MR, chứng minh rằng AR, MR có cùng tung độ gốc,
nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR.
Bài 3.36. Cho hàm tống chi phí:
TC(Q) = Q 3 - 4 Q

2

+ 1800Q + 150 ( Q > 0 )

Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Q = 9000 - p
1) Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (là hàm của p).
2) Tìm MC và MR theo Q.
3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại.
Bài 3.37. Cho hàm lợi nhuận:
71 = - Q 3 + 3 Q 2 + 1 3 2 0 Q - 10 (Q > 0)

Tính 7ĩ( 0 ) và giai thích ý nghĩa kinh tế.
Tìm mức sàn lượng ọ ’ để lợi nhuận đạt cực đại.
_9
Bài 3.38. Cho hàm sản xuât: Q = ——L’ +10L2
3

Trong đó: Q - san lượng, L - số đơn vị lao động sử dụng
1) Tìm tập xác định thực tế cùa hàm trên.
2) T ì m h à m san phâi n trun g bình A Ọ và h à m sản p h â m biên

MQ. Chứng minh ràng AỌ = MQ tại mức sản lượng ọ mà AỌ
đạt cực đại.
3) Tìm mức su dụng la . động L* tại đó ọ đạt giá trị lớn rh; ì .


70

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa ựTỊỹ dụng.

4)
Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giãi
thích ý nghĩa kinh tế.
Bài 3.39. Một công ty có hàm tổng doanh thu: TR = 60Ọ - 1,5Q 2
o3
và hàm tổng chi phí:T C = ------ 9,5Q 2 + 101Q + FC .
1) Cho FC = 3, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt cực đại.
2) Gọi n * là mức lợi nhuận cực đại. Phân tích ảnh hường
của FC tới Q* và 71*.
Bài 3.40. Hàm cầu ngược p = 200- Q; TC = Q 2
Trong đó: p - giá; ọ - sản lượng
1) Tìm mức sản lượng và mức giá sao cho lợi nhuận cực đại.
2) Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối đa lợi nhuận.
3) Giả sử chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sàn
phẩm bán ra. Tìm mức cung tối đa hóa lợi nhuận; sản lượng đó
thay đổi thế nào khi t thay đổi.
Bài 3.41. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên
MR = 1800- 1,8Q2
1) Cho biết nếu tại mức sản lượng Qo =10 mà doanh nghiệp
giảm giá 1 % thì mức cầu sẽ biến động như thế nào?
2) Neu doanh nghiệp định giá bán Po = 50 thì tốna doanh thu
là bao nhiêu?

3) Neu doanh nghiệp tăng mức F'.m lượnt: cune từ 10 lén 20
thì tông doanh thu tăng lên bao nhiêu?


Chương 3. ứng dụng phép tính vi phân, tích phân...

71

Bài 3.42. Cho hàm lợi nhuận bậc hai:
7ĩ(Q) = hQ 2 + jQ + k (Q > 0 )
Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm
lợi nhuận trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện kinh tế sau:
1) Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm.
2) Lợi nhuận 7i(Ọ )đạt cực đại tại Q* > 0.
Bài 3.43. Cho hàm chi phí:
TC(Q) = aQ 2 + bQ + c ( a > 0;Q > — )
2a
1) Cho biết các điều kiện đối với a, b, c để hàm C(Q) là hàm
chi phí hợp lý về mặt kinh tế; lập hàm AC và MC.
2) Cho hàm cầu ngược về sản phẩm cúa công ty là
p = p(Q) có P’(Q) < 0. Hãy lập hàm doanh thu,doanh thu bình
quân, doanh thu cận biên.
3) Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra điều kiện để hàm lợi nhuận
đạt cực đại
Bài 3.44. Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các
trường hợp sau:
1

) T C '( Q ) ,= MC( Q) = 15Q2 + 8 Ọ + 3; FC = 100

2)

MC =

3Qe°-5Q: FC = 30

3) MC = 2e°-2Ọ; FC = 90


72

Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ so im g dụng

Bài 3.45. Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trong các truờng hợp
sau:
1) MR(Q) = 28Q - e°'3Q
2) MR(Ọ) = 10(1 + Q )'2
Bài 3.46. Tìm hàm tổne nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc
dân nếu khuynh hướne nhập khẩu biên M ’(Y) = 0.1 và
M = 20 khi Y = 0.
Bài 3.47. Biết tiêu dùng c bàng thu nhập Y khi Y = 1001'SD và
khuynh hướng tiêu dùng là:
C ’(Y) = MPC(Y) = 0.8 + 0,1 Y '°-5
1) Tìm hàm tiêu dùne.
2) Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tâng từ
100USD lên 200USD
3) Tính hệ số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập
Y = 200ƯSD, giải thích ý nghĩa của nó.
Ị

