Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp lượng giác hóa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (970.26 KB, 24 trang )
1
2
MỤC LỤC
3
4
5
CHƯƠNG I
....................................................................................4
CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC ................................................................................................... 4
6
7CHƯƠNG II
8
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC.............................................................................................. 5
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC...............................................................................5
9CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ.................................................................................6
10
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC.....................................................................................6
11
12
13
14
15
16
17
I. DẠNG 1: SỬ DỤNG HỆ THỨC SIN2X + COS2X = 1................................................................................................. 6
II.DẠNG 2: SỬ DỤNG ĐÁNH GIÁ ............................................................................................................................ 9
III. DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC ..................................................................................................................... 11
IV. DẠNG 4: SỬ DỤNG CÔNG THỨC SIN2T = ........................................................................................................ 14
....................................................................................................................................................................... 14
V. DẠNG 5: ĐỔI BIẾN SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC...................................................................................15
VI. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐẶC SẮC ................................................................................................................................ 17
18KẾT LUẬN....................................................................................................................................................... 22
19
TRONG TOÀN BỘ ĐỀ TÀI CHÚNG TÔI ĐÃ HỆ THỐNG LẠI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CÓ
20THỂ DÙNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH. CHÚNG TÔI ĐÃ PHÂN LOẠI CHÚNG
21THEO TỪNG DẠNG, TRÌNH BÀY CỤ THỂ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ CHỨNG MINH VÀ CÓ NHỮNG VÍ DỤ MINH
22HỌA KÈM THEO MỖI PHƯƠNG PHÁP. NHỮNG VÍ DỤ ĐÓ ĐƯỢC SẮP XẾP TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN PHỨC
23TẠP VỚI LỜI GIẢI KHÁ CHI TIẾT, ĐA DẠNG, BAO QUÁT MỌI KHÍA CẠNH LÍ THUYẾT VÀ DỄ HIỂU, CÓ
24THỂ GIÚP BẠN ĐỌC NẮM BẮT NHANH VÀ HIỆU QUẢ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG CHỨNG
25MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ. SAU KHI ĐỌC ĐỀ TÀI, BẠN ĐỌC SẼ CÓ THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP
26MỚI ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ MỘT CÁCH HIỆU QUẢ HƠN........22
27
TUY NHIÊN VÌ TRONG THỜI GIAN NGẮN VÀ KIẾN THỨC CHƯA SÂU RỘNG NÊN CÓ NHỮNG BÀI
28TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ CHỨNG MINH NHƯNG KHÔNG THEO MỘT
29PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CỤ THỂ NÀO MÀ DỰA VÀO NHỮNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA CÁC
30HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG YẾU TỐ TRONG BÀI TOÁN ĐỂ CHỨNG MINH KHÔNG ĐƯỢC
31CHÚNG TÔI TRÌNH BÀY CỤ THỂ VÀ CHI TIẾT TRONG ĐỀ TÀI NÀY. CHÚNG TÔI RẤT MONG NHẬN
32ĐƯỢC SỰ ĐÓNG GÓP, NHẬN XÉT CỦA BẠN ĐỌC VỀ NỘI DUNG ĐỀ TÀI.................................................22
33TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................................................... 23
34
1
2
LỜI NÓI ĐẦU
1
2
Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức đại số đóng vai trò rất to lớn trong
4toán học. Tuy nhiên, để vận dụng chúng trong quá trình giải quyết một số vấn
5đề của toán học thì việc chứng minh tính đúng đắn của chúng là vô cùng quan
6trọng.
3
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức đại số
8như dụng các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Cauchy,
9Bunhiacopski,…, hay vận dụng định lí về dấu tam thức bậc hai, khảo sát hàm
10số,…
7
Trong đề tài này, chúng tôi xin trình bày một cách nhìn khác về bất đẳng
12thức đại số, đó là cách nhìn dưới góc độ lượng giác. Phương pháp này được gọi
13là phương pháp lượng giác hóa. Với phương pháp này, chúng ta có thể chứng
14minh một số bất đẳng thức một cách hiệu quả hơn bằng cách thay đổi hình thức
15của bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số trở thành bài toán chứng minh bất
16đẳng thức lượng giác.
