Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sườn bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet và khuếch tán phi tuyến

Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)

Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sƣờn bằng phƣơng
pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến
Đặng Phan Thu Hƣơng, Nguyễn Thúy Anh, Nguyễn Hữu Trung
Trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội
Hà Nội, Việt Nam
Email:

bảo không tạo ra cực trị địa phƣơng tại bất kỳ thời điểm
nào để không xuất hiện thành phần phụ không mong
muốn (artifact) ở tín hiệu đƣợc khuếch tán. Nguyên lý
này còn đảm bảo, cực trị toàn cục dọc theo tiến trình
của tín hiệu theo thời gian bị giới hạn bởi cực trị toàn
cục ở tín hiệu khởi tạo với tín hiệu có bất kỳ chiều, và là
hàm không giảm (cực trị là minimum) hoặc không tăng
(cực trị là maximum) nhằm đảm bảo tính bền vững của
khuếch tán phi tuyến.

Tóm tắt—Trong bài báo này, chúng tôi trình bày thuật
toán khử nhiễu ảnh bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet
và khuếch tán phi tuyến. Đối với ảnh nói riêng và tín hiệu
1D, 2D, 3D, MD (nhiều chiều) nói chung, các điểm đột biến
chứa đựng thông tin quan trọng cần bảo toàn. Bằng việc
kết hợp giữa Curvelet và khuếch tán phi tuyến có thể tận
dụng các ưu điểm và hạn chế các nhược điểm của từng
phương pháp. Đặc biệt, tăng cường tính bền vững của
khuếch tán phi tuyến trên cơ sở biến đổi Curvelet và tăng
cường hiệu quả loại trừ nhiễu có khả năng bảo toàn biên
sườn nhờ biến đổi Curvelet. Kết quả mô phỏng chỉ rõ hiệu
quả bảo toàn đường biên của phương pháp hỗn hợp so với

phương pháp truyền thống khác.

Gần đây, trong [5] các tác giả đã đề xuất một
phƣơng pháp kết hợp (combined) Curvelet và khuếch
tán phi tuyến tận dụng các ƣu điểm và hạn chế các
nhƣợc điểm của từng phƣơng pháp. Cụ thể, phƣơng
pháp kết hợp đề xuất bao gồm hai bƣớc: (1) áp dụng
biến đổi Curvelet shrinkage và (2) khuếch tán phi tuyến
ảnh đã làm mềm bằng Curvelet. Phƣơng pháp nhằm
giảm hiệu ứng tần số cao (pseudo-Gibbs). Nhƣng, hai
bƣớc của quá trình là độc lập và bƣớc (1) chính là quy
trình làm trơn quy tắc hóa (regularization) làm hỏng các
biên sƣờn đáng lẽ phải bảo toàn của ảnh.

Từ khóa—Loại trừ nhiễu, Biến đổi Curvelet,
Khuếch tán phi tuyến, Đường biên.

I. GIỚI THIỆU
Loại trừ nhiễu và tăng cƣờng ảnh là các nhiệm vụ
quan trọng trong xử lý ảnh nhằm khôi phục tin cậy ảnh
quan sát đƣợc dƣới tác động của các loại nhiễu. Đã có
nhiều phƣơng pháp, nhiều thuật toán tối ƣu đề xuất xử
lý tín hiệu trong miền tần số (lọc Wiener), miền
Wavelet, làm trơn Gauss,… loại trừ nhiễu mà vẫn bảo
toàn các thuộc tính quan trọng của ảnh đầu vào [1][2].

Bài báo này đề xuất phƣơng pháp hỗn hợp (mixed)
khử nhiễu ảnh gồm ba bƣớc lồng ghép chính: Bƣớc 1:
Tạo thông tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi
tuyến. Bƣớc 2: Tiến hành Curvelet shrinkage nhƣng loại

trừ hƣớng có biên sƣờn vì quy trình Curvelet shrinkage
cho phép làm trơn theo hƣớng. Bƣớc 3: Khuếch tán phi
tuyến ảnh nhận đƣợc từ bƣớc 1 và hiệu chỉnh biên sƣờn
bằng biến đổi Wavelet 1D từ thông tin nhận đƣợc từ
bƣớc 1. Các hệ số rời rạc của biến đổi Curvelet có thể
nhận đƣợc bằng nhiều cách. Trong đó, thuật toán tối ƣu
về mặt tính toán thực hiện bởi biến đổi FFT 2D [5]
đƣợc sử dụng trong thuật toán đề xuất.

