Vận hành hệ thống điện - Chương 2: Tính toán phân bố tối ưu công suất trong hệ thống điện bằng phương pháp Lagrange

Μν ηοχ: ς〈ν ηανη Η τηνγ ιν

Χη∑νγ 2

Τ⊇ΝΗ ΤΟΑ∉Ν ΠΗℑΝ Β⊗∨ Τ⊗∨Ι ∅Υ Χ⊗ΝΓ ΣΥℑ∨Τ ΤΡΟΝΓ Η℘⇔ ΤΗ⊗∨ΝΓ ℜΙ℘⇔Ν
ΒℵΝΓ ΠΗ∅⊕ΝΓ ΠΗΑ∉Π ΛΑΓΡΑΝΓΕ
2.1. Μ⊕⊆ ℜℑ√Υ
Χ〈ν πηαι ξαχ νη σ πη〈ν β τι υ χνγ συ〈τ για χαχ νηα mαψ ιν τρονγ η
τηνγ ιν ( χο τη χη χο χαχ νηα mαψ νηιτ ιν , ηο◊χ χο χα νηνγ νηα mαψ τηυψ ιν )
υ απ νγ mτ για τρ πηυ τα τνγ χηο τρ∑χ (κ χα χαχ τν τη〈τ) νη◊∫m ν〈νγ χαο τνη ϖ〈ν
ηανη κινη τ χυα η τηνγ ιν .
ℜ〈ψ λα βαι τοαν α χη τιυ:
− Χηι πη νηιν λιυ τνγ τρονγ τοαν η τηνγ λα νηο νη〈τ (mιν)
− ℜαm βαο  τιν χ〈ψ η∑π λψ
− Χη〈τ λ∑νγ ιν ν◊νγ αm βαο...
Γιαι θυψτ βαι τοαν α χη τιυ νη ϖ〈ψ ηιν ναψ χηα χο mτ m ηνη τοαν ηοχ
χη◊τ χηε, mα τη∑νγ χη γιαι θυψτ χαχ βαι τοαν ρινγ βιτ, σαυ ο κτ η∑π λαι.
ς ϖ〈ψ βαι τοαν πη〈ν β τι υ χνγ συ〈τ για χαχ νηα mαψ ιν τη∑νγ χη ξετ ατ
mυχ τιυ θυαν τρονγ λα χηι πη νηιν λιυ τνγ τρονγ τοαν η τηνγ λα νηο νη〈τ.
2.2. ΒΑ⊂Ι ΤΟ∉ΑΝ ΛΑΓΡΑΝΓΕ:
Βαι τοαν ∑χ πηατ βιυ νη σαυ: Χ〈ν πηαι ξαχ νη χαχ 〈ν σ ξ1, ξ2,..., ξι,........ ,ξν
σαο χηο ατ χχ τρ ηαm mυχ τιυ :
Φ(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν)→ mιν (mαξ)
ϖα τηοα mαν m ιυ κιν ρανγ βυχ: (m<ν)
γ1(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) ≥ 0
γ2(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) ≥ 0
........................................
γm(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) ≥ 0

(2−1)

(2−2)

Τρονγ τρ∑νγ η∑π ηαm mυχ τιυ (2−1) λα γιαι τχη, κηα ϖι, η ρανγ βυχ (2−2) γm
τοαν ◊⌠νγ τηχ ϖα σ νγηιm κηνγ λ∑ν τα χο τη δυνγ πη∑νγ πηαπ τη τρχ τιπ  γιαι
βνη τη∑νγ. Κηι χαχ η (2−1) ϖα (2−2) τυψν τνη ϖα ξι ≥ 0 τα χο τη δυνγ τηυ〈τ τοαν θυι
ηοαχη τυψν τνη  γιαι νη πη∑νγ πηαπ ηνη ηοχ, ∑ν ηνη, ϖ〈ν ται....

ς δυ :
Τm χαχ  για τρ ξ1, ξ2 σαο χηο :
τηοα mαν :

F ( x1 , x2 ) = x12 + x22 → min
x1 x2
+
=1
2 3

Νηοm Νηα mαψ ιν − Β mν Η τηνγ ιν − ℜΗΒΚ ℜα Ν◊νγ
CuuDuongThanCong.com

/>
. 14


Μν ηοχ: ς〈ν ηανη Η τηνγ ιν

Βαι γιαι :

x1 x2
+

=1
2 3
Τηαψ ϖαο ηαm mυχ τιυ Φ :
Τ

x2 =

συψ ρα

6 − 3x1
2

⎛ 6 − 3 x1 ⎞
F ( x1 , x 2 ) = x + x = x + ⎜
⎟ → min
⎝ 2 ⎠
ℜιυ κιν χχ τρ :
∂F
=0
∂x1
18
∂F
ηο◊χ λα :
= 2 x1 − (2 − x1 ) = 0
4
∂x1
2