11
17
Đề tài được chia làm 3 chương:
18
Chương I: Một số tính chất cơ bản của hàm lượng giác
19
Chương II: Mối tương quan giữa các biểu thức đại số và biểu thức
20
21
22
lượng giác
Chương III: Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp
lượng giác
23
24
Và một số bài tập tự luyện.
1
2
4
Việc sai sót và hạn chế trong quá trình thực hiện đề tài là điều không thể
2tránh khỏi. Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận được sự phản hồi và góp ý chân
3thành của độc giả. Xin chân thành cảm ơn.
1
Qui Nhơn, ngày 6 tháng 11 năm 2009
4
5 Nhóm thực hiện đề tài
1
2
5
1 CH
ƯƠ
NG I
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
2 CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
3
4 I. M
ộ
t s
ố
công th
ứ
c l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n
5
1. sin2x + cos2x = 1
6
2. tanx.cotx = 1 , x ≠ , k
7
3. 1 + tan2x =
, x ≠ + kπ, k
8
4. 1 + cot2x =
, x ≠ kπ, k
9
5. sin2x =
10
6. sinx =
; cos2x =
; cosx =
; tanx =
, với t = tan
11 II. Tính ch
ấ
t
12
1. Hàm số y = sinx và y = cosx xác định với mọi x
13
, x
14
,
15
2. Nếu x [1;1] thì tồn tại a
và
x
sao cho x = sina và tồn tại b
sao
16cho
17
x = cosb.
18
3. Nếu x [0;1] thì tồn tại a
19
x = cosb.
20
4. Với mỗi số thực x, có một số a
21
5. Với mọi x, y thỏa x2 + y2 = 1 thì tồn tại a [0;2π] sao cho x = cosa và y = sina
1
sao cho x = sina và tồn tại b
sao cho
sao cho x = tana.
1
2 CH ƯƠ
NG II
MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC
3 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
4
5 Việc lượng giác hóa được tiến hành thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến
6tham gia trong biểu thức, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và
7các công thức lượng giác thông dụng. Sau đây chúng tôi xin đưa ra một số biểu thức
8đại số và biểu thức lượng giác tương ứng.
Biểu thức đại số
x2 + y2
x2 – y2
2x2 – 1
1 – 2x2
4x3 – 3x
3x – 4x3
Biểu thức lượng giác
tương ứng
sin2t + cos2t
cos2t – sin2t
2cos2t – 1
1 – 2sin2t
4cos3t – 3cost
3sint – 4sin3t
1 + x2
1 + tan2t
x2 – 1
1
Công thức lượng giác
sin2t + cos2t = 1
cos2t – sin2t = cos2t
2cos2t – 1 = cos2t
1 – 2sin2t = cos2t
4cos3t – 3cost = cos3t
3sint – 4sin3t = sin3t
1 + tan2t =
1
2 CH ƯƠ
NG III
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
3 BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
4
Dựa vào mối tương quan giữa bất đẳng thức đại số và bất đẳng thức lượng
6giác, chúng tôi xin trình bày một số hướng lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng
7thức đại số nhằm giúp độc giả có thể định hướng được phương pháp chứng minh bất
8đẳng thức đại số hiệu quả hơn.