Biến đổi Curvelet, kế thừa từ biến đổi Wavelet, hiệu
quả trong việc biểu diễn các đột biến dọc theo các biên
sƣờn trong ảnh. Đã có nhiều nghiên cứu ứng dụng biến
đổi Curvelet loại trừ nhiễu ảnh thông thƣờng, ảnh cộng
hƣởng từ (MR), ảnh CT mang lại kết quả tốt [3].
Cùng với biến đổi Curvelet, còn có các công cụ xử
lý ảnh đƣợc xây dựng từ phƣơng trình vi phân từng
phần (PDE). Phần lớn các nghiên cứu áp dụng phƣơng
trình vi phân từng phần để loại trừ nhiễu tín hiệu (1D,
2D, 3D, MD) đều nhằm vào việc bảo vệ các thuộc tính
đột biến của tín hiệu – các điểm kỳ dị (singularities).
Đối với ảnh 2D, đó là các biên sƣờn (edges). Theo cách
tiếp cận tiên đề, xuất hiện tập các tiên đề riêng dẫn đến
nghiệm của phƣơng trình vi phân từng phần ứng dụng
trong loại trừ nhiễu tín hiệu. Các tiên đề có cấu trúc và
hình thái nhằm đảm bảo quá trình trở thành semigroup
đủ mềm mại [4]. Nguyên lý “Minimum–Maximum” là
một trong các tiên đề quan trọng, trong đó, phải đảm

ISBN: 978-604-67-0349-5

Bố cục của bài báo nhƣ sau. Sau phần giới thiệu,
phần II trình bày cơ sở lý thuyết về biến đổi Curvelet,
tính toán hệ số Curvelet rời rạc theo FFT, khuếch tán
phi tuyến, đề xuất mô hình hỗn hợp Curvelet và khuếch
tán phi tuyến. Phần III trình bày các kết quả mô phỏng
thuật toán. Phần IV là kết luận và hƣớng phát triển.
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
A. Biến đổi Curvelet

379


Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)

Biến đổi Curvelet là hƣớng tiếp cận mới trong xử lý
tín hiệu. Biến đổi Curvelet đƣợc xây dựng từ ý tƣởng
biểu diễn một đƣờng cong bằng tổ hợp các hàm có độ
dài khác nhau tuân theo luật Curvelet, tức là độ rộng
xấp xỉ bình phƣơng độ dài. Trong miền ảnh hai chiều,
một cặp các cửa sổ 𝑊 𝑟 và 𝑉(𝑡) đƣợc định nghĩa là
các cửa sổ radial và angular. Các cửa sổ này là các hàm
trơn, không âm và giá trị thực. Nhƣ vậy, 𝑉 nhận các giá
trị dƣơng trên đoạn 𝑡 ∈ −1,1 và 𝑊 trên đoạn 𝑟 ∈
1
, 2 . Các cửa sổ thỏa mãn các điều kiện chấp nhận

Với hệ số dịch 𝑏 ∈ ℝ2 , và 𝐑 𝜃 =
ma trận quay 2 × 2 với góc quay 𝜃.

𝑡 − 𝑙 = 1,

∞
2
𝑗 =−∞ 𝑊

𝑡∈ℝ

(1)

2−𝑗 𝑟 = 1, 𝑟 > 0

(2)

𝜑𝑎,𝑏,𝜃 𝜉 = 𝑒 −𝑡

𝑉 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠

𝜋
2

0

𝑊 𝑟 =

𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠

2
𝜋
2

𝑣 5 − 6𝑟

2/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/6

𝑣 3𝑟 − 4

4/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/3

0

(3)

𝑗 ,𝑙

𝜑𝑗 ,𝑙,𝑘 𝐱 ≜ 𝜑𝑗 ,0,0 𝐑 𝜃𝑗 ,𝑙 𝐱 − 𝐱𝑘

(4)

𝑈𝑗 𝝃 = 2−3𝑗 /4 𝑊 2−𝑗 𝑟 𝑉 2 𝑗 /2 𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2

Nhận thấy, trong miền không gian, đặc điểm của
𝜑𝑗 ,𝑙,𝑘 là suy giảm nhanh từ 2−𝑗 bởi 2−𝑗 /2 hình chữ nhật
𝑗 ,𝑙
với tâm 𝑥𝑘 và hƣớng 𝜃𝑗 ,𝑙 cùng với trục tung theo x.