Bài 3.48. Cho hàm đầu tư I(t) = 12t- (trons đó t là biến thời
gian)
1) Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.
2) Xác định tône lượna vốn tích lũy được trona k h o a n e thời
gian t e [0 : 1 ].
Bài 3.49. Cho cầu về một loại hàng hóa (Ọ) phụ thuộc \a o

cùa hàn 2 hóa đó (p) và thu nhập (Y) dạng:
Q = 4YỬ5 - lnp -

2

2 Ìá


Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân.

73

1) Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ sổ co giãn
riêng của ọ theo p, theo Y.
2) Tại mức cầu Q 0 cho trước, giả sủa giá p tăng 1 đơn vị thi
thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thì cầu không đổi.
Bài 3.50. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản
phẩm: Qd = Ạ 13 —p ; Qs = 7 ?

- 1

Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người
tiêu dùng.
Bài 3.51. Cho Qs và Qo là hàm cung và hàm cầu một loại hàne hóa:
Qs = 5 0 p 2 - 20

Q „= 0,5p- 2 M 2
Với p là giá một đơn vị hàng hóa, M là thu nhập cúa người
tiêu dùng (M > 0)
1) Tìm điều kiện đối với p sao cho hàm cung và hàm cầu đều

nhận giá trị dương. Với điều kiện này hãy viết mô hình cân bàng
thị trường, viết hàm dư cung và xét tính đơn điệu của hàm này
theo p.
2) Cho p;Q là giá cân bang và lượng cân bàng. Nếu thu
nhập M giam thi sẽ tác động như thế nào tới p:Ọ .
Bài 3.52. Y là thu nhập, s là tiết kiệm.
Biết rà n e m ứ c tiết k iệ m s = -7,42 khi thu nhập Y = 5.

1)
Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướna tiết
kiệm cận biên:
MPS - V - 0.4.


74

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7Ị£ dụng.

2) Kê từ mức thu nhập dương nào trở lẽn sẽ có tiẽt kiệm
dương?

B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Bài 3.1.
1) Điều kiện để lượng cung và lượng cầu dương là:
Qs > 0

.Qd > °
4P - 1 > 0
<=> 4 - p > 0 < = > - < P < 2
4

p >0
2) - Qs > 0 « 4 P - ] > 0 o P > 1

Suy ra: Giá thâp nhât là: pmin = —.
4
- Qd > 0 < = > 4 - P 2 > 0 » 0 < P < 2
Suy ra: Giá cao nhất là pmax = 2.
3)MÔ hình cân bàng:
Qs = Q 0 o 4P -1 = 4 - p 2

p 2 + 4P - 5 = 0 co

p=
p=


Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân.

Vì p >

0

nên p = -5 (loại) và p =

1

75

(thỏạ mãn).

Vậy giá cân bằng là p = 1 và lượng cân bàng Q = 3
Bài 3.2. Xét mô hình cân bàng Qs = QD
« 0 ,lP

2

+ 5 P + 10 = - 5 5 P-2

« 0 , 1 P 3 + 4 ,8 P 2 - 7 0 = 0

(*)

Xét hàm f(P) = 0,1P 3 + 4,8P 2 - 70 trên [3; 5]
- f(P) liên tục trên [3, 5]
- f(3).f(5) < 0

Nên phương trình (*) có nghiệm thuộc (3; 5).
Vậy mô hình có giá cân bàng thuộc (3; 5).
Bài 3.3. Bạn đọc giải tương tự bài 3.1.
Bài 3.4.
Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
71 = TR - TC = 4000Q - 33Q 2 - (3Q 3 - 3Q 2 + 400Q + 500)
= -3Q3- 30Q2 + 3600Q - 500 (Ọ > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .
Ta có: (7ĩ)' = -9 Q 2 -6 0 Q + 3600
(7t)' = 0 « 3Ọ2+20Ọ-1200 = 0


76

Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sà ưng đung.

_ -10(1+>/37)
Q, =

<=>
_ 10(V37-1)
q

2 =

Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhát tại ọ2.
Bài 3.5.
Hàm doanh thu của doanh nghiệp là:
TR = p .ọ = 40Ọ - 0,03Ọ2.
Lợi nhuận của doanh nghiệp là
7t = TR - TC = 40Q - 0,03Q : -(1 0 Q + 120)
= -0,03Q2 + 30Ọ - 120 (Q > 0)
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của

Tí.