5
9 I. D ạ
ng 1
: Sử dụng hệ thức sin 2x + cos 2x = 1
101. Phương pháp
11
a. Nếu bài toán có x2 + y2 = 1 thì ta đặt x = sinu và y = cosu, với u [0;2π]
12
b. Nếu bài toán có x2 + y2 = r2 (r > 0) thì ta đặt x = rsinu và y = rcosu, với u [0;2π]
13
c. Nếu hai biến tham gia có ràng buộc a2x2 + b2y2 = c2, a, b, c > 0, ta đặt
14
x = sinu và y = cosu , u [0;2π]
152. Ví dụ minh họa
16Ví dụ 1 (Đề thi đại học năm 1972 – Khối A)
17Cho 4 số thực u, v, x, y sao cho u2 + v2 = x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng
18
≤ u(y – x) + v(x + y) ≤
19Nhìn vào giả thiết “4 số thực u, v, x, y” rồi lại “u2 + v2 = x2 + y2 = 1”, chúng ta liên
20tưởng rất nhanh đến bất đẳng thức lượng giác “lợi hại” : sin2A + cos2A = 1. Và nảy ra
21ý định chuyển bài toán này qua lượng giác.
22Cách 1: Đặt u = cosα, v = sinα với α [0;2π]
23 x = cosβ, y = sinβ với β [0;2π]
1
1Khi đó P = u(y – x) + v(x + y) = cosα(sinβ – cosβ) + sinα(cosβ + sinβ)
2 = (sinαcosβ + cosαsinβ) – (cosαcosβ – sinαsinβ)
3 = sin(α + β) – cos(α + β) =
4Vì
sin
nên
5 Vẫn với ý nghĩ đưa về lượng giác nhưng ta tiến thêm một bước. Nhìn trong P ta thấy
6u và v đứng riêng lẻ, ta đặt chúng dưới dạng lượng giác một cách riêng lẻ, còn x và y
7đứng với nhau, có sự “gắn bó” hơn bởi các dấu + và . Ta nảy ra ý nghĩ: cứ để sự
8“gắn bó” ấy mà chuyển qua lượng giác.
9Nếu ta đặt
và
ta có ngay sin2α + cos2α = 1
10Cách 2: Đặt u = cosβ, v = sinβ với β [0;2π]
11
,
12Ta cần chứng minh
với α [0;2π]
≤ u(y – x) + v(x + y) ≤
13 Hay
14Chuyển qua lượng giác ta phải chứng minh
15 1 ≤ cosβsinα + sinβcosα ≤ 1
16
1 ≤ sin(α + β) ≤ 1 (hiển nhiên)
17Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
18Ví dụ 2 [2] Cho a2 + b2 – 2a – 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng
19 A =
≤ 2
20Nhận xét: Nhiều bài toán ta chưa thấy ngay yếu tố để chuyển về dạng lượng giác,
21cần qua một quá trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng
22lượng giác thuận lợi cho quá trình giải.
23Ta có a2 + b2 – 2a – 4b + 4 = 0
1
1
(a – 1)2 + (b – 2)2 = 1
2Đặt a – 1 = sint và b – 2 = cost, với t [0;2π]
3Khi đó A =
=
4 = 2
= 2
≤ 2
5Ví dụ 3 [8] Cho a, b thỏa mãn
6Chứng minh rằng a
2
+ b2 + 2(b – a) ≥ 1
7Nhận xét: Khác với các ví dụ trên, để giải quyết ví dụ này ta cần biến đổi bất đẳng
8thức cần chứng minh về dạng lượng giác quen thuộc.
9 a2 + b2 + 2(b – a) ≥ 1
(a – 1)2 + (b + 1)2 1
10Từ đó hình thành nên cách đặt
với R ≥ 0
11
12Ta có
13
14
15
1 = R
16Suy ra (a – 1)2 + (b + 1)2 = R2 ≥ 1
17
a2 + b2 + 2(b – a) ≥ 1
18Ví dụ 4[3] Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh
19
(1)
20Nhận xét: x + y =
21Từ đó ta nảy ra cách đặt
1
và
với t
.
1Khi đó,(1) trở thành:
2
+
+ (
3Ta có:
+
+(
4
5Vì 0≤
và 1+
(đpcm)
6
7 II.D ạ
ng 2
: Sử dụng đánh giá
81.Phương pháp:
9 a) Nếu biến x tham gia có điều kiện
1 thì đặt
10 hoặc
11 b) Nếu biến x tham gia có điều kiện
m (m≥0) thì đặt
12
13 hoặc
142.Ví dụ minh họa
15Ví dụ 1[1] Chứng minh rằng
16Chứng minh
17Vì
18
19
20.