đƣợc

2𝜋

Cho 𝝃 = 𝜉1 , 𝜉2 ∈ ℝ2 là biến trong miền tần số
trong đó 𝑟, 𝜃 biểu thị tọa độ cực tƣơng ứng với 𝜉. Ta

Curvelet ở tỉ lệ mức thô để phân tích tần số thấp
𝜑−1,0,𝑘 𝑥 ≜ 𝜑−1 𝑥 − 𝑘 ,

𝜉

( 1 ). Ta
𝜉1 2 + 𝜉2 2 và góc 𝜃 = arctan⁡
𝜉2

(6)

𝑓=

(13)

𝜇 𝑐𝜇

𝑓 𝜑𝜇

(14)

Các hệ số Curvelet rời rạc đƣợc xác định nhƣ sau [7]
𝑐𝜇 𝑓 ≜ 𝑓, 𝜑𝜇 =

(7)

=

Họ hàm Curvelet đƣợc tạo ra bởi sự dịch và quay
của hàm cơ sở 𝜑𝑎,0,0

ISBN: 978-604-67-0349-5

𝜑−1 𝜉 ≜ 𝑊0 𝜉

Để đơn giản, cho 𝜇 = 𝑗, 𝑙, 𝑘 là tập hợp của ba tham
số. Hệ Curvelet 𝜑𝜇 biểu diễn khung chặt [6] trong
𝐿2 ℝ2 , mỗi hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 có thể đƣợc biểu diễn

Miền giá trị của 𝑈𝑎 đƣợc phân bố trong mỗi cực
(wedge) phụ thuộc vào miền giá trị của V và W. Cửa số
tỉ lệ 𝑈𝑎 này đƣợc sử dụng để xây dựng các hàm
Curvelet. Cho hàm 𝜑𝑎,0,0 ∈ 𝐿2 ℝ2 xác định bởi biến
đổi Fourier của nó

𝜑𝑎,𝑏,𝜃 (𝑥) ≜ 𝜑𝑎 ,0,0 (𝐑 𝜃 𝑥 − 𝑏 )

(12)

Miền giá trị của 𝑈𝑗 đƣợc phân bố trong mỗi cực
„wedge‟ đƣợc xác định bởi supp𝑊 2−𝑗 = 2𝑗 −1 , 2𝑗 +1
và supp𝑉 2 𝑗 /2 = −2 𝑗 /2 , 2 𝑗 /2 .

𝑇

𝜑𝑎,0,0 ≜ 𝑈𝑎 𝝃

, 𝐱 = 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ2 (11)

trong đó 𝜑𝑗 𝝃 ≜ 𝑈𝑗 (𝝃), là biến đổi Fourier của 𝜑𝑗 . Bây
giờ với 𝑗 ≥ 0 tƣơng tự trƣờng hợp liên tục, định nghĩa
cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑗 𝝃

0 𝑥≤0
, 𝑣 𝑥 + 𝑣 1 − 𝑥 = 1, 𝑥 ∈ ℝ (5)
1 𝑥≥1
Các cửa sổ W và V đƣợc sử dụng để xây dựng họ
hàm phức có ba thông số: Tỉ lệ 𝑎 ∈ 0,1 ; Vị trí 𝑏 ∈ ℝ2
và hƣớng 𝜃 ∈ 0,2𝜋 .