Ta có: (n)'= -0 .0 6 Ọ + 30
(n)'= 0 <=> Q = 500
Lập bána biến thiên kết luận hàm Tí đạt giá trị lớn nhất tại

Q = 500.
Bài 3.6.
1) Hàm tông chi phí:

TC = AC.Q = 0.25Ọ3 - 0.5Q2 + 1oọ + 12
Hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)* = 0.75Q 2 - Q +

10


77

Chương 3. Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân.
2 )Với

p = 106, hàm tổng doanh thu là:

TR = P.Q = 106Ọ
Hàm lợi nhuận:
71 =

TR

-

TC

=

-0 ,2 5 Q 3 + 0,5Q 2

+

96Q

- 1

2(Q

>

0)

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của n .
Ta có: (n)' = -0,75Q 2 +Ọ + 96

(71)

'= 0 o

3Q2 - 4Q - 384 = 0 o

Q ,=

-32
3

Q2 =12

02

Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhất tại
= 12.

Bài 3.7.
1) Hàm doanh thu: TR = AC. Q = 240Q - 0,5Q 2
Hàm doanh thu cận biên MR = (TR ) 1 = 240 - Q
2) Hàm lợi nhuận:
n =TR-TC = 240Q-0,5Q2-(40+12Q-2Q2+0,25Q3)
= -0 ,2 5 Q 3 + 1,5Q 2 + 238Q - 40 (Q > 0)
Hàm lợi nhuận cận biên là:
M n = (7t)'= -0 ,7 5 Q 2 + 3Q + 238
Từ đây suy ra M 7t( 1 0 );M ĩi( 2 0 )


78__________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừng dụng■ ■

3)
Lập bảng biến thiên suy ra không tồn tại điểm hòa vôn
thuộc ( 1 0 ; 2 0 ).
Bài 3.8.
1) Hàm chênh lệch là: f(P) = MR - AR
Hàm doanh thu là: TR = AR. Q = 240Q + 12Q2 - 0,5Q 3
Hàm doanh thu cận biên là:
MR = (TR)' = 240 + 24Q - 1,5Q 2
Khi đó, hàm chênh lệch là:
f(P) = 240 + 24Q - 1,5Q2 - (240 + 12Q - 0,5Q2)
=

12Q

-Q

2

2) Ta có: (A R )'= 1 2 - Q
(AR)' = 0 <=> Q = 12
Lập bảng biên thiên kết luận hàm doanh thu trung bình đạt
giá trị nhỏ nhất tại Q* = 12.
Bài 3.9.
1) Hàm tổng chi phí: TC = AC. Q = 12Q + --P- ■
^
0,2 + Q
Hàm chi phí cận biên là:
MC = (T C )'= 12 + — 0,0
(0,2 + Q ) 2
Hàm chi phí cận biên tại Qo = 10


Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân.

79

0,02
(0,2 +loỵ
2) f(P ) = AC - MC =

Q,1Q ■
(0 ,2 + Q ) 2

Lập bảng biến thiên để nhận xét hàm này.
3) Hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q
CTC _ (T C )' n

TC
Theo giả thiết ta có:
MC(Qo) = 12,000192; TC(Qo) = 120,09804 nên
eĨC (Q ) = 12’000192.10 = 0,9991997
Q 0
120,09804
Bài 3.10.
1)

Hàm cung Qs = Qsi + Qs2 = 5P 0’5 + 4P 0,75

Mô hình cân bàng thị trường A:
Qs = Qd<=> 5P ° 5 + 4 P °

75

=

2 0 0 P ' 0,5

2) Biến đổi phương trình cân bằng về phương trình đa thức
và chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 3.11.
1)

ọ ị =

=360-2P => QD =>/360-2P

80

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so iniỹ dụng.

P-30
Qỉ = p

2

30

J

V

2

Điều kiện: 3 < p < 180

(*)

Giải phương trình: Q s = Qd thu được giá cân băng p = 150
và Q = V ó õ .
2) Khi có tác động của thuế (t) thì trạng thái cán bằng mới
là:
ÍPS +

1

= 1 8 0 -0 ,5 Q 2

ps = 30 + 2 Q 2
Ps > 0 ;t > 0

Giải hệ thu được: Q =

-ri

< t < 150)

/ 2 ( 1 5 0 - 1)

Tông thuê: T = t.Q = t . J — ——

=>max

Lập bảng biến thiên suy ra T đạt giá trị lớn nhất tại t* = 100.
3) Khi thuế tăng 1% thì giá cân bàng tăng chưa đến 1%.
Bài 3.12.
Hàm cung là: Qs = 50Q
Mô hình cân bàng thị trường:
Q s = Q d <=> 200-50P = 50Q <=> P = 4-Q


■'TÍ

81

Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân.