1
nên đặt x = cost, với
=
. Khi đó
1Ví dụ 2 [7] Chứng minh rằng A=
2Chứng minh
3Vì
nên
4Từ đó, đặt a – 2 = cost
5Ta có A =
6 =
7Ví dụ 3 [2] Cho
. Chứng minh
(1)
8Chứng minh
9
≤ 1
(1)
10
(2)
11Theo giả thiết,ta có
Đặt
12(2) trở thành
13
sinv.cosu + sinu.cosv ≤ 1
14
sin(u+v) ≤ 1 (hiển nhiên)
15Ví dụ 4 [4] Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a = c
16 Chứng minh rằng
17Chứng minh
18 Điều kiện dể a, b xác định là 1 ≤ d ≤ 1, 1 ≤ c ≤ 1
19
20Đặt
1
≤ 1,
≤ 1
với 0 ≤ u, v ≤
,với 0 ≤ u, v ≤
1Khi đó, ta có
và
≤ 1 (hiển nhiên)
2
3 III. D ạ
ng 3
: Sử dụng công thức
41. Phương pháp:
5
a) Nếu x
và biểu thức cần chứng minh có chứa (1+
6
với t (
7
b) Nếu x
8
với t (
)
9
c) Nếu
hoặc bài toán có chứa biểu thức
thì đặt x = tant,
)
và biểu thức cần chứng minh có chứa (
10
với t [0, \{ }
11
d) Nếu
12
với t [0, \{ }
hoặc bài toán có chứa biểu thức
+
thì đặt x = mtant,
thì đặt x =
thì đặt x =
132.Ví dụ minh họa
14Ví dụ 1 [8] Chứng minh rằng A=
15Chứng minh: Đặt a =
≤ 2,
với t [0, \{ }
16Ta có A=
17 = 2
18Ví dụ 2 [2] Chứng minh rằng
19
1
,
(1)
1Chứng minh:
2Đặt a = tanu, b = tanv, c = tanw, với –
3Ta có
4 =
5(1) trở thành:
6
7Ta có
8 ≤
9Do đó,
10
(đpcm)
11Ví dụ 3 [8] Chứng minh rằng
12Chứng minh
13
(1)
14
(2)
15Đặt
16(2) trở thành cosu.cosv + tanu.tanv.cosu.cosv
17
cosu.cosv + sinu.sinv 1
18
cos(u v) ≤ 1 (hiển nhiên)
19Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u = v
1
1Ví dụ 4 [3] Cho các số thực x,y không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng
2 2
3Chứng minh
4 + Nếu y = 0 thì (1) đúng.
5 + Nếu
thì (1)
(2)
6 Đặt
7 (2) trở thành
8
9
1 (hiển nhiên)
10Ví dụ 5[9] Cho a,b,c>0 thỏa mãn
11 Chứng minh rằng
12Chứng minh
13Ta có
14Đặt
=
=
; 0 < A, B < π
15Từ giả thiết, ta có 6
với A, B, C là 3 góc của một tam giác
16
17Vậy
1
=
1 =
sin =
sin
2 =
=
3 IV. D ạ
ng 4
: Sử dụng công thức sin2t =
4
51.Phương pháp:
6 Nếu bài toán có chứa biểu thức dạng
7 Nếu bài toán có chứa biểu thức dạng
thì đặt x = tant, với x
thì đặt x = tant,với x
82.Ví dụ minh họa
9Ví dụ 1 [4] Chứng minh rằng
, ta có
10
11Nhận xét (1)
(1)
(2)
12Các phân thức
làm ta nhớ đến công thức nhân đôi biểu diễn của sinx và cosx
13theo tan .
14Đặt a = tan với
15
16Với
17
18Suy ra đpcm.