𝑈𝑎 𝝃 = 𝑎3/4 𝑊 𝑎𝑟 𝑉 𝑎 −1/2 𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2

𝑗

−
−𝑗
2
2 )𝑇 , 𝑘 , 𝑘
độ 𝐱 𝑘 = 𝐑−1
1 2 ∈ 𝕫 . Trong
𝜃 𝑗 ,𝑙 (𝑘1 2 , 𝑘2 2
đó 𝐑 𝜃 𝑗 ,𝑙 là ma trận quay với góc 𝜃𝑗 ,𝑙 . Sự lựa chọn này
làm cho hệ Curvelet rời rạc trở thành khung chặt, và do
đó tồn tại biến đổi nghịch. Họ các hàm Curvelet rời rạc
đƣợc định nghĩa nhƣ sau [6]

𝑣 𝑥 =

định nghĩa cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑎 𝝃 nhƣ sau

(10)

𝑗

𝑗

trong đó 𝑣 là một hàm trơn thỏa mãn

có 𝑟 = 𝜉 =

𝜑𝑎,𝑏,𝜃 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

các góc quay 𝜃𝑗 ,𝑙 = 2𝜋𝑙 ∙ 2− 2 , 0 ≤ 𝑙 ≤ 2 2 − 1; và tọa

𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖

Biến đổi Fourier của một hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2
1
định nghĩa bởi 𝑓 𝜉 ≜
𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖 𝑥,𝜉 𝑑𝑥 .
ℝ2

𝑈𝑎 𝐑 𝜃 𝝃 (9)

Hệ Curvelet rời rạc đƣợc biểu diễn bởi ba tham số
rời rạc: Tham số tỷ lệ 𝑎𝑗 = 2−𝑗 , 𝑗 ∈ ℕ0 ; Chuỗi cách đều

5/6 ≤ 𝑟 ≤ 4/3
𝜋

ℝ2

𝑗 ,𝑙

1/3 ≤ 𝑡 ≤ 2/3

𝑏,𝜉

Biến đổi Curvelet rời rạc

𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖

1

𝜑𝑎,0,0 𝐑 𝜃 𝜉 = 𝑒 −𝑡

𝑐𝑎,𝑏,𝜃 𝑓 ≜ 𝜑𝑎,𝑏,𝜃 , 𝑓 =

𝑡 ≤ 1/3

𝑣 3 𝑡 −1

𝑏,𝜉

Các hệ số của biến đổi Curvelet liên tục của hàm
𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 đƣợc cho bởi

Để xây dựng các hàm Curvelet, ta phải sử dụng các
hàm cửa sổ đặc biệt. Xét các hàm cửa sổ Meyer có tỷ lệ
thỏa mãn điều kiện trên nhƣ sau [4]
1

−𝑠𝑖𝑛𝜃
là
𝑐𝑜𝑠𝜃

Sự quay trong miền không gian với góc 𝜃 đúng với
sự quay trong miền tần số với 𝜃 vì

2

∞
2
𝑙=−∞ 𝑉

𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃

ℝ2

ℝ2

𝑓 𝜉 𝜑𝜇 𝜉 𝑑𝜉

𝑓 𝜉 𝑈𝑗 𝐑 𝜃 𝑗 ,𝑙 , 𝜉 𝑒 𝑖

𝑗 ,𝑙

𝑥𝑘

,𝜉

𝑑𝜉

(15)

Chúng ta thấy rằng, các góc 𝜃𝑗 ,𝑙 nằm trong dải −𝜋/4
và 𝜋/4 không cách đều nhƣng gradient giảm dần.

(8)

380


Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)

điểm đột biến kỳ dị (singularities) vốn dĩ chứa đựng các
thông tin quan trọng ở tín hiệu. Để giải quyết vấn đề
này, ngƣời ta sử dụng quá trình khuếch tán phi tuyến
thích nghi hay còn gọi là khuếch tán bất đẳng hƣớng
(anisotropic diffusion) tạo ra các hệ số khuếch tán thay
đổi thích nghi với cấu trúc tín hiệu nhằm làm giảm hiệu
ứng làm trơn ở biên sƣờn. Mô hình khuếch tán Perona –
Malik có dạng [8]

Phần Đề-các của các hệ số
ℝ2

𝑓 𝜉 𝑈𝑗 𝑆𝜃−1
𝜉 𝑒
𝑗 ,𝑙

𝑓

𝑆𝜃−1
𝜉
𝑗 ,𝑙

𝑐𝜇 𝑓 = 𝑓, 𝜑𝜇 =
ℝ2

𝑗 ,𝑙
𝑖 𝑥 𝑘 ,𝜉

𝑒 𝑖 𝑘 𝑗 ,𝜉

𝑈𝑗 𝜉

𝑑𝜉

𝑑𝜉 =
(16)