2
1

2
2

γιαι ρα ∑χ :
ξ1 = 18/13
Ξετ αο ηαm χ〈π 2 :

2
1

ϖα

ξ2 = 12/13

∂ 2F
18 26
= 2+ =
>0
2
4
4
∂x1
νν ηαm Φ ατ χχ τρ ται :

x1* =

18
12
ϖα x2* =

13
13

ϖα κηι ο για τρ ηαm mυχ τιυ λα :
36
*
Fopt
=
13
Πη∑νγ πηαπ τηαψ τη τρχ τιπ τρν 〈ψ χη τιν λ∑ι κηι η πη∑νγ τρνη ρανγ βυχ
λα τυψν τνη ϖα σ λ∑νγ m κηνγ λ∑ν λ◊⌡m. Τρονγ τρ∑νγ η∑π χηυνγ  γιαι βαι τοαν ξαχ
νη χχ τρ χο ρανγ βυχ λα ◊⌠νγ τηχ ϖα τυψν τνη τη∑νγ σ δυνγ ρνγ ραι πη∑νγ

πηαπ νη〈ν τ Λαγρανγε .
Νι δυνγ χηυ ψυ χυα πη∑νγ πηαπ Λαγρανγε νη σαυ:
Χ〈ν πηαι ξαχ νη χαχ 〈ν σ ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν σαο χηο:
Φ(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν)
→
mιν (mαξ)
ϖα τηοα mαν
γ1(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) = 0
γ2(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) = 0
........................................
γm(ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) = 0
τρονγ ο m <ν
Τηανη λ〈π ηαm Λαγρανγε :
m

L( x1 , x2 ,...., xn ) = F ( x1 , x2 ,...., xn ) + ∑ λi .g i ( x1 , x2 ,...., xn )

(2−3)

(2−4)

(2−5)

i =1

Τρονγ ο : λi

i = 1, m

λα νηνγ η σ κηνγ ξαχ νη.

Νηοm Νηα mαψ ιν − Β mν Η τηνγ ιν − ℜΗΒΚ ℜα Ν◊νγ
CuuDuongThanCong.com

/>
. 15


Μν ηοχ: ς〈ν ηανη Η τηνγ ιν

Νγηιm τι υ Ξ∗οπτ χυα ηαm mυχ τιυ Φ χυνγ χηνη λα νγηιm τι υ χυα ηαm
Λαγρανγε Λ(Ξ) ϖα νγ∑χ λαι ϖ γι(ξ1, ξ2,..., ξι,........ ,ξν) = 0 ϖ∑ι mοι ι=1..m.
ς ϖ〈ψ τα χ〈ν τm λ∑ι γιαι τι υ χηο ηαm Λ(ξ1, ξ2,..., ξι,........ ,ξν)
Βαι τοαν Λαρανγε πηατ βιυ νη σαυ:
Ηαψ ξαχ νη (ξ1, ξ2,..., ξι,........ ,ξν) ϖα (λ1, λ2,.........., λm ) σαο χηο :
∂L ( X ) ∂F ( X ) m ∂g i ( X )
=

+ ∑ λi
=0
(2−6)
∂x j
∂x j
∂x j
i =1
ϖ∑ι ϕ=1..ν ϖα τηοα mαν χαχ ιευ κιν ρανγ βυχ :
g i ( x1 , x2 ,....., xn ) = 0 ϖ∑ι i = 1, m

(2−7)

Τ (2−6) τα χο ν πη∑νγ τρνη ϖα τ (2−7) χο m πη∑νγ τρνη νν σε γιαι ∑χ
(ν+m) 〈ν σ ξϕ ϖα λι
ℜ ξαχ νη ηαm Λ(Ξ) ατ χχ τιυ ηαψ χχ αι τα χ〈ν πηαι ξετ τηm αο ηαm χ〈π
ηαι χυα Φ(Ξ) ηαψ Λ(Ξ) ται χαχ ιm δνγ α γιαι ρα ∑χ ∑ τρν:
Νυ δ2Λ< 0 τη ηαm Φ(Ξ) ( ηο◊χ Λ(Ξ) ) ατ χχ αι ϖα νγ∑χ λαι νυ δ2Λ > 0 τη
ηαm mυχ τιυ σε ατ χχ τιυ.
Τα σε γιαι λαι βαι τοαν ∑ ϖ δυ 1 τηεο πη∑νγ πηαπ Λαγρανγε :
Τm χαχ νγηιm σ ξ1 , ξ2 σαο χηο :
F ( x1 , x2 ) = x12 + x22 → min
x1 x2
+
=1
ϖ∑ι ρανγ βυχ
2 3
Τηανη λ〈π ηαm Λαγρανγε :
m =1