1
=
, ta có
1Ví dụ 2 [4] Cho 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
(*)
2
3Nhận xét: Các biểu thức
làm ta liên tưởng đến công thức nhân đôi
4của hàm tan2u, tan2v, tan2w.
5Đặt x = tanu; y = tanv; z = tanw; với 0 < u,v,w < (vì 0 < x, y, z < 1)
6Ta có xy + yz + zx = 1 tanu.tanv + tanv.tanw + tanw.tanu = 1
7
u + v + w =
8
2u + 2v =
9
tan2u + tan2v + tan2w = tan2u.tan2v.tan2w
10
11Đặt S =
12 P =
13Ta có S = P
14Theo Cauchy, ta có S ≥ 3
P ≥ 3
P ≥ 3
S ≥ 3
15 V. D ạ
ng 5
: Đổi biến số đối với bất đẳng thức tam giác
161. Phương pháp
17a) Nếu
thì tồn tại ABC với
18
19b) Nếu
1
thì tồn tại ABC với
đpcm)
1c) Nếu
thì tồn tại ABC với
hoặc
2
32. Ví dụ minh họa
4Ví dụ 1[6] Cho
.Chứng minh rằng S=
5Chứng minh
6 Đặt
với u, v, w
;
7Do
= x+y+z = 1 nên
8
9
10
=
u + v + w =
11Khi đó S =
12 =
=
13 =
14 ≤
15Ví dụ 2[9] Cho a, b, c > 0, ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng
16
1
+ =
1Nhận xét: + Đẳng thức liên quan : tan tan
tan tan
tan tan
2 + Lượng giác hóa
3Đặt a = tan
với A, B, C là 3 góc của tam giác nhọn ABC
4Ta có
=
5Ví dụ 3 Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = abc. Chứng minh rằng
6
(1)
7Nhận xét: Với a, b, c > 0 thỏa a + b + c = abc làm ta liên tưởng đến công thức
8tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC trong đó A, B, C là 3 góc của tam giác nhọn ABC.
9Đặt a = tanA, b = tanB, c = tanC trong đó A, B, C là 3 góc của tam giác nhọn ABC.
10Ta có
=
11Tương tự
12
(1)
tanA.cosA = sinA
= sinB ;
= sinC
sinA + sinB + sinC
luôn đúng với mọi tam giác ABC)
13
14 VI. M ộ
t s
ố
ví d
ụ
đ ặ
c s
ắ
c
15Ví dụ 1[7] Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0, a ≠ 0
16
Chứng minh rằng
17
Dấu “=” xảy ra khi nào?
18Chứng minh
19Theo định lí Viét ta có mnp = 1
20Lấy α = 450, β = 300, γ = 1650 thì α + β + γ = 1800
1
1Và
2Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
3
4 Hay 2npcosα + 2pmcosβ + 2mncosγ
(*)
5Ta có
6
p2 + m2cos2β + sin2β + n2(cos2α + sin2α) ≥ 2mncosβ + 2npcosα – 2mncos(α + β)
7
p2 + m2 + n2 ≥ 2mpcosβ + 2npcosα + 2mncosγ (Vì α + β + γ = 1800)
8Bất đẳng thức (*) được chứng minh.
9Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
10
11Đặt
ta có
12Suy ra m = ksinα =
; n = ksinβ =
13 p = ksinγ =
14Ví dụ 2[5] Chứng minh bất đẳng thức
15
16Chứng minh
17Với
18Hay
1
ta có bất đẳng thức sinα < α < tanα
(1)
1Dễ thấy các số
là n nghiệm của đa thức bậc n sau
; … ;
2
3Do đó tổng các nghiệm này là
4
5Vậy
+ … +
=
(2)
6Suy ra
7
8
9Vậy
=
(3)
10Từ (1), (2), (3) ta có
11
12Chia tất cả các số hạng của bất đẳng thức cho
13
14Nhận xét: Từ bất đẳng thức trên, cho n
15
16
17Vậy
1
ta được
ta được
1 BÀI TẬP THAM KHẢO
2
3Bài 1[2] Cho a2 + b2 = c2 + d2 = 1. Chứng minh rằng
4
a)
5
b) – 2 ≤ (a – b)(c + d) + (a + b)(c – d) ≤ 2
6Bài 2[2] Cho x, y thỏa mãn 3x + 4y = 7. Chứng minh rằng
7Bài 3[6] Chứng minh rằng
8
9Bài 4 [2] Chứng minh rằng
10 S =
11Bài 5[1] Chứng minh rằng
12Bài 6[4] Chứng minh rằng
13Bài 7[2] Chứng minh rằng
với mọi a, b
14Bài 8[2] Chứng minh rằng với mọi cặp số thực x, y ta đều có
15
16Bài 9 [6] Cho 3 số thực x, y, z sao cho xyz > 0 và 3 số thực a, b, c sao cho
17 a + b + c ≤ ,
18Chứng tỏ
19Dấu “=” xảy ra khi nào?
20Bài 10[8] Cho x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1, với x, y, z > 0. Chứng minh rằng
1
1
a)
xyz
b) xy + yz + zx ≤
2Bài 11[8] Cho x + y + z = xyz và x, y, z > 0. Chứng minh rằng
3
4Bài 12[8] Cho xy + yz + zx = 1 với x, y, z > 0. Chứng minh rằng
5
6Bài 13 (Đề thi toán Olyimpic 304,lần thứ 152009)
7Chứng minh với mọi a, b, c > 0 ta có
8
9Bài 14[8] Chứng minh rằng với mọi x,y thỏa mãn
10
11
1
y
ta có
1
2
KẾT LUẬN
Trong toàn bộ đề tài chúng tôi đã hệ thống lại một số bất đẳng thức đại số
3có thể dùng phương pháp lượng giác để chứng minh. Chúng tôi đã phân loại chúng
4theo từng dạng, trình bày cụ thể phương pháp để chứng minh và có những ví dụ minh
5họa kèm theo mỗi phương pháp. Những ví dụ đó được sắp xếp từ đơn giản đến phức
6tạp với lời giải khá chi tiết, đa dạng, bao quát mọi khía cạnh lí thuyết và dễ hiểu, có
7thể giúp bạn đọc nắm bắt nhanh và hiệu quả phương pháp lượng giác trong chứng
8minh bất đẳng thức đại số. Sau khi đọc đề tài, bạn đọc sẽ có thêm một phương pháp
9mới để chứng minh một số bài toán bất đẳng thức đại số một cách hiệu quả hơn.
10
Tuy nhiên vì trong thời gian ngắn và kiến thức chưa sâu rộng nên có những
11bài toán bất đẳng thức dùng lượng giác hóa để chứng minh nhưng không theo một
12phương pháp đặt ẩn phụ cụ thể nào mà dựa vào những tính chất đặc biệt của các hàm
13số lượng giác và những yếu tố trong bài toán để chứng minh không được chúng tôi
14trình bày cụ thể và chi tiết trong đề tài này. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng
15góp, nhận xét của bạn đọc về nội dung đề tài.
16
17
18
19
20
1
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
2
3
4[1] Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí,
5Các phương pháp giải –Bằng phương pháp lượng giác hóa, NXB Hà Nội,
62006.
7[2] Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Phương pháp
8giải toán Lượng giác hóa, Hàm số lượng giác, Hệ thức lượng, NXB ĐHSP,
92009.
10[3] Vũ Thế Hựu, Phương pháp lượng giác hóa các bài toán, NXB GD,
112003.
12[4] Võ Đại Mau, Tuyển tập 216 bài toán bất đảng thức, NXB Trẻ, 1996.
13[5] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thứcĐịnh lí và áp dụng, NXB GD, 2003.
14[6] Nguyễn Vũ Thanh, 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc, NXB GD,
151997.
16[7] Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi
17trẻ, NXB GD, 1997.
18[8] o/4rum/showthread.php?p=11269
19[9] />20
1