Đối với các ứng dụng xử lý ảnh, ngƣời ta cần biến
đổi Curvelet cho các hàm ảnh. Vì thế, xét 𝜑𝜇 , lặp lại có
chu kỳ N
𝑝

𝜑𝜇 𝑥 ≜

𝑛∈𝕫2

𝜑𝜇 𝑥 − 𝑁𝑛 , 𝑥 ∈ ℝ2 , 𝑛 = 𝑛1 , 𝑛2

𝜕𝐼 (𝑥,𝑦,𝑡)

(17)

𝜕𝑡

𝑝

𝐷
𝜇 ∈𝑀 𝑐𝜇 𝑓 𝜑𝜇

∇𝐼 2

1 (1 + ( ∇𝐼𝑘 )2 ) hoặc 𝑐 ∇𝐼 = 𝑒 −( 𝑘 ) . Trong đó k
đƣợc gọi là hệ số tƣơng phản. Mặc dù (26) đƣợc Perona
– Malik gọi là bộ lọc bất đẳng hƣớng, nhƣng vẫn đƣợc
xem là mô hình đẳng hƣớng, vì đã sử dụng hàm khuếch
tán có giá trị vô hƣớng, không phải là một Tensor
khuếch tán. Xét mô hình sau

(18)

với một tập hệ số đã biết M

𝑀=

−1,0, 𝑘1 , 𝑘2 : 𝑘1 , 𝑘2 = 0, … , 𝑁 − 1 ∪
𝑗, 𝑙, 𝑘1 , 𝑘2 : 𝑗 ∈ ℕ0
(19)

Chuỗi Fourier 2D của 𝑓
𝑓 𝑥 =

𝑚 ∈𝕫2

𝑑𝑚 𝑓 ≜

𝜕𝐼 (𝑥,𝑦,𝑡)

𝑑𝑚 𝑓 𝑒

1
𝑁2 Ω

𝜕𝑡

2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥
𝑁

(20)

𝑓(𝑥)𝑒 2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁 𝑑𝑥

𝑓 =

𝑑𝑚 𝑓

ℝ2

𝑚 ∈𝕫2

=𝑁

𝑚 ∈𝕫2

𝑑𝑚 𝑓 𝑈𝑗

2𝜋
𝑁

𝑒

2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁

𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙 𝑚 𝑒

(21)

2𝜋𝑖 𝑇
𝑆𝜃 𝑚 ,𝑘 𝑗
𝑁
𝑗 ,𝑙

Nhằm làm cho hệ số khuếch tán thích nghi cục bộ

với dữ liệu và hƣớng làm trơn ta thay thế hàm khuếch
tán vô hƣớng bởi một tensor khuếch tán dạng ma trận
theo hai bƣớc [9]. Bƣớc thứ nhất xây dựng vector mô tả
cấu trúc ∇𝐼𝜍 . Ma trận 𝐽0 nhận đƣợc từ tích tensor

(22)

Mô hình kinh điển mô tả quá trình khuếch tán tuyến
tính nhƣ sau [8]
𝜕𝑡

= 𝑐. ∆𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡); 𝐼

𝑡=0

𝐽0 ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍 ⨂ ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍 ∇𝐼𝜍𝑇

với I là ảnh thay đổi theo thời gian và 𝐼0 (𝑥, 𝑦) là ảnh
ban đầu
(24)

𝐽𝜌 ∇𝑢𝜍 ≜ 𝐾𝜌 ∗ ∇𝑢𝜍 ⨂ ∇𝑢𝜍

Nghiệm của (23) trong trƣờng hợp hệ số vô hƣớng c = 1
𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) =

𝐼 𝑥, 𝑦
với 𝑡 = 0
(𝐾 2𝑡 ∗ 𝐼)(𝑥, 𝑦) với 𝑡 > 0

(30)

𝑗 12
Ma trận đối xứng 𝐽𝜌 = 𝑗𝑗 11
bán xác định dƣơng và
12 𝑗 22
có các vector riêng trực giao v1, v2 với