Hàm lợi nhuận:
7U= T R - T C = ( 4 - Q ) Q - Q

2

=4Q-2Q2

Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất
tại Q = 1 và giá cân bàng khi đó là p* = 3.
Bài 3.13. Bạn đọc giải tương tự bài 3.2
Bài 3.14.
1) Hàm doanh thu cận biên: MR(Q) = (TR)’ = 1400 - 2Q.
2) Tính MR(500) và giải thích ý nghĩa.
3) Tính MR(710) và giải thích ý nghĩa.
Bài 3.15.
1)M C = (TC)’ = 4 Q + 3
2)

Tính MC(2) và giải thích ý nghĩa của kết quả.

Bài 3.16.
8

2d

Hê số co giãn của cầu theo giá bằng: £° = -----—
8 - p
Tại Po = 5: Ep = —- . Bạn đọc giải thích ý nghĩa
Bài 3.17.
TC

Lập hàm chi phí bình quân AC = ——. Tính (AC)’, lập bảng
biến thiên của AC và kết luận.
Bài 3.18.
Lập hàm sản xuất bình quânA PL = — . Tính (A P L )\ lập
bảng biến thiên cùa APL và kết luận.


Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ UTtg dụng.

82

Bài 3.19.
Hàm doanh thu: TR = p. Q = 400 V l
Hàm chi phí: TC = pL. L = 20L
Hàm lợi nhuận: 71 = TR - TC = 4 0 0 a/ l - 20L
Lập bảng biến thiên của hàm 7Ĩ và kết luận.
Bài 3.20.
TC
Lập hàm chi phí bình quân AC = —— . Tính (AC)’, lập bảng
biến thiên của AC và kết luận.
Bài 3.21.
Tìm hàm doanh thu: TR = p. Q và hàm lợi nhuận:
71 = TR - TC . Lập bảng biến thiên của hàm 7t và kết luận.
Bài 3.22.
1)FC = 4:
Hàm lợi nhuận:
71 = TR-TC = j Q 3 +8Q 2 -39Q-4
7i = -Q 2 + 16Q-39
k'

= 0 <=>| Q|
.
Q2 =13


Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân...

83

Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất
tại Q* = 13.
2)
Gọi Q là mức sản lượng làm cho lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị
lớn nhất: n(Q *) = 0
«> MR(Q*) = MC(Q*)
<=> 58-Q* = Ọ*2-17Q*+97

(1)

Phương trình (1) không chứa FC nên Q* không phụ thuộc
vào FC.
Ta có: 71* = — Q*3 +8Q*-39Q*-FC.
ỞK*
„„
'
= - K O => FC tác đông ngươc chiêu tới n* .
ỔFC

—

—

Bài 3.23.
1) Phương trình xác định hàm cung: p = 3Q2- 2Q.
2) Tìm

-

õp

ổp

và

ỡp

ta được:

= — ỉ— > 0 VÌQ* > 1. Do đó khi giá p tăng thì mức
6 Q*-2

cung tối đa hóa lợi nhuận tăng.
- —
õp

đa tăng.

= Q*>

0

. Do đỏ khi giá p tăng thì mức lơi nhuân tối


84

Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ UĨĨỊỊ dụng.

Bài 3.24.
1) Với AD = 9, lợi nhuận là:
71 = TR-TC = 490Q-3,5Q2
n' = 490-7Q
7ĩ’ = 0 o

Q* = 70

Lập bảng biến thiên, kết luận hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn
nhất tại Q* = 70.
2) Gọi Q* là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận:
4Q* + Ọ*.AD 0’5 - 490 = 0
Khi đó, ta có:
-

ỔAD

<

4+AD ’

0

vì AD > 0 và Q* > 0.

Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì sản lượng tổi ưu giàm.
iP l.
ỔAD

AD

> n0 vì
vì JẼ2!
>
- _
ỔAD

<0

Do đó, chi phí quảng cáo tăng thì giá bán tăng.
Tại AD = 9, Q* = 70, ta có:
ÕQ*

_ - 5

—V = — <
ỔAD
3

n

0

dp*

10

; —S-— = —
ỔAD
3

n

>0

Bạn đọc giải thích ý nghĩa của kết quà.
Bài 3.25.
1) Xét hàm chi phí cận biên:
MC = (TC)' = 3Q 2 - 10Q + 14 > 0 với VQ > 0.