L( x1 , x2 ) = F ( x1 , x2 ) + ∑ λi .g i ( x1 , x2 )

i =1

x1 x2
+ − 1)
2 3
Ξαχ νη χαχ ιm δνγ β◊∫νγ χαχη γιαι χαχ πη∑νγ τρνη :
λ
∂L ( X )
= 2 x1 + 1 = 0
2
∂x1
λ
∂L ( X )
= 2 x2 + 1 = 0
∂x 2
3
x1 x2
+ −1 = 0
2 3
Γιαι η 3 πη∑νγ τρνη τρν ∑χ :
18
12
x1* =
ϖα x2* =
13
13
ϖα κηι ο για τρ ηαm mυχ τιυ λα :
36
*
Fopt

=
13
( νη κτ θυα α νη〈ν ∑χ β◊∫νγ πη∑νγ πηαπ τη )
L( x1 , x2 ) = x12 + x22 + λ1 (

Νηοm Νηα mαψ ιν − Β mν Η τηνγ ιν − ℜΗΒΚ ℜα Ν◊νγ
CuuDuongThanCong.com

/>
. 16


Μν ηοχ: ς〈ν ηανη Η τηνγ ιν

Ξετ χαχ αο ηαm β〈χ ηαι ται ιm δνγ:
∂ 2 L( X )
=2>0
∂x1 2

∂ 2 L( X )
=2>0
∂x 2 2
νν ηαm Λ(Ξ) ϖα ηαm mυχ τιυ Φ(Ξ) ατ χχ τιυ ται ιm
Ξ∗ (18/13 ; 12/13).
Τρονγ τρ∑νγ η∑π ηαm mυχ τιυ Φ(Ξ) ϖα χαχ ρανγ βυχ γ(Ξ) λα νηνγ πηιm ηαm
( τν ται τ∑νγ θυαν για νηνγ ηαm ) κηι ο τm χχ τρ χυα χαχ πηιm ηαm πηαι σ δυνγ
χαχ βαι τοαν βιν πη〈ν. ς δυ νη τρ∑νγ η∑π τνη πη〈ν β τι υ χνγ συ〈τ ι ϖ∑ι χαχ
νηα mαψ τηυψ ιν ϖ κηι ο πηαι ξετ τι υ τρονγ χα χηυ κψ ιυ τιτ.
Βαι τοαν ∑χ πηατ βιυ νη σαυ :
Χ〈ν πηαι ξαχ νη χαχ ηαm σ ξ1, ξ2,..., ξι,........ ,ξν χυα τη∑ι γιαν τ σαο χηο ηαm

mυχ τιυ λα πηιm ηαm ατ χχ τρ:
t1

V = ∫ F (t , x1 , x2 ,...., xn , x'1 , x'2 ,...., x'n ).dt → min(max)
t0

ϖα τηοα mαν m ιυ κιν ρανγ βυχ :
γ1(τ,ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) = 0
γ2(τ,ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) = 0
.............................................
γm(τ,ξ1, ξ2,..., ξϕ,........ ,ξν) = 0
Τρονγ ο :

x' j =

dx j

dt
Τηανη λ〈π ηαm Λαγρανγε :

ϖ∑ι

j = 1, n
m

L(t , x) = F (t , x) + ∑ [λi (t ).g i (t , x)]

(2−8)

(2−9)

(2−10)

(2−11)

i =1

σαυ ο τm χχ τρ χυα πηιm ηαm:
t1

V = ∫ F * (t , x).dt → min(max)
*

(2−12)

t0

ϖ∑ι

m

F * (t , x) = F (t , x) + ∑ λi (t ).g i (t , x)]

(2−13)

i =1

Χαχ για τρ ξϕ(τ) ϖ∑ι ϕ = [1..ν] ϖα χαχ η σ νη〈ν λι(τ) ϖ∑ι ι = [1..m] χο τη νη〈ν
∑χ β◊∫νγ χαχη γιαι η πη∑νγ τρνη αο ηαm ρινγ χυα ηαm Λαγρανγε ϖα ϖιτ τρονγ δανγ
η πη∑νγ τρνη Ευλερ νη σαυ :

Νηοm Νηα mαψ ιν − Β mν Η τηνγ ιν − ℜΗΒΚ ℜα Ν◊νγ
CuuDuongThanCong.com

/>
. 17