(25)

tƣơng đƣơng với quá trình làm trơn ảnh bằng cách
chập ảnh gốc với hàm nhân Gaussian hai chiều có độ
lệch tiêu chuẩn 𝜍 = 2𝑡. Biến thời gian t có liên quan
với độ rộng không gian 𝜍 theo 𝜍 = 2𝑡, do đó, các cấu
trúc làm trơn yêu cầu dừng quá trình khuếch tán tại
𝑇 = 𝜍 2 /2. Thông tin xử lý đƣợc tạo ra bởi nghiệm của
quá trình khuếch tán theo thời gian t. Tuy nhiên, quá
trình khuếch tán làm mờ đi các biên sƣờn (edges), các

ISBN: 978-604-67-0349-5

(29)

có cơ sở trực chuẩn hình thành từ các vector riêng v1, v2
với v1 || ∇𝐼𝜍 và v2 ⊥ ∇𝐼𝜍 . Các trị riêng tƣơng ứng là
|∇𝑢𝜍 |2 và 0. Bƣớc hai, thông tin về hƣớng khuếch tán
nhận đƣợc bằng cách chập 𝐽0 ∇𝐼𝜍 với một hàm nhân
Gaussian 𝐾𝜌 , phƣơng sai 𝜌2 . Ta có tensor cấu trúc

= 𝐼0 (𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑐 ∈ ℝ (23)

𝐼: ℝ2 × Ω → ℝ; (𝑥, 𝑦, 𝑡) ↦ 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡)

(28)

Tensor khuếch tán D là một ma trận phụ thuộc vào
các giá trị riêng và các vector riêng của tensor cấu trúc
𝐽 = ∇𝐼 ∇𝐼 𝑇 . Tích vô hƣớng 𝐷∇𝐼, 𝑛 = 0 trên 𝐼 × 𝜕Ω,
n là pháp tuyến ngoài, 𝜕Ω là miền biên.

B. Khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (Anisotropic
nonlinear diffusion)

𝜕𝐼(𝑥,𝑦 ,𝑡)

(27)

𝐼 . , 𝑡 : Ω × 0, +∞ → ℝ và 𝐼0 : Ω → ℝ

𝜑𝜇 𝑥 𝑑𝑥

−

= ∇ ∙ 𝐷∇𝐼

với 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) là ảnh thay đổi theo thời gian và
𝐼 𝑡=0 = 𝐼0 (𝑥, 𝑦) là ảnh quan sát đƣợc dƣới ảnh hƣởng
của nhiễu

Các hệ số Curvelet có thể nhận đƣợc bởi biến đổi

FFT 2D nhƣ sau [5]
𝑐𝜇𝐷

(26)

với c(.) là hàm gradient không tăng, 𝐼 𝑡=0 = 𝐼0 (𝑥, 𝑦)
là điều kiện biên Neumann. c(.) có dạng 𝑐 ∇𝐼 =

trong đó 𝑁 ∈ ℕ là cố định, hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 Ω , Ω =
0, 𝑁 2 , chu kỳ N. Lúc này, f có thể đƣợc viết dƣới dạng
𝑓=

= 𝑑𝑖𝑣(𝑐( ∇𝐼 )∇𝐼)

𝑣1 || 𝑗22 − 𝑗11 +

𝑗11 − 𝑗22

2

2
+ 4𝑗12

(31)

Tƣơng ứng với các giá trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 đƣợc xác định
bởi
𝜇1,2 =

381

1
2

𝑗11 + 𝑗22 ±

𝑗11 − 𝑗22

2

2
+ 4𝑗12

(32)


Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)

5: Lấy ngƣỡng cứng các hệ số 𝑐𝜇𝐷 (𝑓) không thuộc miền
biên ảnh (theo hệ số kết hợp c)

Trong đó dấu + là của 𝜇1 . Các trị riêng mô tả độ
tƣơng phản trung bình theo các hƣớng riêng. hệ số tỉ lệ
tích phân 𝜌 phản ánh đặc trƣng cửa sổ theo hƣớng đƣợc
phân tích. Nhƣợc điểm là các trị riêng nhạy cảm đối với
nhiễu, do đó, cần phải loại trừ nhiễu trƣớc khi thực hiện
khuếch tán [10].

6: Biến đổi ngƣợc Curvelet khôi phục ảnh ban đầu
7: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận đƣợc từ bƣớc 6

8: Hiệu chỉnh biên sƣờn bằng Wavelet 1D trên tập biên
ảnh liền kề (bƣớc 3)

C. Thuật toán loại trừ nhiễu hỗn hợp Curvelet và
khuếch tán phi tuyến

III. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG

Phƣơng pháp khuếch tán phi tuyến bảo toàn đƣờng
biên do tính chất thích nghi cục bộ với dữ liệu nhờ áp
dụng Tensor cấu trúc nhƣng hiệu quả loại trừ nhiễu
không cao và có nguy cơ mất ổn định dƣới tác động của
nhiễu. Đề xuất thuật toán ba bƣớc: Bƣớc 1: Tạo thông
tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi tuyến. Bƣớc
2: Tiến hành Curvelet shrinkage loại trừ hƣớng có biên
sƣờn vì quy trình Curvelet shrinkage cho phép làm trơn
theo hƣớng. Bƣớc 3: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận
đƣợc từ bƣớc 1 và hiệu chỉnh biên sƣờn bằng biến đổi
Wavelet 1D từ thông tin nhận đƣợc từ bƣớc 1.

Mô phỏng đƣợc thực hiện bằng chƣơng trình Matlab
nhằm đánh giá hiệu quả của phƣơng pháp đề xuất so với
các phƣơng pháp khác bao gồm: Loại trừ nhiễu bằng
biến đổi Wavelet, loại trừ nhiễu bằng biến đổi Curvelet,
khuếch tán phi tuyến. Ảnh đầu vào là bộ ảnh gray (bao
gồm: Lena, Barbara, Boat, Cameraman, House) kích
thƣớc 512x512 bao gồm các biên sƣờn. Nhiễu tác động
là nhiễu Gauss trị trung bình không và độ lệch chuẩn
hóa σn = 0.01 (dùng hàm imnoise trong Matlab). Tham
số đánh giá là PSNR (dB) và hiệu ứng biên sƣờn trực

quan. Hình 4 minh họa hiệu ứng loại trừ nhiễu bảo vệ
biên sƣờn, trong đó (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7
dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet
(29.5928 dB), (e) Loại trừ bằng phƣơng pháp lọc
khuếch tán phi tuyến NLDF (24.5419 dB), (f) Loại trừ
nhiễu bằng phƣơng pháp đề xuất (27.4950 dB). Nhận
thấy, phƣơng pháp loại trừ nhiễu bằng Curvelet cho tỉ
số PSNR cao nhất. Tuy nhiên, phƣơng pháp hỗn hợp có
tỉ số PSNR thấp hơn lại cho hiệu quả biên sƣờn cao
hơn. Minh họa hiệu quả bảo vệ biên sƣờn đƣợc biểu
diễn trên hình 5. Bảng 1 trình bày các kết quả mô phỏng
tính toán PSNR cho bộ ảnh đầu vào.

Thuật toán hỗn hợp chi tiết nhƣ sau:
1: Tạo thông tin cấu trúc ảnh: Tính Tensor khuếch tán
D theo (31) với các trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 . Trace(D) =
𝜇1 + 𝜇2 ; Det(D) = 𝜇1 𝜇2 .
2: Tính hệ số kết hợp c (coherent) theo
𝑐=

𝜇 1 −𝜇 2
𝜇 1 +𝜇 2

2

nếu 𝜇1 + 𝜇2 > 0

(33)
0
khác

3: Tạo các mảng (array) biên ảnh 1D từ các điểm ảnh
liền kề

BẢNG 1. BẢNG SO SÁNH CÁC GIÁ TRỊ PSNR

4: Curvelet shrinkage: Tính hệ số Curvelet theo ba
bƣớc [5]

Phương
pháp
Wavelet
Curvelet
NLDF (*)
Hỗn hợp

4.1: Tính các hệ số Fourier 𝑑𝑚 𝑓 của 𝑓 dùng FFT 2D
4.2: Tính 𝑑𝑚 𝑓 𝑈𝑗
𝑠𝑢𝑝𝑝𝑈𝑗

2𝜋
𝑁

𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙 𝑚

với ∀𝑚 thỏa 𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙 𝑚 ∈

Lena
23.99
29.59
24.54

27.49

Barbara
22.61
25.05
23.24
25.17

(*)

NLDF : Khuếch tán phi tuyến

4.3: Tính các hệ số 𝑐𝜇𝐷 (𝑓) theo (22) dùng IFFT 2D

(a)

ISBN: 978-604-67-0349-5

(b)

382

(c)

Ảnh
Boat
23.96
27.38
23.65
26.17

Cameraman
22.25
25.63
21.58
25.41

House
25.63
28.67
23.74
27.19


Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)

(d)

(e)

(f)

Hình 4. (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7 dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet (29.5928 dB), (e) NLDF (24.5419 dB), (f) Đề xuất
(27.4950 dB)

(a)

(b)

(c)

(d)

Hình 5. Chi tiết đƣợc làm rõ (a) Wavelet DB4, (b) Curvelet, (c) NLDF, (d) Phƣơng pháp đề xuất

IV. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN
Trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày phƣơng
pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến để khử
nhiễu ảnh nhằm bảo toàn biên sƣờn và minh họa bằng
các mô phỏng minh chứng ƣu điểm của phƣơng pháp đề
xuất. Với những tính chất rất đặc biệt và tính hiệu quả
cao trong xử lý ảnh, các ứng dụng của lọc khuếch tán
phi tuyến sẽ là một hƣớng nghiên cứu rất đƣợc quan
tâm không chỉ trong lĩnh vực xử lý ảnh, mà còn có thể
phát triển cho nhiều lĩnh khác có liên quan trong tƣơng
lai. Vì vậy, đề xuất hƣớng nghiên cứu tiếp theo là phát
triển khả năng mở rộng chiều, nghiên cứu mô hình lai
kết hợp giữa phƣơng pháp lọc khuếch tán phi tuyến với
một số phƣơng pháp khác nhằm cải tiến các phƣơng
pháp và nâng cao chất lƣợng xử lý ảnh, mở rộng cho
các lĩnh vực khác liên quan.

[3]

François G. Meyer - “Wavelet-Based Estimation of a
Semiparametric Generalized Linear Model of FMRI TimeSeries,” IEEE Trans. on Medical Imaging 22 (3), 2003.

[4]

E. Candes, D. Donoho, “Continuous curvelet transform: I.

Resolution of the wavefront se,”, Appl. Comput. Harmon.
Anal., 19, pp.162-197, 2003.

[5]

Jianwei Ma and Gerlind Plonka, "Combined Curvelet
Shrinkage and Nonlinear Anisotropic Diffusion", IEEE
TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 16, NO.
9, SEPTEMBER 2007.

[6]

E. Candes, D. Donoho, “Continuous curvelet transform: II.
Discretization and frames,” Appl. Comput. Harmon. Anal., 19,
pp.198-222, 2003.

[7]

E. Candes, L. Demanet, D.Donoho, L. Ying, “Fast discrete
curvelet transforms,” Multiscale Model. Simul., 5 (3), pp.861899, 2006.

[8]

Wei G. W., Marimont D. H., Heeger D, Generalized PeronaMalik Equation for Image Restoration,” IEEE Signal
Processing Letters, vol.6, no.7, pp.165–167. 1999.
Sum A. K. W., Cheung P. Y. S., “Stabilized anisotropic
diffusio,” IEEE International Conf. on Acoustics, Speech and
Signal Processing, vol.1, pp.709-712, 2007.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

Sendur, L., Selesnick, I. W, “Bivariate shrinkage functions for
Wavelet-based denoising exploiting interscale dependency,”
IEEE on Trans. Signal Processing, 50, pp.2744-2756, 2002.

[9]

[2]

Bo Zhang, Jalal M. Fadili, and Jean-Luc Starck, “Wavelets,
Ridgelets, and Curvelets for Poisson Noise Removal,” IEEE
TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 17, NO.
7, JULY 2008.

[10] You Y. L., Kaveh M., “Fourth-order partial differential
equations for noise removal,” IEEE Trans. on Image
Processing, vol.9, no.10, pp.1723–1730, 2000.

ISBN: 978-604-67-0349-5

383